HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

Chia sẻ: 123968574

1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…, hàm số hợp và hàm ngược. 2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn. 3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các phương pháp tính giới hạn. 4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất....

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

BÀI 1
HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÍ THUYẾT


1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…,
hàm số hợp và hàm ngược.
2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn
tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn.
3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các
phương pháp tính giới hạn.
4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất.




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Cho các hàm số f :   , f(x)  2x và g :    , g(x)  1  x
Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g.
Hướng dẫn:
• Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của
hàm số đó.
• Khái niệm hàm số hợp:
“ Cho  : X   , x  u  (x)
f : U  ,u  y  f(u) thỏa mãn (x)  U, x  X
f và  :
• Hàm hợp của
h : X  , x  h( x)  f (( x))




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Lời giải:
Hàm số hợp của g và f là: h :   , x  h(x)
h(x)  g(f(x))  g(2x)  2x  1

và hàm số hợp của f và g là: k :    , x  k(x)

k(x)  f(g(x))  f(1  x)  2(1  x)  2x  2

Nhận xét:
f(g(x))  g(f(x))

• Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp
của g và f”.




4
v1.0
VÍ DỤ 2

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

a. h(x) = cos(2x)
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx
d. h(x) = 2cos(2x)




5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

 f(u(x))  f(2x)  cos(2x) 

a. h(x) = cos(2x)
x
b. h(x) = 2cosx
c. h(x) = cosx x
x
d. h(x) = 2cos(2x)




6
v1.0
VÍ DỤ 3

Cho dãy số: n  1;2;3, 4;...;n;...
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a. Dãy bị chặn trên.

b. Dãy đơn điệu tăng.

c. Dãy đơn điệu giảm.

d. Dãy bị chặn.




7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn
Dãy gọi là:
• Dãy tăng nếu xn < xn+1 n  
• Dãy giảm nếu xn > xn+1 n  
• Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm
• Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x  M, n  
• Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  m, n  
• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Như vậy, dãy xn  là bị chặn nếu có các số m và M sao cho m  xn  M, n




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

n  1;2;3, 4;...;n;...
Cho dãy số:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a. Dãy bị chặn trên. x xn  n  
n



b. Dãy đơn điệu tăng.  (1  2  3  4  ...)
c. Dãy đơn điệu giảm. x (x1  1  x 2  2)
d. Dãy bị chặn. x


Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
• Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”;
• Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”.

9
v1.0
VÍ DỤ 4



 1   1;1; 1;1;...,  1 
n n
Cho dãy số: ,...

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
a. Dãy đơn điệu.
b. Dãy đơn điệu tăng.
c. Dãy đơn điệu giảm.
d. Dãy bị chặn.




10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)



 1   1;1; 1;1;...,  1 
n n
Cho dãy số: ,...

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
x
a. Dãy đơn điệu.
đơ
b. Dãy đơn điệu tăng.
đơ x 2  1  x 3  1
x
x x1  1  x 2  1
c. Dãy đơn điệu giảm.
đơ
 1  x n  (1)n  1, n
d. Dãy bị chặn.




11
v1.0
VÍ DỤ 5

Mệnh đề nào sai?
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ
c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ.




12
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)


Hướng dẫn:
Bài 1, mục 1.2.2:
Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n  a . Trong
x 
trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ.
Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ.




13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Mệnh đề nào sai?
x
a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ
x
b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ

c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.
d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. x

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm
• Dãy hội tụ;
• Dãy phân kì;
=> Đọc kĩ các khái niệm.




14
v1.0
VÍ DỤ 6

Mệnh đề nào đúng?
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.
b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.




15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13)
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn
Định lý:
Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì:
• Dãy đó là dãy bị chặn;
• Giới hạn là duy nhất.




16
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)


Mệnh đề nào đúng?
x
a. Dãy bị chặn thì hội tụ.

b. Dãy hội tụ thì bị chặn.
x
c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn.
x
d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn.

Chú ý: (1)n  vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ.




17
v1.0
VÍ DỤ 7

Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu:

a. lim f(x)  a
x 0




b. lim f(x)  
x a




c. lim f(x)  
x a




d. lim f(x)  0
x a




18
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16)
1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé
1.3.3.1. Khái niệm
• Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x  a
nếu lim f(x)  0
x 2

Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn
của hàm số, ta suy ra rằng nếu:
f(x)  A khi x  a thì f(x)  A  (x)

Trong đó (x) là một VCB khi x  a
• Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x  a
nếu lim F(x)  
x 2




19
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

a. lim f(x)  a x
x 0

b. lim f(x)   x
x a

c. lim f(x)   x
x a


d. lim f(x)  0
x a



Nhận xét:
Sai lầm thường gặp:
Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi x  a nếu lim f(x)  

x a
cũng như VCL là số rất lớn.
nên cho rằng f(x) là VCL khi x  a nếu lim f(x)  
x a

• Không để ý đến quá trình x  a . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc
là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu.
Ví dụ: f(x) = x là VCB khi x  0 và là VCL khi x  

20
v1.0
VÍ DỤ 8

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

a. lim f(x)  
x0




b. lim f(x)  
xa




c. limf(x)  
xa




d. limf(x)  0
xa




21
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu:

a. lim f(x)   x
x0





b. lim f(x)  
xa




x
c. limf(x)  
xa




d. limf(x)  0 x
xa




22
v1.0
VÍ DỤ 9

VCB nào sau đây là tương đương với VCB f(x)  x 2 khi x0 ?

a. f1 (x)  arcsin x


 
x2
b. f2 (x)  e 1


c. f3 (x)  1  cos x


 
2
d. f4 (x)  arc tg x




23
v1.0
VÍ DỤ 9 (Tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr. 17) và “các vô cùng bé
tương đương thường gặp”(tr.18).
Bậc của các VCB
Định nghĩa:
Giả sử (x), (x) là hai VCB khi x  a .
(x)
• Nếu lim  0 ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn.
(x)
x a


(x)
  ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn.
• Nếu lim
(x)
x a


(x)
• Nếu lim  A ( 0,  ) ; ta nói rằng và là hai VCB cùng bậc.
(x)
x a


(x)
• Nếu lim không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB (x) và (x)
(x)
x a




Chẳng hạn, x m là VCB bậc cao hơn x nnếu m>n và cùng bậc nếu m= n khi x  0

24
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


VCB tương đương
• Định nghĩa:
Hai VCB ( x) và (x) khác 0 khi x  a gọi là tương đương với nhau

(x)
1
nếu lim
(x)
x a



• Ký hiệu: ( x)  (x)

• Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc.
Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi nhớ) là:

Khi u = u(x)  0 , ta có:
sin u  tgu  arcsin u  arct g u  ln(u  1)  (e u  1)  u



25
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


x
a. f1 (x)  arcsin x (arcsin x  x)


 x2   x2 
e  1   x2
b. f2 (x)   e  1   
   
2
x x x
2

c. f3 (x)  1  cos x x 1  cosx  2sin    2  
2

 2  2 2

 arc tg x    x 
 
2 2
2
x
d. f4 (x)  arc tg x x




26
v1.0
VÍ DỤ 10


VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ?

a. f1 ( x )  s in 2 x



e 
5
x
b . f2 ( x )  1


c . f 3 ( x )  ln ( c o s x )

3
tg x 
d. f 4 ( x )  2




27
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ?


a. f1 ( x )  s in 2 x sin2 x   sin x    x   x 2
2 2
x



 
5
   x
e
5
x 5 5
b . f2 ( x )  1
e 1 x
x x 2




x2
ln(cosx)  ln[1 (1 cosx)]  1 cosx  ... 
x
c . f3 ( x )  l n ( c o s x )
2

3 3
 tgx 
tg x 
3
 x
d. f4 ( x )  2 2 2




28
v1.0
VÍ DỤ 11
sin 3x
Giới hạn lim 2x bằng:
e 1
x 0




a. 0

b. 1


3
c.
2

2
d.
3




29
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
sin 3x
Giới hạn lim 2x bằng:
e 1
x 0



a. 0

b. 1
sin 3x 3x 3
3 Khi x  0 : sin 3x  3x; e2x  1  2x  lim 2x
  lim 
c.
x 0 2x 2
2 1
x 0 e
2

d.
3

Hướng dẫn: Phương pháp thay tương đương
Định lý: Nếu (x) và (x) là hai VCB khi x  a, (x)  1 (x), (x)  1 (x)
 (x)
(x)
 lim 1
khi x  a thì: lim
(x) x a 1 (x)
x a




30
v1.0
VÍ DỤ 12

arctg  2x 
Giới hạn lim bằng:
3x
x 0




a. 0

b. 1


3
c.
2

2
d.
3




31
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

arctg  2x 
Giới hạn lim bằng:
3x
x 0





a. 0


b. 1


3

c.
2

arctg  2x  2x 2
2
 Khi x  0: arctg(2x)  2x  lim  lim 
d.
3x 3x 3
3 x 0 x 0




32
v1.0
VÍ DỤ 13
2n2  n  1
Giới hạn lim bằng:
3n  5
2
n


2
a.
3
1
b.
5
3
c.
2
d. Không tồn tại




33
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)
2n2  n  1
Giới hạn lim bằng:
3n  5
2
n
11
2 
2n  n  1 n n2  2
2
2
  lim
lim
a.
5
3n  5 3
2
3 n n
3 2
n
1
b. 
5
3

c.
2

d. Không tồn tại


Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho nk
bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn lim 1  0
n
n




34
v1.0
VÍ DỤ 14

n2  3n  4
Giới hạn lim bằng:
2n  3
2
n



2
a.
3

1
b.
2

1
c.
2

2
d.
3



35
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

n2  3n  4
Giới hạn lim bằng:
2n  3
2
n




2

a.
3

1

b.
2

1

c.
2

2

d.
3


36
v1.0
VÍ DỤ 15

Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại x 0 thuộc MXĐ?

a. lim f(x), xlim f(x)
x 0
x  x0




b. lim f ( x )  xlim  f ( x )
x 0
x  x0



c. lim f(x)
x 0




d. xlim0 f ( x )  f ( x 0 )
x




37
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)
Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại x 0 thuộc MXĐ?

a. lim f(x), xlim f(x) 
x 0
x  x0



b. lim f ( x )  xlim  f ( x )
x 0
x  x0



c. lim f(x)
x 0


d. xlim0 f ( x )  f ( x 0 ) 
x



Hướng dẫn: Xem khái niệm hàm số liên tục (tr.18)
1.3.4. Hàm số liên tục
1.3.4.1. Định nghĩa
• f là một hàm số xác định trong khoản (a, b), x0 là một điểm thuộc (a, b).
Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu: lim f(x)  f(x 0 )
x  x0

• Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0.

38
v1.0
VÍ DỤ 16

khi x  0
e x
Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên  , f(x)  
a  x khi x  0

a. 0

b. 1

c. Không tồn tại

d. Với mọi a  




39
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)

khi x  0
e x
Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên  , f(x)  
a  x khi x  0

a. 0
 lim f(x)  lim(a  x)  a; lim f(x)  lim e x  1, f(0)  a
b. 1    
x 0 x 0 x 0 x 0

c. Không tồn tại Do đó lim f(x)  lim f(x)  f(0)  a  1


d. Với mọi a   x 0  x 0




Hướng dẫn:
f(x) liên tục trên   f(x) liên tục tại x = 0
 lim f(x)  lim f(x)  f(0)
 lim f(x)  f(0)  
x 0 x 0 x 0




40
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP


Câu 1. Có phải nếu ta có quan hệ giữa các VCB khi x  a

f(x)  x m , g(x)  x n và m > n thì f(x) là VCB có bậc lớn hơn g(x) không?
Điều này có áp dụng được cho các VCL hay không?

Trả lời: Đúng và có thể áp dụng cho các VCL.


Câu 2. Cách làm sau đúng hay sai?
tgx  sin x xx
Khi x0 thì tgx  sin x  x  lim  lim 3  0
x3 x
x 0 x 0



Trả lời: Sai, vì định lí thay tương đương chỉ áp dụng cho các thừa số
chứ không áp dụng cho các số hạng.



41
v1.0
BÀI 2
ĐẠO HÀM - VI PHÂN



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÍ THUYẾT


1. Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản,
các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp;
2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp;
3. Công thức Taylo, quy tắc L’Hospitan (Lôpitan);
4. Ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số: Sự biến thiên, cực trị,…




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Khẳng định nào đúng:

a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.

c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.

d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0.




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Khẳng định nào đúng:

a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.

b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.

c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.

d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0.


Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau:



Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.



4
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Khẳng định nào đúng:


a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.


b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0.


c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.


d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0.


Chú ý:
f(x) = |x| xác định tại x = 0, liên tục tại x = 0, có đạo hàm phải và đạo
hàm trái tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. (=> b, c, d sai).




5
v1.0
VÍ DỤ 2

Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng?

a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0.

b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0.

c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.

d. f(x) có đạo hàm tại x = 0.




6
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)


Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng?


a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0.


b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0.


c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.


d. f(x) có đạo hàm tại x = 0.




7
v1.0
VÍ DỤ 3

Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng:
a. 5x
b. 5x4
x6
c.
6
d. 0




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)




Hướng dẫn:
• Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25);
• Đây là hàm có dạng x.




9
v1.0
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN




10
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng:

a. 5x

x6

b.
6

c. 5x4 (x5)’ = 5x5 – 1 = 5x4

d. 0


Nhận xét:
Sai lầm chủ yếu do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số.




11
v1.0
VÍ DỤ 4

Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng:

1
a.
1  x2
1
b. 
1  x2
1
c.
1  x2
1
d. 
1  x2




12
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng:

1

a. 2
1x
1
b.   f(x) = arccosx
2
1x
1
c. 
1  x2
1
d. 

1  x2




13
v1.0
VÍ DỤ 5
Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng:

1
a.
xcos 2 (ln x)
1
b.
cos 2 (ln x)
1
c.
ln x cos 2 x
ln x
d.
cos 2 x




14
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp
(mục 1.2.1, tr.24).
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(x)
có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x))
có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).


u(x) 1
(tgu(x))  (ln x)  (x  0)
cos 2u(x) x




15
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)


Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng:

1 1 1
1
 (tg(ln x))  tg(ln x).(ln x)  .(ln x) 
a. .
cos 2 (ln x) cos 2 (ln x) x
xcos 2 (ln x)
1

b.
cos 2 (ln x)
1
c. 
ln x cos 2 x
ln x
d.

cos 2 x




16
v1.0
VÍ DỤ 6


Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:

a. cos  cos2 2x 


b. cos  2cos2x 


c. cos  sin2 2x 


d. – 2cos  cos2 2x  sin4x




17
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)


Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:


a. cos  cos2 2x  .

b. cos  2cos2x  . Chú ý: 2 sin .cos   sin 2
c. cos  sin2 2x  . 
 sin(cos 2x)   cos(cos 2 2x).  cos 2 2x 
d. – 2cos  cos2 2x  sin4x. 
2




 cos(cos 2 2x).2cos2x  cos2x 

 cos(cos 2 2x).2cos2x.( sin(2x)).  2x 
 2.cos(cos 2 2x).2cos2x.sin 2x
 2.cos(cos 2 2x).sin 4x




18
v1.0
VÍ DỤ 7
Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x)  ln 1  x 2 bằng:

1  x2
a.
1  x  22




1
b.
1  x2

x
c.
1  x  22




2x
d.
 
2
1  x2



19
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của
f(x). Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai.
Kí hiệu là: y” = f”(x).
Vậy: y” = f”(x) = (f’(x))’.
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n,
kí hiệu là f(n)x:
Vậy y(n) = f(n)(x) = (f(n – 1)(x))’.




20
v1.0
VÍ DỤ 8

Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:

(1)n n!
a. f (x)  n  1
(n)

x

(1)n  1 n!
b. f (x) 
(n)

xn

(1)n  1 .(n  1)!
c. f (x) 
(n)

xn

(n  1)!
d.
xn




21
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)
Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng:
(1)n n! 
a. f (x) 
(n)

1
1
xn  1 f (x)  f (x) 
; ;
2
x
(1)n  1 n! x

b. f (x) 
(n)

2
xn
f (x) 
x3
(1)n  1 .(n  1)!
c. f (x) 
(n)

xn
 Kiểm tra n = 1, 2, 3.
(n  1)!
d. 
xn

Hướng dẫn:
• Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30).
• Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các
phương án với n = 1, 2, 3. Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn.


22
v1.0
VÍ DỤ 9

Vi phân của hàm số f(x)  ln(x  x  4) là:
2




1
a.
x2  4

dx
b.
x2  4

1
c.
x2  4

dx
d.
x2  4



23
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx
1

a.

 
1
2
x 4 f(x)  . x  x2  4
2
x x 4
 
dx x2  4  
 
 2x 
b.  1 1
1 
  1  
2
x 4    2 x2  4 
2 2 2
x  x  4 2 x  4 x  x  4 
 
1 x2  4  x 1
1

c.  
.
x2  4 x  x2  4 x2  4 x2  4
1 dx
 df(x)  f / (x)dx  dx 
dx
x2  4 x2  4

d.
x2  4
Nhận xét:
• Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đó thay
vào công thức.
24
• Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx
v1.0
VÍ DỤ 10


Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là:

a. dx


b. ln xdx

c. 1


d. ln x




25
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là:


a. dx

1
 f (x)  (ln x  1)  x.  ln x
b. ln xdx
x


c. 1



d. ln x




26
v1.0
VÍ DỤ 11
xx
Giới hạn lim bằng:
x 1
2
x 1



1
a.
2

1
b.
2

1
c.
4

1
d.
4




27
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Qui tắc L’Hospital (Lôpitan) (tr.33)
Định lý:

Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện:

u(x) 0
lim
Giới hạn v(x) có dạng vô định 0 hoặc  , tức là hai hàm
xa



số u(x) và v(x) cùng có giới hạn hoặc cùng có giới hạn vô hạn.
u '(x)
lim
Tồn tại giới hạn x  a v '(x) (hữu hạn hoặc vô hạn).

u(x) u '(x)
 lim
lim
Khi đó x  a v(x) x  a v '(x) .




28
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
xx
Giới hạn lim bằng:
x 1
2
x 1



1

a.
2

x  x (L) ( x  x)
1  lim
lim

b. x2  1 x  1 (x 2  1)
x 1
2
1 1
1 1
1
 lim 2 x 2
1  

c. 2x 2 4
x 1
4

1

d.
4


Chú ý: Trong phát biểu của định lý a có thể hữu hạn hoặc vô cùng.
29
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

Nhận xét:
• Để làm tốt phương pháp này, cần tính thành thạo đạo hàm các hàm số;
• Khi tính một giới hạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan nhiều lần;
• Sai lầm thường gặp: Tiếp tục dùng qui tắc Lôpitan khi giới hạn đã về dạng
xác định. Chẳng hạn:


1
x 2x 2
2 (L )

 lim 
lim = 2 (®úng)
x 3x  2x 3  2
x 3 2 2
x 1 x 1



1
x 2x 2 2 1
2 (L ) (L )

 lim  lim 
lim = (sai)
x 3x  2x 6x  2 6  2 2
x 3 2 2
x 1 x 1 x 1




2x
Lưu ý: lim là dạng xác định.
3x 2  2x
x 1




30
v1.0
VÍ DỤ 12
2x  5x  1
3 2

Giới hạn lim bằng:
3x  x  6x
3 2
x




2
a.
3

5
b.
6

c. 0


d. 




31
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

2x  5x  1
3 2

Giới hạn lim bằng:
3x  x  6x
3 2
x




2
 2x  5x  1 6x  10x
a. 3 2 2
(L )
lim lim
3 
3x  x  6x 9x  2x  6
3 2 2
x x



12x  10 12 2
(L ) (L )

 lim  lim
5 18x  2 18 3

b.
x x


6


c. 0


d. 




32
v1.0
VÍ DỤ 13
Giới hạn xlim x 2 ln x bằng:

0



a. 1

b. 0

c. 2

d. – 1




33
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33.

Tất cả các dạng vô định khác đều có thể

0
biến đổi về dạng hoặc .

0

• Dạng vô định 0.

u 0 v
lim(uv)  lim (d¹ng ) hoÆc lim(uv)  lim (d¹ng )

v 0 u
1 1




• Dạng vô định  – 
11

0
lim(u  v)  lim v u (d¹ng )
1 0
uv


34
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)

Giới hạn lim x ln x bằng:
2

x  0




a. 1
ln x
lim x ln x  lim
2


b. 0 1
x  0 x  0



x 2


c. 2
1
ln x 
/

x  lim x  0
2
(L )
 lim
 lim

d. – 1 2 2
/
1
x  0 x  0 x  0

x 3

x 
2




35
v1.0
VÍ DỤ 14

1 
Giới hạn lim   tgx  bằng:
x   cos x 

2


a. 0

b. 1

c. +

d. –




36
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

1 
Giới hạn lim   tgx  bằng:
x   cos x 

2

1  sin x (L) cosx
1 
 tgx   lim  0
lim  lim

a. 0
 sin x
  cos x  cos x
 x 
x x
2 2 2

b. 1


c. +


d. –




37
v1.0
VÍ DỤ 15

2
1 x
Giới hạn lim x bằng:
x 1

a. –1

b. 2

c. e–2

d. e2




38
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33.
Các dạng vô định 1, 00 và 0 xuất hiện khi tính giới hạn của biểu thức uv,
trong đó u = u(x) > 0 và v = v(x):
• Nếu u  1 và v   thì lim uv có dạng vô định 1;
• Nếu u  0 và v  0 thì lim uv có dạng vô định 00;
• Nếu u  + và v  0 thì lim uv có dạng vô định 0.
• Nếu đặt y = uv thì trong cả ba trường hợp này giới hạn của biểu thức
lny = vlnu đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên);

• Nếu tính được lim(lny) = k thì ta được:
limy = lim elny = ek.




39
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)

2
1 x
Giới hạn lim x bằng:
x 1
2 2
lim ln x

a. –1 1x 1x
e
lim x
x 1


x 1

b. 2 2
2.ln x (L) x  2
 lim
lim

c. e–2 x 1 1 x 1
x 1
2

d. e2
 e 2
1x
 lim x
x 1


Nhận xét: Phương pháp thay tương đương (Bài 1) và pp sử dụng quy tắc
Lôpitan là 2 phương pháp tính giới hạn rất hiệu quả.




40
v1.0
VÍ DỤ 16
2
Giới hạn lim x x bằng:

x 0


a. 1

b. 0

c. +

d. e




41
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)
2
Giới hạn lim x x bằng:

x 0



a. 1


b. 0


c. +


d. e




42
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP

Câu 1: Qui tắc Lôpitan có thể áp dụng cho những trường hợp nào?

Trả lời: Chỉ cho 2 dạng vô định: 0 ,  . Muốn sử dụng quy tắc Lopitan cho các
0
dạng vô định khác phải biến đổi về 2 dạng trên.


u(x)
Câu 2: Trong qui tắc Lôpitan, nếu giới hạn lim không tồn tại có suy ra
x  a v (x)
u(x)
được lim không tồn tại không?
x  a v(x)

Trả lời: Không suy được như vậy.




43
v1.0
BÀI 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÝ THUYẾT


1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức
cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định.
2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ.
3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương
pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định.
4. Tích phân suy rộng.




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: f(x)  3x 2  2

a. x3  2x  1

b. 6x


c. 3x3  2x


d. 3x2  2x




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: f(x)  3x 2  2

 x +2x+1  '=3x +2
a. x3  2x  1 3 2


b. 6x (6x) '  6

c. 3x3  2x (3x 3 +2x)'=9x 2 +2

d. 3x2  2x (3x 2  2x) '  6x  2


Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1)
Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:
F '(x)  f(x), x  D, hay dF(x)  f(x)dx

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là
nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b.
.
4
v1.0
VÍ DỤ 2

1
Hàm số f(x)   1 có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?
1 x 2




a.   arccos x

b. arccos x  


c. arcsinx  x  

d. arcsinx  C




5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

1
Hàm số f(x)   1 có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?
1 x 2





a.   arccos x



b. arccos x  



c. arcsinx  x  



d. arcsinx  C




6
v1.0
VÍ DỤ 3

dx

Tích phân bằng:
3  2x 2



1 x
a. arctg  
3  3

1 x
C
b. arctg 
3  3

1 x
c. arctg  
3 3

1 x
arctg    C
d.
3 3



7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Xem bảng các công thức tích phân cơ bản




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

dx

Tích phân bằng:
3  2x 2



1 x
a. arctg  

3  3

dx dx 1 x
 
1 x   C
arctg 
C 
b. arctg  3 x 2
( 3)  x 3  3
2 2

3  3

1 x
c. arctg   
3 3

1 x

arctg    C
d.
3 3


Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C.
9
v1.0
VÍ DỤ 4
dx

Tích phân bằng:
2  3x 2




3 3
arctgx  C
a.
2 2


1 3
arctgx  C
b.
2
6


3 x
C
c. arctg
2 6

1 x
C
d. arctg
6 6



10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
dx

Tích phân bằng:
2  3x 2




3 3
arctgx  C
a.  Gợi ý:
2 2


1 3 dx dx
 
arctgx  C
b.  
2 2
6 2  3x 
2

3   x2 
3 
3 x

C
c. arctg
2 6

1 x

C
d. arctg
6 6



11
v1.0
VÍ DỤ 5



Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, xf(x 2 )dx là:

F(x2 )
C
a.
2

b. F(x2 )  C


c. xF(x2 )  C


d. F(x2 )




12
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.2, tr.46
Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân
Nhận xét:




1
d(x 2 )  (x 2 ) ' dx  2xdx  xdx  d(x 2 )
d(u(x))  u'(x)dx;
Chú ý:
2



13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)



Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, xf(x 2 )dx là:

1 1
F(x2 )
 
 xf(x 2 )dx  f(x 2 )d(x 2 )  F(x 2 )  C
C
a.
2 2
2


b. F(x2 )  C



c. xF(x2 )  C


d. F(x2 )



Nhận xét: Khó khăn ở đây là việc biểu diễn f (x)  g(u(x)).u '(x)


14
v1.0
VÍ DỤ 6



Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, sin xf(cos x)dx là:

F(cosx)  C
a.

b.  F(cosx)  C


F(sinx)  C
c.

d.  F(sinx)  C




15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)



Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, sin xf(cos x)dx là:


F(cosx)  C
a.


b.  F(cosx)  C


F(sinx)  C
c.


d.  F(sinx)  C




16
v1.0
VÍ DỤ 7


x2
Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  xe và f(1)  2e

1 x2 3e
a. f(x)  e 
2 2

2
b. f(x)  e x  e


125
c. f(x)   e x  e
2 2

2
d. f(x)  e x  3e




17
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)


x2
Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  xe và f(1)  2e

1 12
1 2 3e
  
2
2
 f(x)  f '(x)dx  xe x dx 
e x dx 2  e x  C
a. f(x)  e x 
2 2
2 2
 1 3
2
b. f(x)  e x  e f(1)  2e  f(1)  e  C  2e  C  e
2 2
1 x2 5 
c. f(x)   e  e 123
2 2  f(x)  e x  e
2 2
2

d. f(x)  e x  3e



 f '(x)dx
x2
Hướng dẫn: f(x) là một nguyên hàm của xe ; f(x) 




18
v1.0
VÍ DỤ 8

Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  x sin(x 2 ) và f(0) = 1/2.

1
a.  sin(x 2 )  1
2

1
b.  cos(x 2 )  1
2

1
c. sin(x 2 ) 
2

d.  cos(x 2 )  1




19
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  x sin(x 2 ) và f(0) = 1/2.

1

a.  sin(x 2 )  1
2

1

b.  cos(x 2 )  1
2

1 
c. sin(x 2 ) 
2


d.  cos(x 2 )  1




20
v1.0
VÍ DỤ 9

dx

Tích phân bằng:
1  cos x

1x
a. tg  C
22

1x
b. tg
22

x
c. tg
2

x
d tg  C
2



21
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


Hướng dẫn:


 2;  2;
1  cos x  2 cos 2 x 1  cos x  2 sin2 x


1

 f(x)dx  F(x)  C ta suy ra: f(ax  b)dx  F(ax  b)  C (a  0)
a




22
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

dx

Tích phân bằng:
1  cos x

1x

a. tg  C
22

1x

b. tg
22

x

c. tg
2

dx dx 11 x x
 
x  . tg    C  tg    C

d tg  C x 21
1  cos x 2 2
2 2 cos 2 2
2


23
v1.0
VÍ DỤ 10
2



Tích phân x 2 dx bằng:
1

a. 1


b. 3


7
c.
3

1
d.
3




24
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)
2



Tích phân x 2 dx bằng:
1




a. 1

b. 3
7 2 2
x3 23 13 7

c.  x dx   
2
3 31 3 3 3
1 1


d.
3


Hướng dẫn:
3.2.3. Công thức Newton - Leibnitz
a


 f(x)dx  F(x) b  F(b)  F(a)
a
b


Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f(x).
25
v1.0
VÍ DỤ 11
0


 sin xdx bằng:
Tích phân

2

a. 1


b. 0


c.  1


d. cos x




26
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
0


 sin xdx bằng:
Tích phân

2


a. 1


b. 0


c.  1 


d. cos x

Chú ý: Đối với tích phân xác định khi ta đổi cận, tích phân sẽ đổi dấu nên
thứ tự của các cận là rất quan trọng.
a a

 f(x)dx    f(x)dx
b b
27
v1.0
VÍ DỤ 12
ln 2

 xe  x dx bằng:
Tích phân
0
1  ln 2
a.

1  ln 2
b.
2

ln 2  1
c.

ln 2  1
d.
2




28
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.4 và 3.2.1.4
b b

 
b
Phương pháp tích phân từng phần: udv   uv   vdu
a
a a
trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục.


  
x nekx dx x n sinkxdx; x ncoskxdx
• Trong các tích phân

n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn



• Trong các tích phân x  lnn xdx;    1 và n nguyên dương,


ta thường chọn u = lnn x


29
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

ln 2

 xe  x dx bằng:
Tích phân
0


1  ln 2
a.


Đặt u  x; dv  exdx  du  dx; v  ex
1  ln 2 
b.
2 ln2 ln2
x ln2
 
xexdx exdx
I   x(e ) 
 0
ln 2  1
c. 0 0
ln2
x ln2
 ln2

 ln2 x
  ln2.e  e dx   (e )
ln 2  1 
d. 2 0
2 0
 ln2  ln2 0 1  ln2
 e e 
2 2

30
v1.0
VÍ DỤ 13
e

 x ln xdx
Tích phân bằng:
1

1  e2
a.
4
1  e2
b.
2
1  e2
c.
4
1  e2
d.
2




31
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)
e

 x ln xdx
Tích phân bằng:
1

1  e2 
a.
4
1  e2

b.
2
1  e2
c. 
4
1  e2
d. 
2




32
v1.0
VÍ DỤ 14

3ln x  2
 dx bằng:
Tích phân
x

a. 3 ln2 x  2 ln x  C

32
ln x  2 ln x  C
b.
2


c. 3 ln x  2 ln x  C


 
3
 4 ln x  C
d. 2 ln x




33
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem phương pháp đổi biến của tích phân bất định 3.1.2.3




34
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

3ln x  2
 dx bằng:
Tích phân
x

a. 3 ln2 x  2 ln x  C
dx
3
b. ln2 x  2 ln x  C  Đặt t  ln x  dt 
x
2
 t2
c. 3 ln x  2 ln x  C 3ln x  2
 
dx  (3t  2)dt  3.  2t  C
x 2
 
3

 4 ln x  C
d. 2 ln x
3
 .ln2 x  2ln x  C
2

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại
thành hàm của biến số cũ.



35
v1.0
VÍ DỤ 15

3 ln x  2

Tích phân dx bằng:
x ln x


 
1 3
 2 ln x  C
a. ln x
3


 
3
 2 ln x  C
b. ln x


23
ln x  4 ln x  C
c.
3


 
3
 4 ln x  C
d. 2 ln x



36
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)

3 ln x  2

Tích phân dx bằng:
x ln x


 
1 3

 2 ln x  C
a. ln x
3


 
3

 2 ln x  C
b. ln x


23

ln x  4 ln x  C
c.
3


 
3

 4 ln x  C
d. 2 ln x



37
v1.0
VÍ DỤ 16
1
x 1
 (3x  1) dx trở thành:
Sử dụng phép đổi biến t  3x  1 , tích phân 2
0
1
t+ 2

a. dt
2
9t
0
4
t+ 2

b dt
2
9t
1
4
t-1
 9t
c. dt
2
1
4
t+ 1

d. dt
2
3t
1



38
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)
3.2.4.2. Phương pháp đổi biến (xem trong giáo trình tr.62-63).




39
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)
1
x 1
 (3x  1) dx trở thành:
Sử dụng phép đổi biến t  3x  1 , tích phân 2
0
1
t+ 2
 
a. dt
2
9t
0
4
t 1 dt
t+ 2
 Đặt t  3x 1  x   dx 

b dt 3 3
2
9t
1 đổi cận x  0  t  1; x  1  t  4
4
4 t 1  1
t-1
 9t
1 4

c. dt x 1 dt t+2
  
3
2 dx   dt
2 2 2
3
1 (3x 1) t 9t
0 1 1
4
t+ 1
 
d. dt
2
3t
1



Nhận xét: Sai lầm thường gặp là quên không đổi cận.
40
v1.0
VÍ DỤ 17
1
1 dx
x
Sử dụng phép đổi biến x  , tích phân bằng:
sin t
x2  1
2



a.
6

b. 
6

c.
3

d. 
3




41
v1.0
VÍ DỤ 17 (tiếp theo)
1
1 dx
x
Sử dụng phép đổi biến x  , tích phân bằng:
sin t
x2  1
2




a.
6


b. 
6


c.
3


d. 
3




42
v1.0
VÍ DỤ 18

Tìm a để hàm số f(x)  ax 3  x, x  0,2 là hàm mật độ xác suất của một
biến ngẫu nhiên x.
1
a. 
4

1
b.
4

c. 1


d.  1




43
v1.0
VÍ DỤ 18 (tiếp theo)

Tìm a để hàm số f(x)  ax 3  x, x  0,2 là hàm mật độ xác suất của một
biến ngẫu nhiên x.

 2
1

a. 
 
f(x)dx  (ax 3  x)dx  ...  4a  2
1
4
 0
1
1
 a
b.
4
4


c. 1



d.  1



 f(x)dx  1
Hướng dẫn: f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên x nếu

44
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP



Câu 1: Sự khác nhau của tích phân bất định và tích phân xác định?
Trả lời: Tích phân bất định là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một số
cụ thể. Về mặt kí hiệu thì tích phân bất định không có cận, còn tích
phân xác định có cận trên và cận dưới.

1
 sin dx là gì?
Câu 2: Tích phân bất định của hàm số 2
x

Trả lời:  cot gx  C




45
v1.0
BÀI 4
HÀM NHIỀU BIẾN



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÝ THUYẾT


1. Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều
biến số.
2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần.
3. Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện.




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều 3 ?


a. (1;2)

b. (1;2;3)

c. (1)

d. (1;2;3; 4)




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều 3 ?

a. (1;2)



b. (1;2;3)



c. (1)


d. (1;2;3; 4)


Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1
Định nghĩa:
Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x1, x2, ..., xn được gọi là một điểm n chiều. Ta ký
hiệu điểm bởi chữ in hoa M(x1, x2, ..., xn).

4
v1.0
VÍ DỤ 2

Một điểm n chiều là:

a. Một bộ n số thực.

b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.

c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.

d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.




5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

Một điểm n chiều là:


a. Một bộ n số thực.


b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.


c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.


d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.




6
v1.0
VÍ DỤ 3

Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng
định sau:

n
a. Miền xác định của hàm số là 

b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của n
n
c. Miền giá trị của hàm số là 

d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n




7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Hướng dẫn:




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng
định sau:
n

a. Miền xác định của hàm số là 

b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của n 
n

c. Miền giá trị của hàm số là 

d. Miền giá trị của hàm số là tập con của n 

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộn
giữa miền xác định và miền giá trị.




9
v1.0
VÍ DỤ 4

xy
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z   x. 1  y
xy
a. x  y  0, y  1


b. x  y  0, y  1

c. x  y  0, y  1

d. x  y  0, y  1




10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
xy
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z   x. 1  y
xy

a. x  y  0, y  1

b. x  y  0, y  1
x  y  0 x  y  0

  
c. x  y  0, y  1
1  y  0 y  1

d. x  y  0, y  1

Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73)
Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay
vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa.



Chú ý:




11
v1.0
VÍ DỤ 5


Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z  ln(x  y)  x arcsin 1  y

a. x  y  0 , y  1

b. x  y  0 , y  1

c. x  y  0 ,  1  y  1

d. x  y  0 , 0  y  1




12
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z  ln(x  y)  x arcsin 1  y


a. x  y  0 , y  1


b. x  y  0 , y  1


c. x  y  0 ,  1  y  1



d. x  y  0 , 0  y  1




13
v1.0
VÍ DỤ 6

  1 2n  3  
  khi n   là:
Giới hạn của dãy điểm Mn  ,
2 n 
n

a. (0; 0 )

b. (0 ;  2 )

c. (0 ; 2 )

d. (1 ;1 )




14
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

 lim x n  x 0
Hướng dẫn: Mn (x n ; y n )  M(x 0 ; y 0 )  n
n
 
nlim yn  y 0
 

Nếu một trong 2 giới hạn lim x n , lim y n không tồn tại thì
n n

cũng không tồn tại lim Mn
n




15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
  1 2n  3  
  khi n   là:
Giới hạn của dãy điểm Mn  ,
2 n 
 n


a. (0; 0 )



b. (0 ;  2 )

2n  3  1 2n  3 
1

c. (0 ; 2 )  0; lim  2  lim Mn  ;   (0;2)
lim
n n2 2
n n n
n
n


d. (1 ;1 )

Nhận xét: Việc tính giới hạn của một dãy điểm n biến, thực chất là tính giới
hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm. Chỉ cần 1 trong các
giới hạn đó không tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó.




16
v1.0
VÍ DỤ 7
 
  2 3  2n2   khi n   là:
Giới hạn của dãy điểm Mn  ,
 n n n 
 
 

a. (0;0)

b. (0; 2)

c. (0;2)

d. Không tồn tại.




17
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

 
  2 3  2n2  
khi n   là:
Giới hạn của dãy điểm Mn  ,
 n n n 
 
 


a. (0;0)


b. (0; 2)


c. (0;2)

3  2n2
d. Không tồn tại.   
lim
n n n




18
v1.0
VÍ DỤ 8

x2  y2
Cho hàm số f(M)  f(x, y)  . Tìm giới
2 2
x y
2 1
hạn của dãy số  f(Mn ) khi n   , trong đó Mn  , 
n n

3
a.
5

b. 0


5
c.
3

d. Không tồn tại.


19
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

x2  y2
Cho hàm số f(M)  f(x, y)  . Tìm giới
2 2
x y
2 1
hạn của dãy số f(Mn ) khi n   , trong đó Mn  , 
n n
2 2
 2 1   2 / n   1 / n  3n2 3
3

a. f(M n )  f  ,    
5 2 2 2
 n n   2 / n   1 / n  5
5n
33
  lim f(M n )  lim 
b. 0
n 5 5
n

5

c.
3


d. Không tồn tại.


20
v1.0
VÍ DỤ 9

Cho hàm số z  x2y  2y3 . Khi đó, z y '(1,2) bằng:

a. 15

b. -20


c. 0

d. 25




21
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

Cho hàm số z  x2y  2y3 . Khi đó, z y '(1,2) bằng:

a. 15

b. -20


c. 0

d. 25




22
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)


Hướng dẫn: Xem định nghĩa đạo hàm riêng (mục 4.2.2.1)
Đạo hàm riêng:
Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm riêng theo một biến số khi tất cả các
biến còn lại nhận giá trị cố định. Do đó khi tính đạo hàm riêng theo biến nào
thì ta coi các biến còn lại như là hằng số, và tính đạo hàm theo biến đang xét.




23
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Cho hàm số z  x2y  2y3 . Khi đó, z y '(1,2) bằng:

a. 15


b. -20


c. 0
z  x 2 y  2y 3  z y  x 2  6y 2
/

d. 25
 z y (1,2)  (1)2  6.22  25
/


Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Khi tính đạo hàm riêng, do thói quen thường coi x là
biến, nên khi đạo hàm theo biến y cũng đồng thời tiến hành đạo hàm theo
biến x. Chẳng hạn với z  x 2 y , 2y 3
tính z y  (x 2 ) / y  (2y 3 ) /  2xy  6y 2
/



24
z y  (x 2 ) / y  x 2 y /  (2y 3 ) /  2xy  x 2  6y 2
hay /

v1.0
VÍ DỤ 10

Cho hàm số z  ex (cosy  xsiny) . Khi đó, z y '(1, ) bằng:

a. e 1


b.  e


c. e


d.  e 1




25
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

Cho hàm số z  ex (cosy  xsiny) . Khi đó, z y '(1, ) bằng:


a. e 1


 z y (x, y)  e x ( sin y  x cos y)
/
b.  e
 z y (1; )  e1 ( sin   1.cos )  e
/



c. e



d.  e 1




26
v1.0
VÍ DỤ 11
Cho z  x 2 y  y 2 x . Khi đó z x ' z y ' bằng:

a. x 2  y 2


b. 4xy


c. x 2  y 2  4xy


d. x 2  y 2




27
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

Cho z  x 2 y  y 2 x . Khi đó z x ' z y ' bằng:


a. x 2  y 2


b. 4xy



c. x 2  y 2  4xy

z x  2xy  y 2 , z y  x 2  2xy
/ /
d. x 2  y 2 
 zx  zy  x 2  y 2
/ /




28
v1.0
VÍ DỤ 12

Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:

a. y cos(xy)

b. x cos(xy)

c. y cos(xy)dx

d. x cos(xy)dx




29
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:


a. y cos(xy)
Chú ý:


b. x cos(xy)
Không được thiếu dx

 z x/  y cos(xy)  dz x  y cos(xy)dx
c. y cos(xy)dx



d. x cos(xy)dx


Hướng dẫn:
• Công thức vi phân riêng: dz x  z x .dx; dz y  z y .dy
/ /




• Vi phân toàn phần là tổng của tất cả các vi phân riêng:
dz  dz x  dz y  z x .dx  z y .dy
/ /
30
v1.0
VÍ DỤ 13

Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:

a.  sin2x  sin2y   dx  dy


b. sin2xdx  sin2ydy

c. sin2xdy  sin2ydx


d. sin2x  sin2y




31
v1.0
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)

Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:

a.  sin2x  sin2y   dx  dy 


b. sin2xdx  sin2ydy


c. sin2xdy  sin2ydx



d. sin2x  sin2y




32
v1.0
VÍ DỤ 14


Cho z  x y . Khi đó z
//
2
bằng:
xy



a. 2x


b. 2y

c. 2xy


d. 4




33
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

Hướng dẫn:
Đạo hàm riêng cấp cao:
Cho hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) có đạo hàm riêng theo các biến xi trong miền D.
Khi đó các đạo hàm riêng fx1’ cũng là các hàm số của n biến số. Đạo hàm riêng
theo biến xj của đạo hàm riêng cấp một fx1’ được gọi là đạo hàm riêng cấp hai
của hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) theo biến xi và xj. Được ký hiệu là:
 2u 2f
f  
u '' ''

x ix j x ix j
xi x j xi x j



Với hàm hai biến u  u(x, y) ta có 4 đạo hàm riêng cấp 2:
uxx  (ux ) x ; uxy  (ux ) y
// // // //



uyx  (uy ) x ; uyy  (uy ) y
// // // //




34
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

Cho z  x 2 y . Khi đó z bằng:
//
xy


z  x 2 y  z x  2xy
/

a. 2x
 z xy  (z x ) y  2x
// //




b. 2y


c. 2xy



d. 4

Nhận xét:
Tính đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến, ta tính đạo hàm riêng
lần lượt theo từng biến.




35
v1.0
VÍ DỤ 15

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm số
thoả mãn (hệ) phương trình nào?

a. z x '  0, z(x, y)  0


b. z y '  0, z(x, y)  0


c. z x '  z y '  0


d. z(x, y)  0




36
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm số
thoả mãn (hệ) phương trình nào?

a. z x '  0, z(x, y)  0


b. z y '  0, z(x, y)  0



c. z x '  z y '  0



d. z(x, y)  0


Hướng dẫn:
Với hàm số z = f(x,y), ta có các điểm dừng, có tọa độ là nghiệm của hệ
phương trình f’x = f’y = 0.


37
v1.0
VÍ DỤ 16

Điểm dừng của hàm số z ( x , y )  x 2  2 x y  2 y là:

(1, 1)
a.

b. (1,1)


(1,1)
c.

(1, 1)
d.




38
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)

Điểm dừng của hàm số z ( x , y )  x 2  2 x y  2 y là:

z x  2x  2y  0
/
 y  1

 
(1, 1)
a. /
z y  2x  2  0 x  1


b. (1,1)


(1,1)
c.



(1, 1)
d.




39
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP


Câu 1: Đối với hàm 2 biến có khái niệm giới hạn trái và giới hạn phải như hàm
1 biến không?
Trả lời: Không, vì với mỗi điểm trên trục số chỉ có 2 hướng tiến về nó (bên trái,
bên phải), còn đối với một điểm trên mặt phẳng thì có vô số hướng tiến về nó.

Câu 2: Cực đại và giá trị lớn nhất có giống nhau không?
Trả lời: Không, cực đại là giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó của một
điểm (mang tính địa phương), còn giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trên toàn
bộ miền đang xét (mang tính toàn thể).




40
v1.0
BÀI 5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN



Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn



1
v1.0
LÝ THUYẾT

1. Khái niệm phương trình vi phân (ptvp), cấp của phương trình, nghiệm của
phương trình.
2. Các khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích
phân riêng, bài toán Cauchy của ptvp cấp 1 và cấp 2.
3. Cách giải một số phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2.




2
v1.0
VÍ DỤ 1

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy '  2y ?

a. y  4x 2


b. y  x 3


c. y  x 2  4


d. y  Cx 4 , C  const




3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 5.1.1.3 (tr.96)




4
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình xy '  2y ?

y  4x2 y'  8x xy'  8x2  2y

a. y  4x 2

 y  x3 y'  3x2 xy'  3x3  2y
b. y  x 3


 y  x2  4 y'  2x xy'  2x2  2y
c. y  x 2  4

y  Cx4 y'  4Cx3 xy'  4Cx4  2y
d. y  Cx 4 , C  const 

Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng.




5
v1.0
VÍ DỤ 2

Hàm số y  xe  x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình
sau đây?

a. y' y  ex


b. y' y  ex


c. y' y  ex


d. y' y  ex




6
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

Hàm số y  xe  x là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình
sau đây?

a. y' y  ex


 y  xe  x  y '  e  x  xe  x
b. y' y  ex
 y ' y  e  x  xe  x  xe  x  e  x


c. y' y  ex  y ' y  e  xe  xe  e  2xe
x x x x x





d. y' y  ex


Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đó thỏa mãn phương trình nào.




7
v1.0
VÍ DỤ 3

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y  0 ?

a. y  sin2 x


b. y  sin x cos x


c. y  sin x  2 cos x


d. y  e  x




8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệm của phương trình y '' y  0 ?


a. y  sin2 x

b. y  sin x cos x 

c. y  sin x  2 cos x 

d. y  e  x 




9
v1.0
VÍ DỤ 4

Phương trình x 2 dx  sin y.dy là phương trình loại nào?

a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.




10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem dạng của các Phương trình vi phân cấp 1




11
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

Phương trình x 2 dx  sin y.dy là phương trình loại nào?


a. Phương trình phân li biến số.


b. Phương trình thuần nhất.


c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.


d. Phương trình vi phân toàn phần.


Chú ý: Thông thường ta phải biến đổi một vài bước, mới ra được dạng của
Phương trình vi phân.




12
v1.0
VÍ DỤ 5

Phương trình xydx  (1  x )(1  y )dy  0 là phương trình loại nào?
2 2




a. Phương trình phân li biến số.

b. Phương trình thuần nhất.

c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần.




13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)


Phương trình xydx  (1  x 2 )(1  y 2 )dy  0 là phương trình loại nào?


xydx  (1  x2 )(1  y2 )dy  0

a. Phương trình phân li biến số.
(1  y2 )
x
  dx   dy
b. Phương trình thuần nhất.
1 x y
2




c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

d. Phương trình vi phân toàn phần. 




14
v1.0
VÍ DỤ 6

Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình y ' y  tg y trở thành
x x
phương trình nào đối với hàm số u(x) ?

a. xu '  tgu

b. xu '  cotgu


 x  2ux  u '  tgu
c.


d.  x  2ux  u '  cotgu




15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Hướng dẫn:
dy du
• Xác định dạng của phương trình. Lưu ý: y '  u' 
,
dx dx
• Xem cách giải của dạng phương trình đó.




16
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình y ' y  tg y trở thành
x x
phương trình nào đối với hàm số u(x) ?

 Đặt y(x) = xu(x) → y’ = u +xu’
a. xu '  tgu
Phương trình trở thành:
 u + xu’ – u = tgu ↔ xu’ = tgu
b. xu '  cotgu


 x  2ux  u '  tgu 
c.


d.  x  2ux  u '  cotgu 

Chú ý: Nhiều khi phải biến đổi một số bước, mới đưa được về phương trình
vi phân thuần nhất.



17
v1.0
VÍ DỤ 7
y
Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình xy ' y  x tg
x
trở thành phương trình nào đối với hàm số u(x) ?
a. xu '  tgu

b. xu '  cotgu


c.  x  2ux  u'  tgu


d.  x  2ux  u '  cotgu




18
v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
y
Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình xy ' y  x tg
x
trở thành phương trình nào đối với hàm số u(x) ?

a. xu '  tgu


b. xu '  cotgu


c.  x  2ux  u'  tgu


d.  x  2ux  u '  cotgu 
y y y
Hướng dẫn: Lưu ý xy ' y  x tg  y '  tg
x x x




19
v1.0
VÍ DỤ 8

Tìm tất cả các nghiệm có dạng y  Ax 2  Bx  C (A  0)
của phương trình (x 2  1)y '' 2y  0

a. y  A(x 2  1), A  0


b. y  A(x 2  1), A  0


c. y  A(x 2  x  1), A  0


d. y  A(x 2  x  1), A  0




20
v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

Hướng dẫn:
Xem lại hướng dẫn của ví dụ 1.
Lần lượt tính y’, y” rồi thay vào phương trình. Ta được một hệ của A, B, C.

a. y  A(x 2  1), A  0



b. y  A(x 2  1), A  0


c. y  A(x 2  x  1), A  0


d. y  A(x 2  x  1), A  0


Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Tính y’, y” sai hoặc rút gọn phương trình để đồng nhất
hệ số không đúng.
Việc giải hệ phương trình nên sử dụng máy tính để tránh sai sót. 21
v1.0
VÍ DỤ 9
Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 6y ' 8y  0 là:

a. y   C1  C2e2x  e4x


b. y  e2x  C1 cos 4x  C2 sin4x 


c. y  C1e4x  C2e2x


d. y  e4x  C1 cos2x  C2 sin2x 




22
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

Hướng dẫn: Xem mục 5.3.3.1




23
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 6y ' 8y  0 là:

a. y   C1  C2e2x  e4x 

b. y  e2x  C1 cos 4x  C2 sin4x  


c. y  C1e4x  C2e2x


d. y  e4x  C1 cos2x  C2 sin2x  




Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Sai công thức nghiệm.

24
v1.0
VÍ DỤ 10


Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 2y '  0 là:

a. y  C1  C2e2x


b. y  C1ex 2  C2ex 2


c. y   C1  C2x e2x


d. y  C1 cos2x  C2 sin2x




25
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)


Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 2y '  0 là:


a. y  C1  C2e2x


b. y  C1ex 2  C2ex 2


c. y   C1  C2x e2x



d. y  C1 cos2x  C2 sin2x




26
v1.0
VÍ DỤ 11

Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 4y ' 4y  0 là:

a. y  C1e2x  C2


b. y  e2x (C1 cos2x  C2 sin2x)


c. y  (C1  C2x)e2x


d. y  (C1x  C2x2 )e2x




27
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 4y ' 4y  0 là:


a. y  C1e2x  C2



b. y  e2x (C1 cos2x  C2 sin2x)



c. y  (C1  C2x)e2x



d. y  (C1x  C2x2 )e2x




28
v1.0
CÂU HỎI THƯỜNG GẶP

Câu 1: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 phụ thuộc vào mấy
hằng số?
Trả lời: Phụ thuộc vào 2 hằng số.


Câu 2: Phương trình (3x 2  e y )dx  xe y dy  0 có là phương trình vi phân
toàn phần không?

Trả lời: Có, vì (3x 2  e y ) y  (xe y ) x  e y
/ /




29
v1.0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản