HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Chia sẻ: minhtienback

./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Ngày soạn :……… /………./ 2009 CHỦ ĐỀ 1:
Ngày giảng:…….. /………../ 2009 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I./ Mục tiêu:
* Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các
tỉ số lượng giác.
* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển
nâng cao
* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo.
II/ Nội dung:
I. Kiến thức cơ bản:
1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Định lí 1: b2 = a. c’ ; c2 = a .c’ A

- Định lí 2: h = b’ .c’
2
b
c
- Định lí 3: b.c = a.h ` h

C
1 1 1 B a
- Định lí 4: 2 = 2 +
H
h b c2
2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB
b= c.TgB= c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB
- Nếu biết 1 góc nhọn α thì góc còn lại là 900 - α
- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc ⇒ Tìm góc đó bằng cách tra bảng
- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn
- Từ hệ thức :
b = a.SinB = a . CosC A
b b
⇒ a= = c b
SinB CosC
c = a. SinC = a . CosB
C C B C
⇒ a= = a
SinC CosB
30 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1:
Cho ∆ vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền

A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác

Ví dụ2:
Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường
cao là
A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác

Ví dụ3: Cho ∆ có các độ dài các cạnh như sau. ∆ nào là ∆ vuông ?
1
A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 )

ˆ
Ví dụ4: Cho ∆ ABC ( A = 1v), AH ⊥ BC ; AB = 6, AC = 8
Tính AH = ? HB = ? HC = ?


ˆ
Theo pi ta go : ∆ ABC ( A = 1v) A
BC = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100 = 10

- Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC
AB. AC 6.8
⇒ AH = = = 4,8
BC 10 B C
Từ đ/lí 1: H
AB2 = BC. HB
AB 2 62
⇒ HB = = = 3,6
BC 10
AC2 = BC . HC
AC 2 8 2
⇒ HC = = = 6,4
BC 10
Ví dụ5:
ˆ
∆ ABC( A = 1v) ; AH ⊥ BC
A
GT AH = 16 ; HC = 25

KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ?

Hướng Dẫn 16
C
ˆ
- Pi ta go ∆ AHC ( H = 1v) B
H 25
AC = AH 2 + HC 2 = 16 2 + 25 2 = 881 = 29,68
Từ đ/lí 1: AC2 = BC.HC
AC 2 (29,68) 2
BC = = ≈ 35,24
HC 25
ˆ
Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v)
AB = BC 2 − AC 2 = 35,24 2 − 29,68 2 ≈ 18,99 A
Từ đ/lí 2: AH2 = HB.HC
AH 2 16 2
⇒ HB = = = 10,24 3 4
HC 25
Ví dụ6:
ˆ
Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 C
ˆ B
a) Tính tỉ số lượng giác của C H
b) Từ KQ ( a) ⇒ các tỉ số lượng giác của góc B
Hướng Dẫn
ˆ
a. Theo Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v)
BC = AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 25 = 5

2
AB 3 AC 4 AB 3 AC 4
SinC = = ; CosC = = ; tgC = = ; CotgC = =
BC 5 BC 5 AC 4 AB 3
Do B ˆ
ˆ và C là hai góc phụ nhau
4 3
SinB = cosC = ; cosB = sinC =
5 4
4 3
gB = cotgC = ; cotgB = tgC =
3 4
5
Ví dụ7: Cho ∆ ABC ( A = 1v) ; AB = 6 ; B = α tg α =
ˆ ˆ . Tính
12
a) AC = ? A
b) BC = ?
6
AC 5
a. tg α = =
AB 12 B α
5. AB 6.5 C
⇒ AC = = = 2,5 (cm)
AC 12
ˆ
b) Pi ta go ∆ ABC ( A = 1v)
BC = AB 2 + AC 2 = 6 2 + (2,5) 2 = 42,25
= 6,5 (cm)
Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức
1). 1 – Sin2 α = ?
2). (1 - cos α ).(1+ cos α ) = ?
3). 1+ sin2 α + cos2 α = ?
4). sin α - sin α .cos2 α = ?
5). sin4 α + cos4 α + 2sin2 α .cos2 α = ?
6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến
nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620


Gợi ý
a) sin2 α + cos2 α = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2 α
b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 α
c) Đs : = 2
d) đặt thừa số chung Đs : sin3 α
e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1
Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 750
Hướng Dẫn
Kẻ AH ; BK ⊥ CD
A B
Ta có : AB = KH = 12 (cm)
⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6
6
DH = = 3 (cm)
2
AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196
C H K D

3
( AB + DC ). AH (12 + 18).11,196
SABCD = =
2 2
= 167,94 (cm)
ˆ
Ví dụ9: Cho ∆ ABC có góc A = 200 ; B = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm B
a) AP ? ; BP ?
b) CP ? P
60



A
C
Hướng Dẫn

a) Kẻ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ tại H
⇒ AH = AB . SinB
1 B
= 60.Sin300 = 60. = 30
2 P
ˆ
∆ AHC ( H = 1v) 60
AH = AC. Cos400
AH 30
⇒ AC = 0 = = 39,164
Cos 40 0,7660 A
ˆ C
∆ APC có ( P = 1v)
AP = AC.Cos 200
H
= 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP
= 60 – 36,802 = 23, 198

ˆ
b) ∆ APC ( P = 1v)
CP = AC. Sin200
= 39,164 . 0,342 = 13, 394




4
HỆ THỨC LƯỢNG
CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
(Đề sưu tầm từ các vũng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Lời giải sơ lược: A
Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được: 20 ?
2 2
AB = BH. BC hay 20 = x(x + 9).
Thu gọn ta được phương trỡnh : x2 + 9x – 400 = 0B x
H
9
C
Giải phương trỡnh này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nờn dựng mỏy tớnh để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu
µ
Bài 2: Cho tam giỏc ABC , B = 600 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh
AB.
Lời giải sơ lược:
Kẻ AH ⊥ BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và
AH = x 3 ; HC = 8 – x A
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
( x 3)
2
+ ( 8 − x) =
2
Ta cú: AC = 4 x 2 − 16 x + 64 2x

° 60
Do AB + AC = 12 nờn 2x + 4 x 2 − 16 x + 64 = 12 B x H
8cm
C

Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tớch tam giỏc ABC = 10 3 cm.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BD là phõn giỏc. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập
A
phân) 1cm
Bài giải sơ lược D
10 cm
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
B
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = x 2 − 9 . C

Do AD = 1 nờn DC = x 2 − 9 – 1 x
Tam giỏc ABC cú BD là phõn giỏc gúc ABC nờn :



5
AB AD 3 1
= hay x = . Từ đó ta được phương trỡnh 8x2 – 6x – 90 =
BC DC x2 − 9 −1
0
Xử dụng mỏy tớnh tỡm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
A
4

Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; BD là phõn giỏc . Biết AD = 4cm; 4 10 D

BD = 4 10 cm . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC.
B C
(Nhập kết quả dưới dạng phân số) x


- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả
theo yờu cầu.
Bài 5: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường
cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường
cao của
hỡnh thang cõn đó.
Bài giải sơ lược: A X B
Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x
∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) X


10 − x
Suy ra : DH = CK = . D H K C
2 10cm

10 − x x + 10
Vậy HC = HK + CK = x + =
2 2
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
10 − x 10 + x
Ta cú : AH2 = DH . CH hay x 2 = . ⇔ 5x2 = 100
2 2
Giải phương trỡnh trờn ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại)
Vậy : AH = 2 5
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh
đáy BC.
Bài giải sơ lược:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x A
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15, 62 + x 2
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
BC KB 2x 12
= hay = 15,6
AC AH 15, 6 + x
2 2 15, 6 K
Đưa về phương trỡnh 15,6 + x = 6,76x
2 2 2 12

Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5 B //
H
// C

Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) 2x

Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức :
1
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 –
2


6
2
Hướng dẫn: α + β = 900 ⇒ sin α = cos β ; cos α = sin β ; ..... và cos450 = ta được:
2
1
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 –
2
1
= (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 –
2
2
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
 2
2 0 1
= (cos 1 + sin 1 ) + (cos 2 + sin 2 ) + .... + (cos 44 + sin 44 ) +  ÷ –
 2 ÷
  2
= 1.44 = 44
Bài tập tương tự: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau:
1
a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – .
2
b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 .
c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2
450 .
Bài 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tớnh
chu vi
của hỡnh chữ nhật ABCD ?
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy A x B
ra chu vi của hỡnh chữ nhật bằng 2(x + y)
Cỏch 1: Ta cú SABCD = x.y hay x.y = 108 108 cm2
108cm 2 y

Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y) = 9 hay (x + y) – 4xy = 9 (1)
2 2
C
Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 ⇒ x + y = 21D
Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hỡnh chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm
Cỏch 2: Từ x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được
phương trỡnh:
x (x – 3) = 108 ⇔ x2 – 3x – 108 = 0 (1)
⇔ x2 – 12x + 9x – 108 = 0
⇔ ( x – 12)(x + 9) = 0
Nghiệm dương của phương trỡnh x = 9. Từ đó tỡm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trỡnh (1) trờn mỏy tớnh để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú diện tớch 504 dm2.
Biết AB – AC = 47dm.
Tính độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương
trỡnh:
x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63
Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = 3 5 cm. Hỡnh vuụng ADEF cạnh bằng
2 cm cú
4
D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC. Biết AB > AC và S ADEF = S ABC . Tớnh AB ; AC.
9

7
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2 + y2 = ( 3 5 ) = 45. (1)
2


C
Hỡnh vuụng ADEF cú cạnh bằng 2 nờn S ADEF = 4 F //
E

4
Mà S ADEF = S ABC nờn SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) = =
9
//
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9 A D B


Do x > y > 0 nờn x + y = 9 và x – y = 3
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân
giác ,
·
M là trung điểm BC. Cho biết BIM = 900 .
Tớnh BC : AC : AB ?
·
Hướng dẫn: Chỳ ý BIM = 900 ; I là giao điểm các đường phân giác A

·
ta tính được DIC = 45 , từ đó chứng minh được BC = 2CD
0
D
b

c I
và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD 1
2


kết hợp với định lý pitago ta tỡm được mối quan hệ giữa B
1
//
M // C
ba cạnh tam giỏc. a


Lời giải:
Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI I AC .
µ µ µ
I 2 = B1 + C1 (gúc ngoài tam giỏc BIC)

=
2
(
1 ·
ABC + · ) 1
ACB = .900 = 450 (do BI và CI là phõn giỏc của cỏc gúc B và C và ∆ ABC
2
· µ
vuụng ở A); kết hợp với giả thiết BIM = 900 ta được I1 = 450 . Vậy ∆ CIM = ∆ CID (g.c.g)
Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
AB AD AB BC
BD là phõn giỏc của tam giỏc ABC nờn = hay = = 2.
BC DC AD CD
Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)
Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
b
Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = (4)
2
5b 5b 3b
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = . Vậy a = . Do đó c = .
2 4 4
5b 3b 5 3 5 3
Vậy a : b : c = : b : = :1: = ( .4 ): (1.4) : ( .4) = 5 : 4 : 3
4 4 4 4 4 4
Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3
Lưu ý: Bài toỏn này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bỡnh” cú sửa
đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm.
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn:
Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = 2y.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm A

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A /


Ta được: x + 4y = 144 (1) và x + y = 81
2 2 2 2 ⇔ y2 = 81 – x2 (2) 6
N

Thay (2) vào (1) ta được phương trỡnh : 9
/


// // C
B M
8
x2 + 4( 81 – x2 ) = 144
Thu gọn phương trỡnh trờn ta được phương trỡnh : 3x2 = 180
Nghiệm dương của phương trỡnh : x = 2 5
Trả lời: AB = 2 5 cm A

Bài 12: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tớnh cos A .
Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân
và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm
Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được
13

50 119 AK 119 119
CK = ⇒ AK = Vậy cos A = = : 13 = K

13 13 AB 13 169
119
Trả lời: cos A = B //
H
// C
169 10




CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HèNH 9
CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A- Nhắc lại lớ thuyết :
Cho tam giỏc ABC cú Â = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau:
A b 2 = ab'
c 2 = ac '
c h b

C bc = ah
B
c' H b'
h 2 = b' c '
1 1 1
= +
h2 b2 c 2


B- Một số bài tập ỏp dụng:
BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông
là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hóy tớnh cỏc cạnh gúc
của tam giỏc này?
HD:


C c - 1=a; a+b- c =4; a 2+b 2=c 2
Suy r a b =5 ; Thay a = c - 1 & b =5
b a
→ ( c - 1) 2+5 2=c 2
A B
c
Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm
và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC
HD: Gọi chu vi ∆AHB, ∆CHA, ∆CAB lần lượt là p1 ,p2 , p3

9
p1 AB 3 BC
A AHB ∼ CHA → = = =. . . . . =
p2 AC 4 5
AB AC BC
C Suy r a = = & AHB ∼ CHA ∼ CAB
3 4 5
B H

Từ đó tính được chu vi ∆ABC bằng 50 cm.
BT 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4
cm. Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC ?
HD: Theo tính chất của đường phõn giỏc trong thỡ
AB DB 3 AB AC AB 2 AC 2 BC 2 49
= = suyra = = = = = . Từ đó tính được AB, BC, AC .
AC DC 4 3 4 9 16 25 25
Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm

BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng
minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 .
HD: Áp dụng Pytago cho cỏc tam giỏc ADC, ABE
C CD2=AD2+AC2 & BE 2= AB2+AE 2
CD2+BE 2=AD2+ AC2+AB2+AE 2
m AC2+AB2=BC2& AD2+AE 2=DE 2
a


E


A D B
BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
AB, AC. Chứng minh rằng:
3
FB  AB  A
a) = ÷ F
FC  AC 
b) BC . BE . CF = AH3 E
C
HD: Hỡnh vẽ bờn B H
a) Trong ∆AHB cú HB2 = BE . BA (1) ; ∆AHC cú HC2 = CF . CA (2 )
HB 2 BE AB
Từ (1) và (2) cú : = . . Trong ∆ABC cú :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC
HC 2 FC AC
2 4
HB AB 2  HB   AB 
suy ra = ⇔ ÷ = ÷
HC AC 2  HC   AC 
3
EB  AB 
Vậy = ÷.
FC  AC 
BE BH AB 2 AB 3
b) ∆ABC : ∆EBH → = . Thay BH = → BE = (3)
BA BC BC BC 2


10
AC 3
Tương tự ta cũng có CF = ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta cú
BC 2
AB 3 . AC 3
BE .CF = . Mà AB. AC = BC . AH nờn BC . BE . CF = AH3
BC 4
• VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
KHÔNG VUÔNG.
A- Lớ thuyết
Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù
cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông .
Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông )
1 1 1
+S = bc . sin A = ca. sinB = ab .sin C (1)
2 2 2
+S = p ( p − a )( p − b)( p − c) (2) Cụng thức Heron ; p là nửa chu vi tam giỏc
abc
+S = (3)
4R
+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường trũn ngoại tiếp tam giỏc, r là bán kính đường
trũn nội tiếp tam giỏc
+ Nếu a2 < b2 + c2 thỡ gúc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )
+ a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC
+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thỡ trong ∆AHB có AH = c.sin B.
Do đó diện tích ∆ABC là :
1 1 1
S = AH . BC = c.sinB . a = ac. sinB
2 2 2
1
Hay S = ac.sinB . Đối với các góc khác thỡ tương tự
2


A

b
c



C
B
H
c

BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm.
a) Chứng minh cỏc gúc B và C nhọn ?
b) Tớnh AB, AC ?
Hướng dẫn:




11
A


b
c
12cm



C
B
H
14cm

a) Ta cú c > 12 mà c + b = 28
suy ra b 0
3) Hai đường tròn không giao nhau:
a. Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r
b. Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r

3) Các Ví Dụ minh hoạ:

Ví dụ1: ABCD là hình vuông. O giao 2 đường chéo , OA = 2 cm . Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm
A,B, C, D , O. Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đường tròn ?

Hướng Dẫn

OA = 2 〈 2 = R ⇒ O nằm bên trong (A)
AB = AD = 2 = R ⇒ B , D nằm trên (A)
AC = 2 2 〉 2 = R ⇒ C nằm ngoài (A)


Ví dụ2:
∆ ABC cân nội tiếp (O)
GT AH ⊥ BC ; BC= 24; AC = 20

a) AD là đường kính A
KL b) sđ ACD
c) AH ? R ?
Hướng Dẫn
a) ∆ ABC cân tại A (gt) 0
AH ⊥ BC (gt)
⇒ AH là trung trực của BC (1) H C
B
⇒ AD là trung trực của BC (2)
Vì O nằm trên trung trực của BC D
Nên O nằm trên trung trực của AD
Vậy : AD là đường kính (O)
1
b) ∆ ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD ⇒ OC = AD ⇒ ACD = 900
2
BC 24
c) Ta có : BH = HC = = = 12
2 2
ˆ
Pi ta go : ∆ AHC( H = 1v)
AH = AC – HC = 202 – 122 = 256
2 2 2

⇒ AH = 256 = 16
Đ/lí 1: b2 = a.b’
18
AC 2 20 2
AC2 = AD .AH ⇒ AD = = = 25
AH 16
AD 25
⇒ R= = = 12,5
2 2
Ví dụ3 : Cho (O) có bán kính OA = 3cm ; Dây BC của đường tròn ⊥ OA tại trung điểm của
OA . Tính BC ?
Hướng Dẫn
Gọi H là trung điểm OA
Có : OH = HA (gt) B
Và BC ⊥ OA tại H
⇒ ∆ OBA cân tại B
⇒ OB = BA = R (1)
Mà OB = OA = R (2)
Từ (1) và (2) ⇒
0
A
⇒ OB = BA = OA = R
H
⇒ ∆ OBA là ∆ đều ⇒ O = 600 (đpcm)
ˆ

ˆ 3
HB = OB.Sin O = 3.Sin600 = 3.
2

Vậy : BC = 2.BH = 2.
3 3
= 3 3 (cm) C
2
Ví dụ4: Cho nửa (O) đường kính AB và dây E F không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt
là chân các đường ⊥ kẻ từ A, B đến E F
CMR: IE = KF
Hướng Dẫn

Kẻ OH ⊥ E F F
Ta có : tứ giác AIKB là hình thang H
OB = OA = R (1) E
AI // BK (2) ⇒ OH là đường trung bình
⇒ HI = HK (2)
Mà HE = H F Đ/lí đường kính dây cung (3) B
A I 0 K
Từ (1) , (2) và (3) ⇒ IE = F K ( đpcm)

Ví dụ5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Dây CD , các đường ⊥ với CD tại C và D
t/ứng cắt AB ở M,N
CMR: AB = BN



Hướng Dẫn D
H
Từ O kẻ OI ⊥ CD ⇒ IC = ID ( đ/lí đường kính) C
Tứ giác CDNM là hình thang có IC = ID (1)
OI // CM // DN ⇒ OI là đường TB
⇒ OM = ON ( 1) mà OA = OB = R (2) B
A M 0 N
Từ (1) và (2) ⇒ AM = BN (đpcm)
19
Ví dụ6: Cho (O) , A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M,N là tiếp
điểm)
Chứng minh: OA ⊥ MN
Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng : MC//AO
Tính độ dài các cạnh ∆ AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm

Chứng minh:
a) Chứng minh: OA ⊥ MN
∆ AMN cân tại A ( vì MA = NA ; t/c t2 ) C M
ˆ
OA là p/giác A (t/c tiếp tuyến)
⇒ OA là đường cao nên OA ⊥ MN
A
b) H là giao điểm MN và OA
0
Có ON = OC = R
HM = NM ( OA là trung tuyến )
⇒ HO là đường trung bình ∆ MNC
⇒ HO // MC N

Pi ta go ∆ vuông AON
AN = OA 2 − ON 2 = 5 2 − 3 2 = 16 = 4
Từ hệ thức lượng : AN.ON = AO . HN
Hay : 4.3 = 5 HN
12
⇒ HN = = 2,4
5
Mà HM = HN ⇒ MN= 2.HN = 2. 2,4 = 4,8
AM = AN = 4 cm
Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C∈ nửa đường tròn . Kẻ tiếp tuyến d của nửa
đường tròn . Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng
a) CE = CF
b) AC là tia p/giác của BAE
c) CH2 = AE.BF
Chứng minh:
a) Ta có: AE ⊥ d ; BF ⊥ d ⇒ AE // BF
⇒ Tứ giác AEFB là hình thang
Mà : OA = OB = R d
OC // AE // BF
⇒ CE = CF ( Đ/ lí đường TB ) F
b) ∆ AOC có :
C
OC = OA = R ⇒ ∆ AOC cân tại O
ˆ
C1 = A2 ˆ E
ˆ ˆ
A1 = C1 ( so le vì AE // OC )
ˆ ˆ
⇒ A1 = A2 Nên AC là phân giác B A C ˆ B
ˆ = 1v) và ∆ CAH ( H = 1v) có
ˆ A H 0
c) ∆ CAE ( E
AC ( cạnh huyền chung )
ˆ ˆ
A1 = A2 ⇒ ∆ CAE = ∆ CAH ⇒ AE = AH

20
Tương tự : BF = BH
1
∆ ABC có : OC = AB là trung tuyến AB
2
⇒ ∆ ACB ⊥ tại C
Theo hệ thức lượng :
CH2 = HA . HB
= AE . BF ( đpcm)
Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA
a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I . Tính độ dài CI , biết OA =
R
Chứng minh:
a) Gọi H là giao điểm của OA và CD C
Ta có : OA ⊥ CD ( gt)
⇒ HC = HD ( đ/lí 2)
Mà tứ giác OCAD có : OH = HA ( gt)
HC = HD ( Cm trên) 0
⇒ OCAD là hình bình hành A
H
Mà OA ⊥ CD ⇒ OCAD là H ình Thoi
b) ∆ AOC có : OC = CA ( cạnh H. Thoi)
OC = OA = R
⇒ OC = CA = OA nên ∆ AOC đều
D
ˆ
Do đó : C O A = 600
Mà ∆ OCI ⊥ tại C vì OC ⊥ CI (gt)
CI = OC . tg600 = R 3

Ví dụ 9: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vẽ các đường tròn (I ; IA) và (B ; BA)
a) (I) và (B) có các vị trí tương đối như thế nào ? vì sao ?
b) Kẻ một đường thẳng đi qua A , căt các (I) và (B) theo thứ tự tại M và N . So sánh các độ
dài AM và MN ?
N
Chứng minh:
a) IB = BA – IA = R – r M

nên (I) và (B) tiếp xúc trong tại A
B A
b) ∆ AMB có : OA = OB = r I

nên MI là đường trung tuyến của AB
⇒ ∆ AMB vuông tại M ⇒ AMB = 900

Mà ∆ ABN cân tại B ( BA = BN = R )
Có BM là đường cao , nên là đường trung tuyến ⇒ AM = MN



21
Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường
tròn ( C ∈ (O) ; D ∈ (O’) )
a) Tíng sđ góc CAD
b) Tính độ dài CD . Biết OA = 4,5 cm , OA = 2cm
C
M
chứng minh: D

a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A , Cắt CD tại M
Ta có : MA = MC 0 A 0'
MA = MD
( Theo t/c tiếp tuyến)
⇒ MA = MC = MD
1
Nên ∆ ACD có đường trung tuyến ứng với cạnh CD ⇒ AM = CD
2
⇒ ∆ ACD vuông tại A
⇒ CAD = 900
b)Ta có MO , M0’ làtia phân giác hai góc kề bù AMC và AMD
⇒ OMO’ = 900
Nên ∆ OMO’ vuông tại M
Nên MA là đường cao
Theo hệ thức lượng :
MA2 = OA.O’A = 4,5 . 2 = 9
⇒ MA = 9 = 3
Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm)




15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRềN ( TỰ LU Y ỆN)
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O) đường kính AD. Gọi H là
trực tõm của tam giỏc .
a) Tính số đo góc ABD
b) Tứ giỏc BHCD là hỡnh gỡ? Tại sao?
c) Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh 2OM = AH.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường trũn (O). Đường cao AH cắt
đường trũn ở điểm D.
a) AD có phải là đường kính của đường trũn (O) khụng ? Tại sao?
b) Chứng minh: BC2 = 4AH . DH
c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường trũn (O).
Bài tập 3. Cho đường trũn tõm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây
CD vuụng gúc với OA tại H.
1. Tứ giỏc ACOD là hỡnh gỡ? Tại sao?
2. Chứng minh cỏc tam giỏc OAC và CBD là cỏc tam giác đều.
22
3. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng.
4. Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH. HB . A
H

Bài tập 4. Hỡnh bờn cho biết AB = CD. Chứng minh rằng: B



1. MH = MK. O M



2. MB= MD . K
D


3. Chứng minh tứ giỏc ABDC là hỡnh thang cõn. C


Bài 5. Cho đường trũn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một
khoảng bằng 3 cm.
1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường trũn (O).
2. Đường thẳng d cắt đường trũn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB.
3. Kẻ đường kính AC của đường trũn (O). Tớnh độ dài BC và số đo CAB·
(làm trũn đến độ).
4. Tiếp tuyến của đường trũn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tớnh độ dài BM.
Bài 6. Cho tam giỏc ABC nhọn, đường trũn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở
M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
1. Tính số đo các góc BMC và BNC.
2. Chứng minh AH vuụng gúc BC.
3. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.
Bài 7. Cho đường trũn tõm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường trũn sao cho
ˆ
MAB = 60 0 Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại H.
1. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường trũn (B; BM):
2. Chứng minh MN2 = 4 AH .HB .
3. Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
4. Tia MO cắt đường trũn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.
Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng.
Bài 8. Cho đường trũn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB
tớ i
đường trũn (B là tiếp điểm).
1. Tính số đo các góc của tam giác OAB.
2. Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên
đường trũn O và AC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
3. AO cắt đường trũn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tõm tam giỏc ABC.
Bài 9. Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là
hai tiếp điểm) . Gọi H là giao điểm của OA và BC.
1. Chứng minh OA ⊥ BC và tớnh tớch OH. OA theo R
2. Kẻ đường kính BD của đường trũn (O). Chứng minh CD // OA.
3. Gọi E là hỡnh chiếu của C trờn BD, K là giao điểm của AD và CE.
Chứng minh K là trung điểm CE.
Bài 10. Từ điểm A ở ngoài đường trũn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C
là các tiếp điểm). Kẻ BE ⊥ AC và CF ⊥ AB ( E ∈ AC , F ∈ AB ), BE và CF cắt nhau tại
H.
1. Chứng minh tứ giỏc BOCH là hỡnh thoi.
2. Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
3. Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường trũn (O).
23
Bài 11. Cho đường trũn (O ; 3cm) và điểm A có OA = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến AB
và AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và
BC
1. Tính độ dài OH.
2. Qua điểm M bất kỡ thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường trũn,
cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tớnh chu vi tam giỏc ADE.
3. Tính số đo góc DOE.
Bài 12. Cho nửa đường trũn tõm O đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông
góc với AB( Ax , By và nửa đường trũn thuộc cựng một nửa mặt phẳng
bờ AB). Qua điểm M bất kỡ thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn, cắt By ở
N.
1. Tính số đo góc MON.
2. Chứng minh MN = AM + BN.
3. Tớnh tớch AM. BN theo R. (sỏch bài tập toỏn 9- trang 135)
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hỡnh
chiếu của điểm H trên các cạnh AB và AC.
1. Chứng minh AD. AB = AE. AC
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh DE
là tiếp tuyến chung của hai đường trũn (M; MD) và (N; NE).
3. Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH.Giả sửAB =
6cm,
AC = 8 cm . Tính độ dài PQ.
Bài 14. Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường trũn ( với C ∈ (O) và D ∈ (O’) ).
1. Tính số đo góc CAD.
2. Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = 2 cm.
Bài 15. Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với
M
qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng :
1. MNQP là hỡnh thang cõn.
2. PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường trũn (O) và (O’) .
3. MN + PQ = MP + NQ.




24
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản