HỆ PHƯƠNG TRÌNH - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

Chia sẻ: quangcom

Hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học,nhằm giúp các em học sinh cũng như các thầy cô có một tài liệu hữu ích cho chuyên đề này, tôi đã biên soạn một hệ thống bài tập theo từng dạng toán không có lời giải mà chỉ có gợi ý và đáp số. Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích với các em và đồng nghiệp.

Nội dung Text: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình

H PHƯƠNG TRÌNH

A- H PHƯƠNG TRÌNH CƠ B N:
1. H i x ng lo i I: Là HPT mà trong t ng phương trình c a h khi ta thay i vai trò c a x và y cho
nhau thì phương trình không thay i

 f ( x, y ) = 0  f ( x , y ) = f ( x, y )
• Có d ng:  trong ó 
 g ( x, y ) = 0  g ( x, y ) = g ( y , x )
S = x + y  F ( S , P) = 0
• Cách gi i: t  (I ) Ta ư c h :  ( II )
 P = x, y G ( S , P) = 0
Gi i h (II) tìm ư c S và P → x, y là 2 nghi m c a phương trình t2 - St + P = 0
• Chú ý: 1) H (I) có nghi m ⇔ H (II) có nghi m tho mãn ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0
2) M t s bi u th c i x ng
2
a, x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = S 2 − 2 P d, x 5 + y 5 = ( x 2 + y 2 )( x 3 + y 3 ) − x 2 y 2 ( x + y ) = ( S 2 − 2 P )( S 3 − 3 P ) − S .P 2
3
b, x 3 + y 3 = ( x + y ) − 3 xy ( x + y ) = S 3 − 3PS 1 1 x+ y S
e, + = =
2 2 x y xy P
(
c, x 4 + y 4 = x 2 + y 2 ) (
− 2x2 y 2 = S 2 − 2P ) − 2P2
1 1 x2 + y 2 S 2 − 2P
f, 2
+ 2 = 2 2 =
x y x y P2

Bài 1. Gi i các h phương trình sau:
 x + y + xy = 3
a)  2 2
áp s : (1;1)
 x y + xy = 2
 x2 + y 2 + x + y = 8
b)  áp s : (1; 2 ) , ( 2;1)
 xy + x + y = 5
x + y = 4
c)  2 áp s : (1;3) , ( 3;1)
( 2 3
)(
 x + y x + y = 280
3
)
  1 
( x + y ) 1 +  = 5
  xy         
d)  áp s :  7 + 45 ; −1 ,  7 − 45 ; −1 ,  −1; 7 + 45  ,  −1; 7 − 45 
       
2  1 
 2  2 2
  2   2   
( x + y ) 1 + x 2 y 2  = 49
 

x + y − x + y = 2
2 2
e)  áp s : ( 0; −1) , ( −1; 0)
 xy + x − y = −1
 x + y =1

Bài 2. Tìm m h phương trình sau có nghi m duy nh t  (Kh i D-2004)
 x x + y y = 1 − 3m

1
. áp s : m =
4
 1 1
x + x + y + y = 5

Bài 3. Tìm m h phương trình sau có nghi m: 
 x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10

 x3 y3

GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 1
Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình
7
áp s : m ≥ 22 ho c ≤m≤2
4


2. H i x ng lo i II: Là h phương trình n u i v trí 2 n trong h thì phương trình này tr thành
phương trình kia.

 f ( x, y ) = 0 (1)
• Có d ng:  (I)
 f ( y, x) = 0 (2)
• Cách gi i:
+ Tr theo v c a 2 phương trình (1) và (2) ta ư c phương trình d ng tích: ( x − y ).h( x, y ) = 0
 x = y
 (II)
 f ( x, y ) = 0
+ T ó: ( I ) ⇔ 
  h ( x, y ) = 0
 (III)
  f ( x, y ) + f ( y , x ) = 0

+Gi i h (II) gi i b ng phương pháp th . H (III) là h i x ng lo i I.

• Chú ý: N u (x0, y0) là nghi m c a h thì (y0, x0) cũng là nghi m c a h .


Bài 4. Gi i các h phương trình sau:
 3
 x = 3x + 8 y
a)  3
 y = 3 y + 8x
áp s : ( 0;0 ) , ( )(
11; 11 , − 11; − 11 )

 y2 + 2
 3y =
 x2
b)  2
(Kh i B – 2003) áp s : (1;1)
3 x = x + 2

 y2
 y
x − 3y = 4 x

c)  áp s : ( −2; −2 )
 y − 3x = 3 x

 y


3. H ng c p: Là h phương trình mà m i phương trình c a h u có v trái ng c p
 f ( x, y ) = a
  n
 f ( tx, ty ) = t . f ( x, y )
• Có d ng:  trong ñoù 
 g ( x, y ) = b
n
  g ( tx, ty ) = t .g ( x, y )

• Cách gi i: 1. Tìm nghi m tho mãn x = 0 (hay y = 0)
2. V i x ≠ 0 (hay y ≠ 0 ), t y = tx (hay x = ty)

ax 2 + bxy + cy 2 = d

• Chú ý: iv ih  2 2
ta có th kh y2 (hay x2) , r i tính y theo x (hay x theo
a ' x + b ' xy + c ' y = d '

y), sau ó thay vào m t trong hai phương trình c a h .



GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 2
Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình
Bài 5. Gi i các h phương trình sau:
2 x 2 y + xy 2 = 15
 3 
a)  3 áp s : (1;3) ,  ; 2 
3
8 x + y = 35
 2 
 2 2
3 x − 5 xy − 4 y = −3  2 2  2 2
 2 ; 2  ,  − 2 ; − 2  , (1; −2 ) , ( −1; 2 )
b)  2 áp s : 
9 x + 11xy − 8 y = 6
2   
    
(x − y )2 y = 2
  7 1 
b)  3 áp s : ( 3; 2 ) ,  3 ; 3 
 x − y 3 = 19
  18 18 
( x − y ) ( x 2 − y 2 ) = 3

c)  áp s : (1; 2 ) , ( 2;1)
( x + y ) ( x + y ) = 15
2 2



B- H PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CÓ C U TRÚC C BI T
Trong các thi i h c nh ng năm g n ây , ta g p r t nhi u bài toán v h phương trình .
Nh m giúp các b n ôn thi t t , sau ây ta có m t s d ng bài và kĩ năng gi i chúng.

1. Phương pháp bi n i tương ương:
c i m chung c a d ng h này là s d ng các kĩ năng bi n i ng nh t c bi t là kĩ năng
phân tích nh m ưa m t PT trong h v d ng ơn gi n ( có th rút theo y ho c ngư c l i ) r i th vào PT
còn l i trong h .

Lo i I: Trong h có m t phương trình b c nh t v i n x ho c y khi ó ta tìm cách rút y theo x ho c ngư c
l i


 x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3x 2 − 4x + 1
 (1)
Bài 6. Gi i h phương trình  2
 xy + x + 1 = x
 ( 2)
x2 −1
G i ý: T PT (1) y +1 = th vào (1) ư c PT: ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − 4 x ) = 0
x
 5
áp s : (1; −1) ,  −2; − 
 2
 x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9

Bài 7. Gi i h phương trình  2 (Kh i B – 2008)
 x + 2 xy = 6 x + 6


Lo i II: M t phương trình trong h có th ưa v d ng tích c a các phương trình hai n


 1 1
x − x = y − y (1)
Bài 8. Gi i h phương trình  (Kh i A – 2003)
2 y = x3 + 1 ( 2)

 1 
G i ý: (1) ⇔ ( x − y ) 1 +  = 0
 xy 
 −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5 
áp s : (1;1) , 
 ; , ; 
 2 2  
  2 2  


GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 3
Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình
2 y 2 + xy - x 2 = 0
 (1)
Bài 9. Gi i h phương trình  2 2
 x - xy - y + 3x + 7y + 3 = 0 ( 2 )

G i ý: (1) ⇔ y 2 − x 2 + y 2 + xy = 0 ⇔ ( y + x )( 2 y − x ) = 0
 −13 + 157   −13 − 157 
áp s : ( −1;1) , ( −3;3) , 
 ; −13 + 157  , 
  ; −13 − 157 

 2   2 
3 x − y = x − y
 (1)
Bài 10. Gi i h phương trình  (Kh i B – 2002)
 x + y = x + y + 2 (2)

(
G i ý: (1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 )
3 1
áp s : (1;1) ,  ; 
2 2


Lo i III: ưa m t phương trình trong h v d ng phương trình b c hai c a m t n , n còn l i là tham s


 y 2 = ( 5x + 4 )( 4 − x )
 (1)
Bài 11. Gi i h phương trình  2 2
 y − 5x − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0 ( 2 )

G i ý: y − ( 4x + 8 ) y − 5x 2 + 16x + 16 = 0 ⇔ ( y − 5x − 4 )( y + x − 4 ) = 0
2



( 0; 4 ) , ( 4; 0 ) ,  −
4 
áp s : ;0
 5 
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2

Bài 12. Gi i h phương trình  (Kh i D – 2008)
 x 2 y − y x −1 = 2x − 2 y

G i ý: x 2 − ( y + 1) x − 2 y 2 − y = 0 ⇔ ( x + y )( x − 2 y − 1) = 0 ⇔ x − 2 y − 1 = 0 (do /k: x ≥ 1, y ≥ 0 )
áp s : ( 5; 2 )


Lo i IV: Bi n i h phương trình v d ng có th s d ng ư c nh lý Viet


 x ( 2 x + 3 y )( x − 1) = 14

Bài 13. Gi i h phương trình:  2 (I )
x + x + 3y = 9

 x ( x − 1) . ( 2 x + 3 y ) = 14
G i ý: (I ) ⇔ 

 x ( x − 1) + ( 2 x + 3 y ) = 9

 1 + 29 1 − 29   1 − 29 1 + 29 
áp s : ( −1;3) , ( 2;1) , 
 ; , ; 
 2 3   2
  3  

( 3 x + y )2 − 3 ( 9 x 2 − y 2 ) − 10 ( 3 x − y )2 = 0

Bài 14. Gi i h phương trình:  1 ( II )
3 x + y + =6
 3x − y




GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 4
Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình
 3 x + y  2 3x + y  3x + y 3x + y
  − 3. − 10 = 0  3 x − y = 5 ∨ 3 x − y = −1
 3x − y  
/k 3 x − y ≠ 0 . Khi ó ( II ) ⇔ 
3x − y
G i ý: ⇔
3 x + y + 1 = 6 3 x + y + 1 = 6
 
 3x − y
 3x − y
 1 2   3 + 11 9 + 3 11   3 − 11 9 − 3 11 
áp s : (1; 2 ) ,  ;  ,  ; ,
  12 ; 
 5 5   12
 4   4 


2. Phương pháp t n ph
i m quan tr ng nh t trong h d ng này là phát hi n n ph a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có ngay
trong t ng phương trình ho c xu t hi n sau m t phép bi n i h ng ng th c cơ b n ho c phép chia
cho m t bi u th c khác 0.

 xy + x + 1 = 7 y
Bài 15. Gi i h phương trình  2 2 2
(I ) (Kh i B – 2009)
 x y + xy + 1 = 13 y
 x 1  1 x
 x+ + =7  x +  + = 7
 y y  y y
` G i ý: ( I ) ⇔  ⇔ 2
 x 2 + x + 1 = 13  1 x
 y y2  x +  + = 13
  y y
 1
áp s :  1;  , ( 3;1)
 3
 x ( y + x + 1) − 3 = 0

Bài 16. Gi i h phương trình  2 5 ( II ) (Kh i D – 2009)
( x + y ) − 2 + 1 = 0
 x
 3
x + y − x +1 = 0

` G i ý: ( I ) ⇔ 
( x + y )2 − 5 + 1 = 0

 x2
 3
áp s : (1;1) ,  2; 
 2

 2 3 2 5
 x + y + x y + xy + xy = − 4

Bài 17.Gi i h phương trình  ( II ) (Kh i A – 2008)
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5

 4
 2 5
 x + y + xy ( x + y ) + xy = − 4
2

G i ý: ( II ) ⇔ 
( x 2 + y )2 + xy = − 5

 4
 5 25   3
áp s :  3 ; − 3
 4  ,  1; − 
 
 16  2




GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 5
Chuyên ôn thi i h c 2010 H phương trình
 x 2 + 1 + y ( y + x ) = 4y

Bài 18.Gi i h phương trình  2 ( III ) (D b kh i A - 2006)
( x + 1) ( y + x − 2 ) = y

 x2 +1
 y +y+x = 4

G i ý: ( III ) ⇔  2
 x + 1  ( y + x − 2 ) = 1
 y 
 
áp s : (1; 2 ) , ( −2;5 )
 3
4xy + 4 ( x + y ) +
2 2
2
=7

Bài 19.Gi i h phương trình 
( x + y)
( IV )
2x + 1 = 3

 x+y
 2 2 3
3 ( x + y ) + ( x − y ) + 2
=7
 ( x + y) 1
G i ý : ( IV ) ⇔  t a = x+y+
x+y
( a ≥ 2) ; b = x − y
x + y + 1 + x − y = 3

 x+y
áp s : (1;0 )
 x + y − xy = 3

Bài 20.Gi i h phương trình  (I ) (Kh i A – 2006)
 x +1 + y +1 = 4

 x + y − xy = 3
 (1) theo (1)
G i ý: ( I ) ⇔  . t t = xy ≥ 0 → x + y = 3 + t th vào (2)
 x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 (2)

áp s : ( 3;3)




GV: Hoàng Ng c Quang --- Trung tâm GDTX H Tùng M u L c Yên – Yên Bái --- 6
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản