Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 6

Chia sẻ: hoa_maudo

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU Việc tìm lời giải sẽ khó khăng nếu “ Hình ” của bài toán cho ở vị trí bất kỳ. Khi ấy người ta dùng các phép biến đổi hình chiếu, để đưa “ Hình ” đã cho về vị trí đặc biệt, khi đó việc tìm lời giải được dễ dàng hơn. Sau đó người ta thường biến đổi ngược lại để đưa kết quả từ hình đã biến đổi về hình ban đâu. Dưới đây xin giới thiệu phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu, và phép dời hình song song...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 6

Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình


Chương VI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
Việc tìm lời giải sẽ khó khăng nếu “ Hình ” của bài toán cho ở vị trí bất kỳ. Khi
ấy người ta dùng các phép biến đổi hình chiếu, để đưa “ Hình ” đã cho về vị trí đặc
biệt, khi đó việc tìm lời giải được dễ dàng hơn. Sau đó người ta thường biến đổi
ngược lại để đưa kết quả từ hình đã biến đổi về hình ban đâu. Dưới đây xin giới
thiệu phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu, và phép dời hình song song với các
mặt phẳng hình chiếu.
I. PHƯƠNG PHÁP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU
1.1. Thay một trong hai mặt phẳng hình chiếu
Phương pháp chung : Thay một mặt phẳng hình chiếu là trong hệ hai mặt
phẳng hình chiếu đã cho, ta giữi nguyên một mặt phẳng và thay mặt phẳng kia bằng
một mặt phẳng khác, vẫn vuông góc với mặt phẳng hình chiêu còn lại, hướng chiếu
lúc này thay đổi và vuông góc với mặt phẳng hình chiếu mới. Vẫn quay mặt phẳng
hình chiếu quanh trục x vể trùng với mặt phẳng hình chiếu kia trong hệ.
1.1.1. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng
Giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2 ( H 6.1 a ). Thay mặt phẳng
hình chiếu bằng P2, tức là lấy một mặt phẳng P2’ vuông góc với P1, làm mặt phẳng
hình chiếu bằng mới và lấy hướng chiếu vuông góc với P2’ làm hướng chiếu mới.
Sau đó xoay P2’ về trùng với mặt phẳng P1.
P1

x' X

A1 A1
A' x
P'2 A'x
A2

x
A
x
Ax
A'2 Ax


A2
P2
A2

b)
a)
Hình 6.1
39 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
Ta nhận thấy :
+ Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi
+ Độ xa của điểm A trong hệ thống cũ bằng độ xa của điểm A trong hệ
thống mới, tức là: A2Ax = A2’Ax’ = AA1.
Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu bằng được tiến hành
trực tiếp như sau:
Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2.
+ Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P2’ sẽ có một vị trí của
trục x’ tương ứng. Việc ta chọn nó như thế nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán
cụ thể.
+ Vẽ hình chiếu bằng mới A2’ của A, ở đây A1A2’ phải vuông góc với trục x’
và A2’Ax’ = A2Ax. ( H 6.1 b )
A 2’
Ví dụ : Sử dụng phương
pháp thay mặt phẳng hình chiếu
bằng, đưa đoạn thẳng AB về x’

đường bằng trong hệ thống mặt
Ax’
phẳng hình chiếu mới. ( H 6.2 ) A1 B2’
Giải: Như ta đã biết điều
Bx’
kiện ắt có và đủ để AB là đường
B1 x
bằng thì A1B1 phải song song với Bx
Ax
trục x. Do đó để giải bài toán
B2
này, ta chọn trục x’ song song
với A1B1. Hình chiếu bằng mới
A2
của AB là A2’B2’ ( A2’Ax’ =
Hình 6.2
A2Ax, B2’Bx’ = B2Bx ) Vì trong
hệ thống mặt phẳng mới AB là
đường bằng nên ta có độ dài của đoạn thẳng AB chính bằng A2’B2’.
1.1.2 Thay mặt phẳng hình chiếu đứng
Tương tự như trên, giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2. Thay
mặt phẳng hình chiếu đứng P1, tức là lấy một mặt phẳng P1’ vuông góc với P2, làm


40 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
mặt phẳng hình chiếu đứng mới và lấy hướng chiếu vuông góc với P1’ làm hướng
chiếu mới. Sau đó xoay P1’ về trùng với mặt phẳng P2. ( H 6.3a )

P1


A1 A1
A'1
P'1 A'1
A
x
x
Ax Ax
A' x A'x
x' A2 x'
P2
A2
b)
a)
Hình 6.3
Ta nhận thấy :
+ Hình chiếu bằng A2 của A không thay đổi
+ Độ cao của điểm A trong hệ thống cũ bằng độ cao của điểm A trong hệ
thống mới, tức là: A1Ax = A1’Ax’ = AA2.
Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu đứng được tiến hành
trực tiếp như sau:
Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2.
+ Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P1’ sẽ có một vị trí của
trục x’ tương ứng. Việc ta chọn nó như thế
nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán
cụ thể. A1 B1

+ Vẽ hình chiếu đứng mới A1’ của A,
x
ở đây A1’A2 phải vuông góc với trục x’ và
Ax Bx
A1’Ax’ = A1Ax. ( H 6.3 b ) x’
A2
Ví dụ : Thay mặt phẳng hình chiếu
đứng để đường bằng AB trở thành đường B2 Ax’≡ Bx’
thẳng chiếu đứng trong hệ thống mặt
A1’ ≡ B1’
phẳng hình chiếu mới. ( H 6.4 )
Giải : Để đường thẳng AB trở thành Hình 6.4
đường thẳng chiếu đứng ta phải chọn trục

41 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
x’ vuông góc với A2B2, khi đó hình chiếu đứng mới của AB trùng thành một điểm
A1’ ≡ B1’, cách x’ một đoạn bằng độ cao của đường bằng trong hệ thống cũ.
1.2. Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu
Để giải những bài toán phức tạp, ta không thể chỉ thay một mặt phẳng hình
chiếu mà phải thay cả hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ. Chẳng hạn ta không thể chỉ
bằng một lần thay mặt phẳng hình chiếu để đua một đường thẳng bất kỳ thành
đường thẳng chiếu..... Để thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu ta làm như sau. Từ
hệ hai mặt phẳng hình chiếu ban đầu người ta giữ lại một mặt phẳng, thay một mặt
phẳng bằng một mặt phẳng mới và ta có hệ mới. Từ hệ mới này ta giữ lại mặt phẳng
vừa thay, thay mặt phẳng hình chiếu cũ bằng mặt phẳng hình chiếu mới và ta được
một hệ hoàn toàn mới so với hệ ban đầu.
B1

x'
A1
A1
x
Ax Bx
A'x
B2
A'2
x'' x’
x
Bx’
Ax A2
A''x x’’
Ax’
A1’ ≡ B1’




A'1
A2 B2’
Ax’’≡ Bx’’ A2’


Hình 6.6
Hình 6.5

Trên ( H 6.5 ) Giữ mặt phẳng hình chiếu bằng P2, thay mặt phẳng hình chiếu
đứng P1 = mằt phẳng mới P1’. P1’ vuông góc với P2 ta được hệ mới ( P1’, P2 ) có
hình chiếu của điểm A ( A1’, A2 ). Từ hệ mới này ta thay tiếp mặt phẳng hình chiếu
bằng P2 = mặt phẳng mới P2’. P2’ vuông góc với P1’ ta được hệ mới hoàn toàn là
( P1’, P2’ ) có hình chiếu của điểm A ( A1’, A2’ ).
Ví dụ : Sử dụng phép thay mặt phẳng hình chiếu, đưa đường thẳng AB về
đường thẳng chiếu bằng, trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới. ( H 6.6 )
Giải : Ta nhận thấy AB là đường thẳng thường vì vậy để đưa AB về đường
thẳng chiếu bằng, ta phải sử dụng phương pháp thay liên tiếp hai mặt phẳng hình
chiếu. Đầu tiên phải thay mặt phẳng hình chiếu đứng để AB là đường bằng, đạt x’

42 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
song song với A2B2 ( Phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng ). Sau đó thay mặt
phẳng hình chiéu bằng để AB là đường thẳng chiếu bằng, đặt x’’ vuông góc với
A2’B2’. ( H 6. 6 )
II. PHÉP DỜI HÌNH
Định nghĩa : Phép dời hình là phép dời hình đến một vị trí mới sao cho khoảng
cách của hai điểm bất kỳ A và B bằng khoảng cách của hai điểm tương ứng A’, B’.
Tính chất : + Phép dời hình là phép biến đổi một đối một.
+ Phép dời hình bảo tồn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng.
2.1. Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng
Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng là phép dời
hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng.
A 1’
A1
Tính chất : + Hình chiếu đứng
B1 B1’
của các đoạn thẳng nối các cặp điểm
x
tương ứng AA’, BB’...... đều song song
với trục x ( A1A’1 // B1B’1 // ..... x )
B2 B2’
Thực vậy, trong phép dời hình A2’
A2
song song với mặt phẳng hình chiếu
bằng những đoạn thẳng AA’, BB’ ...
Hình 6.7
đều là những đường bằng.
+ Hình chiếu bằng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là
bằng nhau. ( A2B2 = A2’B2’ ). ( H 6.7 )
Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 được thực
hiện trên đồ thức như sau:
+ Vẽ hình chiếu bằng Φ2’ = Φ2 ( Vị trí Φ2’ được xác định theo yêu cầu của
từng trường hợp )
+ Vẽ Φ1’. Mỗi điểm A1’ của Φ1’ được xác định bằng giao điểm của hai đường
gióng. Đường gióng qua A1 và song song với trục x và đường thẳng qua A2’ và
vuông góc với trục x. ( H 6.7 )



43 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
Ví dụ : Xác định độ dài của đoạn thẳng AB. ( H 6.8 )
Giải : Để xác định độ dài của
B1 B1’
đoạn thẳng AB ta dời AB đến A’B’
song song với mặt phẳng hình chiếu A 1’
A1
đứng P1 ( A’B’ là đường mặt ) vậy ta
x
dời A2B2 đến A2’B2’ song song với
trục x ( A2B2 = A2’B2’ ). Theo A1B1
và A2’B2’, xác định A1’B1’. Độ dài A2 B2’
A2’

của A1’B1’ chính là độ dài của AB.
B2
2.2. Phép dời hình song song
Hình 6.8
mặt phẳng hình chiếu đứng
Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng là phép dời
hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình
chiếu đứng. ( H 6.9 )
Tính chất : + Hình chiếu bằng của A 1’
các đoạn thẳng nối các cặp điểm tương B1
ứng AA’, BB’...... đều song song với trục x B1’
A1
( A2A’2 // B2B’2 // ..... x )
x
Thực vậy, trong phép dời hình song
song với mặt phẳng hình chiếu đứng
A2’
những đoạn thẳng AA’, BB’ ... đều là A2
những đường mặt.
+ Hình chiếu đứng của B2 B2’
hai hình tương ứng trong phép dời hình là Hình 6.9
bằng nhau. ( A1B1 = A1’B1’ ). ( H 6.9 )
Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 được thực hiện
trên đồ thức như sau:
+ Vẽ hình chiếu đứng Φ1’ = Φ1 ( Vị trí Φ1’ được xác định theo yêu cầu của
từng trường hợp )
+ Vẽ Φ2’. Mỗi điểm A2’ của Φ2’ được xác định bằng giao điểm của hai đường
gióng. Đường gióng qua A2 và song song với trục x và đường thẳng qua A1’ và
vuông góc với trục x. ( H 6.9 )
44 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình
Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC. ( H 6.10 )
Giải :Từ hình vẽ ta thấy A1B1C1 nằm trên một đường thẳng ⇒ Mặt phẳng
ABC là mặt phẳng chiếu đứng. Vì vậy phép dời hình song song với măt phẳng hình
chiếu đứng có thể đưa mặt phẳng ABC về mặt mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng
thật của ABC chính là A2’B2’C2’. Muốn vậy dời A1B1C1 về song song với trục x.
( H 6. 10 )
B1
C1 A1 ’ C1’ B1’




A1
x


B2 B2’



A2 A2’




C2’
C2


Hình 6.10
2.3. Thực hiện liên tiếp các phép dời hình song song với mặt phẳng hình
chiếu
Cũng như trong phép thay mặt phẳng hình chiếu, với những bài toán phức tạp
ta không thể chỉ dùng một phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu mà
phải dùng liên tiếp hai hoặc nhiều hơn nữa các phép dời ấy.
Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC ( H 6.11 ).
Giải : Để xác định được dạng thật của tam giác ABC ta đưa chúng về mặt
phẳng bằng. Vì vây để làm được việc này trước tiên ta phải đưa ABC về mặt phẳng
chiếu đứng, muốn vậy ta phải dời A2B2C2 đến A2’B2’C2’ sao cho ở vị trí này
đường bằng AE là đường thẳng chiếu đứng. ( A2’E2’ vuông góc với trục x ) sau đó

45 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình

C1’
C1




A1’≡ E1’ C1” A1” B1”
E1
A1

B2 B1’
x

B2”
B2’
C2



A2
C2’ C2”
E2

A 2”
A2’
B2


Hình 6.11


tương tự như ví dụ trên ta đưa ABC về mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng thật của
ABC chính là A2”B2”C2”. ( H 6.11 ). Lưu ý tương tự như trên ta có thể giải bài
toán bằng việc đưa mặt phẳng ABC về mặt phẳng mặt.




CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Định nghĩa phép thay mặt phẳng hình chiếu bằnmặt phẳng, phép thay mặt
phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?
2. Định nghĩa phép dời hình song song măt phẳng hình chiếu bằng, phép dời
hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?
3. Xácđịnh góc nghiêng của mặt phẳng P ( ABC ) đối với mặt phẳng hình chiếu
bằng. ( H 6.12 )
4. Xác định trọng tâm của tam giác ABC. ( H 6.13 )



46 http://www.ebook.edu.vn
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình


B1
C1




A1 A1


B1
C1
x
x

B2



A2 A2


B2

C2
C2

Hình 6.12 Hình 6.13




47 http://www.ebook.edu.vn
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản