Hàm chỉnh hình

Chia sẻ: Minh Long | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

470
lượt xem 132
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm chỉnh hình

Hàm chỉnh hình
Chương 2. Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 105-187. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Hàm Jukovski, Đẳng cấu. . Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chu.o.ng 2 a ’ H`m chınh h` ınh 2.1 ’ H`m kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 106 2.1.1 H`m R2 - kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 a ’ 2.1.2 Dao h`m theo phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . 108 - . a 2.1.3 a ’ H`m C - kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.1.4 Mˆi liˆn hˆ gi˜.a C - kha vi v` R2 - kha vi . . . . . 114 ´ o e e u . ’ a ’ 2.1.5 ’ H`m chınh h` a ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1.6 o a a ’ Khˆng gian c´c h`m chınh h` . . . . . . . . . . . 121 ınh 2.2 . ´ ’ Mˆt sˆ h`m chınh h` o o a ınh so. cˆp . . . . . . . . . . 122 ´ a 2.2.1 Da th´.c v` h`m h˜.u ty . . . . . . . . . . . . . . . 122 - u a a u ’ √ 2.2.2 H`m w = z n v` z = n w, n ∈ N . . . . . . . . . . . 122 a a 2.2.3 H`m ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 a 2.2.4 H`m lˆgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 a o 2.2.5 H`m l˜y th`.a z α, α ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . 130 a u u 2.2.6 C´c h`m so. cˆp kh´c . . . . . . . . . . . . . . . . 131 a a ´ a a 2.2.7 ’ ınh ’ Nh´nh chınh h` cua h`m da tri . . . . . . . . . . 134 a a . 2.3 a ’ H`m chınh h` . ’ ınh v` ´nh xa bao gi´c . . . . . . . aa a 138
106 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı 2.3.1 ´ ıa ınh . ’ ’ Y ngh˜ h` hoc cua acgumen cua dao h`m . . . 138 . a 2.3.2 ´ ıa ınh . ’ Y ngh˜ h` hoc cua mˆdun dao h`m . . . . . . . 140 o . a 2.3.3 ´ . ’ Anh xa bao gi´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 a 2.3.4 ´ . ’ Anh xa liˆn tuc v` ´nh xa chınh h` . e . aa ınh . . . . . . . 143 2.4 C´c d ˘ng cˆu so. cˆp . . . . . . . . . . . . . . . . 146 a ’ a ´ a ´ a 2.4.1 ’ -a ´ ´ D˘ng cˆu phˆn tuyˆn t´ . . . . . . . . . . . . . . 147 a a e ınh 2.4.2 ´ Anh xa w = ez v` z = log w . . . . . . . . . . . . . 160 . a 2.4.3 H`m Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 a 2.4.4 C´c d˘ng cˆu so. cˆp kh´c . . . . . . . . . . . . . . 172 a a ’ ´ a ´ a a 2.4.5 . ´ Mˆt sˆ v´ du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 o o ı . 2.5 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . 183 Su. thu hep tˆp ho.p c´c h`m biˆn ph´.c b˘ng diˆu kiˆn C - kha vi s˜ du.a . . a. . a a ´ e u ` a ` e e . ’ e ´ .p c´c h`m chınh h`nh. Dinh ngh˜a t´ C - kha vi cua h`m biˆn ph´.c dˆn l´ a a e o ’ ı ı ınh ’ ’ a ´ e u . e .o.c tr` b`y ho`n to`n tu.o.ng tu. nhu. dinh ngh˜a t´ kha vi trong giai s˜ du . ınh a a a ı ınh ’ ’ . . t´ thu ıch . .c. Tuy c´ su. “giˆng nhau” bˆ ngo`i d´, gi˜.a hai kh´i niˆm n`y tˆn o . ´ o ` e a o u a e a ` o . tai nh˜.ng su. kh´c nhau rˆt cˆt yˆu m` ta s˜ thˆy r˜ trong chu.o.ng II n`y. . u . a ´ ´ ´ a o e a ´ e a o a 2.1 ’ H`m kha vi a 2.1.1 H`m R2 - kha vi a ’ Gia su. D l` miˆn cua m˘t ph˘ng R2 v` f(x, y) l` h`m gi´ tri thu.c ho˘c ph´.c ’ ’ a ` ’ e a . ’ a a a a a . . a . u x´c dinh trong D, z0 = x0 + iy0 ∈ D. a . Ta c´ dinh ngh˜ sau dˆy. o . ıa a Dinh ngh˜ 2.1.1. H`m f du.o.c goi l` R2 - kha vi tai diˆm (x0, y0 ) ∈ D nˆu -. ıa a . . a ’ . e ’ ´ e ` . a o ´ e ınh ’ a ´ tˆn tai h`m tuyˆn t´ Ah + Bk cua c´c biˆn thu e .c h v` k sao cho v´.i h v` a o a . k du b´ sˆ gia cua f thoa m˜n hˆ th´.c ’ e o ´ ’ ’ a e u . f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0) = Ah + Bk + ε(h, k)ρ,
a ’ 2.1. H`m kha vi 107 √ trong d´ A, B thu.c ho˘c ph´.c, ρ = h2 + k 2 v` ε(h, k) → 0 khi ρ → 0. o . a. u a ´ 2 ’ ’ ` Nˆu f l` h`m R - kha vi tai diˆm z0 = x0 + iy0 ∈ D th` c´c h˘ng sˆ A e a a . e ı a a ´ o v` B (thu.c ho˘c ph´.c) du.o.c x´c dinh duy nhˆt v` tu.o.ng u.ng b˘ng a . a . u . a . ´ a a ´ ` a ∂f ∂f A= (x0 , y0), B= (x0, y0 ) ∂x ∂y v` biˆu th´.c a e ’ u ∂f ∂f df = (x0, y0 )h + (x0 , y0)k (2.1) ∂x ∂y du.o.c goi l` vi phˆn cua h`m f tai diˆm (x0, y0). . . a a ’ a . e ’ B˘ng c´ch su. dung k´ hiˆu c´ t´nh chˆt truyˆn thˆng dˆi v´.i h v` k: ` a a ’ . y e o ı . ´ a ` e ´ o ´ o o a h = dx, k = dy, t` u. (2.1) ta c´ o ∂f ∂f df = (x0, y0)dx + (x0 , y0)dy. ∂x ∂y Ta lu.u y r˘ng nˆu c´c dao h`m riˆng tˆn tai trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ ` ´ a ´ e a . a e `o . o a a a o . . cu e’ a e . . ’ a e ı a a . ’ ’ a diˆm (x0, y0 ) v` liˆn tuc tai diˆm ˆy th` f l` h`m R2 - kha vi tai diˆm ´ ’ e d´. H`m f c´ c´c dao h`m riˆng liˆn tuc trong miˆn D du.o.c goi l` kha vi o a o a . a e e . ` e . . a ’ e . ` o liˆn tuc trong miˆn d´. e Bˆy gi`. ta x´t vi phˆn a o e a ∂f ∂f df = dx + dy. (2.2) ∂x ∂y Dˆi v´.i c´c h`m z = x + iy v` z = x − iy ta c´ ´ o o a a a o dz = dx + idy, dz = dx − idy v` do d´ a o 1 1 dx = (dz + dz), dy = (dz − dz). (2.3) 2 2i Thˆ (2.3) v`o (2.2) ta thu du.o.c hˆ th´.c ´ e a . e u. 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f df = −i dz + +i dz. z ∂x ∂y 2 ∂x ∂y
108 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı ` B˘ng c´ch d˘t a a a . ∂f 1 ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f = −i , = +i (2.4) ∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y ta c´ o ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = + , =i − ∂x ∂z ∂z ∂y ∂z ∂z v` c´ thˆ viˆt biˆu th´.c vi phˆn cua h`m R2 - kha vi du.´.i dang a o e e’ ´ e ’ u a ’ a ’ o . ∂f ∂f df = dz + · dz. (2.5) ∂z ∂z -. y e ’ e ˜ Dinh l´ 2.1.1. Ph´p biˆu diˆn vi phˆn (2.5) cua h`m R2 - kha vi f l` duy e a ’ a ’ a nhˆt, t´.c l` nˆu c´ ´ a u a e o ´ ∂f ∂f df = Adz + Bdz th` A = ı ; B= · ∂x ∂z Ch´.ng minh. V` dz = dx + idy, dz = dx − idy nˆn u ı e df = (A + B)dx + i(A − B)dy. T`. d´ thu du.o.c u o . ∂f ∂f A+B = ; i(A − B) = · ∂x ∂y Giai hˆ phu.o.ng tr`nh n`y ta thu du.o.c diˆu phai ch´.ng minh. ’ e . ı a . ` e ’ u 2.1.2 Dao h`m theo phu.o.ng - . a Gia su. f (z) l` h`m R2 - kha vi tai diˆm z0 ∈ D v` ∆f l` sˆ gia cua n´ tai ’ ’ a a ’ . e ’ a ´ a o ’ o . diˆm z0 u.ng v´.i ∆z = ∆re . ’ e ´ o iα ∆f a ’ o´ Ta th`nh lˆp ty sˆ a . v` x´t gi´.i han cua n´ khi ∆z → 0 sao cho a e o . ’ o ∆z lim α = lim (arg ∆z) = ϕ ∆z→0 ∆z→0 trong d´ ϕ l` mˆt sˆ cˆ dinh cho tru.´.c. o . ´ ´ a o o o . o
a ’ 2.1. H`m kha vi 109 ∆f Dinh ngh˜ 2.1.2. Gi´.i han cua ty sˆ -. ıa o . ’ ’ o ´ khi ∆z → 0 m` ϕ = lim (arg∆z) a ∆z ∆z→0 du.o.c goi l` dao h`m cua h`m f theo phu.o.ng ϕ tai diˆm z0 . . . a . a ’ a . ’ e ∂f Dao h`m theo phu.o.ng ϕ du.o.c k´ hiˆu l` . a . y e a ∂z v` nhu vˆy . a . a . ϕ ∂f ∆f = lim · ∂zϕ ∆z ϕ=const ∆z→0 Ta c´ dinh l´ sau dˆy: o . y a Dinh l´ 2.1.2. Gia su. f l` h`m R2 - kha vi. Khi d´ tˆp ho.p c´c gi´ tri -. y ’ ’ a a ’ o a . . a a . dao h`m theo phu.o.ng tai diˆm z0 cho tru.´.c lˆp th`nh du.`.ng tr`n v´.i tˆm . a . ’ e o a . a o o o a ∂f ∂f . ’ tai diˆm e ` v` b´n k´ b˘ng a a ınh a . ∂z ∂z Ch´.ng minh. Theo gia thiˆt ta c´ f l` h`m R2 - kha vi, nˆn u ’ ´ e o a a ’ e ∂f ∂f ∆f = ∆z + ∆z + o(∆z), (2.6) ∂z ∂z o(∆z) trong d´ lim o = 0 khi ∆z → 0. Do d´ o ∆z ∆f ∂f ∂f −2iα = + e + ε(∆z), ∆z ∂z ∂z o(∆z) trong d´ ε(∆z) = o , v` ta thu du.o.c a . ∆z ∂f ∆f ∂f ∂f −2iϕ = lim = + e . (2.7) ∂zϕ ∆z ∂z ∂z Cˆng th´.c (2.7) ch´.ng to r˘ng c´c gi´ tri dao h`m cua h`m f theo o u u ’ a` a a . . a ’ a ∂f phu.o.ng tai diˆm z0 lˆp dˆy du.`.ng tr`n v´.i tˆm tai diˆm . e ’ a ` ´ a o o o a . e’ v` b´n k´ a a ınh ∂z ∂f ` b˘ng a . ∂z Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt quan trong l` tru.`.ng ho.p khi dao h`m theo moi o . a . e . . a o . . a . phu .o.ng tr`ng nhau. Khi d´, du.`.ng tr`n d˜ n´i trong dinh l´ 2.1.2 s˜ suy u o o o a o y e . ∂f ´ biˆn th`nh mˆt diˆm e a o e . ’ (z0 ). ∂z
110 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı 2.1.3 ’ H`m C - kha vi a Gia su. D l` miˆn cua m˘t ph˘ng ph´.c C v` f l` h`m biˆn ph´.c z = x + iy ’ ’ a ` e ’ a . ’ a u a a a ´ e u x´c dinh trong D. Ta c´ dinh ngh˜a quan trong sau dˆy: a . o . ı . a Dinh ngh˜ 2.1.3. H`m f du.o.c goi l` C - kha vi tai diˆm z0 ∈ D nˆu tˆn -. ıa a . . a ’ . e ’ ´ o e ` tai gi´.i han . o . f (z0 + h) − f (z0 ) lim h→0 h h=0 v` ta n´i r˘ng h`m f c´ dao h`m theo biˆn ph´.c tai diˆm z0 v` k´ hiˆu l` a o a` a o . a ´ e u . ’ e a y e a. df f (z0 ) hay (z0 ): dz df (z0 ) f (z0 + h) − f (z0) f (z0 ) = = lim · (2.8) dz h→0 h h=0 Dinh ngh˜ 2.1.3 d`i hoi r˘ng gi´.i han (2.8) phai tˆn tai dˆi v´.i moi c´ch . ıa o ’ ` a o . ’ ` . o o . a o ´ cho z dˆn dˆn z0 . N´i ch´nh x´c ho.n, hˆ th´.c (2.8) c´ ngh˜a r˘ng: ∀ ε > 0, `a e ´ o ı a e u . o ı ` a ´ ’ ∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho khi 0 < |h| < δ th` bˆt d˘ng th´ ı a a u.c f (z0 + h) − f (z0 ) − f (z0) < ε (2.9) h du.o.c thoa m˜n. Nhu. vˆy ta d`i hoi r˘ng khi h → 0 (t´.c l` z → z0 ) theo bˆt . ’ a a . o ’ ` a u a ´ a c´. du.`.ng n`o ty sˆ u o a ’ o ´ f (z0 + h) − f (z0 ) h phai dˆn t´.i c`ng mˆt gi´.i han. ’ ` o u a o o . . . hˆ th´.c (2.9) c˜ng suy ra r˘ng nˆu h`m f (z) c´ dao h`m tai diˆm z0 T` e u u . u ` a ´ e a o . a . e’ th` n´ liˆn tuc tai diˆm d´. Diˆu kh˘ng dinh ngu.o.c lai l` khˆng d´ng. ı o e . . e’ o ` e ’ a . . . a o u u. dinh ngh˜ dao h`m (2.8) v` c´c t´ chˆt cua gi´.i han trong miˆn T` . ıa . a a a ınh a ’´ o . ` e ph´.c suy r˘ng c´c quy t˘c co. ban dˆ t´nh dao h`m cua tˆng, t´ v` thu.o.ng u ` a a ´ a ’ e ı’ . a ’ o ’ ıch a
a ’ 2.1. H`m kha vi 111 cua hai h`m. cua h`m ho.p v` h`m ngu.o.c dˆi v´.i c´c h`m biˆn thu.c dˆu ’ a ’ a . a a ´ . o o a a e´ . ` e du.o.c bao to`n dˆi v´.i c´c h`m biˆn ph´.c. . ’ ´ a o o a a ´ e u Bˆy gi` a o. ta chuyˆn sang x´t vˆn dˆ tu. nhiˆn l`: t´nh C - kha vi d˜ nˆu ’ e e a ` . ´ e e a ı ’ a e tu.o.ng u.ng v´.i t´ chˆt do.n gian n`o cua c´c h`m u(x, y) v` v(x, y) l` phˆn ´ o ınh a ´ ’ a ’ a a a a ` a thu.c v` phˆn ao cua h`m f (z). . a ` ’ a ’ a Dinh l´ 2.1.3. Gia su. h`m -. y ’ ’ a f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ’ l` C - kha vi a . ’ e o . ’ tai diˆm z = x + iy. Khi d´ tai diˆm (x, y) h`m u(x, y) v` e a a v(x, y) c´ c´c o a . e ´ e a ’ a ` dao h`m riˆng theo biˆn x v` y thoa m˜n diˆu kiˆn a e e . ∂u ∂v = , ∂x ∂y (2.10) ∂u ∂v =− · ∂y ∂x C´c hˆ th´.c (2.10) du.o.c goi l` c´c diˆu kiˆn Cauchy - Riemann. a e u . . . a a ` e e . Ch´.ng minh. Gia su. h`m w = f (x) x´c dinh trong miˆn D ⊂ C v` c´ dao u ’ ’ a a . `e a o . a . e ’ h`m tai diˆm z ∈ D: f (z + ∆z) − f (z) ∆w f (z) = lim = lim · (2.11) ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z Nhu. vˆy v´.i moi c´ch cho ∆z = ∆x + i∆y dˆn dˆn 0 gi´.i han (2.11) phai a o . . a `a e´ o . ’ tˆn tai v` dˆu b˘ng mˆt gi´ tri l` f (z). Do d´ gi´.i han ˆy phai tˆn tai trong ` . a ` a o e ` o a . a . o o . a ´ ’ ` . o .`.ng ho.p riˆng sau hai tru o e . a) ∆z = ∆x + i0 = ∆x v` ∆x → 0. a b) ∆z = 0 + i∆y = i∆y v` ∆y → 0. a Trong tru o.`.ng ho.p th´. nhˆt ta c´ u ´ a o . u(x + ∆x, y) − u(x, y) v(x + ∆x, y) − v(x, y) f (z) = lim +i ∆x→0 ∆x ∆x u(x + ∆x, y) − u(x, y) v(x + ∆x, y) − v(x, y) = lim + i lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂u ∂v = (x, y) + i (x, y). (2.12) ∂x ∂x
112 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı Trong tru.`.ng ho.p th´. hai: o . u u(x, y + ∆y) − u(x, y) v(x, y + ∆y) − v(x, y) f (z) = lim +i ∆y→0 i∆y i∆y u(x, y + ∆y) − u(x, y) v(x, y + ∆y) − v(x, y) = lim + lim ∆y→0 i∆y ∆y→0 ∆y ∂u ∂v = −i (x, y) + (x, y). (2.13) ∂y ∂y T`. (2.12) v` (2.13) ta thu du.o.c u a .  ∂u ∂v  =  ∂u ∂v ∂v ∂u ∂x ∂y  +i = −i ⇔ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v  =−   ∂y ∂x Dinh l´ du.o.c ch´.ng minh. . y . u R˜ r`ng l` c´c hˆ qua thu du.o.c t`. t´nh C - kha vi l` ˆn tu.o.ng ho.n nhiˆu o a a a e ’ . . u ı ’ aa´ . ` e so v´.i c´c hˆ qua thu du.o.c t`. t´nh C - liˆn tuc. Ngo`i viˆc c´c h`m u(x, y) o a e ’ . . u ı e . a e a a . v` v(x, y) c´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1, c´c dao h`m n`y c`n phai liˆn hˆ v´.i a o a . a e ´ a a . a a o ’ e e o . nhau bo a ’.i c´c phu.o.ng tr` vi phˆn (2.10). ınh a Nhu. vˆy, thˆm ch´ nˆu u(x, y) v` v(x, y) c´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1 th` a . a . ı e´ a o a . a e ´ a ı ’ a a n´i chung h`m u + iv khˆng phai l` h`m kha vi cua z. o a o ’ ’ . d´, c´c hˆ th´.c Cauchy - Riemann (2.10) lˆp th`nh diˆu kiˆn cˆn dˆ T` o a e u u a a ` e e ` e ’ . . . a a ’ e o o ’ a ` h`m f (z) l` C - kha vi. Tuy nhiˆn d´ khˆng phai l` diˆu kiˆn du. Ta x´t a e e. ’ e mˆt v`i v´ du. o a ı . . e a a a e e . e ’ Ta x´t h`m f (z) = |xy|. H`m n`y triˆt tiˆu trˆn ca hai truc v` do d´ . a o khi z = 0 ta c´ o ∂u ∂u ∂v ∂v = = = =0 ∂x ∂y ∂x ∂y v` diˆu kiˆn Cauchy - Riemann thoa m˜n. Nhu.ng h`m f (z) khˆng C kha vi a ` e e . ’ a a o ’ f (z) |xy| ’ tai diˆm z = 0. Thˆt vˆy, ta c´ . e a a . . o = ´ v` nˆu x = αr, y = βr trong a e z x + iy |αβ| d´ α, β l` nh˜.ng h˘ng sˆ c`n r > 0 th` hˆ th´.c d´ dˆn t´.i o a u ` a ´ o o ı e u o ` o . a khi r → 0. α + iβ Nhu. vˆy gi´.i han khˆng duy nhˆt v` h`m khˆng C - kha vi. a . o . o ´ a a a o ’
a ’ 2.1. H`m kha vi 113 V´ du n`y ch´.ng to r˘ng h`m f (z) c´ thˆ khˆng C - kha vi nˆu hˆ ty sˆ ı . a u ’ a` a ’ o e o ’ ´ . e e ’ o ´ f (z) − f (z0) dˆn dˆn gi´.i han doc theo hai du.`.ng th˘ng vuˆng g´c. V` n´i a ´ ` e o . . o ’ a o o a o z − z0 chung, h`m f c´ thˆ khˆng C - kha vi cho d` ty sˆ trˆn dˆn dˆn gi´.i han a o e o’ ’ u ’ o e ` ´ a e´ o . theo mˆt l´ a o o .p c´c du.`.ng d˘c biˆt n`o d´. Ch˘ng han, ta x´t h`m o a e a o a’ e a . . . .  2  xy (x + iy) nˆu z = 0,  ´ e f (z) = x4 + y 4  0 ´ nˆu z = 0. e f (z) − f (0) ˜ a a ` ´ a Dˆ d`ng thˆy r˘ng lim e = 0 nˆu z → 0 doc theo bˆt c´. du.`.ng ´ e . ´ a u o z th˘ng n`o qua gˆc toa dˆ. Nhu.ng trˆn du.`.ng cong x = y 2 ta c´ a’ a ´ o . o . e o o f (z) − f (0) y4 1 = 4 4 = · z y +y 2 o a o ’ . e’ Do d´ h`m f (z) khˆng C - kha vi tai diˆm z = 0. C´c hˆ th´ a e u .c (2.10) s˜ l` diˆu kiˆn du dˆ f (z) l` C - kha vi nˆu gia thiˆt e a ` e e ’ e ’ a ’ ´ e ’ ´ e . . e ` ´ ’ o . a ´ ’ a ` ` . thˆm r˘ng ca bˆn dao h`m riˆng cˆp 1 cua h`m u(x, y) v` v(x, y) dˆu tˆn tai a e a a e o . e’ a e . . e ’ trong lˆn cˆn diˆm (x, y) v` liˆn tuc tai diˆm (x, y). Ta c´ a a o -. ´ e . e’ Dinh l´ 2.1.4. Nˆu tai diˆm (x, y) c´c h`m u(x, y) v` v(x, y) c´ c´c dao y a a a o a . e . ’ a a `e e . ı a ´ h`m riˆng liˆn tuc thoa m˜n c´c diˆu kiˆn Cauchy - Riemann th` h`m biˆn a e e ph´.c f (z) = u + iv c´ dao h`m tai diˆm z = x + iy. u o . a . ’ e Ch´.ng minh. Gia su. c´c h`m u v` v c´ c´c dao h`m riˆng liˆn tuc tai diˆm u ’ ’ a a a o a . a e e . . e ’ (x, y). Khi d´ u v` v kha vi tai diˆm d´, t´.c l` sˆ gia ∆u v` ∆v tu.o.ng u.ng o a ’ . e ’ o u a o ´ a ´ o.i c´c sˆ gia ∆x v` ∆y c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang v´ a o ´ a o e e’ ’ ˜ e o . ∂u ∂u ∆u = u(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) = ∆x + ∆y + o1 (ρ), ρ → 0 ∂x ∂y ∂v ∂v ∆v = v(x + ∆x, y + ∆y) − v(x, y) = ∆x + ∆y + o2 (ρ), ρ → 0 ∂x ∂y trong d´ ρ = |∆z| = ∆x2 + ∆y 2, o1 (ρ) v` o2 (ρ) (ρ → 0) l` nh˜.ng vˆ c`ng o a a u o u e a´ b´ cˆp cao ho.n so v´.i ρ, t´.c l` o u a oj (ρ) lim = 0, j = 1, 2. ρ→0 ρ
114 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı Do d´, nˆu lu.u y r˘ng o1 (ρ) + io2(ρ) = o(ρ) (ρ → 0) ta c´ o e ´ ´ `a o ∂u ∂u ∂v ∂v ∆x + ∆y + i ∆x + ∆y ∆f ∆u + i∆v ∂x ∂y ∂x ∂y o(ρ) = = + ∆z ∆x + i∆y ∆x + i∆y ∆z ∂u ∂v (∆x + i∆y) + (−∆y + i∆x) o(ρ) ρ = ∂x ∂x + · ∆x + i∆y ρ ∆z ∂u ∂v o(ρ) ρ = +i + · · ∂x ∂x ρ ∆z ρ ρ o(ρ) V` ı = = 1 v` lim a = 0 nˆn t`. d´ suy r˘ng e u o ` a ∆z |∆z| ρ→0 ρ ∆f ∂u ∂v lim = +i ∆z→0 ∆z ∂x ∂x ∂u ∂v t´.c l` tai diˆm z h`m f c´ dao h`m f (z) = u a . e ’ a o . a +i · ∂x ∂x 2.1.4 Mˆi liˆn hˆ gi˜.a C - kha vi v` R2 - kha vi ´ o e e u . ’ a ’ C´c diˆu kiˆn Cauchy - Riemann (2.10) c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang gon g`ng a ` e e . ’ ’ o e e ˜e o . . a ho.n nˆu ta su. dung kh´i niˆm dao h`m h`nh th´.c trong 1. v` 2. ´ e ’ . a e . . a ı u a . dinh l´ 2.1.2 suy ra r˘ng nˆu f l` h`m C - kha vi tai diˆm z0 ∈ D th` T` . u y ` a e´ a a ’ ’ . e ı ∂f dao h`m theo moi phu.o.ng tai diˆm d´ dˆu tr`ng nhau v` b˘ng . a . . e ’ o `e u a a ` · .n ta c´ ∂z Ch´ x´c ho ınh a o -. Dinh l´ 2.1.5. H`m R2 - kha vi f trong miˆn D l` h`m C - kha vi trong y a ’ `e a a ’ ` o e a ’ o ’ a ` miˆn d´ khi v` chı khi n´ thoa m˜n diˆu kiˆn e e . ∂f = 0. (2.14) ∂z Ch´.ng minh. 1. Gia su. f l` h`m C - kha vi. Khi d´, theo dinh ngh˜a 2.1.3 u ’ ’ a a ’ o . ı .i han (2.8) tˆn tai khˆng phu thuˆc v`o phu.o.ng ph´p dˆn ∆z dˆn 0, v` gi´ . o ` . o o o a a ` a ´ e a . . ta c´o ∆f = f (z0 )∆z + ε(∆z),
a ’ 2.1. H`m kha vi 115 trong d´ lim ε(∆z) = 0. T`. d´ r´t ra o u o u ∆z→0 df = f (z0)dz, t´.c l` u a ∂f = 0. ∂z ∂f 2. Gia su. ’ ’ = 0. T`. cˆng th´.c (2.6) ta thu du.o.c u o u . ∂z ∆f ∂f = + ε(∆z), ∆z ∂z trong d´ lim ε(∆z) = 0. T`. d´ thˆy r˜ l` gi´.i han (2.8) tˆn tai v` o ´ u o a o a o . ` . a o ∆z→0 ∂f f (z0) = · ∂z Diˆu kiˆn (2.9) ch´ l` diˆu kiˆn kha vi ph´.c Cauchy - Riemann. Diˆu ` e e . ınh a `e e . ’ u ` e kiˆn Cauchy - Riemann c`n c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang e . o o e e ’ ’ ˜ e o . ∂f ∂f +i =0 (2.15) ∂x ∂y v` nhu. vˆy ta c´ dinh l´ sau dˆy. a a . o . y a -. a a ’ . o e . ’ a o a ’ Dinh l´ 2.1.6. H`m f l` C - kha vi tai mˆt diˆm n`o d´ khi v` chı khi n´ y o a ’ . ’ e o a a . a e ’ o . ’ ´ l` R2 - kha vi tai diˆm d´ v` c´c dao h`m riˆng cua n´ tai diˆm ˆy liˆn hˆ e a e e . v´ o .i nhau b˘ng hˆ th´.c (2.15). ` a e u . 2.1.5 ’ H`m chınh h` a ınh T`. t´nh C - kha vi d˜ du.o.c dinh ngh˜a ta chu.a thˆ r´t ra nh˜.ng kˆt luˆn u ı ’ a . . ı ’ e u u ´ a e . a u ´ o ´ a o e ` . ’ m` ch´ng ta mong muˆn khi n´i dˆn tˆm quan trong cua kh´i niˆm n`y. a e . a ’ .o.c nh˜.ng kˆt qua d´, d`i hoi h`m f phai l` C - kha vi tai mˆt Dˆ thu du . e u ´ e ’ o o ’ a ’ a ’ o . . a a a o ’ lˆn cˆn n`o d´ cua diˆ . ’m z0 . V` thˆ ta c´ e ı e ´ o
116 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı Dinh ngh˜ 2.1.4. 1) H`m f du.o.c goi l` h`m chınh h`nh tai diˆm z0 nˆu -. ıa a . . a a ’ ı . ’ e ´ e n´ l` C - kha vi tai mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm z0 . H`m f du.o.c goi l` o a ’ . o a a a o ’ . . e’ a . . a ı ` chınh h`nh trong miˆn D nˆ o ’ ’ e e ı . . e’ ´u n´ chınh h`nh tai moi diˆm cua miˆn ˆy. Tˆp ’ ` a e ´ a . ho .p moi h`m chınh h`nh trong miˆn D du.o.c k´ hiˆu l` H(D). ’ ` . . a ı e . y e a . 1 ’ ı . ’ e o u ´ 2) H`m f (z) chınh h`nh tai diˆm vˆ c`ng nˆu h`m ϕ(z) = f a e a ’ chınh z ’ h` tai diˆm z = 0. ınh . e ` ’ . ı e e a a ’ Phˆn 2) cua dinh ngh˜a 2.1.4 cho ph´p ta x´t c´c h`m chınh h`nh trˆn a ı e c´c tˆp ho a a .p cua m˘t ph˘ng d´ng C. ’ a ’ a o . . . Ta nhˆn x´t r˘ng c`ng v´.i thuˆt ng˜. “h`m chınh h` a e ` . a u o a . u a ’ ınh” ngu.`.i ta c`n o o d`ng nh˜ u u.ng thuˆt ng˜. tu.o.ng du.o.ng kh´c sau dˆy: a u a a . “h`m chınh h`nh” ≡ “h`m ch´nh quy” ≡ “h`m giai t´ do.n tri”. a ’ ı a ı a ’ ıch . T` e u . diˆu kiˆn Cauchy - Riemann v` dinh ngh˜a 2.1.4 dˆ d`ng suy ra ` e a . ı ˜ a e . Dinh l´ 2.1.7. Gia su. miˆn D ⊂ C v` H(D) tˆp ho.p moi h`m chınh h`nh -. y ’ ’ ` e a a . . . a ’ ı ` trong miˆn D. e Khi d´o 1. H(D) l` mˆt v`nh; a o a. 1 ´ 2. nˆu f ∈ H(D) v` f (z) = 0 ∀ z ∈ D th` ∈ H(D); e a ı f 3. nˆu f ∈ H(D) v` f chı nhˆn gi´ tri thu.c th` f l` h˘ng sˆ. ´ e a ’ a. a . . ı a ` a ´ o Ch´.ng minh. B˘ng c´ch t´ to´n tru.c tiˆp ta thu du.o.c u ` a a ınh a . e´ . ∂ ∂f ∂g (f + g) = + , ∂z ∂z ∂z ∂ ∂f ∂g (f · g) = ·g+f · · ∂z ∂z ∂z T`. d´ suy ra 1) v` 2). u o a ∂f ∂f Dˆ ch´.ng minh 3) ta nhˆn x´t r˘ng ’ e u a e a . ` , c˜ng chı nhˆn gi´ tri thu.c. u ’ a . a . . ∂x ∂y Nhu.ng m˘t kh´c: a . a ∂f ∂f =i ∂x ∂y ∂f ∂f nˆn suy ra e ≡ ` ´ ≡ 0. Vˆy f l` h˘ng sˆ. a . a a o ∂x ∂y
a ’ 2.1. H`m kha vi 117 Dinh l´ 2.1.8. (vˆ h`m ho.p). Nˆu f (w) l` h`m chınh h`nh trong D∗ v` -. y ` a e . e´ a a ’ ı a nˆu g : D → D l` h`m chınh h`nh trong D th` h`m ho.p f [g(z)] chınh h`nh ´ e ∗ a a ’ ı ı a . ’ ı trong D, Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, dˆ thˆy r˘ng u a a . . ˜ a ` e ´ a ∂[f (g)] ∂f ∂g ∂f ∂g = · + · · ∂z ∂w ∂z ∂w ∂z ∂f ∂g ’ ´ Theo gia thiˆt e = 0, ’ = 0 nˆn suy ra f [g(z)] l` h`m chınh h` e a a ınh ∂w ∂z trong D. Tiˆp theo, gia su. w = f (z), z ∈ D l` h`m chınh h`nh ´nh xa do.n tri mˆt ´ e ’ ’ a a ’ ı a . . o . o . ` e e ` e ∗ ` o o - mˆt miˆn D lˆn miˆn D . Diˆu d´ c´ ngh˜ l` theo h`m d˜ cho mˆ i z ∈ D e ıa a a a ˜ o ` u tu.o.ng u.ng v´.i mˆt gi´ tri w ∈ D∗ v` dˆng th`.i theo quy luˆt d´ mˆ i dˆe ´ o o . a . a `o o a o o . ˜ w ∈ D∗ chı tu.o.ng u.ng v´.i mˆt gi´ tri z ∈ D. T`. d´ x´c dinh du.o.c h`m ’ ´ o o . a . u o a . . a do .n tri z = ϕ(w), w ∈ D∗ c´ t´nh chˆt l` f [ϕ(w)] = w, w ∈ D∗ . Nhu. ta biˆt o ı ´ a a ´ e . h`m z = ϕ(w) du.o.c goi l` h`m ngu.o.c v´.i h`m w = f (z), z ∈ D. a . . a a . o a Ta s˜ ch´ e u .ng minh r˘ng nˆu f (z) = 0, z ∈ D th` h`m z = ϕ(w) l` h`m ` a ´ e ı a a a ’ ∗ chınh h` trˆn D . ınh e Thˆt vˆy, gia su. w, w + ∆w ∈ D∗ . Nh`. h`m ngu.o.c, c´c diˆm n`y tu.o.ng a a . . ’ ’ o a . a ’ e a u ´.ng v´.i diˆm z, z + ∆z. Theo gia thiˆt h`m f c´ dao h`m tai diˆm z nˆn o e ’ ’ ´ e a o . a e ’ e . e . . o e´ f (z) liˆn tuc tai d´: ∆w → 0 nˆu ∆z → 0. Do t´ do ınh .n tri mˆt - mˆt ta c´ . o. o . o ca diˆu kh˘ng dinh ngu.o.c lai: ∆z → 0 nˆu ∆w → 0. Nhu.ng khi d´ ’ ` e ’ a . . . ´ e o ∆z 1 1 lim = lim = , (f (z) = 0). ∆w→0 ∆w ∆z→0 ∆w f (z) ∆z Diˆu d´ ch´.ng to r˘ng dao h`m cua h`m ngu.o.c z = ϕ(w) tˆn tai tai diˆm w ` o u e ’ a` . a ’ a . ` . . e o ’ a ` v` b˘ng a 1 ϕ (w) = , w ∈ D∗ . f (z) ı ’ V` w l` diˆm t`y y cua D∗ , f (z) liˆn tuc v` f (z) = 0 nˆn h`m ϕ(w) chınh a e u ´ ’ e . a e a ’ h`nh trong D∗ . ı
118 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı e ı . a a a ´ Ta x´t v´ du h`m w = az + b, a = 0 l` h`m tuyˆn t´nh nguyˆn. H`m n`y e ı e a a ´nh xa do.n tri mˆt - mˆt m˘t ph˘ng ph´.c z lˆn m˘t ph˘ng ph´.c w. H`m a . . o. o . a . ’ a u e a . ’ a u a .o.c cua n´ c´ dang ngu . ’ o o . w−b z= · a w−b Dˆ d`ng thˆy r˘ng h`m w = az + b v` h`m ngu.o.c cua n´ z = ˜ a e a ` ´ a a a a . ’ o ’ chınh a 1 h` kh˘p no.i trˆn m˘t ph˘ng z v` w tu.o.ng u.ng wz = a, zw = ınh a´ e a . ’ a a ´ . a Dinh l´ 2.1.9. Gia su. cho chuˆ i l˜y th`.a -. y ’ ’ ˜ o u u an z n . (2.16) n 0 ´ e a ınh o . ’. ˜ o a ı o’ ’ Nˆu b´n k´ hˆi tu cua chuˆ i (2.16) kh´c 0 th` tˆng S(z) cua n´ l` mˆt o a o . h`m chınh h`nh trong h`nh tr`n hˆi tu {|z| < R, R > 0} cua n´, t´.c l` khi a ’ ı ı o o . . ’ o u a |z| < R ta c´ o S(z + h) − S(z) S (z) = lim · (2.17) h Ch´.ng minh. 1. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh r˘ng nˆu b´n k´ hˆi tu cua chuˆ i u `a e u ` a ´ e a ınh o . ’. ˜ o a a ı a ınh o . . ’ ˜ . a d˜ cho (2.16) l` R th` b´n k´ hˆi tu R∗ cua chuˆ i dao h`m o S0 (z) = nan z n−1 (2.18) n 1 u ` a a a . . ’ c˜ng b˘ng R. Thˆt vˆy, hiˆn nhiˆn r˘ng b´n k´nh R∗ b˘ng b´n k´nh hˆi tu e e ` a a ı ` a a ı o . . cu ˜ ’ a chuˆ i o nan z n . n 0 Nhu.ng n 1 n n lim n|an | = lim n n |an | = lim |an| n→∞ n→∞ n→∞
a ’ 2.1. H`m kha vi 119 v` do d´ a o −1 −1 R∗ = lim n n|an | = lim n |an | = R. n→∞ n→∞ 2. Gia su. z l` diˆm cˆ dinh t`y y n˘m trong h`nh tr`n |z| < R. Khi d´ ’ ’ a e ’ ´ o . u ´ ` a ı o o c´ thˆ chı ra sˆ R1 (0 < R1 < R) sao cho |z| < R1 < R. Gia su. ∆z l` sˆ gia o e ’’ ´ o ’ ’ a o´ u ´ ’ t`y y cua z m` |z + ∆z| < R1 < R. V` a ı (z + ∆z)n − z n = (z + ∆z)n−1 + z(z + ∆z)n−2 + · · · + z n−1 ∆z cho nˆn e S(z + ∆z) − S(z) − S0 (z) ∆z m an (z + ∆z)n−1 + z(z + ∆z)n−2 + · · · + z n−1 − nz n−1 + n=1 ∞ + an (z + ∆z)n−1 + z(z + ∆z)n−2 + · · · + z n−1 n=m+1 ∞ + nan z n−1 . (2.19) n=m+1 ’ ı e ’ X´t diˆm z ∗ = R1 . V` diˆm z ∗ = R1 n˘m trong h`nh tr`n hˆi tu |z| < R e e ` a ı o o .. ’ cua chuˆ˜ i (2.18) nˆn t`. su. hˆi tu tuyˆt dˆi cua chuˆ i (2.18) trong h`nh tr`n o e u . o . . . ´ e o ’ ˜ o ı o ` |z| < R suy r˘ng: ∀ ε > 0, ∃ M = M(ε) sao cho ∀ m > M th` phˆn du a ı ` a . ∞ ε n|an |Rn−1 < 1 · (2.20) n m+1 3 Do d´ v´.i m > M, t`. (2.20) thu du.o.c o o u . ∞ ∞ n−1 ε nan z < n|an |Rn−1 < 1 · (2.21) n=m+1 n=m+1 3 v` a ∞ an (z + ∆z)n−1 + z(z + ∆z)n−2 + · · · + z n−1 n=m+1 ∞ ε n|an |Rn−1 < 1 · (2.22) n=m+1 3
120 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı Tiˆp theo, t`. hˆ th´.c ´ e u e u . m m n−1 n−2 n−1 lim an (z + ∆z) + z(z + ∆z) + ··· + z = nan z n−1 ∆z→0 n=1 n=1 suy r˘ng v´.i sˆ ε > 0 d˜ chon, t`m du.o.c sˆ δ = δ(ε) > 0 sao cho v´.i ` a o o ´ a . ı . o ´ o |∆z| < min(δ; |R1 − z|) th` ı m ε an (z + ∆z)n−1 + z(z + ∆z)n−2 + · · · + z n−1 − nz n−1 < · (2.23) n=1 3 B˘ng c´ch thay n > M trong (2.19), t`. (2.21) - (2.23) suy r˘ng khi ` a a u ` a |∆z| < min(δ, |R1 − z|) ta c´ o S(z + ∆z) − S(z) ε ε ε − S0(z) < + + = ε. ∆z 3 3 3 Do d´ o S(z + ∆z) − S(z) S0 (z) = lim = S (z). ∆z→0 ∆z V` z l` diˆm t`y y cua h`nh tr`n hˆi tu |z| < R nˆn dinh l´ du.o.c ch´.ng ı a e ’ u ´ ’ ı o o . . e . y . u minh. Nhˆn x´t. V` b˘ng ph´p dˆi biˆn theo cˆng th´.c t = z − z0, z0 = 0 chuˆ i a e . ı a` e o e’ ´ o u ˜ o an (z − z0)n du.o.c quy vˆ chuˆ i . ` e ˜ o an tn nˆn ta c´ dinh l´ sau: e o . y n 0 n≥0 Dinh l´ 2.1.9∗. Tˆng f (z) cua chuˆ i l˜y th`.a -. y o’ ’ ˜ u o u an (z − z0 )n l` h`m chınh a a ’ n 0 h` trong h` tr`n hˆi tu |z − z0 | < R cua chuˆ i d´ v` dao h`m f (z) du.o.c ınh ınh o o . . ’ ˜ o a . a o . t`m theo cˆng th´ ı o u.c f (z) = nan (z − z0 )n−1 . n 1
a ’ 2.1. H`m kha vi 121 2.1.6 o a a ’ Khˆng gian c´c h`m chınh h` ınh Gia su. miˆn D ⊂ C, C(D) l` tˆp ho.p c´c h`m liˆn tuc trong D v` H(D) l` ’ ’ ` e a a. . a a e . a a .p c´c h`m chınh h`nh trong D. tˆp ho a a a ’ ı . . Khˆng di sˆu v`o chi tiˆt (viˆc d´ d`nh cho bˆ mˆn tˆpˆ hoc), o. dˆy chı o a a ´ e e o a . o o o o . . ’ a ’ ph´c qua viˆc x´c dinh tˆpˆ trong C(D). Dˆi v´.i tˆp ho.p comp˘c K ⊂ D a e a . . o o ´ o o a . . ´ a ´ ´ ´ bˆt k` v` sˆ ε > 0 bˆt k`, d˘t a y a o a y a . V (K, ε) = {f ∈ C(D) : |f (z)| < ε, ∀ z ∈ K}. R˜ r`ng l` tˆp ho.p V (K, ε) l` lˆn cˆn cua f ≡ 0 trong C(D). Ngu.`.i ta o a a a . . a a a ’ . o d˜ ch´.ng minh r˘ng (xem [10], trang 188-191) nˆu {Kn } l` d˜y c´c tˆp ho.p a u ` a ´ e a a a a . . ∞ ◦ ´ ’ a ` comp˘c cua miˆn D : Ki ⊂ Ki+1 , e ˜ ´ K i = D sao cho mˆ i comp˘c K ⊂ D o a i=1 dˆu thuˆc mˆt Kn n`o d´ th` c´c tˆp ho.p V (Ki , ε) dˆi v´.i moi Ki v` ε nhu. ` e o . o. a o ı a a . . ´ o o . a vˆy l` hˆ lˆn cˆn co ’ ’ a a e a a . so. cua phˆn tu. 0 (t´.c l` f ≡ 0) v` s˜ x´c dinh mˆt tˆpˆ ` a ’ u a a e a . o o o . . . . .i tˆpˆ d´ C(D) l` mˆt khˆng gian tˆpˆ. R˜ r`ng l` d˜y h`m fn ∈ C(D) m` v´ o o o a o a o o o o o a a a a . o . ` hˆi tu dˆu trˆn t` e e u .ng comp˘c cua miˆn D khi v` chı khi ∀ K ⊂ D, ∀ ε > 0, ´ ’ a `e a ’ . ’ o ∀ n du l´ .n suy ra fn − f ∈ V (K, ε). Diˆu d´ c´ ngh˜ r˘ng d˜y fn ∈ C(D) c´ gi´.i han l` mˆt diˆm trong tˆpˆ ` o o e ` ıa a a o o . a o e . ’ o o m` V (K, ε) lˆp th`nh hˆ lˆn cˆn co. so. cua f ≡ 0. a a . a e a a . . ’ ’ ı a o ’ V` H(D) l` khˆng gian con cua khˆng gian C(D) nˆn trˆn H(D) ta x´t o e e e o o ’ ’.i tˆpˆ cua khˆng gian C(D). V´.i tˆpˆ d´, H(D) l` khˆng tˆpˆ cam sinh bo o o ’ o o o o o a o ´ gian tˆpˆ. Dˆi v´ o o o o .i khˆng gian C(D) c˜ng nhu. H(D) ta c´ thˆ x´c dinh tˆpˆ o u ’ o e a . o o bo.i mˆtric h´a. Do d´ c´ thˆ ´p dung cho khˆng gian C(D) v` H(D) nh˜.ng ’ e o o o ea ’ . o a u o ` ’ dinh l´ quen thuˆc vˆ khˆng gian mˆtric. Ch˘ng han, tˆp ho y .p con A cua ’ . . e o e a . a . . a ’ khˆng gian E l` d´ng khi v` chı khi gi´ . o a o o.i han cua d˜y diˆm bˆt k` cua A ’ a ’ e ´ a y ’ thuˆc A. o .
122 Chu.o.ng 2. H`m chınh h`nh a ’ ı 2.2 . ´ ’ ınh so. cˆp Mˆt sˆ h`m chınh h` o o a ´ a 2.2.1 Da th´.c v` h`m h˜.u ty - u a a u ’ d(const) dz Dˆ y dˆn c´c d˘ng th´.c ’ ´ e´ e a a ’ u = 0, ´ = 1 v` c´c quy t˘c t´nh dao h`m a a a ı . a dz dz ta c´ thˆ kˆt luˆn r˘ng da th´.c Pn (z) l` h`m chınh h`nh ∀ z ∈ C v` o e e’ ´ a ` . a u a a ’ ı a n n−1 n−k Pn (z) = ak z = (n − k)ak z n−k−1 . k=0 k=0 P (z) C´c h`m h˜.u ty R(z) = a a u ’ , trong d´ P (z) v` Q(z) l` c´c da th´.c, o a a a u Q(z) ’ chınh h` ∀ z ∈ C \ N (Q), trong d´ N (Q) = {z ∈ C : Q(z) = 0}. Ch˘ng ınh o ’ a az + b d . a ´ han, h`m phˆn tuyˆn t´ w = a e ınh ’ chınh h`nh ∀ z ∈ C \ − ı ´ nˆu c = 0 e cz + d c 1 1 a ’ e´ v` chınh h`nh trong C nˆu c = 0 v` d = 0; h`m Jukovski w = ı a a z+ 2 z ’ chınh h`nh ∀ z ∈ C \ {0}. ı √ 2.2.2 H`m w = z n v` z = a a n w, n ∈ N Ta x´t c´c gi´ tri z1 = |z1|eiϕ1 , z2 = |z1|eiϕ2 . T`. d´ e a a . u o w1 − w2 = |z1|n einϕ1 − einϕ2 = |z1|n einϕ2 ein(ϕ1 −ϕ2 ) − 1 . (2.24) Hˆ th´.c (2.24) ch´.ng to r˘ng z1 v` z2 c´ c`ng mˆt anh khi v` chı khi e u . u ’ a` a o u o ’ . a ’ 2π ϕ1 − ϕ2 = k · , k ∈ Z. n Do vˆy, h`m w = z n do.n diˆp trong miˆn D n`o d´ khi v` chı khi D khˆng a . a e . ` e a o a ’ o ch´.a nh˜.ng c˘p diˆm kh´c nhau z1 v` z2 m` u u a . ’ e a a a  |z1| = |z2 | arg z1 = arg z2 + 2π k, k ∈ Z. n