Giáo trình xác suất thống kê

Chia sẻ: huuthanh_cnk7

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn xác suất thống kê - Giáo trình xác suất thống kê.rong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản của xác suất thống kê để giúp các bạn có thể làm quen với các bài học về xác suất trong chương trình...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Giáo trình xác suất thống kê

Giáo trình xác suất thống kê
Chuong 1
’’

˜’ ´ ˆ ’ ’ `
ˆ ´ ˆ
´
NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT
.

1. ’ ` ’
BO TUC VE GIAI T´
ˆ ´ ˆ ’
ˆ .’
ICH TO HOP

1.1 ´
˘
Qui tac nhˆn
a
’ ’’ o o
Gia su mˆt cˆng viˆc n`o do duoc chia th`nh k giai doan. C´ n1 c´ch thuc hiˆn giai
. e a ¯´ ¯ ’ .’
. a ¯ . o a .’ e
.
¯ . ´ a
’ ´ a .’ e
. ¯ . ´’ a ’
. e
. ¯ . ´
doan thu nhˆt, n2 c´ch thuc hiˆn giai doan thu hai,...,nk c´ch thuc hiˆn giai doan thu

k. Khi do ta c´
¯´ o
n = n1 .n2 . . . nk
c´ch thuc hiˆn cˆng viˆc.
a .’ e o
. e
.

• V´ du 1 Gia su dˆ’ di tu A dˆn C ta bat buˆc phai di qua diˆ’m B. C´ 3 duong kh´c
ı . ’ ’’ ¯e ¯ ` ¯e
’ ´ ´
˘ o
. ’ ¯ ¯e o ¯ ’` ’ a
’ di tu A dˆn B v` c´ 2 duong kh´c nhau dˆ’ di tu B dˆn C. Vˆy c´ n = 3.2 c´ch
nhau dˆ ¯ ` ¯e
¯e ’ ´ a o ¯ ’`’ a ¯e ¯ ` ¯e’ ´ a o
. a
’ di tu A dˆn C.
kh´c nhau dˆ ¯ ’
a ¯e ` ¯e ´


A B C



1.2 ’
Chinh hop

.
˜ ’ .’ a
. ’ a ’’
` a o. o o o ´ .’
2 ¯ inh nghia 1 Chinh hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m (bˆ) c´ thu tu
D. . ’
o ` ’’ a
a . ’ a` ’’ ¯˜
` k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho.
gˆm `
´ .’ a
. ’ a ’’ ı e a n
`
Sˆ chinh hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Ak .
o ’ .

´ ınh: n!
Cˆng thuc t´
o ’ Ak =
n = n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(n − k)!

’ ` ’` ’ o a a´ ’ .
• V´ du 2 Mˆt buoi hop gˆm 12 nguoi tham du. Hoi c´ mˆy c´ch chon mˆt chu toa
ı . o ˆ . o ’ o
. .’ . .
v` mˆt thu k´?
a o . ’ y

Giai
˜
o a o ’ . ’ y ` ’` ’
Mˆi c´ch chon mˆt chu toa v` mˆt thu k´ tu 12 nguoi tham du buˆi hop l` mˆt
a o
. . . ’ ’ .’ o . a o .
’ ’ a ’’
`
chinh hop chˆp k cua 12 phˆn tu.
.’ a
.

1
2 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a



´
Do d´ sˆ c´ch chon l` A2 = 12.11 = 132.
¯o o a . a 12
´ a ’ ´
˜ o o e’ a ¯ ’.’ ´ `
• V´ du 3 Voi c´c chu sˆ 0,1,2,3,4,5 c´ thˆ lˆp duoc bao nhiˆu sˆ kh´c nhau gˆm 4
ı . ’ . e o a o
’ ´
˜ o
chu sˆ.

Giai
´ ´ ` `
a o ˘ ¯a ˘ ’ ´
˜ o ’ a o o´ ` ’ ´
˜ o
C´c sˆ bat dˆu bang chu sˆ 0 (0123, 0234,...) khˆng phai l` sˆ gˆm 4 chu sˆ.
o
’ ´ ` e
˜ o ¯a ’ ’ ´
˜ o ’ ´
˜ o
Chu sˆ dˆu tiˆn phai chon trong c´c chu sˆ 1,2,3,4,5. Do do c´ 5 c´ch chon chu sˆ
. a ¯´ o a .
¯a`
dˆu tiˆn.
e
Ba chu sˆ kˆ tiˆp c´ thˆ’ chon t`y y trong 5 chu sˆ c`n lai. C´ A3 c´ch chon.
’ ´ ´ ´
˜ o e e o e . u ´ ’ ´
˜ o o . o 5 a .
. ´
Vˆy sˆ c´ch chon l` 5.A3 = 5.(5.4.3) = 300
a o a . a 5


1.3 ’
Chinh hop l˘p
. a
’ .
D. ˜ ’ .’ a. a
. ’ a ’’ a o
` . o o ´ .’ o
2 ¯ inh nghia 2 Chinh hop l˘p chˆp k cua n phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm k
’ `
a ’’ . `
` ’ a ’’ ¯˜
` ¯o o ˜ a ’’ o e
` ’ c´ m˘t 1,2,...,k lˆn trong
phˆn tu chon tu n phˆn tu da cho, trong d´ mˆi phˆn tu c´ thˆ o a . a`
nh´m.
o
´
o ’ ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e
` k
Sˆ chinh hop l˘p ch˘p k cua n phˆn tu duoc k´ hiˆu Bn .
.’ a. a
. .
o ´ ınh
Cˆng thuc t´

k
Bn = nk
´
e ´
o a a a ’ o e a ´
• V´ du 4 Xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n. Hoi c´ bao nhiˆu c´ch xˆp ?
ı . e

Giai
˜ ´ ´
o a a a a o . ’ .’ a. a
. ’ ˜ `
Mˆi c´ch xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n l` mˆt chinh hop l˘p chˆp 5 cua 3 (Mˆi lˆn
o a e o a
´ ´ a ’ . a a o ´
xˆp 1 cuˆn s´ch v`o 1 ng˘n xem nhu chon 1 ng˘n trong 3 ng˘n. Do c´ 5 cuˆn s´ch nˆn
e o a a o a e
. . a ¯ ’ .’ e´ h`nh 5 lˆn).
viˆc chon ng˘n duoc tiˆn a
e a`
´
a o a
. ´
Vˆy sˆ c´ch xˆp l` B3 = 35 = 243.
e a 5

1.4 Ho´n vi
a .
˜ a . ’ a ’’ a o
` o ´ .’ o ¯’ a
` `
2 ¯ inh nghia 3 Ho´n vi cua m phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm du m˘t m phˆn
D. . o ’ . a
’’ da cho.
tu ¯˜
´
o a . ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e a
`
Sˆ ho´n vi cua m phˆn tu duoc k´ hiˆu l` Pm .
.
o ´ ınh
Cˆng thuc t´

Pm = m!
ı . o a o
. . ’ o a a´ ´
e ˜ `
• V´ du 5 Mˆt b`n c´ 4 hoc sinh. Hoi c´ mˆy c´ch xˆp chˆ ngˆi ?
o o

Giai
˜
o a ´
e ˜
o ’ . ’’ o a a o
. . a . ’ a ’’
` ´
Mˆi c´ch xˆp chˆ cua 4 hoc sinh o mˆt b`n l` mˆt ho´n vi cua 4 phˆn tu. Do d´ sˆ
¯o o
a ´
c´ch xˆp l` P4 = 4! = 24.
e a
’ `
e ’ ıch o .’’
1. Bˆ t´ c vˆ giai t´ tˆ hop
o u 3



1.5 ’ ’
Tˆ hop
o .
D. ˜ ’
o .’ a. ’ a ’’
`
2 ¯ inh nghia 4 Tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m khˆng phˆn biˆt
a o
. o o a e
.
´ tu, gˆm k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho.
thu .’ o
’ ` a` ’’ a . `’ a` ’’ ¯˜
´ ’ ’ a ’’ ı e a k
`
Sˆ tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Cn .
o o .’ a
. .
o ´ ınh
Cˆng thuc t´


k n! n(n − 1) . . . (n − k + 1)
Cn = =
k!(n − k)! k!
Ch´ y

’´
i) Qui uoc 0! = 1.

k n−k
ii) Cn = Cn .
k k−1 k
iii) Cn = Cn−1 + Cn−1 .
ı . ˜
o ¯e` o` a ´
’ a a ’ ’´ ’ o e’ a
• V´ du 6 Mˆi dˆ thi gˆm 3 cˆu hoi lˆy trong 25 cˆu hoi cho truoc. Hoi c´ thˆ lˆp
’ .
e e ¯e `
nˆn bao nhiˆu dˆ thi kh´c nhau ?
a

Giai
25! 25.24.23
Sˆ dˆ thi c´ thˆ’ lˆp nˆn l` C25
´
o ¯e` o e a e a 3
. = = = 2.300.
3!.(22)! 1.2.3
ı . o a ı
. o o’ ’ ’’ . o ` ¯ e’ a y o o
˜ ’ ´ ˜ ’
• V´ du 7 Mˆt m´y t´nh c´ 16 cˆng. Gia su tai mˆi thoi diˆm bˆt k` mˆi cˆng ho˘c a
.
trong su dung ho˘c khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng ho˘c khˆng thˆ hoat
’’ . a
. o ’’ . ’ o e . ¯o . a
. o e’ .
. ’ o e a ı´ a . ¯o o’ ’’ .
dˆng. Hoi c´ bao nhiˆu cˆu h`nh (c´ch chon) trong d´ 10 cˆng trong su dung, 4 khˆng
¯o o
’’ dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng v` 2 khˆng hoat dˆng?
trong su . ’ o e . ¯o . a o . ¯o
.

Giai
De’ a ¯i ´ ’´
¯ ˆ x´c d.nh sˆ c´ch chon ta qua 3 buoc:
o a . ’
’´ ’ ’’ . o 10
Buoc 1: Chon 10 cˆng su dung: c´ C16 = 8008 c´ch.
’ . o a

Buoc 2: Chon 4 cˆng khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dong trong 6 cˆng c`n
’´
’ . o’ o ’’ . ’ o e . ¯ˆ . o’ o
4
lai: c´ C6 = 15 c´ch.
. o a

Buoc 3: Chon 2 cˆng khˆng thˆ’ hoat dˆng: c´ C2 = 1 c´ch.
’´
’ . o’ o e . ¯o . o 2 a

´
˘ o 10 4 2
Theo qui tac nhˆn, ta c´ C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ch.
a a

1.6 ´
Nhi thuc Newton
. ’
’’ o o
’ ´
¯˜ e a ˘ ¯˘ ` ’ ´ ¯a ´
O phˆ thˆng ta da biˆt c´c hang dang thuc d´ng nho
’ ’

a + b = a 1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3

. ´
a e o `
a ˘ ¯˘ ’
C´c hˆ sˆ trong c´c hang dang thuc trˆn c´ thˆ’ x´c d.nh tu tam gi´c Pascal
´ e o e a ¯i
’ `
’ a
4 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

0 1 2 3 4 n−1 n
Cn Cn Cn Cn Cn ... Cn Cn

¯˜ ´ ’ ’
´ o . ´
Newton da chung minh duoc cˆng thuc tˆng qu´t sau (Nhi thuc Newton):
’ ¯ ’ .’ o a ’
n
(a + b)n = Cn an−k bk
k

k=o
= Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn abn−1 + Cn bn
0 1 2 k n−1 n



´
a a o .’ ´
(a,b l` c´c sˆ thuc; n l` sˆ tu nhiˆn)
a o .’ e


2. ´
ˆ ´
ˆ ` ˆ ˜’ ´ ´
ˆ ´
ˆ
BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO
.
2.1 ’ a e o´ ´
Ph´p thu v` biˆn cˆ
e ’
Viˆc thuc hiˆn mˆt nh´m c´c diˆu kiˆn co ban dˆ’ quan s´t mˆt hiˆn tuong n`o do
e
. .’ e
. o
. o a ¯ e` e . ’ ’ ¯e a o
. e
. ’ .’ a ¯´
’’ C´c kˆt qua c´ thˆ’ xay ra cua ph´p thu duoc goi l` biˆn cˆ (su
duoc goi mˆt ph´p thu. a e
¯ ’ .’ . o
. e ´ ’ o e ’ ’ e ´ ´
’’ ¯ ’ .’ . a e o .’
kiˆn).
e
.

• V´ du 8
ı .
` e` e a o ’’ Do` e` a a a ¯o a ´ ’’ a o
i) Tung dˆng tiˆn lˆn l` mˆt ph´p thu. ¯ ˆng tiˆn lˆt m˘t n`o d´ (xˆp, ngua) l` mˆt
¯o . e . . .
´ ´
biˆn cˆ.
e o
´
˘ o
. a u a o a
. a o. e ’’
ii) Ban mˆt ph´t s´ng v`o mˆt c´i bia l` mˆt ph´p thu. Viˆc viˆn dan tr´ng (trˆt)
e
. e ¯. u a
.
´n cˆ.
bia l` mˆt biˆ o
a o e
. ´


2.2 a ´ ´
e o a e ˜ a
. ’ ´ ´
C´c biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ
e o

i) Quan hˆ k´o theo
e e
.
´ ´
e o ¯ ’ .’ . a e ´ ´
e o ı e . ´
e ’ ı ’
Biˆn cˆ A duoc goi l` k´o theo biˆn cˆ B, k´ hiˆu A ⊂ B, nˆu A xay ra th` B xay
ra.
ii) Quan hˆ tuong duong
e ’’
. ¯’’
´ ´ a ¯ ’ .’ . a ’ ’ ¯ ’ ’ ´’ ´
Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` tuong duong voi nhau nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A, k´ hiˆu
e o e a ı e .
A = B.
´ ´ ´
iii) Biˆn cˆ so cˆp
e o ’ a
Biˆn cˆ so cˆp l` biˆn cˆ khˆng thˆ’ phˆn t´ duoc nua duoc nua.
´ ´ ´
e o ’ a a e o o ´ ´ e a ıch ¯ ’ .’ ˜ ¯ ’ .’
’ ’
´ ´ ´
e o ˘ ´
˘
iv) Biˆn cˆ chac chan
´ ´ ´ e ’ .’ e
. e ’’ ı e
L` biˆn cˆ nhˆt d.nh s˜ xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu Ω.
a e o a ¯i .
´ o a
´ e ˜ a ´ o ´
2. Biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ
e . ’ e 5



u ˘ ´ ´ ´ . ´
u ˘ o o a ´ ´ e ’
• V´ du 9 Tung mˆt con x´c xac. Biˆn cˆ m˘t con x´c xac c´ sˆ chˆm b´ hon 7 l`
ı . o
. e o a a
biˆ ˆ
e ´ ˘ ´ ´
´n co chac chan.
˘
´ ´ o
v) Biˆn cˆ khˆng thˆ
e o e’
´ ´ ´ o ’ .’ e
. e ’’ ı e
L` biˆn cˆ nhˆt d.nh khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu ∅.
a e o a ¯i .

⊕ Nhˆn x´t Biˆn cˆ khˆng thˆ’ ∅ khˆng bao h`m mˆt biˆn cˆ so cˆp n`o, nghia l`
a
. e ´ ´
e o o e o a o
. ´ ´ ´ a
e o ’ a ˜ a
o o e ´ cˆ so cˆp n`o thuˆn loi cho biˆn cˆ khˆng thˆ’.
´ ’ a a
khˆng c´ biˆn o ´ a .’
. e o ´ o e


´ ´ a ˜
vi) Biˆn cˆ ngˆu nhiˆn
e o e
L` biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra ho˘c khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. Ph´p thu m`
´ ´
a e o o e ’ a
. o ’ .’ e
. e ’’ e ’’ a
´ ’ ’ ´ ´ ˜ ’’ a˜
c´c kˆt qua cua n´ l` c´c biˆn cˆ ngˆu nhiˆn duoc goi l` ph´p thu ngˆu nhiˆn.
a e o a a e o a e ¯ ’ .’ . a e e
´ ´ ’
vii) Biˆn cˆ tˆng
e o o
´ ´ ’ ’ ´ ´ ´ ’
Biˆn cˆ C duoc goi l` tˆng cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu C = A + B, nˆu C xay
e o ¯ ’ .’ . a o e o a ı e. e
a ıt a´ o . ´ ´
ra khi v` chi’ khi ´ nhˆt mˆt trong hai biˆn cˆ A v` B xay ra.
e o a ’

ı . ’` .’ a u
’ ´
˘ a o
. u e .´ a e o´ ´ ’`
• V´ du 10 Hai nguoi tho s˘n c`ng ban v`o mˆt con th´. Nˆu goi A l` biˆn cˆ nguoi ’
thu ˆ
’ ´ ˘ ´ u u a a e ´ o ´ ’` ´’ ’ ´ u
´ nhat ban tr´ng con th´ v` B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban tr´ng con th´ th` C = A+B
˘ u ı
l` biˆ o
a e ´ u . ˘´
´n cˆ con th´ bi ban tr´ng.
u

Ch´ y

i) Moi biˆn cˆ ngˆu nhiˆn A dˆu biˆ’u diˆn duoc duoi dang tˆng cua mˆt sˆ biˆn cˆ
. ´ ´ ˜
e o a e ¯e` e ˜
e ¯ ’ .’ ’´ .
’ o’ ’ . ´ ´ ´
o o e o
´
’ a a ¯´ a ´ ´
e o ’ a ´ o’ a ¯ ’ .’ . a a ´ ´
so cˆp n`o do. C´c biˆn cˆ so cˆp trong tˆng n`y duoc goi l` c´c biˆn cˆ thuˆn loi cho
e o a .’
.
´ cˆ A.
biˆn o
e ´

ii) Biˆn cˆ chac chan Ω l` tˆng cua moi biˆn cˆ so cˆp c´ thˆ’, nghia l` moi biˆn cˆ
´ ´ ´
e o ˘ ´
˘ a o ’ ’ . ´ ´ ´
e o ’ a o e ˜ a . ´ ´
e o
´
’ a ¯e` a .’
. ¯´ o ¯ ’ .’ . a o a ´ ´
so cˆp dˆu thuˆn loi cho Ω. Do do Ω c`n duoc goi l` khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp.
e o ’ a ´

ı . o. u ˘ ´ o ´ ´
e o ’ a ´
• V´ du 11 Tung mˆt con x´c xac. Ta c´ 6 biˆn cˆ so cˆp A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong
a e ´n cˆ xu´t hiˆn m˘t j chˆm j = 1, 2, . . . , 6.
d´ Aj l` biˆ o
¯o ´ a e . a
. ´
a

. ´ ´ ´ e . a ´ o a
. ’ ´ ´ ˜
˘ ı o ´ ´
Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chan th` A c´ 3 biˆn cˆ thuˆn loi l`
a e o a e o a .’ a
.
A2 , A 4 , A 6 .
Ta c´ A = A2 + A4 + A6
o
. ´ ´ ´ . a ´ o a
. ’ ´ ´ ´
e ı o ´ ´
Goi B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chia hˆt cho 3 th` B c´ 2 biˆn cˆ thuˆn
a e o a e e o a
.
loi l` A3 , A6 .
.’ a
Ta c´ B = A3 + A6
o
´ ´
viii) Biˆn cˆ t´
e o ıch
´ ´
e o ¯ ’ .’ . a ıch ’ ´ ´
e o a ı e . ´
e ’
Biˆn cˆ C duoc goi l` t´ cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu AB, nˆu C xay ra khi v`
a
˜
chi’ khi ca A lˆn B c`ng xay ra.
’ a u ’
6 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a



ı . ’` u
’ ´
˘ a
• V´ du 12 Hai nguoi c`ng ban v`o mˆt con th´.
o
. u
´ ´ ’` ’ ´ ´
’ ´ a ˘ ´ ´ ’` ’ ´ ´
˘
Goi A l` biˆn cˆ nguoi thu nhˆt ban truot, B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban truot th`
. a e o ’.’ a e o ’ ’.’ ı
C = AB l` biˆn o
a e ´ u o . ˘´
´ cˆ con th´ khˆng bi ban tr´ng.
u
´ ´ .
ix) Biˆn cˆ hiˆu
e o e

. ´ ´
e o ´ ´
a e o ı e . ´ ´
Hiˆu cua biˆn cˆ A v` biˆn cˆ B, k´ hiˆu A \ B l` biˆn cˆ xay ra khi v` chi’ khi A
e ’ a e o ’ a
’ ’
xay ra nhung B khˆng xay ra.
’ o
´ ´ ´
˘
x) Biˆn cˆ xung khac
e o
´ ´ ´ ´ ´ ´
˘ e ` `
Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ xung khac nˆu ch´ng khˆng dˆng thoi
e o a ¯ ’ .’ . a e o u o ¯o ’
’ o
. e ’’
xay ra trong mˆt ph´p thu.


ı . o ¯o
. ` e`
• V´ du 13 Tung mˆt dˆng tiˆn.

. ´ ´ ´ . . ´
a a ´ ´ ´ .
a e o a e a
. ’’
Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t xˆp, B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t ngua th` AB = ∅.
a e o a e ı
´ ´ ´ .
xi) Biˆn cˆ dˆi lˆp
e o ¯o a
´ ´
e o o ’ e o ¯ ’ .’ . a e o ¯o a ´ e o
´ ´ ´ ´ ´ . ’ ´ ´
Biˆn cˆ khˆng xay ra biˆn cˆ A duoc goi l` biˆn cˆ dˆi lˆp voi biˆn cˆ A. K´ hiˆu A.
ı e .
Ta c´
o

A + A = Ω, AA = ∅


⊕ Nhˆn x´t
a
. e

. e ´
a a ´ ´ ’
e o o ´ .
ıch, e ¯o a
. ’’ ´
Qua c´c kh´i niˆm trˆn ta thˆy c´c biˆn cˆ tˆng, t´ hiˆu, dˆi lˆp tuong ung voi
a a e ’ ´’
. .’ . ` b` cua l´ thuyˆt tˆp hop. Do d´ ta c´ thˆ’ su dung c´c ph´p
tˆp hop, giao, hiˆu, phˆn u
a e a ’ y ´ a
e . .’ ¯o o e ’’ . a e
e a a . .’ a e a e a ´ ´
to´n trˆn c´c tˆp hop cho c´c ph´p to´n trˆn c´c biˆn cˆ.
a e o

Ta c´ thˆ’ d`ng biˆ’u dˆ Venn dˆ’ miˆu ta c´c biˆn cˆ.
o e u e ¯o ` ¯e e ’ a ´ ´
e o

Ω Ω Ω




´
˘ ´
˘
Bc chac chan A+B AB

Ω Ω Ω
A B A B A A


A=⇒B ´
˘
A,B xung khac ´ .
¯ ˆi lˆp A
Do a
´
3. X´c suˆt
a a 7



3. ´ ´
ˆ
XAC SUAT

3.1 ˜ a ´ ´ ’ ’
¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆn
D. a o o ¯e
2 ¯ inh nghia 5 Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong d´
D. ˜ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯o
c´ m biˆ o
o e ´ ¯o` ’ a a .’
. e´ o ´ a o’
´n cˆ dˆng kha n˘ng thuˆn loi cho biˆn cˆ A (A l` tˆng cua m biˆn cˆ so cˆp
’ e´ o ’ a
´ ´
a ¯o a ´
a ’ ´ ´
e o ı e. ¯ ’.’ ¯i ˜ ˘` o ´
n`y). Khi d´ x´c suˆt cua biˆn cˆ A, k´ hiˆu P (A) duoc d. nh nghia bang cˆng thuc sau:


m ´
o ’`
Sˆ truong hop thuˆn loi cho A
’ .’ a .’
.
P (A) = =
n ` ’
´ truong hop c´ thˆ xay ra
Sˆ ’ ’
o .’ o e ’


o
. ´
u ˘ a ¯o ¯o ´ ` ´
a ınh a ´
a ´ e
• V´ du 14 Gieo mˆt con x´c xac cˆn dˆi, dˆng chˆt. T´ x´c suˆt xuˆt hiˆn m˘t
ı . a . a
.
˜
˘
chan.

Giai

. ´ ´ ´ e
a e o a . a
. ´
a a ´ ´ ´ e
a e o a . a
. ˜
˘
Goi Ai l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t i chˆm v` A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t chan th`
ı

A = A2 + A4 + A6

Ta thˆy ph´p thu c´ 6 biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong d´ c´ 3
´
a e ’’ o ´ ´
e o ’ a ¯o´ ` ’ a o e ’ ¯o o
´ ´
biˆn cˆ thuˆn loi cho A.
e o a .’
.
3 1
P (A) = =
6 2

ı . o
. ’` . ¯ e
’ . . ’ . e ´ ´
o o ’ o ¯e ´ . . a `
• V´ du 15 Mˆt nguoi goi diˆn thoai nhung lai quˆn 2 sˆ cuˆi cua sˆ diˆn thoai cˆn
. ´ a
’ ´ ım a ´
goi m` chi’ nho l` 2 sˆ d´ kh´c nhau. T` x´c suˆt dˆ
a o ¯o a a ¯e ’ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt
’` ¯o
’ ˜
a e o.
lˆn u
a o´ a .
` tr´ng sˆ cˆn goi.
`

Giai

. ´ ´ ’` ¯o ’ ˜
a e . ` u
o a ´ `
Goi A l` biˆn cˆ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt lˆn tr´ng sˆ cˆn goi.
a e o o a .
Sˆ biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra (sˆ c´ch goi 2 sˆ cuˆi) l` n = A2 = 90.
´ ´ ´
o e o ’ a ¯o ´ ` ’ a o e ’ ´
o a . ´ ´
o o a 10

´ ´ ´
Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` m = 1.
o e o a .’
. a
1
Vˆy P (A) =
a
. 90
.

• V´ du 16 Trong hˆp c´ 6 bi trang, 4 bi den. T` x´c suˆt dˆ’ lˆy tu hˆp ra duoc
ı . o o
. ´
˘ ¯ ım a ´ ´ ’ .
a ¯e a ` o ¯ ’.’
i) 1 viˆn bi den.
e ¯
´
˘
ii) 2 viˆn bi trang.
e

Giai

. ´ ´ ´ ’ .
a e o a ` o ¯ ’ .’ e ¯ a ´ ´ ´ ’ .
a e o a ` o
Goi A l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra duoc 1 viˆn bi den v` B l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra 2
´ng.
˘
viˆn bi tra
e
Ta c´
o
8 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a


1
C4 2
i) P (A) = 1
=
C10 5
2
C6 1
ii) P (B) = 2 =
C10 3

u ˜
a ’ . ˜
e ` o o a u ’ ’ a a ım a ´
• V´ du 17 R´t ngˆu nhiˆn tu mˆt cˆ b`i t´ lo kho 52 l´ ra 5 l´. T` x´c suˆt sao
ı . a
cho trong 5 l´ r´t ra c´
a u o
a ¯’ a a ¯
a) 3 l´ do v` 2 l´ den.
’ o o`
b) 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn.

Giai

. ´ ´
a e o u ¯ ’ .’ a ¯’ a a ¯
Goi A l` biˆn cˆ r´t ra duoc 3 l´ do v` 2 l´ den.
a e ´ cˆ r´t ra duoc 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn.
B l` biˆn o´ u ¯ ’ .’ ’ o o`

Sˆ biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra khi r´t 5 l´ b`i l` C52 .
´ ´ ´
o e o o e ’ u a a a 5
´ ´ ´
o e o a .’
. a 3 2
a) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` C26 .C26 .
3 2
C26 .C26 845000
P (A) = 5
= = 0, 3251
C52 2598960

´ ´ ´
o e o a .’
. a 2 1 2
b) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho B l` C13 .C13 .C13
2 1 2
C13 .C13 .C13 79092
P (B) = 5
= = 0, 30432
C52 2598960

ı . a a a o
. o o` ’`’ ım a a ¯e’ o ıt
´
• V´ du 18 (B`i to´n ng`y sinh) Mˆt nh´m gˆn n nguoi. T` x´c suˆt dˆ c´ ´
´t hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh (c`ng ng`y v` c`ng th´ng).
nhˆ
a ` o u
’’ a u a a u a

Giai
Goi S l` tˆp hop c´c danh s´ch ng`y sinh c´ thˆ’ cua n nguoi v` E l` biˆn cˆ c´ ´
. a a . .’ a a a o e ’ ’` a
’ ´ ´
a e o o ıt
´ ’`
nhˆt hai nguoi trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh trong n˘m.
a ’ o o u a a
´ ´
a e o o o ’ ´
’` a y
Ta c´ E l` biˆn cˆ khˆng c´ hai nguoi bˆt k` trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh.
o o o u a
´ ’` .’ ’
Sˆ c´c truong hop cua S l`
o a ’ a

n(S) = 365.365 . . . 365 = 365n
n


´
o ’`
Sˆ truong hop thuˆn loi cho E l`
’ .’ a .’
. a

n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
[365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)!
=
(365 − n)!
365!
= (365−n)!
´
3. X´c suˆt
a a 9



ı a ´ `
e o ¯o ’ a
V` c´c biˆn cˆ dˆng kha n˘ng nˆn
e
365!
n(E) (365−n)! 365!
P (E) = = n
= n .(365 − n)!
n(S) 365 365
Do d´ x´c suˆt dˆ’ ´ nhˆt c´ hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh l`
¯o a ´
a ¯e ıt a o´ ’` o u
’ a a
365!
(365−n)! 365!
P (E) = 1 − P (E) = 1 − =
365n 365n .(365 − n)!
´ ’`
Sˆ nguoi trong nh´m
o ’ o ´ ´ ’` o u
X´c suˆt c´ ´ nhˆt 2 nguoi c´ c`ng ng`y sinh
a a o ıt a ’ a
n P (E)
5 0,027
10 0,117
15 0,253
20 0,411
23 0,507
30 0,706
40 0,891
50 0,970
60 0,994
70 0,999

Bang b`i to´n ng`y sinh
a a a

Ch´ y ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n c´ mˆt sˆ han chˆ:
u ´ D. ˜ a ´
a ´ ’
o o ¯e o o o . . ´ ´
e
o e . ’ ´ ´
e o ’ a ´
i) N´ chi’ x´t cho hˆ huu han c´c biˆn cˆ so cˆp.
e ˜ . a
’ u a ` ’ a ’
ii) Khˆng phai l´c n`o viˆc ”¯ˆng kha n˘ng” c˜ng xay ra.
o e do
. u

3.2 ˜ a ´ ´ ´
¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ
D. a o o e
D. ˜ .’ e
. e ’’ a` ´ ´
’ ’’ e o ´ e
a . a`
2 ¯ inh nghia 6 Thuc hiˆn ph´p thu n lˆn. Gia su biˆn cˆ A xuˆt hiˆn m lˆn. Khi
` ´
¯ ’.’ . a a o ’ ´ ´
e o a ’ o´ ¯ ’.’ . a a
m ` ´ ´ . ´
d´ m duoc goi l` tˆn sˆ cua biˆn cˆ A v` ty sˆ n duoc goi l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn
¯o a a e e
´
cˆ A trong loat ph´p thu.
o . e ’’
´
o e ’’ a e o . a` ´
a ´ e
a . ´ ´
e o ` . ´
a e` o o a
Cho sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han, tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A dˆn vˆ mˆt sˆ x´c
´
a ’ ´ ´
d. nh goi l` x´c suˆt cua biˆn cˆ A.
¯i . a a e o
m
P (A) = n→∞
lim
n


. ´ e ¯. a o a´
• V´ du 19 Mˆt xa thu ban 1000 viˆn dan v`o bia. C´ xˆp xi’ 50 viˆn tr´ng bia. Khi
ı . o . ’ ˘ e u
¯o a a ’ . ’ ˘ ´
´t dˆ xa thu ban tr´ng bia l` 50 = 5%.
d´ x´c suˆ ¯e u a 1000

• V´ du 20 ¯ ˆ’ nghiˆn cuu kha n˘ng xuˆt hiˆn m˘t sˆp khi tung mˆt dˆng tiˆn, nguoi
ı . De e ´ ’ ’ a ´ .
a e . ´
a a o ¯o
. ` e` ’`

´
e a ¯o` e` e` a a
` ¯ ’.’ e´ ’ ’’ ’ ´ ¯a
ta tiˆn h`nh tung dˆng tiˆn nhiˆu lˆn v` thu duoc kˆt qua cho o bang duoi dˆy:
’’
10 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a

’` a ´ ` ´ ` `
Nguoi l`m Sˆ lˆn Sˆ lˆn duoc Tˆn suˆt
’ o a o a ¯ ’ .’ a ´
a
th´ nghiˆm tung
ı e
. . ´
m˘t sˆp
a a f (A)
Buyffon 4040 2.048 0,5069
Pearson 12.000 6.019 0,5016
Pearson 24.000 12.012 0,5005

3.3 ˜ a ´ ’
¯ inh nghia x´c suˆt theo quan diˆm h` hoc
D. a ¯e ınh .
D. ˜ e o . e ’’ o o a ´ ´
e o ’ a ´ ¯ ’.’ e’ ˜
2 ¯ inh nghia 7 X´t mˆt ph´p thu c´ khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp Ω duoc biˆu diˆn
e
boi miˆn h`nh hoc Ω c´ dˆ do (¯ˆ d`i, diˆn t´ch, thˆ’ t´
’’ `
e ı . o ¯o ¯ do a
. . e ı
. ˜ . ´ ´
e ıch) huu han kh´c 0, biˆn cˆ A
’ a e o
duoc biˆ’u diˆn boi miˆn h` hoc A. Khi do x´c suˆt cua biˆn cˆ A duoc x´c d. nh boi:
¯ ’.’ e ˜
e ’’ `
e ınh . ¯´ a ´
a ’ ´ ´ ¯ ’.’ a ¯i
e o ’’


o ¯ ’ e`
Dˆ do cua miˆn A
P (A) = ¯ .
Do ¯ ’ `
¯ ˆ do cua miˆn Ω
. e



e ¯ . ’
˘ a˜ e ¯ e’
• V´ du 21 Trˆn doan thang OA ta gieo ngˆu nhiˆn hai diˆm B v` C c´ toa dˆ tuong
ı . a o . ¯o ’ ’
.
ung
’ ı a ´
´ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`m x´c suˆt sao cho dˆ d`i cua doan BC b´ hon dˆ
a ¯o a
. ’ ¯ . e ’ ¯o .
a ’ ¯ .
d`i cua doan OB.

Giai
’ ’’ ’
Gia su OA = l. C´c toa dˆ x v` y phai
a . ¯o a y
.
’ a a ¯ e` e
thoa m˜n c´c diˆu kiˆn:
. I M
Q
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x (*) y=2x

Biˆ’u diˆn x v` y lˆn hˆ truc toa do vuˆng
e ˜
e a e e . . ¯ˆ o
. .
g´c. C´c diˆ
o a ¯e ’m c´ toa do thoa m˜n (*) thuˆc
o . ¯ˆ ’ . a o
.
tam gi´c OM Q (c´ thˆ
a o e ’ xem nhu biˆn cˆ chac
’ e ´ ´
´ o ˘
˘´
chan). O x
M˘t kh´c, theo yˆu cˆu b`i to´n ta phai c´ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung diˆ’m
a
. a `
e a a a ’ o ˜ ¯e

o . ¯ˆ ’
. a a o
. e` o . e` a .’
. ´ cˆ cˆn t`
e ´ a ım
c´ toa do thoa m˜n (*) v` (**) thuˆc miˆn c´ gach. Miˆn thuˆn loi cho biˆn o `
a a a
. ´ `
l` tam gi´c OM I. Vˆy x´c suˆt cˆn t´
a a a ınh
diˆn t´ OM I
e ıch
. 1
p= =
diˆn t´ OM Q
e ıch
. 2

a a `
• V´ du 22 (B`i to´n hai nguoi g˘p nhau)
ı . ’’ a
.
Hai nguoi hen g˘p nhau o mˆt d. a dıˆ’m x´c d. nh v`o khoang tu 19 gio dˆn 20 gio.
’` . a
’ . ’’ o ¯i ¯ e
. a ¯i a ’ `’ ’ ´
` ¯e ` ’
Mˆi nguoi dˆn (chac chan s˜ dˆn) diˆ’m hen trong khoang thoi gian trˆn mˆt c´ch dˆc
˜
o ’ ’ ´
` ¯e ´
˘ ´ ´
˘ e ¯e ¯ e . ’ `’ e o a ¯o
. .
a ´
. ’ `’ u ´
e o a´ ’`
’ ´
¯e e ’ ¯
lˆp voi nhau, cho trong 20 ph´t, nˆu khˆng thˆy nguoi kia dˆn s˜ bo di. T` x´c suˆt
ım a a´
¯e’ ’` a
dˆ hai nguoi g˘p nhau.
’ .
´
3. X´c suˆt
a a 11



Giai
Goi x, y l` thoi gian dˆn diˆ’m hen cua mˆi nguoi
. a ` ’ ´
¯e ¯ e . ’ ˜
o ’`’
a a e ´ cˆ hai nguoi g˘p nhau. R˜ r`ng x, y
v` A l` biˆn o ´ ’` a
’ . o a
l` mˆt diˆ’m ngˆu nhiˆn trong khoang [19, 20], ta
a o ¯e
. a˜ e ’
y
c´ 19 ≤ x ≤ 20;
o
19 ≤ y ≤ 20. 20
D
De’ ’` a
¯ ˆ hai nguoi g˘p nhau th`
’ . ı A
1 ` 19
|x − y| ≤ 20 ph´t = 3 gio.
u ’
Do d´
¯o

Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20}
o 19 20 x
1
A = {(x, y) : |x − y| ≤ }
3
e ıch ’ e` `
˘
Diˆn t´ cua miˆn Ω bang 1.
.
e ıch ’
. e` `
Diˆn t´ cua miˆn A bang 1 − 2. 2 . 2 . 2 =
˘ 1 5
3 3 9

diˆn t´ A
e ıch 5/9
Vˆy P (A) = .
a
. = = 0, 555.
diˆn t´ Ω
e ıch
. 1


3.4 ˜ a ´ `
¯ inh nghia x´c suˆt theo tiˆn dˆ
D. a e ¯e
’ ’’ ´ ´ ´
a e o ˘ ´
˘ ’ ’ a ¯ e` e
Gia su Ω l` biˆn cˆ chac chan. Goi A l` ho c´c tˆp con cua Ω thoa c´c diˆu kiˆn
. a . a a . .
sau:
´
i) A chua Ω.

´
ii) Nˆu A, B ∈ A th` A, A + B, AB thuˆc A.
e ı o
.
. ’ a e ¯e` a ı ¯ ’.’ . a ¯. o ´
Ho A thoa c´c tiˆn dˆ i) v` ii) th` A duoc goi l` dai sˆ.
´ a ’’ ’
` ’
iii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An , . . . l` c´c phˆn tu cua A th` tˆng v` t´ vˆ han A1 + A2 +
e a a ı o a ıch o .
. . . + An v` A1 A2 . . . An . . . c˜ng thuˆc A.
a u o
.
´
e ’ a ¯ e` e . ı ¯ ’ .’ . a ¯ . o ´
Nˆu A thoa c´c diˆu kiˆn i), ii), iii) th` A duoc goi l` σ dai sˆ.

˜ ´
a e a o a
. ´
2 ¯ inh nghia 8 Ta goi x´c suˆt trˆn (Ω, A) l` mˆt h`m P sˆ x´c d. nh trˆn A c´ gi´
D. . a o a ¯i e o a
. a ’
tri trong [0,1] v` thoa m˜n 3 tiˆn dˆ
a e ¯e ` sau:

i) P (Ω) = 1.
´ ´
˘
ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi A, B xung khac).

´ o ı ´
iii) Nˆu d˜y {An } c´ t´nh chˆt A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v` A1 A2 . . . An . . . = ∅ th`
e a a a ı
lim P (An ) = 0.
n→∞
12 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a



3.5 ´
a ınh a ’ ´
C´c t´ chˆt cua x´c suˆt
a a
´ . ´ ´
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi moi biˆn cˆ A
’ e o
ii) P (Ω) = 1
iii) P (∅) = 0
´
iv) Nˆu A ⊂ B th` P (A) ≤ P (B).
e ı
v) P (A) + P (A) = 1.
vi) P (A) = P (AB) + P (AB).


4. ´
MOT SO CONG THUC T´
ˆ ˆ ˆ ´’ ´ ´
ˆ
INH XAC SUAT
.
4.1 o ´ o
’ . a ´
Cˆng thuc cˆng x´c suˆt
a

o ´
Cˆng thuc 1

’ ’’ ´ ´ ´
˘
Gia su A v` B l` hai biˆn cˆ xung khac (AB = ∅). Ta c´
a a e o o

P (A + B) = P (A) + P (B)


´
Chung minh

Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ
’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´
e o
. ´ ´ ´ ´
e o a .’
. ´ ´
e o ´ ´ ´
thuˆn loi cho biˆn cˆ A v` mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B. Khi do sˆ biˆn cˆ thuˆn
a .’ e o a ¯´ o e o a
.
.’ ´ cˆ A + B l` m = mA + mB .
loi cho biˆn o
e ´ a
Do d´
¯o
mA + mB mA mB
P (A + B) = = + = P (A) + P (B)
n n n

˜
2 ¯ inh nghia 9
D.
´ ´ ´ ´ `
e o ¯a ¯’ ´ ’
˘ `
i) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung
a e o ¯ ’.’ . a o a
´ ´ ’
˘ ` ¯o a o
dˆi nˆu ch´ng xung khac tung dˆi v` tˆ
¯o e u ’ng cua ch´ng l` biˆn cˆ chac chan. Ta c´
’ u ´ ´ ´
a e o ˘ ´
˘ o

A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅

´ ´ ´ ´ . . ´ `
ii) Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ dˆc lˆp nˆu su tˆn tai hay khˆng tˆn
e o a ¯ ’.’ . a e o ¯o a e .’ o . o o`
. ’ ´n cˆ n`y khˆng anh huong dˆn su tˆn tai hay khˆng tˆn tai cua biˆn cˆ kia.
tai cua biˆ o
e ´ a o ’ ’ ´
’’ ¯e .’ o .` o o` . ’ ´ o
e ´
´ ´
e o ¯ ’.’ . ¯o a
. . a ` ´ o e o ¯o a
a e ˜ ´ ´ . .
iii) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi dˆc lˆp to`n phˆn nˆu mˆi biˆn cˆ dˆc lˆp
a
´ ı ’ ’ hop bˆt k` trong c´c biˆn cˆ c`n lai.
voi t´ch cua mˆt tˆ .’ a y
’ o o
. ´ a ´ ´
e o o .

e. ’
Hˆ qua 1
´
e ´ ´
a e o ´ ’
˘ ` ¯o ı
i) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` biˆn cˆ xung khac tung dˆi th`

P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
´
o o o
. ´ ınh x´c suˆt
4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´
’ a ´
a 13


´
e a o a ´ ´ `
e o ¯a ¯’ ´ ’
˘ ` ¯o ı
ii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi th`
n
P (Ai ) = 1
i=1


iii) P (A) = 1 − P (A).

o ´
Cˆng thuc 2


P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)

´
Chung minh

Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ
’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´
e o
. ´ ´ ´ ´ a .’
. ´ ´
e o a ´ ´
thuˆn loi cho biˆn cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho
a .’ e o e o e o a .’
.
´ ´ ´ ´ ´
¯o o e o a .’
. ´ ´
biˆn cˆ AB. Khi d´ sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ A + B l` mA + mB − k.
e o e o a
Do d´
¯o
mA + mB − k mA mB k
P (A + B) = = + − = P (A) + P (B) − P (AB).
n n n n

e
. ’
Hˆ qua 2
n
i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) + . . . +
i=1 i 1 th`
ı
1
6 6 3 2 2
(x) = f (t) t = t t+ 4
t= + − 3 =1−
5 5t 5 5t 1 5x3
−∞ 0 1


0 ; x1


2. ´ ´
ˆ ’ ’ ’ .’ ˜
ˆ
CAC THAM SO DAC TRUNG CUA DAI LUONG NGAU
. .
ˆ
NHIEN

2.1 y vong ( xpectation)
` .
˜
2 ¯ inh nghia 6
D.
Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn
’ ’’ a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o e a a
’ . a .
´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn . K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu
voi a a
’ ´ ’’ ´
a ’ y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ı e .
´
(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d. nh boi
a o ¯ ’.’ a ¯i ’’
2. a ´
o ’ ’
´c tham sˆ ac t ung cua ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e 31

n
E( ) = xi pi
i=1

’ ’ a˜ e e . o a a ¯o a
. . ´
Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x). K` vong
a ¯. ’.’ a y .
’ ¯. ’.’
cua dai luong ngˆ
a˜u nhiˆn X duoc x´c d. nh boi
e ¯ ’.’ a ¯i ’’


E( ) = xf (x) x
−∞


ı . ım y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a ´
o a ´
• V´ du 7 T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a

X 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 2 2 1 1
12 12 12 12 12 12 12

Ta c´
o
1 2 3 2 2 1 1 93 31
E( ) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = 12
= 4
= 7, 75.

ı . a ¯. ’.’ ˜
• V´ du 8 Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ
a e e . o a a ¯o
. .

2. −2 ´
nˆu 0 < x < 2
e
f (x) = ´
0 nˆu x ∈ (0, 2)
e /

T`
ım (X).

Giai
∞ 2 2
1 x3 4
E( ) = xf (x) x = x.( x) x = =
2 6 0
3
−∞ 0


´
T´ chˆt
ınh a
a ˘`
i) E(C) = C, C l` hang.
ii) E( ) = .E( ).
iii) E( + ) = E( ) + E( ).
´
iv) Nˆu X v`
e a a ¯ . ’ .’ ˜
l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E(
a e ¯ˆ a
. . ı ) = E( ).E( ).

´ nghia cua k` vong
˜ ’ y .
Tiˆn h`nh n ph´p thu. Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’
´
e a e ’’ ’ ’’ a ¯ . ’ .’ ˜
a e a a
. a . o e
´ o a
’ ´ `
x1 , x2 , . . . , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , . . . , kn .
a
.
a . ınh ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e e ’’ a
Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X trong n ph´p thu l`

k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn k1 k2 kn
x= = x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn
n x n n
´
voi fi =
’ k
n
l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi .
a a ` ´
a ¯e a
. a .
32 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



˜ a ´
a ´ o
o ´ e o lim ı a ´ ¯’ ´
Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ n→∞ fi = pi . V` vˆy voi n du lon
¯i . ’ ’
ta c´
o
x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E( )
´
a y . ’ ¯ . ’ .’ a˜ e a ´ ´
’ ´
Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri
ınh o . a a .
a ’ ¯ . ’ .’ ˜
quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn.
a e
Do do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo
¯´ o e o y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ınh a a . ınh
x´c suˆ
a ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn. N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a a . a ’ a ´
o a
´
suˆt
a

2.2 Phuong sai (Variance)
’’
˜
2 ¯ inh nghia 7 huong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b`
D. ’’ do e
. . ınh ’’ ’ ¯. ’.’ ˜
ınh) cua dai luong ngˆu
a
ı e . ¯ ’.’ ¯i ` o ´
˜ bang cˆng thuc
nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d. nh nghia ˘
e ’
V a ( ) = E{[ − E( )]2 }
Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn voi
e´ a ¯. ’.’ a˜ e ` . ’ a a
. a . o e ´’
a a ´t tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th`
c´c x´c suˆ ’ ’
a ´’ ı
n
Va ( )= [xi − E( )]2 pi
i=1
´ ˜
a e e . o a a ¯o a
. . ´
Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt (x) th`
e a ¯. ’.’ a ı
+∞

Va ( )= [x − E( )]2 f (x) x
−∞

´ ’` `
˘ ´
Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc
u´ .’ e ’ ınh ’’ o ’
2
V a ( ) = E( ) − [E( )]2
Thˆt vˆy, ta c´
a a
. . o

Va ( ) = E{ − E( )]2 }
2
= E{ − 2 .E( ) + [E( )]2 }
2
= E( ) − 2E( ).E( ) + [E( )]2
2
= E( ) − [E( )]2
ı . ¯. ’.’ ˜
a e ` .’ o ’ a ´
o a ´
• V´ du 9 Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a
X 1 3 5
0,1 0,4 0,5
ı ’’ ’
T`m phuong sai cua X.

Giai
E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8
2
E( ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2
2
Do d´ V a ( ) = E(
¯o ) − [E( )]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76.
2. a ´
o ’ ’
´c tham sˆ ac t ung cua ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e 33



ı . ¯. ’.’ ˜
• V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ
a e o a a ¯o
. .
´
x3 voi 0 ≤ x ≤ 3

f (x) = ´
0 voi x ∈ [0, 3]


H˜y t`m
a ı
`
˘ ´
i) Hang sˆ c.
o
ii) K` vong.
y .
iii) huong sai
’’

Giai
3 3
x4 81
i) Ta c´ 1 =
o x3 x = = .
4 0
4
0
4
Suy ra = .
81
3 3
4 3 4 x5
ii) E( ) = x x x = = 2, 4.
81 81 5 0
0
iii) Ta c´
o
∞ 3 3
2 2 4 3 4 x6
E( )= x f (x) x = x2 x x= =6
81 81 6 0
−∞ 0
2
Vˆy V a ( ) = E(
a
. ) − [E( )] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24.
2


´
T´ chˆt
ınh a

i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi).
o ¯o
2
ii) V a ( )= .V a ( ).
´
iii) Nˆu X v`
e a a ¯ . ’ .’ ˜
l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th`
a e ¯ˆ a
. . ı
* Va ( + ) = V a ( ) + V a ( );
* Var(X )=Var(X)+Var( );
* Var(C+X)=Var(X).
´ nghia cua phuong sai
˜ ’ ’’
´
Ta thˆy − E( ) l` do lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V a ( ) = E{[ − E( )]2 }
a a ¯ˆ e
. . ’ a . ınh e
l` dˆ lˆch b` phuong trung b`
a ¯o e
. . ınh ’’ ’ a ´ ¯ˆ a a a
ınh. Do do phuong sai phan ´nh muc do phˆn t´n c´c
¯´ ’’ ’ .
gi´ tri cua ¯ . ’ .’
a . ˜
’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b`
a e a . ınh.

2.3 Do e
. . e ’
¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn
a
D’ . ¯ ’ `
˘ ’ ’ ¯ ’ . ¯ ’ ¯ . ’ .’ ˜
¯ on vi do cua phuong sai bang b` phuong don vi do cua dai luong ngˆu nhiˆn.
’’ ınh a e
Khi cˆn ¯´
a ´ ¯o a a a a . ’ ¯ . ’ ’
a ’ . ˜
` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua
a e ¯’ . ’
o `
’’ u o ¯˘
. . ’ ´ ¯o a ¯o e
’ . . e a’
n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn.
34 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



˜ . . a’ ’ ¯. ’ ’ ˜
2 ¯ inh nghia 8 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn
D. Do e e a e , k´ hiˆu l` σ( ),
ı e a
.
.
¯ ’.’ ¯i ˜ nhu sau:
duoc d. nh nghia ’
σ( ) = Va ( )

2.4 ode
˜ a a . ’ ¯. ’.’ ˜ o ’ a ´ .
2 ¯ inh nghia 9 Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn
D. a e a e
´ nhˆt trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´.
lon a
’ ´ o a a a ¯o ’
. . o
Do ´ ¯. ’.’
´ ’ ˜
a e ` .’ a a . ’ ´ ´ a a ´
´ ’
¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon
’ ’
´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m
nhˆ o ¯o ’
a ´ ´ ¯. ’.’ a˜ e e . ı a a . ’ . ¯o a
mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai.
a ¯o ¯.
. . a . .’ ¯.

Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode.
u´ o ¯ . ’ .’
. ˜
a e o e o o . a
. e`

ı . ’ ’’ a ¯ e’ ı ’ e ’`
• V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn trong truong th` mod(X) l`
’ ı a
diˆ
¯e ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt.
a e` e ¯. ¯ ’.’ ´
a

a˜ e e . o a ´
o a ´ a
• V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt
ı . ¯. ’.’ ’ a
.

¯o
.
0 ´
nˆu x ≤ 0
e
f (x) = 2
− 4 ´
nˆu x > 0
e
2

H˜y x´c d. nh mod(X).
a a ¯i

Giai
e
. ’
mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh

1 −
2 x2 −
2
f (x) = 4 − 4 =0
2 4
x2
a e
. ’
Suy ra mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` 1 −
’’ ınh = 0. Do m ( ) > 0 nˆn
e
2
m ( ) = 2 = 1, 414.

2.5 Trung vi
.
D. ˜ . ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn
a e a a . ’
l` gi´ tri cua chia phˆn
a
´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng nhau. K´ hiˆu med(X).
phˆ a
o ´ a
a a` o a ´ o
a ´ ı e.
1
Ta c´ P (
o < m ( )) = P ( ≥ m ( )) = 2


⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr`
a
. e ` ¯i
’ ˜ ´
a ¯e ım . a` ’ ’’ ınh (x) = 1 .
2
´’ . . a ¯˘
. ’ . ı o´ ´
a e` ´ ’ ’ y .
Trong ung dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu khi tˆt hon ca k` vong,
o
´ ´ . e` ’
nhˆt l` khi trong sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t. Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua
a a o e o o . o ¯ ’ .’ . a a .
phˆn pho
a ˆ´i.
2. a ´
o ’ ’
´c tham sˆ ac t ung cua ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e 35



• V´ du 13 T` med(X) trong v´ du (12).
ı . ım ı .

Giai
e
. ’
med(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh
m ( )
2

f (x) x = 0, 5 hay 1 − 4 = 0, 5
0


Suy ra m ( ) = 1, 665.

´ .
o ¯˘
Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng nhau.
u´ o ’ y . a . o u
Cha ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E( ) = 1, 772; m ( ) =
˘ . ` a ı .
’ a ınh e y . o
1, 414 v` m ( ) = 1, 665. Tuy nhiˆn nˆu a
a e e ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th`
o´ ¯o ´
´ ’ a o o. ı
’ ¯˘
ca ba dac trung d´ tr`ng nhau.
. ’ ¯o u

2.6 oment
˜
2 ¯ inh nghia 11
D.
´
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e a o ´
Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E( k ).
´ ’ ¯. ’.’ ˜ ´
Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ k = E{[
a a a e a o − E( )]k }.

⊕ Nhˆn x´t
a
. e
´ ’ ’
i) Moment cˆp 1 cua X l` k` vong cua X (m1 = E( )).
a a y .
a ´
a ’ a ’’ ’
ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X ( 2 = m2 − m2 = V a ( )).
1

iii) 3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 .
1



2.7 H`m moment sinh
a
˜ a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn
D. a e l` h`m x´c d. nh
a a a ¯i
’’
trong (− , + ) cho boi

p(x) ´
nˆu
e ` .
roi rac

(t) = E( )= +∞
´
p(x) x nˆu
e liˆn tuc
e .
−∞




´
T´ chˆt
ınh a
i) (0) = E( ).
2
ii) (0) = E( ).
o’
iii) Tˆng qu´t:
a (n)
(0) = E( n
), n ≥ 1.
36 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



´
Chung minh.


i) (t) = E( )=E ( ) = E( ).
t t
Suy ra (0) = E( ).

2
ii) (t) = (t) = E( )=E ( ) = E( ).
t t t
2
Suy ra (0) = E( ). 2

Ch´ y

’ ’’
i) Gia su v`
a a ¯ . ’ .’ ˜
l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong
a e ¯ˆ a o a
. . ’’
´
ung l`
’ a (t) v`
a ’
(t). Khi d´ h`m moment sinh cua + cho boi
¯o a ’’
( + )
+ (t) = E( ) = E( ) = E( )E( )= (t) (t)

d˘’ ´ a
’ ` ´
(¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc do
o o ¯ ’ .’ v`
a doc lˆp)
¯ˆ a
. .
o ’’ ´ ˜ a ´ ´
a ’ ¯.
ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai
’ ’ a a a o a
luong ngˆ
’ .’ ˜u nhiˆn .
a e


3. ˆ ´
ˆ ˆ ˆ ´
ˆ ´ ´
ˆ
MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT
. .
3.1 a ´
o . ´
Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution)

˜ a˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 13 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,2,...,n
D. D. ’.’ ’ a
. o a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı
a ’ o ´


P = P( = x) = Cn p q n− (2.1)

´ . ´ ´ ’ ’ ´ a
goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p. K´ hiˆu
. a o a o o ı e . ∈ B(n, p) (hay B(n, p)).
Cˆng thuc
o ´

´
Voi h nguyˆn duong v`
’ e ’’ a ≤ n − x, ta c´
o

P (x ≤ ≤x+ )=P +P +1 + ... + P + (2.2)

’ e e a´ ’ o ’ ’ ´ ˜ ’ ’
• V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm trong lˆ san phˆm l` 3%. Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm
ı . . a a a a e a
dˆ kiˆ’m tra. T` x´c suˆt dˆ’ trong d´
¯e’ e ım a ´
a ¯e ¯o
i) C´ 3 phˆ a
o e ’
´ phˆm.
o o a ´ ’
ii) C´ khˆng qu´ 3 phˆ phˆm.
e a

Giai
Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu. Do d´ ta c´
´
a ˜ ` e
o a o ’
. ’
a a .’ e
. o
. e ’’ ¯o o
’’
n=100 ph´p thu.
e
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 37


´ ´
a e o ’ ’ a ´ ´ a ’ ˜ ’’
Goi A l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm th` trong mˆi ph´p thu. Ta c´
. a a e ı o e o
p = p(A) = 0, 03.
D˘ ’ ´ ´ ’ ’ ’
¯ at X l` tˆng sˆ phˆ phˆm trong 100 san phˆm th` ∈ B(100; 0, 03).
. a o o e a a ı
i) P ( = 3) = C100 (0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274.
3


ii) P (0 ≤ ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3
= C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99
0 1

+C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97
2 3

= 0, 647.

Ch´ y Khi n kh´ lon th` x´c suˆt p khˆng qu´ gˆn 0 v` 1. Khi do ta c´ thˆ’ ´p dung
u´ a ´
’ ı a ´
a o a a ` a ¯´ o ea .
´ xˆp xi’ sau
´
cˆng thuc a
o ’
i)
1
P = Cn p q n− ≈ f( ) (2.3)
npq
trong d´
¯o
x − np 1 − 2
= ; f( ) = 2 ;
npq 2
¯ ’ .’ . o ´ ¯i
(2.3) duoc goi cˆng thuc d.a phuong Laplace.
’ ’’
ii)
P (x ≤ ≤ x + ) ≈ ( 2) − ( 1) (2.4)
trong d´
¯o
1 −2
2
( )= t (H`m Laplace);
a
2 0
x − np x + − np
1 = ; 2 =
npq npq
¯ ’ .’ . a o ´ ıch a
(2.4) duoc goi l` cˆng thuc t´ phˆn Laplace.

´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu
e ∈ B(n, p) th` ta c´
ı o
i) E( ) = np.
ii) V a ( ) = npq.
iii) np − q ≤ m ( ) ≤ np + p.
´’ e ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ . ´ ´ a
Chung minh. X´t dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi c´c tham sˆ n v`
a o ’ ’ ´
o a
p biˆe’u diˆn ph´p thu biˆn cˆ A xay ra, mˆi ph´p thu c´ c`ng x´c suˆt xay ra biˆn cˆ A
˜
e e ’’ e´ o ´ ’ ˜
o e ’’ o u a ´ ’
a ´ o
e ´
l` p.
a
Ta c´ thˆ’ biˆ’u diˆn
o e e ˜
e nhu sau:

n
= i
i=1
38 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a


´
e ’’ e ’’ ´’ ´ ´
e o ’
1 nˆu o ph´p thu thu i biˆn cˆ A xay ra
trong d´
¯o i = ´
0 nˆu nguoc lai
e ’ .’ .
V`
ı i, a a ¯ . ’ .’ ˜
a e ¯ˆ a o a
. . ´ . ´ e
i = 1, 2, . . . , n l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ phˆn phˆi nhi thuc nˆn
o ’

E( i) = P( i = 1) = p
2
Va ( i) = E( i) − p2 = p(1 − p) = pq ( 2
i = i)

Do d´
¯o n
E( ) = E( i) = np
i=1
n
Va ( )= Va ( i) = npq
i=1
2

ı . o a ’
. ´
a ¯ ’.’ ’ a’ o
. a a a ¯e’ a
´
• V´ du 15 Mˆt m´y san xuˆt duoc 200 san phˆm trong mˆt ng`y. X´c suˆt dˆ m´y
’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ o ’
san xuˆt ra phˆ phˆm l` 0, 05. T`m sˆ phˆ phˆm trung b` v` sˆ phˆ phˆm c´ kha
a e a a ı o e a ınh a o e a
a ’
n˘ng tin ch´c cua m´y d´ trong mˆt ng`y.
a a ¯o o
. a

Giai
Goi
. ´ ´ ’ ’
l` sˆ phˆ phˆm cua m´y trong mˆt ng`y th`
a o e a a o
. a ı ∈ B(200; 0, 05).
´ ´ ’ ınh ’
Sˆ phˆ phˆm trung b` cua m´y trong mˆt ng`y l`
o e a a o
. a a

E( ) = np = 200 0, 05 = 10

´ ´ ’ ´
˘
Sˆ phˆ phˆm tin chac trong ng`y l` mod(X). Ta c´
o e a a a o
np − q = 200 0, 05 − 0, 95 = 9, 05
np + p = 200 0, 05 + 0, 05 = 10, 05
=⇒ 9, 05 ≤ m ( ) ≤ 10, 05
V`
ı ∈ B(200; 0, 05) nˆn m ( ) ∈
e . Do d´ m ( ) = 10.
¯o

3.2 ´
Phˆn phˆi Poisson
a o
o ´
Cˆng thuc Poisson

’ ’’ ˜
a e o a ´ . ´ ´
o ’ ’ ´
Gia su l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ (n, p) v` a = np
a ¯ . ’ .’ o a
¯o a ´ a
trong d´ n kh´ lon v` p kh´ b´.
’ a e
Ta c´
o
n!
P( = k) = pk (1 − p)n−k
(n − k)!k!
n! a a
= .( )k .(1 − )n−k
(n − k)!k! n n
n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak (1 − n )n
= . .
nk k! (1 − n )k
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 39



a ´ a
Do n kh´ lon v` p kh´ b´ nˆn
’ a e e
a n − n(n − 1) . . . (n − k + 1) a k
(1 − ) ≈ , ≈ 1, (1 − ) ≈1
n nk n

− ak
Do d´ P (
¯o = k) ≈
k!
a ` o ´ ´ a
’ ´
Vˆy tu cˆng thuc Bernoulli ta c´ cˆng thuc xˆp xi’
. ’ ’ o o

ak
Pk = P ( = k) = Cn pk q n−k ≈
k −
k!

Khi d´ ta c´ thˆ’ thay cˆng thuc Bernoulli boi cˆng thuc Poisson
¯o o e o ´
’ ’’ o ´


ak −
Pk = P ( = k) = (2.5)
k!

˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 14 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
D. D. ’.’ a ’ nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.5) duoc goi l` c´ phˆn phˆi
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´
’ ¯ ’.’ . a o a o´
´’ ´
oisson voi tham sˆ a. K´ hiˆu
o ı e
. ∈ (a) (hay (a)).

Ch´ y


´ ak −
P (k ≤ ≤ k + ) = Pk + Pk+1 + . . . + Pk+ voi Pk =
’ .
k!

• V´ du 16 Mˆt m´y dˆt c´ 1000 ˆng soi, X´c suˆt dˆ’ mˆt gio m´y hoat dˆng c´ 1
ı . o
. a e o
. ´
o .’ a ´
a ¯e o ` a
. ’ . ¯o. o
´ng soi bi dut l` 0,002. T`m x´c suˆt dˆ’ trong mˆt gio m´y hoat dˆng c´ khˆng qu´ 2
o
ˆ ´ a
.’ . ¯ ’ ı a ´ ¯e
a o ` a
. ’ . ¯o. o o a
´ng soi bi dut.
o
ˆ ´
.’ . ¯ ’

Giai

. . ´ .’ o . ¯ ´’ o ` a
Viˆc quan s´t mˆt ˆng soi c´ bi dut hay khˆng trong mˆt gio m´y hoat dong l` mˆt
e a o o o . ’ . ¯ˆ. a o.
ph´p thu. a ¯e o
e . o´
’’ M´y dˆt c´ 1000 ˆng soi nˆn ta c´ n = 1000 ph´p thu dˆc lˆp.
.’ e o e ’’ ¯o a
. .
. ´ ´´ .’ . ¯ ´ a
’ ´´
a oo .’ . ¯ ´
’ o
. ` a
Goi A l` biˆn cˆ ˆng soi bi dut v` X l` sˆ ˆng soi bi dut trong mˆt gio m´y hoat
a e oo ’ .
dong th` p = P (A) = 0, 002 v` ∈ B(1000; 0, 002).
¯ˆ
. ı a
V` n = 1000 kh´ lon v` np = 2 khˆng dˆi nˆn ta c´ thˆ’ xem
ı a ´ a
’ o ¯o e’ o e ∈ (a).
Do d´ x´c suˆt dˆ’ c´ khˆng qu´ 2 ˆng soi bi dut trong mˆt gio l`
¯o a ´
a ¯e o o a o ´ .’ . ¯ ´
’ o ` a
. ’
P (0 ≤ ≤ 2) = P0 + P1 + P2
2 −2
P0 = P ( = 0) = 0!
21 −2
P1 = P ( = 1) = 1!
22 −2
P2 = P ( = 2) = 2!
−2
Do d´ P (0 ≤
¯o ≤ 2) = (1 + 2 + 2) = 5(2, 71)−2 = 0, 6808.
40 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu
e ∈ (a) th` E( ) = V a ( ) = a v` a − 1 ≤ m
ı a ≤ a.

Chung minh. ¯ ˆ’ nhˆn duoc k` vong v` phuong sai cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn
´’ De a ¯ ’ .’ y .
. a ’’ ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e o a
´i Poisson ta x´c d.nh h`m moment sinh
phˆ
o a ¯i a

(t) = E( )
Ta c´
o
∞ ∞
k − ak − (a )k − ( −1)
(t) = = = =
k=0 k! k=0 k!
( −1)
(t) = a
(t) = (a )2 ( −1)
+a ( −1)


Do d´
¯o
E( ) = (0) = a
Va ( )= (0) − [E( )]2 = a2 + a − a2 = a
2

’ng dung
.
. ˜
a e o a ´
Mˆt v`i dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Poisson:
o a ¯ . ’ .’ o
´ ˜
o o o
. a
. . ´
o o ’ o
. ´
i) Sˆ lˆi in sai trong mˆt trang (ho˘c mˆt sˆ trang) cua mˆt cuˆn s´ch.
o a
´ ’`
o ’ o o ¯o
. . ` o ´ ´
ii) Sˆ nguoi trong mˆt cˆng dˆng sˆng cho toi 100 tuˆi.
’ o’
´ .
iii) Sˆ cuˆc diˆn thoai goi sai trong mˆt ng`y.
o o ¯e . . . o
. a
´
o ’ a ¯a ` e ’’ .
iv) Sˆ transitor hu trong ng`y dˆu tiˆn su dung.
´
v) Sˆ kh´ch h`ng v`o buu diˆn trong mˆt ng`y.
o a a a ’ ¯e. o
. a
´ ` a .
vi) Sˆ hat ph´t ra tu c´t hat ph´ng xa trong mˆt chu k`.
o . a ’ o . o
. y


3.3 a ´
Phˆn phˆi siˆu bˆi
o e o
.
´
a) Cˆng thuc siˆu bˆi
o ’ e o.
` a ’’
` a ’’ o ınh a
` ´
X´t mˆt tˆp hop gˆm N phˆn tu, trong do c´ M phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o do.
e o a
. . .’ o ¯´ o a ¯´

a´y ngˆu nhiˆn (khˆng ho`n lai) tu tˆp hop ra n phˆn tu. Goi
a˜ e o a . ` a
’ . .’ a` ’’ . ´ phˆn tu c´ t´
l` sˆ a
a o ` ’’ o ınh
´ a ’’ a
` ´
chˆt A c´ trong n phˆn tu lˆy ra. Ta c´
a o o

C C n−

P = P( = x) = (x = 0, 1, . . . , n) (2.6)
Cn
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 41


´
b) Phˆn phˆi siˆu bˆi
a o e o
.
˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 15 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
D. D. ’.’ a ’ a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.6) duoc goi l` c´ phˆn phˆi siˆu
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´’ ¯ ’.’ . a o a ´
o e
o ´
. ’ ´
bˆi voi tham sˆ N, M, n. K´ hiˆu
o ı e . ∈ (N, M, n) (hay (N, M, n)).


o o a
. o ’ a’ ¯o o ’ ’
a o ´ a´ a˜
• V´ du 17 Mˆt lˆ h`ng c´ 10 san phˆm, trong d´ c´ 6 san phˆm tˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn
ı . e
o a . ` o a
’ ’
(khˆng ho`n lai) tu lˆ h`ng ra 4 san phˆ
a ’m. T`m x´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4
ı a ´ ¯e o
a ’ a’ o´
’ ’m duoc lˆy ra.
san phˆ ¯ ’.’ a
a ´

Giai
´
a o ’ ’ o o´ ’ ’ ´ ˜
Goi X l` sˆ san phˆm tˆt c´ trong 4 san phˆm lˆy ra th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn
. a a a ı a ¯ . ’ .’ a e
o a ´i siˆu bˆi voi tham sˆ N = 10, M = 6, n = 4.
c´ phˆn phˆ e o ’
o . ´ ´
o
X´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 san phˆm lˆy ra l`
a ´
a ¯e o ’ a’ o´ ’ ’
a a ´ a
3 1
C6 .C4 8
P( = 3) = 4
= = 0, 3809
C10 21

Ch´ y

n−
a e ´ N th` C C −
Khi n kh´ b´ so voi
’ ı ≈ Cn p q n− (p =
M
, q = 1 − p)
Cn N
Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o d´ trong n phˆn tu lˆy ra th` ta c´ thˆ’ xem
. ´ `
a o a ’’ o ınh a ´ a ¯o a ’’ a
` ´ ı o e
o a e a ’’ o ınh a
. ` ´
∈ B(n, p) v´i p l` ti’ lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A cua tˆp hop.
’ a . .’

´ .
o ¯˘
c) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu
e ∈ (N, M, n) th` ta c´
ı o
´ M
E( ) = np (voi p =
’ )
N
N −n ´
V a ( ) = npq (voi q = 1 − p).

N −1


ang ’ng ´ ´
’ a han h ´i ’i a
.

Phˆn phˆi
a o´ K´ hiˆu
ı e . ´
X´c suˆt P ( = k)
a a E( ) Va ( )
. ´ Cn p (1 − p)n−k
k k
Nhi thuc
’ B(n, p) np npq
ak −
Poisson (a) a a
k!
C .C n−k
k
− N −n
Siˆu bˆi
e o . (N, M, n) n
np (p = ) npq
C N −1
42 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



3.4 ´ u
Phˆn phˆi m˜
a o
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a o u ´
´ ’ ´
2 ¯ inh nghia 16 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ
o
´
e o o a a ¯o a
. . a´
> 0 nˆu n´ c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt
− ´
nˆu x > 0
e
f (x) = ´
0 nˆu x ≤ 0
e


. e ´
e o a o u ´
´ ’ ´
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ
a o ´ ´
a ’
th` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua
ı a a o a
X l`
a
− −
(x) = t=1− v´i x > 0
o
0
v`
a
´
(x) = 0 voi x ≤ 0.

´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´ a ¯ . ’ .’ ˜
a e o a o u ´
´ ’ ´
Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ
e o > 0 th`
ı
y . ’
i) K` vong cua X l`
a
+∞ +∞
− − +∞ − 1
E( ) = x x = −x + x=
0
0 0

’’ ’
ii) Phuong sai cua X l`
a
+∞
1
Va ( )= x2 −
x− 2
0
+∞ +∞
2 − 2 − +∞ − 2
ıch a ` ’ a`
T´ phˆn tung phˆn ta duoc
¯ ’ .’ x x = −x +2 x x= 2
.
0
0 0

1
Do d´ V a ( ) =
¯o 2
.

ı . ’ ’’ o ’ . ı `
˘ a ’ o
. . ¯ e ’’
• V´ du 18 Gia su tuˆi tho (t´nh bang n˘m) cua mˆt mach diˆn tu trong m´y t´ l`
. a ınh a
o ¯. ’.’
. a˜ e o a o u ´ y .
´ ’ a `’ ’ a ’
mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi k` vong l` 6,25. Thoi gian bao h`nh cua
. . ’’ n`y l` 5 n˘m.
mach diˆn tu a a
¯e a
’ o ` a ¯ e ’’ a ’ ´ ` ’
Hoi c´ bao nhiˆu phˆn tr˘m mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao
e a . . e ’
h`nh?
a
G ’

. ’ . ’ . ı o a ´
Goi X l` tuˆi tho cua mach. Th` X c´ phˆn phˆi m˜
a o o u
1 1
Ta c´
o = =
E( ) 6, 25
− .5 −65 −0 8
P( ≤ 5) = (5) = 1 − =1− 25 =1− = 1 − 0, 449 = 0, 5506
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 43



. ’ ´
o . ¯ e ’’ a
. ’ ´
e `’ ’ a
Vˆy c´ khoang 55% sˆ mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao h`nh.
a o
´ ng dung trong thuc tˆ
’ ´
. . e

’ `’ u a ` ´ .
a e ’ ´
o e o a
. ´
o u ’
˘
Khoang thoi gian gi˜a hai lˆn xuˆt hiˆn cua mˆt biˆn c´ phˆn phˆi m˜. Chang han .
’ `’ u a ´ ’’ o e
´ ’ . . e. ˜
’ a` ’ o ’
khoang thoi gian gi˜ a hai ca cˆp cuu o mˆt bˆnh viˆn, giua hai lˆn hong h´c cua mˆt o.
c´i m´y, giua
a a ’ . ¯o ¯a
. ´ a ˜ ¯ . ’ .’
’ a˜ e o a ´ u
˜ hai trˆn lut hay dˆng dˆt l` nhung dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜.
a . o

3.5 ´ `
Phˆn phˆi dˆu
a o ¯e
˜ D. ’.’ a˜ e e . ¯ ’.’ . a o a ´ ` e
2 ¯ inh nghia 17 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X duoc goi l` c´ phˆn phˆi dˆu trˆn
D. o ¯e
´u h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang
doan [a,b] nˆ a
¯ . e a ¯o a
. . a o .

1 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e
f (x) = b−a
0 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e


a. e e´ o a ´
o ¯e` e ı a a ´
o ’ ’’
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi dˆu trˆn [a,b] th` h`m phˆn phˆi cua X cho boi
´
(x) = 0 nˆu x < a
e
x x−a ´
(x) = f (x) x = = nˆu a ≤ x ≤ b
e
b−a b−a
−∞
´
(x) = 1 nˆu x > b.
e

Ch´ y Gia su ( , ) ⊂ [a, b]. X´c suˆt dˆ’ X roi v`o ( , ) l`
u´ ’ ’’ a ´
a ¯e ’ a a


P( < < )= f (x) x =
b−a

´
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’

x x 1 b2 − a 2 a+b
i) E( ) = = = (k` vong l` trung diˆ’m cua [a,b]).
y . a ¯e ’
b−a b−a 2 2

x2 x 1 x3 a+b
ii) V a ( ) = − [E( )]2 = −
b−a b−a 3 2
2 2 2 2
b + ab + a (a + b) (b − a)
= − =
3 4 12
iii) modX l` bˆt cu diˆ’m n`o trˆn [a,b].
a a ´ ¯e
´ ’ a e

. . ’ . . y ’ ´
• V´ du 19 Lich chay cua xe bu´t tai mˆt tram xe bu´t nhu sau: chiˆc xe bu´t dˆu
ı . y . o e y ¯a `
a e ’’ a ` .
’ a a u ` ´
’ ’ ˜
tiˆn trong ng`y s˜ khoi h`nh tu tram n`y v`o l´c 7 gio, cu sau mˆi 15 ph´t s˜ c´ mˆt
e o u e o o .
´ tram. Gia su mˆt h`nh kh´ch dˆn tram trong khoang thoi gian tu 7 gio dˆn
xe kh´c dˆn .
a ¯e ’ ’’ o a
. a ¯e ´ . ’ `’ `
’ ’ ´
` ¯e
7 gio 30. T`m x´c suˆt dˆ’ h`nh kh´ch n`y cho
`’ ı a ´
a ¯e a a a `’
44 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



´ ’
a) It hon 5 ph´t.
u
´ ´
b) It nhˆt 12 ph´t.
a u

Giai
Goi
. ´ ` a a
’ ´
l` sˆ ph´t sau 7 gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th`
a o u a ¯e . ı ˜
l` dai luong ngˆu nhiˆn
a ¯ . ’ .’ a e
o a o´i dˆu trong khoang (0, 30).
c´ phˆn phˆ ¯e` ’
a a e ` ıt ’
’ u e ¯e´ ´ . ˜’ `’ a `
a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon 5 ph´t nˆu dˆn tram giua 7 gio 10 v` 7 gio 15 ho˘c
’ a
.
˜ ` ` ´t cˆn t` l`
a `
giua 7 gio 25 v` 7 gio 30. Do do x´c suˆ a ım a
’ ’ a ’ ¯´ a
5 5 1
P (10 < < 15) + P (25 < < 30) = + =
30 30 3
` ıt a
’ ´ u e ¯e´ ´ . ˜’ ` a
’ `
b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` 7 gio 3 ph´t ho˘c
a a ’ u a
.
giua
’ `’ u a `’ u a ´ a ım a
a `
˜ 7 gio 15 ph´t v` 7 gio 18 ph´t. X´c suˆt cˆn t` l`
3 3 1
P (0 < < 3) + P (15 < < 18) = + =
30 30 5

3.6 a ´
o ’
Phˆn phˆi chuˆn ( arl
a auss)
a ´
o a’
a) Phˆn phˆi chuˆn
˜
2 ¯ inh nghia 18
D.

’.’ ˜
¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn
D. a e e
tuc X nhˆn gi´ tri trong
. a
. a .

khoang (− , + ) duoc goi l`
¯ ’.’ . a (x)
o a o´ a’
c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m e´ a 1
mˆt dˆ x´c suˆ o .
a ¯o a
. . ´t c´ dang
a 2


1 −
− 2
f (x) = 2 2
σ 2
1
2
a ˘` ´
trong d´ , σ l` hang sˆ,
¯o o
σ > 0, − < x < .
o −σ +σ x
K´ hiˆu
ı e . ∈ N ( , σ 2 ) hay ( N ( , σ 2 )).

´ .
o ¯˘
b) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu ∈ N ( , σ 2 ) th` E( ) =
e ı v` V a ( ) = σ 2 .
a
´
Chung minh.
’ X´t h`m moment sinh
e a
+∞
1 −
− 2
(t) = E( )= . 2 2 x
σ 2 −∞


¯ at y =
. th`
ı
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 45

+∞ +∞
1 −
2

2 −2
(t) = 2 y = 2 y
2 −∞
2 −∞
+∞ +∞

− 2
+
2 2
+
2 2 1 −
− 2
= 2 2 y = 2 2 y
2 −∞
2 −∞


1 − 2
´ ’
V` f (y) =
ı − 2 a a a ¯ˆ ’
. . a o a ´ ’ ´
l` h`m mˆt do cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` 1
o a
2
+∞
1 −
− 2
nˆn
e 2 y = 1.
2 −∞
2 2
+
Do d´
¯o (t) = 2 .
´
Lˆy c´c dao h`m ta duoc
a a ¯. a ¯ ’ .’

2 2 2 2
(t) = ( + tσ 2 ) + 2 , (t) = σ 2 + 2 .( + tσ 2 )

Khi d´
¯o
E( ) = (0) =
2
E( )= (0) = σ 2 + 2
=⇒ V a ( ) = E( 2
) − [E( )]2 = σ 2 2


a ´
o a’
c) Phˆn phˆi chuˆn h´a
o

D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a ´
o ’
a o e o ´
2 ¯ inh nghia 19 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´
´ ’
a ´
c´ phˆn phˆi chuˆn voi = 0 v` σ 2 = 1. K´ hiˆu
o a o ’ a ı e . ∈ N (0, 1) hay N (0, 1).


´ −
⊕ Nhˆn x´t
a
. e Nˆu
e ∈ N ( , σ 2 ) th`
ı = ∈ N (0, 1).
σ


a a’
d) Phˆn vi chuˆn
.



a’ ´
Phˆn vi chuˆn muc , k´ hiˆu ,
a . ’ ı e.
a a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn
a e
´ ’ ’ a ¯ e`
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu
o a o a o
kiˆn
e
.
P( < ) = .


Voi cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua
´
’ ’ ´ o e ınh ¯ ’ .’ a
’ a . ’ a . ’
. C´c gi´ tri cua
a duoc t´
¯ ’ .’ ınh
˜
˘ ’
san th`nh bang.
a
46 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



o ´
e) Cˆng thuc

´
Nˆu
e ∈ N ( , σ 2 ) th` ta c´
ı o
x2 − x1 −
i) P (x1 ≤ ≤ x2 ) = ( )− ( )
σ σ
ii) P (| − |< )=2 ( )
σ
1 −2
2
trong d´ (x) =
¯o t (h`m Laplace).
a
2 0


. ’.’ ’ o . ’
. ’
a a ¯. ’.’ ˜
a e o a ´
• V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi
ı . o
chuˆa’n voi trong luong trung b`nh = 5k v` do lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, 1. T´ ti’ lˆ
´ .
’ ’.’ ı a ¯. e
. e a’ ınh e
.
˜’ ’
nhung san phˆ a’m c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg.
o . ’.’ ` ’ ´
¯e

Giai

. a . ’ .’ ’ ’ a’
Goi X l` trong luong cua san phˆm th` ∈ N (5; 0, 1).
ı

. ’ o . ’ .’ `
’ ´
Ti’ lˆ san phˆm c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l`
e ’ a ¯e a

P (4, 9 ≤ ≤ 5, 2) = ( 5 0 1 ) − ( 4 0 1 )
2−5 9−5

= (2) − (−1)
= 0, 4772 − (−0, 3413)
= 0, 8185

) Qui t˘c k−σ
a
´
Trong cˆng thuc P (|
o ’ ´ ´
− | < ) = 2 ( ) nˆu lˆy
e a = kσ th` P (|
ı − |< )=
2 (k).
´ ’` ´
˘ ´ o
Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`:
.’ e ’ u a ’ . a
”Nˆu ∈ N ( , σ 2 ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´
´
e ı a ´
a ¯e a
. a . e
. ´ y .
’ o a
1, 96σ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ”.
a a a

g) ´ ng dung
’ .
˜
a e o a ´
o a’
C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn:
a ¯ . ’ .’
’´ ´ a a ’ ´
K´ thuoc chi tiˆt m´y do m´y san suˆt ra.
ıch ’ e a

. ’ .’ ’ e` ’ a’
Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai.
u .
a ´
a ’ . . a o ` e ˜
’ ’’
N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c nhau.
o o
. a


3.7 ´
Phˆn phˆi
a o 2

˜ ’ ’’
2 ¯ inh nghia 20 Gia su
D. i
˜
(i 1,2,...,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng
a a ¯. ’.’ a e ¯o a u
. .
o a ´
o ’
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a.
a o
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui uˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 47

n
˜
¯ ai luong ngˆu nhiˆn
D. ’.’ a e 2
= 2
i
´
duoc goi l` c´ phˆn phˆi
¯ ’.’ . a o a o 2
(khi−b` phuong)
ınh ’’
i=1
´
voi n bˆc tu do. K´ hiˆu
’ a .’
. ı e .
2
∈ 2
(n) (hay 2 2
(n)).

⊕ Nhˆn x´t
a
. e


a a ¯ˆ a
. . ´
a ’
H`m mˆt do x´c suˆt cua 2

c´ dang
o .
−2
.x 2 −1 ´
voi x > 0

fn (x) = 2 2 . (n)2
0 ´
voi x ≤ 0

+∞
−1 −
trong d´
¯o (x) = t t
0
´ 2 ´
(H`m Gamma)
a H`
a .t
^
a ’
. x´c su^t cua
o a
^ a oi n b^c
’ a
.
tu o
.’
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’

Nˆu 2 ∈ 2 (n) th` E( 2 ) = n v` V a (
ı a 2
) = 2n.
2
Phˆn vi
a .
a . ´
Phˆn vi 2 muc , k´ hiˆu 2 , l` gi´ tri cua dai luong
’ ı e . a a . ’ ¯ . ’ .’ 2 ´
c´ phˆn phˆi ”khi−b`
o a o ınh
’’ ´ n bˆc tu do thoa m˜n
phuong” voi
’ a .’
. ’ a
2 2
P( < )=
a . ’
C´c gi´ tri cua
a 2 ˜
¯ ’ .’ ınh ˘ ’
duoc t´ san th`nh bang.
a

. a e ı a ´
Ch´ y Khi bˆc n t˘ng lˆn th` phˆn phˆi
u´ a o 2 ´
a ´’ a ´
o a’
xˆp xi’ voi phˆn phˆi chuˆn.

3.8 a ´
Phˆn phˆi tudent ( .
o osset)
D. ˜ ’ ’’ a ¯. ’.’ ˜
a e o a ´
o ’
2 ¯ inh nghia 21 Gia su l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn h´a v` V l`
a o a a
dai luong ngˆ
¯. ’.’ a e ¯o a
. . ´’ o a ´
o ´
˜u nhiˆn dˆc lˆp voi c´ phˆn phˆi 2 voi n bˆc tu do. Khi d´ dai luong
’ a .’
. ¯o ¯. ’.’
˜
ngau nhiˆn
ˆ e
n
T =
V
´ ´
duoc goi l` c´ phˆn phˆi Student voi n bˆc tu do. K´ hiˆu T ∈ T (n) (hay T T (n)).
¯ ’.’ . a o a o ’ a .’
. ı e .

. a ¯o ’ ¯ . ’ .’
. . ˜
a e o a ´
o ´
⊕ Nhˆn x´t H`m mˆt dˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Student voi n bˆc tu
a e a ’ a .’
.
do c´ dang
o .
2 1
( n+1 )(1 + n )− 2
2
fn (t) = ; (− < t < + )
(n) n
2
+∞
−1 −
trong d´
¯o (x) = t t (H`m Gamma)
a
0
48 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´ n
Nˆu T ∈ T (n) th` E(T ) = 0 v` V a (T ) =
e ı a .
n−2
• Phˆn vi tudent
a .
´
Phˆn vi Student muc
a . ’ a a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
, k´ hiˆu t l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn T ∈ T (n)
ı e . a e

thoa m˜n P (T < t ) = .
a
Ta c´ t = −t1− .
o


Ch´ y

o´ o u . a ınh ¯o ´
´ ’ ’ a o´ a’
Phˆn phˆi Student c´ c`ng dang v` t´ dˆi xung nhu phˆn phˆi chuˆn nhung n´
a ’ o
ınh e ’
´ ¯o ’ a ´ a ˘
o ´ ’ a ´ o e` a a `
’ ´nh t´ biˆn dˆi cua phˆn phˆi sˆu sac hon. C´c biˆn c´ vˆ gi´ v` thoi gian
phan a e ’
’`’ ´ .
’ . a ıch
. ’´ ’
’ ˜
thuong gioi han mˆt c´ch nghiˆm ng˘t k´ thuoc cua mˆu. Ch´ v` thˆ phˆn phˆi
o a e a ´
ınh ı e a ´
o
chuˆ a’n khˆng thˆ’ d`ng dˆ’ xˆp xi’ phˆn phˆi khi mˆu c´ k´ thuoc nho. Trong truong
o e u ¯e a ´ a o´ ˜ o ıch
a ´
’’ ’ `
’’
.’ u a ´
hop n`y ta d`ng phˆn phˆi Student.
a o

. a e ı a o´ e´ e` a
Khi bˆc tu do n t˘ng lˆn (n > 30) th` phˆn phˆi Student tiˆn nhanh vˆ phˆn phˆi
a .’ ´
o
chuˆ
a’n. Do do khi n > 30 ta c´ thˆ’ d`ng phˆn phˆi chuˆn thay cho phˆn phˆi Student.
¯´ o e u a ´
o a’ a ´
o


3.9 a ´
Phˆn phˆi
o ( isher− nedecor)
˜ ´
e n a m a ¯. ’.’ ˜
a e o a ´
2 ¯ inh nghia 22 Nˆu 2 v` 2 l` hai dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi ”khi b`
D. o ınh
’’ ´’ . ı ¯. ’.’ ˜
a e a ¯i ’’
phuong” voi n v` m bˆc tu do th` dai luong ngˆu nhiˆn n m x´c d. nh boi
a a .’

2
n /n
nm = 2 /m
m

´
duoc goi l` c´ phˆn phˆi
¯ ’.’ . a o a o ´
voi n v` m bˆc tu do.
’ a a .’
.


a
. e a a ¯o ’
. . a ´
⊕ Nhˆn x´t H`m mˆt dˆ cua phˆn phˆi
o c´ dang
o .

0 ; x≤0
p(x) = ( 2
)
( n )2 2 −1
; x>0
( 2 ). ( ) m
2 (1+ ) 2




´ .
o ¯˘
• C´c tham sˆ dac trung
a ’
m ´
E( n m ) = voi m > 2

m−2
m2 (2m + 2n − 4) ´
Va ( n m) = voi m > 4

n(m − 2)2 (m − 4)
4. ˜ `
ai uong ngˆu nhiˆn hai chiˆu
. ’’ a e e 49



3.10 a ´
Phˆn phˆi
o amma
˜ D. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 23 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn
D. a e ´ ´ a
duoc goi l` c´ phˆn phˆi Gamma voi c´c
¯ ’.’ . a o a o ’
´
tham so ( , ), k´ hiˆu
ˆ ı e . ´ ´
∈ ( , ), nˆu h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang
e a a ¯o a
. . a o .
− −1
( x)
; x≥0
f (x) = ( )
0 ; x 0) 2

1 a+b (b − a)2
De`
¯ ˆu (a ≤ x ≤ b)
b−a 2 12
’ 1 (x − )2
Chuˆn
a N (σ 2 , ) xp − σ2
σ 2 2σ 2
−2
2 .x 2 −1
Khi b` phuong
ınh ’’ (n) (x > 0, n > 0 n 2n
2 2 . (n)2
2 1
( n+1 )(1 + n )−
2
2 n
Student T (n) (n > 0) 0 (n > 1)
(n) n
2
n−2
− −1
( x)
Gamma ( , ) 2
( )


4. ’ .’ ˜
ˆ ˆ `
ˆ
DAI LUONG NGAU NHIEN HAI CHIEU
.
4.1 e
. `
e ¯. ’ .’ ˜
a e `
h´i niˆm vˆ dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu
a e

a˜ e e` a ¯ . ’ .’ ˜
a e a a a . o e’ ’
¯ ai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu l` dai luong ngˆu nhiˆn m` c´c gi´ tri c´ thˆ cua n´
D. ’ .’ o
duoc x´c d.nh ba
¯ ’ .’ a ¯i `ng hai sˆ. K´ hiˆu ( , ).
˘ ´ ı e
o .
`
a ’ ¯ . ’ .’ ˜ e`
( , duoc goi l` c´c th`nh phˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu)
¯ ’ .’ . a a a a e
D. ’ .’ ˜
a e e` ¯ ’ .’ . a ` .’ e . ´
e a a `
a ’
¯ ai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu duoc goi l` roi rac (liˆn tuc) nˆu c´c th`nh phˆn cua
o a a ¯ . ’ .’ a˜ e ` .
n´ l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac (liˆn tuc).
’ e .
50 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



4.2 ´ ´
a ’ ¯. ’ . ˜ `
Phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu
a o a ’ a e e
’ ´ ´
a) Bang phˆn phˆi x´c suˆt
a o a a
X\ y1 y2 ... yj ... ym
x1 P (x1 , y1 ) P (x2 , y2 ) ... P (x1 , yj ) ... P (x1 , ym )
x2 P (x2 , y1 ) P (x2 , y2 ) ... P (x2 , yj ) ... P (x2 , ym )
.
.
. ... ... ... ... ... ...
xi P (xi , y1 ) P (xi , y2 ) ... P (xi , yj ) ... P (xi , ym
.
.
. ... ... ... ... ... ...
xn P (xn , y1 ) P (xn , y2 ) . . . P (xn , yj ) . . . P (xn , ym )

trong d´
¯o
xi (i = 1, n) l` c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua th`nh phˆn X
a a a . o e ’ a a`

yj (j = 1, m) l` c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua th`nh phˆn
a a a . o e ’ a a`
P (xi , yj ) = P ( ( , ) = (xi , yj ) ) = P ( = xi , = yj ), i = 1, n, j = 1, m
n m
P (xi , yj ) = 1
i=1 j=1


b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt
a a ¯o a
. . ´
a
˜ o a e . ¯ ’.’ . a a a ¯o a
. . ´
2 ¯ inh nghia 24 H`m khˆng ˆm, liˆn tuc f (x, y) duoc goi l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt
D. a a
’ ¯. ’.’ ˜ e` ´
e o ’
cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu ( , ) nˆu n´ thoa m˜n
a e a
P ( ∈ A, ∈ B) = x f (x, y) y
A B
´’ a a a o .’
. ´
voi A, B l` c´c tˆp sˆ thuc.

a a ´
o a ´
c) H`m phˆn phˆi x´c suˆt
a
˜ ´ ´
a ’ ¯. ’.’ ˜ e`
2 ¯ inh nghia 25 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu ( , ),
D. a a o a a e
k´ hiˆu (x, y), l` h`m duoc x´c d. nh nhu sau
ı e . a a ¯ ’.’ a ¯i ’

(x, y) = P ( < x, < y)
Nhˆn x´t
a
. e

Ta c´
o (x, y) = P ( < x, < y) = f (x, y) y x nˆn
e
−∞ −∞

2
(x, y)
= f (x, y)
x y

4.3 a ’’ ’ a a `
y vong v` phuong sai cua c´c th`nh phˆn
` . a

’`
’ .’ ` .
i) Truong hop ( , ) roi rac

. a ´
o ’
hˆn phˆi xs cua h`m c´c
a a nn 51

n m m n
E( ) = xi P (xi , yj ); E( ) = yj P (xi , yj )
i=1 j=1 j=1 i=1
n m m n
Va ( )= x2 P (xi , yj ) − [E( )]2 ,
i Va ( )= yj P (xi , yj ) − [E( )]2
2

i=1 j=1 j=1 i=1

’`
ii) Truong hop ( , ) liˆn tuc
’ .’ e .
+∞ +∞ +∞ +∞

E( ) = xf (x, y) x y, E( ) = yf (x, y) x y.
−∞ −∞ −∞ −∞
+∞ +∞ +∞ +∞
2 2
Va ( ) = x f (x, y) x y − [E( )] , Va ( ) = y 2 f (x, y) x y −
−∞ −∞ −∞ −∞
[E( )]2

5. ˆ ˆ´ ´ ´
ˆ ’ ` ´ ’ .’
PHAN PHOI XAC SUAT CUA HAM CAC DAI LUONG
.
˜
ˆ ˆ
NGAU NHIEN

5.1 ’ o ¯. ’ .
. ’ ˜
H`m cua mˆt dai luong ngˆu nhiˆn
a a e
˜ ´ o a . o e’ ’ ¯. ’.’
˜ ˜ ’’ ´
2 ¯ inh nghia 26 Nˆu mˆi gi´ tri c´ thˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn X tuong ung voi
D. e a e ’ ´

o a . o e
. ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn th` duoc goi l` h`m cua dai luong ngˆu
mˆt gi´ tri c´ thˆ ’ ¯. ’.’ ˜
a e ı ¯ ’.’ . a a ’ ¯. ’.’ ˜
a
nhiˆn X. K´ hiˆu
e ı e . = ( ).
´
T´ chˆt
ınh a
´
e a ¯ . ’ .’ ˜
a e ` . a
’ ı ´
’ ´ a
i) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac v` = ( ) th` ung voi c´c gi´ tri kh´c
’ a . a
’ o a a . a ’
nhau cua X ta c´ c´c gi´ tri kh´c nhau cua v` c´
a o
P( = (xi )) = P ( = xi )
’ ’’ ˜ e . o a a ¯ˆ a
. . ´
ii) Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt do x´c suˆt f (x) v`
a ¯ . ’ .’ a e a a
= ( ).
e´ a a ’
Nˆu y = (x) l` h`m kha vi, don diˆu, c´ h`m nguoc l` x = (y) th` h`m mˆt do
¯’ ¯e. o a ’ .’ a ı a a ¯ˆ
. .
x´c suˆ
a a´t (y) cua dai luong ngˆu nhiˆn duoc x´c d.nh boi
’ ¯ . ’ .’ ˜
a e ¯ ’ .’ a ¯i ’’
(y) = f ( (y)). (y)

ı . ’ ’’ a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o ’
’ a ´
o a ´
• V´ du 21 Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt
a
X 1 3 4
0,3 0,5 0,2

a
. a ´
o a ´
a ’
T` qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua
ım = 2
.
G ’
C´c gi´ tri c´ thˆ’ nhˆn l` y1 = 12 = 1; y2 = 32 = 9; y3 = 42 = 16. Vˆy phˆn
a a . o e a a . a
. a
phˆi x´c suˆt cua c´ thˆ’ cho boi
´
o a ´
a ’ o e ’’
52 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a


1 9 16
P 0,3 0,5 0,2

a ´
• C´c tham sˆ
o
´ ˜ e ` .
i) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn
e a ¯ . ’ .’ a ’ a
. o
. a a .
´ a a a ’’ ´
´
voi c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th`
’ ’ ı
n
E( ) = E[ ( )] = (xi )pi
i=1

n
2
V a ( ) = V a [ ( )] = (xi )pi − [E( )]2
i=1

´ ˜
a e e . o a a ¯o a
. . ´
ii) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x) th`
e a ¯ . ’ .’ a ı
+∞
E( ) = E[ ( )] = (x)f (x) x
−∞
+∞
2
V a ( ) = V a [ ( )] = (x)f (x) x − [E( )]2
−∞


5.2 a ’ ¯. ’ . ’ ˜
a e `
H`m cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu
e
2 ¯ inh nghia 27 Nˆu mˆi c˘p gi´ tri c´ thˆ’ c´c dai luong X v` tuong ung voi mˆt
D. ˜ ´ o a
e ˜ . a . o e a ¯. ’.’ a ’’ ´ ’ ´ o
’ .
’ cua th` duoc goi l` h`m cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X, . K´ hiˆu
gi´ tri c´ thˆ ’
a . o e ı ¯ ’.’ . a a ’ ¯. ’.’ ˜
a e ı e.
= ( , ).

u´ e a ¯i
. a ´
o a ´
a ’ ’`’ ´
a ´ .
Ch´ y Viˆc x´c d.nh phˆn phˆi x´c suˆt cua = ( , ) thuong rˆt phuc tap. Ta

’`’ .’ ¯’ ’ o ´ dˆy.
x´t truong hop don gian = + thˆng qua v´ du duoi ¯a
e ı . ’’

’ ’’
• V´ du 22 Gia su X v`
ı . a ˜ e ¯o a o ’ ´
l` hai dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c´ bang phˆn phˆi x´c
a ¯. ’.’ a . . a o a
´
suˆt
a

X 1 2 3 4
0,3 0,7 0,2 0,8

a ´
o a ´
a ’
T`m phˆn phˆi x´c suˆt cua
ı = + .
G ’
C´c gi´ tri c´ thˆ’ cua
a a . o e ’ l` tˆng cua mˆt gi´ tri cua X v` mˆt gi´ tri c´ thˆ’ cua
a o ’ ’ o a . ’
. a o a . o e ’
. .
Do d´
¯o nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’
a a
. a . o e
1 = 1 + 3 = 4; 2 = 1 + 4 = 5; 3 = 2 + 3 = 5; 4 =2+4=6
a a a ’’ ´
´
C´c x´c suˆt tuong ung l`
’ a
P( = 4) = P ( = 1).P ( = 3) = 0, 3 0, 2 = 0, 06
P( = 5) = P ( = 1, = 4) + P ( = 2, = 3)
6. . ´
uˆt sˆ on
a o ’ 53



= P( = 1).P ( = 4) + P ( = 2).P ( = 3)
= 0, 3 0, 8 + 0, 7 0, 2 = 0, 38
P( = 6) = P ( = 2).P ( = 4) = 0.7 0, 8 = 0, 56
Vˆy
a
. ´ ´
c´ phˆn phˆi x´c suˆt
o a o a a
4 5 6
P 0,006 0,38 0,56


6. ˆ ´ ’
ˆ ´
LUAT SO LON
.
6.1 ´ ’
a ¯˘ ´
Bˆt dang thuc
’ arkov
D. y ´
e a ¯. ’.’ ˜
¯ inh l´ 1 Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn gi´ tri khˆng ˆm th`
a e a
. a . o a ı > 0 ta c´
o
E( )
P( ≥ a) ≤
a


´
’ ´
’ ’`’ .’ ˜
Chung minh. Ta chung minh trong truong hop X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´
a ¯ . ’ .’ a e e . o
h`m mˆt dˆ f (x).
a a ¯o
. .
+∞ +∞

E( ) = xf (x) x = xf (x) x + xf (x) x
0 0

+∞ +∞ +∞

≥ xf (x) x ≥ af (x) x = a = aP ( ≥ a).

2

6.2 ´ ’
a ¯˘ ´
Bˆt dang thuc Tchebyshev

e´ a ¯. ’.’ ˜
¯ inh l´ 2 Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ k` vong
D. y a e o y . v` phuong sai σ 2 huu han
a ’’ ˜ .

th`
ı > 0 b´ t`y ´ ta c´
e u y o
Va ( )
P (| − |≥ )≤ 2
hay
Va ( )
P (| − |< )>1− 2

´
Chung minh.

´
Ta thˆy (
a a ¯ . ’ .’ ˜
− )2 l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn gi´ tri khˆng ˆm.
a e a
. a . o a
´ . ´ ’
a ¯˘ ´’ ´
Ap dung bˆt dang thuc Tchebyshev voi a = 2 ta duoc
’ ¯ ’ .’
E[( − )2 ] Va ( )
P [( − )2 ≥ 2
]≤ 2
= 2
54 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



V` (
ı − )2 ≥ 2
khi v` chi’ khi |
a − |≥ nˆn
e

Va ( )
P (| − |≥ )≥ 2

2

´ ’
u ´ a ¯˘ ´
’ u ’’ e
. ´
Ch´ y Bˆt dang thuc Markov v` Tchebuchev gi´p ta phuong tiˆn thˆy duoc gioi
a a ¯ ’ .’ ´

. ’ a ´ y . a ’’ ’ a ´
o a ´
a ’ ´
han cua x´c suˆt khi k` vong v` phuong sai cua phˆn phˆi x´c suˆt chua biˆt.
a e

´
’ ’’ o ’ ’
a ¯ ’.’ ’ ´
a ’ `
• V´ du 23 Gia su sˆ san phˆm duoc san xuˆt cua mˆt nh` m´y trong mˆt tuˆn l`
ı . o
. a a o
. a a
mˆt dai luong ngˆ
o ¯. ’.’
. a e ´ y .
˜u nhiˆn voi k` vong = 50.

a) C´ thˆ’ n´i g` vˆ x´c suˆt san phˆm cua tuˆn n`y vuot qu´ 75.
o e o ı e` a ´
a ’ a’ ’ `
a a ’.’ a
b) Nˆu phuong sai cua san phˆm trong tuˆn n`y l` σ 2 = 25 th` c´ thˆ’ n´i g` vˆ x´c
e´ ’’ ’ ’ a’ `
a a a ı o e o ı e a `
´
a ’
suˆt san phˆ
a’m tuˆn n`y s˜ o giua 40 v` 60.
a a e ’’ ˜
` ’ a

Giai
´ ’
a ¯˘ ´
a) Theo bˆt dang thuc Markov


E( ) 50 2
P( > 75) ≥ = =
75 75 3
´ ’
a ¯˘ ´
b) Theo bˆt dang thuc Tchebyshev


σ2 25 1
P (| − 50| ≥ 10) ≤ 2 = =
10 100 4
Do d´
¯o
1 3
P (40 < < 60) = P (| − 50| < 10) > 1 − =
4 4

6.3 ¯ inh l´ Tchebyshev
D. y
D. y . y ´
e a ¯. ’.’ ˜
¯ inh l´ 3 ( inh ´ Tchebyshe ) Nˆu c´c dai luong ngˆu nhiˆn 1 , 2 , . . . ,
a e n dˆc
¯o
.
lˆp tung ¯o o y .
a ’
. ˜ . a a
’ ’’ ¯e . e ’’ o ´
` dˆi, c´ k` vong huu han v` c´c phuong sai dˆu bi ch˘n trˆn boi sˆ C th`
` . a ı >0
b´t`y ´ ta c´
eu y o
1 n 1 n
lim P i− E( i) < ) =1
n→∞ n i=1 n i=1
1 n

¯ ac biˆt, khi E(
. e
. i ) = a; (i = 1, n) th` lim (|
ı n→∞ i − a| < ) = 1
n i=1

´
’ ´
’ ’`’ .’ ¯˘ e
Chung minh. Ta chung minh trong truong hop dac biˆt E( i ) = , V a (
. . i) = σ 2 (i =
1, 2 . . . , n). Ta c´
o
1 n 1 n σ2
E( i )= , Va ( )=
n i=1 n i=1 n
. B`i tˆp
a a . 55


´ ’
a ¯˘ ´
Theo bˆt dang thuc Tchebyshev


1 n σ2
P i− ≤
n i=1 n 2

2


• ´ nghia
˜

M˘c d` tung dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ thˆ’ nhˆn gi´ tri sai kh´c nhiˆu so voi
a u ` ¯ . ’ .’
. ’ a˜ e ¯ˆ a o e a
. . . a . a e` ´’
u ’ ınh o´ hoc cua mˆt sˆ lon dai luong ngˆu nhiˆn lai
k` vong cua ch´ng, nhung trung b` sˆ . ’
y . ’ ´ ´ ¯ . ’ .’
o o ’
. ˜
a e .
nhˆn gi´ tri gˆn
a
. a . a `
˘ ´ . ’ a y .
` bang trung b` sˆ hoc cua c´c k` vong cua ch´ng. ¯ iˆu n`y cho ph´p
ınh o ’ u De` a e
’ ¯ a
. a . ´
ınh o . ’ a ¯ . ’ .’ ˜
ta du do´n gi´ tri trung b` sˆ hoc cua c´c dai luong ngˆu nhiˆn.
a e


6.4 ¯ inh l´ Bernoulli
D. y
D. y ¯. y ´
e a a` ´
a ´ e
a . ´ ´
¯ inh l´ 4 (Dinh l´ Bernoulli) Nˆu fn l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A trong n
e o
’’ ¯o a a a a
. . ´
a ´ .
a e ´ ´
e o ˜
o e ’’ ı
ph´p thu dˆc lˆp v` p l` x´c suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A trong mˆi ph´p thu th`
e > 0 b´
e
t`y ´ ta c´
u y o
lim P (|fn − p| < ) = 1
n→∞

• ´ nghia
˜
` ´ ´ . ´ ´ ’’ ¯ˆ a a e` a
` ´ ´ . ´
Tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ trong n ph´p thu doc lˆp dˆn vˆ x´c suˆt xuˆt hiˆn biˆn
a a a e e o e . . a a e e
´ ˜ ’’ ´ ’’ a
cˆ trong mˆi ph´p thu khi sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han.
o o e o e e o .


7. ` ˆ
BAI TAP
.
. o ’ `
’` o a ˜
’ . a˜
1. Mˆt nh´m c´ 10 nguoi gˆm 6 nam v` 4 nu. Chon ngˆu nhiˆn ra 3 nguoi.
o o e ’`’
. ´ nu o trong nh´m. Lˆp bang phˆn phˆi x´c suˆt cua X v` t´
Goi X l` sˆ ’
a o ˜ ’’ o a
. ’ a o´ a ´ ’
a a ınh
E( ), V a ( ), m ( ).

¯o` `’ ´
u ˘ a ¯o ¯o ´ ` ´ ’ ´ ´ ´ .
2. Gieo dˆng thoi hai con x´c sac cˆn dˆi dˆng chˆt. Goi l` tˆng sˆ nˆt xuˆt hiˆn
a . a o o o a e
a
. ´c. lˆp bang qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua . T´ E( )
trˆn hai m˘t con x´c sa a ’
e u ˘ . a
. a ´
o a ´
a ’ ınh
v` V a ( ).
a

o a o o
. . o ¯e ¯´ o o ´
o a o ’
3. Trong mˆt c´i hˆp c´ 5 b´ng d`n trong do c´ 2 b´ng tˆt v` 3 b´ng hong. Chon .
ngˆ
a e ’ o ¯ ’’ ’’ o ¯e´
˜u nhiˆn tung b´ng dem thu (thu xong khˆng tra lai) cho dˆn khi thu duoc 2
` ’ . ¯ ’ .’
´
b´ng tˆt. Goi
o o . ´ ` ’’ a ` ´ ´ ´
a ’
l` sˆ lˆn thu cˆn thiˆt. T` phˆn phˆi x´c suˆt cua . Trung
a o a e ım a o a
b` cˆn
ınh a ’’
` thu bao nhiˆu lˆn
e a `

. ’ ´
4. Mˆt dot xˆ sˆ ph´t h`nh N v´. Trong d´ c´ mi v´ tr´ng ki dˆng mˆt v´ (i =
o ¯ .’ o o a a e ¯o o e u ¯o` o e
.
’ gi´ cua mˆi v´ sˆ l` bao nhiˆu dˆ’ cho trung b` cua tiˆn thuong
1, 2, . . . , n). Hoi a ’ ˜ e o a
o ´ e ¯e ınh ’ e` ’ ’’
˜
o e ˘ ` o ’’ a e` ’
cho mˆi v´ bang mˆt nua gi´ tiˆn cua mˆt v´
. o e
.
56 Chuong .
’’ . ’’ ˜
a e a a ´
o a ´
ai uong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
a



’ . ’ . . o u a ¯o a o ¯ . ’ .’
. ˜
5. Tuˆi tho cua mˆt loai cˆn tr`ng n`o d´ l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
o o a e e .
(¯on vi l` th´ng) c´ h`m mˆt dˆ
d’ . a a o a a ¯o
. .
´
kx2 (4 − x) nˆu 0 ≤ x ≤ 4
e
f (x) = ´
0 nˆu nguoc lai
e ’ .’ .

ım ˘` ´
a) T` hang sˆ k.
o
b) T` m ( ).
ım
c) T´ x´c suˆt dˆ’ cˆn tr`ng chˆt truoc khi n´ duoc 1 th´ng tuˆi.
ınh a ´
a ¯e o u ´
e ’´’ o ¯ ’ .’ a o’

¯ . ’ .’ ˜
6. Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
a e e . c´ h`m mˆt dˆ
o a a ¯o
. .
kx2 −2 x≥0
f (x) =
0 x 0
e
6. a) k = 4, b) (x) = ´
0 nˆu x < 0
e
c) m ( ) = 1, d) E( ) = 3 , V a ( ) = 3 .
2 4

7. ∈ B(250, 2%) a) P ( = 2) = 0, 0842, b) P (x ≤ 2) = 0, 1247.
8. a) P = 0, 665, b) P = 0, 619, c) P = 0, 597.

9. P ( = x) = . ´
voi a = np = (2000).(0, 001) = 2.

!

P( = 3) = 0, 18, P ( > 2) = 0, 323.
10. E( ) = 160, V a ( ) = 19, 238. 11. P = 0, 09.
12. a) P ( > 300) = 1 − (1, 25) == 0, 1056,
b) P ( , 175) == (−1, 875) = 0, 0303,
c) P (260 < < 270) = (0, 5) − (0, 25) = 0, 0928.
13. a) 18, b) 22, c) 213, d) 14.
3 4 5 6 7
14.
0,08 0,12 0,32 0,18 0,3
15. E( ) = 13, 2, V a ( ) = 79, 36.
o a ´
o . ´ ´
’ ’ e ´ . ´ ’
a ¯˘ ´
16. X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi P = 6 nˆn E( ) = n . Ap dung bˆt dang thuc
1

6
Tchebyshev ta duoc bˆ ¯˘
¯ ’ .’ a ’
´t dang thuc cˆn chung minh.
´ a
’ ` ´

Chuong
’’

´’ ´
ˆ ’
U’OC U’ONG THAM SO CUA AI U’ONG
.’ . .’
˜
ˆ ˆ
NGAU NHIEN

Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ chua biˆt. ’oc luong tham sˆ l` dua
’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜
a e o ´
o ’ ´
e ´ ’ .’
’ ´
o a .’
˜
a a˜
v`o mˆu ngˆu nhiˆn
a e = ( 1 , 2 , . . . , n ) ta dua ra thˆng kˆ ˆ = ˆ( 1 , 2 , . . . , n )
¯’ ´
o e
’ uoc luong (du do´n) .
´ ’ .’
dˆ ’ ’
¯e .’ ¯ a
o ’’ a ’ ´ ’ .’
C´ 2 phuong ph´p uoc luong:

i) ’oc luong diˆ’m: chi’ ra = 0 n`o do dˆ’ uoc luong .
´ ’ .’ ¯ e
’ a ¯´ ¯e ’ ´ ’ .’

ii) ’oc luong khoang: chi’ ra mˆt khoang ( 1 , 2 ) chua sao cho P (
´ ’ .’
’ ’ o
. ’ ´
’ 1 < < 2) =
1 − cho truoc´ (1 − goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong).
’’ . a ¯o . a ’ ’’
. ´ ’ .’

´’ ’
1. CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG DIEM
´ ’ ´ .’ ˆ

1.1 ’’ a ’´ ’.
Phuong ph´p h`m uoc luong
a ’ ’
• o ’
ˆ ta phuong ph´p
’’ a
’ ’’ a ’ ´ ’ .’
` ’ ´ ’ ¯ . ’ .’
o ˜
a e `
’ a
. ˜
a ˜
Gia su cˆn uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn X. Tu X ta lˆp mˆu ngˆu
a
nhiˆn
e = ( 1 , 2 , . . . , n ).
Chon thˆng kˆ ˆ = ˆ( 1 , 2 , . . . , n ). Ta goi ˆ l` h`m uoc luong cua .
. o´ e . a a ’ ´ ’.’ ’ ’
Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’
.’ e
. e ’’ ¯ ’ .’ a˜ . e ¯o ’ ´ ’ .’
= (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi d´ uoc luong

diˆ
¯e ’m cua l` gi´ tri 0 = ˆ(x1 , x2 , . . . , xn ).
’ a a .

a) ’oc luong khˆng chˆch
´ ’’
’ . o e
.
2 ¯ inh nghia 1 Thˆng kˆ ˆ = ˆ(
D. ˜ ´
o e 1, 2, . . . , n) ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch
’ o e
.
’ ´ ´
cua tham sˆ nˆu E(
o e ˆ) = .
´ nghia
˜
Gia su ˆ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ . Ta c´
’ ’’ a ’ ´ ’ .’
’ o e
. ’ ´
o o
E( ˆ − ) = E( ˆ) − E( ) = − = 0

69
70 Chuong .
’’ ’oc uong tham sˆ cua
´ ’’
’ ´
o ’ ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e



a ’ ´ ’ .’
. ’ e
. a ’ ´ ’ .’
’ o ´
o `
ınh ˘
Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang 0.
o

⊕ Nhˆn x´t
a
. e
ınh ’ ˜
a ˜
i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn
a e a ’ ´ ’ .’ ’ ınh ’
l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua
’ o e
.

o’ng thˆ’ = E( ) = m v` E( ) = m.
e ı
’’ ¯ e` ˜
a a˜ e a ’ ´ ’ .’
ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S 2 l` uoc luong khˆng chˆch cua
’ ’ ’ o e
. ’
’’ ’ o
phuong sai cua tˆ’ng thˆ’ σ 2 v` E(S 2 ) = σ 2 .
e ı

e` ’ ’’
• V´ du 1 Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi
ı . a ¯ ’.’

’ e` e ´
Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim
o a x0
i i ni i ni 2
i
[6, 25 − 6, 75) 1 6,5 4 4 16
[6, 75 − 7, 25) 2 7,0 3 6 18
[7, 25 − 7, 75) 5 7,5 2 10 20
[7, 75 − 8, 25) 11 8 1 11 11
[8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0
[8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9
[9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12
[9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9
50 13 95

e` ’ a
Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim
. a
a) H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim.
a ’ ´ ’ .’ ¯ e
’ e` ınh ’ a a
b) H˜y chi
a ’ ra uoc luong diˆ’m cho do tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu
’’´ ’ .’ ¯ e ¯ˆ
. ’ a ’ a e` a ´’ e`
cao trung b`ınh.
c) Goi p = P (7, 75 ≤ ≤ 8, 75). H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho p.
. a ’ ´ ’ .’ ¯ e


Giai
’ 2
Ta lˆp bang t´ cho x v`
a
. ınh a .

’ ´ x0 − 8, 5
i
Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn
.’ e
. e ¯o e i = (x0 = 8, 5; = 0, 5)
0, 5
Ta c´
o = − 13 = −0, 26. Suy ra
50

x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37
2 95
= (0, 5)2 .− (−0, 26)2 = 0, 4581 (0, 68)2 .
50
e` ınh ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’
a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t.
’ a e
Do ’
. a ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’
b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l`
’ a = 0, 68 m´t ho˘c ˆ =
e a
.
50
50−1
0, 4581 0, 684

o a e` o
. ’
c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang
a ¯˜
[7, 5 − 8, 5)
Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p =
a ’ ´ ’ .’ ¯ e
. ’ a 29
50
= 0, 58.
1. a ’’ a ’´ ’ ’
´c phuong ph´p uoc uong
’ ’
iˆm
e 71



b) ’oc luong hiˆu qua
´ ’’
’ . e
. ’

a. e ’ ’’ a ’ ´ ’ .’
’ o e
. ’ ´
o ´ ’
⊕ Nhˆn x´t Gia su ˆ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ . Theo bˆt dang thuc
a ¯˘ ´

Tchebychev ta c´
o
V a ( ˆ)
P (| ˆ − E( ˆ)| < ) > 1 − 2

V a ( ˆ)
V` E( ˆ) =
ı nˆn P (| ˆ − | < ) > 1 −
e 2
.

Ta thˆy nˆu V a ( ˆ) c`ng nho th` P (| ˆ − | < ) c`ng gˆn 1. Do do ta s˜ chon ˆ voi
´ ´
a e a ’ ı a a` ¯´ e . ´’
Va ( ˆ) nho nhˆt.
’ a´

2 ¯ inh nghia 2 ’oc luong khˆng chˆch ˆ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham
D. ˜ ´ ’.’
’ o e
. ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
’ o e . ’ ’
´ ´
sˆ nˆu V a (
o e ˆ) nho nhˆt trong c´c uoc luong cua .
’ a ´ a ’ ´ ’.’
’ ’

Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu ˆ l` uoc luong hiˆu qua cua
u´ ’`’ ´
’ `
¯ ’ .’ ˘ e´ a ’ ´ ’ .’
’ e
. ’ ’ th` phuong
ı ’’

sai cua n´ l`
o a
1
V a ( ˆ) = (4.1)
n.E( n ( ) )2
a a a ¯o a
. . ´
a ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o ´ . ’´
trong d´ f (x, ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc. Moi uoc
¯o ’
’ .’ . ’’ ´
luong khˆng chˆch luˆn c´ phuong sai lon hon V a (
o e o o ’ ’ ˆ) trong (4.1). Ta goi (4.1) l` gioi
. a ´ ’
han Crame Rao.
.
2
. ´ ˜
⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc
a e e ¯ . ’ .’ a e o ´ ∈ N( , ˜
) th` trung b` mˆu
ı ınh a l`
a
n
’ ´ ’ .’
’ e
. ’ ’ y .
uoc luong hiˆu qua cua k` vong E( ) = .

´ 1 n σ2
Thˆt vˆy, ta biˆt
a a
. . e = i ∈ N( , )
n i=1 n

M˘t kh´c do
a
. a o a ´
o ’
a e e ´ a a a ¯o ’
c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, ) l` h`m mˆt dˆ cua
. . i th`
ı
1 −( − )2 2 2
f (x, ) =
σ 2
x−
Ta c´
o lnf (x, ) = .
σ2
2 2
lnf (x, ) x− n `
Suy ra nE = nE = ınh ˘
. Do d´ V a ( ) ch´ bang nghich
¯o .
σ2 σ2
dao σ 2 /n.
¯’
Vˆy
a
. a ’ ´ ’ .’ ’ ’
l` uoc luong hiˆu qua cua .
’ e
.

c) ’oc luong vung
´ ’’
’ . ˜

2 ¯ inh nghia 3 Thˆng kˆ ˆ = ˆ( 1 , 2 , . . . , n ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham
D. ˜ ´
o e ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’
’ ˜’ ’
´ nˆu

o ´
e > 0 ta c´
o
lim P (| ˆ − | < ) = 1
n→∞
72 Chuong .
’’ ’oc uong tham sˆ cua
´ ’’
’ ´
o ’ ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e




De ` e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ .’
. ’ ˜
¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung’
Nˆu ˆ l` uoc luong khˆng chˆch cua
e´ a ’ ´ ’ .’
’ o e
. ’ v` n→∞ V a ( ˆ) = 0 th` ˆ l` uoc luong vung
a lim ı a ’ ´ ’ .’
’ ˜


cua .

1.2 ’’ a ’´ ’.
’ ’ . y o ¯
’ ´
Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da
’ ’’
Gia su = ( 1, 2, . . . , n) ˜ ˜ e ¯ ’ .’ . e ` ¯ . ’ .’
l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu
a a a ’ ˜
a
nhiˆn
e c´ mˆu cu thˆ’
˜
o a . e = (x1 , x2 , . . . , xn ) v`
a ˆ = ˆ( 1 , 2 , . . . , n ).

e a a .’ y ´ ´ a ¯i
’ ¯o o
X´t h`m h`m hop l´ (x1 , . . . , xn , ) cua dˆi sˆ x´c d.nh nhu sau:

´
• Nˆu
e ` .
roi rac:



(x1 , . . . , xn , ) = P ( 1 = x1 / , . . . , n = xn / ) (4.2)
n
= P( i = xi / ) (4.3)
i=1


(x1 , . . . , xn , ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’
a a ´
a ¯e a ¯ ’ .’
. ˜
a . e = (x1 , . . . , xn )
´
• Nˆu
e ´
liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, )
e . o a a ¯o a
. . a

(x1 , . . . , xn , ) = f (x1 , )f (x2 , ) . . . f (xn , )

(x1 , x2 , . . . , xn , ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m
a a ¯o ’ a
. . ´
a . ¯e (x1 , x2 , . . . , xn )

Gi´ tri 0 = ˆ(x1 , x2 , . . . , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´
a . ¯ ’ .’ . a ’ ´ ’ .’
’ .’ y o ¯ e ´
´ ´ ’ ´ a

. a ’
tri n`y cua h`m hop l´ dat cuc dai.
a .’ y ¯ . .’ ¯ .
Phuong ph´p t`
’’ a ım

V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri
ı a a ¯ . .’ ¯ . . u o a .
. nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L.
e e ı e
ln
’´
Buoc 1: T`
’ ım

ln
’´
’ ’
Buoc 2: Giai phuong tr`
’’ ınh (Phuong tr` hop l´)
’’ ınh .’ y

’ ’’
Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l`
’’ ınh o e a
. 0 = ˆ(x1 , x2 , . . . , xn )
2
ln
’´
’ ım ¯ . a ´
Buoc 3: T` dao h`m cˆp hai
a
2
ln
´
Nˆu tai
e . 0 m`
a < 0 th` lnL dat cuc dai. Khi do
ı ¯ . .’ ¯ . ¯´ 0 = ˆ(x1 , x2 , . . . , xn ) l` uoc
a ’´’
luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua .
’ .’ ¯ e ´
.’ y o ¯ ’
2. ’
huong ph´p khoang tin cˆ
’’ a a 73



2. PHU’ONG PHAP
’ ´ ’ ˆ
HOANG TIN CAY
.
2.1 o ’
ˆ ta phuong ph´p
’’ a
Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ chua biˆt. Ta t` khoang ( 1 ,
’ ’’ o ’ e o o´ ’ ´
e ım ’ 2)
´
chua
’ sao cho
P ( 1 < < 2 ) = 1 − cho truoc.’´

` ¯ . ’ .’
’ ˜
Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc
a e o ´ ˜ ˜
lˆp mˆu ngˆu nhiˆn
a
. a a e = ( 1 , 2 , . . . , n ). Chon
.
´
thˆng kˆ
o e ˆ = ˆ( 1 , 2 , . . . , n ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt .
o a ´
o a ´
a a ¯i u ’ e´

Voi 1 kh´ b´ ( 1 < ) ta t` duoc phˆn vi 1 cua ˆ (tuc l` P ( ˆ < 1 ) = 1 ).
´’ a e ım ¯ ’ .’ a . ’ ´ a

´
’ ’`
Voi 2 m` 1 + 2 = kh´ b´ (thuong lˆy
a a e ’ ´
a ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi
ım ¯ ’ .’ a . 1− 2

cua
ˆ (tuc l` P ( ˆ < 1− ) = 1 − 2 ).
´ a
’ 2


Khi d´
¯o

P( 1 ≤ ˆ≤ 1− 2 ) = P (ˆ < 1− 2 ) − P (ˆ < 1 )=1− 2 − 1 =1− ( )

Tu (*) ta giai ra duoc . Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P ( ˆ1 < < ˆ2 ) = 1 − .
`’ ’ ¯ ’ .’ ¯o ¯ ’ .’ ¯ ’ e` .
V` x´c suˆt 1 − gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ ( ˆ1 < < ˆ2 ) hˆu nhu xay ra. Thuc hiˆn
ı a ´
a ` `
a ˘ e ´ ´
e o a` ’ ’ .’ e
.
o
. e ’’ ¯o ´ a
´ ’ ˜ ˜
mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn
a e ta thu duoc mˆu cu thˆ’
˜
¯ ’ .’ a . e = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri 1 = ˆ1 (x1 , x2 , . . . , xn ), 2 = ˆ2 (x1 , x2 , . . . , xn ).
’ ˜
` a . e a ınh ¯ ’ .’ a .
Vˆy voi 1 − cho truoc, qua mˆu cu thˆ’
a ´
. ’ ’´
’ ˜
a . e ım ¯ ’ .’ ’
ta t` duoc khoang ( 1 , 2)
´
chua
’ sao
cho P ( 1 < < 2 ) = 1 − .


• Khoang ( 1 , 2) ’
duoc goi l` khoang tin cˆy.
¯ ’ .’ . a a
.
• 1− ¯ ’ .’ . a ¯o. a ’ ’ ´ ’ .’
duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong.
. ’

• | 2 − 1| ¯ ’ .’ . a ¯o a
. ’
duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy.
a
.

2.2 ’ oc luong trung b`
´ ’.
’ ’ ınh
Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E( ) = m chua biˆt. Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua
’ ’’ ınh ’ o ’ e ’ ´
e ım ’ ´

´ 1 − l` do tin cˆy cho truoc.
m sao cho P (m1 < m < m2 ) = 1 − , voi
’ a ¯ˆ
. a. ´
’’

’`
i) Truong hop 1
’ .’
´
Biˆt V a ( ) = σ 2
e
. ’ o a ´
o a’
n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn)
a

. ´
Chon thˆng kˆ
o e
( − m) n
= (4.4)
σ
´
Ta thˆy
a ∈ N (0, 1).
74 Chuong .
’’ ’oc uong tham sˆ cua
´ ’’
’ ´
o ’ ˜
ai uong ngˆu nhiˆn
. ’’ a e



Chon c˘p
. a . 1 v`
a 2 sao cho 1 + 2 = v` t` c´c phˆn vi
a ım a a .
P( < 1 )= 1, P( < 2 )=1− 2


a o ınh a ´
Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt
a . =− 1− nˆn
e
1 1



P (− 1− 1 < < 1− 2 ) = 1 − (4.5)
.’ a a ’ e a . ´
Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` trong (4.5) ta duoc
’’ ınh ¯ ’ .’
σ σ
− 1− 2 < m < + 1− 1
n n

De’ ¯ ’ .’ ’ a ¯o ´
. ´ ’
¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon 1 = 2 =
. 2
a ¯˘
v` dat
. =1− 2
th`
ı
σ σ
− 1− 2 ( 0 ∈ ı a ’ ’ ´
) th` b´c bo gia thiˆt
e ´
v` chˆp nhˆn
a a a
. .

´
• Nˆu
e 0 < 1− 2 ( 0 ∈
/ ´
) th` chˆp nhˆn
ı a a
. 0.


• V´ du 1 Mˆt t´n hiˆu cua gi´ tri m duoc goi tu d. a diˆ’m A v` duoc nhˆn o d. a
ı . o ı
. e
. ’ a . ¯ ’.’ ’’ ` ¯i ¯ e
’ a ¯ ’.’ a ’’ ¯i
.
diˆ
¯e ’m B c´ phˆn phˆi chuˆn voi trung b` m v` dˆ lˆch tiˆu chuˆn σ = 2. Tin rang
o a ´
o a’ ´ ’ ınh a ¯o e
. . e a’ `
˘
a . ’ ı ¯ ’.’ ’’ o˜ a ’`
gi´ tri cua t´n hiˆu m = 8 duoc goi mˆi ng`y. Nguoi ta tiˆ a
e
. ’ e e ’
´n h`nh kiˆm tra gia thiˆt n`y
’ ´ a
e
`ng c´ch goi 5 t´n hiˆu mˆt c´ch dˆc lˆp trong ng`y th` thˆy g´ tri trung b` nhˆn
˘
ba a ’’ ı e. o a ¯o a
. . . a ı a ´ ıa . ınh a .
duoc tai d. a diˆm B l` = 9, 5. Voi dˆ tin cˆy 95%, h˜y kiˆ’m tra gia thiˆt m = 8 dung
¯ ’.’ . ¯i ¯ e’ a ´ ¯o
’ . a. a e ’ e ´ ¯´
hay khˆng?
o

Giai
Ta cˆn kiˆ’m d.nh gia thiˆt
a` e ¯i ’ ´
e : m0 = 8 ( : m0 = 8)
Ta c´ n = 5 < 30. ¯ ˆ tin cˆy 1 −
o Do. a
. = 0, 95 =⇒ 1 − 2
= 0, 975

a . a’
Phˆn vi chuˆn 0 975 = 1, 96.
e` a ’ a
Miˆn b´c bo l` = (− ; −1, 96) (1, 96; + ).
|x − m0 | 9, 5 − 8
Gi´ tri quan s´t
a . a 0 = n= 5 = 1, 68.
σ 2
´
Ta thˆy m0 ∈
a / ’ ´
nˆn gia thiˆt
e e ´
duoc chˆp nhˆn.
¯ ’ .’ a a.

2.2 ’`
Truong hop 2:
’ ’
.
’ ´
σ 2 chua biˆt
e
n ≥ 30


’` ˜ ´ ’
Trong truong hop n`y ta vˆn chon thˆng kˆ nhu trˆn trong d´ dˆ lˆch tiˆu chuˆn σ
’ .’ a a . o e ’ e ¯o ¯o e
. . e a
¯ ’ .’ ’’ ¯o e
. . e ’
a ’ ˜
a ˜
duoc thay boi dˆ lˆch tiˆu chuˆn cua mˆu ngˆu nhiˆn S .
a e

( − m0 )
= n
S
´
Nˆu
e dung th`
¯´ ı o e` a ’ a
∈ N (0, 1). Tuong tu nhu trˆn ta c´ miˆn b´c bo l`
’’ .’ ’ e

={ :| |> 1− 2 } = (− ; 1− 2 ) ( 1− 2 ; + )

|x − m0 |
Lˆy mˆu cu thˆ’ v` ta t´ gi´ tri quan s´t
´
a ˜
a . e a ınh a . a 0 = n.

So s´nh
a 0 v`
a 1− 2 .

´
• Nˆu
e 0 > 1− 2 ( 0 ∈ ı a ’ ’ ´
) th` b´c bo gia thiˆt
e ´
v` chˆp nhˆn
a a a
. .

´
• Nˆu
e 0 < 1− 2 ( 0 ∈
/ ´
) th` chˆp nhˆn
ı a a
. 0.
88 Chuong .
’’ ’
iˆm
e ’ ´ ´
.nh gia thiˆt thˆng kˆ
i e o e



ı . o
. o e ´ ’ e o ˘ ´ ` ınh o . ’` a
• V´ du 2 Mˆt nh´m nghiˆn cuu tuyˆn bˆ rang trung b` mˆt nguoi v`o siˆu thi
’ e .
´t 140 ng`n dˆng. Chon mˆt mˆu ngˆu nhiˆn gˆm 50 nguoi mua h`ng, t´ duoc
tiˆu hˆ
e e a ¯o ` . o a
. ˜ ˜
a e o ` `
’’ a ınh ¯ ’.’
´
o e` ı . e a a ¯o ` ´ ¯o e
’ . . e ’
a ¯ e` ’ ’
sˆ tiˆn trung b`nh ho tiˆu l` 154 ng`n dˆng voi dˆ lˆch tiˆu chuˆn diˆu chinh cua mˆu ˜
a
´ ´ y ˜ e’ ¯i e o ’´ e ´ o
l` S = 62. Voi muc ´ nghia 0,02 h˜y kiˆm d. nh xem tuyˆn bˆ cua nh´m nghiˆn cuu c´
a ’ ’ a o ’
dung hay khˆng?
¯´ o

Giai
Ta cˆn kiˆ’m d.nh gia thiˆt
a` e ¯i ’ ´
e : m = 140 ( : m = 140)
Ta c´ n = 50 > 30 v` 1 −
o a 2
= 0, 99.
a’
Phˆn v´ chuˆn
a ı 0 99 = 2, 33.
e` a ’
Miˆn b´c bo = (− ; −2, 33) (2, 33; + )
|x − m0 | 154 − 140
Gi´ tri quan s´t
a . a 0 = n= 50 = 1, 59.
S 62
´
Ta thˆy 0 ∈
a / nˆn chua c´ co so dˆ’ loai bo . Tam thoi chˆp nhˆn rang b´o c´o
e ’ o ’ ’’ ¯e . ’ . `’ a ´ . `
a ˘ a a
’ e ´ a ¯´
cua nh´m nghiˆn cuu l` dung.
o ’

2.3 ’`
Truong hop 3:
’ ’
.
’ ´
σ 2 chua biˆt
e
a o a ´
o a’
n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn


. ´
Chon thˆng kˆ
o e
( − m0 )
T = n
S
´
Nˆu
e dung th` T ∈ T (n − 1)
¯´ ı
´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia ’´’ a . a .’
. ´
cho truoc, ta x´c d.nh phˆn vi Student (n − 1) bˆc tu do muc
a ¯i ’
1 − 2 l` t1− 2 .
a
¯o e` a ’ a
Khi d´ miˆn b´c bo l`

= {t : |t| > t1− 2 } = (− ; −t1− 2 ) (t1− 2 ; + )

|x − m0 |
Lˆy mˆu cu thˆ’ v` t´ gi´ tri quan s´t t0 =
´
a ˜
a . e a ınh a . a n.

´
• Nˆu t0 > t1− 2
e (t0 ∈ ı a ’ ’ ´
) th` b´c bo gia thiˆt
e ´
v` chˆp nhˆn
a a a
. .

´
• Nˆu t0 < t1− 2
e (t0 ∈
/ ´
) th` chˆp nhˆn
ı a a
. .

. ’.’ ’ a . a ¯. ’.’ ˜
a e o a o´
• V´ du 3 Trong luong cua c´c bao gao l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn
ı . a’
´ .
’ ’.’ ı a o
. ’ `’ . ¯o
. ’`
voi trong luong trung b`nh l` 50kg. Sau mˆt khoang thoi gian hoat dˆng nguoi ta nghi

` .
’ ’.’ a . o ¯o’ a . ¯ ’.’ a e ´ ’
ngo trong luong c´c bao gao c´ thay dˆi. Cˆn 25 bao gao thu duoc c´c kˆt qua sau
’ ´ `
3. iˆm
e .nh gia thiˆt vˆ t ’ ˆ
i ’ e e e 89

´ ´
X(khˆi luong) ni (sˆ bao)
o ’.’ o
48 − 48, 5 2
48, 5 − 49 5
49 − 49, 5 10
49, 5 − 50 6
50 − 50, 5 2

´ ¯o ´ .
a e a e` ¯ e` ` o e
Voi dˆ tin cˆy 99%, h˜y kˆt luˆn vˆ diˆu nghi ngo n´i trˆn.
’ . a
. ’

Giai
e ’ ´
X´t gia thiˆt
e : m = 50

( − 50) 25
T = ∈ T (24)
S

xi − xi+1 x0i
´
ni (sˆ bao)
o i ni x2 ni
i
48 − 48, 5 48,25 2 96,5 4656,125
48, 5 − 49 48,75 5 243,75 11882,812
49 − 49, 5 49,25 10 492,5 24255,625
49, 5 − 50 49,75 6 298,5 14850,375
50 − 50, 5 50,25 2 100,5 5050,125
25 1231,75 60695,062

Ta c´ 1 −
o = 0, 99 =⇒ 1 − 2
= 0, 995
´
’ ´
Phˆn vi Student muc 0,995 voi 24 bˆc tu do l` t1− 2 =
a . ’ a .’
. a 0 995 = 2, 797
e` a ’ a
Miˆn b´c bo l` = (− ; −2, 797) (2, 797; )
1231 75
x= 25
= 49, 27.
2 60695 06
= 25
− (49, 27)2 = 2427, 8 − 2427, 53 = 0, 27
2 25
= 24
0, 27 = 0, 2812 =⇒ = 0, 53
(49 27−50) 25
Gi´ tri quan s´t t0 =
a . a 0 53
= 6, 886
´
Ta thˆy t0 ∈
a ’ ´
e . a ’ a ¯ e` ` a ¯´
, nˆn gia thiˆt bi b´c bo. Vˆy diˆu nghi ngo l` dung.
e . ’


ˆ ’ ´
ˆ ` ’ ˆ
ˆ
3. IEM DINH GIA THIET VE TY LE
. .
Gia su tˆng thˆ’ c´ hai loai phˆn tu c´ t´ chˆt A v` khˆng c´ t´ chˆt A, trong
’ ’’ o ’ e o . a ’’ o ınh a
` ´ a o ´
o ınh a
¯´ ’ e a ’’ o ınh a
. `
do ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆ ´t A l` p0 chua biˆt. Ta dua ra thiˆt
a ’ ´
e ¯’ ´
e

: p = p0

. ˜ ˜
Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn
a a a e =( 1, 2, . . . , n) a ınh ’ e a a ’’ ’
` ˜
v` t´ ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´
. a o
´
t´ chˆt A.
ınh a
90 Chuong .
’’ ’
iˆm
e ’ ´ ´
.nh gia thiˆt thˆng kˆ
i e o e



´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia ’ ´ a ¯i
’ a . a’
cho truoc, x´c d.nh phˆn vi chuˆn 1− 2 . e` a ’ a
Miˆn b´c bo l`

={ :| |> 1− 2 } = (− ; 1− 2 ) ( 1− 2 ; + )

|f − p0 | n
Lˆy mˆu cu thˆ’ v` t´ gi´ tri quan s´t
´
a ˜
a . e a ınh a . a 0 =
p0 q0

´
• Nˆu
e 0 > 1− 2 ( 0 ∈ ı a ’
) th` b´c bo ´
v` chˆp nhˆn
a a a
. .
´
• Nˆu
e 0 < 1− 2 ( 0 ∈
/ ´
) th` chˆp nhˆn
ı a a
. .

• V´ du 4 Ty lˆ phˆ pham o mˆt nh` m´y cˆn dat l` 10%. Sau khi cai tiˆn, kiˆ’m tra
ı . . ´ ’
’ e e ˆ ’’ o . `
a a a ¯. a ’ e ´ e
400 san a ’ ı a ´ o ´ a
e ’ ´ ¯o
’ . a
. a e . ´
’ phˆm th` thˆy c´ 32 phˆ phˆm voi dˆ tin cˆy 99%. H˜y x´t xem viˆc cai tiˆn
e ’ e
y a o e
. ´ ’
k˜ thuˆt c´ kˆt qua hay khˆng?
o

Giai
Ta c´ n = 400
o
Goi p l` ty lˆ phˆ phˆm cua nh` m´y .Ta kiˆ’m d.nh gia thiˆt
. a ’ e e a
. ´ ’ ’ a a e ¯i ’ ´
e

’ ´ ´
: p = 0, 1. (gia thiˆt dˆi
e ¯o : p < 0, 1)

’ e e a
. ´ ’ ’ ’
Ty lˆ phˆ phˆm trong 400 san phˆm l` f =
a a 32
= 0, 08
400

¯ ˆ tin cˆy 1 − = 0, 99 =⇒ 1 − 2 = 0, 995 =⇒
Do. a
. 0 995 = 2, 576
e` a ’ a
Miˆn b´c bo l` = (− ; −2, 576) (2, 576; + )
( 0 08−0 1 ) 400
Gi´ tri quan s´t
a . a 0 = 0 1.0 9
= 1, 333 ∈
/ .

¯o a ´
Do d´ chˆp nhˆn 0 .
a
.
a
. e ’ e o e
. ´ . ’
Vˆy viˆc cai tiˆn c´ hiˆu qua.

’ ’ ´ `
4. IEM DINH GIA THIET VE PHU’ONG SAI
ˆ . ˆ ˆ ’

’ ’’ a ¯ . ’ .’ ˜
a e o a ´
o ’
a ´
Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V a ( ) chua
’ ’’ ’
´ Ta dua ra gia thiˆt
biˆt.
e ¯’ ’ e´
2
: V a ( ) = σ0
. ˜ a˜
Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn
a a e ´
= ( 1 , 2 , . . . , n ) v` chon thˆng kˆ
a . o e

2 (n − 1)S 2
= 2
σ0
´
Nˆu
e dung th`
¯´ ı 2 ´ ´
c´ phˆn phˆi ” khi−b` phuong ” voi n − 1 bˆc tu do.
o a o ınh ’’ ’ a .’
.
´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia ’´
cho truoc, ta x´c d.nh c´c phˆn vi ”khi−b` phuong” 2
’ a ¯i a a . ınh ’’ n−1 , 2
n−1 1− 2
2
a .’
. ´
’ ¯o e` a ’ a
(n − 1) bˆc tu do, muc 2 , 1 − 2 . Khi d´ miˆn b´c bo l`
. ’
iˆm
e ’ ´ 91
.nh gia thiˆt mˆt ph´
i e o
. ıa




2 2 2 2
= {t : t < n−1 ho˘c t >
a
. n−1 1− 2 } = (− ; n−1 ) ( n−1 1− 2 ; + )
2 2


2
(n − 1)
Lˆy mˆu cu thˆ’ v` t´ gi´ tri quan s´t
´
a ˜
a . e a ınh a . a 2
0 = 2
.
σ0
´
• Nˆu
e 2
0 < 2
n−1 ho˘c
a
.
2
0 > 2
n−1 1− 2 ( 2
0 ∈ ı a ’
) th` b´c bo ´
v` chˆp nhˆn
a a a
. .
2


´
• Nˆu
e 2
n−1 < 2
0 < 2
n−1 1− 2 ( 2
0 ∈
/ ´
) th` chˆp nhˆn
ı a a
. .
2


ı . ´
e a o . ¯o
. ı ’`’ ı . ’.’ ’ ’
• V´ du 5 Nˆu m´y m´c hoat dˆng b`nh thuong th` trong luong cua san phˆm l` dai ’
a a ¯.
’.’ ˜
a e o a ´
o ’
a ´ ’ ` a
luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi D( ) = 12. Nghi ngo m´y hoat dˆng khˆng
’ . ¯o
. o
ı ’`’ ’`
’ a ’’ ’ a’
b`nh thuong nguoi ta cˆn thu 13 san phˆm v` t´ duoc a ınh ¯ ’.’ 2 ´ ´ y ˜
= 14, 6. Voi muc ´ nghia
’ ’
´t luˆn diˆu nghi ngo trˆn c´ dung hay khˆng?
= 0, 05. H˜y kˆ a ¯ e
a e . ` ` e o ¯´
’ o

Giai
Ta kiˆ’m d.nh gia thiˆt : V a ( ) = 12 ;
e ¯i ’ ´
e : V a ( ) = 12.
´ .
` a o e ’ (13−1)14 6
Tu c´c sˆ liˆu cua b`i to´n ta t` duoc 2 =
’ a a ım ¯ ’ .’ 0 12
= 14, 6
´
Voi
’ ’
= 0, 05, tra bang phˆn vi
a . 2 ´
voi (n − 1) = 12 bˆc tu do ta duoc
’ a .’
. ¯ ’ .’
2 2 2 2
= 0 025 = 4, 4 v`
a 1− 2 = 0 975 = 23, 3
2

´
a e ´
a a
. ’ ´
Ta thˆy 4, 4 < 14, 6 < 23, 3 nˆn chˆp nhˆn gia thiˆt .
e
a ¯ e`
. ` e a o ¯´
’ ˜ . ¯o
. ınh ’`
Vˆy diˆu nghi ngo trˆn l` khˆng dung. M´y vˆn hoat dˆng b` thuong.
a a ’


5. IEM DINH MOT PH´
ˆ . ˆ
. IA
Trong c´c b`i to´n trˆn ta chi’ x´t gia thiˆt dˆi c´ dang : = 0 . Ta c˜ ng c´ thˆ’
a a a e e ’ ´ ´
e ¯o o . u o e
’ a a e’m d.nh voi gia thiˆt dˆi c´ dang:
giai b`i to´n kiˆ ¯i ´ ’
’ ´ ¯o o .
e ´ : < 0 ho˘c
a
. : > 0 . Khi giai’
u a . a ´
˘ ¯˜ ¯ ’ .’ ınh a ´ u ´ a
c´c b`i to´n n`y ta c˜ ng ´p dung c´c qui tac da duoc tr` b`y voi ch´ y l`:
a a a a ’
i) Khi t´ g´ tri quan s´t 0 (ho˘c t0 ) trong c´c qui tac kiˆ’m d.nh trˆn ta bo dˆu
ınh ıa . a a
. a ´ e ¯i
˘ e ’ a ´
` ’ (x − 0 )
. . ´ ´
e ¯o ’’ ’’ o a ˘ ´
a a ¯’
. ˘
tri tuyˆt dˆi o tu sˆ v` thay bang dˆu ngo˘c don (...). Chang han 0 =
. σ
n.

´
e ’ ´ ´
ii) Nˆu gia thiˆt dˆi c´ dang
e ¯o o . : > 0 th` ta so s´nh g´ tri quan s´t 0 voi
ı a ıa . a ´’
2
= 1− (ho˘c t = t1− , ho˘c 1− ).
a
. a
.
´
Nˆu 0 >
e (ho˘c t0 > t , 2 > 2 ) th` b´c bo
a
. 0 1− ı a ’ a ` ´
v` thua nhˆn . Nˆu nguoc
’ a
. e ’ .’
. ´
lai th` chˆp nhˆn .
ı a a.
´ ’ ´ ´
iii) Nˆu gia thiˆt dˆi c´ dang
e e ¯o o . : < 0 th` ta so s´nh
ı a 0
´
voi
’ =− 1− , (ho˘c
a
.
2
t = −t1− , ho˘c ).
a.
´
Nˆu 0 < − 1− ;(ho˘c t0 < −t1− , 2 < 2 ) th` b´c bo
e a
. 0 ı a ’ ´ ´
.Nˆu nguoc lai th` chˆp
e ’ .’ . ı a
nhˆn .
a
.
92 Chuong .
’’ ’
iˆm
e ’ ´ ´
.nh gia thiˆt thˆng kˆ
i e o e



a ’ ´ ´ ´ . ´ ’ ´ `
e o ˘
• V´ du 6 Mˆt nh` san xuˆt thuˆc chˆng di ung thuc phˆm tuyˆn bˆ rang 90% nguoi
ı . o a o o ’ a ’`’
. .’
´
ˆ a´ ´
d`ng thuoc thˆy thuˆc c´ t´c dung trong v`ng 8 gio. Kiˆ
u o o a . o `’ e’m tra 200 nguoi bi di ung
’` . . ´
’ ’
thuc phˆ a’m th` thˆy trong v`ng 8 gio thuˆc l`m giam bot di ung dˆi voi 160 nguoi. H˜y
ı a ´ o `’ o´ a ’ ´ . ´ ¯o ´
’ ´ ’ `
’’ a
.’ ’
e’m d. nh xem loi tuyˆn bˆ trˆn cua nh` san xuˆt c´ dung hay khˆng voi muc ´ nghia
kiˆ ¯i `’ e o ´ e ’ a ’ ´ o ¯´
a o ´ ´ y
’ ’ ˜
= 0, 01.

Giai
¯’ ’ ´
Ta dua ra gia thiˆt
e : p0 = 0, 9 ( < 0, 9)
= 0, 01 − 1− = 0, 99 =⇒ − 1− = −2, 326
160
f= = 0, 8
200
f − p0 0, 8 − 0, 9 0, 1
0 = n= 200 = − .14, 14 = −4, 75
p0 (1 − p0 ) 0, 9 0, 1 0, 3

´
Ta thˆy
a 0 1− 2 }.
So s´nh
a 0 v`
a 1− 2

´
* Nˆu
e 0 > 1− 2 ı a ’ ’ ´
th` b´c bo gia thiˆt
e a `
v` thua nhˆn
’ a
. .
’ e e .’ `
´ `
. iˆm
e .nh gia thiˆt vˆ su bang nhau cua hai t ’ ˆ
i ’ ’ e
. 93


´
* Nˆu
e 0 < 1− 2 ı `
th` thua nhˆn
’ a
. .

ı . . ’.’ ’ a’ a a ’ ´
• V´ du 7 Trong luong san phˆm do hai nh` m´y san xuˆt l` c´c dai luong ngˆu
a a a ¯. ’.’ ˜
a
o´ ’
a a o u ¯o e . . e ’
a a ´ ´ y
nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn v` c´ c`ng dˆ lˆch tiˆu chuˆn l` σ = 1k . Voi muc ´ nghia
e o a ’ ’ ˜
= 0, 05, c´ thˆ
o e ’ xem trong luong trung b`nh cua san phˆm do hai nh` m´y san xuˆt l`
. ’.’ ı ’ ’ a’ a a ’ ´ a
a
nhu nhau hay khˆng? Nˆ a
’ o e ’ a’
´u cˆn thu 25 san phˆm cua nh` m´y A ta t´ duoc x = 50k ,
’’ ’ a a ınh ¯ ’.’
a ’
cˆn 20 san phˆ a’m cua nh` m´y B th` t´nh duoc y = 50, 6k .
’ a a ı ı ¯ ’.’

Giai

. . ’ .’ ’ a . ’ .’ ’
Goi trong luong cua nh` m´y A l` X; trong luong cua nh` m´y B l`
a a a a a th` X,
ı l`
a
c´c dai luong ngˆ
a ¯ . ’ .’ a e o a ´
o a’ ´
˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn voi V a ( ) = V a ( ) = 1.

Ta kiˆ’m tra gia thiˆt
e ’ ´
e : E( ) = E( ); (E( ) = E( ))
´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia = 0, 05 th`
ı 1− 2 = 1, 96.
50−50 6

ınh 0 = 1 1
= 2.
25
+2

´ e a ’ ’ ´
e ´ a .
’ ’ .’ ınh ’ ’
Ta thˆy 0 > 1− 2 nˆn b´c bo gia thiˆt H, tuc l` trong luong trung b` cua san
a
a’ ’ ´
a ’’
phˆm san xuˆt o hai nh` m´y l` kh´c nhau.
a a a a

’ ’ ´ ` ` ’
7. IEM DINH GIA THIET VE SU’ BANG NHAU CUA HAI
ˆ . ˆ ˆ
.
’ ˆ
TY LE.
Gia su p1 , p2 tuong ung l` ty lˆ c´c phˆn tu mang dˆu hiˆu n`o do cua tˆng thˆ’
’ ’’ ’’ ´ ’ a ’ e a
. a ’’
` ´
a e a ¯´ ’ o
. ’ e
´ ˆt, tˆng thˆ’ thu hai. Ta cˆn kiˆ’m d.nh gia thiˆt
thunha
’ ´ o ’ e ´
’ a` e ¯i ’ ´
e

: p1 = p2 = p0 ( : p1 = p2 )

’`’ .’ ’ ´
i) Truong hop chua biˆt p0 .
e

´ (P − p1 ) − (p − p2 )
Chon thˆng kˆ
. o e = 1 1
.
p (1 − p )( n1 + n2 )

´ n1 .fn1 + n2 .fn2
voi p =
’ ’ ´ ’ .’ ´
.’ y o ¯ ’
(uoc luong hop l´ tˆi da cua p0 )

n1 + n2
trong d´
¯o
a ’ e a ’’ o a
. ` ´ e ’ ˜ ´ a ´ ıch
´ ’ ’´
fn1 l` ty lˆ phˆn tu c´ dˆu hiˆu cua mˆu thu nhˆt voi k´ thuoc n1 .
. a ’ ’
a ’ e a ’’ o a
. ` ´ e ’ ˜ ´ ´ ıch ’´
fn2 l` ty lˆ phˆn tu c´ dˆu hiˆu cua mˆu thu hai voi k´ thuoc n2 .
. a ’ ’ ’
´
’ a ´ ’ ı o a o´ ’
Voi n1 , n2 kh´ lon th` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a.
a o
’`’ .’ ´
ii) Truong hop biˆt p0 .
e

´ fn1 − fn2
Chon thˆng kˆ
. o e = 1 1
p0 (1 − p0 )( n1 + n2
)
94 Chuong .
’’ ’
iˆm
e ’ ´ ´
.nh gia thiˆt thˆng kˆ
i e o e



´
˘ ’
Qui tac kiˆm d.nh
e ¯i
´
a a˜ ˜
a e ıch ’´
Lˆy hai mˆu ngˆu nhiˆn k´ thuoc n1 , n2 v` t´
’ a ınh
|fn1 − fn2 | n1 .fn1 + n2 .fn2 ´ ´
0 = (p = ) nˆu chua biˆt p0
e ’ e
p (1 − p 1
)( n1 + 1
) n1 + n2
n2

ho˘c
a
.
|fn1 − fn2 ´ e ´
0 = 1 1
nˆu biˆt p0 .
e
p0 (1 − p0 )( n1 + n2
)
´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia ’ ´ a ¯i
’ a . a’
cho truoc, x´c d.nh phˆn vi chuˆn 1− 2 .

e` a ’
Ta t` duoc miˆn b´c bo
ım ¯ ’ .’ ={ : | |. 1− 2 }.
So s´nh
a 0 v`
a 1− 2

´
* Nˆu
e 0 > 1− 2 ı a ’ ’ ´
th` b´c bo gia thiˆt H.
e
´
* Nˆu
e 0 < 1− 2 ı ` ’ ´
th` thua nhˆn gia thiˆt H.
’ a
. e

• V´ du 8 Kiˆ’m tra c´c san phˆm duoc chon ngˆu nhiˆn o hai nh` m´y san xuˆt ta
ı . e a ’ ’
a ¯ ’.’ . ˜
a e ’’ a a ’ ´
a
´ .
duoc c´c sˆ liˆu sau:
¯ ’.’ a o e

Nh` m´y I Sˆ san phˆm duoc kiˆ’m tra Sˆ phˆ phˆm
a a ´
o ’ ’
a ¯ ’.’ e ´ ´ ’
o e a
I n1 = 100 20
II n2 = 120 36

´ ´ y ˜
Voi muc ´ nghia
’ ’ = 0, 01; c´ thˆ’ coi ty lˆ phˆ phˆm cua hai nh` m´y l` nhu nhau
o e ’ e e a
. ´ ’ ’ a a a ’
khˆng?
o

Giai
’’ ´ a ’ e e a ´ ’ ’
Goi p1 , p2 tuong ung l` ty lˆ phˆ phˆm cua nh` m´y I, II.
. ’ . a a
Ta kiˆ’m tra gia thiˆt
e ’ ´
e : p1 = p2 ( : p1 = p2 ).
´ ´ ´
’ ’ ˜
Voi muc y nghia = 0, 01 th`
ı 1− 2 = 0 995 = 2, 58.
´ .
` a o e ¯˜
Tu c´c sˆ liˆu da cho ta c´
’ o
20 36
fn1 = = 0, 2; fn2 = = 0, 3
100 120
100 0, 2 + 120 0, 3
p = = 0, 227 =⇒ 1 − p = 0, 773
100 + 120
|0, 2 − 0, 3|
Do d´
¯o 0 = ≈ 1, 763.
1 1
0, 227 0, 773( 100 + 120
)
´
Ta thˆy 0
1, 645 nˆn viˆc cai tiˆn k˜ thuˆt l` c´ hiˆu qua.
e ¯ e` ` e a
2. V` 0 = 3 < 3, 25 nˆn diˆu nghi ngo trˆn l` sai.
ı ’
D e` ` a ¯´
3. t0 = 3, 37. ¯ iˆu nghi ngo l` dung.

. . ´ o a .
’ a a a ´
a u ınh ’
4. Biˆn ph´p k˜ thuˆt moi c´ t´c dung l`m t˘ng n˘ng suˆt l´a trung b` cua to`n
e a y a a
v`ng.
u
5. V`
ı 0 e a ’
= −2, 5 < −1, 645 nˆn b´c bo 0.

6. 0 ` ´
= 4, 73. Loi tuyˆn bˆ khˆng dung.
’ e o o ¯´
` ´
8. Loi tuyˆn bˆ l` sai.
’ e o a
`’ e ınh
. ’`
9. Nghi ngo sai. M´y l`m viˆc b` thuong.
a a ’
10. 2 = 32, 86 > 30, 1 nˆn b´c bo 0 .
0 e a ’
11. Do 1, 82 < 1, 96 nˆn khˆng c´ co so cho rang su kh´c biˆt dang kˆ’ vˆ chˆt luong
e o o ’ ’’ `
˘ .’ a e ¯´
. ´
e e` a ’ .’
o a ’ o . ¯o ’’
. a ’ ’’
cˆng t´c bao hˆ lao dˆng o hai phˆn xuong.
´ ’ e o a .
12. Loai thuˆc ngu trˆn c´ t´c dung.
. o
Chuong
’’

´
´ THU ET TU’ONG
ˆ ’ ` ` `
ˆ
UAN VA HAM HOI UI

´ ˜’ ˜
MOI QUAN HE GIUA HAI DAI LU’ONG NGAU NHIEN
1. ˆ ˆ
. . .’ ˆ ˆ

Khi khao s´t hai dai luong ngˆu nhiˆn X, ta thˆy giua ch´ng c´ thˆ’ c´ mˆt sˆ
’ a ¯ . ’ .’ a˜ e ´
a ˜
’ u o e o o o. ´
quan hˆ sau:
e
.
a ¯o a
. . ´
’ ´ a e
’ . a
. a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
i) X v` dˆc lˆp voi nhau, tuc l` viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn n`y
a e a
o ’
khˆng anh huong ¯e
’ ´ e . a
. a . ’ ¯ . ’ .’ a˜
’’ dˆn viˆc nhˆn gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn kia.
e
ii) X v`
a o o´ . o a
. ´
c´ mˆi phu thuˆc h`m sˆ
o = ( ).
iii) X v`
a c´ su phu thuˆc tuong quan v` phu thuˆc khˆng tuong quan.
o .’ . o ’’
. a . o
. o ’’


2. ˆ ˆ´
HE SO TU’ONG QUAN

.
2.1 oment tuong quan (Covarian)
’’
˜
2 ¯ inh nghia 1
D.
’’ e
. ’’ ’ ¯. ’.’ ˜
Moment tuong quan (hiˆp phuong sai) cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v`
a e a , k´
ı
hiˆu
e
. ( , ) hay ´ duoc x´c d. nh nhu sau
, l` sˆ ¯ ’.’ a ¯i
a o ’

( , ) = E{[ − E( )][ − E( )]}

´
Nˆu
e ¯. ’.’ ˜
( , ) = 0 th` ta n´i hai dai luong ngˆu nhiˆn X v`
ı o a e a khˆng tuong quan.
o ’’

Ch´ y

( , ) = E( ) − E( ).E( )
Thˆt vˆy, ta c´
a a
. . o

( ) = E{ . − .E( ) − .E( ) + E( ).E( )
= E( ) − E( ).E( ) − E( ).E( ) + E( ).E( )
= E( ) − E( ).E( )

99
100 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o



⊕ Nhˆn x´t 1
a
. e
´
e ` .
* Nˆu ( , ) roi rac th`
’ ı
n m
( , )= xi yj P (xi , yj ) − E( )E( )
i=1 j=1

´
* Nˆu ( , ) liˆn tuc th`
e e . ı
+∞ +∞

( , )= xyf (x, y) x y − E( )E( )
−∞ −∞


⊕ Nhˆn x´t
a
. e
´
i) Nˆu X v`
e a ¯ . ’ .’ ˜
l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` ch´ng khˆng tuong quan.
a a e ¯ˆ a
. . ı u o ’’
ii) Cov(X,X)=Var(X).

2.2 . ´
Hˆ sˆ tuong quan
e o ’’
D. ˜ . ´
e o ’’ ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 2 Hˆ sˆ tuong quan cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v`
a e a , k´ hiˆu
ı e . ,
´
l` sˆ duoc x´c d. nh nhu sau
a o ¯ ’.’ a ¯i ’
( , )
=
S .S
´’ a ¯o e
. . e ’
a ’
voi S , S l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn cua , .
• ´ nghia cua hˆ sˆ tuong quan
˜ ’ . ´
e o ’’

. ´ ´ ¯ˆ
’ . . . ´
e ınh ˜
Hˆ sˆ tuong quan do muc do phu thuˆc tuyˆn t´ giua
e o ’’ ¯ o ’ v` . Khi |
a | c`ng
a
` ´ . ´
gˆn 1 th` mˆi quan hˆ tuyˆn t´ c`ng ch˘t, khi |
a ı o e e ınh a a
. `
| c`ng gˆn 0 th` quan hˆ tuyˆn
a a ı e
. ´
e
’ leo”.
t´ c`ng ”long ’
ınh a

2.3 ’ oc luong hˆ sˆ tuong quan
´ ’.
’ ’ . ´
e o ’’
a
. ˜
a ˜
Lˆp mˆu ngˆu nhiˆn
a e = [( 1, 1 ), ( 2, 2) . . . ( n, n )].

E( ) − E( ).E( )
De’ ’ ´ ’ .’
’ . ´
¯ ˆ uoc luong hˆ sˆ tuong quan
e o ’’ = ´
ta d`ng thˆng kˆ
u o e
S .S

− .
R=
S .S
trong d´
¯o
1 n 1 n 1 n
= i, = i, = i i
n i=1 n i=1 n i=1

1 n 1 n
S2 = ( i− )2 , S2 = ( i − )2
n i=1 n i=1
2. ´
ˆ sˆ tuong quan
e o ’’ 101



Voi mˆu cu thˆ’, ta t´ duoc gi´ tri cua R l`
´ a . e
’ ˜ ınh ¯ ’ .’ a . ’ a

xy − x.y
=
.

trong d´
¯o
1 n 1 n 1 n
x= xi , y= yi , xy = xi yi
n i=1 n i=1 n i=1

2 1 n 2 1 n 2
= x − (x)2 , 2
= y − (y)2
n i=1 i n i=1 i

Ta c´
o

n xy − ( x)( y)
=
n( x2 ) − ( x)2 . n( y2) − ( y)2


2.4 ´
ınh a ’ . ´
T´ chˆt cua hˆ sˆ tuong quan
e o ’’
xy − x.y
. ´
Hˆ sˆ tuong quan
e o ’’ = duoc d`ng dˆ’ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su
¯ ’ .’ u ¯e ¯´ a ´ ¯o a
’ . . ’ ’ .’
.
. . ´
e ınh ˜ ’ a˜
phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua hai dai luong ngˆu nhiˆn v` , n´ c´ c´c t´
o ’’ ¯ . ’ .’ e a o o a ınh
´t sau dˆy:
chˆ
a ¯a
i) | | ≤ 1.
´
ii) Nˆu | | = 1 th` X v`
e ı a ´
c´ quan hˆ tuyˆn t´
o e
. e ınh.
´ ´’ . . ´
e ınh ˜
iii) Nˆr | | c`ng lon th` su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´ giua X v`
e a ı .’ o ’’ ’ a c`ng ch˘t
a a
.

che.
´ ı ˜
iv) Nˆu | | = 0 th` giua X v`
e ’ o a o . o
. ´
khˆng c´ phu thuˆc tuyˆn t´ tuong quan.
e ınh ’ ’
´
e ı a o ’’ a
. a ı a ´
v) Nˆu > 0 th` X v` c´ tuong quan thuˆn (X t˘ng th` t˘ng). Nˆu < 0 th`
e ı
a o ’’ . ’ ı ’
X v` c´ tuong quan nghich (X giam th` giam).


’ ´ .
` o e ¯ ’.’ ’’ ’ . ´ ’
• V´ du 1 Tu sˆ liˆu duoc cho boi bang sau, h˜y x´c d. nh hˆ sˆ tuong quan cua
ı . a a ¯i e o ’’ v`
a
X

X 1 3 4 6 8 9 11 14
1 2 4 4 5 7 8 9


Giai
a
. ’
Ta lˆp bang sau
102 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o

xi yi x2i xi yi 2
yi
1 1 1 1 1
3 2 9 6 4
4 4 16 16 16
6 4 36 24 16
8 5 64 40 25
9 7 81 63 49
11 8 121 88 64
14 9 196 126 81
2 2
x = 56 y = 40 x = 524 xy = 364 y = 256


. ´
e o ’’ ’
Hˆ sˆ tuong quan cua X v`
a l`
a

n xy − ( x)( y)
=
n( x2 ) − ( x)2 . n( y2) − ( y)2

8.364 − (56).(40) 672
= = = 0, 977
8.524 − (56)2 . 8.256 − (40)2 687, 81


2.5 ´
’ o ’’
Ty sˆ tuong quan
De’ ¯´ a ´ ¯o a
’ . . ’ ’ .’ . o ’’
. ´
e ’`
¯ ˆ danh gi´ muc dˆ ch˘t che cua su phu thuˆc tuong quan phi tuyˆn, nguoi ta d`ng
’ u
´
’ o ’’
ty sˆ tuong quan:
=

trong d´
¯o
1 1
= ni .(y − y)2 ; = mj .(yj − y)2
n n
´
’ o ’’ ´
Ty sˆ tuong quan c´ c´c t´ chˆt sau:
o a ınh a
i) 0 ≤ ≤ 1.
ii) = 0 khi v` chi’ khi
a v`
a khˆng c´ phu thuˆc tuong quan.
o o . o ’’
.
iii) = 1 khi v` chi’ khi
a v`
a ´
phu thuˆc h`m sˆ.
. o a
. o
iv) ≥ | |.
´
Nˆu
e . o ’’
. ’
= | | th` su phu thuˆc tuong quan cua
ı .’ v`
a ´
c´ dang tuyˆn t´
o . e ınh.


2.6 . ´ ˜
Hˆ sˆ x´c d.nh mˆu
e o a ¯i a

Trong thˆng kˆ, dˆ’ d´nh gi´ chˆt luong cua mˆ h` tuyˆn t´ nguot ta c`n x´t
´
o e ¯e ¯a ´
a a ’ .’ ’ o ınh ´
e ınh ’`’ o e
. ´ ˜
a 2 ´
’ ´
hˆ sˆ x´c d. nh mˆu = voi l` hˆ sˆ tuong quan. Ta c´ 0 ≤ ≤ 1.
e o a ¯i a e o ’’
. o
3. `
ˆi qui
o 103



3. `
ˆ
HOI QUI

3.1 ` . o ¯e`
y vong c´ diˆu kiˆn
e
.
D. ’ .’ ˜
a e ` .
i) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac

y . o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’
. ˜
a e ` .
* K` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac
’ ´ ¯ e` e
voi diˆu kiˆn
’ . = x l`
a
m
E( /x) = yj P ( = x, = yj )
j=1

’’ o ¯ e` e ’ ¯ . ’ .’
. ˜
a e ` .
* Tuong tu, k` vong c´ diˆu kiˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac
.’ y . ’ ´ ¯ e` e
voi diˆu kiˆn
’ .
= y l`
a
n
E( /y) = xi P ( = xi , = y)
i=1

D. ’ .’ ˜
ii) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
a e e .
+∞
E( /x) = yf (y/x) y
−∞
+∞
E( /y) = xf (x/y) x
−∞

trong d´
¯o
´ ’
f (y/x) = f (x, y) voi x khˆng dˆi
’ o ¯o
´ ’
f (x/y) = f (x, y) voi y khˆng dˆi
’ o ¯o

3.2 `
H`m hˆi qui
a o
` ’
* H`m hˆi qui cua
a o ¯o ´
´ ’
dˆi voi X l` f (x) = E( /x).
a
` ’ ¯o ´
´ ’
* H`m hˆi qui cua X dˆi voi
a o l` f (y) = E( /y).
a
´ ’`’ a. ¯ . ’ .’ a˜ e o o e e ´
´
Trong thuc tˆ ta thuong g˘p hai dai luong ngˆu nhiˆn , c´ mˆi liˆn hˆ voi nhau,
.’ e . ’
trong do viˆc khao s´t
¯´ e . ’ a ı e ˜ c`n khao s´t th` kh´ hon thˆm ch´ khˆng thˆ’ khao
th` dˆ o ’ a ı o ’ a. ı o e ’
s´t duoc. Nguoi ta muˆn t` mˆi liˆn hˆ ( ) n`o d´ giua v` dˆ’ biˆt ta c´ thˆ’
a ¯ ’ .’ `
’’ ´
o ım o e e ´ . a ¯o ˜ ’ a ¯e e ´ o e
du do´n duoc .
’ ¯ a ¯ ’ .’
.
’ ’’ e ´ ´ .’ ¯ a
Gia su biˆt , nˆu du do´n
e `
˘ ı ´ .
bang ( ) th` sai sˆ pham phai l` E[ − ( )]2 .
o ’ a
´
a ¯e` ¯ ’ .’ ¯˘
Vˆn dˆ duoc dat ra l` t`
. ´
a ım ( ) nhu thˆ n`o dˆ
’ e a ¯e ’ E[ − ( )]2 l` nho nhˆt.
a ’ a ´

e ´ ’ . ´
Ta s˜ chung minh khi chon ( ) = E( / ) (voi (x) = E( /x)) th` E[ − ( )]2
’ ı
’ a ´
s˜ nho nhˆt.
e
Thˆt vˆy, ta c´
a a
. . o
E[ − ( )]2 = E{([ − E( / )] + [E( / ) − ( )])2 }
= E{[ − E( / )]2 } + E{[E( / ) − ( )]2 }
+2E{[ − E( / )][E( / ) − ( )]}
104 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o



´
Ta thˆy E( / ) chi’ phu thuˆc v`o
a . o a
. nˆn c´ thˆ’ dat T ( ) = E( / ) − ( ).
e o e ¯˘ .
V` E[E( / )T ( )] = E[ T ( )] nˆn
ı e

2E[ − E( / )][E( / ) − ( )] = 2E{[ − E( / )]T ( )}
= 2E[ T ( )] − 2E[E( / )T ( )] = 0
Do d´
¯o

E{[ − ( )]2 } = E{[ − E( / )]2 } + E{E( / ) − ( )]2
’ a ´
nho nhˆt khi
E{[( / ) − ( )]2 = 0
a`
Ta chi’ cˆn chon
.
( ) = E( / ) (6.1)
’’ ınh ¯ ’ .’ . a ’’ ı ’’ ’’ ı o`
Phuong tr` (6.1) duoc goi l` phuong tr`nh tuong quan hay phuong tr`nh hˆi qui.

3.3 a ¯i a `
X´c d.nh h`m hˆi qui
o
’` ´ .
a) Truong hop ´ sˆ liˆu (tuong uan c˘p)
’ .’ ıt o e ’’ a
.
’ ’’ ˜ ’ ¯ . ’ .’ ˜
Gia su giua hai dai luong ngˆu nhiˆn
a e v`
a ´
c´ tuong quan tuyˆn t´
o ’’ ´ a
e ınh, tuc l`

E( / ) = A + B.
a
. a . ’
Dua v`o n c˘p gi´ tri (x1 , x2 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) cua ( , ) ta t` h`m
.’ a ım a

y = y = ax + b ( )

dˆ’ uoc luong h`m
¯e ’ ´ ’ .’
’ a =A + B.
` ´
(*) duoc goi l` hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu.
¯ ’ .’ . a o e ı a˜
ı a a . a . e a . a ´ ’ a e ’ o a
. ´ ’
V` c´c c˘p gi´ tri trˆn l` tri xˆp xi’ cua x v` y nˆn thoa (*) mˆt c´ch xˆp xi.
a
Do d´ yi = axi + b +
¯o i hay i = yi − axi − b.
a ´
Ta t` a, b sao cho c´c sai sˆ
ım o i . ´ ’ a ´
(i = 1, n) c´ tri tuyˆt dˆi nho nhˆt hay h`m
o . e ¯o a
n
S(a, b) = (yi − axi − b)2
i=1

dat cuc tiˆ’u. Phuong ph´p t` n`y duoc goi l` phuong ph´p b`nh phuong b´ nhˆt.
¯ . .’ e ’’ a ım a ¯ ’ .’ . a ’’ a ı ’’ e a ´

Ta thˆy S s˜ dat gi´ tri nho nhˆt tai diˆ’m dung thoa m˜n
´
a e ¯. a . ´
’ a . ¯e `
’ ’ a
n
S
0= = −2 xi (yi − axi − b)
a i=1

n
S
0= = −2 (yi − axi − b)
b i=1
3. `
ˆi qui
o 105



hay
n n n
x2 .a +
i xi .b = xi yi
i=1 i=1 i=1 (6.2)
n n
xi .a + nb = yi
i=1 i=1

e e o ¯i
. ´
Hˆ trˆn c´ d.nh thuc

n 2 n n n 2
i=1 xi xi
D= n
i=1
=n x2
i − xi
i=1 xi n i=1 i=1

ı a a e ´ ’
a ¯˘ ´
V` c´c xi kh´c nhau nˆn theo bˆt dang thuc Bunhiakovsky ta c´ (
’ o n
i=1 xi )2
0. Suy ra hˆ trˆn c´ nghiˆm duy nhˆt
¯o a
n
n i=1 xi yi − ( n xi ) ( n yi )
i=1 i=1
a=
n i=1 xi − ( i=1 xi )2
n 2 n

n n n n
( i=1 x2 ) (
i i=1 yi ) − ( i=1 xi ) ( i=1 xi yi )
b= n 2 n 2
n i=1 xi − ( i=1 xi )
´ .
e ¯˘
Nˆu dat
1 n 1 n 1 n 1 n 2
x= . xi , y= . yi , xy = . xi yi , x2 = x
n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 i

th` nghiˆm cua hˆ c´ thˆ’ viˆt lai duoi dang
ı e
. ’ e o e e .
. ´ ’´ .

xy − x.y xy − x.y x2 .y − x.xy x2 .y − x.xy
a= 2 − (x)2
= 2
; b= = 2
x x2 − (x)2
T´m lai, ta c´ thˆ’ t` h`m y = ax + b tu c´c cˆng thuc
o . o e ım a ` a o
’ ´

xy − x.y n(xy) − ( x)( y)
a= 2
=
n( x2 ) − ( x)2
b = y − a.x
Ch´ y


bb error = D ’` ´ o a ¯ e’
´
¯ uong gˆp kh´c nˆi c´c diˆm (x1 , y1 ),
’ a u
¯ ’ .’ . a ¯ ’`
(x2 , y2 ) , . . . , (xn , yn ) duoc goi l` duong hˆi
’ `
o
qui thuc nghiˆm.
.’ e
.
D ’` ˘’ a ¯ ’ .’ ’’
¯ uong thang y = ax + b nhˆn duoc boi
’ .
´ b` phuong b´ nhˆt khˆng di qua
cˆng thuc ınh
o ’ ’’ e a ´ o ¯
duoc tˆt ca c´c diˆ’m nhung l` duong thang
´
¯ ’ .’ a ’ a ¯ e ’ a ¯ ’`’ ’
˘
”gˆn” c´c diˆ’m do nhˆt duoc goi l` duong
a` a ¯ e ¯´ ´
a ¯ ’ .’ . a ¯ ’` ’
˘
tha’ ng hˆi qui v` thu tuc l`m th´ hop duong
o` a ’ . a ıch .’ ¯ ’`’
tha’ ng thˆng qua c´c diˆ’m du liˆu cho truoc
˘ o a ¯e ˜ e
’ . ’´’
duoc goi l` hˆi
¯ ’ .’ . a o ´ ınh.
` qui tuyˆn t´
e
e o ¯´ ¯ e o ˘ e ¯ ’`’ ’
Theo trˆn ta c´ b = y − a.x, do do diˆ’m (x, y) luˆn nam trˆn duong thang hˆi qui.
` ˘ o`
106 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o



• V´ du 2 ’oc luong h`m hˆi qui tuyˆn t´nh mˆu xua
ı . ´ ’.’
’ a o` ´
e ı ˜
a ’ ’ ’’ ’
theo X trˆn co so bang tuong
e ’’
quan c˘p sau
a
.


X 15 38 23 16 16 13 20 24
145 228 150 130 160 114 142 265




Giai

a
. ’
Ta lˆp bang sau



xi yi x2
i xi yi
15 145 225 3175
38 228 1444 8664
23 150 529 3450
16 130 256 2080
16 160 256 2560
13 114 169 1482
20 142 400 2840
24 265 576 6360
2
x = 165 y = 1334 x = 3855 xy = 29611




Ta c´
o
n( xy) − ( x)( y)
a=
n( x2 ) − ( x)2

8(19611) − (165)(1334) 16778
= 2
= = 4, 64
8(3855)(165) 3615
1334 16778 165
b = y − ax = − = 71
8 3615 8

a a
. o` ´ ˜
Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` y = 4, 64x + 71.
e ınh a a


. ’
Do a ’ o ı ’ ´
’ ’’ ¯e .’ ’ ’ ’´
• V´ du 3 ¯ ˆ ˆm cua khˆng kh´ anh huong dˆn su bay hoi cua nuoc trong son khi
ı . ’ ’
’’ ´ a e ´
’ ´ e e ˜ ¯o a
o . ’ . ’
` ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu mˆi liˆn hˆ giua dˆ ˆm cua khˆng kh´ v` dˆ
phun ra. Nguoi e ’ o ı a ¯o
.
’ .’ e’ ´
e e` o ´ . ´ .
e e ¯ ’.’ ’.’ ’ ˘ `
bay hoi . Su hiˆu biˆt vˆ mˆi quan hˆ n`y s˜ gi´p ta tiˆt kiˆm duoc luong son bang
e a e u
’ ’ . ı .’ ´
c´ch chinh s´ng phun son mˆt c´ch th´ch hop. Tiˆn h`nh 25 quan s´t ta duoc c´c sˆ
a u o a e a a ¯ ’.’ a o ´
liˆu sau:
e
.
3. `
ˆi qui
o 107

uan s´t
a ’
ˆ ˆm
oa ˆ ba hoi
o ’ uan s´t
a ’
ˆ ˆm
oa ˆ ba hoi
o ’
. . . .
( ) ( ) ( ) ( )
1 35,3 11,0 14 39,1 9,6
2 29,7 11,1 15 46,8 10,9
3 30,8 12,5 16 48,5 9,6
4 58,8 8,4 17 59,3 10,1
5 61,4 9,3 18 70,0 8,1
6 71,3 8,7 19 70,0 6,8
7 74,4 6,4 20 74,4 8,9
8 76,7 8,5 21 72,1 7,7
9 70,7 7,8 22 58,1 8,5
10 57,5 9,1 23 44,6 8,9
11 46,4 8,2 24 33,4 10,4
12 28,9 12,2 25 28,6 11,1
13 28,1 11,9

` ´ ˜
H˜y t` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax + b.
a ım a o e ınh a

Giai


Ta c´
o

n = 25 x = 1314, 9 y = 235, 7

x2 = 76308, 53 y 2 = 2286, 07
xy = 11824, 44


Do d´
¯o
n( xy) − ( x)( y) 25 11824, 44 − (1314, 9 235, 7)
a= 2) − ( 2
= = −0, 08
n( x x) 25 76308, 53 − (1314, 9)2

b = y − ax = 9, 43 − (−0, 08) 52, 6 = 13, 64

a a
. o` ´ ˜
Vˆy h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` y = −0, 08x + 13, 64
e ınh a a

’`
’ .’ ` ´ .
b) Truong hop nhiˆu sˆ liˆu (tuong
e o e ’’ ’
uan bang)
’ ’’
Gia su
a a
. a . ´ a
’ ` a´
nhˆn c´c gi´ tri xi voi tˆn suˆt ni i = 1, k,
a a
. a . ´ a
’ ` ´
nhˆn c´c gi´ tri yj voi tˆn suˆt mj j = 1, ,
a
a a
. a . ´ a
’ ` ´
nhˆn c´c gi´ tri xi yj voi tˆn suˆt nij i = 1, k, j = 1, ,
a
` ´
e ınh a ˜ ’` ´ .
e` o e
Ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax + b trong truong hop c´ nhiˆu sˆ liˆu. Theo
ım o ’ .’ o
(6.2) ta c´o
108 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o




k k k
ni x2 .a +
i ni xi .b = nij xi yj
i=1 i=1 i=1 j=1
k (6.3)
ni xi .a + nb = mj yj
i=1 j=1
k k
Thay ni xi = nx, mj yj = ny, ni x2 = nx2 ,
i
2
mj yj = ny 2 ,
i=1 j=1 i=1 j=1

k
nij xi yj = nxy v`o (6.3) ta duoc
a ¯ ’ .’
i=1 j=1
x2 .a + x.b = xy (i)
x.a + nb = y (ii)
`
Tu (ii) ta c´ b = y − a.x
’ o
Thay b v`o y = ax + b ta suy ra
a

y − y = a(x − x) (6.4)
’’
Ta t` a boi
ım
k
i=1 j=1 nij xi yj − ( k ni xi )( j=1 mj yj )
i=1 n2 xy − nx.ny
a= =
n k ni x2 − ( k ni xi )2
i=1 i i=1 n.nx2 − (nx)2
xy − x.y xy − x.y
= 2 − (x)2
= 2
x

´ ˜ ´ xy − x.y
ım o`
T´m lai, ta t` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax + b voi a =
o . e ınh a ’ , b = y − ax .
2


Ch´ y

´ . ´ xy − xy
i) Ta biˆt hˆ sˆ tuong quan
e e o ’’ = nˆn a =
e
.
Thay a v`o (6.4) ta c´
a o
y −y = (x − x)

hay
y −y (x − x)
=

Tu phuong tr` n`y ta c´ thˆ’ suy ra phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax+b
`
’ ’’ ınh a o e ’’ ınh o` ´
e ınh a˜
mˆt c´ch thuˆn loi hon v` thˆng qua viˆc t`
o a
. a .’ ’ ı o
. e ım
. ta da t´
¯˜ ınh , .
a . ’
ii) Khi c´c gi´ tri cua
a , kh´ lon, ta c´ thˆ’ d`ng ph´p dˆi biˆn
a ´ ’ o e u ’
e ¯o e ´

xi − x0 yj − y0
i = ( i = 1, k); j = ( j = 1, )
3. `
ˆi qui
o 109



trong d´
¯o
a ˜ ’` a a . ’
* x0 , y0 l` nhung gi´ tri t`y y (thuong chon x0 , y0 l` gi´ tri cua X,
’ a . u ´ ’ . ´ ´ a o
’ ` ´
ung voi tˆn sˆ

´’ ´ ’
nij lon nhˆt trong bang tuong quan thuc nghiˆm),
a ’’ .’ e
.
* , ’`
l` c´c gi´ tri t`y y (thuong chon
a a a . u ´ ’ . , ’ ´ ´
l` khoang c´ch c´c gi´ tri kˆ tiˆp
a a a a . e e

nhau cua X, ).
a
. ’ ’’ ¯o ´ a
´ ’ ´
e ´
Lˆp bang tuong quan dˆi voi c´c biˆn moi
’ ` ´
, V v` t´ to´n c´c gi´ tri cˆn thiˆt ta
a ınh a a a . a e
` ´
t` duoc h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu
ım ¯ ’ .’ a o e ınh a ˜

= a 0 . + b0
trong d´
¯o
− .
a0 = 2
, b0 = − a0 .

¯o a ´’ ¯ ’ .’ ım ’’ o ´
Khi d´ ta suy ra h`m y = ax + b voi a, b duoc t` boi cˆng thuc


a = a0 , b = y0 + b0 . − a0 . .x0


ı . a ¯i . ´
e o ’’ a a o` ´
e ınh a ˜ ’
• V´ du 4 X´c d. nh hˆ sˆ tuong quan v` h`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax + b cua
˜ e a ’’ ’
c´c dai luong ngˆu nhiˆn X v` cho boi bang tuong quan thuc nghiˆm sau:
a ¯. ’ ’ a ’’ .’ e
.

X 1 2 3

10 20
20 30 1
30 1 48


Giai
a
. ’
Ta lˆp bang sau


2
X 1 2 3 mj mj yj mj yj

10 200 20 200 2000
|20
20 1200 60 31 620 12400
|30 |1
30 60 4320 49 1470 44100
|1 |48
ni 20 31 49 n=100 y = 2290 y 2 = 58500
ni xi 20 62 147 x = 229
ni x2
i 20 124 441 x2 = 585 xy = 5840
110 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o




xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840

a` e o a ’ o
Phˆn trˆn g´c tr´i cua ˆ ghi c´c t´ nij xi yj . Ta c´
a ıch o
229 2290
x= = 2, 29; y= = 22, 9;
100 100

585 58500 5840
x2 = = 5, 58; y2 = = 585 xy = = 58, 4;
100 100 100
2
= x2 − (x)2 = 5, 85 − (2, 29)2 ≈ 0, 6059 =⇒ ≈ 0, 78

= y 2 − (y)2 = 585 − (22, 9)2 ≈ 7, 78
Do d´
¯o
xy − x.y 58, 4 − 2, 29 22, 9
a= 2
= = 9, 835
0, 6059
b = y − a.x = 22, 9 − 9, 835 2, 29 = 0, 378
` ´ ˜
H`m hˆi qui tuyˆn t´ mˆu l` y = 9, 835x + 0, 378
a o e ınh a a

. ´
Hˆ sˆ tuong quan l`
e o ’’ a
xy − x.y 58, 4 − 2, 29 22, 9
= = ≈ 0, 982
. 0, 78 7, 78

4. ` ˆ
BAI TAP
.
a . a ’ ¯ . ’ .’ ˜
1. Cho c´c gi´ tri quan s´t cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X v`
a a e a ’’ ’
o bang sau:

5 10 10 10 15 15 15 20 20 20
20 20 30 30 30 40 50 50 60 60

’ ’’
Gia su o .’ . o ’’
. ´
v` c´ su phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´
a ` ´
e ınh. T` h`m hˆi qui tuyˆn
ım a o e
˜
t´ mˆu: y = ax + b.
ınh a

’`’ ¯ e` a a ¯´ a
. o ı a ´ u e
. ’
2. Nguoi ta do chiˆu d`i vˆt duc v` khuˆn th` thˆy ch´ng lˆch khoi qui d.nh nhusau:
¯i ’

0 90 1,22 1,32 0,77 1,30 1,20 1,32 0,95 0,45 1,30 1,20
0,30 0,10 0,70 0,28 0,25 0,02 0,37 0,70 0,55 0,35 0,32

Trong do X,
¯´ l` c´c dˆ lˆch.
a a ¯o e
. .

a ¯i . ´
X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan.
e o ’’
´ . ´ e ˘ ` e ´ . ’ ’
e ˜ o ’ ’
3. Sˆ liˆu thˆng kˆ nham nghiˆn cuu quan hˆ giua tˆng san phˆm nˆng nghiˆp
o e o ’ a o e
. ´
voi

o’ a . a ’ o ¯i ´ ’
tˆng gi´ tri t`i san cˆ d.nh X cua 10 nˆng trai (t´ trˆn 100 ha) nhu sau:
o . ınh e ’
4. B`i tˆp
a a . 111


11,3 12,9 13,6 16,8 18,8 20,0 22,2 23,7 26,6 27,5
13,2 15,6 17,2 18,8 20,2 23,9 22,4 23,0 24,4 24,6

a ¯i ¯ ’`’ o` ´
e ınh a ˜
X´c d.nh duong hˆi qui tuyˆn t´ mˆu y = ax + b. Sau do t` phuong sai sai
¯´ ım ’’
´ thuc nghiˆm v` khoang tin cˆy 95% cho hˆ sˆ g´c cua duong hˆi qui trˆn.
sˆ .’
o e
. a ’ a
. e o
. ´ o ’ ¯ ’` ’ o` e
D e`
4. ¯ o chiˆu cao X (cm) v` trong luong
a . ’ .’ ’ ´ ’
(kg) cua 100 hoc sinh, ta duoc kˆt qua sau:
. ¯ ’ .’ e

145 − 150 150 − 155 155 − 160 160 − 165 165 − 170

35 − 40 3
40 − 45 5 10
45 − 50 14 20 6
50 − 55 15 12 5
55 − 60 6 4

’ ´
Gia thuyˆt X v`
e a ´ . ´
c´ mˆ phu thuˆc tuong quan tuyˆn t´
o o o ’’
. `
e ınh. T` c´c h`m hˆi qui
ım a a o

a) y = ax + b;

b) x = y +
´
a u ’ u ’’ o u
5. Theo d˜i luong phˆn b´n v` n˘ng suˆt l´a cua 100 hecta l´a o mˆt v`ng, ta thu
o ’ .’ a o a a .
¯ ’ .’ ’ ´ .
duoc bang sˆ liˆu sau:
o e

120 140 160 180 200

2,2 2
2,6 5 3
3,0 11 8 4
3,4 15 17
3,8 10 6 7
4,2 12

Trong do X l` phˆn b´n (kg ha) v`
¯´ a a o a ´ ´
l` n˘ng suˆt l´a (tˆn ha).
a a a u a

a ’ ´ ’ .’ . ´ ´
a) H˜y uoc luong hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´
’ e o ’’ e ınh .
b) T` phuong tr` tuong quan tuyˆn t´
ım ’’ ınh ’ ’ ´
e ınh: y = ax + b.
e` a ¯ ’` ınh ’ ´ ’ ’’ ’
6. ¯ o chiˆu cao v` duong k´ cua mˆt loai cˆy, ta duoc kˆt qua cho bo bang sau:
D ’ o
. . a ¯ ’ .’ e

6 8 10 12 14

30 2 17 9 3
35 10 17 9
40 3 24 16 13
45 6 24 12
50 2 11 22
112 Chuong .
’’ ´ ’’ `
´ thu ˆt tuong quan v` h`m hˆi qui
e a a o



a ¯ ’`
Trong do X l` duong k´ (cm) v`
¯´ ’ ınh a e`
l` chiˆu cao (m).
a

. ´ ´ ˜
a) X´c d.nh hˆ sˆ tuong quan tuyˆn t´ mˆu .
a ¯i e o ’’ e ınh a
ım a ’’ ınh o` ´
b) T` c´c phuong tr` hˆi qui tuyˆn t´ mˆu.
e ınh a ˜
’’ ınh e e ¯o’ ´
’ e a e ´
c) C´c phuong tr` trˆn s˜ thay dˆi nhu thˆ n`o nˆu X duoc t´ theo don vi l`
a ¯ ’ .’ ınh ¯’ . a
m´t (m)
e

• ’ ` ’ ` ˆ
2 TRA LOI BAI TAP
.
1. x = 14, y = 39, y = 8 x + 5 .
3 3

2. = −0, 3096.
3. y = 0, 67x + 7, 18, σ 2 = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176).
4. a) y = 0, 7018x − 61, 5537, b) x = 0, 91y + 112, 96.
5. = 0, 8165; y = 0, 017x + 0, 5622.
6. a) = 0, 69, b) y = 0, 218x + 2, 434, x = 2, 18y + 15, 87.
c) y = 21, 8x + 2, 434, x = 0, 0218y + 0, 1587.
Chuong
’’

ˆ’ ´
ˆ ’ ’
ˆ
KIEM T A CHAT U’ONG SAN HAM
.’

˜ a ınh ’ ´
a ’`’ o .’ ¯o’ ˜ a ’
Trong mˆi qu´ tr` san xuˆt thuong c´ su thay dˆi giua c´c san phˆm gˆy ra t´c
o ’ a’ a a
dong xˆ e
¯ˆ. a´u lˆn chˆt luong cua san phˆm. Su thay dˆi n`y c´ thˆ’ duoc gˆy nˆn boi su su
´ ’ .’
a ’ ’ a’
.’ ¯o ’ a o e ¯’’ a e
. ’’ .’ ’
’ ’ ’ a o ´
a ’ .’ ´
a ’
hu hong cua m´y m´c, chˆt luong xˆu cua nguyˆn liˆu thˆ cung cˆp cho san xuˆt, phˆn
e e . o ´
a ’ a´ a`
e` ’ y o ınh a a
. a` ’
mˆm quan l´ khˆng ch´ x´c ho˘c do sai lˆm cua con nguoi khi diˆu khiˆ ’`’ ¯ e` e ’n qu´ tr`
a ınh.
Viˆc nhˆn biˆt khi n`o th` qu´ tr` di ra ngo`i su kiˆ’m so´t duoc x´c d.nh boi
e
. a
. e´ a ı a ınh ¯ a .’ e a ¯ ’ .’ a ¯i ’’
biˆu dˆ kiˆm so´t. Biˆ’u dˆ n`y duoc x´c d.nh boi hai gi´ tri: gioi han kiˆ’m so´t duoi
e’ ¯o e’` a `
e ¯o a ¯ ’ .’ a ¯i ’’ a . ´ .
’ e a ’´’
LCL (lower control limit) v` gioi . a ’ ´ han kiˆ’m so´t trˆn CL (upper control limit). Du liˆu
e a e ˜ e
’ .
’ ´ a ˜
’ o a o ´ e ’
san xuˆt duoc chia th`nh nhung nh´m con v` thˆng kˆ cua nh´m con, nhu trung b`
a ¯ ’ .’ o ’ ınh
nh´m con v` dˆ lˆch tiˆu chuˆ
o a ¯o e
. . e a ’n nh´m con. Khi thˆng kˆ nh´m con khˆng roi v`o giua
o ´
o e o o ’ a ˜’
´ han kiˆ’m so´t duoi v` gioi han kiˆ’m so´t trˆn th` ta kˆt luˆn qu´ tr` di ra ngo`i
gioi .
’ e a ´ a ´ .
’’ ’ e a e ı ´ a
e . a ınh ¯ a
e’
kiˆm so´t. a


ˆ `
ˆ ’
1. BIEU DO IEM SOAT CHO GIA TRI TRUNG B`
ˆ ´ ´ . INH

1.1 ’`
’ ’
. ´
Truong hop biˆt
e v` σ
a
Gia su khi qu´ tr` trong su kiˆ’m so´t c´c san phˆm liˆn tiˆp duoc san xuˆt ra c´
’ ’’ a ınh .’ e a a ’ a’ e ´
e ¯ ’ .’ ’ ´
a o
a ¯˘
c´c dac trung sˆ ¯ ¯ ’ .’ a ¯ . ’ .’
. ’ o ˜
a e a ’ ¯o a
´ do duoc l` dai luong ngˆu nhiˆn chuˆn, dˆc lˆp voi trung b`
. . ´’ ınh v` a
’ ’ e ı o ınh o ¯˘
. ´
phuong sai σ 2 . Tuy nhiˆn, v` mˆt t` huˆng dac biˆt n`o do qu´ tr` di ra ngo`i su
. e a ¯´ a ınh ¯
. a .’
kiˆ’m so´t v` bat dˆu san xuˆt ra san phˆm c´ phˆn phˆi kh´c. Ta cˆn nhˆn biˆt khi
e ´ `
a a ˘ ¯a ’ ´
a ’ a’ o a o´ a a` a
. ´
e
a ı ¯e` n`y xay ra dˆ’ ngung qu´ tr`
n`o th` diˆu a ’ ¯e `’ a ınh, t` ra su cˆ a ˘
ım .’ o
´
´ v` khac phuc n´.
. o
’ ’’ a a ¯˘ ’ ¯ ¯ ’ .’ ’ a ’ ’ ´
Gia su 1 , 2 , . . . l` c´c dac trung do duoc cua c´c san phˆm liˆn tiˆp. Ta chia du
. a e e ˜

e
. a a o o ıch ’ ´
liˆu ra th`nh c´c nh´m con c´ k´ thuoc n x´c d.nh. Gi´ tri n duoc chon sao cho trong
’ a ¯i a . ¯ ’ .’ .
o˜ o ’ a ´ ’ ˘’
mˆi nh´m con san phˆm c´t´ chˆt nhu nhau. Chang han, n c´ thˆ’ duoc chon sao cho
’ o ınh a . o e ¯ ’ .’ .
´
a ’ ’ a ’ e o
. o ¯ ’ .’ ’ a´
tˆt ca san phˆm bˆn trong mˆt nh´m con duoc san xuˆt trong c`ng mˆt ng`y, ho˘c
u o
. a a.
c`ng mˆt ca, ho˘c c`ng mˆt c´ch sa ¯˘
u o. a u
. o a
. ´p dat,...C´c gi´ tri tiˆu biˆ’u cua n l` 4, 5 ho˘c 6.
˘ . a a . e e ’ a a
.
Goi
. i, ınh ’ ´ ´ a
i = 1, 2, . . . l` gi´ tri trung b` cua nh´m thu i. Tuc l`
a a . o ’ ’

1 + ... + n
1 =
n

113
114 Chuong .
’’ ’ ´ ’ ’
iˆm t a chˆt uong san phˆm
e a ’’ a


n+1 + ... + 2n
2 =
n
2n+1 + ... + 3n
3 =
n

V` khi trong su kiˆ’m so´t, mˆi
ı .’ e a ˜
o i c´ trung b`
o ınh v` phuong sai σ 2 nˆn
a ’’ e

σ2
E( i) = , Va ( i) =
n

i − ´ ’
Do d´
¯o 2
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a.
o a o a o
n

´ o ¯ . ’ .’
e . ˜
a e o a ´
o ’
a o a `
Ta biˆt mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn h´a hˆu nhu nhˆn gi´ tri
’ a . a .
˜
giua 3 v` 3 (v` P (−3 < < 3) = 0, 9973).
’ a ı
Do d´
¯o
i −
−3 < n 0. Phai mˆt bao lˆu toi khi biˆ’u dˆ nhˆn thˆy qu´
`
’ ´
’ ´
’ ’ a ´ a ´ ’ e ¯o a` . ´
a a
tr` di ra ngo`i kiˆ
ınh ¯ a e ’m so´t
a
Ta thˆy trung b` cua nh´m con o trong gioi han kiˆ’m so´t nˆu
´
a ınh ’ o ’’ ´ .
’ e a e ´


−3 < n
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản