Hạng của ma trận

Chia sẻ: vudinhthang

Bài giảng tham khảo về toán hạng của ma trận và nghiệm đầy đủ của Ax=0, Ax=b

Nội dung Text: Hạng của ma trận

BÀI GI NG TU N 5
H NG C A MA TR N VÀ NGHI M Y C A Ax = 0 , Ax = b
PH M XUÂN NG
M U:
H phương trình Ax = b có th thu g n v m t h phương trình tuy n tính tương ương mà có s
phương trình ít hơn. Ch ng h n:
 x1 − 2 x2 + x3 = 1  1 −2 1 1  1 −2 1 1 
     x1 − 2 x2 + x3 = 1
− x1 + x2 + 2 x3 = −5 ⇔ − 1 1 2 − 5 ⇔ 0 − 1 3 − 4 ⇔ 

2 x − 5 x + 5 x = −2  2 − 5 5 − 2 0 0 0 0  − x2 + 3 x3 = −4
 1 2 3    
Ta th y nh ng hàng toàn 0 trong h phương trình có th b i.
Câu h i t ra là: Kích thư c m × n c a ma tr n A có ph i là kích thư c g n nh t c a h
phương trình Ax = b không? Làm th nào bi t ư c kích thư c th c h phương trình?
5.1 H NG C A MA TR N
I. nh nghĩa: H ng c a ma tr n A là s các tr . Ký hi u là r(A) (rank).
Chú ý: (1) N u A c p m × n thì r(A) ≤ m, r(A) ≤ n hay r(A) ≤ min{m, n}.
(2) Cho A c p n × n , thì |A| ≠ 0 ⇔ r(A) = n (vì A có n tr ).
(3) tìm h ng c a A thì ưa ma tr n A v ma tr n b c thang U và tìm s tr .
1 1 2 3 − 1 2 0 
Ví d 1: Tìm h ng c a (a) A = 2 2 8 10 (b) B =  1 3 m  tùy theo m
   
3 3 10
 13
  2 6 4
 
1 1 2 3 1 1 2 3
Gi i: (a) A → 0 0 4 4
  → U = 0 0 4
 4 , nên r(A) = 2.

0 0 4 4
  0 0 0
 0

(b) S: m = 2 : r ( B ) = 2, m ≠ 2 : r ( B) = 3
1 − 2 4 
Ví d 2: Tìm h ng c a A =   . Nh n xét các c t c a A và bi u di n A qua tích 2 véc tơ.
4 − 8 16
1 − 2 4
Gi i : A →   ⇒ r ( A) = 1 .
0 0 0 
Nh n xét: các hàng, các c t t l nhau. Bi u di n A theo tích c a 1 c t v i 1 véc tơ là h s t l v i c t ó.
1 − 2 4   − 2   1 
Ch n c t 2 và véc tơ h s t l c t 2 là (−1/2, 1, −2). Khi ó : A =   =  − 8   − 2 1 − 2
4 − 8 16    
T
Chú ý: (4) N u r(A) = 1 thì A= u.v
II. nh nghĩa :
+ A g i là có h ng hàng y n u m i hàng c a nó u có tr , t c là r =m.
+ A g i là có h ng c t y n u m i c t c a nó u có tr , t c là r = n.
+ C t ch a tr g i là c t tr và bi n c a c t ó g i là bi n tr .
+ C t không có tr g i là c t t do và bi n c a c t này là bi n t do.
+ Hàng ch a tr g i là hàng tr .
Ví d 3: Xác nh ma tr n nào sau ây có h ng c t y, h ng hàng y và tìm bi n tr , bi n t do c a nó
1 2 0 1 − 2
2 3 − 1 0 1 − 2 0
A=  , B = 0 − 1 3 ,
  C = 0 3  ,
  D= 
0 1 6  0 0 2 0 0  0 0 3 1 
   
1
Chú ý: (5) N u A có h ng c t y thì Ax = 0 có nghi m duy nh t x = 0.
N u A có h ng hàng y và m < n thì Ax = 0 có vô s nghi m.
5.2 NGHI M C BI T , NGHI M Y C A Ax = 0.
 x1 + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0

Ví d 4: Gi i h 2 x1 + 2 x 2 + 8 x3 + 10 x 4 = 0
3 x + 3 x + 10 x + 13 x = 0
 1 2 3 4

1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0
 2 2 8 10 0 → 0 0 4 4 0 → 0 0
Gi i : [ A | 0] =  4 4 0
    
 3 3 10 13 0
  0 0 4 4 0
  0 0
 0 0 0

 x + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0
nên h tương ương v i h  1 . Bi n tr là x1 và x3, bi n t do là x2 và x4.
 4 x3 + 4 x 4 = 0
− x 2 − x 4  − 1 − 1
 x  1  
 x = − x2 − x4  = x2   + x4  0 
Ta có nghi m  1 ⇒ Không gian nghi n c a A là x n =  2

 x3 = − x 4  − x4  0 − 1
     
 x4  0 1
hay x n = c1 s1 + c 2 s 2 v i s1 = (−1,1,0,0), s 2 = (−1,0,−1,1)

Chú ý : (6) Ta th y nghi m xn ư c tính qua các bi n t do, nên các nghi m s1, s2 ư c tìm nhanh
hơn b ng cách cho t ng bi n t do b ng 1 và các bi n t do còn l i b ng 0. Các nghi m ó g i là
nghi m c bi t c a Ax = 0
Cho x2 = 1, x4 = 0 ⇒ x3 =0 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s1 = (−1,1,0,0)
Cho x4 = 1, x2 = 0 ⇒ x3 = −1 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s 2 = (−1,0,−1,1)
nên nghi m y : xn = c1 s1 + c2 s 2

I. nh nghĩa : N u s1,..., sn-r là t t c các nghi m c bi t c a Ax = 0, thì xn= c1s1+⋅⋅⋅+cn-rsn-r
(c1, ..., cn-r ∈ R) g i là nghi m y c a Ax = 0 (cũng là không gian nghi m c a A).

Chú ý: (7) H ng c a A là r thì có (n−r) bi n t do ⇒ (n−r) nghi m c bi t.
II. Cách tìm nghi m c bi t, nghi m y c a Ax = 0 . (Am×n)
×

+ Bi n i [A|0] → [U|0] và xác nh r bi n tr và (n−r) bi n t do.
+ Cho t ng bi n t do b ng 1, các bi n t do còn l i b ng 0 ⇒ các bi n tr ⇒ (n−r) nghi m c bi t s1,
s2, …sn−r.
+ Nghi m y là xn = c1s1 +…+cn-r sn-r.

 1 −2 3 
Ví d 5: Gi i h Ax = 0 v i A = − 2 4 − 6
 
 3 −6 9 
 
 1 − 2 3 0 1 − 2 3 0
Gi i: [ A | 0] = − 2 4 − 6 0 → 0 0 0 0
   
 3 − 6 9 0
  0 0 0 0
 
Cho x 2 = 1, x3 = 0 ⇒ x1 = 2 ⇒ s1 = ( 2,1,0) , x3 = 1, x 2 = 0 ⇒ x1 = −3 ⇒ s1 = ( −3,0,1)
 2 − 3
V y nghi m y là xn = c1 1  + c  0  . Hay N ( A) = {x | x = c ( 2,1,0) + c ( −3,0,1)}.
  2  n n 1 2
0 
  1
 

2
5.3 NGHI M RIÊNG VÀ NGHI M Y C A Ax = b
I. nh lý : N u x1 là nghi m c a Ax = b và x2 là nghi m c a Ax = 0 thì x = x1 + cx2 cũng là
nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R.

Ch ng minh : Ta có : Ax1 = b, Ax2 = 0 ⇒ Ax = A( x1 + cx2 ) = Ax1 + cAx2 = b + 0 = b hay x = x1 + cx2
cũng là nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R.

II. nh nghĩa :
Nghi m riêng c a Ax = b là m t nghi m nào ó c a phương trình. Ký hi u là xp
Nghi m y c a Ax = b là nghi m x = xp + xn , v i xp là nghi m riêng c a Ax =b và xn
là nghi m y c a Ax = 0
III. Cách tìm nghi m y c a Ax = b
+ Dùng phép kh ưa [A| b] v d ng b c thang [U| c].
+ Tìm nghi m các nghi m c bi t c a Ax = 0 (xác nh t [U|0] )
+ Tìm 1 nghi m riêng xp c a Ax = b (Cho các bi n t do b ng 0 ⇒ tìm xp trong [U|c])
+ Nghi m y c a Ax = b là x = xp + xn

 x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 1
2 x + 4 x + 6 x = 2
 1 2 3
Ví d 6 : Gi i h phương trình: 
2 x1 + 5 x 2 + 7 x3 = 4
3 x1 + 9 x 2 + 12 x3 = 9

1 2 31 1 2 3 1 1 2 3 1
2 4 6 2 0 0 0 0  0 1 1 2
Gi i :  ⇔  ⇔ 
2 5 7 4 0 1 1 2 0 0 0 0
     
3 9 12 9  0 3 3 6 0 0 0 0

x + 2 x2 + 3 = 0
* Cho x3 = 1 trong Ax = 0 ⇔  1 ⇔ x 2 = −1, x1 = −1
x2 + 1 = 0
− 3 − 1
 x1 + 2 x 2 = 1
* Cho x3 = 0 trong Ax = b ⇔  ⇔ x 2 = 2, x1 = −3 . V y nghi m x =  2  + c − 1
   
 x2 = 2
0 1
   
Ví d 7: Tìm i u ki n i v i véc tơ b = (b1, b2, b3) h Ax = b có nghi m? T ó suy ra m t t h p
nào c a các hàng ma tr n A thì b ng hàng không?
1 1 1 
A = 1 2 4 
 
2 5 11
 
1 1 1 b1  1 1 1 b1  1 1 1 b1 
Gi i : [ A | b] = 1 2 4 b   → 0 1 3 b − b   →0 1 3 b2 − b1 
 2  2 1   
2 5 11 b3 
  0 3 9 b3 − 2b1 
  0 0 0 b3 − 3b2 + b1 
 
i u ki n phương trình có nghi m là : b1 − 3b2 + b3 = 0 (1)
T (1) ta có quan h các thành ph n c a b, cũng chính là quan h các véc tơ hàng ma tr n A. Do ó suy
ra : 1× (hàng 1) − 3 × (hàng 2) + 1 × (hàng 3) = hàng không ⇒ yTA = 0T
ây cũng là m t cách tìm không gian nghi m trái N(AT)= {y = c( 1, −3, 1)}, ch 1 l n bi n i ma
tr n A mà không ph i bi n i AT như trong tu n 4 ã gi i.
3
a11 a12 ... a1n c1 
 
U c   0 a 22 ... a 2 n c 2 
Chú ý : (8) Bi n i [ A b ] ⇒  = mà d ≠ 0 thì h vô nghi m
O d   ... ... ... ... ... 
 
0 0 0 0 d
(9) B n kh năng h phương trình tuy n tính ph thu c vào h ng r.
1 r = m = n (h ng hàng, c t y) A ⇒ [U ] vuông, kh ngh ch Ax = b có nghi m duy nh t
2 r = m < n (h ng hàng y) A ⇒ [U F ] ng n, r ng Ax = b có vô s nghi m
U 
3 r = n < m (h ng c t y) A ⇒  cao, h p Ax = b có 0 ho c 1 nghi m
O 
U F 
4 r < m, r < n A ⇒  Ax = b có 0 ho c vô s nghi m
O O 
Ví d 8 : T i sao không th có m t h 1 phương trình 3 n Ax = b v i nghi m riêng x p = (1,−2,0) và
nghi m thu n nh t x n = c (1,2,3) .
Gi i : H có 1 bi n tr và 2 bi n t do nên nghi m thu n nh t ph i có 2 nghi m c bi t.
Ví d 9 : T i sao x = (1, 2, −1, 4) không th là nghi m duy nh t c a phương trình Ax = (4, 0, 1)
Gi i : Kích thư c A là 3×4, nên có ít nh t 1 bi n t do. N u có nghi m thì vô s nghi m (trư ng h p 4)
7   2 
Ví d 10 : Tìm ma tr n A và véc tơ b n u bi t nghi m y c a Ax = b là x =   + c  
2 1 
Gi i :
* A có n = 2 c t vì véc tơ nghi m 2 chi u (s hàng m b t kỳ). G i A=[c1 c2].
* Do s = ( 2,1) là nghi m c bi t : As = 0 ⇔ 2.c1 + 1.c 2 = 0 ⇔ c 2 = −2c1 (c t 2 b ng (−2) l n c t 1)
* Do xp= (7, 2) là nghi m riêng nên Axp= b = 7.c1+2.c2 = 3c1
* Các c t không th là vectơ không vì ph i có 1 c t tr
 2 − 4 6
Ch ng h n : A = − 1 2  , b = − 3
   
 3 − 6
  9
 
Ví d 11 : Tìm nghi m y c a phương trình Ax = b n u bi t véc tơ b b ng hi u c a c t 1 và c t 2
1 0 − 1 3 
c a ma tr n A và ma tr n A ưa ư c v d ng b c thang U = 0 0 2 − 4
 
0 0 0
 0 

S : x = (1, −1, 0 , 0) + c1 (0 , 1 , 0 , 0) +c2 (−1, 0, 2, 1)
Ví d 12 : Xây d ng m t ma tr n A có không gian c t ch a (−2, 1, 5) , (0, 3, 1) và không gian nghi m
ch a (1, −1, 2).
Gi i : G i các c t c a A là : (c t 1) = (−2, 1, 5) , (c t 3) = (0, 3, 1) ∈ C(A) . Do không gian nghi m ch a
(1, −1, 2) nên 1×(c t 1) −1×(c t 2) + 2×(c t 3) = 0 nên (c t 2) = 1×(c t 1) + 2×(c t 3) = (− 2, 7, 7)
 − 2 − 2 0 − 2 0 1 
V y A= 1 7 3 (tương t A =  1 3 1  )
   

5 7 1  
 5 1 − 2 

CÁC Ý CHÍNH BÀI GI NG TU N 5
1. H ng c a ma tr n và cách tìm.
2. C u trúc nghi m c a h Ax = 0 và Ax = b.

4
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản