HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chia sẻ: kidlucky

Tham khảo tài liệu 'hệ phương trình vi phân cấp 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
ĐỊNH NGHĨA
F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0

Hệ tổng ….
quát Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0

x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)

Hệ chính ….
tắ c xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn)

t : biến
x1, x2 , …, xn : ẩn hàm
BÀI TOÁN CAUCHY
Tìm nghiệm hệ
x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)
………………………
xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn)

Thỏa điều kiện x1(t0) = α1
…………..
xn(t0) = αn

Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ
nghiệm có n hằng số tự do.
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.
B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)
hàm

Vd:
yx' = x'(t = 2y + et
= ) (1)
= (2)
=y' = y'(t = −x + 3y − et
)

�� −x'+ 3y'− et � = −2y − et + 3y'− et
�y=
ye
x �y (3)
�� ��
� ' = 2y + et
x � ' = 2y + et
x
(3) � y"− 3y'+ 2y = −2et Tt cấp 2 hệ số hằng

t 2t t
� y = C 1e + C 2 e + 2te
t
(2) � x = − y'+ 3y − e
t 2t t t 2t t t
       = − C 1e − 2C 2e − 2(t+ 1)e + 3(C 1e + C 2e + 2t ) − e
        e
t 2t t
� x = 2C 1e + C 2 e + (4t− 3)e

Vậy nghiệm hệ đã cho là:

yx = 2C 1et + C 2 e2 t + (4t− 3)et
=
= t 2t
=y = C 1e + C 2 e + 2t et
HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG

X’(t) = AX(t) + F(t)

xx )
� 1 (t �
� 1 (t �
x )
� (t � ��t �
x2 ( )
x2 ) (Hệ ẩn X �) = �
(t �
X (t = �
) �
�M �
�M � hàm )
� (t � ��t �
�n ) �
x �n ( ) �
x

�1 (t �
f )
A = ( ai ) :   a r � � cap 
m t an vuong  �n
� (t �
f )
j
F(t = �2 �
)
�M �
� (t � Cho trước
�n ) �
f
yx' = x'(t = 2y + et
= )
Vd: 1 / =
=y' = y'(t = − x + 3y − et
)

�(t �
x ) �0 1� �t�
e
X (t = � � A = �
) F(t = � �
)
�y(t �
) �−1 3 �
� �− t�
e
� �

� 1 2�
1 � + sin t�
t �(t �
x )
) � 4 1 � (t + � t �
2 / X (t = 2 X ) � 2 � , X (t = �(t �
) y )
� � � �
� 3 −2 �
0 � t − ln t� �(t �
� � �e � � )�
z

=x' = x + y + 2z + t+ sin t
= 2
� � ' = 2x + 4y + z + t
y

=z' = 3y − 2z + et − ln t
PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT
-1
X’ = AX + F(t)

X’ = AX + F(t) ⇔ X’ chéo hóa được( ⇔ ∃ P:=P AP = + P-
A = PDP-1X + F(t)⇔ P-1X’ DP-1X D
(chéo) ) 1F(t)
Đặt Y = P-1X: ⇔ Y’ = DY + G(t)

y λ
�1 ' � �1 0 K 0 �y1 � �1 (t � � g ) =y1 '(t = λ1y1 (t + g1 ( t
) ) )
� ' � � λ K 0 �y � � (t � � =y '(t = λ y (t + g (t
y2 0 2 2 � �2 ) �
g = 2 ) 2 2 ) 2 )
� � � = �� + = =
� � �
..... ..................... �.... � �
� ... � =..................................
� � � � ��
� � =yn '(t = λnyn (t + gn (t
) ) )
yn '� � 0 K λn �yn � �n (t �
� 0 � g ) =
giải

X = PY Hệ n ptvp tuyến tính cấp
1
xx1 = 2x2 + et
= x � 0 2� �t�
e
(1)   
 = A =� � (t = � t�
,F )
x= = −x1 + 3x2 − et −
�1 3 � �e �

= 2 � �

� 1�
2 � 0�
1 −1 y x
� 1 � −1 � 1 �
P=� � =�
,D ,
� Y =P X �� � P � �
=
� 1�
1 � 2�
0 y
�2 � x
�2 �

−1 � −1 �
1 −1 1 � t � � et �
� −1� e 2
P =� ,
� P F(t = �
) =
� t� � t�
� ��

�1 2 � � 1 2 �−e � � 3e �
− �
� − �

(1) � Y −= D Y + P −1F(t)

�1 = y1 + 2et
�y� �1 = 2t t + C 1et
�y e
�� ��
t t 2t
�� 2y2 − 3e
y2 = � 2 = 3e + C 2 e
y
�1 = y1 + 2et
�y� �1 = 2t t + C 1et
�y e
�� ��
y� 2y2 − 3et � 2 = 3et + C 2 e2 t
�2 = y

�2 �t t + C 1et �
1�2 e
X = PY = � �
� t �
1
� 1�3e + C 2e2 t �

� �
�C 1et + C 2 e2 t + 4t t + 3et �
2 e
=� �
� et + C e2 t + 2t t + 3et �
C e
�1 2 �
Vậy nghiệm (1) là:

xx1 (t = 2C 1et + C 2 e2 t + 4t t + 3et
= ) e
=
=x2 (t = C 1et + C 2 e2 t + 2t t + 3et
) e
Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D
Bước 1: tìm nghiệm pt: det(A – λI ) = 0 (*)
Bước 2: với mỗi λ, tìm nghiệm hệ (A – λI )P = 0, P≠ 0
• Ma trận P có các cột là các nghiệm cơ bản của các
hệ pt trên.
• Ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường
chéo là các λ (số lần xuất hiện của mỗi λ là số bội
của λ trong pt (*)).
•Vị trí của λ trên đường chéo tương ứng với vị trí của
nghiệm cơ bản trong P.
PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT
X’(t) = AX(t) ⇔ Y’ = DY ∃ P: P-1AP = D (chéo)

y λ
�1 ' � �1 0 K 0 �y1 � � =y1 '(t = λ1y1 (t
) )
� ' � � λ K 0 �y �
y2 0 2 � =y '(t = λ y (t
� � � �� 2� = 2 ) 2 2 )
= = =
� � �
..... ..................... �.... �
� =........................
� � � � �
� =yn '(t = λnyn (t
�yn '� � 0 K λn �yn �
0 � = ) )
λy1 ( t) = c1eλ1t n
= � X = PY = � keλktPk
c
λ2 t
=y2 ( t) = c2 e k=1
= = k
=....................
= λ
λn t {X = ekàtPộ,tk = 1,.., n} 
=yn ( t) = cne k P k ck thứ k của   P
l   � em   ltcua  � � �
aP nghi ��   � t
he  t he huan 
nhat
Ñ ònh Lyù: eä X ’  A X (t), a traän A  có  
 H  =  m n giaù 
trò ri c λ1,
eâng thöï    λ2    λn  
… (khoâng baét buoäc 
phaân  eät), töông 
bi   öùng  vectô  eâng  , P , … 
n  ri P  
,  P  ñoäc  laäp  tuyeán  tính  ⇒  Nghieäm  toång 
n
X ( t) = [ x1 ( t) , x2 ( t) , K , xn ( t) ] = = ckeλktPk
T
quaùt thuaàn nhaát:
k=1
Vd: =x1 = x1 + x2 + 2x3
x � 1 2�
1

x� x1 + x2 + 2x3 � X = � 1 2 �
�+ =
2 1 X
� �
�� 2x + 2x + 4x
x3 = 1 � 4 4�
2
� 2 3 � �
A
1− λ 1 2
2 =λ1 = 0
A − λI = 1 1− λ 2 = λ (6 − λ ) = 0 = =
2 4 4−λ =λ2 = 6
1
� 1 2 �p1 �

( A − λ1I)P = 0 ��
1 1 2 �p2 � 0
� =
� � �

�2 �p �

4 4� 3 �
� �
� 1� �2 �
chọn P1 = � 1� 2 = �0 �
− ,P
� � � �
�0 � � 1�

� � � �

�5 1 2 �p1 �

( A − λ2 I)P = 0 � � 1 −5 2 �p2 � 0
� =
� � �

�2 2 −2 �p �

� � 3�

1
�� � 1� �2 �
chọn P3 = ��
1 P1 = � 1� 2 = �0 �
− ,P
�� � � � �
��
2 �0 � � 1�

�� � � � �
λ1t λ1t λ2 t 6t
X 1 = e P1 = P1, X 2 = e P2 = P2 , X 3 = e P3 = e P2


�1 � C
x � 1 + C 2 + C 3e6 t �
3
� �
� X = � kX k
C � � 2 � � −C 1 + C 3e
x = 6t

� �
k=1 � ��
x3 � �−C 2 + 2C 3e6 t � �
� � �
Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất
X0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần
nhất
X = X0 + Xr X’(t) = AX(t) (1)
Xr : nghiệm riêng hệ pt không thuần
nhất
Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
X0 = C1X1 + C2X2 + …+ CnXn
{ Xk , k = 1, ..,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)

PP biến thiên hằng số tìm Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn
r



X Ci tìm từ hệ pt: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn =
F(t)
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản