Hình học không gian chuyên đề tiết diện

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
242
lượt xem
66
download

Hình học không gian chuyên đề tiết diện

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hình học không gian chuyên đề tiết diện', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Hình học không gian chuyên đề tiết diện

  1. www.truongthi.com.vn Môn Toán HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong phần này, đề nghị người đọc xem lại các định nghĩa và định lý trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, hai chương, quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Trong chương này, chúng tôi nêu lên một số dạng toán cơ bản thường gặp, giúp ích cho kỳ thi đại học của học sinh. BÀI I BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Thiết diện là giao của một mặt phẳng với một khối đa diện hoặc một khối tròn. Bài toán thiết diện là bài toán tìm hoặc dựng giao đó. Để tìm thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện, ta tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa diện. Thiết diện thu được thường là một đa giác. I. Ví dụ luyện tập. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, I là trung điểm của cạnh C’D. a) Hãy dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AKI) với hình lập phương. b) Tính diện tích thiết diện theo a. e) Tìm tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo thành do mặt phẳng (AKI) cắt hình lập phương, biết tỷ số đó bé hơn một. Lời giải C’ D’ B’ A’ M L I P N C J D K H B A a) Nối AK kéo dài cắt DC kéo dài tại J. Nối IJ cắt CC’ tại L và cắt DD’ tại M. Nối AM và KL. Tứ giác AKLM là tứ giác phải dựng. Dễ thấy AKLM là hình thang (KL // AM). b) Do K là trung điểm của BC, nên C là trung điểm của JD, Từ đó: KC = 1 1 1 AD = a; LC = MD. 2 2 2 2 1
  2. www.truongthi.com.vn Môn Toán 1 1 Từ I hạ IH ⊥ CD, H là trung điểm của CD và IH = CC’ = a. Do IH là 2 2 đường trung bình trong hình thang CLMD, nên ta có: a 2 2. IH = a = CL + DM = 3CL ⇒ CL = , DM = a. 3 3 a2 a2 13 Như vậy: KL = KC 2 + CL2 = + = a 4 9 6 2 13 AM = 2.KL = a. 6 Từ J hạ JN ⊥ AM trong mặt phẳng (AKI). Ta có DN ⊥ AM, do JD vuông góc với mặt phẳng ADD’A’. JN cắt KL tại điểm P. PN chính là chiều cao 1 của hình thang thiết diện. Ta có PN = JN. 2 Xét tam giác vuông ADM, ta có DN.AM = AD. DM. 2 AD.DM a. a 2a Như vậy DN = = 3 = . AM 2 13 13 a 6 Xét tam giác vuông JDN, vuông tại D. Ta có 4a 2 56a 2 JN2 = JD2 + DN2 = 4a2 + = 13 13 2 14 14 Vậy JN = a và PN = a. 13 13 Do vậy, diện tích thiết diện là: 1 1  13 2 13  14 S= (KL + AM). PN =  a+ a.  13 a 2 2 6  6  14 2 S= a (đơn vị diện tích). 4 c) Thiết diện chia hình lập phương thành hai phần, trong đó, phần nhỏ hơn là chóp cụt tam giác ADM.KCL. 1 V1 = Vchãp côt = h.(B + B '+ BB '); ở đây h = CD = a, B là diện tích 3 tam giác ADM. B’ là diện tích tam giác KCL. 1 1 2 a2 Ta có: B = AD. DM = . a. a= 2 2 3 3 1 1 a a a2 B’ = KC. CL = . . = 2 2 2 3 12 4 2
  3. www.truongthi.com.vn Môn Toán 1  a 2 a 2 a 2  7a 3 V1 = a.  + + = 3  3 12 6  36   Vì thể tích hình lập phương cạnh a bằng a3, nên thể tích phần còn lại 29 3 V 7 V2 = a . Do đó 1 = . 36 V2 29 Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao bằng h. M là điểm nằm trên đường chéo AB1 của mặt ABB1A1 sao cho AM: MB1 = 5: 4. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng A1C và BC1. 1) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình lăng trụ. CN 2) Giả sử mặt phẳng (α) cắt CC1 tại điểm N. Hãy tính tỷ số ? C1N Lời giải 1) Kẻ CJ // BC1. Ta thấy mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (A1CJ). Vì vậy các giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (A1CJ) với các mặt bên và mặt đáy của lăng trụ là song song với nhau. Nối A, J cắt AB tại I; Ta có I là trung điểm của AB. Như vậy cách dựng thiết diện cần tìm là: A1 L C1 D B1 N M A C I G E B • Qua M kẻ đường thẳng song song với A1I, cắt AB tại E và cắt A1B1 tại D. Từ E kẻ EG // IC (G ∈ BC); từ G kẻ GN // BC1 (N ∈ CC1), từ N kẻ NL // A1C, L ∈ A1C1. Nối DL, Thiết diện thu được là ngũ giác DEGNL. 2) Do cách dựng, ta có CN CG IE = = (1) C1N BG EB MA 5 Theo giả thiết, ta có = MB1 4 6 3
  4. www.truongthi.com.vn Môn Toán a 5 MA AE AI + IE + IE ⇒ = = = = 2 4 MB1 B1D A1B1 − A1D a − IE 5 a Từ đó (a - IE) = + IE 4 2 a a a a hay 5a - 5IE = 2a + 4IE ⇒ IE = , do đó EB = − = . 3 2 3 6 CN IE Như vậy = = 2. C1N EB II. Bài tập tự giải 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 4a, BD = 2a. Đường cao SO = h, O = AC × BD. Từ A hạ mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. a) Hãy dựng thiết diện của (P) với chóp. b) Tìm quan hệ giữa h, a để tam giác B’C’D’ là tam giác đều. Gợi ý: mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến B1C1 qua A, B1 ∈ (BC), C1 ∈ (AD). Ta có B1C1 // B’C’. Do vậy tam giác B’C’D’ đều khi và chỉ khi tam giác B1C1D’ đều. Đáp số h = 2 3a . 2. Đề thi Đại học Luật Hà nội (1999) Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao h và đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Qua cạnh đáy AB dựng mặt phẳng vuông góc với cạnh SC. Hãy tính diện tích thiết diện tạo thành theo a và h. 3a 2 h Đáp số: S = 4 a 2 + 3h 2 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. 1) Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Giả sử M là điểm thuộc cạnh AB. Qua M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác (MNPQ) lớn nhất. Đáp số: 1) I là trung điểm CD. 2) MNPQ là hình bình hành; M là trung điểm của AB. 4. Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh (2000). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy của hình chóp một góc 60o. Mặt phẳng 8 4
  5. www.truongthi.com.vn Môn Toán (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt đáy hình chóp là 30o. 1) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a. 2) Tính thể tích hình chóp SABMN theo a. Đáp số: 1) ABMN là hình thang cân, 3a 2 3 đối tượng ABMN = (đơn vị diện tích). 8 3a 3 2) VSMNAB = (đv thể tích). 16 10 5

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản