Hệ thống công thức phần lượng giác

Chia sẻ: satthu37195

Tổng hợp tất cả các thông thức về lựợng giác và một số công thức về phần giải tích môn toán lớp 12, là sổ tay có thể giúp các bạn làm bài dễ dàng và thuận tiện hơn khi các bạn chưa nhớ được hết công thức do số lượng công thức nhiều.Mong rằng tài liệu dưới đây sẽ mang lại hiệu quả nhiều hơn cho các bạn trong quá trình làm bài

Nội dung Text: Hệ thống công thức phần lượng giác

PHẦN LƯỢNG GIÁC
dccthd@gmail.com
    2 3 5

Radian 0 Công Thức Lượng
6 4 3 2 3 4 6
Giác Cơ Bản
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
Độ
1
1 2 3 3 2
sin 2 x  cos2 x  1
sin x 0 0
1
2
2 2 2 2 2
1 1
3 2 2 3
   tan x.cot x  1
cos x 1
0
1
2 2
2 2 2 2
3 1
3
1  tan 2 x 
3 1
tan x ||
0 0
3
1
cos 2 x
3 3
1
3 3
1  cot 2 x  2
3
 1
cot x || ||
0
3 1
sin x
3 3

Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc (Cung) Có Liên Quan Đặc Biệt.
Góc hơn kém  / 2
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
 
 
sin   x   cos x sin   x  cos x
sin  x   sin x sin   x   sin x  
 
 
2 2
 
   
 
 
cos   x   sin x cos   x  sin x
cos  x   cos x cos   x  cos x  
 
 
2 2
 
   
 
 
tan   x   cot x tan   x  cot x
tan  x    tan x tan   x   tan x  
 
 
2 2
 
   
 
 
cot   x cot x cot   x  tan x cot   x  tan x
cot  x    cot x  
 
 
2 2
 
   

Công Thức Cộng Nhân Đôi Và Hạ Bậc Đường tròn lượng giác
cos a  b  cos a.cos b  sin a.sin b sin 2 x  2sin x.cos x
cos a  b  cos a.cos b  sin a.sin b cos2 x  cos2 x  sin 2 x
sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b  2cos 2 x 1
tan 2 x  2tan 2
sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b x
1 tan x
tan a  b  tan a  tan b cos2 x  1 1 cos2 x 
1 tan a.tan b 2

tan a  b  tan a  tan b sin 2 x  1 1 cos2 x 
1 tan a.tan b 2

Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng
a b a b 1
cos a.cos b  cos a  b  cos a  b
cos a  cos b  2 cos .cos
2 2 2
a b a b 1
sin a.cos b  sin a  b  sin a  b
cos a  cos b  2sin .sin
2 2 2
ab a b 1
sin a.sin b   cos a  b  cos a  b
sin a  sin b  2sin .cos
2 2 2
a b a b Công thức nhân ba
sin a  sin b  2cos .sin
2 2
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
sin a  b
tan a  tan b  cos3 x  4cos3 x  3cos x
cos a.cos b
1
dccthd@gmail.com
x
Với t  tan ta có :
Một Số Công Thức Chú Ý Khác
2
 
  2t
 
cos x  sin x  2.cos x  cos x  sin x  2.cos  x 
  sin x 
 
 
 
  1 t 2
 4  4
 
  1 t 2
sin x  cos x  2.sin  x   sin x  cos x  2.sin  x  
  cos x 
 
 
 
 
 4  4 1 t 2

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
a 2  b2  0
Phương trình lượng giác cơ bản a cos x  b sin x  c (1)

 A  B  k 2 Cách giải : Nếu a 2  b 2  c 2 thì phương trình (1) vô nghiệm.
k  Z 
cos A  cos B  
 A   B  k 2 Nếu a 2  b2  c 2 thì phương trình (1) có nghiệm. Khi đó :

 A  B  k 2 a b c
 cos  x    cos 
(1)  cos x  sin x 
k  Z 
sin A  sin B  
 A    B  k 2 a b a b a  b2
2 2 2 2 2

tan A  tan B  A  B  k  k  Z  a b c
Với cos   ; sin   ; cos  
a b a b a  b2
2 2 2 2 2
cot A  cot B  A  B  k  k  Z 
Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x :
Phương trình dạng :
a cos x  sin x   b sin x cos x  c a sin 2 x  b sin x.cos x  c.cos 2 x  d (1) abc  0
Cách giải :
  Cách giải 1 :


Đặt t  cos x  sin x  2 cos  x    Xét cos x  0 và tìm những giá trị của x là nghiệm của pt (1).


 4
 Xét cos x  0 .Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x đưa phương trình về
t 2 1
 sin x.cos x   , 2t 2 dạng bậc hai (hoặc bậc nhất) theo tan x đã biết cách giải .
2
Đưa phương trình đã cho về p/t ẩn t .Giải Cách giải 2:
phương trình này tìm t ,từ đó giải phương
 Dùng công thức hạ bậc đối với sin 2 x và cos2 x và công thức nhân đôi
  

trình 2 cos  x    t để tìm x . đối với sin x.cos x để đưa (1) về dạng bậc nhất đối với cos 2 x và sin 2 x .


 4


PHẦN GIẢI TÍCH 12

TÍNH CHẤT
LŨY THỪA a  0, b  0 LÔGARIT b  0, 0  a  1
a 1 0  a 1
m

 a
f  x g x  f  x g x 
  loga b  b  a   f  x   g  x  f  x   g  x
m
a a
 n am  a a a
n n



log a f  x   log a g  x  log a f  x   log a g  x 
1
b  a loga b
aa n
f  x  g  x  0  0  f  x  g  x
n

n

 1   an f  x g x 
log a a     f  x  g  x
a
 a

a 

log a f  x   loga g  x   f  x   g  x  ,  g  x   0
  log a b  log a b
a  .a   a 
a log a b1  loga b2  loga b1 .b2 
 a  PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT, BPT MŨ LÔGARIT

a
b1

a   log a b1  log a b2  loga
 a .  Đưa Về Cùng Cơ Số
b2
1

a  .b  a.b loga b   Đặt Ẩn Phụ
.loga b


a a 
log n a b  n.loga b
 
  Lôgarit Hóa (mũ)

b b
log c b
1
log a b   log a c.log c b  Sử Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
a  nk a  a nk
nk
log c a
2
dccthd@gmail.com
ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM

x2
 a.dx  ax  c
 u  v  '  u ' v '  k.u '  k.u '  xdx  c
2

/
u '.v  u.v ' 1 1
1
 u 

 u.v  '  u '.v  u.v ' dx  .2 ax  b  c
dx  2 x  c
 

v ax  b
 v2 a
x
u  u x  1
1 ax  b
x 1
c '  0 ;  x '  1 


 ax  b dx  a .  1  c
x dx  c
 1
1 1 1
 x   '  . x 1  u  '  .u 1.u '   ax  b dx  a .ln ax  b  c
dx  ln x  c
x
1  1
/ /
1 ax b
   1 u'
 e
ax  b
e
dx  e x  c dx  c
   2
x
 e
 
 x  u
x2 a
u
1 a  mx  n
 x  u ax
1 u'
/ /
mx  n
a
 
a
dx  c dx c
x
.
2x 2u ln a m ln a

sin x'  cos x sin u' 1
 u '.cos u  cos xdx  sin x  c  cos ax  b dx  a sin ax  b  c
1
 sin xdx   cos x  c
cos x  '   sin x cos u '  u '.sin u  sin ax  b dx   a cosax  b  c
1 u' 1 1
1
 tan x  '   tan u '   cos2 ax  b dx  a tan ax  b  c
 cos dx  tan x  c
cos2 x cos2 u 2
x
1 u' 1 1
1
cot x  '  2 cot u '  2  sin dx   cot ax  b   c
 sin dx   cot x  c
ax  b
2
2
a
sin x sin u x

e  e 
x/ u/
 ex  u '.e u Phương Pháp Tìm Nguyên hàm

f  u  x .u ' x  dx  F  u  x   C

 Phương pháp đổi biến :
a x  a u 
/ /
 a x .ln a  u '.a u .ln a
Trong đó : F là một nguyên hàm của f .
 Phương pháp nguyên hàm từng phần :
1 u'
ln x  ln u 
/ /
 x  0
 
 u x .v ' x dx  u  x .v  x   v  x .u ' x dx (Hay  u.dv  u.v   v.du )
x u

Chú ý : Đối với các nguyên hàm dạng :  P  x .e dx ,  P  x .cos ax.dx , ax
1 u'
log a x   log a u  
/ /

x.ln a u.ln a
 P  x .sin ax.dx với P(x) là đa thức thì ta chọn u x   P  x  và
v '  x  là nhân tử còn lại .
 x  u
1 u'
/ /
 
n n
n1 n1
n n
n. u
nx
 P  x .ln ax.dx
Đối với các nguyên hàm dạng : thì ta chọn
u  x   ln ax còn v '  x   P  x 

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM-KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍCH PHÂN
Khái niệm : Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a ; b 
 Sự đồng biến nghịch biến
b
Định lý .
f  x  dx  F  x  a  F b  F a 

b
Ta có :
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K và a

f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm . Khi đó . Tính chất của tích phân
›› f '  x   0, x  K
b a c b c

f  x  dx   f  x  dx f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
 
 hàm số y  f  x  đồng biến trên K . a b a a b

›› f '  x   0 , x  K b b b b b
 
k. f  x  dx  k. f  x  dx  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
 
 hàm số y  f  x  nghịch biến trên K . a a a a a

Phương pháp tính tích phân
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
ub
Tìm tập xác định . b

f  u  x  .u '  x  dx  f  u du
 
Công thức đổi biến số :
Tính đạo hàm f '  x  .Tìm các điểm xi mà tại
ua 
a
đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định . b b

u  x .v ' x .dx  u  x .v  x  a   v  x .u ' x .dx

b
Lập bảng biến thiên rồi dựa vào dấu đạo Công thức từng phần :
hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến a a

của hàm số . b b

 u.dv  v.du
b
 u.v a 
Hoặc
 Cực trị của hàm số a a


3
dccthd@gmail.com
Điều kiện cần. Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích.
Cã ®¹o hµmt¹i x 0

Hàm số f  x    f '  x0   0
 y
§¹t cùc trÞ t¹i x 0

 y
Định lý . y = f(x)
x
b
f ' x0   0 

bx
  x là điểm cực tiểu của f x .
 a
 
f '' x0   0
0
a


f ' x0   0  y = f(x)

  x là điểm cực đại của f x . y = g(x)

 
f '' x0   0
0


 y  f  x , Ox   y  f  x , x  a 
 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số b b
 
S   f  x  dx  S   f  x   g  x  dx 
 
 
  y  g  x, x  b 
 x  a, x  b   
 
  
Định nghĩa : a a
Cho hàm số y  f  x xác định trên tập D
y y
 f  x   M , x  D


M  max f  x    y = f(x)
 d
x  D sao cho f  x   M
x D
0

 0

 f  x   m , x  D x


m  min f  x  
 a b
x  D sao cho f  x   m
x D
0

 0
x = g(y)
c
Phương pháp tìm GTLN , GTNN cùa hàm số
x
y  f  x liên tục trên đoạn a ; b .
Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên a ; b mà tại
 y  f  x , Ox   x  g  y , Oy 
b d
đó f ' x bằng 0 hoặc không xác định .  
V   f 2  x .dx  V   g 2  y .dy 
 
 
 
 x  a, x  b   y  c, y  d 
 
 
 
Tính f a , f b, f  x1 , f  x 2  ,..., f  xn . a c


Kết luận :
max f  Max  f a , f b, f  x1, f  x 2 ,., f  xn  SỐ PHỨC
x  a ; b 


 f a, f b, f  x1, f  x2 ,., f  xn   a , b  R 
 Dạng đại số : Z  a  bi
min f  Min
x  a ; b 

 a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2  1 .
 Sơ đồ khào sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tập xác định  Z là số thực  Phần ảo của Z bằng 0.
2. Sự biến thiên .  Z là số thuần ảo  Phần thực của Z bằng 0.
› Tìm các giới hạn vô cực, tại vô cực và tìm
 Dạng lượng giác : Z  r (cos   i sin )
các đường tiệm cận (nếu có).
M(z)
› Lập bảng biến thiên . Trong đó :  r  Z  a 2  b 2  r  0 b
Tính y’, xét dấu y’, xét chiều biến thiên, tìm r
a b
cực trị (nếu có) và điền các kết quả vào bảng.   là số thực sao cho cos   , sin   
r r
Từ bảng biến thiên nêu kết luận về chiều biên a
O
  gọi là một acgumen của Z ,   Ox , OM  .
thiên và cực trị .
3. Vẽ đồ thị .  Số phức liên hợp của số phức Z  a  bi là số phức Z  a  bi
› Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) a  a '


 Hai số phức bằng nhau : a  bi  a ' b ' i  
› Xác định một số điểm đặc biệt .
b  b '


Giao với các trục, điểm uốn (nêu có)…
 Các dạng đồ thị của hàm bậ ba  Các phép toán về số phức .
Phép cộng và trừ hai số phức : a  bi   a ' b ' i   a  a '  b  b ' i
Phép nhân hai số phức : a  bi a ' b ' i   a.a ' b.b '  ab ' a ' b.i
a  b.i (a  b.i )(a ' b '.i )
a>0

Phép chia hai số phức :
a0
a
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản