Giáo trình Xác suất: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:149

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 3, chương 4. Chương 3 tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn đối với dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Chương 4 trình bày về kỳ vọng có điều kiện và martingale. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất: Phần 2

CHƯƠNG 3 M Ộ T SỐ Đ Ị N H LÝ G I Ớ I HẠN T r o n g c h ư ơ n g n à y , c h ú n g ta l u ô n l u ô n g i ả t h i ế t r ằ n g các đ ạ i lượng ngẫu nhiên c ù n g x á c định t r ê n k h ô n g gian x á c suất đ ầ y đ ủ (ũ, J-",Ỹ) và c ù n g n h ậ n g i á t r ị t r o n g ( R , B). s s ọ 3.1 M ộ t s ô b á t đ ă n g t h ệ c cơ b ả n Trong mục này, c h ú n g t a sẽ n g h i ê n cệu bất đẳng thệc Chebyshev v à b ấ t đẳng thệc Kolmogorov c ù n g các hệ quả của c h ú n g . D â y là n h ữ n g c ô n g cụ cơ b ả n đ ể n g h i ê n c ệ u các đ ị n h lý giới h ạ n nói c h u n g và l u ậ t số l ớ n n ó i r i ê n g . 1. B ấ t đ ẳ n g thệc Chebyshev Định l ý . G i ả sử Y là đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n k h ô n g â m . K h i đ ó n ế u t ồ n t ạ i KY t h ì v ớ i m ọ i e > 0 ta c ó Ỹ(Y > e) — . 114
Chứng minh. Ta có EY = / YdP = / YdF ị / YdP ^ e ị dF = eF{Y Suy ra FY P(Y > e) < — H ệ q u ả 1. ( B ấ t đẳng thức Chebyshev). G i ả sử X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên bất kỳ. K h i đó nếu t ồ n t ạ i DX thì với mọi e > 0, ta có DX F(\X-EX\ >e) < ~ . 2 Chứng minh. Xét đ ạ i lượng ngầu nhiên y = Ị X — E À ' | > 0 ta có FY nỵ 2 P ( | X - EX\ >e) = F(Y > í- ) < = f = H ệ q u ả 2 . ( B ấ t đẳng thức Markov) G i ả sử A" là đ ạ i lượng ngẫu nhiên bất kỳ. K h i đó, nếu tồn t ạ i E | À ' | thì với e > 0, r ta có Kí A T ' F(\x\ > c K : -Ì—!- . r Chứng minh. Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên y = ỊA"Ị 0. Ta có r IP ố V I T P ( | X | > e) = P ( | A T > e ) < - ^ - k V í d ụ . M ộ t cửa h à n g vải muốn ước lượng nhanh chóng số vải bán ra trong một t h á n g của mình. số vải của mỗi khách hàng được làm tròn bởi số nguyên m gần nhất (Ví dụ trong 115
sổ ghi 195,6m thì làm tròn là 196m). Hãy tính sai số giữa số vải thực bán ra và số vải được làm tròn. Giải. Kí hiệu Xi là sai số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã tính tròn của khách hàng thứ i. Các sai số Xi, X2, • • •, X TÌ là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố đều trên đoạn [-0,5; 0,5]. Khi đó EXị = 0, DXị = —. Sai số tổng cộng trong cả tháng là 5 = Xì + x 2 + • • •+ xn (trong đó n là số khách mua hàng trong tháng) ES = E X i = 0, 1=1 n DXi = — . 12 Theo bất đẳng thức Chebyshev, xác suất để sai số vượt quá e mét sẽ được đánh giá b i r 4 Giả sử có n = l o khách hàng trong tháng. Để xác suất P(|5| > ế) < 0,01 ta phải có < 0,01 hay 2 12e e 2 J—7-—T = 288,67. V 12(0,01) Vậy ta có thể kết luận: Với xác suất 0,99 sai số giữa số vải thực bán với số vải đã tính tròn không vượt quá 289m, nếu 116
số khách h à n g là Ì vạn. 3.4.2 B ấ t đ ẳ n g t h ứ c K o l m o g o r o v Đ ị n h lý. G i ả sử Xi, Xi,..., X là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên n độc lập; EXị = 0, DXị = ơi (Vi = 1 . 2 , . . . , TÌ). D ặ t k s = Xi + x k 2 + .... + x k = J2 Xi i=l (Ì < k < K h i đó, với m i £ > 0, ta có Ì 2 i) P(max K K n |5 f c | sỉ Ặ E r = i ^ li) N ế u P(maxie) A fc = ( max \Si\ < e; |5fe| z e) l
Ta có TI Y °ĩ J = DS n = ĨLS 2 n i=l rì Tí > ESịỈA = J2 KSịl Ak = ] T E\s, + (S„ - 5,)| /,n 2 fc=l k=\ n Tỉ n 2 2 = 53 E S fc /^ + £ E(5 n - S ) I k A k + 2 5^ ES .(S„ - S ) I A k A k=\ fc=l /c=l TI n 77 2 2 = £ ESự Ak + £ E(S n - S ) I k A k > ]T E5 f c /^ fc=l Jt=l fc=l n n ^ 5] fc=l 2 c E/.4, 2 = £ £ fc=l P(4fc) = ^ ( Ả ) Đó là điều cần chứng minh. ri) Ta có 2 2 ESịl A = ESị - ES J A > ESị - 6 F(A) 2 2 2 = ES n - e + e Ỹ(A) (ỉ). Trên A , ta có |5fc_i| ^ E, \s \ k k < |5fc_] -+ \x \ k ^ c + c nên TI n n fc=l fc = l < (c + e) £ 2 P(4fe) f D(S ) n 52 1 P (- A 4 fc=] 2 ^F(A)[(c + e) + D(S )} n (2). 118
T ừ ( i ) v à (2) suy ra 2 D(S ) n - e 2 (c + e) f D(S 7 - Ị - - , ('•;,*>' - > ! - ( £ + £ ) ! 2 2 (c + £ ) + D(S„)-í Đ(S„) H ệ q u ả . G i ả sử ( A n , n > 1) là d ã y đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n đ ộ c lập, E X n — 0 ( V n = 1 , 2 , . . . ) . K h i đ ó , v ớ i m ọ i e > 0, t a c ó Ì A í) p ( max\s m - s \ > e) ^ 4 n E m=n+1 0 0 Ì Z ) X m ii) p((sup|5 m - 5 „ | > e) ^ 4 X) - mần t m=n+ l ơ / i ứ n ợ m i n / i . D ặ t Yị = 0 . . . . , r„ = 0, Y n + Ì = x n + ĩ . . . , Vfe = Xjfc. K h i đ ó , V ] . . . . . yjc t h o a m ã n g i ả t h i ế t c ủ a đ ị n h lý và Vi + • • • + Y - f Y \ 4 n n + TY = X ị +-••• + X m = S — S;n + m m n k k DX Y,DX m = m- m=\ m=n+\ T ừ đ ó suy r a i ) . Đ chứng minh li), ta đặt Bk = í m a x v \s - , 'Tnm ố',, Ị > ^ li Ị é). K h i đ ó (Bk-k > n) là d ã y t ă n g c á c b i ế n cố và U£L„ 5fc = (sup|5 + 1 m - s\ n > e). 119
Do đó p(sup|5 m - s\ n > e) = p ( UZn+i B) k = rrìỳn Ì A Ì 0 0 = l i m F{B )k n h ộ i t ụ đ ế n đ ạ i lượng ngẫu nhiên X ( k h i Ti — • oe) • Hầu chắc chắn nế u P( l i m \X n — x\ = 0) = 1. n-*oo Kí hiệu x n X. • Theo xác suất nế u v ớ i m ọ i e > 0 t h ì lim P ( | X n - X I > e) = 0. TI—»00 Kí hiệu X n —> X. • Theo trung bình cấp p (p > 0) n ế u lim E | X n —x\ p = n—>oc Kí hiệu x n ^ X. • Yếu (theo phân phối) nế u l i m F (x)n = F(x) Vx e C(F) ri—»00 120
T r o n g đ ó F (x) n và F(x) t ư ơ n g ứng là h à m p h â n p h ố i c ủ a c á c đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n x n và X; C{ F) l à t ậ p h ợ p c á c đ i ể m m à t ạ i đ ó F(x) liên tục. Ký hiệu x n X. Hội tụ hầu chắc c h ắ n còn được g ọ i l à hội tụ với xác suất Ì; h ộ i t ụ t h e o t r u n g b ì n h c ấ p p c ò n đ ư ợ c g ọ i l à hội tụ trong Cp. C á c ví dụ Ví dụ 1. Cho x — n X, Y n — y. Khi đó x + r„ n X + Ỳ ( k h i n - » 00) T h ậ t vậy, đ ặ t Q] = {LO : lim |X„H - X(u)\ = 0} n—>oo n 2 = { w : l i m |y„H - r(u/)| = 0}. n—»00 Theo gi thiết vì X n —> X h.c.c và K n —> y h.c.c nên P(ÍĨ!) = P(Í2 ) 2 = Ì , suy ra P ( í 2 i n í ì ) 2 = 1. K h i đ ó , nếu LU £ ũị n Q.2 thì í l i m Ị X ( w ) -X(u>)\ n = 0 J TI—»0O ì l i m \Y (u) n - Y(u)\ = 0 ^ n—»oe nên í x (u) n —> xụ) { Y (ư) n —> Y(u). Do đó x (w)n + Y (tu) n —> + Y » . 121
Chứng tỏ LO e {co : lim \x n + Y n - X - Y\(u) = o}. n — DO Nên Qi n Q c {u : lim | X + y ; - X - Y\(u) 2 n = 0}. n—*oc Suy ra p ( l i m \x n + Y - X - Y\ = 0) = 1. n Tì—»00 Vậy x + Y -> n n X + Y h.c.c. V í d ụ 2. Cho ttỄl và X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc n nhận các giá trị ũ và a với các xác suất tương ứng là Ì — — n Ì p C.2 và - . K h i đó X ——> 0 và x„ —^ 0 (khi lĩ —> oe), n n T h ậ t vậy, ta có với mọi C > 0 0 < P ( | X „ - OI > é) = P ( | X | > e) n sỉ P ( | X | = lai) n = Ỹ(X n = à) = > 0, khi Ti —> oe. rỉ Do đó lim Ỹ(\x n - OI > e) = 0, Ve > 0, nên X n 0. n—»oo 2 2 2 M ặ t khác, vì 0 < E | X „ - 0| = E|X | n = \a\ •- — 0 khi n n —> oe nên x„ — 0 . V í d ụ 3. G i ả sử À" là đ ạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc xác đ n h bởi F(X = 1) = - = F(X = -ì) 122
Dãy dại lượng ngẫu nhiên ÚY,,./ỉ > Ì) được xác định như sau X nếu n chẵn À' —À" nếu n l ẻ Rõ ràng F„(x) = F(x) (Vx e Suy ra Tuy nhiên xn p> X (khi TI —> 00) T h ậ t vậy, với TI = 2m + Ì, ta có °(|X 2 m + 1 - X I > 1) = P(|2X| > 1) = P(|X| > ị ) = Ì A 0 (khi n —> oo). Do đó ^ 2 m + i r+ 0 (khi ru -* 00) Suy ra x„ £ 0 (khi n -> oo). 3.1.2 T í n h c h ấ t Đ ị n h lý 1. -Y , —^> A' T và c/ủ fc/ii với m ọ i £ > 0 lim P(sup \x m - x\ >£) = 0. Chứng minh. Với mỗi C > 0 và mỗi n = Ì , 2 , . . . đặt oe D ( e ) = (sup | A n m>n m - x\ > e) =ù _~_ (|X v m - X| > y À 123
K h i đ ó D (e) i (khi n t ă n g ) và n oo n\D n = Djẽ)= ri ( | A m - I K Ạ Do đ ó tư G ( l i m | X „ - x\ = 6) & lim | X ( w ) - X(CJ)| = 0 n V TI—>00 / TI—»00 o Ve > 0,3n : | X ( c j ) m ^ £,Vm > n o Vk,3n : | X ( w ) - X(cư)| < l / f c , Vm > rỉ m VẢ;,3n : w e D (l/k) n & LO e Pl ỊJ D (l/k). n fc=ln=l Suy ra oe oo ( l i m |X„ - X I = o) = f | Ị J ÃJĨ7fc). fc=l n=l Nên x n -> X h.c.c ^ p ( l i m | X - X I = 0) = Ì n n—*oo oo oe oe »P(fìU D M / k ) ) = Ì 00 124
lim F(D (e)) n = 0, ( vì D ( e ) ị ) . n n—>oo Định lý được chứng minh. H ệ q u ả 1 . Nếu chuỗi oo Y^F(\X -X\ n >e) n=l / l ộ i tụ với mọi £ > 0, í/ỉì A n —> X /ỉ.c.c (Ả;/n 77 —> oo). Chúng minh. Điều khẳng định này rút ra t ừ bất đẳng thức oo F X m ỵ P(sup \x m - x\ > e}) < Y , ^ - \ > Trong trường hợp ( X „ , n > 1) là dãy đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập và X là hằng sặ thì điều ngược l ạ i cũng đ ú n g , cụ t h ể là ta có Đ ị n h l ý 2. Nếu ( X , n > 1) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc n lập và X —> n c h.c.c (khi n —> co) thì chuỗi oa Y^F(\X n - Ơ I >e) hội tụ với mọi £ > 0. Chứng minh. Đ ặ t An = ( | X n - C | > e) và chú ý rằng limA n c 125 (X n C).
T ừ đ ó , á p dụng B ổ đề Borel- Cantclli được điều phải chứng minh. Đ ị n h l ý 3. Nếu X n ^ X hoặc X n ^ X thì X n A X. Chứng minh. i) G i ả sử X n ——> X. K h i đ ó , với m ọ i £ > 0 lim P(sup \x m - x\> É) = 0. n + 0 ~ ° m > n M ặ t khác 0 < F(\x n - X I > e) < P(sup | X m - X I > e). m > Tì Nên lim P ( | X - X I > e) = 0 (Ve > 0). m n—'ÓC p Do đ ó X —> X k h i n —> oo. n n) Nếu x —+ X t h ì X —> X . T h ậ t vậy, á p dụng b á t n n đ ẳ n g thức Markov cho đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n \x — x\, ta có. n với với m ọ i £ > 0 r , E\x -X\n F(\x n - x\ > E) ^ ~^~ R - 0. Do đ ó X —>• X k h i n —> oo. Đó là điêu c â n chứng minh. n Đ ị n h l ý 4. Nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên ( X . n > 1) / l ộ i n íụ í/ieo x á c suối về đại lượng ngẫu nhiên X thì ( X , Tì > 1) n cũng hội tụ theo phân phối về X. Chứng minh. G i ả sử X € C(F); x' < X. V ậ y t h ì , do Xn^X (khi n o o ) . 126
Nên l i m F(X < x'. X., > xì < l i m Ỹ(\X n - X| > X - .r') = 0. n—>oc Tỉ—*oc Mặt khác F ( z ' ) = IFi.Y < x') ^ P ( A . < - P ( X < ,r'. A ^ x). SUY ra F ( x ' K Um ' „ { ; • ; 1VJ ĨTĩĩĨ7 ; (xì i íV;r" > x ) . Khi x' ' x: x" í T thì /"( ; ' ) và F{-JC") hội tụ về í- ( x ) (vì :r G cơ ' j * Ì' .. t ti c ó Fix) = li!,. F,(x) (Va: G C ( F ) ) . Tỉ — 'JC l ' . định 1' trên VÀ V i d ' 1 trước đó, ta tí:,:ý h ộ i tụ theo ; : . m ố i n ổ i chung .hực sự y ế u h ơ n h ộ i t ụ theo x á c suất. I ' . I h i ê n t r o n g I . P ' me i v ; p đ a i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n g i ớ i h ạ n là l i : . , ., sỏ t h i t a c ó Định l ý 5. .vếỉ' dãy đụi lượng ngẫu nhiên ( X , . n > 1) hói tụ ílic I •phân uhổi đến dụi lượng ngẫu nhiên X và F(X •— C) — Ì, í/.'? ( A ' „ . rí > 1) cvng hội tu theo xác suất đến X. ('hứng rin III'. Ta có ) nếu X ^ c /'•.vi.;') 1^ Ì nếu X > c. Ì •>•;
Do đ ó C(F )X = R\{C}. G i ả sử X n ^ X : k h i n - X i . Khi đó, V Ớ I Ve > 0 F(\x - x\> é) = P ( | X „ n - C| > £•) = Ì - P ( | X „ - C | < f ) = Ì - P(C - £ ^ x ^ c + é) n
{X , n > 1) hội tụ n h.c.c. Chứng minh. Đ ặ t ill = {LƠ : (X (u);n n > 1) hội t ụ } íì2 — {u) : (x (w);n > 1) cơ b ả n } . n K h i đó vì m ộ t dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là là d ã y cơ bản nên fi] — ỉ 2 - Do đó 2 ( A n , n > 1) hội t ụ h.c.c P(fii) = Ì o P(íĩ ) = Ì2 ( X . n > 1) cơ bản h.c.c. n Đó là điều cần chứng minh. Đ ị n h l ý 2. Dãy ( X , Tí > 1) là cơ bản h.c.c n khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thoa mãn i) l i m P( sup |Xfc - Xi\ > e) = 0 với mọi C > 0. ũ) l i m P(sup |Xfc - x | n > e) = 0 với mọi £ > 0. "--oe fc>„ Chứng minh. Ta có |Xjfc — X ; | ^ \Xk — x \ n + \Xi — X \.n Suy ra ( s u p | X - X „ | > e) c (sup \X -Xị\ f c k > é) c (sup | X f c - * n | > ị ) . L k>n k,l>n k>n Do đ ó (í) t ư ơ n g đ ư ơ n g (li). Ta sẽ chứng minh ( X , n > 1) cơ n bản h.c.c khi và chỉ khi thoa m ã n ( ỉ ) 129
Dặt CO A (e) - n ỊJ (\x - x,\ > Ị , _ k e) = (sup k,l>n \x - x \ k t > e). k,l=n K h i đó (A (e)) là dãy giảm và t ư ơ n g t ự n h ư định lý 2 của n mục trên, ta chứng minh được oe oe ( lim \x k - Xi\ = 0) - Pl u A„(1/777) k,l—>oo m = Ì rỉ=] Suy ra ( X , ra > 1) cơ bản h.c.c P(p| A . , ( l / / n ) ) = ') ÍT? — Ì n=l 77 — 1 o lim P ( A ( l / m ) ) n = 0 (Vmi «v lim F ( A ( ẽ r ) ) = 0 n Tỉ—-oe r? - - C v ớ i mọi £ > 0. Dó l à điều Can I hứng, nanh Đ ị n h lý 3. Nếu dãy ( X , rì > 1) cơ bân theo xác suất thì tồn n tại dãy con (X ,:k > 1) c ( A ' , n > 1) sao cho (Xn ; k > 1 ) n n k hội tụ h.c.c. Đe chứng minh định lý này, ta cần bố đề sau B ổ đ ề . Giả sử dãy (x , n > ì) c R. Khi đó nếu n . Ì Fn+1 - x | < n —, với mọi ri > no //ti (.;•„. n > 1) /à dãy cơ bản (do đó hội tụ). 130
Chứng minh. Thật vậy. v ớ i m ọ i £ > 0 tht tồn t ạ i U ] sao cho ~ T < e. L ấ y 7?. 2 = max(/"((). n i ) k i n đ ó v ớ i m ọ i n > n , v ớ i m ọ i p > 0 2 . Ì Ì Ì Ì - £ < n h • ••H n = — ^r- — 2 +p-i 2 2" Ì — - = jèra-è)
Ta có oe oe . u DO F(A) = l i m P( A) k < Jim V F(A ) k < Jim V = 0. k—m k=m k~m Do đ ó P(Z) = 1. M ặ t khác CO CO ì m=lfc= m nên nếu cư € A thì t ồ n t ạ i mo sao cho (I*n t + 1 -Xnj m . Theo bổ đề trên dãy ( X ( w ) ; fc > 1) h ộ i t ụ , 0 n ( t nên Ã c {cư : p f n j w ) ; fc > 1) hội t ụ } . Suy ra P(u> : ( X ( w ) ; f c > 1) hội t ụ ) = Ì, tức là (X ]k nfc > 1) nk hội t ụ h.c.c. Đó là điều cần chứng minh. Đ ị n h l ý 4. Dãy ( X , Tỉ > 1) / l ộ i íụ í/ieo xác suối n ưa chỉ khi dãy ( X , n > 1) cơ bản theo xác suất. n Chứng minh. Diều kiện cần: G i ả sử ( X , TI > 1) hội t ụ theo xác suất, n với m ọ i Ui 6 f ì ta có |X (cư) — X ( w ) | ^ \X (uj) — X(ui) \ + m n m \x {u) n - X{u>)\. Do đó (\x - x \ m n > e) C ( | X m - XI > | ) u (|X n - XI > ị ) . 132
Suy ra P(\x m - x\ n > e) ^ F(\x - x\ > ị) + F(\x - x\ > ị). m n Do ( X n , n > 1) h ộ i t ụ theo x á c suất n ô n t ừ b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t r ê n suy ra r ằ n g P ( | X m - X\ n > e) —» 0 k h i m , n —> oo. V ậ y ( X , rì > 1) cơ b ả n theo x á c s u ấ t . n Đ i ề u kiện đủ: G i ả sử ( X , Tỉ > 1) cơ b ả n t h e o x á c s u ấ t . K h i n đó theo đinh lý 3, tồn tại (A" J n c n > 1), Xn k -Ý(Ả- —> c o ) . V ớ i m ọ i e > 0, 0 ^ n\Xn - x\ > e) | ) + P(|X nk nt - XI > ĩ ) -> 0 r V ậ y À „ —+ À' k h i ri —> oe. Đ ị n h lý đ ư c chi'rng m i n h . T ừ h a i đ ị n h lý t r ê n , suy r a ngay h ộ q u ả sau đ â y Hệ q u ả . Nếu dãy ( X n , n > ì) hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con (Xn ;k k > 1) c ( X n , n> 1) sao cho ( X U k : k > 1) hội tụ h.c.c. Định l ý 5. Dãy ( X n , n > 1) hội tụ theo trung bình cấp p (p > u khi và chỉ khi dãy ( X , n > 1) cơ bản theo n trung bình cấp p. Chứng minh. D i n h lý n à y đ ư c r ú t r a ngay t ừ n h ậ n x é t r ằ n g sự h ộ i t ụ theo t r u n g b ì n h c ấ p p (p > 1) c h í n h l à s ự h ộ i t ụ t r o n g k h ô n g g i a n B a n a c h Cp. 133