Gợi ý cách giải Đề thi vào 10 - Chuyên Toán - ĐH Sư phạm & ĐH KHTN - 2010

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

0
306
lượt xem
121
download

Gợi ý cách giải Đề thi vào 10 - Chuyên Toán - ĐH Sư phạm & ĐH KHTN - 2010

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Gợi ý cách giải Đề thi vào 10 - Chuyên Toán - ĐH Sư phạm & ĐH KHTN - 2010 " giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập hoá học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Gợi ý cách giải Đề thi vào 10 - Chuyên Toán - ĐH Sư phạm & ĐH KHTN - 2010

  1. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Gợi ý cách giải đề thi chuyên toán SP & KHTN v2 năm 2010 và 1 số vấn đề liên quan I. Đề thi 1.SP Math is thinking
  2. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk 2.KHTN II.Gợi ý cách giải. 1.SP Câu1. 1/ a.G/y: Nhận thấy 1 cách dễ dàng (1 − b 2 ) − (1 − a 2 ) = a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Do đó để đưa các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu – thì ta nhân liên hợp. Math is thinking
  3. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Ta có: (a − b)(a + b) 1 − b2 − 1 − a 2 = = a − b ⇔ a + b = 1 − b2 + 1 − a 2 1− b + 1− a 2 2 a − b = 1 − b 2 − 1 − a 2 Đến đây ta sẽ tìm quan hệ giữa các cặp số đã biết tổng và hiệu   a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2  Giờ thì cộng hay trừ tùy bạn… b.N/x: !! Việc xử lý tổng(hiệu) của 2 căn thức với chúng ta đã khá quen thuộc: 1. Bình phương → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu nhân “x”. 2. Liên hợp → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu trừ “-”. Hơn nữa liên hợp cũng đã từng được biết tới qua đề thi SP vòng 1 năm 2009. !! Chú ý khi nhân liên hợp hay cùng chia 2 vế cho 1 biểu thức thì cần xét bt đó =0 !! Bài dạng này: Câu 5 Các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức Chứng minh x+y=0 2/ a.G/y: Chắc hẳn chúng ta không ai choáng với 2009,2010 và kiểu hỏi lừa của đề bài. Bản chất bài toán được phát biểu như sau : Đưa n 2 + n 2 (n + 1)2 + (n + 1)2 về dạng bình phương. Vậy thì ta phá tung rồi sử dụng pp khử được: n 2 + n 2 (n + 1)2 + (n + 1) 2 = n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1 = (n 2 + n + 1) 2 . b.N/x: Đây là bài toán dễ trong đề nhưng khi trình bày bạn nên đặt n=2009 hoặc 2010 để quá trình biến đổi đơn giản hơn ----------------------------------------------------------------- Câu2. a.G/y: Xử lý bài toán về pt bậc 2 với các biểu thức chứa hệ số thì ta không thể quên Vi-ét: a + b = 2c (1) c + d = 2a (3)  và  ab = −5d (2) cd = −5b(4) Thế rồi từ (1) và (3) ta làm được câu a. Math is thinking
  4. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu b có vẻ hơi khó vì bỗng dưng đâu ra 30??? Nhưng trước hết ta đã biết a + c = b + d → cần a + c = b + d = 15 .Quả thực tới đây ta bí.Nhưn bạn phải nhận xét: 1. Ta chưa dùng hết giả thiết : Vi-ét mới dùng ½ và không phải chỉ có thể khai thác gt dưới cái nhìn Vi-ét 2. Bậc 1 với các biến đã bó tay nên chăng tìm bậc cao hơn Từ đó ta có thể nghĩ tới dùng (2) và (4) → ac=25 a 2 − 2ac − 5d = 0  2 b − 2bc − 5d = 0 Thế các nghiệm vào bài  2 c − 2ca − 5b = 0 d 2 − 2da − 5b = 0  Có ac nên ta nghĩ đến cái thứ 1 và 3.Bạn cộng trừ thêm bớt và nhớ lấy ta cần cần a + c = b + d = 15 b.N/x: Câu a là 1 câu dễ nhưng câu b lại đòi hỏi ta những cách nhìn và nhận xét tinh tế hơn.Và quả thật mối quan hệ giữa 2 câu rất mờ nhạt đôi khi còn làm khó cho nhau. ----------------------------------------------------------------- Câu3. a.G/y: Bài này thuộc về kiểu BĐT số học nên lúc mới đầu ta có vẻ sợ và ngại nhưng chắc chắn khi đặt bút vào làm thì mọi vấn đề dừng như rất trôi chảy. (mn 2 − 2) < n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n) < m 2 n 4 m 2 n 4 + 4n3 + 4mn 2 > 4 + m2 n 4 + 4mn 2  ⇔ 2 4 m n + 4mn > 4n + m n 2 3 2 4  2 Khi đã có câu a thì b trở nên rất dễ vì các cực cho pp kẹp đã định sẵn : (mn − )2 < S < (mn)2 n Nhớ rằng n>1 mà tự hoàn thiện b.N/x: Bài toán thực sự không quá khó nhưng ta cần chú ý: 1. x > n ↔ x ≥ n + 1 2. pp kẹp với SCP Đã 2 năm có BĐT số học !! Bài dạng này: Bài 3: Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau i) Math is thinking
  5. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk ii) Chứng minh ----------------------------------------------------------------- Câu4. Math is thinking
  6. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk ----------------------------------------------------------------- Câu5. a.G/y: Nếu bạn đã từng làm toán hình học tổ hợp và toán logic thì chắc chắn ta sẽ xác định đây là dạng toán dùng pp “Bất biến”.Vậy thì giờ ta hãy tìm cái gì không biến đi.Thông thường nó là tổng hiệu a +b a −b hoặc thương tích gì đó.Trong bài này ta cần tìm quan hệ của a,b với , . 2 2 Nếu tôi nói ngay lời giải thì sẽ mất hay nên các phép thử sau sẽ chỉ là định hướng n Chú ý: Cả 3 số trước và sau đều có dạng m 2 + p nên khả năng xét tính vô hữu tỉ là rất khó 1.Tổng hoặc hiệu a +b a −b a +b a −b − = 2b hoặc + = 2a → nếu chỉ dùng tổng hiệu bậc 1 thì ta không thể loại 2 2 2 2 bỏ 2 2.Tích a +b a −b 1 2 2 . = (a − b ) . Cái này có vẻ khả thi hơn nhưng bậc 2 lại khác loại (tức ab và (a 2 − b 2 ) ) 2 2 2 3.Từ nhận những nhận xét trên ta cần đưa biểu thức bất biến về cùng loại bậc 2 Math is thinking
  7. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk TH1: cùng ab ???????? → rất khó khử mất a 2 , b 2 TH2:cùng a 2 , b 2 →cần khử đi ab Bạn hãy nghĩ tiếp k 20’ trước khi nhìn lời giải: a+b 2 a−b 2 ( ) +( ) = a 2 + b2 2 2 Chú ý tìm ra cái bất biến này chưa xong bởi bài toán có 3 số nhưng có lẽ gợi ý sẽ chỉ viết thế này. b.N/x: Dạng toán này luôn rất khó với mọi đối tượng do chúng không chỉ đòi hỏi pp đúng đắn mà còn sự nhanh lẹ trong tư duy. !! Bài dạng này: Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp bằng cặp số trong đó cặp số (c,d) cũng thuộc M Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số hay không? 2.KHTN Câu1. 1/ a.G/y: Đây là câu dễ nhất trong lịch sử thi chuyên mình từng gặp.Bạn dùng máy tìm no hay giải ra nháp tìm no cũng được rồi cm đó là no duy nhất 2/ a.G/y: Không khó để có thể nhận ra đây là pt hoàn toàn không mẫu mực .Ta cứ phá tạm như sau 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26  2 5 x + 2 y + 2 xy = 26 2  ⇔ 2 3 x + (2 x + y )( x − y ) = 11  2 x − y − xy + 3 x = 11 2  Do cả 2 pt đều mang dáng dấp bậc 2 nên ta thử nhóm bậc 2 theo x rồi theo y sau đó thử: 1. Kẹp biến nhờ ∆ 2. Đưa về dạng tích nếu có ∆ chính phương Đó là suy nghĩ ban đầu và có vẻ khả thi nhưng chắc chắn là không ra.Khi đó ta quay lại nhìn:  2 5 x + 2 xy + 2 y = 26 2 y 2 + 2 xy + 5 x 2 = 26 hay  2 2  2  2 x − x( y − 3) − y = 11 − y − yx + 2 x + 3 x = 11 2   Sẽ thấy điều kì diệu khi nhóm theo y. Đó là hệ số. Bạn đã nhìn ra…? ----------------------------------------------------------------- Math is thinking
  8. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu2. 1/ a.G/y: Do bài cho là tìm n nên ta đừng chú ý tới những tính chất chia hết của SCP. Bởi nếu làm vậy ta sẽ chỉ có thể tìm ra 1 dạng chung chung cho n thôi.Với 1 tư duy hết sức đơn giản là đưa cái cần tìm vào phương trình ta có: n 2 + 391 = m 2 ⇔ (m − n)(m + n) = 391 .Đây đã là pt no nguyên quen thuộc nhưng chú ý 391=17.23 2/ a.G/y: Với kinh nghiệm BĐT và cực trị thì ta sớm có thể nhận ra dấu bằng xảy ra ↔ x=y. Hơn nữa khi thay x=y thì ta còn nhận ra rằng dấu bằng xảy ra ∀z . Sau khi đã có trong tay dấu bằng thì ta tiếp theo là các phép biến đổi hay 1 BĐT nào đó.Trước tiên hãy viết lại bài xy + z + 2( x 2 + y 2 ) ≥ 1 + xy Tận dụng gt ???? Chắc chắn gt được tận dụng ngay lập tức là xy + z = xy + 1 − x − y = (1 − x )(1 − y ) Nếu làm như vậy là ta đã xóa z ra khỏi cuộc chơi và BĐT cần cm với 0
  9. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu 4. Không khó có thể nhận ta con số 2010 chẳng có ý nghĩa gì. Trong tâm bài toán là ở số được đánh dấu-số tm 1 trong các đk: 1. Số dương 2. Số bắt đầu của 1 tổng dương các số liên tiếp Do yêu cầu cm tổng các số được đánh dấu dương nên ta hãy thử quan tâm tới số âm được đánh dấu ai .Chắc chắn ai thỏa mãn đk 2. Ta g/s tổng đó là ai + ai +1 + ... + ai + k . Một điều có thể khẳng định và ta cũng đang rất cần là từ ai đến ai + k có các số dương để tổng các số dương đó với ai > 0.Đến đây lời giải gần như đã hé lộ phần nào. Nhưng cũng như bao bài toán lôgic khác để biến cách suy nghĩ của mình thành lời giải khá khó khăn. Math is thinking
  10. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Gợi ý cách giải đề thi chuyên toán SP & KHTN v2 năm 2010 và 1 số vấn đề liên quan I. Đề thi 1.SP Math is thinking
  11. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk 2.KHTN II.Gợi ý cách giải. 1.SP Câu1. 1/ a.G/y: Nhận thấy 1 cách dễ dàng (1 − b 2 ) − (1 − a 2 ) = a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Do đó để đưa các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu – thì ta nhân liên hợp. Math is thinking
  12. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Ta có: (a − b)(a + b) 1 − b2 − 1 − a 2 = = a − b ⇔ a + b = 1 − b2 + 1 − a 2 1− b + 1− a 2 2 a − b = 1 − b 2 − 1 − a 2 Đến đây ta sẽ tìm quan hệ giữa các cặp số đã biết tổng và hiệu   a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2  Giờ thì cộng hay trừ tùy bạn… b.N/x: !! Việc xử lý tổng(hiệu) của 2 căn thức với chúng ta đã khá quen thuộc: 1. Bình phương → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu nhân “x”. 2. Liên hợp → các biểu thức trong căn xích lại gần nhau hơn với dấu trừ “-”. Hơn nữa liên hợp cũng đã từng được biết tới qua đề thi SP vòng 1 năm 2009. !! Chú ý khi nhân liên hợp hay cùng chia 2 vế cho 1 biểu thức thì cần xét bt đó =0 !! Bài dạng này: Câu 5 Các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức Chứng minh x+y=0 2/ a.G/y: Chắc hẳn chúng ta không ai choáng với 2009,2010 và kiểu hỏi lừa của đề bài. Bản chất bài toán được phát biểu như sau : Đưa n 2 + n 2 (n + 1)2 + (n + 1)2 về dạng bình phương. Vậy thì ta phá tung rồi sử dụng pp khử được: n 2 + n 2 (n + 1)2 + (n + 1) 2 = n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1 = (n 2 + n + 1) 2 . b.N/x: Đây là bài toán dễ trong đề nhưng khi trình bày bạn nên đặt n=2009 hoặc 2010 để quá trình biến đổi đơn giản hơn ----------------------------------------------------------------- Câu2. a.G/y: Xử lý bài toán về pt bậc 2 với các biểu thức chứa hệ số thì ta không thể quên Vi-ét: a + b = 2c (1) c + d = 2a (3)  và  ab = −5d (2) cd = −5b(4) Thế rồi từ (1) và (3) ta làm được câu a. Math is thinking
  13. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu b có vẻ hơi khó vì bỗng dưng đâu ra 30??? Nhưng trước hết ta đã biết a + c = b + d → cần a + c = b + d = 15 .Quả thực tới đây ta bí.Nhưn bạn phải nhận xét: 1. Ta chưa dùng hết giả thiết : Vi-ét mới dùng ½ và không phải chỉ có thể khai thác gt dưới cái nhìn Vi-ét 2. Bậc 1 với các biến đã bó tay nên chăng tìm bậc cao hơn Từ đó ta có thể nghĩ tới dùng (2) và (4) → ac=25 a 2 − 2ac − 5d = 0  2 b − 2bc − 5d = 0 Thế các nghiệm vào bài  2 c − 2ca − 5b = 0 d 2 − 2da − 5b = 0  Có ac nên ta nghĩ đến cái thứ 1 và 3.Bạn cộng trừ thêm bớt và nhớ lấy ta cần cần a + c = b + d = 15 b.N/x: Câu a là 1 câu dễ nhưng câu b lại đòi hỏi ta những cách nhìn và nhận xét tinh tế hơn.Và quả thật mối quan hệ giữa 2 câu rất mờ nhạt đôi khi còn làm khó cho nhau. ----------------------------------------------------------------- Câu3. a.G/y: Bài này thuộc về kiểu BĐT số học nên lúc mới đầu ta có vẻ sợ và ngại nhưng chắc chắn khi đặt bút vào làm thì mọi vấn đề dừng như rất trôi chảy. (mn 2 − 2) < n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n) < m 2 n 4 m 2 n 4 + 4n3 + 4mn 2 > 4 + m2 n 4 + 4mn 2  ⇔ 2 4 m n + 4mn > 4n + m n 2 3 2 4  2 Khi đã có câu a thì b trở nên rất dễ vì các cực cho pp kẹp đã định sẵn : (mn − )2 < S < (mn)2 n Nhớ rằng n>1 mà tự hoàn thiện b.N/x: Bài toán thực sự không quá khó nhưng ta cần chú ý: 1. x > n ↔ x ≥ n + 1 2. pp kẹp với SCP Đã 2 năm có BĐT số học !! Bài dạng này: Bài 3: Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau i) Math is thinking
  14. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk ii) Chứng minh ----------------------------------------------------------------- Câu4. Math is thinking
  15. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk ----------------------------------------------------------------- Câu5. a.G/y: Nếu bạn đã từng làm toán hình học tổ hợp và toán logic thì chắc chắn ta sẽ xác định đây là dạng toán dùng pp “Bất biến”.Vậy thì giờ ta hãy tìm cái gì không biến đi.Thông thường nó là tổng hiệu a +b a −b hoặc thương tích gì đó.Trong bài này ta cần tìm quan hệ của a,b với , . 2 2 Nếu tôi nói ngay lời giải thì sẽ mất hay nên các phép thử sau sẽ chỉ là định hướng n Chú ý: Cả 3 số trước và sau đều có dạng m 2 + p nên khả năng xét tính vô hữu tỉ là rất khó 1.Tổng hoặc hiệu a +b a −b a +b a −b − = 2b hoặc + = 2a → nếu chỉ dùng tổng hiệu bậc 1 thì ta không thể loại 2 2 2 2 bỏ 2 2.Tích a +b a −b 1 2 2 . = (a − b ) . Cái này có vẻ khả thi hơn nhưng bậc 2 lại khác loại (tức ab và (a 2 − b 2 ) ) 2 2 2 3.Từ nhận những nhận xét trên ta cần đưa biểu thức bất biến về cùng loại bậc 2 Math is thinking
  16. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk TH1: cùng ab ???????? → rất khó khử mất a 2 , b 2 TH2:cùng a 2 , b 2 →cần khử đi ab Bạn hãy nghĩ tiếp k 20’ trước khi nhìn lời giải: a+b 2 a−b 2 ( ) +( ) = a 2 + b2 2 2 Chú ý tìm ra cái bất biến này chưa xong bởi bài toán có 3 số nhưng có lẽ gợi ý sẽ chỉ viết thế này. b.N/x: Dạng toán này luôn rất khó với mọi đối tượng do chúng không chỉ đòi hỏi pp đúng đắn mà còn sự nhanh lẹ trong tư duy. !! Bài dạng này: Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a.b) thuộc tập hợp bằng cặp số trong đó cặp số (c,d) cũng thuộc M Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận được tập hợp các cặp số hay không? 2.KHTN Câu1. 1/ a.G/y: Đây là câu dễ nhất trong lịch sử thi chuyên mình từng gặp.Bạn dùng máy tìm no hay giải ra nháp tìm no cũng được rồi cm đó là no duy nhất 2/ a.G/y: Không khó để có thể nhận ra đây là pt hoàn toàn không mẫu mực .Ta cứ phá tạm như sau 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26  2 5 x + 2 y + 2 xy = 26 2  ⇔ 2 3 x + (2 x + y )( x − y ) = 11  2 x − y − xy + 3 x = 11 2  Do cả 2 pt đều mang dáng dấp bậc 2 nên ta thử nhóm bậc 2 theo x rồi theo y sau đó thử: 1. Kẹp biến nhờ ∆ 2. Đưa về dạng tích nếu có ∆ chính phương Đó là suy nghĩ ban đầu và có vẻ khả thi nhưng chắc chắn là không ra.Khi đó ta quay lại nhìn:  2 5 x + 2 xy + 2 y = 26 2 y 2 + 2 xy + 5 x 2 = 26 hay  2 2  2  2 x − x( y − 3) − y = 11 − y − yx + 2 x + 3 x = 11 2   Sẽ thấy điều kì diệu khi nhóm theo y. Đó là hệ số. Bạn đã nhìn ra…? ----------------------------------------------------------------- Math is thinking
  17. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu2. 1/ a.G/y: Do bài cho là tìm n nên ta đừng chú ý tới những tính chất chia hết của SCP. Bởi nếu làm vậy ta sẽ chỉ có thể tìm ra 1 dạng chung chung cho n thôi.Với 1 tư duy hết sức đơn giản là đưa cái cần tìm vào phương trình ta có: n 2 + 391 = m 2 ⇔ (m − n)(m + n) = 391 .Đây đã là pt no nguyên quen thuộc nhưng chú ý 391=17.23 2/ a.G/y: Với kinh nghiệm BĐT và cực trị thì ta sớm có thể nhận ra dấu bằng xảy ra ↔ x=y. Hơn nữa khi thay x=y thì ta còn nhận ra rằng dấu bằng xảy ra ∀z . Sau khi đã có trong tay dấu bằng thì ta tiếp theo là các phép biến đổi hay 1 BĐT nào đó.Trước tiên hãy viết lại bài xy + z + 2( x 2 + y 2 ) ≥ 1 + xy Tận dụng gt ???? Chắc chắn gt được tận dụng ngay lập tức là xy + z = xy + 1 − x − y = (1 − x )(1 − y ) Nếu làm như vậy là ta đã xóa z ra khỏi cuộc chơi và BĐT cần cm với 0
  18. hieuvghy@gmail.com Mathisthinking.tk Câu 4. Không khó có thể nhận ta con số 2010 chẳng có ý nghĩa gì. Trong tâm bài toán là ở số được đánh dấu-số tm 1 trong các đk: 1. Số dương 2. Số bắt đầu của 1 tổng dương các số liên tiếp Do yêu cầu cm tổng các số được đánh dấu dương nên ta hãy thử quan tâm tới số âm được đánh dấu ai .Chắc chắn ai thỏa mãn đk 2. Ta g/s tổng đó là ai + ai +1 + ... + ai + k . Một điều có thể khẳng định và ta cũng đang rất cần là từ ai đến ai + k có các số dương để tổng các số dương đó với ai > 0.Đến đây lời giải gần như đã hé lộ phần nào. Nhưng cũng như bao bài toán lôgic khác để biến cách suy nghĩ của mình thành lời giải khá khó khăn. Math is thinking
Đồng bộ tài khoản