Giới hạn-dãy số-toán 11

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

6
1.566
lượt xem
561
download

Giới hạn-dãy số-toán 11

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới hạn-dãy số-toán 11 là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giới hạn-dãy số-toán 11

  1. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long PHÂN LO I M T S GI I H N CƠ B N THƯ NG G P V DÃY S 1 c = 0 . T ng quát lim k = 0, ( k ≥ 1) . • V i c là h ng s , ta có lim c = c ; lim n n • V i s th c q th a q < 1 thì lim q = 0 . n • Các phép toán trên các dãy có gi i h n h u h n (Xem ñ nh lý 1, SGK) • Phép toán trên dãy s có gi i h n vô c c ( lim un = ±∞ ) lim un = a  lim un = a  un  un  ⇒ lim = 0 ; lim vn = 0  ⇒ lim = {dÊu cña a} ∞ . lim vn = +∞  vn vn vn > 0, ∀n ≥ 0   f ( n) D ng 1: Gi i h n dãy s un = , trong ñó f ( n ) , g ( n ) là các ña th c n s n. g ( n) Cách gi i : Chia (các s h ng) c a c t và m u cho lũy th a c a n có s mũ cao nh t trong dãy un , sau ñó dùng các k t qu nêu trên ñ tính. 3n3 − 7 n + 1 Ví d 1: Tính L1 = lim . 4n3 − 3n 2 + 2 3n3 − 7 n + 1 Gi i: Khi n → +∞ thì n ≠ 0 nên chia c t và m u c a cho n3 ta ñư c 4n − 3n + 2 3 2 3n3 7 n 1 7 1 − 3+ 3 3− 2 + 3 3 L1 = lim n 3 n 2 n = lim n n = 3−0+ 0 = 3 4n 3n 2 3 2 4− + 3 4−0+0 4 3 − 3 + 3 n n n n n 7 1 3 2 (Ghi chú: lim 2 = lim 3 = lim = lim 3 = 0 ) n n n n 3n − 8n + 3 7 6 Ví d 2: Tính L2 = lim 8 5n + n 3 + 2 n Nh n xét: S mũ cao nh t c a n trong gi i h n trên là n8 nên ta chia c t và m u cho n8 . Gi i: 3n 7 8n 6 3 3 8 3 − 8 + 8 − + L2 = lim 8n 8 n n = lim n n 2 n8 = 0 − 0 + 0 = 0 . 5n n 3 2 n 1 2 5+ 5 + 7 5+0+0 8 + 8+ 8 n n n n n −3n + 2n + 4 5 Ví d 3: Tính L3 = lim 2 n + 4n + 3 Nh n xét: S mũ cao nh t c a n trong gi i h n trên là n5 nên ta chia c t và m u cho n5 . Gi i: −3n5 2n 4 2 4 5 + 5+ 5 −3 + 4 + 5 L3 = lim n 2 n n = lim n n . n 4n 3 1 4 3 + + + + n5 n5 n 5 n3 n 4 n 5 2 4 −3 + 4 + 5  2 4  1 4 3 n n = −∞ Vì lim  −3 + 4 + 5  = −3 < 0 và lim  3 + 4 + 5  = 0 nên L3 = lim  n n  n n n  1 4 3 + + n3 n 4 n5 1/6
  2. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long Các em h c sinh c n lưu ý: Không ñư c vi t theo cách sau 2 4 −3 + 4 + 5 L3 = lim n n = −3 + 0 + 0 = −3 = −∞ (Sai). 1 4 3 + 4+ 5 0+0+0 0 3 n n n T ba ví d trên ta có nh n xét: f ( n) V i dãy s un = , trong ñó f ( n ) , g ( n ) là các ña th c n s n, ta có g ( n) ♣ N u bËc { f ( n )} > bËc { g ( n )} thì lim un = ±∞ ; ♣ N u bËc { f ( n )} < bËc { g ( n )} thì lim un = 0 ; a ♣ N u bËc { f ( n )} = bËc { g ( n )} thì lim un = c = (h ng s khác 0). Trong ñó a là h s b c a n có s mũ cao nh t trong f ( n ) ; ñó b là h s c a n có s mũ cao nh t trong g ( n ) . f ( n) D ng 2: Gi i h n dãy s un = , trong ñó f ( n ) , g ( n ) là các bi u th c có ch a căn. g ( n) Ta bi t, ña th c p ( x ) = ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0 có b c là k ; Ta quy ư c (ñ d tính toán, không ph i là ki n th c chu n ): k Bi u th c ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0 có b c là ; 2 k Bi u th c 3 ak x k + ak −1 x k −1 + ... + a1 x + a0 có b c là . 3 Ví d : ða th c p ( x ) = 4n 6 − 3n3 + 2n có b c là 6; 2 3 Bi u th c 3n 2 + 2n + 1 có b c là = 1 ; n3 + 3n + 7 có b c là . 2 2 V i d ng này ta cũng gi i như D ng 1, t c là chia c t và m u c a dãy s cho n có b c cao nh t. Chú ý: n = n 2 ; n k = n 2 k và n = 3 n3 ; n k = 3 n3k dùng ñ ñưa các lũy th a vào trong d u căn. Ch ng h n: n n + 1 = n 2 ( n + 1) = n3 + n 2 ; n 2 . 3 n + 2 = 3 n 6 ( n + 2 ) = 3 n7 + 2n 6 ; 2n 2 3 n3 n3 1 = = 2. 3 5 = 2. 3 2 3 n5 3 n5 n n n + n 2 + 2n + 3 Ví d 4: Tính L4 = lim . 3 − 2n 2 + 1 Nháp: 2 Căn n 2 + 2n + 3 có b c b ng = 1 ; n có b c b ng 1 nên b c cao nh t c a n + n 2 + 2n + 3 2 là 1; 2n 2 + 1 có b c là 1 nên 3 − 2n 2 + 1 có b c cao nh t là 1. V y ta chia c t và m u cho n1 = n = n 2 ñ tính. 2/6
  3. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long Gi i: n n 2 + 2n + 3 n 2 + 2n + 3 2 3 + 1+ 2 1+ 1+ + 2 Ta có L4 = lim n n = lim n = lim n n 3 2n + 1 2 3 2n + 1 2 3 1 − 2+ 2 − − 2 n n n n n n 1+ 1+ 0 + 0 2 Suy ra L4 = = =− 2. 0− 2+0 − 2 2n + n3 + 3n + 2 Ví d 5: Tính L5 = lim . 1 + n 3n + 4 Nháp: 3 B c cao nh t c a 2n + n3 + 3n + 2 là = 1, 5 ; 2 3 b c cao nh t c a 1 + n 3n + 4 = 1 + n 2 ( 3n + 4 ) = n 2 + 3n3 + 4n là . 2 3 V y ta chia c t và m u c a dãy s cho n3 (có b c b ng ) 2 Gi i: 2n n3 + 3n + 2 n2 n3 + 3n + 2 1 3 2 + 2 + 2 + 1+ 2 + 3 3 L5 = lim n n3 = lim n 3 n 3 = lim n n n 1 n 3n + 4 1 3n + 4n 3 1 4 + 3 + 3 3 + 3+ 2 n3 n3 n n n n 2. 0 + 1 + 0 + 0 1 Suy ra L5 = = 0 + 3+ 0 3 3 −3n 7 + 2n + 1 Ví d 6: Tính L6 = lim n 2 + 3n + 7 Nháp: 7 B c cao nh t c a 3 −3n 7 + 2n + 1 là ; b c cao nh t c a m u là 2, suy ra b c cao nh t trong 3 7 3 dãy là . V y ta c n chia c t và m u cho n7 . 3 Gi i: 3 −3n 7 + 2n + 1 −3n 7 + 2n + 1 2 1 3 3 −3 + + 3 7 Ta có L6 = lim 2 n = lim n 7 = lim n6 n7 n 3n 7 n6 n3 1 1 1 1 + + 3 + 3. 3 7 + 7. 3 7 3 + 3. 3 4 + 7. 3 7 3 7 3 7 3 7 7 n n n n n n n n n  2 1   1 1 1  Vì lim  3 −3 + 6 + 7  = 3 −3 + 0 = 3 −3 < 0 và lim  3 + 3. 3 4 + 7. 3 7  = 0 nên    n   n n   n n  3 −3 + 2 1 + L6 = lim n6 n7 = −∞ . 1 1 1 3 + 3. 3 4 + 7. 3 7 n n n 3/6
  4. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long D ng 3: Gi i h n dãy un = f ( n ) ± g ( n ) , trong ñó f ( n ) , g ( n ) là các ña th c n s n. S d ng phép bi n ñ i dùng bi u th c liên h p như sau. f (n) − g (n) = ( f ( n) − g ( n) )( f ( n) + g ( n) )= f (n) − g ( n) ; f (n) + g (n) f ( n) + g ( n) f ( n) + g ( n) = ( f (n) + g (n) )( f ( n) − g (n) )= f ( n) − g ( n) f ( n) − g ( n) f (n) − g (n) {Dùng h ng ñ ng th c ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2 } Khi ñó ta ñưa ñư c d ng này v D ng 2. Ví d 7: Tính L7 = lim ( n2 + n + 3 − n ) Gi i: ( )( ) = lim ( ) −n 2 n2 + n + 3 − n n2 + n + 3 + n n2 + n + 3 2 n2 + n + 3 − n 2 L = lim = lim ( ) 7 n2 + n + 3 + n n2 + n + 3 + n n2 + n + 3 + n n+3 L7 = lim . n2 + n + 3 + n {Nháp: C t và m u ñ u có b c cao nh t b ng 1, nên ta chia c t và m u cho n1 = n } n 3 3 3 + 1+ 1+ n n n n 1+ 0 1 L7 = lim = lim = lim = = n2 + n + 3 n n2 + n + 3 1 3 1+ 0 + 0 +1 2 + 2 +1 1+ + 2 +1 n n n n n Ví d 8: Tính L8 = lim ( 3n 2 + 2n + 1 + n 3 ) Gi i: ( )( ) = lim ( ) ( ) 2 2 3n 2 + 2n + 1 + n 3 3n 2 + 2n + 1 − n 3 3n 2 + 2n + 1 − n 3 L = lim 8 3n 2 + 2n + 1 − n 3 3n 2 + 2n + 1 − n 3 3n 2 + 2n + 1 − 3n 2 2n + 1 = lim = lim 3n + 2n + 1 − n 3 2 3n + 2n + 1 − n 3 2 {Nháp: C t và m u ñ u có b c cao nh t b ng 1, nên ta chia c t và m u cho n1 = n } 2n 1 1 1 + 2+ 2+ L8 = lim n n = lim n = lim n 3n + 2n + 1 n 3 2 3n + 2n + 1 2 2 1 3+ + 2 − 3 − 2 − 3 n n n n n  1  2 1  Vì lim  2 +  = 2 + 0 = 2 > 0 và lim  3 + + 2 − 3  = 3 + 0 + 0 − 3 = 0 , và do    n  n n  1 2+ 2 1 2 1 n 3 + + 2 > 3 nên 3 + + 2 − 3 > 0, ∀n . Suy ra L8 = lim = +∞ n n n n 2 1 3+ + 2 − 3 n n 4/6
  5. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long D ng 4: Gi i h n c a dãy có ch a s mũ là n Lưu ý các phép bi n ñ i: n an  a  =   ; a n .b n = ( a.b ) ; lim q n = 0 n u q < 1 . n n b b 2 n + 4.3n Ví d 9: Tính L9 = lim . 5 − 7.3n Nh n xét: Trong các lũy th a 2 n , 3n thì 3n có “cơ s ” b ng 3 là cơ s l n nh t. V y ta s chia c t và m u cho 3n và s d ng tính ch t nêu trên ñ tính. Gi i: n 2n 3n 2 2 n + 4.3n + 4. n   +4 0+4 L9 = lim 3n = lim n 3 = lim  3  = 4 =− . 5 − 7.3 n 1 3 n 1 n 5.0 − 7 7 5. n − 7. n 5.   − 7 3 3 3 n n 2 1 2 1 Vì < 1; < 1 nên lim   = lim   = 0 . 3 3 3  3 Nh n xét: ð gi i các bài toán tìm gi i h n d ng này, chúng ta chia c t và m u cho lũy th a có “cơ s ” l n nh t. 3.2n − 5.7 n Ví d 10: Tính L10 = lim n . 4 + 3.5n {Nháp: Trong các lũy th a 2n , 4n ,5n , 7 n thì lũy th a có cơ s l n nh t trong dãy trên là 7 n } Gi i: Chia c t và m u c a dãy s ñã cho cho 7 n ta có: n 2n 7n 2 3. n − 5. n 3.   − 5 3.2n − 5.7 n 7 7 = lim 7 L10 = lim n = lim n . 4 + 3.5 n 4 5 n 4 n 5 n + 3. n   + 3.   7n 7 7 7 n n n 2 4 5 2 4 5 Vì 0 < ; ; < 1 nên lim   = lim   = lim   = 0 nên 7 7 7 7 7 7   2 n   4  n 5  n lim  3.   − 5  = 3.0 − 5 = −5 < 0 và lim   + 3.    = 0 + 3.0 = 0 ñ ng th i  7   7  7      n n 4 5   + 3.   > 0, ∀n ∈ ℕ . 7 7 n 2 3.   − 5 Suy ra L10 = lim 7 = −∞ . {Theo ñ nh lý 2, tr117, SGK} n n 4 5   + 3.   7 7 D ng 5: S d ng các ð nh lý v gi i h n. lim un = a  lim un = a  un  un  ⇒ lim = 0 ; lim vn = 0  ⇒ lim = {dÊu cña a} ∞ lim vn = +∞  vn vn vn > 0, ∀n ≥ 0   Ví d 11: Cho các dãy ( un ) , ( vn ) th a mãn lim un = −3 ; lim vn = +∞ 5/6
  6. Giúp h c sinh t h c Toán – Biên so n: ð Cao Long và vn ≠ 0, un < −3, ∀n ∈ ℕ . Hãy tính các gi i h n sau u +2 2un vn + 5 a) L11a = lim n b) L11b = lim c) L11c = lim un − 3 3 + un 2 − 3vn Gi i: u + 2 lim un + lim 2 −3 + 2 1 a) L11a = lim n = = = un − 3 lim un − lim 3 −3 − 3 6 b) Vì lim 2un = lim 2.lim un = 2. ( −3) = −6 < 0 và lim ( 3 + un ) = lim 3 + lim un = 3 + ( −3) = 0 , ñ ng th i un < −3, ∀n ∈ ℕ nên un + 3 < 0, ∀n ∈ ℕ . u +2 Suy ra L11b = lim n = +∞ . un − 3 Nh n xét: V i bài b) này, n u không chú ý ñ n un + 3 < 0, ∀n ∈ ℕ và lim ( 2un ) = −6 < 0 thì m t s em h c sinh s ñi ñ n k t qu L11b = −∞ (Sai). v +5 c) Do vn ≠ 0, ∀n ∈ ℕ nên chia c t và c a n m u cho vn , ta ñư c 2 − 3vn vn 5 5 + 1+ v vn vn 1 + 0 1 2 5 L11c = lim n = lim = = − . Vì lim vn = +∞ nên lim = lim = 0 . −3 0−3 2 v 2 3 vn vn − 3. n vn vn vn Bài t p t luy n Bài 1: Tính các gi i h n sau 4n8 + 12n − 1 3n5 − 2n 4 + 7 4 + n 2 − 3n12 a) lim 2 b) lim 6 c) lim n + 5n 6 − 6 n 8 6n − n 5 + 2 n + 3 7 + n 3 + 8n 9 Bài 2: n n2 + n + 1 2 − 3 n4 + 1 3n − 4 n3 + 2 a) lim b) lim c) lim 3n 2 − 2n + 12 2n + 3 2n 2 + 3n + 1 Bài 3: Tính các gi i h n sau a) lim ( 4n 2 + n + 2 − 2n ) ( b) lim n + n 2 + n + 7 ) ( c) lim 2n − n 2 + n + 2 ) d) lim ( 3 n 3 + 2n + 1 − n ) Bài 4: Tính các gi i h n sau 2 + 5n 3.2n + 4 3 − 5.7 n a) lim n b) lim n c) lim n 4 − 6.5n 4.3 − 5.4n 4.5 + 5.6n ðáp s : 2 1a) − 1b) 0 1c) −∞ 3 2a) 0 2b) −∞ 2c) 0 1 3a) 3b) +∞ 3c) +∞ 3d) 0 4 1 4a) − 4b) 0 4c) −∞ 6 Chúc các em h c t t ! 6/6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản