Hình học không gian - Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

Chia sẻ: Nguyen Huu Phuc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

0
1.540
lượt xem
674
download

Hình học không gian - Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Lưu

Nội dung Text: Hình học không gian - Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

  1. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN Chuyên đ 7 PHƯƠNG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIAN ℑ1T AĐ ĐI M VÀ VECTƠ A. CÁC KI N TH C CƠ B N: I. T a đ đi m : Trong không gian v i h t a đ Oxyz: uuuu r r r r 1. M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + yM j + zM k uuu r 2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) ; AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + (zB − zA )2 x A + xB y A + y B z A + z B  3. M là trung đi m AB thì M   ; ;   2 2 2  II. T a đ c a véctơ: Trong không gian v i h t a đ Oxyz . r r r r r 1. a = (a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k r r 2. Cho a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 3 r r a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r k.a = (ka1; ka2 ; ka3 ) rr r r r r a.b = a . b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 r a = a12 + a2 + a3 2 2 r r a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 r r r r cos(a, b) = (v i a ≠ 0 , b ≠ 0 ) a +a +a . b +b +b 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 r r a và b vuông góc ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0 III. Tích có hư ng c a hai vectơ và ng d ng: r r Tích có hư ng c a a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) là : r r  a a a a a a   a , b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2  = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ; a 3 b1 − a 1 b 3 ; a 1 b 2 − a 2 b1 )    b 2 b 3 b 3 b1 b 1b 2  Trang 64
  2. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN Chương trình chu n Chương trình nâng cao 1.Tính ch t : r r r r r r  a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b     r r r r r r  a, b  = a b sin(a, b) r r a1 = kb1   r r a và b cùngphương ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2  r r r r a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 r a = kb    3 3 r r r r r r r r r r r r a , b , c đ ng ph ng ⇔  a, b  .c = 0   a , b , c đ ng ph ng ⇔ ∃m, n ∈ R : c = ma + nb r r ( a , b không cùng phương) 2.Các ng d ng tích có hư ng : 1 uuu uuur r 2 1 uuu uuur r Di n tích: S ABC = 2 ( AB 2 . AC 2 − AB. AC ) Di n tích tam giác : S ABC = 2 [ AB, AC ] 1 1 uuu uuur uuur r Th tích: VABCD = S ABC .d ( C , ( ABC ) ) Th tích t di nVABCD= [ AB, AC ]. AD 3 6 Th tích kh i h p: Th tích kh i h p: uuu uuur uuur r VABCD.A’B’C’D’= 2S ABC .d ( A ', ( ABC ) ) VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD ]. AA ' V.Phương trình m t c u: 1. M t c u (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình là :(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 2. Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D=0 v i A2+B2+C2-D>0 là phương trình m t c u tâm I(-A;-B;-C) , bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D . IV. Đi u ki n khác:( Ki n th c b sung ) uuur uuur 1. N u M chia đo n AB theo t s k ( MA = k MB ) thì ta có : xA − kxB y − kyB z − kzB xM = ; yM = A ; zM = A V ik≠1 1− k 1− k 1− k xA + xB + xC y +y +y z +z +z 2. G là tr ng tâm c a tam giác ABC ⇔ xG = ; yG = A B C ; zG = A B C 3 3 3  xA + xB + xC + xD  xG = 4   y A + yB + yC + yD 3. G là tr ng tâm c a t di n ABCD ⇔  yG =  4  z A + z B + zC + z D  zG =  4 BÀI T P Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) uuu uuur uuu uuu r r r a) Tính F =  AB, AC  .(OA + 3CB) .   b) Ch ng t r ng OABC là m t hình ch nh t tính di n tích hình ch nh t đó. c) Vi t phương trình m t ph ng (ABC). d) Cho S(0;0;5).Ch ng t r ng S.OABC là hình chóp.Tính th tích kh ichóp đó Trang 65
  3. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN Bài 2: Cho b n đi m A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) a) Ch ng minh r ng A,B,C,D là b n đ nh c a t di n. b) Tìm t a đ tr ng tâm G c a t di n ABCD. c) Tính các góc c a tam giác ABC. d) Tính di n tích tam giác BCD. e) Tính th tích t di n ABCD và đ dài đư ng cao c a t di n h t đ nh A. Bài 3: Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ bi t A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3). a) Tìm t a đ các đ nh còn l i c a hình h p. b) Tính th tích hình h p. c) Ch ng t r ng AC’ đi qua tr ng tâm c a hai tam giác A’BD và B’CD’. d) Tìm t a đ đi m H là hình chi u vuông góc c a D lên đo n A’C. Bài 4: Trong không gian Oxyz cho đi m A(2;3;4). G i M1, M2, M3 l n lư t là hình chi u c a A lên ba tr c t a đ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chi u c a A lên ba m t ph ng t a đ Oxy, Oyz, Ozx. a) Tìm t a đ các đi m M1, M2, M3 và N1, N2, N3. b) Ch ng minh r ng N1N2 ⊥ AN3 . c) G i P,Q là các đi m chia đo n N1N2, OA theo t s k xác đ nh k đ PQ//M1N1. Bài 5:a/. Cho ba đi m A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6).Tìm x, y đ A, B, C th ng hàng b/.Cho hai đi m A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2).Tìm đi m M thu c mp(Oxy) sao cho MA + MB nh nh t. c/. Tìm trên Oy đi m cách đ u hai đi m A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1). d/. Tìm trên mp(Oxz) đi m cách đ u ba đi m A(1 ; 1; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ;1 ; -1). e/. Cho hai đi m A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đư ng th ng AB c t mp(Oyz) t i đi m M. Đi m M chia đ an AB theo t s nào? Tìm t a đ đi m M. Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1) a) Ch ng minh b n đi m đó không đ ng ph ng. Tính th tích t di n ABCD. b) Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC, tr ng tâm c a t di n ABCD. c) Tính di n tích các m t c a t di n ABCD d) Tính đ dài các đư ng cao c a t di n ABCD e) Tính góc gi a hai đư ng th ng AB và CD. f) Vi t phương trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Bài 7: Cho b n đi m A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1). a) Ch ng minh ABC là tam giác vuông. b) Tính bán kính đư ng tròn n i, ng ai ti p tam giác ABC. c) Tính đ dài đư ng phân giác trong c a tam giác ABC v t đ nh C. Bài 8 :Vi t phương trình m t c u trong các trư ng h p sau: a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đư ng kính b ng 8. b) Đư ng kính AB v i A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3) Trang 66
  4. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) ti p xúc v i m t c u tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1 d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1). e) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và ti p xúc mp(Oxy). Bài 9 :Vi t phương trình m t c u trong các trư ng h p sau: a) Đi qua ba đi m A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm n m trên mp(Oxy). b) Đi qua hai đi m A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thu c tr c Oz. c) Đi qua b n đi m A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1) Bài 10 :Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m đ nó là phương trình m t m t c u và tìm m đ bán kính m t c u là nh nh t. ℑ2. M T PH NG A. CÁC KI N TH C CƠ B N: I. Phương trình m t ph ng: § Đ nh nghĩa : Trong không gian Oxyz phương trình d ng Ax + By + Cz + D = 0 v i A2+B2+C2 ≠ 0 đư c g i là phương trình t ng quát c a m t ph ng r M t ph ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuy n là n = ( A; B; C ) r M t ph ng (P) đi qua đi m M0(x0;y0;z0) và nh n n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuy n có phương trình d ng: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. r r N u (P) có c p vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) không cùng phương và có giá song r r r song ho c n m trên (P) thì vectơ pháp tuy n c a (P) đư c xác đ nh n =  a, b    § Các trư ng h p riêng c a phương trình m t ph ng : Trong không gian Oxyz cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó: D = 0 khi và ch khi ( α ) đi qua g c t a đ . A=0 ,B ≠ 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0 khi và ch khi (α ) song song v i tr c Ox A=0 ,B = 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0 khi và ch khi (α ) song song mp (Oxy ) D D D x y z A,B,C,D ≠ 0 . Đ t a = − , b=− ,c=− Khi đó ( α ) : + + = 1 A B C a b c (Các trư ng h p khác nh n xét tương t ) II. V trí tương đ i c a hai m t ph ng Trong không gian Oxyz cho ( α ): Ax+By+Cz+D=0 và ( α ’):A’x+B’y+C’z+D’=0 ( α )c t ( α ’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’ ( α ) // ( α ’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ ( α ) ≡ ( α ’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’ Đ c bi t Trang 67
  5. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN ur uu r ( α ) ⊥ ( α ’) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ A. A '+ B.B '+ C.C ' = 0 B. BÀI T P: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho b n đi m A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2) a) Vi t phương trình m t ph ng (ABC). b) Vi t phương trình m t ph ng trung tr c c a đo n AC. c) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a AB và song song v i CD. d) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a CD và vuông góc v i mp(ABC). Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x – y + 2z - 4=0 và (Q): x - 2y - 2z + 4=0 a) Ch ng t r ng hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc nhau. b) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng (∆) là giao tuy n c a hai m t ph ng đó. c) Ch ng minh r ng đư ng th ng (∆) c t tr c Oz .Tìm t a đ giao đi m. d) M t ph ng (P) c t ba tr c t a đ t i ba đi m A,B,C. Tính di n tích tam giác ABC. e) Ch ng t r ng g c t a đ O không thu c m t ph ng (P), t đó tính th tích t di n OABC. Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x + y - z - 6 = 0 a) Vi t phương trình mp (Q) đi qua g c t a đ O và song song v i mp (P). b) Vi t phương trình tham s , chính t c c a đư ng th ng đi qua g c t a đ O và vuông góc v i m t mp(P). c) Tính kho ng cách t g c t a đ đ n m t ph ng (P). ( TNPT năm 1993) Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 a) Ch ng t hai m t ph ng đó c t nhau b) L p phương trình m t ph ng (α) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q) và đi qua A(-1;2;3). c) L p phương trình m t ph ng (β) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q) và song song v i Oz. d) L p phương trình m t ph ng ( γ ) đi qua g c t a đ O và vuông góc v i hai m t ph ng (P) và (Q). Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho đi m M(2;1;-1) và m t ph ng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0 a) Tính đ dài đo n vuông góc k t M đ n m t ph ng (P). b) Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua M vuông góc v i m t ph ng (P). c) Vi t phương trình m t ph ng (α) đi qua đi m M song song Ox và h p v i m t ph ng (P) m t góc 450. Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0 a) Xác đ nh giá tr k và m đ hai m t ph ng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính kho ng cách gi a hai m t ph ng. b) Trong trư ng h p k = m = 0 g i (d) là giao tuy n c a (P) và (Q), hãy tính kho ng cách t A(1;1;1) đ n đư ng th ng (d). Trang 68
  6. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN ℑ3. ĐƯ NG TH NG A. CÁC KI N TH C CƠ B N: I. Phương trình đư ng th ng: Đ nh nghĩa : Phương trình tham s c a đư ng th ng ∆ đi qua đi m M0(x0;y0;z0) và có vectơ r ch phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t  0 3 N u a1, a2 , a3 đ u khác không .Phương trình đư ng th ng ∆ vi t dư i d ng chính t c như sau: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 II V Trí tương đ i c a các đư ng th ng và các m t ph ng: Chương trình chu n Chương trình nâng cao 1)V trí tương đ i c a hai đư ng th ng. 1)V trí tương đ i c a hai đư ng th ng. Trong Kg Oxyz cho hai đư ng th ng Trong Kg Oxyz cho hai đư ng th ng  x = xo + a1t  x = xo + a1' t ' '  x = xo + a1t  x = xo + a1' t ' '     d :  y = yo + a2t d ' :  y = yo + a2t ' ' ' d :  y = yo + a2t d ' :  y = yo + a2t ' ' ' z = z + a t  z = z + a t   z = zo + a3t '  z = zo + a3t ' ' ' ' '  0 3  0 3 r ur r ur d cóvtcp u đi qua Mo;d’có vtcp u ' đi quaMo’ d có vtcp u điqua Mo;d’cóvtcp u ' điqua Mo’ r ur u , u ' cùng phương r ur r r ur [u, u ']=0 u = ku '   § d // d’⇔  (d) // (d’) ⇔  M 0 ∉ d '  Mo ∉ d '   r ur r r ur [u, u ']=0 u = ku '   § d ≡ d’⇔  (d) ≡ (d’) ⇔  M 0 ∈ d '  M0 ∈ d '   r ur u , u ' không cùng phương  xo + a1t = xo + a1' t ' ' r ur  u , u ' ≠ 0     yo + a2t = yo + a2t ' ' ' (I) (d) c t (d’) ⇔  r ur uuuuuur     u , u ' .M o M 0 = 0 '   z0 + a3t = zo + a3t ' ' ' r ur uuuuuur § dc td’⇔H Ptrình (I) có m t nghi m (d) chéo (d’) ⇔ u , u ' .M 0 M 0' ≠ 0   § d chéo d’⇔H Ptrình (I) vô nghi m Trang 69
  7. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN 2)V trí tương đ ic a đth ng vàm tph ng: 2)V trí tương đ ic a đth ng vàm tph ng: Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D=0 Trong không gian Oxyz cho đư ng th ng r  x = xo + a1t d qua M(x0;y0;z0) có vtcp a = (a1 ; a2 ; a3 )  r và d :  y = yo + a2t và(α): Ax+By+Cz+D=0 cóvtpt n = ( A; B; C ) z = z + a t rr  0 3 d c t (α) ⇔ a.n ≠ 0 pt:A(xo+a1t)+B(yo+a2t)+C(z0+a3t)+D=0(1) rr a.n = 0  d // (α) ⇔  P.trình (1) vô nghi m thì d // (α)  M ∉ (α )  rr P.trình (1) có m t nghi m thì d c t (α) a.n = 0  P. trình (1) có vô s nghi m thì d ⊂ (α) d ⊂ (α) ⇔   M ∈ (α )  Đ c bi t : r r (B sungki nth c chươngtrình nâng cao) ( d ) ⊥ ( α ) ⇔ a, n cùng phương 3) Kho ng cách: Kho ng cách gi a hai đi m A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là: AB = (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + (zB − zA )2 Kho ng cách t M0(x0;y0;z0) đ n m t ph ng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho b i công th c Ax 0 + By0 + Cz0 + D d ( M 0 , (α )) = A2 + B 2 + C 2 Kho ng cách t M đ n đư ng th ng d Kho ng cách t M đ n đu ng th ng d r Phương pháp : ( d đi qua M0 có vtcp u ) § L p ptmp( α )đi quaM vàvuônggócv i d uuuuur r § Tìm t a đ giao đi m Hc a mp( α ) và d [M 0 M , u ] d (M , d ) = r § d(M, d) =MH u Kho ng cách gi a hai đư ng chéo nhau: Kho ng cách gi a hai đư ng chéo nhau r r d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a = (a1; a2 ; a3 ) d điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a = (a1; a2 ; a3 ) uu r uur d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp a ' = (a '1; a '2 ; a '3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ;vtcp a ' = (a '1; a '2 ; a '3 ) r uu uuuuu r r Phương pháp : [a, a '].MM ' Vhop § L p ptmp( α )ch a d và songsong v i d’ d (d , d ') = r uur = [ a, a '] Sday § d(d,d’)= d(M’,( α )) Ki n th c b sung G iφ là góc gi a hai m t ph ng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 uu uu r r uu uu r r n P .nQ A.A' + B.B '+ C.C ' cosϕ = cos(n P , nQ ) = uu uur = r n P . nQ A2 + B 2 + C 2 . A '2 + B '2 + C '2 Góc gi a hai đư ng th ng r (∆) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) uu r (∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1; a '2 ; a '3 ) Trang 70
  8. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN r uu r r uur a.a ' a1.a '1 + a2 .a '2 + a3 .a '3 cosϕ = cos( a, a ') = r uu = r a . a' a12 + a2 + a3 . a '1 + a '2 + a '3 2 2 2 2 2 Góc gi a đư ng th ng và m t ph ng r r (∆) đi qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C ) G i φ là góc h p b i (∆) và mp(α) r r Aa1 +Ba 2 +Ca 3 sin ϕ = cos(a, n) = A + B 2 + C 2 . a12 + a2 + a3 2 2 2 B. BÀI T P: Bài 1: a) Vi t phương trình tham s ,chính t c c a đư ng th ng qua hai đi m A(1;3;1) và B(4;1;2). b) Vi t phương trình đư ng th ng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc v i m t ph ng (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm t a đ giao đi m c a (d) và (P). c) Vi t phương trình tham s , chính t c c a đu ng th ng d là giao tuy n c a hai m t ph ng ( P ) : 2 x + y − z + 4 = 0 , ( Q ) : x − y + 2 z + 2 = 0 Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba đi m A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và m t đư ng x = t  th ng (∆) có phương trình :  y = 9 + 2t , t∈R  z = 5 + 3t  a) Vi t phương trình m t ph ng (α) đi qua ba đi m A,B,C. b) Vi t phương trình tham s , chính t c đư ng th ng BC.Tính d(BC,∆). c) Ch ng t r ng m i đi m M c a đư ng th ng (∆) đ u th a mãn AM ⊥ BC, BM ⊥ AC, CM ⊥ AB. Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hình h p ch nh t có các đ nh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đ nh đ i di n v i O. a) Xác đ nh t a đ đ nh D.Vi t phương trình t ng quát m t ph ng (A,B,D). b) Vi t phương trình đư ng th ng đi qua D và vuông góc v i m t ph ng (A,B,D). c) Tính kho ng cách t đi m C đ n m t ph ng (A,B,D).  x = −2t '  x=2+t   Bài 4: Cho hai đư ng th ng: (∆) :  y = 3 (∆'):  y=1-t t, t ' ∈ R z = 1+ t '  z=2t   a) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (∆) và (∆’) không c t nhau nhưng vuông góc nhau. b) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng (∆)và (∆’). c) Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua (∆) và vuông góc v i (∆’). d) Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a (∆)và (∆’). Trang 71
  9. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN Bài 5: Trong không gian Oxyz cho b n đi m A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3). a) L p phương trình tham s đư ng th ng AB. b) L p phương trình mp (P) đi qua đi m C và vuông góc v i đư ng th ng AB. c) L p phương trình đư ng th ng (d) là hình chi u vuông góc c a đư ng th ng CD xu ng m t ph ng (P). d) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và CD. Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6). a) Tính các góc t o b i các c p c nh đ i di n c a t di n ABCD. b) Vi t phương trình m t ph ng (ABC). c) Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua D vuông góc v i m t ph ng (ABC). d) Tìm t a đ đi m D’ đ i x ng D qua m t ph ng (ABC). e) Tìm t a đ đi m C’ đ i x ng C qua đư ng th ng AB. Bài 7: Cho đư ng th ng  x = −2 + t  (∆ ) :  y = 4t và mp (P) : x + y + z - 7=0  z = −1 + 2t  a) Tính góc gi a đư ng th ng và m t ph ng. b) Tìm t a đ giao đi m c a (∆) và (P). c) Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a (∆) trên mp(P). Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đư ng th ng (∆) và (∆’) l n lư t có phương  x = 7 + 3t x −1 y + 2 z − 5  trình: ∆ : = = ; ∆ ' :  y = 2 + 2t . 2 −3 4  z = 1 − 2t  a) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (∆) và (∆’) cùng n m trong m t ph ng ( α ) b) Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (α) c) Vi t phương trình đư ng th ng (d) vuông góc và c t c hai đư ng th ng (∆) và (∆’) . Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho ba đi m A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đư ng th ng (∆): x = 5 + t ; y = -1 + 2t ; z = - 4 + 3t . a) L p phương trình m t ph ng (α) đi qua A , B, C. Ch ng minh r ng (α) và (∆) vuông góc nhau, tìm t a đ giao đi m H c a chúng. b) Chuy n phương trình c a (∆) v d ng chính t c. Tính kho ng cách t đi m M(4;-1;1) đ n (∆). c) L p phương trình đư ng th ng (d) qua A vuông góc v i (∆), bi t (d) và (∆) c t nhau. BÀI T P T NG H P: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho m t c u (S) : x2 + y2 + z2 -2x - 4y - 6z = 0 và hai đi m M(1;1;1), N(2;-1;5). a) Xác đ nh t a đ tâm I và bán kính c a m t c u (S). b) Vi t phương trình đư ng th ng MN. c) Tìm k đ m t ph ng (P): x + y – z + k = 0 ti p xúc m t c u (S). Trang 72
  10. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN d) Tìm t a đ giao đi m c a m t c u (S) và đư ng th ng MN .Vi t phương trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u t i các giao đi m. Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). a) Ch ng minh r ng A,B,C,D là b n đ nh c a t di n. b) Tính th tích t di n ABCD. c) Vi t phương trình m t ph ng qua ba đi m A,B,C. d) Vi t phương trình m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Xác đ nh t a đ tâm và bán kính m t c u đó e) G i (T) là đư ng tròn qua ba đi m A,B,C . Hãy tìm tâm và tính bán kính c a đư ng tròn (T) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (P): 2x - 3y + 4z – 5 = 0 và m t c u (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + 6=0 a) Xác đ nh t a đ tâm I và bán kính r c a m t c u (S). b) Tính kho ng cách t tâm I đ n m t ph ng (P).T đó suy ra r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đư ng tròn mà ta ký hi u là (C). Tính bán kính R và t a đ tâm H c a đư ng tròn (C). Bài 4: Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (P): x + 2y – z + 5 = 0, đi m I(1;2;-2) và đư ng th ng  x = −1 + 2t  (d ) :  y = t , t∈R  z = 4+t  a) Tìm giao đi m c a (d) và (P). Tính góc gi a (d) và (P). b) Vi t phương trình m t c u (S) tâm I ti p xúc v i m t ph ng (P). c) Vi t phương trình m t ph ng (Q) qua (d) và I. d) Vi t phương trình đư ng th ng (d’) n m trong (P), c t (d) và vuông góc (d). Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2) , B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2). a) Ch ng minh A,B,C,D là b n đi m đ ng ph ng. b) G i A’ là hình chi u vuông góc c a đi m A trên m t ph ng Oxy. hãy vi t phương trình m t c u (S) đi qua b n đi m A’,B,C,D. c) Vi t phương trình ti p di n (α) c a m t c u (S) t i đi m A’. Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3) a) Vi t phương trình m t ph ng (P) vuông góc OC t i C. Ch ng minh O,B,C th ng hàng. Xét v trí tương đ i c a m t c u (S) tâm B, bán kính R = 2 v i m t ph ng (P). b) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng là hình chi u vuông góc c a đư ng th ng AB lên m t ph ng (P). Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x + y + z – 1 = 0, mp(P) c t các tr c t a đ t i A, B, C. Trang 73
  11. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN a) Tìm t a đ A, B, C. Vi t phương trình giao tuy n c a (P) v i các m t ph ng  x = 2+t  t a đ . Tìm t a đ giao đi m D c a (d):  y = −t , t ∈ R v i mp(Oxy). Tính  z = −3 − 3t  th tích t di n ABCD. b) L p phương trình m t c u (S) ngo i ti p t di n ABCD. G i (T) là đư ng tròn ngo i ti p tam giác ACD. Xác đ nh tâm và tính bán kính c a đư ng tròn đó. Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 đi m A, B, C, D có t a đ xác đ nh b i: uuu r r r r uuur r r r A = (2; 4; −1), OB = i + 4 j − k , C = (2; 4;3), OD = 2i + 2 j − k a) Ch ng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính th tích kh i t di n ABCD. b) Vi t phương trình tham s c a đư ng (d) vuông góc chung c a hai đư ng th ng AB và CD. Tính góc gi a (d) và m t ph ng (ABD). c) Vi t phương trình m t c u (S) qua 4 đi m A, B, C, D.Vi t phương trình ti p di n (α ) c a (S) song song v i m t ph ng (ABD). Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 đi m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp(P): x + y + z – 2 = 0. a) Vi t pt m t c u đi qua 3 đi m A, B, C và có tâm thu c mp (P). b) Tính đ dài đư ng cao k t A xu ng BC c) Cho D(0;3;0).Ch ng t r ng DC song song v i mp(P) t đó tính kho ng cách gi a đư ng th ng DC và m t ph ng (P). Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4). a) Vi t phương trình m t c u qua 4 đi m O, A, B, C. Tìm t a đ tâm I và bán kính c a m t c u. b) Vi t phương trình m t ph ng(ABC). c) Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng qua I và vuông góc m t ph ng(ABC). d) Tìm t a đ tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. Bài 11: Cho m t c u (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 a) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u (S). b) G i A,B,C l n lư t là giao đi m (khác đi m g c t a đ ) c a m t c u (S) v i các tr c t a đ Ox,Oy,Oz.Tính t a đ A,B,C và vi t phương trình m t ph ng (ABC). c) Tính kho ng cách t tâm m t c u đ n m t ph ng.T đó hãy xác đ nh tâm và bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. ℑ5. GI I TOÁN B NG HHGT A. CÁCH GI I CHUNG Đ gi i bài toán b ng phương pháp t a đ trong không gian ta có th ch n cho nó m t h tr c t a đ phù h p r i chuy n v hình h c gi i tích đ gi i. Các bư c chung đ gi i như sau: B1: Ch n h tr c t a đ thích h p. Trang 74
  12. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN B2: Chuy n các yêu c u c a bài toán v HH gi i tích. B3: Gi i b ng HH gi i tích. B4: K t lu n các tính ch t, đ nh tính, đ nh lư ng... c a bài toán đ t ra. B. BÀI T P: Bài 1: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A’B và B’D. b) G i M,N,P l n lư t là trung đi m BB’, CD, A’D’.Tính góc gi a hai đư ng th ng MP và C’N. Bài 2:Cho hình chóp t giác đ u có c nh bên và c nh đáy b ng a. Tính góc h p b i c nh bên và m t bên đ i di n. Bài 3:Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t ph ng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông t i C. Cho SA = AC = CB = a a) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AC và SB. b) Tính góc gi a đư ng th ng SA và mp(SBC). Bài 4 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C; SA ⊥ (ABC), AC=a, BC=b, SA=h. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AC và SB. a) Tính đ dài MN. b) Tìm h th c liên h gi a a, b, h đ MN là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng AC và SB. Bài 5 Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’.Tính s đo c a góc nh di n [B,A’C,D]. Bài 6 Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình thoi c nh a, góc BAD = 600 . G i M là trung đii m c nh AA’ và N là trung đi m c a c nh CC’. Ch ng minh r ng b n đi m B’,M,D,N cùng thu c m t m t ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA’ theo a đ t giác B’MDN là hình vuông. Bài 7*: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có c nh a. M là đi m thu c AD’ và N thu c BD sao cho AM=DN=k (0<k< a 2 ). a) Tìm k đ đo n MN ng n nh t. b) Ch ng minh r ng MN//(A’D’BC) khi k bi n thiên. c) Khi đo n MN ng n nh t. Ch ng minh r ng MN là đư ng vuông góc chung c a AD’ và BD và MN//A’C. Bài 8 Tìm m đ h phương trình sau đây có đúng m t nghi m tìm nghi m đó  x2 + y 2 + z 2 = 1  . 2 x − y + 2 z = m Bài 9 Cho ba s th c x,y,z th a x 2 + y 2 + z 2 = 1 tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a F = 2x + 2 y − z − 3 . Trang 75
  13. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN BÀI T P T NG H P B SUNG PHƯƠNG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIAN x = 1+ t x y+2 z  Bài 1:Cho hai dư ng th ng ∆1 : = = và ∆ 2 :  y = 2 + t , t ∈ R 2 3 4  z = 1 + 2t  a/. Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a ∆1 và song song v i ∆ 2 . b/. Cho đi m M(2;1;4).Tìm t a đ đi m H thu c đư ng th ng ∆ 2 sao cho đo n MH có đ dài nh nh t. uuur Bài 2: Cho hai đi m A(2;0;0) ,B(0;0;8) và đi m C sao cho AC = (0;6;0) .Tính kho ng cách t trung đi m I c a BC đ n đư ng th ng OA . Bài 3: Trong không Oxyz cho mp ( β ) : x+3ky – z +2=0 và ( γ ) :kx – y +z +1=0 . Tìm k đ giao tuy n c a ( β ) và ( γ ) vuông góc v i m t ph ng (α ) :x – y – 2z +5=0 .  x = −3 + 2t  Bài 4:Trong không gian Oxyz cho đi m A(-4;-2;4)và đư ng th ng d:  y = 1 − t ,t ∈ R  z = −1 + 4t  Vi t phương trình đư ng th ng ∆ đi qua đi m A , c t và vuông góc v i đư ng th ng d. Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD , AC c t BD t i g c t a đ O. Bi t A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ) . G i M là trung đi m SC . a/. Vi t phương trình m t ph ng ch a SA và song song v i BM b/. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA và BM. Bài 6: Trong không gian Oxyz cho đi m D(-3;1;2) và m t ph ng (α ) đi qua ba đi m A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8). a/. vi t phương trình đư ng th ng AC . b/. Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (α ) . c/.Vi t phương trình m t c u (S) tâm D,bán kính r = 5.Ch ng minh m t ph ng (α ) c t m t c u (S). Bài 7: Trong không gian Oxyz ,cho m t ph ng (α ) : 2x +y – z – 6 = 0 . a/. Vi t phương trình m t ph ng ( β ) đi qua O và song song v i (α ) . b/. Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng đi qua g c t a đ O và vuông góc v i m t ph ng (α ) . c/. Tính kho ng cách t g c t a đ O đ n m t ph ng (α ) . Bài 8: Cho hình h p ch nh t có các đ nh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) và đ nh D đ i x ng v i O qua tâm c a hình h p ch nh t . a/. Xác đ nh t a đ đ nh D. Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng (ABD) . Trang 76
  14. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN b/. Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng đi qua D và vuông góc v i m t ph ng (ABD) . Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho A( 6 ;- 2 ;3) ,B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0) a/. G i (S) là m t c u đi qua b n đi m A, B, C, D . Hãy l p phương trình m t c u (S) b/. Vi t phương trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u (S) t i A. Bài 10 : Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0) a/. Vi t phương trình m t c u (S) đi qua b n đi m A, B, C, D . b/. Xác đ nh t a đ tâm và bán kính c a đư ng tròn là giao tuy n c a m t c u (S) v i m t ph ng (ACD) Bài 11: Trong không gian Oxyz cho A( 2;4;-1) ,B(1;4;-1) , C(2 ;4;3), D(2;2;-1). a/. Ch ng minh các đư ng th ng AB,AC,AD vuông góc v i nhau t ng đôi m t . b/.Vi t phương trình tham s c a đư ng vuông góc chung ∆ c a hai đư ng th ng ABvà CD c/. Vi t phương trình m t c u (S) đi qua b n đi m A, B, C, D d/.Vi t phương trình m t ph ng (α ) ti p xúc v i m t c u (S) và song song v i m t ph ng (ABD) Bài 12:Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;6) , B(-1;7;-2) , C( 1;-3;2), D(5;1;6) a/.Ch ng minh A,B,C không th ng hàng .Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC b/.Ch ng minh A,B,C,D không đ ng ph ng.Xác đ nh t a đ tr ng tâm c a t di n . c/. Tính góc t o b i các c p c nh đ i di n c a t di n ABCD . d/. Tính di n tích các tam giác là các m t c a t di n. e/. Tìm t a đ đi m I cách đ u các đ nh c a t di n . f/. Tìm t a đ hình chi u vuông góc H c a D lên m t ph ng (ABC) Bài 13: Trong không gian Oxyz cho ba m t ph ng có phương trình : (P): x + y – 2 = 0 , (Q) : x – 3y – z +2 = 0 , (R): 4y + z – 2 = 0 a/. Ch ng minh r ng hai m t ph ng (P) và (Q) c t nhau . Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng d là giao tuy n c a (P) và (Q) . b/. Vi t phương trình m t ph ng (T) ch a đư ng th ng d và song song v i m t ph ng (R) Bài 14: Trong không gian Oxyz cho m t c u (S) và m t ph ng (P) có phương trình : (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0 a/. Ch ng minh : (P) và (S) c t nhau . b/. Xác đ nh tâm và bán kính đư ng tròn là giao tuy n c a c a (P) và (S). Bài 15: Cho m t c u (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0 a/. Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i m t ph ng (Q) :x+y+z – 9 =0 và c t (S) theo thi t di n là m t đư ng tròn l n . b/. Vi t phương trình m t ph ng (K) song song v i m t ph ng (R) :x+2y+z – 1 =0 và c t (S) theo thi t di n là m t đư ng tròn có di n tích b ng 3 π . Bài 16 : Cho dư ng th ng d và m t ph ng (P) có phương trình : x y−6 z (d) : = = , (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0. 1 −3 3 a/. Ch ng minh (d) ⊂ (P) . b/. L p phương trình m t ph ng ch a (d) và vuông góc v i m t ph ng (P) . c/. L p phương trình m t ph ng ch a (d) và t o v i m t ph ng (P) m t góc 60o . Trang 77
  15. HĐBM Toán An Giang-Tài li u tham kh o Ôn t p thi TN Bài 17: Cho hai đư ng th ng (d1) và (d2) có phương trình x+7 y −5 z −9 x y + 4 z + 18 (d1) : = = , (d2) = = 3 −1 4 3 −1 4 a/. Ch ng t (d1) và (d2) song song v i nhau. b/. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a (d1) và (d2) . c/. Tính kho ng cách gi a (d1) và (d2) . d/. L p phương trình m t ph ng (Q) ch a (d1) và cách (d2) m t kho ng b ng 2. e/.L p phương trình đư ng th ng ( ∆ ) thu c m t ph ng (P) và song song cách đ u (d1) và (d2). Bài 18:Cho hai đư ng th ng (d1) và (d2)  x = 7 + 3t  x −1 y + 2 z − 5 (d1):  y = 2 + 2t , (t ∈ R) , (d2) : = =  z = 1 − 2t 2 −3 4  a/. Ch ng minh hai đư ng th ng (d1) và (d2) đ ng ph ng. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a (d1) và (d2). b/. Tính th tích t di n gi i h n b i m t ph ng (P) và ba m t ph ng t a đ . c/. Vi t phương trình m t c u ngo i ti p t di n nói trên . Bài 19:Cho hai đư ng th ng (d1) và (d2)có phương trình :  x = 1 + 2t x = 2 + u   (d1) :  y = 2 + t , (t ∈ R) và (d2) :  y = −3 + 2u , (u ∈ R)  z = −3 + 3t  z = 1 + 3u   a/. Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (d1) và (d2) chéo nhau . b/. Tính kho ng cách gi a (d1) và (d2). c/. Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a (d1) và (d2) d/. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) song song v i Oz , c t c (d1) và (d2). Bài 20:Cho đư ng th ng (d) và m t c u (S) có phương trình :  x = 3t  (d) :  y = 2 + 2t ,(t ∈ R) , (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5 z = 3 − t  a/. Ch ng t đư ng th ng (d) và m t c u (S) ti p xúc nhau . Tìm t a đ đi m ti p xúc. b/. Vi t phương trình đư ng th ng song song v i đư ng th ng (d) và c t (S) t i hai đi m A,B sao cho đ dài AB = 2 . c/. Vi t phương trình m t ph ng ch a (d) c t (S) theo thi t di n là đư ng tròn có chu vi b ng 2 π Bài 21: Cho đư ng th ng (d) và m t ph ng (P) có phương trình :  x = 1 + 2t  (d) :  y = 2 − t , (t ∈ R) , (P): 2x – y – 2z + 1= 0  z = 3t  a/. Tìm các đi m thu c đư ng th ng (d) sao cho kho ng cách t m i đi m đó đ n m t ph ng (P) b ng 1 . b/. G i K là đi m đ i x ng c a I(2 ;-1 ;3) qua đư ng th ng (d) . Xác đ nh t a đ đi m K. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Trang 78
Đồng bộ tài khoản