Hình học mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: huuthanh_cnk7

Cách giải các bài toán về tam giác: viết pt các cạnh của tam giác, tìm các đỉnh chú ý: - 2 đg thẳng // thì có cùng véc tơ pháp tuyên và véc tơ chỉ phương - 2 đg thẳng vuông góc thì pháp tuyến đường này là chỉ phương của đg kia, chỉ phương đường này là pháp tuyến của đg kia C(x;y) Loại 1: cho 1 đỉnh và 2 đường cao không qua đỉnh đó: cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK - viết phương trình cạnh AB qua...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Hình học mặt phẳng tọa độ

 

  1.  Hình học mặt phẳng tọa độ ..........., tháng ... năm ........
  2. H×nh häc mÆt ph¼ng täA ®é C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh chó ý: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng - 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tuyÕn ®­êng nµy lµ chØ ph­¬ng cña ®g kia, chØ ph­¬ng ®­êng nµy lµ ph¸p tuyÕn cña ®g kia C(x;y) Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã: c¸ch gi¶i: - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK A’ B’ - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH B A B Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng trung tuyÕn kh«ng qua ®Ønh ®ã c¸ch gi¶i: - LÊy ®iÓm M thuéc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iÓm t×m C’ to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®­êng CN t×m tham sè t  ®iÓm C - LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iÓm t×m to¹ ®é B thay voµ PT ®­êng BM t×m tham sè t  ®iÓm B C B’ A(x;y) A’ lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã C c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diÓm ®èi xøng cña A qua ®­êng ph©n gi¸c BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thuéc c¹nh BC - viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cña nã víi ®­êng CC’, BB’ta cã ®iÓm I B vµ C B A(x;y) chó ý : J A’’ c¸c bµi to¸n kÕt hîp ®­êng cao vµ ph©n gi¸c; ®­êng cao vµ trung tuyÕn; trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c ta ®Òu dùa vµo c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn lo¹i 4: Bµi to¸n cho diÖn tÝch, cho ®iÓm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tr­íc c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diÖn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cña ®iÓm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k Bµi tËp: 3 1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; ), D (- 2; 2) 2 a/ Chöùng minh raèng A , B, C khoâng thaúng haøng : A , B , D thaúng haøng. b/ Tìm ñieåm E ñoái xöùng vôùi A qua B. c/ Tìm ñieåm M sao cho töù giaùc ABCM laø hình bình haønh. d/ Tìm toïañoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC . 2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) . a/ Xaùc ñònh toïa ñoä taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC. b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm G, tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC .suy ra ba ñieåm G,H,I thaúng haøng. 3/ Cho hai ñieåm A( 1; -2 ) vaø B( 3 ; 4 ) . a/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua truïc hoaønh. b/ Tìm ñieåm M treân truïc hoaønh sao cho MA +MB nhoû nhaát . c/ Tìm ñieåm N treân truïc tung sao cho NA + NB nhoû nhaát.   d/ Tìm ñieåm I treân truïc tung sao cho | IA IB | ngaén nhaát. e/ Tìm J treân truïc tung sao cho JA –JB daøi nhaát. 1
  3. 4/Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(1;1) . Haõy tìm ñieåm B treân ñöôøng thaúng y =3 vaø ñieåm C treân truïc hoaønh sao cho ABC laø tam giaùc ñeàu. 5/Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm B treân ñöôøng thaúng x + 4 = 0 vaø ñieåm C treân ñöôøng thaúng x–3 =0 a) Xaùc ñònh toïa ñoä B vaø C sao cho tam giaùc OBC vuoâng caân ñænh O b) Xaùc ñònh toïa ñoä B;C sao cho OBC laø tam giaùc ñeàu. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Daïng 1: Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng: Baøi 1 : Vieát phöông trình tham soá phöông trình , chính taéc roài suy ra phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:  1/ Qua ñieåm M(2 ; -5) vaø nhaän vectô u =( 4; -3) laøm vectô chæ phöông . 2/ Qua hai ñieåm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .  3/ Qua ñieåm N ( 3 ; -2 ) vaø nhaän vectô n = ( 5 ; - 2 ) laøm vectô phaùp tuyeán . Baøi 2: Vieát Phöông trình tham soá , phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng coù phöông trình toång quaùt laø: 3x – 2y + 6 = 0 . Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau : a) d ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 4. b) d ñi qua A vaø caùch ñeàu hai ñieåm B , C c) d caùch ñeàu ba ñieåm A; B ; C d) d vuoâng goùc vôùi AB taïi A. e; d laø trung tuyeán veõ töø A cuûa tam giaùc ABC. Baøi 4: Cho tam giaùc ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB , BC , CA . 1/ Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. 2/ Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 4x – 3y + 5 = 0 . 1/ Laäp phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng ( d’) ñi qua ñieåm A (1 ; -2 ) vaø song song vôùi (d). 2/ Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d’’) ñi qua ñieåm M( 3 ; 1 ) vaø (d’’) vuoâng goùc vôùi (d). Baøi 6 : Cho hai ñöôøng thaúng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa d vaø d’vaø thoaû maûn moâït trong caùc ñieàu kieän sau ñaây : 1/ Ñi qua ñieåm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vôùi ñöôøng thaúng x – 5y + 2 = 0 3/ Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x- y + 4 = 0 . Baøi 7 :Tam giaùc ABC coù A( -1 ; - 3 ) , caùc ñöôøng cao coù phöông trình : BH: 5x + 3y –25 = 0; CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng cao coøn laïi. Baøi 8 :Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d trong moåi tröôøng hôïp sau : 1/ d qua M vaø caùch N moät khoaûng baèng 4. 2/ D qua M vaøcaùch ñeàu hai ñieåm N, P. Baøi 9: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát A( 1; 3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình laø x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0. Baøi 10: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu cho ñieåm B(-4;-5) vaø hai ñöôøng cao coù phöông trình laø :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0. Baøi 11 : Cho ñieåm P( 3; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goïi d laø ñöôøng thaúng qua P caét d1 , d2 laàn löôït taïi A vaø B .Vieát phöông trình cuûa d bieát PA = PB. Baøi 12 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát C(4 ; -1 ) ñöôøng cao vaø trung tuyeán keû töø moät ñænh laàn löôït coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 . Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC coù M( - 2 ; 2) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC caïnh AB coù phöông trình laø x – 2y – 2 = 0,caïnh AC coù phöông trình laø 2x + 5y + 3 = 0 . Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC. 2
  4. Baøi 14 : Cho hai ñöôøng thaúng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm ñieåm A treân d1, C treân d2 vaø B , D treân truïc hoaønh sao cho ABCD laø hình vuoâng . Daïng 2 : Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân ñöôøng thaúng 1 / Phöông phaùp : Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d:  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua dieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d .  Giaûi heä goàm hai phöông trình cuûa d vaø d’ ta coù toïa ñoä cuûa ñieåm H. 2/ Phöông phaùp :Xaùc ñònh ñieåm N ñoái xöùng cuûa ñieåm M qua d.  Duøng phöông phaùp treân ñeå tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d.  Ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua d neân H laø trung ñieåm ñoaïn MN , töø ñieàu kieän ñoù ta tìm ñöôïc toïa ñoä ñieåm N Baøi taäp : Baøi 1 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm M(-6 ; 4 ) vaø ñöôøng thaúng d: 4x – 5y + 3 = 0. 1/ Tìm toïa ñoä hình chieáu H cuûa M treân ñöôøng thaúng d. 2/ Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua d . Baøi 2 : Trong mp vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñeåm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaø ñöôøng thaúng d : 2x – y – 1 = 0 . 1/ Chöùng minh raèng A , B naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng d. 2/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d . 3/ Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d sao cho MA + MB beù nhaát. Daïng 3 : Caùc baøi toaùn veà vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng Baøi 1: Xaùc ñònh a ñeå caùc ñöôøng thaúng sau ñaây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 . Baøi 2 : Cho hai ñöôøng thaúng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì : 1/ d vaø d’ caét nhau. 2/ d // d’. 3/ d truøng vôùi d’. Baøi 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai ñöôøng thaúng sau caét nhau taïi moät ñieåm treân truïc hoaønh d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0. Daïng 4 : Caùc baøi toaùn Söû duïng coâng thöùc tính goùc vaø khoaûng caùch. Baøi 1 : Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau : 1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0 2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 . Baøi 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ( 3 ; 2) ñeán caùc ñöôøng thaúng sau ñaây: 1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 . Baøi 3: Cho ñöôøng thaúng d: 3x – 2y +1 = 0 vaø ñieåm A(1;2) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua A vaø hôïp vôùi d moät goùc 450 . Baøi 4 : Cho tam giaùc ABC caân ñænh A . Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = 0 , AB :x + y + 1 = 0. Laäp phöông trình caïnh AC bieát raèng noù ñi qua ñieåm M(1;1). Baøi 5: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M( 2;7 ) vaø caùch ñieåm A(1;2) moät khoaûng baèng1. Baøi 6 : Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm P( 2 : -1) sao cho ñöôøng thaúng ñoù cuøng vôùi hai ñöôøng thaúng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taïo ra moät tam giaùc caân coù ñænh laø giao ñieåm cuûa (d1) vaø (d2) . Baøi 7 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B( 2 ;- 1 ),ñöôøng cao qua ñænh A coù phöông trình 3x – 4y +27 = 0 vaø phaân giaùc trong cuûa goùc C coù phöông trình x + 2y – 5 = 0. Baøi 8: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi d:3x –4y +1=0 vaø caùch d moät khoaûng baèng 1 CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI 1/ Trong maët phaúng Oxy moät tam giaùc coù phöông trình hai caïnh 5x-2y + 6 =0 vaø 4x +7y – 21 =0. Vieát phöông trình caïnh thöù ba bieát tröïc taâm cuûa tam giaùc truøng vôùi goùc toïa ñoä . 2/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù moät ñænh laø (-4; 5)vaø moät ñöôøng cheùo coù phöông trình laø 7x- y +8 = 0 3
  5. 3/ Chgo tam giaùc ABC ,caïnh BC coù trng ñieåm M(0; 4) coøn hai caïnh kia coù phöông trình : 2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0 a. Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm A. b. Goïi C laø ñieåm treân ñöôøng thaúng x – 4y – 2 = 0 , N laø trtrung ñieåm AC . Tìm N roài suy ra toïa ñoä cuûa B , C. 4/ Cho tam giaùc ABC coù M(-2 ;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x –2y–2=0 caïnh AC coù phöông trình 2x + 5y + 3 =0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùcABC. 5/ Cho A(-1; 2)vaø B(3;4).Tìm ñieåm Ctreân ñöôøng thaúng x –2y +1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C . 6/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh B(3;5),ñöôøng cao veõ töø A coù phöông trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeán veõ töø C coù phöông trình x + y – 5 =0 a. Tìm toïa ñoä ñieåm A. b, Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. 7/ Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;1)vaø coù caùc caïnh AB:4x+y 15 = 0 vaø AC :2x+5y +3 = 0. a,Tìm toïa ñoä A vaø trung ñieåm M cuûa caïnh BC b,Tìm toïa ñoä ñieåm B vaø vieát phöng trình ñöôøng thaúng BC. 8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4 =0. a, Tìm ñieåm C treân d caùch ñeàu hai ñieåm A,B. Vôùi C vöøa tìm ñöôïc .Tìm D s/cho ABCD laø hbh .tính Shbh. 9/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3) a. Bieát ñöôøng cao BH:5x+3y –35=0, ñöôøng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C. b. Bieát trung tröïc cuûa caïnh AB coù phöông trình x+2y –4=0 vaø troïng taâm G(4;-2).Tìm B,C. 10/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán veõ töø moät ñænh coù phöông trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0. 11/Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình x-2y+1 =0, y -1=0 . 12/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-1) vaø phöông trình hai phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d:x – 2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC. 13/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-3) ,B(3;-2)troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng 3x –y – 8 =0,dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/ 2.Tìm C. 14 / Cho tam giaùc caân ABC coù phöông trình caïnh ñaùy AB:2x –3y+5=0caïnh beân AC:x+y+1=0. Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát noù ñi qua ñieåm D(1;1). 15/ Cho hình chöû nhaät ABCD coù taâm I(1/ 2;0),phöông trình ñöôøng thaúng AB laø x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát A coù hoaønh ñoä aâm. 16/ Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa hình vuoâng ABCD bieát A thuoäc d1, C thuoäc d2vaø caû hai ñænh B,D thuoäc truïc hoaønh. 17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng d: 3x – y -8 = 0, dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/2 . Tìm C. 18/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán ke û töø moät ñænh coù phöông trình 2x -3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0. 20/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán coù phöông trình laø x -2y+1= 0 vaø y-1 =0. 21/ Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE) 4x+13y-10 = 0. Laäp phöông trình ba caïnh. 22/ Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1) vaø phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d: x-2y+1=0 vaø x+y+3=0 .Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng chöùa caïnh BC. 23/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;3) , ñöôøng cao BH naèm treân ñöôøng thaúng y= x , phaân giaùc trong goùc C naèm treân ñöôøng thaúng x+3y+2=0 . Vieát phöông trình caïnh BC . 24/ Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A , phöông trình BC laø 3x  y  3  0 , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc hoøanh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. 4
  6. ÑÖÔØNG TROØN A . LYÙ THUYEÁT CAÀN NHÔÙ I .phöông trình ñöôøng troøn : * Ñöôøng troøn ( C ) coù taâm I ( a; b) ,baùn kính R coù phöông trình laø : (x – a )2 + ( y – b)2 = R2 * Phöông trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn coù taâm I ( a ; b ) ,baùn kính R = a 2  b 2  c II. Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn. Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöôngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vaù ñieåm M0(x0 ;y0) PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c . III. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn : Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 , ( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 . Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ( C1) , ( C2) coù phöông trình laø : 2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 . IV. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn 1/Daïng 1: Cho ñöôøng troøn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , baùn kính R. Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M0( x0 ; y0)  ( C ) coù phöông trình : (x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2 Chuù yù: Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0 nhaän vectô M0I laøm vectô phaùp tuyeán töø ñoù suy ra phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0. 2/ Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng k. * Ñöôøng thaúng  coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = kx + m *  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc m. 3/ Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) ñi qua M( xM ; yM). * Ñöôøng thaúng  qua M coù phöông trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0. *  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc A vaø B. B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Baøi 1 :Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau : 1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 . 3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 . Baøi 2 :Laäp phöông trình ñöôøng troøn ( T ) trong caùc tröôøng hôïp sau: 1/ ( T ) coù taâm I ( 2 ; - 1) vaø coù baùn kính R = 3 . 2/ ( T ) coù ñöôøng kính AB vôùi A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) . 3/ ( T ) coù taâm I ( 3 ; - 1 ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  : 4x –3y + 5 = 0 . 4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ). 5/ ( T )tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng  :2x – y – 8 = 0. 6/ ( T ) qua hai ñieåm A(1;2 ),B(3; ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  coù phöông trình : 3x +y–3 = 0 Baøi 3 : Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöông trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Laäp phöông trình tieáp tuyeán d vôùi ( C): 1/ Taïi ñieåm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Bieát d song song vôùi  : 3x – 4y – 2004 = 0. 3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( 2 ; 6 ) . Baøi 4: Cho ñöôøng troøn ( T ) coù phöông trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 . 1/ Tính phöông tích cuûa ñieåm M ( 5 ; -2) ñoái vôùi ñöôøng troøn ( T ). 2/Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (T)vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  :2x – 3y + 1= 0. 5
  7. 3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( T ) keû töø N (– 2 ; 6 ). Baøi 5 : Cho hai ñöông troøn ( C1 ) vaø ( C2 ) laàn löôït coù phöông trình laø : x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ñoù . Baøi 6 : Cho ( Cm) coù phöông trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0. 1/ Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho (Cm ) laø ñöôøng troøn. 2/ Tìm taäp hôïp taâm I cuûa ( Cm ) . 2 2 Baøi 7 : Cho ñöôøng troøn (T) coù phöông trình : x + y – 2x + 4y – 20 = 0. a) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) taïi caùc ñieåm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) . b) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) ñi qua C( 6 ; 5) . c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (T) vaø (T’) coù pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0 d) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (T) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T’’) coù pt: x2 + y2 – 2my = 0. CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI 1/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1) 2/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba caïnh naèm treân ba ñöôøng thaúng : x 2 (d1) : y   , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x 5 5 3/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1). 4/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm A( -1;1) , B(1;-3) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d) :2x – y + 1 = 0 5/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ñieåm A(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (d) : 7x-y-5= 0 taïi ñieåm M(1;2) 6/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 2x +y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (d2): x -7y+10 = 0 taïi ñieåm M(4;2). 7/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0 8/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua A( 2;-1) vaø tieáp xuùc vôùi hai truïc toaï ñoä . 9/ Cho hai ñöôøng troøn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = 0 a. Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua giao ñieåm cuûa (C1) ,(C2) vaø coù taâm (d):x+6y – 6 = 0. b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (C1) ,(C2) 10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y – 1 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’) ñoái xöùng vôùi ( C) qua (d) 11/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn . 12/ Cho hai ñöôøng troøn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 coù taâm I, J. a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau , tìm toïa ñoä tíeâp ñieåm H. b. Goïi (d) laø moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) khoâng qua H .Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (d) vôùi IJ .Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) taïi H. 13/ Cho ñieåm M(6;2) vaø ñöôøng troøn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua M vaø caét (C ) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB = 10 . 14/Cho ñöôøng troøn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 vaø ñieåm M(2;4) . a. Chöùng toû raèng M naèm trong ñöôøng troøn. b. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M caét (C ) taïi hai ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi (C ) qua AB. 15 / Cho ba ñöôøng thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A, 6
  8. (d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C. a. Vieát phuöông trình phaàn giaùc trong cuûa goùc BAC . b. Tính dieän tích tam giaùc ABC . c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC . 16/ Cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 vaø ñieåm A(14;8) . Qua A keû caùc tieáp tuyeân AM,AN vôùi (C) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng MN . 17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0. a.Xaùc ñònh m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn . b. Tìm quyõ tích taâm I cuûa (Cm) . 18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 vaø A(3 ; 0) .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø caét (C) theo moät daây cung coù ñoä daøi nhoû nhaát. 19/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0. a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau . b. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ñoù . 20/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa caùc caëp ñöôøng troøn sau : a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0 b. (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0 C«ng thøc vÒ E-LÝp x2 y2 Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t: + = 1 (a,b>0) a2 b2 NÕu a>b th×: b2= a2- c2 NÕu b>a th×: a2= b2- c2 trôc lín lµ 2a trôc lín lµ 2b trôc nhá lµ 2b trôc nhá lµ 2a tiªu cù lµ 2c tiªu cù lµ 2c t©m sai e=c/a t©m sai e=c/b tiªu ®iÓm ( thuéc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) tiªu ®iÓm ( thuéc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c) Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ c c MF1  a  ex  a  x MF1  b  ex  a  x a b c c MF2  a  ex  a  x MF2  b  ex  a  x a b . CAÙC DANG BAØI TAÄP: Baøi 1 : Tìm tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tieâu cöï , ñoä daøi caùc truïc vaø taâm sai cuûa elip (E ) cho bôûi caùc phöông trình sau : 1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ; 3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25. Baøi 2 : Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip ( E ) trong caùc tröôøng hôïp sau : 1/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 6 ; truïc lôùn laø 2 10 . 2/ ( E ) coù truïc lôùn baèng 20 taâm sai baèng 3/5, 3/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 8 vaø ñi qua ñieåm M ( 15 ; - 1 ). 12 4/ ( E ) coù moät tieâu ñieåm F2 ( 4 ; 0 ) vaø ñi qua ñieåm N ( 3 ; ) 5 5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 ) 6/ ( E ) coù truïc nhoû baèng 6 , phöông trình hai ñöôøng chuaån x 7  16 = 0. 7
  9. 1 7/ ( E ) coù taâm sai baèng , khoaûng caùch giöõa hai ñöôøg chuaån baèng 32. 2 Baøi 3 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100. 1/ Tìm caùc ñieåm treâ ( E ) coù hoaønh ñoä baèng 3 vaø tính khoaûng caùch giöûa hai ñieåm ñoù. 2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) sao cho baùn kính qua tieâu ñieåm beân traùi baèng hai laàn baùn kính qua tieâu ñieåm beân phaûi . Baøi 4 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 . 1/ Xaùc ñònh toïa ñoä caùc tieâu ñieåm vaø ñoä daøi caùc truïc cuûa ( E ) . 2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) nhìn hai tieâu ñieåm döôùi moät goùc vuoâng . Baøi 5: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 . 1/ Tìm caùc ñieåm M treân ( E ) sao cho 3F1M = F2M. 2/ Cho A , B laø hai ñieåm thuoäc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Haõy tính AF2 + BF1 . Baøi 6 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100. 1/ Tìm toïa ñoä caùc tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tính taâm sai cuûa ( E ) . 2/ Ñöôøng thaúng d ñi qua moät tieâu ñieåm cuûa ( E ) caét ( E ) taïi hai ñieåm A , B .Tính ñoä daøi AB 3/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m caét (E )taïi hai ñieåm phaân bieät. Baøi 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0. 1/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø ( E ) . 2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc giao ñieåm ñoù. 3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( E ) bieát tieáp tuyeán ñi qua M( 5; 5 ). Baøi 8 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán : 1/ song song vôùi ñöôøng thaúng :3x – 2y +1 = 0. 2/ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :x + 2y – 3 = 0. Baøi 9: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát raèng (E) nhaän caùc ñöôøng thaúng: 3x – 2y – 20 = 0 vaø x + 6y – 20 = 0 laøm tieáp tuyeán. 4 Baøi 10 : Cho elíp (E) coù hai tieâu ñieåm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) vaø moät ñg chuaån coù phöông trình x = . 3 1/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa (E). 2/ M laø ñieåm thuoäc (E) .Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M. 3/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) // Ox vaø caét (E) taïi hai ñieåm A,B sao cho OA  OB. Baøi 11:1/ Laäp pt chính taéc cuûa elíp (E) coù tieâu ñieåm F1( - 15 ;0), tieáp xuùc vôùi (d) : x + 4y – 10 = 0. 2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) vuoâng goùc vôùi (d’) : x + y + 6 = 0. Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình mx – y – 1 = 0 . 1/ Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) luoân caét (E) taïi hai ñieåm phaân bieät vôùi moïi m . 2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(1;3) Baøi 13: 1/Laäp phöông trình chính taéc cuûa elíp (E) coù moät tieâu ñieåm F2( 10 ;0) ñoä daøi truïc lôùn 2 18 2/ Ñöôøng thaúng (d) tieâp xuùc vôùi(E) taïi M caét hai truïc toïa ñoä taïi A, B .Tìm M ñeå dieän tích tam giaùc OAB nhoû nhaát . x2 y2 Baøi 14 : Cho (E) :   1 .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong ñoù a,b laø hai soá thay ñoåi 9 4 1/ Xaùc ñònh toïa ñoä giao ñieåm I cuûa AN vaø BM . 2/ Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng MN tieáp xuùc vôùi (E) laø ab = 4 . x2 y2 x2 y2 Baøi 15 : trong maët phaúng toïa ñoä cho hai elíp (E1) :   1 vaø (E2):  1 16 1 9 4 1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua giao ñieåm cuûa hai elíp . 2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai elíp . 8
  10. I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A ) 2. AB  AB   x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2 3. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  4. k.a  ka1 , ka2 , ka3  5. a  a12  a2  a3 2 2  a1  b1  6. a  b  a 2  b2 a  b  3 3 7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3 a1 a 2 a3 8. a // b  a  k.b  a  b  0    b1 b2 b3 9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a 3 .b3  0 a a3 a3 a1 a1 a2  10. a  b   2 b , ,   2 b3 b3 b1 b1 b2   11. a , b, c đồng phẳng  a  b .c  0   12. a , b, c không đồng phẳng  a  b .c  0   13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1  x kx B y A  ky B z A  kz B  M A , ,   1 k 1 k 1 k  14. M là trung điểm AB  x  xB y A  y B z A  zB  M A , ,   2 2 2  15. G là trọng tâm tam giác ABC  x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC  G A B C , A , ,  3 3 3  16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) 17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz 18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y , z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz 1 1 19. S ABC  AB  AC  a12  a 2  a3 2 2 2 2 1 20. V ABCD  ( AB  AC ). AD 6 21. V ABCD . A B C D  ( AB  AD ). AA / / / / / 9
  11. 2.CÁC DẠNG TOÁN Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc     A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [ AB , AC ] ≠ 0 1    SABC = [AB , AC] 2 2.S ABC  Ñöôøng cao AH = BC    Shbh = [AB , AC] Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh  Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng  ABCD laø hbh  AB  DC Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:     [ AB , AC ]. AD ≠ 0 1     Vtd = [AB , AC] . AD 6 *Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD 1 3V V  SBCD.AH  AH  3 SBCD  Theå tích hình hoäp :   V ABCD. A/ B /C / D /  AB; AD . AA / Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M 1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d) *Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù n  a d *Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng 1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp *Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1) *H laø trung ñieåm cuûa MM/ 2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d: *Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2) H laø trung ñieåm cuûa MM/ 10
  12. 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG             1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: a  2 i  j ; b  7 i 8k ; c  9 k ; d  3 i  4 j5k    2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).        a) T×m täa ®é cña vect¬ : u = 4 a - 2 b + 3 c b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c kh«ng ®ång ph¼ng .     c) H·y biÓu diÓn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .    3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .          1  4: Cho: a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1; 7; 2  . T×m täa ®é cña vect¬: a) d  4 a  b  3 c b) e  a  4 b  2 c 2  5: T×m täa ®é cña vect¬ x , biÕt r»ng:         a) a  x  0 vµ a  1; 2;1 b) a  x  4 a vµ a   0; 2;1      c) a  2 x  b vµ a   5; 4; 1 , b   2; 5;3 . 6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: A(1;3; 7), B ( 5; 2;0), C (0; 1; 1). H·y t×m träng t©m G cña tam gi¸c ABC. 7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : A(2;5; 3), B(1;0;0), C(3;0; 2), D(3; 1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G cña tø diÖn ABCD. 8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M: a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz 9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M: a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy. 10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i. 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M. a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M.    13 . Cho ba vect¬ a  1; 1;1 , b   4;0; 1 , c   3;2; 1 . T×m: 2 2 2 2 2 2 2                       a)  a . b  c ; b) a  b . c  ; c ) a b  b c  c a ; d ) 3 a 2 a . b  b c b ;   e) 4 a . c  b  5 c .             14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vµ b : a) a   4;3;1 , b   1;2;3 b) a   2;5;4  , b   6;0; 3 . 15. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).    16. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ a , b , c trong mçi tr­êng hîp sau ®©y:       a ) a  1; 1;1 , b   0;1; 2  , c   4; 2;3 b) a   4;3; 4  , b   2; 1; 2  , c  1; 2;1       c) a   4; 2;5  , b   3;1;3 , c   2; 0;1 d ) a   3;1; 2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 . 17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A. e) TÝnh c¸c gãc cña ABC. 11
  13. 18. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn. b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD. c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A. 19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc B. 20. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD. b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã. c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B. d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. 21. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo. c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A. T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC . 22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD . c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D. d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D . 23. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C . c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :    n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n   2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :     a // b laø caëp vtcp cuûa   a , b cuøng //        3 Quan heä giöõa vtpt n vaø caëp vtcp a , b : n = [ a , b ]  4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0  () : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C) 5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z   1 a b c Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán 6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1  2 = d trong ñoù 12
  14. (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) : °  caét   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 A B C D °  //   1  1  1  1 A2 B 2 C2 D2 A B C D °   1  1  1  1 A2 B 2 C2 D2 ª     A1 A2  B1 B2  C1C 2  0 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0 Ax o  By o  Cz o  D d(M, )  A 2  B2  C 2   n1 . n 2 10.Goùc giữa hai maët phaúng : cos( ,  )    n1 . n 2 2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C : qua A ( hay B hay C )   ° Caëp vtcp: AB , AC °    vtpt n  [ AB , AC ] Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB : qua M trung ñieåm AB °    vtpt n  AB Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB) qua M °    Vì   (d) neân vtpt n  a ....( AB ) d Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0 qua M °    Vì  //  neân vtpt n  n   13
  15. Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)  Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))  Mp chöùa (d) neân a d  a Mp song song (d/) neân a d /  b ■  Vtpt n  a d , a d /  Daïng 6 Mp qua M,N vaø   : ■ Mp qua M,N neân MN  a ■ Mp  mp neân n  b qua M (hay N) °    vtpt n  [ MN , n ]  Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua ■ Mp chöùa d neân a d  a ■ Mp ñi qua M  (d ) vaø A neân AM  b qua A °   vtpt n  [ a , AM ] d 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng  Bµi 1: LËp ph­¬ngtr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt  a, M  3;1;1 , n   1;1;2  b, M  2;7;0  , n   3;0;1   c, M  4; 1; 2  , n   0;1;3  d, M  2;1; 2  , n  1;0;0  Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt: 1   1   2 1  1  a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A  ; 1; 0  , B  1;  ;5  d, A  1; ;  , B  3; ;1  2   2   3 2  3  Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng    ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng    biÕt: a, M  2;1;5  ,      Oxy  b, M  1;1; 0  ,    :x  2y  z  10  0 c, M 1; 2;1 ,    : 2x  y  3  0   Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ a(2;1; 2); b(3; 2; 1) Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z. Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z.   Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ a(6; 1;3); b(3; 2;1) . Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ a(2,7,2); b(3,2,4) Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt : a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT. 14
  16. b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:   a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ a  3; 2;1 vµ b  3;0;1 b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x. Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3) Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P). III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua  M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)  x  x o  a 1t  (d) :  y  y o  a 2 t ; t  R z  z  a t  o 3 2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) z-z Qui öôùc: x  xo y  yo 0 (d) :   Maãu = 0 thì Tö û= 0 a a2 a3 1 3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2  A 1 x  B 1 y  C 1z  D 1  0 (d) :  A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0  B1 C1 C1 A1 A1 B1  Veùctô chæ phöông a   , ,  B C2 C2 A2 A2 B2   2  4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : 15
  17.  (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /    d cheùo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)    d,d’ ñoàng phaúng  [ a d , a d / ]. MN = 0     d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0  /  d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  (d ) }   d,d’ truøng nhau  { a d // a d / vaø M  (d / ) } 5.Khoaûng caùch :  Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d / [a d ; AM ] Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: d ( A, d )  ad [a d ; a d / ].MN Kc giöõa 2 ñường thẳng : d (d ; d / )  [a d ; a d / ]   6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n  a d .a d / Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : cos(d, d' )   ad . ad /   ad .n Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d,  )    ad . n 2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B  quaA ( hayB ) (d )  Vtcp a d  AB Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song () qua A (d )   Vì (d) // (  ) neân vtcp a  a d  Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp qua A (d )   Vì (d)  ( ) neân vtcp a  n d  Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =    16
  18.  Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp  quaM  (d ) (  )  (d )  a  a ( )    d  ª (d / )        n  b (  )   n  [a d ; n ]  Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2) qua A   ( d ) vtcp a [ a   ,a ] d1 d2 Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :   + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d)  d= Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =    vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2 vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 //  Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2   Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =    vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P) 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :  a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn a(3; 2;3) lµm VTCP b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng ( P) : x - 3 y  2 z - 6  0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng  x  t tr×nh:   :  2 2 d y   t , tR  z  1  2t   x  t Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0 d  :  y  2  2t , t  R   z  1  2t  T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D) Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã 17
  19. Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau: a) ( P) : x  2 y  3 z - 4  0 b)  P  : x  2 y  3z  1  0 . Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng  x  2  2t th¼ng (  ) cho bëi : .    :  y  3t  tR  z  3  t  Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt: x  1  t  x  12  4t a) d  :  y  3  t , t  R (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0  d  :  y  9  t  , t R z  2  t z  1  t   Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ d  : x  1  y z2  . 2 1 3 a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) . Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :  x  1  2t d1  : x  2  y 1 z 1  d 2  :  y  t  2  t  R 1 2 1  z  1  3t  a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :  x  7  3t  x  1  t1 d1  :  y  4  2t  d 2  :  y  9  2t1  t, t 1  R   z  4  3t  z  12  t   1 a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . III.MẶT CẦU 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R 2 2 2 S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1) S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) ( vôùi a2  b2  c2  d  0 ) 2 2 2  Taâm I(a ; b ; c) vaø R a  b  c  d 2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu Cho (S): x  a2  y  b2  z  c2  R2 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0 Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :  d > R : (S)   =  18
  20.  d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän) *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 2 2 2  d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt (S): x  a  y  b  z  c  R 2   : Ax  By  Cz  D  0 *Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn: + baùn kính r  R2  d2(I , ) + Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu  x  x o  a 1t  (1) vaø d : y  y o  a 2 t z  z o  a 3 t  2 2 2 (S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2) + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, + Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm 2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 2 2 2 ª S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)  Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB  Taâm I laø trung ñieåm AB  Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)  Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp Pt maët caàu taâm I (S ) A.x  B . y  C . z  D I I I R  d(I,  )  A2  B2  C 2 Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD Duøng (2) S(I,R) : x2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2) I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α) 19
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản