Hình học không gian - Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

Chia sẻ: hoangphuc123tk21

Tài liêu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệp lớp 12 và ôn thi đại học

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Hình học không gian - Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN




Chuyên đ 7 PHƯƠNG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIAN



ℑ1T AĐ ĐI M VÀ VECTƠ
A. CÁC KI N TH C CƠ B N:
I. T a đ đi m :

Trong không gian v i h t a đ Oxyz:
uuuu
r r r r
1. M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + yM j + zM k
uuu
r
2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) ;
AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + (zB − zA )2
x A + xB y A + y B z A + z B 
3. M là trung đi m AB thì M 
 ; ; 
 2 2 2 

II. T a đ c a véctơ:

Trong không gian v i h t a đ Oxyz .
r r r r r
1. a = (a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k
r r
2. Cho a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có

a1 = b1
r r 
a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r r
a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
k.a = (ka1; ka2 ; ka3 )
rr r r r r
a.b = a . b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
a = a12 + a2 + a3
2 2


r r a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 r r r r
cos(a, b) = (v i a ≠ 0 , b ≠ 0 )
a +a +a . b +b +b
2
1
2
2
2
3 1
2 2
2
2
3
r r
a và b vuông góc ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0

III. Tích có hư ng c a hai vectơ và ng d ng:
r r
Tích có hư ng c a a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) là :
r r  a a a a a a 
 a , b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2  = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ; a 3 b1 − a 1 b 3 ; a 1 b 2 − a 2 b1 )
 
 b 2 b 3 b 3 b1 b 1b 2 


Trang 64
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

Chương trình chu n Chương trình nâng cao
1.Tính ch t :
r r r r r r
 a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b
   
r r r r r r
 a, b  = a b sin(a, b)
r r a1 = kb1  
r r
a và b cùngphương ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2

r r r r
a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0
r
a = kb  
 3 3 r r r r r r
r r r r r r a , b , c đ ng ph ng ⇔  a, b  .c = 0
 
a , b , c đ ng ph ng ⇔ ∃m, n ∈ R : c = ma + nb
r r
( a , b không cùng phương)

2.Các ng d ng tích có hư ng :
1 uuu uuur
r 2 1 uuu uuur
r
Di n tích: S ABC =
2
(
AB 2 . AC 2 − AB. AC ) Di n tích tam giác : S ABC =
2
[ AB, AC ]

1 1 uuu uuur uuur
r
Th tích: VABCD = S ABC .d ( C , ( ABC ) ) Th tích t di nVABCD= [ AB, AC ]. AD
3 6
Th tích kh i h p: Th tích kh i h p:
uuu uuur uuur
r
VABCD.A’B’C’D’= 2S ABC .d ( A ', ( ABC ) ) VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD ]. AA '

V.Phương trình m t c u:
1. M t c u (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
2. Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 v i A2+B2+C2-D>0
là phương trình m t c u tâm I(-A;-B;-C) , bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D .

IV. Đi u ki n khác:( Ki n th c b sung )
uuur uuur
1. N u M chia đo n AB theo t s k ( MA = k MB ) thì ta có :
xA − kxB y − kyB z − kzB
xM = ; yM = A ; zM = A V ik≠1
1− k 1− k 1− k
xA + xB + xC y +y +y z +z +z
2. G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔ xG = ; yG = A B C ; zG = A B C
3 3 3
 xA + xB + xC + xD
 xG = 4

 y A + yB + yC + yD
3. G là tr ng tâm c a t di n ABCD ⇔  yG =
 4
 z A + z B + zC + z D
 zG =
 4

BÀI T P

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
uuu uuur uuu uuu
r r r
a) Tính F =  AB, AC  .(OA + 3CB) .
 
b) Ch ng t r ng OABC là m t hình ch nh t tính di n tích hình ch nh t đó.
c) Vi t phương trình m t ph ng (ABC).
d) Cho S(0;0;5).Ch ng t r ng S.OABC là hình chóp.Tính th tích kh ichóp đó

Trang 65
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN


Bài 2: Cho b n đi m A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Ch ng minh r ng A,B,C,D là b n đ nh c a t di n.
b) Tìm t a đ tr ng tâm G c a t di n ABCD.
c) Tính các góc c a tam giác ABC.
d) Tính di n tích tam giác BCD.
e) Tính th tích t di n ABCD và đ dài đư ng cao c a t di n h t đ nh A.

Bài 3: Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ bi t A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a) Tìm t a đ các đ nh còn l i c a hình h p.
b) Tính th tích hình h p.
c) Ch ng t r ng AC’ đi qua tr ng tâm c a hai tam giác A’BD và B’CD’.
d) Tìm t a đ đi m H là hình chi u vuông góc c a D lên đo n A’C.

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho đi m A(2;3;4). G i M1, M2, M3 l n lư t là hình chi u
c a A lên ba tr c t a đ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chi u c a A lên ba m t ph ng
t a đ Oxy, Oyz, Ozx.
a) Tìm t a đ các đi m M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
b) Ch ng minh r ng N1N2 ⊥ AN3 .
c) G i P,Q là các đi m chia đo n N1N2, OA theo t s k xác đ nh k đ PQ//M1N1.

Bài 5:a/. Cho ba đi m A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6).Tìm x, y đ A, B, C th ng
hàng
b/.Cho hai đi m A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2).Tìm đi m M thu c mp(Oxy) sao cho
MA + MB nh nh t.
c/. Tìm trên Oy đi m cách đ u hai đi m A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
d/. Tìm trên mp(Oxz) đi m cách đ u ba đi m A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1).
e/. Cho hai đi m A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đư ng th ng AB c t mp(Oyz) t i đi m
M.
Đi m M chia đ an AB theo t s nào? Tìm t a đ đi m M.

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)
a) Ch ng minh b n đi m đó không đ ng ph ng. Tính th tích t di n ABCD.
b) Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC, tr ng tâm c a t di n ABCD.
c) Tính di n tích các m t c a t di n ABCD
d) Tính đ dài các đư ng cao c a t di n ABCD
e) Tính góc gi a hai đư ng th ng AB và CD.
f) Vi t phương trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD.

Bài 7: Cho b n đi m A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1).
a) Ch ng minh ABC là tam giác vuông.
b) Tính bán kính đư ng tròn n i, ng ai ti p tam giác ABC.
c) Tính đ dài đư ng phân giác trong c a tam giác ABC v t đ nh C.

Bài 8 :Vi t phương trình m t c u trong các trư ng h p sau:
a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đư ng kính b ng 8.
b) Đư ng kính AB v i A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)

Trang 66
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) ti p xúc v i m t c u tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
e) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và ti p xúc mp(Oxy).



Bài 9 :Vi t phương trình m t c u trong các trư ng h p sau:
a) Đi qua ba đi m A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm n m trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai đi m A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thu c tr c Oz.
c) Đi qua b n đi m A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 10 :Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m đ nó là
phương trình m t m t c u và tìm m đ bán kính m t c u là nh nh t.


ℑ2. M T PH NG

A. CÁC KI N TH C CƠ B N:
I. Phương trình m t ph ng:
§ Đ nh nghĩa :
Trong không gian Oxyz phương trình d ng Ax + By + Cz + D = 0
v i A2+B2+C2 ≠ 0 đư c g i là phương trình t ng quát c a m t ph ng
r
M t ph ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuy n là n = ( A; B; C )
r
M t ph ng (P) đi qua đi m M0(x0;y0;z0) và nh n n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuy n
có phương trình d ng: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
r r
N u (P) có c p vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) không cùng phương và có giá song
r r r
song ho c n m trên (P) thì vectơ pháp tuy n c a (P) đư c xác đ nh n =  a, b 
 

§ Các trư ng h p riêng c a phương trình m t ph ng :

Trong không gian Oxyz cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
D = 0 khi và ch khi ( α ) đi qua g c t a đ .
A=0 ,B ≠ 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0 khi và ch khi (α ) song song v i tr c Ox
A=0 ,B = 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0 khi và ch khi (α ) song song mp (Oxy )
D D D x y z
A,B,C,D ≠ 0 . Đ t a = − , b=− ,c=− Khi đó ( α ) : + + = 1
A B C a b c
(Các trư ng h p khác nh n xét tương t )

II. V trí tương đ i c a hai m t ph ng

Trong không gian Oxyz cho ( α ): Ax+By+Cz+D=0 và ( α ’):A’x+B’y+C’z+D’=0
( α )c t ( α ’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
( α ) // ( α ’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
( α ) ≡ ( α ’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đ c bi t

Trang 67
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN
ur uu
r
( α ) ⊥ ( α ’) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ A. A '+ B.B '+ C.C ' = 0

B. BÀI T P:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho b n đi m A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Vi t phương trình m t ph ng (ABC).
b) Vi t phương trình m t ph ng trung tr c c a đo n AC.
c) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a AB và song song v i CD.
d) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a CD và vuông góc v i mp(ABC).

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x – y + 2z - 4=0 và
(Q): x - 2y - 2z + 4=0
a) Ch ng t r ng hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng (∆) là giao tuy n c a hai m t
ph ng đó.
c) Ch ng minh r ng đư ng th ng (∆) c t tr c Oz .Tìm t a đ giao đi m.
d) M t ph ng (P) c t ba tr c t a đ t i ba đi m A,B,C. Tính di n tích tam giác
ABC.
e) Ch ng t r ng g c t a đ O không thu c m t ph ng (P), t đó tính th tích t
di n OABC.

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a) Vi t phương trình mp (Q) đi qua g c t a đ O và song song v i mp (P).
b) Vi t phương trình tham s , chính t c c a đư ng th ng đi qua g c t a đ O và
vuông góc v i m t mp(P).
c) Tính kho ng cách t g c t a đ đ n m t ph ng (P). ( TNPT năm 1993)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Ch ng t hai m t ph ng đó c t nhau
b) L p phương trình m t ph ng (α) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q)
và đi qua A(-1;2;3).
c) L p phương trình m t ph ng (β) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q)
và song song v i Oz.
d) L p phương trình m t ph ng ( γ ) đi qua g c t a đ O và vuông góc v i hai m t
ph ng (P) và (Q).

Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho đi m M(2;1;-1) và m t ph ng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0
a) Tính đ dài đo n vuông góc k t M đ n m t ph ng (P).
b) Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua M vuông góc v i m t ph ng (P).
c) Vi t phương trình m t ph ng (α) đi qua đi m M song song Ox và h p v i m t
ph ng (P) m t góc 450.

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và
(Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0
a) Xác đ nh giá tr k và m đ hai m t ph ng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy
tính kho ng cách gi a hai m t ph ng.
b) Trong trư ng h p k = m = 0 g i (d) là giao tuy n c a (P) và (Q), hãy tính
kho ng cách t A(1;1;1) đ n đư ng th ng (d).

Trang 68
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

ℑ3. ĐƯ NG TH NG

A. CÁC KI N TH C CƠ B N:
I. Phương trình đư ng th ng:

Đ nh nghĩa :
Phương trình tham s c a đư ng th ng ∆ đi qua đi m M0(x0;y0;z0) và có vectơ
r
ch phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) :
 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t (t ∈ R)
z = z + a t
 0 3

N u a1, a2 , a3 đ u khác không .Phương trình đư ng th ng ∆ vi t dư i d ng
chính t c như sau:
x − x0 y − y0 z − z0
= =
a1 a2 a3


II V Trí tương đ i c a các đư ng th ng và các m t ph ng:

Chương trình chu n Chương trình nâng cao
1)V trí tương đ i c a hai đư ng th ng. 1)V trí tương đ i c a hai đư ng th ng.
Trong Kg Oxyz cho hai đư ng th ng Trong Kg Oxyz cho hai đư ng th ng
 x = xo + a1t  x = xo + a1' t '
'
 x = xo + a1t  x = xo + a1' t '
'

   
d :  y = yo + a2t d ' :  y = yo + a2t '
' '
d :  y = yo + a2t d ' :  y = yo + a2t '
' '

z = z + a t  z = z + a t 
 z = zo + a3t '  z = zo + a3t '
' ' ' '
 0 3  0 3
r ur r ur
d cóvtcp u đi qua Mo;d’có vtcp u ' đi quaMo’ d có vtcp u điqua Mo;d’cóvtcp u ' điqua Mo’
r ur
u , u ' cùng phương r ur r
r ur [u, u ']=0
u = ku '
 
§ d // d’⇔  (d) // (d’) ⇔ 
M 0 ∉ d '  Mo ∉ d '

 r ur r
r ur [u, u ']=0
u = ku '
 
§ d ≡ d’⇔  (d) ≡ (d’) ⇔ 
M 0 ∈ d '  M0 ∈ d '


r ur
u , u ' không cùng phương
 xo + a1t = xo + a1' t '
' r ur
 u , u ' ≠ 0
  
 yo + a2t = yo + a2t '
' '
(I) (d) c t (d’) ⇔  r ur uuuuuur
  
 u , u ' .M o M 0 = 0
'

 z0 + a3t = zo + a3t '
' '
r ur uuuuuur
§ dc td’⇔H Ptrình (I) có m t nghi m (d) chéo (d’) ⇔ u , u ' .M 0 M 0' ≠ 0
 
§ d chéo d’⇔H Ptrình (I) vô nghi m




Trang 69
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

2)V trí tương đ ic a đth ng vàm tph ng: 2)V trí tương đ ic a đth ng vàm tph ng:
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0 Trong không gian Oxyz cho đư ng th ng
r
 x = xo + a1t d qua M(x0;y0;z0) có vtcp a = (a1 ; a2 ; a3 )
 r
và d :  y = yo + a2t
và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt n = ( A; B; C )
z = z + a t rr
 0 3
d c t (α) ⇔ a.n ≠ 0
pt:A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)+D=0(1) rr
a.n = 0

d // (α) ⇔ 
P.trình (1) vô nghi m thì d // (α)  M ∉ (α )

rr
P.trình (1) có m t nghi m thì d c t (α) a.n = 0

P. trình (1) có vô s nghi m thì d ⊂ (α) d ⊂ (α) ⇔ 
 M ∈ (α )

Đ c bi t :
r r (B sungki nth c chươngtrình nâng cao)
( d ) ⊥ ( α ) ⇔ a, n cùng phương
3) Kho ng cách:
Kho ng cách gi a hai đi m A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
AB = (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + (zB − zA )2
Kho ng cách t M0(x0;y0;z0) đ n m t ph ng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho b i công th c
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
d ( M 0 , (α )) =
A2 + B 2 + C 2
Kho ng cách t M đ n đư ng th ng d Kho ng cách t M đ n đu ng th ng d
r
Phương pháp : ( d đi qua M0 có vtcp u )
§ L p ptmp( α )đi quaM vàvuônggócv i d uuuuur r
§ Tìm t a đ giao đi m Hc a mp( α ) và d [M 0 M , u ]
d (M , d ) = r
§ d(M, d) =MH u


Kho ng cách gi a hai đư ng chéo nhau: Kho ng cách gi a hai đư ng chéo nhau
r r
d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a = (a1; a2 ; a3 ) d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a = (a1; a2 ; a3 )
uu
r uur
d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp a ' = (a '1; a '2 ; a '3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp a ' = (a '1; a '2 ; a '3 )
r uu uuuuu
r r
Phương pháp : [a, a '].MM ' Vhop
§ L p ptmp( α )ch a d và songsong v i d’ d (d , d ') = r uur =
[ a, a '] Sday
§ d(d,d’)= d(M’,( α ))

Ki n th c b sung
G iφ là góc gi a hai m t ph ng (00≤φ≤900)
(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
uu uu
r r
uu uu
r r n P .nQ A.A' + B.B '+ C.C '
cosϕ = cos(n P , nQ ) = uu uur =
r
n P . nQ A2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2

Góc gi a hai đư ng th ng
r
(∆) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 )
uu
r
(∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1; a '2 ; a '3 )


Trang 70
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN
r uu
r
r uur a.a ' a1.a '1 + a2 .a '2 + a3 .a '3
cosϕ = cos( a, a ') = r uu =
r
a . a' a12 + a2 + a3 . a '1 + a '2 + a '3
2 2 2 2 2




Góc gi a đư ng th ng và m t ph ng
r r
(∆) đi qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C )
G i φ là góc h p b i (∆) và mp(α)

r r Aa1 +Ba 2 +Ca 3
sin ϕ = cos(a, n) =
A + B 2 + C 2 . a12 + a2 + a3
2 2 2




B. BÀI T P:
Bài 1:
a) Vi t phương trình tham s ,chính t c c a đư ng th ng qua hai đi m
A(1;3;1) và B(4;1;2).
b) Vi t phương trình đư ng th ng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc v i m t ph ng
(P) : 2x – z + 1=0 . Tìm t a đ giao đi m c a (d) và (P).
c) Vi t phương trình tham s , chính t c c a đu ng th ng d là giao tuy n c a hai
m t ph ng ( P ) : 2 x + y − z + 4 = 0 , ( Q ) : x − y + 2 z + 2 = 0

Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba đi m A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và m t đư ng
x = t

th ng (∆) có phương trình :  y = 9 + 2t , t∈R
 z = 5 + 3t

a) Vi t phương trình m t ph ng (α) đi qua ba đi m A,B,C.
b) Vi t phương trình tham s , chính t c đư ng th ng BC.Tính d(BC,∆).
c) Ch ng t r ng m i đi m M c a đư ng th ng (∆) đ u th a mãn AM ⊥ BC,
BM ⊥ AC, CM ⊥ AB.

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hình h p ch nh t có các đ nh A(3;0;0), B(0;4;0),
C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đ nh đ i di n v i O.
a) Xác đ nh t a đ đ nh D.Vi t phương trình t ng quát m t ph ng (A,B,D).
b) Vi t phương trình đư ng th ng đi qua D và vuông góc v i m t ph ng (A,B,D).
c) Tính kho ng cách t đi m C đ n m t ph ng (A,B,D).
 x = −2t '  x=2+t
 
Bài 4: Cho hai đư ng th ng: (∆) :  y = 3 (∆'):  y=1-t t, t ' ∈ R
z = 1+ t '  z=2t
 
a) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (∆) và (∆’) không c t nhau nhưng vuông
góc nhau.
b) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng (∆)và (∆’).
c) Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua (∆) và vuông góc v i (∆’).
d) Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a (∆)và (∆’).


Trang 71
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho b n đi m A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3).
a) L p phương trình tham s đư ng th ng AB.
b) L p phương trình mp (P) đi qua đi m C và vuông góc v i đư ng th ng AB.
c) L p phương trình đư ng th ng (d) là hình chi u vuông góc c a đư ng th ng
CD xu ng m t ph ng (P).
d) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và CD.

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a) Tính các góc t o b i các c p c nh đ i di n c a t di n ABCD.
b) Vi t phương trình m t ph ng (ABC).
c) Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua D vuông góc v i m t ph ng (ABC).
d) Tìm t a đ đi m D’ đ i x ng D qua m t ph ng (ABC).
e) Tìm t a đ đi m C’ đ i x ng C qua đư ng th ng AB.

Bài 7: Cho đư ng th ng
 x = −2 + t

(∆ ) :  y = 4t và mp (P) : x + y + z - 7=0
 z = −1 + 2t

a) Tính góc gi a đư ng th ng và m t ph ng.
b) Tìm t a đ giao đi m c a (∆) và (P).
c) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a (∆) trên mp(P).

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đư ng th ng (∆) và (∆’) l n lư t có phương
 x = 7 + 3t
x −1 y + 2 z − 5 
trình: ∆ : = = ; ∆ ' :  y = 2 + 2t .
2 −3 4  z = 1 − 2t

a) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (∆) và (∆’) cùng n m trong m t ph ng ( α )
b) Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (α)
c) Vi t phương trình đư ng th ng (d) vuông góc và c t c hai đư ng th ng (∆) và
(∆’) .

Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho ba đi m A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đư ng
th ng (∆): x = 5 + t ; y = -1 + 2t ; z = - 4 + 3t .
a) L p phương trình m t ph ng (α) đi qua A , B, C. Ch ng minh r ng (α) và (∆)
vuông góc nhau, tìm t a đ giao đi m H c a chúng.
b) Chuy n phương trình c a (∆) v d ng chính t c. Tính kho ng cách t đi m
M(4;-1;1) đ n (∆).
c) L p phương trình đư ng th ng (d) qua A vuông góc v i (∆), bi t (d) và (∆) c t
nhau.
BÀI T P T NG H P:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho m t c u (S) : x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 6z = 0 và hai đi m
M(1;1;1), N(2;-1;5).
a) Xác đ nh t a đ tâm I và bán kính c a m t c u (S).
b) Vi t phương trình đư ng th ng MN.
c) Tìm k đ m t ph ng (P): x + y – z + k = 0 ti p xúc m t c u (S).

Trang 72
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

d) Tìm t a đ giao đi m c a m t c u (S) và đư ng th ng MN .Vi t phương trình
m t ph ng ti p xúc v i m t c u t i các giao đi m.

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0).
a) Ch ng minh r ng A,B,C,D là b n đ nh c a t di n.
b) Tính th tích t di n ABCD.
c) Vi t phương trình m t ph ng qua ba đi m A,B,C.
d) Vi t phương trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Xác đ nh t a đ tâm và
bán kính m t c u đó
e) G i (T) là đư ng tròn qua ba đi m A,B,C . Hãy tìm tâm và tính bán kính c a
đư ng tròn (T)

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và m t c u
(S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6=0
a) Xác đ nh t a đ tâm I và bán kính r c a m t c u (S).
b) Tính kho ng cách t tâm I đ n m t ph ng (P).T đó suy ra r ng m t ph ng (P)
c t m t c u (S) theo m t đư ng tròn mà ta ký hi u là (C). Tính bán kính R và
t a đ tâm H c a đư ng tròn (C).

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (P): x + 2y – z + 5 = 0, đi m I(1;2;-2) và
đư ng th ng
 x = −1 + 2t

(d ) :  y = t , t∈R
 z = 4+t

a) Tìm giao đi m c a (d) và (P). Tính góc gi a (d) và (P).
b) Vi t phương trình m t c u (S) tâm I ti p xúc v i m t ph ng (P).
c) Vi t phương trình m t ph ng (Q) qua (d) và I.
d) Vi t phương trình đư ng th ng (d’) n m trong (P), c t (d) và vuông góc (d).

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2) , B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Ch ng minh A,B,C,D là b n đi m đ ng ph ng.
b) G i A’ là hình chi u vuông góc c a đi m A trên m t ph ng Oxy. hãy vi t
phương trình m t c u (S) đi qua b n đi m A’,B,C,D.
c) Vi t phương trình ti p di n (α) c a m t c u (S) t i đi m A’.


Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)
a) Vi t phương trình m t ph ng (P) vuông góc OC t i C. Ch ng minh O,B,C
th ng hàng. Xét v trí tương đ i c a m t c u (S) tâm B, bán kính R = 2 v i
m t ph ng (P).
b) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng là hình chi u vuông góc c a đư ng
th ng AB lên m t ph ng (P).

Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 1 = 0, mp(P) c t các tr c t a đ t i
A, B, C.




Trang 73
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

a) Tìm t a đ A, B, C. Vi t phương trình giao tuy n c a (P) v i các m t ph ng
 x = 2+t

t a đ . Tìm t a đ giao đi m D c a (d):  y = −t , t ∈ R v i mp(Oxy). Tính
 z = −3 − 3t

th tích t di n ABCD.
b) L p phương trình m t c u (S) ngo i ti p t di n ABCD. G i (T) là đư ng tròn
ngo i ti p tam giác ACD. Xác đ nh tâm và tính bán kính c a đư ng tròn đó.

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 đi m A, B, C, D có t a đ xác đ nh b i:
uuu r r r
r uuur r r r
A = (2; 4; −1), OB = i + 4 j − k , C = (2; 4;3), OD = 2i + 2 j − k
a) Ch ng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính th tích kh i t di n ABCD.
b) Vi t phương trình tham s c a đư ng (d) vuông góc chung c a hai đư ng
th ng AB và CD. Tính góc gi a (d) và m t ph ng (ABD).
c) Vi t phương trình m t c u (S) qua 4 đi m A, B, C, D.Vi t phương trình ti p
di n (α ) c a (S) song song v i m t ph ng (ABD).

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 đi m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và
mp(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Vi t pt m t c u đi qua 3 đi m A, B, C và có tâm thu c mp (P).
b) Tính đ dài đư ng cao k t A xu ng BC
c) Cho D(0;3;0).Ch ng t r ng DC song song v i mp(P) t đó tính kho ng cách
gi a đư ng th ng DC và m t ph ng (P).

Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
a) Vi t phương trình m t c u qua 4 đi m O, A, B, C. Tìm t a đ tâm I và bán
kính c a m t c u.
b) Vi t phương trình m t ph ng(ABC).
c) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng qua I và vuông góc m t
ph ng(ABC).
d) Tìm t a đ tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.

Bài 11: Cho m t c u (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0
a) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u (S).
b) G i A,B,C l n lư t là giao đi m (khác đi m g c t a đ ) c a m t c u (S) v i
các tr c t a đ Ox,Oy,Oz.Tính t a đ A,B,C và vi t phương trình m t ph ng
(ABC).
c) Tính kho ng cách t tâm m t c u đ n m t ph ng.T đó hãy xác đ nh tâm và
bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.


ℑ5. GI I TOÁN B NG HHGT

A. CÁCH GI I CHUNG
Đ gi i bài toán b ng phương pháp t a đ trong không gian ta có th ch n cho nó
m t h tr c t a đ phù h p r i chuy n v hình h c gi i tích đ gi i.
Các bư c chung đ gi i như sau:
B1: Ch n h tr c t a đ thích h p.

Trang 74
HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN

B2: Chuy n các yêu c u c a bài toán v HH gi i tích.
B3: Gi i b ng HH gi i tích.
B4: K t lu n các tính ch t, đ nh tính, đ nh lư ng... c a bài toán đ t ra.

B. BÀI T P:

Bài 1: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a
a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A’B và B’D.
b) G i M,N,P l n lư t là trung đi m BB’, CD, A’D’.Tính góc gi a hai đư ng
th ng MP và C’N.

Bài 2:Cho hình chóp t giác đ u có c nh bên và c nh đáy b ng a. Tính góc h p b i c nh
bên và m t bên đ i di n.

Bài 3:Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t ph ng (ABC), đáy ABC là tam
giác vuông t i C. Cho SA = AC = CB = a
a) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AC và SB.
b) Tính góc gi a đư ng th ng SA và mp(SBC).

Bài 4 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C; SA ⊥ (ABC), AC=a,
BC=b, SA=h. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AC và SB.
a) Tính đ dài MN.
b) Tìm h th c liên h gi a a, b, h đ MN là đư ng vuông góc chung c a các
đư ng th ng AC và SB.

Bài 5 Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’.Tính s đo c a góc nh di n [B,A’C,D].

Bài 6 Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình thoi c nh a, góc
BAD = 600 . G i M là trung đii m c nh AA’ và N là trung đi m c a c nh CC’. Ch ng
minh r ng b n đi m B’,M,D,N cùng thu c m t m t ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA’
theo a đ t giác B’MDN là hình vuông.

Bài 7*: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có c nh a. M là đi m thu c AD’ và N
thu c BD sao cho AM=DN=k (0
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản