Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 5

Chia sẻ: hoa_maudo

NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ Trong chương này ta nghiên cứu các bài toán về vị trí giữa các yếu tố hình học cơ bản. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng .

Nội dung Text: Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 5

Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình



Chương V
NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ
Trong chương này ta nghiên cứu các bài toán về vị trí giữa các yếu tố hình học
cơ bản. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng .
I. GIAO ĐIỂM CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI ĐƯỜNG THẲNG
1.1: Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu
Bài toán 1: Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d. Xác định
giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 )
Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC. Vì ABC là mặt
phẳng chiếu bằng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu bằng thuộc A2B2C2
⇒ I2 thuộc A2B2C2 đồng thời I2 phải thuộc d2 ⇒ I2 là giao của A2B2C2 và d2, từ I2
⇒ I1 thuộc d1. ( H 5.1 )

B1
I1
I1
A1
d1
B1
A1
d1
C1 C1
x x
C2 B2
d2
d2 B2
C2
A2
A2
I2 I2


Hình 5.1 Hình 5.2
Bài toán 2: Cho mặt phẳng chiếu đứng ABC và một đường thẳng d. Xác định
giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 )
Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC. Vì ABC là mặt
phẳng chiếu đứng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu đứng thuộc A1B1C1
⇒ I1 thuộc A1B1C1 đồng thời I1 phải thuộc d1 ⇒ I1 là giao của A1B1C1 và d1, từ I1
⇒ I2 thuộc d2. ( H 5.2 )

32 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
II. GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI MẶT PHẲNG
Bài toán : Cho mặt phẳng R xác định bởi hai đường thẳng l và d cắt nhau tại
điểm O và mặt phẳng chiếu đứng ABC. Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng ấy?
Giải : Như ta đã biết
O1
giao tuyến của hai mặt phẳng
A1 d1
là một đường thẳng. Muốn N1 l1
xác định đường thẳng này ta
M1
B1
đi xác định hai điểm chung
C1
của hai mặt phẳng đã cho. Ở x
đây hai điểm chung ấy là hai
A2
giao điểm N, M của các
đường thẳng d, l với mặt C2
phẳng ABC mà cách tìm ta đã B2
biết ở trên ⇒ NM là giao M2 l2
tuyến cần tìm. ( H 5.3 ) d2
N2

III. GIAO ĐIỂM CỦA
O2
ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT
Hình 5.3
PHẲNG
Ở trên khi tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu và giao tuyến
của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu, ta thấy một hình chiếu của giao điểm hay giao
tuyến biết được ngay. Trong trường
R
hợp đường thẳng và mặt phẳng điều
là mặt phẳng thường. Giả sử cần xác d
định giao điểm I của đường thẳng d
và mặt phẳng P, ta làm như sau:
+ Qua d dựng mặt phẳng chiếu
N
I
R.
P
+ Xác định giao tuyến MN của M
aO
P và R. b
+ Xác định giao điểm I của d
và MN ⇒ I chính là giao điểm cần
tìm.( H 5.4 )
Hình 5.4

33 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
Bài toán : Cho đường b1
a1
thẳng d và mặt phẳng P O1
d1 ≡ R 1
xác định bởi hai đường
I1
M1
thẳng cắt nhau a và b tại N1
điểm O. Xác định giao
điểm I của d và P?
x
Giải : Qua d dựng
d2
mặt phẳng chiếu đứng R
⇒ D1 ≡ R1, dễ dàng thấy N2
rằng mặt phẳng R cắt b tại M2
I2
N, cắt a tại M ⇒ N1, M1 O2
a2
lần lượt là giao của d1 với b2
b1 và a1 khi đó ta tìm Hình 5.5
được N2, M2 thuộc b2, a2
⇒ M2N2 cắt d2 tại I2 ⇒ I1 . ( H 5.5 )
IV. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, thường chỉ cần xác định hai điểm
chung thuộc mặt phẳng đó. Ta có một điểm chung như thế bằng cách tìm giao điểm
của một đường thẳng bất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia. Do vậy việc tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng có thể đưa về việc giải liên tiếp hai lần bài toán xác
định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng mà ta vừa nghiên cứu ở trên.
Dưới đây ta trình bầy một phương pháp khác để tìm điểm chung của hai mặt
phẳng .
Cho mặt phẳng P và Q, g h
e C
B
trong đó mặt phẳng P được xác P
I Q R
f
A
định bởi hai đường thẳng song
D
song e và g, mặt phẳng Q được
xác định bởi hai đường thẳng k
U
N
cắt nhau h và f. ( H 5.6 ) S
M T
Để có một điểm chung của
hai mặt phẳng P và Q ta cắt P
và Q bằng một mặt phẳng R. Hình 5.6
+ R cắt P theo giao tuyến
AB ( Trong đó A là giao của đường thẳng e và mặt phẳng R, B là giao của đường
thẳng g với mặt phẳng R )
34 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
+ R cắt Q theo giao tuyến CD ( Trong đó C là giao của đường thẳng h và mặt
phẳng R, D là giao của đường thẳng f với mặt R )
Hai đường thẳng AB và CD cùng thuộc mặt phẳng R nên phải cắt nhau tại một
điểm I, tất nhiên I là điểm chung của P và Q. Để có được điểm chung thứ hai K ta
làm tương tự. ( H 5.6 ) Cắt P và Q bằng mặt phẳng thứ hai S.
+ S cắt P theo giao tuyến MN ( Trong đó M là giao của đường thẳng e và mặt
phẳng R, N là giao của đường thẳng g với mặt phẳng R )
+ S cắt Q theo giao tuyến UT ( Trong đó U là giao của đường thẳng f và mặt
phẳng R, T là giao của đường thẳng h với mặt R )
⇒ IK là giao tuyến cần tìm giữa mặt phẳng P và Q.
Nhưng mặt phẳng phụ trợ R và S là những mặt phẳng bất kỳ. Tuy nhiên ta phải
chọn chúng thế nào để có
e1
thể vẽ được giao tuyến của R1 g1 h1 f1
C1 I1
chúng với mặt phẳng P và A 1 B1
D1
Q, thông thường ta dùng K1
các mặt phẳng phụ trợ là
x
các mặt phẳng chiếu mà
việc vẽ giao tuyến của A2 C2
B2 I2

chúng với mặt phẳng S2 D2
thường ta đã biết. e2 K2
g2
Trên ( H 5.7 ) trình h2
f2
bày cách vẽ giao tuyến IK
Hình 5.7
trên đồ thức của hai mặt
phẳng P và Q nói trên, ở đây ta chọn mặt phụ trợ R là mặt phẳng chiếu đứng mà
hình chiếu đứng là đường thẳng R1, và S là mặt phẳng hình chiếu bằng mà hình
chiếu bằng là đường thẳng S2.
V. QUY ƯỚC VỀ THẤY KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC
Như chung ta biết khi quan sát các hình thực tế, chẳng hạn khi nhì hai tấm
phẳng cắt nhau, một tấm màu xanh và một tấm màu đỏ, ta chỉ nhìn thấy một phần
của tấm màu xanh và một phần tấm màu đỏ, còn những phần còn lại thì bị khuất. Để
hình biểu diễn cũng gây cho người xem ấn tượng giống như ấn tượng có được khi
quan xát thực tế về mặt hình dáng, trên đồ thức người ta cũng biểu diễn sự thấy
khuất theo những quy ước sau.
35 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
5.1 Xét thấy khuất trên hình chiếu đứng
Người quan xát đứng ở phía trước mặt phẳng hình chiếu đứng. Khi xét thấy
khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt
phẳng ấy.
Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục
Vậy điểm nào nằm phía sau mặt phẳng hình chiếu đứng là điểm khuất. Hai
điểm cùng tia chiếu đứng điểm nào có độ xa lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình
chiếu đứng. Điểm A là điểm nhìn thấy trên hình chiếu đứng ( H 5.8 )
A 1 ≡ B1 C1



x
D1
x
A2



C2 ≡ D2
B2


Hình 5.8 Hình 5.9
5.2 Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng
Người quan xát đứng ở phía trên mặt phẳng hình chiếu bằng. Khi xét thấy
khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt
phẳng ấy.
Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục
Vậy điểm nào nằm phía dưới mặt phẳng hình chiếu bằng là điểm khuất. Hai
điểm cùng tia chiếu bằng điểm nào có độ cao lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình
chiếu bằng. Điểm C là điểm nhìn thấy trên hình chiếu bằng ( H 5.9 )
Ví dụ: Cho đường thẳng a và tấm phẳng tam giác CDE. Vẽ giao điểm của đoạn
thẳng với tấm phẳng và chỉ phần thấy, phần khuất của đoạn thẳng
Việc xác định giao điểm của đoạn thẳng a với mặt phẳng CDE ta đã biết trên
hình 5.10 giao điểm I được xác địmh bằng cách dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt
phẳng chiếu đứng chứa đường thẳng a. Để xét thấy, khuất của đoạn thẳng ta chú ý
rằng điểm I là điểm thấy trên các hình chiếu.

36 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
Xét thấy, khuất trên hình
chiếu đứng:
C1
T1
Gọi M, N là hai điểm
cùng tia chiếu đứng, ở đây M D1
I1 M1≡ N1
thuộc đường thẳng a, N thuộc S1
a1
DE. Vì độ xa của điểm M nhỏ
hơn độ xa của điểm N nên M
E1
là điểm khuất do đó phần
đoạn IM là phần khuất, phần x

còn lại của đoạn a2
E2 M2
Xét thấy, khuất trên hình
N2
chiếu bằng:
I2
Gọi T, S là hai điểm D2

cùng tia chiếu bằng, ở đây T C2
S 2≡ T2
thuộc đường thẳng a, S thuộc
Hình 5.10
CD. Vì độ cao của điểm S
nhỏ hơn độ cao của điểm T nên S là điểm khuất do đó phần đoạn IT là phần khuất,
phần còn lại của đoạn thẳng là thấy.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Trình bày các bước giải bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với
mặt phẳng ? d1
b1
a1
2. Trình bày các bước giải bài toán
xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt
phẳng ?
3. Tìm giao điểm của đường thẳng
x
chiếu bằng a và mặt phẳng P xác định bởi
hai đường thẳng cắt nhau d và b. ( H 5.11 )
4. Vẽ giao tuyến của mặt phẳng ABC
a2
với mặt phẳng chiếu bằng Q cho bằng hai d2 b2
vết mα và nα . ( H5.12 )
Hình 5.11
5. Tìm giao điểm của đường thẳng d
với mặt phẳng Q cho bởi hai đường thẳng song song b và f. ( H 5.13 )
37 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

d1

B1


f1

C1 b1
A1 x
x
A2

b2
C2
f2

d2
B2

Hình 5.13
Hình 5.12

6. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Q cho bởi đường thẳng b
và điểm A.
7. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Q cho bởi điểm A và trục x.


d1
b1 A1
A1
d1



x
x




b2
A2 d2
d2
A2


Hình 5.14 Hình 5.15




38 http://www.ebook.edu.vn
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản