Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

Chia sẻ: dreamteller

________________________________________________ 1. Hệ sinh: 1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều....

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ
________________________________________________
1. Hệ sinh:
1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ
hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được
gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập
con thực sự cũng là hệ sinh.
Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay
không gian hữu hạn chiều.
Do đó, nếu cho S = {u1 , u2 ,..., un } V , S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:
∀u � , ∃(α1 , α 2 ,..., α n ) �ᄀ n : u = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun .
V

Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu V = S = {u1 , u2 ,..., un } .
1.2 Ví dụ:
1. Nếu S = { } thì E ( S ) = { } .
2. Đối với không gian vectơ ᄀ n , hệ vectơ gồm các vectơ
e1 = (1, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) là một cơ sở của không gian vectơ ᄀ n .
3. Tập các đơn thức {t n | n 0} là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t].
4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là
hệ sinh của V.
1.3 Nhận xét:
Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn
v1 , v2 ,.., vn là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp 1:
Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số α1 , α 2 ,..., α n thuộc trường K sao
cho
v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn .
Trong không gian vector K m với n m điều này tương đương với hệ phương trình:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2
luôn có nghiệm với v = (b1 , b2 ,..., bm ) K m trong đó
...
am1 x1 + a2 x2 + ... + amn xn = bm
vi = (a1i , a2i ,..., ami ), ∀i = 1,.., n .
Phương pháp 2:
Nếu biết trước 1 hệ sinh u1 , u2 ,..., um của V thì cần chứng tỏ mỗi vector ui biểu diễn
được qua các vector v1 , v2 ,..., vm với i = 1, …, m.
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector u = (1, 2,3); v = (0, 2,1); w = (0, 0, 4); z = (2; 4;5) là hệ
sinh của không gian vector ᄀ 3 .
Giải:
1.x1 + 0.x2 + 0 x3 + 2 x4 = b1
Xét hệ phương trình 2.x1 + 2.x2 + 0 x3 + 4 x4 = b2
3.x1 + 1.x2 + 4.x3 + 5 x4 = b3
Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở
rộng và nghiệm của hệ phương trình là:
x1 = b1
b2
x2 = − b1
2
x3 = (b3 − 3b1 ) / 4
x4 = 0
1.4 Định lý: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa
tập S.
1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính.
2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ:
2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ S V là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của
V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc
lập tuyến tính.
Nếu tập được sắp thứ tự S = {ui | i I } là cơ sở của V và u V thì bộ các số (α i )i I
được gọi là tọa độ của u theo S nếu u = α i ui . iI

Ví dụ:
Trong ᄀ 4 xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây:
u1 = (1, 0, 0, 0); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (0,0, 0,1) khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ᄀ 4


được biểu thị tuyến tính qua các vector u1 , u2 , u3 , u4 như sau:
u = u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 . Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3,
4).
Mặt khác, trong ᄀ 4 xét cơ sở gồm các vector sau:
v1 = (1, 0, 0,1); v2 = (0,1, 0, 0); v3 = (0, 0,1, 0); v4 = (1,1, 0, 0)
thì khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ᄀ 4 được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như
sau:
u = −2v1 − v2 + 3v3 + 3v4 . Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3).
2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là
như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.
2.3 Ví dụ:
- Các vectơ e1 = (1, 0, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) lập thành một cơ sở của
không gian vectơ ᄀ n . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của ᄀ n , vậy
dim ᄀ n = n . Một vectơ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) có tọa độ với hệ {e1 , e2 ,..., en } là ( x1 , x2 ,..., xn ) . Tuy
nhiên, tọa độ của x theo hệ {e2 , e1 ,..., en } lại là ( x2 , x1 ,..., xn )
� 0�
1 � 1�
0 � 0�
0 � 0�
0
- Các ma trận I1 = � �I 2 = � �I 3 = � �I 4 = �
; ; ; �lập thành một cơ sở
� 0�
0 � 0�
0 � 0�
1 � 1�
0
� b�
a
của không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận A = � � ẽ có tọa độ đối với hệ cơ
s
� d�
c
sở này là (a, b, c, d).
- Trong không gian vectơ các ma trận M ( m n; ᄀ ) , ta có thể lập một hệ cơ sở bao
gồm các ma trận Eij trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với
1 i m;1 j n bằng 1 còn các phần tử còn lại của ma trận Eij này đều bằng 0. Khi đó,
dim M (m n; K ) = mn .
- ᄀ n ( x) là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toán
thông thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ 1, x, x 2 ,..., x n là một cơ sở của không
gian vectơ này. Do đó, dim ᄀ n ( x) = n + 1 .
2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện
sau tương đương:
i) S là cơ sở của V;
ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S;
iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các đi ều
kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử;
v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;
vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần
tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.
2.5 Nhận xét:
Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng minh một hệ
vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là
độc lập tuyến tính.
2.6 Hệ quả 1:
i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.
ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ đ ể trở thành cơ
sở.
2.7 Hệ quả 2:
i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn.
ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.
2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ { xi } i I trong không gian vectơ V. Số
phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { xi } i I là một hằng số (không
phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ {xi } ). Hằng số này
được gọi là hạng của hệ vectơ { xi } i I . Ta ký hiệu hạng của hệ { xi } i I là rank ( xi )i I .
2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ xi khi đó
ta có
rank ( A) = rank ( xi )i I .
Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận
gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó.
Ví dụ:
Xét hệ vector u1 = (1, 0, 0,1); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (1,1, 0, 0) . Khi đó,
rank (ui )i =1,4 = rankA = 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector ui trong
cơ sở chính tắc của ᄀ 4 .
1 0 0 1� 1 0 0 1� 1 0 0 1�
� � �
� 0� � 0 0� � 0 0�
0 1 0 0 1 0 1
A=� � � � � �
d 4 − d1 d4 −d2
d4 d4

� 0� � 1 0� � 1 0�
0 0 1 0 0 0 0
� � � � � �
0 −1� 0 −1�
1 1 0 0� 0 1 0 0
� � �
3. Không gian hữu hạn chiều:
3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ sở
của V có n vectơ.
3.2 Tính chất:
Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó:
(a) Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.
(b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V.
(c) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.
(d) Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập
thành một cơ sở của V.

Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ
n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.
Bài tập
3.2.trong các trường hợp sau đây, xét xem W có phải là không gian con của
không gian vectơ R3

{( x , x , x )γ R }
0)
3
: x1
a) W = 1 2 3



b)W = { ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 + 2 x2 = x3 }
3




C)w = { ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 = x2 = 0}
3




Bài giải

Với u = (1,2,3) u W , Ta có -3u = (-3,-6, -9) W( Vì -3≤ 0)
a)

Do đó W không là không gian con của R3

b) ta có 0 = (0,0,0) W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W

với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là x1 + 2x2 = x3

và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là y1 + 2y2 = y3

suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2)

ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) )

vậy u + v W (1)

mặt khác, ta lại có

với mọi α R α u = ( α x1, α x2, α x3) = ( α x1, α x2, α (x1 + 2x2))

= ( α x1, α x2, α x1 + 2 α x2)

vậy α u W (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R

c) ta có 0 = (0,0,0) W suy ra W

với mọi u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là u = (0,0,x3)

và v = (y1, y2,y3 ) W nghĩa là v = (0,0,y3 )

ta có u + v = (0,0,x3 + y3)

vậy u + v W(1)

mặt khác ta lại có với mọi α R α u = (0,0, α x3)

vậy α u W (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R

3.7trong không gian R4 cho các tập

W1 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4}

W2 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = x3}

W3 = {( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = 0}

a)Chứng minh W1, W2, W3 là các không gian con của R4

b) tìm một cơ sở của W1, W2, W3

bài giải

a)

Xét W1. Ta có 0 =(0,0,0,0) W1 ( vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0)


Suy ra W1

Từ để bài ta có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0

với mọi u = ( x1,x2,x3,x4) W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0

và v = (y1,y2,y3,y4) W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0
ta có u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)

vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0

và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2x4) + (y1-y2+y3-2y4)

= 0+0 = 0

Do đó u+v W (1)

Mặt khác với mọi α R α u = ( α x1, α x2, α x3, α x4)

Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 và

αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2x4) = α.0 = 0

do đó αu W (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra W1≤ R

Xét W2 ta có 0 = ( 0, 0, 0, 0 ) � 2vi0 = 0 = 0
W



Với mọi u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W2 nghĩa là x1 = x2 =x3 (1)

Và v = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) W2 nghĩa là y1 =y2 =y3 (2)

Ta có u + v = (x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4)

Từ (1) và (2) ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3

Do đó u + v W2 (3)

Mặt khác với mọi α R α u = (α x1 , α x2 , α x3 , α x4 )

từ (1) ta có α x1 = α x2 = α x3

Do đó α u R (4)

Từ (3) và (4) suy ra W2 ≤R

Xét W3 dễ thấy

Với mọi u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W3 nghĩa là u = (0,0,x3, x4)

Và v = ( y1, y2 , y3 , y4 ) W3 nghĩa là v = (0,0,y3,y4)

Ta có u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4)

Do đó u + v W3 (1)

R α u = ( 0, 0, α x3 , α x4 )
Mặt khác với mọi α

Do đó α u W3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra W3 ≤R

b)

Tìm một cơ sở của W1


Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên
x1 − x2 + x3
(x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2, ) = (x1,x2x1+x2,x1)
2

=(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0)

Vậy 2 vecto u = (1,0,1,1) và v = (01,1,0) là tập sinh của W1

1011
Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A
0110

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy u và v là một cơ sở của W1

Tìm một cơ sở của W2


Ta có x1 = x2 = x3 nên

(x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4)

= x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1)
Vậy 2 vectơ u = (1,1,1,0) và v = (0,0,0,1) là tập sinh của W2

1110
Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A
0001

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy B = { u = ( 1,1,1, 0 ) , v = ( 0, 0,0.1) } là một cơ sở của W2

Tìm một cơ sở của W3


Ta có x1 = x2 = 0 nên

(x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4)

= x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1)

Vậy 2 vectơ u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là tập sinh của W3

0010
Xét ma trận A = r(A) = 2 = số dòng của A
0001

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy B = { u = ( 0, 0,1, 0 ) , v = ( 0, 0, 0,1) } là một cơ sở của W3

3.10

a) chứng minh B là cơ sở của R3

u1 1 0 1
L ập A = u 2 = 1 2 2
0 −1 −1
u3

Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 =
dimR3 nên B là cơ sở của R3

Chứng minh E là cơ sở của R3
0 −1
u1 1
L ập A = u 2 = 1 1 1
−1 2
u3 2

Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 =
dimR3 Nên E là cơ sở của R3

b)

tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E


Lâp ma trận mở rộng

1 −1 1 0 0 −1 0
11 01 0
(v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T) → 0 2 −1 0 1 −1
2 →0 1 02 1
1 2 −1 −1 1 1 −4
2 0 0 14

−1 0 0
1 −1
Vậy P(B→E) = 2
1 −4
4


Cho u = (1,2,3) tìm [ u ] B , [ u ] E



11 01 1 0 01
0 2 −1 2 0 1 00
Lập ma trận mở rộng (v1T,v2T,v3T│uT) →
1 2 −1 3 0 0 1 −2

1
��
��
Vậy [ u ] B =� �
0

�2 �
��

1 −1 1 � 0 0 −1�
1 1
� �
01 22 0 1 0 2�
Lập ma trân mở rộng (u1T,u2T,u3T│uT) = �
� 0 1 0�
−1 1 23 0
� �

�1�
=� �
[ u] E 2
Vậy
��
��
0
��
b)

• Tìm P(E→ B)

� �

�1 0�
0
� �
4 4 1�
E) � = �
−1
Ta có P(E → B) = � ( B −
P
� � �3 3�
3
�2 1�
1
� −�

�3 3�
3

3
��
= � �tìm v
Cho [ v ] B 2
• ��

�1�
��

3
��
= � �suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1)
Ta có [ v ] B 2
��

�1�
��

= (5,5,8)

[ v] E
Tìm


Lập ma trận mở rộng

� 1 −1 5� � 0 0 −3�
1 1
� �� �
(u1T,u2T,u3T│vT ) = � 1 2 5� � 1 0 7 �
0 0
�1 1 2 8� � 0 1 −1�
− 0
� �� �


�3�
��
Vậy [ v ] E
−1
= � � P( B E) �
7�� �
−�
�1�

Tài liệu tham khảo

Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học

Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh

 Bài tâp toán cao cấp - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản
Đại học Quốc Gia Hà Nội

Chuơng 4: không gian vectơ -

http://linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4-
Khong+gian+vector.doc

Bài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm

Thành Phố Hồ Chí Minh
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản