Hình học mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: huuthanh_cnk7

Cách giải các bài toán về tam giác: viết pt các cạnh của tam giác, tìm các đỉnh chú ý: - 2 đg thẳng // thì có cùng véc tơ pháp tuyên và véc tơ chỉ phương - 2 đg thẳng vuông góc thì pháp tuyến đường này là chỉ phương của đg kia, chỉ phương đường này là pháp tuyến của đg kia C(x;y) Loại 1: cho 1 đỉnh và 2 đường cao không qua đỉnh đó: cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK - viết phương trình cạnh AB qua...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Hình học mặt phẳng tọa độ






Hình học mặt phẳng tọa độ




..........., tháng ... năm ........
H×nh häc mÆt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó ý: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tuyÕn ®­êng nµy lµ chØ ph­¬ng cña ®g kia,
chØ ph­¬ng ®­êng nµy lµ ph¸p tuyÕn cña ®g kia C(x;y)

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK A’ B’
- viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH


B A
B
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng trung tuyÕn kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iÓm M thuéc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iÓm t×m C’
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®­êng CN t×m tham sè t  ®iÓm C
- LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iÓm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®­êng BM t×m tham sè t  ®iÓm B C B’ A(x;y)
A’
lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã C
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diÓm ®èi xøng cña A qua ®­êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thuéc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cña nã víi ®­êng CC’, BB’ta cã ®iÓm I
B vµ C
B A(x;y)
chó ý : J
A’’
c¸c bµi to¸n kÕt hîp ®­êng cao vµ ph©n gi¸c; ®­êng cao vµ trung tuyÕn; trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c ta ®Òu dùa vµo
c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn

lo¹i 4: Bµi to¸n cho diÖn tÝch, cho ®iÓm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tr­íc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diÖn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cña ®iÓm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k
Bµi tËp:
3
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; ), D (- 2; 2)
2
a/ Chöùng minh raèng A , B, C khoâng thaúng haøng : A , B , D thaúng haøng.
b/ Tìm ñieåm E ñoái xöùng vôùi A qua B.
c/ Tìm ñieåm M sao cho töù giaùc ABCM laø hình bình haønh.
d/ Tìm toïañoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xaùc ñònh toïa ñoä taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm G, tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC .suy ra ba ñieåm G,H,I thaúng haøng.
3/ Cho hai ñieåm A( 1; -2 ) vaø B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua truïc hoaønh.
b/ Tìm ñieåm M treân truïc hoaønh sao cho MA +MB nhoû nhaát .
c/ Tìm ñieåm N treân truïc tung sao cho NA + NB nhoû nhaát.
 
d/ Tìm ñieåm I treân truïc tung sao cho | IA IB | ngaén nhaát.
e/ Tìm J treân truïc tung sao cho JA –JB daøi nhaát.
1
4/Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(1;1) . Haõy tìm ñieåm B treân ñöôøng thaúng y =3 vaø ñieåm C
treân truïc hoaønh sao cho ABC laø tam giaùc ñeàu.
5/Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm B treân ñöôøng thaúng x + 4 = 0 vaø ñieåm C treân ñöôøng thaúng x–3 =0
a) Xaùc ñònh toïa ñoä B vaø C sao cho tam giaùc OBC vuoâng caân ñænh O
b) Xaùc ñònh toïa ñoä B;C sao cho OBC laø tam giaùc ñeàu.

CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Daïng 1: Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:
Baøi 1 : Vieát phöông trình tham soá phöông trình , chính taéc roài suy ra phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng
thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:

1/ Qua ñieåm M(2 ; -5) vaø nhaän vectô u =( 4; -3) laøm vectô chæ phöông .
2/ Qua hai ñieåm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .

3/ Qua ñieåm N ( 3 ; -2 ) vaø nhaän vectô n = ( 5 ; - 2 ) laøm vectô phaùp tuyeán .
Baøi 2: Vieát Phöông trình tham soá , phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng coù phöông trình toång quaùt laø: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau :
a) d ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 4.
b) d ñi qua A vaø caùch ñeàu hai ñieåm B , C
c) d caùch ñeàu ba ñieåm A; B ; C
d) d vuoâng goùc vôùi AB taïi A. e; d laø trung tuyeán veõ töø A cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB , BC
, CA . 1/ Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
2/ Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Laäp phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng ( d’) ñi qua ñieåm A (1 ; -2 ) vaø song song vôùi (d).
2/ Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d’’) ñi qua ñieåm M( 3 ; 1 ) vaø (d’’) vuoâng goùc vôùi (d).
Baøi 6 : Cho hai ñöôøng thaúng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi
qua giao ñieåm cuûa d vaø d’vaø thoaû maûn moâït trong caùc ñieàu kieän sau ñaây :
1/ Ñi qua ñieåm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vôùi ñöôøng thaúng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x- y + 4 = 0 .
Baøi 7 :Tam giaùc ABC coù A( -1 ; - 3 ) , caùc ñöôøng cao coù phöông trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng cao coøn laïi.
Baøi 8 :Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d trong moåi tröôøng hôïp sau :
1/ d qua M vaø caùch N moät khoaûng baèng 4. 2/ D qua M vaøcaùch ñeàu hai ñieåm N, P.
Baøi 9: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát A( 1; 3) vaø hai trung
tuyeán coù phöông trình laø x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Baøi 10: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu cho ñieåm B(-4;-5) vaø hai
ñöôøng cao coù phöông trình laø :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Baøi 11 : Cho ñieåm P( 3; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goïi d laø ñöôøng thaúng qua
P caét d1 , d2 laàn löôït taïi A vaø B .Vieát phöông trình cuûa d bieát PA = PB.
Baøi 12 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát C(4 ; -1 ) ñöôøng cao vaø trung tuyeán keû töø moät
ñænh laàn löôït coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC coù M( - 2 ; 2) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC caïnh AB coù phöông trình laø x – 2y
– 2 = 0,caïnh AC coù phöông trình laø 2x + 5y + 3 = 0 . Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC.
2
Baøi 14 : Cho hai ñöôøng thaúng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm ñieåm A treân d1, C treân d2 vaø B , D treân
truïc hoaønh sao cho ABCD laø hình vuoâng .
Daïng 2 : Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân ñöôøng thaúng
1 / Phöông phaùp : Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d:
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua dieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d .
 Giaûi heä goàm hai phöông trình cuûa d vaø d’ ta coù toïa ñoä cuûa ñieåm H.
2/ Phöông phaùp :Xaùc ñònh ñieåm N ñoái xöùng cuûa ñieåm M qua d.
 Duøng phöông phaùp treân ñeå tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d.
 Ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua d neân H laø trung ñieåm ñoaïn MN , töø ñieàu kieän ñoù ta tìm ñöôïc toïa ñoä
ñieåm N
Baøi taäp :
Baøi 1 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm M(-6 ; 4 ) vaø ñöôøng thaúng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä hình chieáu H cuûa M treân ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua d .
Baøi 2 : Trong mp vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñeåm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaø ñöôøng thaúng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng A , B naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng d.
2/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d .
3/ Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d sao cho MA + MB beù nhaát.
Daïng 3 : Caùc baøi toaùn veà vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng
Baøi 1: Xaùc ñònh a ñeå caùc ñöôøng thaúng sau ñaây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Baøi 2 : Cho hai ñöôøng thaúng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì :
1/ d vaø d’ caét nhau. 2/ d // d’. 3/ d truøng vôùi d’.
Baøi 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai ñöôøng thaúng sau caét nhau taïi moät ñieåm treân truïc hoaønh
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Daïng 4 : Caùc baøi toaùn Söû duïng coâng thöùc tính goùc vaø khoaûng caùch.
Baøi 1 : Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Baøi 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ( 3 ; 2) ñeán caùc ñöôøng thaúng sau ñaây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Baøi 3: Cho ñöôøng thaúng d: 3x – 2y +1 = 0 vaø ñieåm A(1;2) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng  ñi qua A vaø
hôïp vôùi d moät goùc 450 .
Baøi 4 : Cho tam giaùc ABC caân ñænh A . Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Laäp phöông trình caïnh AC bieát raèng noù ñi qua ñieåm M(1;1).
Baøi 5: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M( 2;7 ) vaø caùch ñieåm A(1;2) moät khoaûng baèng1.
Baøi 6 : Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm P( 2 : -1) sao cho ñöôøng thaúng ñoù cuøng vôùi hai ñöôøng
thaúng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taïo ra moät tam giaùc caân coù ñænh laø giao ñieåm cuûa
(d1) vaø (d2) .
Baøi 7 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B( 2 ;- 1 ),ñöôøng cao qua ñænh A coù phöông trình
3x – 4y +27 = 0 vaø phaân giaùc trong cuûa goùc C coù phöông trình x + 2y – 5 = 0.
Baøi 8: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi d:3x –4y +1=0 vaø caùch d moät khoaûng baèng 1

CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Trong maët phaúng Oxy moät tam giaùc coù phöông trình hai caïnh 5x-2y + 6 =0 vaø 4x +7y – 21 =0. Vieát
phöông trình caïnh thöù ba bieát tröïc taâm cuûa tam giaùc truøng vôùi goùc toïa ñoä .
2/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù moät ñænh laø (-4; 5)vaø moät ñöôøng cheùo coù phöông trình laø
7x- y +8 = 0
3
3/ Chgo tam giaùc ABC ,caïnh BC coù trng ñieåm M(0; 4) coøn hai caïnh kia coù phöông trình :
2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0
a. Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm A.
b. Goïi C laø ñieåm treân ñöôøng thaúng x – 4y – 2 = 0 , N laø trtrung ñieåm AC . Tìm N roài suy ra toïa ñoä cuûa
B , C.
4/ Cho tam giaùc ABC coù M(-2 ;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x –2y–2=0
caïnh AC coù phöông trình 2x + 5y + 3 =0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùcABC.
5/ Cho A(-1; 2)vaø B(3;4).Tìm ñieåm Ctreân ñöôøng thaúng x –2y +1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C .
6/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh B(3;5),ñöôøng cao veõ töø A coù phöông trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeán veõ töø
C coù phöông trình x + y – 5 =0
a. Tìm toïa ñoä ñieåm A. b, Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.
7/ Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;1)vaø coù caùc caïnh AB:4x+y 15 = 0 vaø AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm toïa ñoä A vaø trung ñieåm M cuûa caïnh BC b,Tìm toïa ñoä ñieåm B vaø vieát phöng trình ñöôøng thaúng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4 =0.
a, Tìm ñieåm C treân d caùch ñeàu hai ñieåm A,B. Vôùi C vöøa tìm ñöôïc .Tìm D s/cho ABCD laø hbh .tính Shbh.
9/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3)
a. Bieát ñöôøng cao BH:5x+3y –35=0, ñöôøng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Bieát trung tröïc cuûa caïnh AB coù phöông trình x+2y –4=0 vaø troïng taâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán veõ töø moät ñænh
coù phöông trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-1) vaø phöông trình hai phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d:x –
2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC.
13/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-3) ,B(3;-2)troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng
3x –y – 8 =0,dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giaùc caân ABC coù phöông trình caïnh ñaùy AB:2x –3y+5=0caïnh beân AC:x+y+1=0.
Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát noù ñi qua ñieåm D(1;1).
15/ Cho hình chöû nhaät ABCD coù taâm I(1/ 2;0),phöông trình ñöôøng thaúng AB laø
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát A coù hoaønh ñoä aâm.
16/ Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa
hình vuoâng ABCD bieát A thuoäc d1, C thuoäc d2vaø caû hai ñænh B,D thuoäc truïc hoaønh.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng d: 3x – y -8 = 0, dieän
tích tam giaùc ABC baèng 3/2 . Tìm C.
18/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán ke û töø moät
ñænh coù phöông trình 2x -3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0.
20/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán coù
phöông trình laø x -2y+1= 0 vaø y-1 =0.
21/ Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE)
4x+13y-10 = 0. Laäp phöông trình ba caïnh.
22/ Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1) vaø phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C
laàn löôït laø d: x-2y+1=0 vaø x+y+3=0 .Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng chöùa caïnh BC.
23/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;3) , ñöôøng cao BH naèm treân ñöôøng thaúng y= x , phaân giaùc
trong goùc C naèm treân ñöôøng thaúng x+3y+2=0 . Vieát phöông trình caïnh BC .
24/ Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A , phöông trình BC laø 3x  y  3  0 , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc
hoøanh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.

4
ÑÖÔØNG TROØN
A . LYÙ THUYEÁT CAÀN NHÔÙ
I .phöông trình ñöôøng troøn :
* Ñöôøng troøn ( C ) coù taâm I ( a; b) ,baùn kính R coù phöông trình laø :
(x – a )2 + ( y – b)2 = R2
* Phöông trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn coù taâm
I ( a ; b ) ,baùn kính R = a 2  b 2  c
II. Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn.
Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöôngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vaù ñieåm M0(x0 ;y0)
PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c .
III. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn :
Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,
( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 .
Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ( C1) , ( C2) coù phöông trình laø :
2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 .
IV. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn
1/Daïng 1: Cho ñöôøng troøn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , baùn kính R.
Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M0( x0 ; y0)  ( C ) coù phöông trình :
(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2
Chuù yù: Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0 nhaän vectô M0I laøm vectô phaùp tuyeán töø ñoù suy ra phöông trình
tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0.
2/ Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng k.
* Ñöôøng thaúng  coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = kx + m
*  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc m.
3/ Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) ñi qua M( xM ; yM).
* Ñöôøng thaúng  qua M coù phöông trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0.
*  tieáp xuùc vôùi ( C )  d( I ,  ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc A vaø B.
B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Baøi 1 :Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau :
1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 .
Baøi 2 :Laäp phöông trình ñöôøng troøn ( T ) trong caùc tröôøng hôïp sau:
1/ ( T ) coù taâm I ( 2 ; - 1) vaø coù baùn kính R = 3 .
2/ ( T ) coù ñöôøng kính AB vôùi A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) coù taâm I ( 3 ; - 1 ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  : 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng  :2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai ñieåm A(1;2 ),B(3; ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng  coù phöông trình : 3x +y–3 = 0
Baøi 3 : Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöông trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Laäp phöông trình tieáp tuyeán d vôùi (
C): 1/ Taïi ñieåm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Bieát d song song vôùi  : 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( 2 ; 6 ) .
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn ( T ) coù phöông trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phöông tích cuûa ñieåm M ( 5 ; -2) ñoái vôùi ñöôøng troøn ( T ).
2/Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (T)vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  :2x – 3y + 1= 0.

5
3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( T ) keû töø N (– 2 ; 6 ).
Baøi 5 : Cho hai ñöông troøn ( C1 ) vaø ( C2 ) laàn löôït coù phöông trình laø :
x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng
troøn ñoù .
Baøi 6 : Cho ( Cm) coù phöông trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0.
1/ Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho (Cm ) laø ñöôøng troøn. 2/ Tìm taäp hôïp taâm I cuûa ( Cm ) .
2 2
Baøi 7 : Cho ñöôøng troøn (T) coù phöông trình : x + y – 2x + 4y – 20 = 0.
a) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) taïi caùc ñieåm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) ñi qua C( 6 ; 5) .
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (T) vaø (T’) coù pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0
d) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (T) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T’’) coù pt: x2 + y2 – 2my = 0.

CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI
1/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba caïnh naèm treân ba ñöôøng thaúng :
x 2
(d1) : y   , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x
5 5
3/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm A( -1;1) , B(1;-3) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ñieåm A(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng
(d) : 7x-y-5= 0 taïi ñieåm M(1;2)
6/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 2x +y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng
thaúng (d2): x -7y+10 = 0 taïi ñieåm M(4;2).
7/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai
ñöôøng thaúng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0
8/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua A( 2;-1) vaø tieáp xuùc vôùi hai truïc toaï ñoä .
9/ Cho hai ñöôøng troøn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x2+y2 +4x – 2y – 20 = 0
a. Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua giao ñieåm cuûa (C1) ,(C2) vaø coù taâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (C1) ,(C2)
10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y – 1 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’)
ñoái xöùng vôùi ( C) qua (d)
11/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Vieát phöông trình tieáp
tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn .
12/ Cho hai ñöôøng troøn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 coù taâm I, J.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau , tìm toïa ñoä tíeâp ñieåm H.
b. Goïi (d) laø moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) khoâng qua H .Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (d) vôùi
IJ .Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) taïi H.
13/ Cho ñieåm M(6;2) vaø ñöôøng troøn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua M
vaø caét (C ) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho ñöôøng troøn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 vaø ñieåm M(2;4) .
a. Chöùng toû raèng M naèm trong ñöôøng troøn.
b. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M caét (C ) taïi hai ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho M laø trung
ñieåm cuûa ñoaïn AB.
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi (C ) qua AB.
15 / Cho ba ñöôøng thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,

6
(d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C.
a. Vieát phuöông trình phaàn giaùc trong cuûa goùc BAC .
b. Tính dieän tích tam giaùc ABC .
c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .
16/ Cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 vaø ñieåm A(14;8) . Qua A keû caùc tieáp tuyeân AM,AN vôùi
(C) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng MN .
17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xaùc ñònh m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn .
b. Tìm quyõ tích taâm I cuûa (Cm) .
18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 vaø A(3 ; 0) .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø caét (C)
theo moät daây cung coù ñoä daøi nhoû nhaát.
19/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0.
a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau .
b. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .
20/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa caùc caëp ñöôøng troøn sau :
a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 = 0
b. (C1): x2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0


C«ng thøc vÒ E-LÝp
x2 y2
Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t: + = 1 (a,b>0)
a2 b2
NÕu a>b th×: b2= a2- c2 NÕu b>a th×: a2= b2- c2
trôc lín lµ 2a trôc lín lµ 2b
trôc nhá lµ 2b trôc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a t©m sai e=c/b
tiªu ®iÓm ( thuéc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) tiªu ®iÓm ( thuéc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c)
Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ
c c
MF1  a  ex  a  x MF1  b  ex  a  x
a b
c c
MF2  a  ex  a  x MF2  b  ex  a  x
a b

. CAÙC DANG BAØI TAÄP:
Baøi 1 : Tìm tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tieâu cöï , ñoä daøi caùc truïc vaø taâm sai cuûa elip (E ) cho bôûi caùc
phöông trình sau :
1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ;
3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25.
Baøi 2 : Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip ( E ) trong caùc tröôøng hôïp sau :
1/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 6 ; truïc lôùn laø 2 10 .
2/ ( E ) coù truïc lôùn baèng 20 taâm sai baèng 3/5,
3/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 8 vaø ñi qua ñieåm M ( 15 ; - 1 ).
12
4/ ( E ) coù moät tieâu ñieåm F2 ( 4 ; 0 ) vaø ñi qua ñieåm N ( 3 ; )
5
5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 )
6/ ( E ) coù truïc nhoû baèng 6 , phöông trình hai ñöôøng chuaån x 7  16 = 0.

7
1
7/ ( E ) coù taâm sai baèng , khoaûng caùch giöõa hai ñöôøg chuaån baèng 32.
2
Baøi 3 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm caùc ñieåm treâ ( E ) coù hoaønh ñoä baèng 3 vaø tính khoaûng caùch giöûa hai ñieåm ñoù.
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) sao cho baùn kính qua tieâu ñieåm beân traùi baèng hai laàn baùn kính qua
tieâu ñieåm beân phaûi .
Baøi 4 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 .
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä caùc tieâu ñieåm vaø ñoä daøi caùc truïc cuûa ( E ) .
2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) nhìn hai tieâu ñieåm döôùi moät goùc vuoâng .
Baøi 5: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 .
1/ Tìm caùc ñieåm M treân ( E ) sao cho 3F1M = F2M.
2/ Cho A , B laø hai ñieåm thuoäc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Haõy tính AF2 + BF1 .
Baøi 6 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100.
1/ Tìm toïa ñoä caùc tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tính taâm sai cuûa ( E ) .
2/ Ñöôøng thaúng d ñi qua moät tieâu ñieåm cuûa ( E ) caét ( E ) taïi hai ñieåm A , B .Tính ñoä daøi AB
3/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m caét (E )taïi hai ñieåm phaân bieät.
Baøi 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø ( E ) .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc giao ñieåm ñoù.
3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( E ) bieát tieáp tuyeán ñi qua M( 5; 5 ).
Baøi 8 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán :
1/ song song vôùi ñöôøng thaúng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :x + 2y – 3 = 0.
Baøi 9: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát raèng (E) nhaän caùc ñöôøng thaúng:
3x – 2y – 20 = 0 vaø x + 6y – 20 = 0 laøm tieáp tuyeán.
4
Baøi 10 : Cho elíp (E) coù hai tieâu ñieåm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) vaø moät ñg chuaån coù phöông trình x = .
3
1/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa (E).
2/ M laø ñieåm thuoäc (E) .Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M.
3/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) // Ox vaø caét (E) taïi hai ñieåm A,B sao cho OA  OB.
Baøi 11:1/ Laäp pt chính taéc cuûa elíp (E) coù tieâu ñieåm F1( - 15 ;0), tieáp xuùc vôùi (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) vuoâng goùc vôùi (d’) : x + y + 6 = 0.
Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) luoân caét (E) taïi hai ñieåm phaân bieät vôùi moïi m .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(1;3)
Baøi 13: 1/Laäp phöông trình chính taéc cuûa elíp (E) coù moät tieâu ñieåm F2( 10 ;0) ñoä daøi truïc lôùn 2 18
2/ Ñöôøng thaúng (d) tieâp xuùc vôùi(E) taïi M caét hai truïc toïa ñoä taïi A, B .Tìm M ñeå dieän tích tam giaùc
OAB nhoû nhaát .
x2 y2
Baøi 14 : Cho (E) :   1 .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong ñoù a,b laø hai soá thay ñoåi
9 4
1/ Xaùc ñònh toïa ñoä giao ñieåm I cuûa AN vaø BM .
2/ Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng MN tieáp xuùc vôùi (E) laø ab = 4 .
x2 y2 x2 y2
Baøi 15 : trong maët phaúng toïa ñoä cho hai elíp (E1) :   1 vaø (E2):  1
16 1 9 4
1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua giao ñieåm cuûa hai elíp .
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai elíp .
8
I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB   x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2
3. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
5. a  a12  a2  a3
2 2



 a1  b1

6. a  b  a 2  b2
a  b
 3 3

7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3
a1 a 2 a3
8. a // b  a  k.b  a  b  0   
b1 b2 b3
9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a 3 .b3  0
a a3 a3 a1 a1 a2 
10. a  b   2
b , , 
 2 b3 b3 b1 b1 b2 


11. a , b, c đồng phẳng  a  b .c  0  
12. a , b, c không đồng phẳng  a  b .c  0  
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kx B y A  ky B z A  kz B 
M A , , 
 1 k 1 k 1 k 
14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  zB 
M A , , 
 2 2 2 
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC 
G A B C , A , ,
 3 3 3 
16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y , z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1 1
19. S ABC  AB  AC  a12  a 2  a3
2 2

2 2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ). AD
6
21. V ABCD . A B C D  ( AB  AD ). AA /
/ / / /




9
2.CÁC DẠNG TOÁN
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc
 

 A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [ AB , AC ] ≠ 0
1  
 SABC = [AB , AC]
2
2.S ABC
 Ñöôøng cao AH =
BC
 
 Shbh = [AB , AC]

Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
 Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng
 ABCD laø hbh  AB  DC

Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:
  
 [ AB , AC ]. AD ≠ 0
1   
 Vtd = [AB , AC] . AD
6
*Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD
1 3V
V  SBCD.AH  AH 
3 SBCD
 Theå tích hình hoäp :
 
V ABCD. A/ B /C / D /  AB; AD . AA /

Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M
1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()
2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)
*Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù n  a d
*Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng
1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)
*H laø trung ñieåm cuûa MM/
2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:
*Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)
H laø trung ñieåm cuûa MM/




10
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
           
1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: a  2 i  j ; b  7 i 8k ; c  9 k ; d  3 i  4 j5k
  
2: Cho ba vect¬ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).
      
a) T×m täa ®é cña vect¬ : u = 4 a - 2 b + 3 c b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ a , b , c kh«ng ®ång ph¼ng .
   
c) H·y biÓu diÓn vect¬ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ a , b , c .
  
3: Cho 3 vect¬ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .

   
     1 
4: Cho: a   2; 5;3 , b   0; 2; 1 , c  1; 7; 2  . T×m täa ®é cña vect¬: a) d  4 a  b  3 c b) e  a  4 b  2 c
2

5: T×m täa ®é cña vect¬ x , biÕt r»ng:
       
a) a  x  0 vµ a  1; 2;1 b) a  x  4 a vµ a   0; 2;1
    
c) a  2 x  b vµ a   5; 4; 1 , b   2; 5;3 .
6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: A(1;3; 7), B ( 5; 2;0), C (0; 1; 1). H·y t×m träng t©m G cña tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : A(2;5; 3), B(1;0;0), C(3;0; 2), D(3; 1;2). H·y t×m täa ®é träng t©m G
cña tø diÖn ABCD.
8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:
a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M.
a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M.
  
13 . Cho ba vect¬ a  1; 1;1 , b   4;0; 1 , c   3;2; 1 . T×m:
2 2 2 2 2 2 2
    
                
a)  a . b  c ; b) a  b . c  ; c ) a b  b c  c a ; d ) 3 a 2 a . b  b c b ;
  e) 4 a . c  b  5 c .
     
     
14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a vµ b : a) a   4;3;1 , b   1;2;3 b) a   2;5;4  , b   6;0; 3 .
15. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
  
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ a , b , c trong mçi tr­êng hîp sau ®©y:
     
a ) a  1; 1;1 , b   0;1; 2  , c   4; 2;3 b) a   4;3; 4  , b   2; 1; 2  , c  1; 2;1
     
c) a   4; 2;5  , b   3;1;3 , c   2; 0;1 d ) a   3;1; 2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 .
17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cña ABC.
11
18. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD.
c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo.
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC


II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :
  
n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n  
2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :
   
a // b laø caëp vtcp cuûa   a , b cuøng // 
     
3 Quan heä giöõa vtpt n vaø caëp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)


A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0


() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
x y z
  1
a b c
Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn:
1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1  2 = d trong ñoù
12
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0


8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) :

°  caét   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
A B C D
°  //   1  1  1  1
A2 B 2 C2 D2
A B C D
°   1  1  1  1
A2 B 2 C2 D2

ª     A1 A2  B1 B2  C1C 2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0

Ax o  By o  Cz o  D
d(M, ) 
A 2  B2  C 2
 
n1 . n 2
10.Goùc giữa hai maët phaúng : cos( ,  )   
n1 . n 2


2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :
qua A ( hay B hay C )
 
° Caëp vtcp: AB , AC °  

vtpt n  [ AB , AC ]



Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :
qua M trung ñieåm AB
°  

vtpt n  AB
Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB)
qua M
° 
 
Vì   (d) neân vtpt n  a ....( AB )
d

Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0
qua M
°   
Vì  //  neân vtpt n  n
 




13
Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)
 Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))
 Mp chöùa (d) neân a d  a
Mp song song (d/) neân a d /  b
■ 
Vtpt n  a d , a d / 
Daïng 6 Mp qua M,N vaø   :
■ Mp qua M,N neân MN  a

■ Mp  mp neân n  b

qua M (hay N)
°   
vtpt n  [ MN , n ]


Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua
■ Mp chöùa d neân a d  a

■ Mp ñi qua M  (d ) vaø A neân AM  b
qua A
°  
vtpt n  [ a , AM ]
d


3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng 
Bµi 1: LËp ph­¬ngtr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n biÕt 
a, M  3;1;1 , n   1;1;2  b, M  2;7;0  , n   3;0;1
 
c, M  4; 1; 2  , n   0;1;3  d, M  2;1; 2  , n  1;0;0 
Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:
1   1   2 1  1 
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A  ; 1; 0  , B  1;  ;5  d, A  1; ;  , B  3; ;1 
2   2   3 2  3 
Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng    ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng    biÕt:
a, M  2;1;5  ,      Oxy  b, M  1;1; 0  ,    :x  2y  z  10  0 c, M 1; 2;1 ,    : 2x  y  3  0
 
Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ a(2;1; 2); b(3; 2; 1)
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z.
 
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ a(6; 1;3); b(3; 2;1) .
Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ a(2,7,2); b(3,2,4)
Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn n(2,3,4); lµm VTPT.

14
b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
 
a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ a  3; 2;1 vµ b  3;0;1
b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)
a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).




III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)
 x  x o  a 1t

(d) :  y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
 o 3




2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)
z-z Qui öôùc:
x  xo y  yo 0
(d) :   Maãu = 0 thì Tö û= 0
a a2 a3
1

3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2
 A 1 x  B 1 y  C 1z  D 1  0
(d) : 
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0
 B1 C1 C1 A1 A1 B1 
Veùctô chæ phöông a   , , 
B C2 C2 A2 A2 B2 
 2 
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :


15

(d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /
 
 d cheùo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)
 
 d,d’ ñoàng phaúng  [ a d , a d / ]. MN = 0
  
 d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0
 /
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  (d ) }

 d,d’ truøng nhau  { a d // a d / vaø M  (d / ) }




5.Khoaûng caùch :

Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /

[a d ; AM ]
Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: d ( A, d ) 
ad

[a d ; a d / ].MN
Kc giöõa 2 ñường thẳng : d (d ; d / ) 
[a d ; a d / ]
 
6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n

a d .a d /
Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : cos(d, d' ) 

ad . ad /
 
ad .n
Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d,  )   
ad . n
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B
 quaA ( hayB )
(d )
 Vtcp a d  AB
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song ()
qua A
(d )  
Vì (d) // (  ) neân vtcp a  a
d 
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp
qua A
(d )  
Vì (d)  ( ) neân vtcp a  n
d 



Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =   

16
 Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp
 quaM  (d )
(  )  (d )  a  a
( )
 

d 
ª (d
/
)
       n  b (  )
  n  [a d ; n ]

Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)
qua A
 
( d ) vtcp a [ a 
 ,a ]
d1 d2

Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :
 
+ Tìm a d = [ a d1, a d2]

+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d)
 d=

Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =   
vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2
vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 // 
Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB
vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2  
Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =   
vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :

a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn a(3; 2;3) lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
( P) : x - 3 y  2 z - 6  0 vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng
 x  t
tr×nh:   :  2 2
d y   t , tR
 z  1  2t

 x  t
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0
d  :  y  2  2t , t  R

 z  1  2t

T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã


17
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
a) ( P) : x  2 y  3 z - 4  0 b)  P  : x  2 y  3z  1  0 .

Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng
 x  2  2t
th¼ng (  ) cho bëi : .
   :  y  3t
 tR
 z  3  t



Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
x  1  t  x  12  4t
a) d  :  y  3  t , t  R (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0
 d  :  y  9  t
 , t R
z  2  t z  1  t
 
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
d  : x  1  y z2
 .
2 1 3
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :
 x  1  2t
d1  : x  2  y 1 z 1
 d 2  :  y  t  2
 t  R
1 2 1
 z  1  3t

a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :
 x  7  3t  x  1  t1
d1  :  y  4  2t
 d 2  :  y  9  2t1
 t, t 1  R 
 z  4  3t  z  12  t
  1

a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .

III.MẶT CẦU
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R
2 2 2
S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)

S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
( vôùi a2  b2  c2  d  0 )
2 2 2
 Taâm I(a ; b ; c) vaø R a  b  c  d
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
Cho (S): x  a2  y  b2  z  c2  R2
vaø  : Ax + By + Cz + D = 0
Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :
 d > R : (S)   = 

18
 d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)
*Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

2 2 2
 d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt (S): x  a  y  b  z  c  R
2

 : Ax  By  Cz  D  0
*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:
+ baùn kính r  R2  d2(I , )
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n 
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu
 x  x o  a 1t
 (1) vaø
d : y  y o  a 2 t
z  z o  a 3 t

2 2 2
(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,
+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A
2 2 2
ª S(I, R) : x  a   y  b   z  c   R 2 (1)
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2


Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB
 Taâm I laø trung ñieåm AB
 Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2


Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp
Pt maët caàu taâm I

(S ) A.x  B . y  C . z  D
I I I
R  d(I,  ) 
A2  B2  C 2
Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD
Duøng (2) S(I,R) : x2  y2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d
Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)
S(I,R) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)
A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2)
I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α)
19
Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d
Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A
 
Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A, vtpt n  IA
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 b) S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  9  0
c) S  : 3x 2  3 y 2  3 z 2  6 x  3 y  9 z  3  0 d) S  :  x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  5 z  7  0
Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x 2  y 2  z 2  4mx  2my  6 z  m 2  4m  0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x 2  y 2  z 2  4mx  2m 2 y  8m 2  5  0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: S m  : x  y  z 2  2 x sin m  2 y cos m  3  0
2 2


a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi.
c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1 MK  BM => AC  BM. - Ta có BM  (a; ;0), AC  (a; a 2 ;0)
2
Hơn nữa BM  SA. Từ đây ta có BM  (SAC)
 BM . AC  0  BM  AC .
40
Vậy (SBM)  (SAC) (đpcm). Mặt khác: SA  (ABCD) nên BM  SA.
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Từ đây suy ra BM  (SAC)
- Ta có NE // SA => (SBM)  (SAC) (đpcm).
=> NE  (AIB) và NE = a/2. *) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
- Vì I là trọng tâm của tam giác ABD và a a 2
;0) và
Ta có AB  (a;0;0), AI  ( ;
a 3 a 3 3 3
AC  a 3  AE   AI 
a2 a2 2
Tam giác ABI vuông tại I có
2 3 a a 2 a
AN  ( ;
2 2 2

; ) => AB, AN  (0; ;
2 2

).
a 6 Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là
BI  AB 2  AI 2 
a3 2
3
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là
1

V  AB, AN . AI 
6 36
 (đvtt)
1 1 1 a3 2
V  .S AIB .NE  . BI .IA.NE  (đvtt)
3 3 2 36
Bài 3. (TSĐH - khối A năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Giải
Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp) Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)

S z

M
S
A B
M
H
N
D A B y
P C
H O
N
D
* Chứng minh AM vuông góc với BP. C
x P
Gọi H là trung điểm của AD.
Do ΔSAD đều nên SH  AD. * Gọi H là trung điểm của AD.
Do(SAD)  (ABCD)nên Do ΔSAD đều nên SH  AD.
SH  (ABCD)  SH  BP (1). Do(SAD)  (ABCD)nênSH  (ABCD)
Xét hình vuông ABCD ta cóΔCDH = ΔBCP  - Dựng đường thẳng Az vuông góc với (ABCD),
ta có AD, AB, Az là ba tia đôi một vuông góc
CH  BP (2). Từ (1) và (2)suy ra BP  (SHC). nhau. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ ( O  A ).
Vì MN // SC và AN // CH Ta có:
nên (AMN) // (SHC). Suy ra a a 3 a a a 3
A(0;0;0), S( ;0; ), M( ; ; )
BP  (AMN)  BP  AM. 2 2 4 2 4
* Tính thể tích của khối tứ diện CMNP. a a
B(0; a ;0), P( a; ;0) , C( a; a;0 ), N ( ; a;0) *
Kẻ MK  (ABCD), K  (ABCD). Ta có: 2 2
1 Chứng minh AM vuông góc với BP.
VCMNP  MK .S CNP
3 a2 a2
Ta có: AM .BP    0  0  BP  AM.
4 4
* Tính thể tích khối tứ diện CMNP.
41
a2
1
Vì MK  SH 
2
a 3
4
1
, SCNP = .CN.CP =
2
a2
8
 
Ta có: CP, CN  (0;0; ) và CM  ( 3a ; a ; a 3 )
4 4 2 4
3 3
Nên VCMNP =
a 3
96
1

Nên: VCMNP  CP, CN .CM 
6
a 3
96

II. SO SÁNH

Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp) Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)
1) Kiến thức: 1) Kiến thức:
- Cần có một kiến thức rộng và đầy đủ về - Cần có kiến thức vững về vectơ và toạ độ vectơ
hình học (hình học phẳng và hình học không trong không gian.
gian). - Nhớ các công thức, các phương trình của đường
- Nhớ các định lý, các hệ quả thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa đường
- Đôi khi cần phải dựng thêm các hình vẽ thẳng và mặt phẳng.
phụ. - Không cần dựng các hình vẽ phụ.
2) Kĩ năng: 2) Kĩ năng:
- Kĩ năng vẽ hình, dựng hình. - Kĩ năng tính toán.
- Kĩ năng chứng minh, tính toán.
3) Tư duy: 3) Tư duy:
- Đòi hỏi khả năng tư duy cao. - Khả năng tư duy bình thường.
- Phạm vi liên kết kiến thức rộng. - Phạm vi liên kết kiến thức hẹp. (Chủ yếu tập trung
vào việc chọn một hệ trục tọa độ thích hợp)
* Nhận xét
Trong hai bài toán 1 và 2, từ giả thiết ta đã có sẳn ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau, đây là
điều kiện lý tưởng để có thể chọn một hệ trục tọa độ Oxyz, việc còn lại chỉ còn là vấn đề tính toán. Đối với
bài 3, để chọn được một hệ trục tọa độ thích hợp hơi có khó khăn hơn một chút. Với chú ý: SH
 (ABCD), ta có thể chọn một hệ trục khác, đó là hệ gồm ba trục HD, HN và HS đôi một vuông góc
tương ứng là Ox, Oy, Oz.( O  H ).
III. MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC cân với AB = AC = a và
góc BAC = 1200 , cạnh bên BB’= a . Gọi I là trung điểm của CC’ .
a) Chứng minh tam giác AB’I vuông ở A.
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) .
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.
 Nhận xét : Từ giả thiết của bài toán , vì không có ba đường thẳng nào cùng xuất phát từ một điểm và đôi
một vuông góc , nên ta sẽ phải cố gắng tìm một mối liên kết thích hợp , để từ đó có thể chọn ra một hệ trục
tọa độ Oxyz sao cho có thể xác định được tọa độ của tất cả
các điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . z Để
làm được điều này cần chú ý , lăng trụ đã cho là lăng trụ
đứng và tam giác đáy là tam giác cân . Từ đây , nếu gọi O
, O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thì ta sẽ có A C ngay
ba tia OO’, OB’ và OA’ đôi một vuông góc. O
* Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . B
Ta có : OO’  OA’ , OO’  B’C’ . I
Tam giác A’B’O là một nửa tam giác đều
a 3
có cạnh A’B’ = a nên A’O =
2 A’ C’
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ . y
O’
B’
x 42
Ta có :
a 3 a 3 a
B' ( ;0;0) , C ' ( ;0;0) , A(0; ; a)
2 2 2
a 3 a 3 a 3 a
B( ;0; a ) , C ( ;0; a) , I ( ;0; )
2 2 2 2
* Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác AB’I vuông tại A và tính được cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (AB’I). Riêng đối với câu c, nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để giải bài toán thì hoàn toàn không dễ
một chút nào. Còn dùng phương pháp tọa độ thì hoàn toàn ngược lại.
VÍ DỤ 2 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = 2a ,
cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giác AMB
cân tại M và tinh diện tích tam giác AMB theo a .
 Nhận xét : Với nhận xét tương tự bài toán trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đôi một vuông góc . . . Dễ dàng
nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuông góc với mp(ABC) thì ba tia BA,BC,Bz đôi một vuông góc , từ
đây ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ z

( gốc tọa độ O trùng với B) . S
Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) ,
a
S(a;0;2a) , M ( ; a; a ) . M
2 B
O
* Từ đây, công việc còn lại thực sự rất dễ dàng. A C
y
x


Khèi ®a diÖn- thÓ tÝch khèi ®a diÖn
-------------

1/ Tính chất của thể tích:
* Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
* Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể
của các khối đa diện nhỏ đó.
* Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
2/ Công thức tính thể tích của các khối đa diện:
a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a.
Lúc đó:
V  a3
b/ Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược là a, b, c
Lúc đó:

c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng a.b.c tích đáy B và chiều cao h.
V trụ có diện
Lúc đó: V  B.h
d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h.
Lúc đó: 1
V  B.h
3
43
e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h.
Lúc đó:
1
V
3
 
B  B ' BB ' .h


Bµi tËp
Baì 1: Tính thể tích của : a,Khối tứ diện đều có cạnh bằng a. b, khối 8 mặt đều có cạnh bằng a.
c, Khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.
Baì 2: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1 D
bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a,Hạ AK  A1 D  K  A1 D  . Chứng minh rằng AK  2 . b,Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 .
Baìi 3: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp, biết:
a. Góc giữa mặt bên và đáy bằng  . b, Góc giữa cạnh bên và đáy bằng  .
Baì 4: Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn là 2a, đáy nhỏ là a và góc của mặt bên và
mặt đáy bằng 600.
Baì 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' . Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện C ' ABC và khối lăng trụ
đã cho.
Baì 6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lược là trung điểm của hai cạnh AA ' và BB ' .
Mặt phẳng  C ' MN  chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Baì 7: Cho khối chóp tam giác S . ABC . Trên các đoạn SA, SB, SC lần lược lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với
S . Chứng minh rằng: V S . A' B 'C ' SA ' SB ' SC ' .
 . .
V S . ABC  SA SB SC
Baì 8: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B ', D ' lần lược là trung điểm của SB, SD . Mặt
phẳng  AB ' D '  cắt SC tại C ' . Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S . AB ' C ' D ' và S . ABCD .
Baì 9: Đáy của khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều. Mặt phẳng  A ' BC  tạo với đáy một góc 300
và tam giác A ' BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Baì 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình bình hành và BAD 450. Các đường chéo AC '
và DB ' lần lược tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của
nó bằng 2.
Baì 11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, AB, SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA  3, SB  SC  4 .
a. Tính thể tích khối tứ diện SABC . b, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  .
Baì 12: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy. Biết rằng
AB  a, BC  b, SA  c . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
Baì 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a, AA '  a . Lấy điểm M trên cạnh AD sao
cho MA  3MD .
a. Tính thể tích khối chóp M . AB ' C . b, Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  AB ' C  .
Baì 14: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AB  3 , AD  7 . Hai mặt bên
0 0
 ABB ' A ' và  ADD ' A ' lần lược tạo với đáy những góc 45 và 60 . Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết
cạnh bên bằng 1.
ˆ
Baì 15: Hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A , AC  b, C  600 .
0
Đường chéo BC ' của mặt bên BB ' C ' C tạo với mặt phẳng  AA ' C ' C  một góc 30 .
a. Tính độ dài đoạn AC ' . b, Tính thể tích của khối lăng trụ.
Baìi 16: Cho lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A ' cách đều
các điểm A, B, C . Cạnh bên AA ' tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.

44
a. Tính thể tích của khối lăng trụ. b,Chứng minh mặt bên BCC ' B ' là một hình chữ nhật.
c, Tính tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ
Baìi 17: Cho khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB ' A ' là hình
thoi cạnh a , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC ' A ' hợp với đáy một góc  . Tính thể
tích của lăng trụ.
Baì 18: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD .
a. Biết AB  a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  . Tính thể tích khối chóp.
b. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng  . Tính thể tích khối chóp
Baì 19: Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc

ABC  600 , BC  a và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB .
a. Chứng minh:  SAB    SBC  . b, Tính thể tích khối tứ diện MABC .
Baì 20: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm của SD .
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . b, Tính thể tích khối tứ diện MACD .
Baì 21: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và
khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD và thể tích
6
khối chóp S . ABCD .
Baì 22: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 
 00    900  . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  theo  . Tính thể tích khối chóp
S . ABCD theo a và  .
Baì 23: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
a 6. a, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  .
SA 
2
b, Tính thể tích khối chóp S . ABC và diện tích tam giác SBC .
Baì 24: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC  a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
0
 ABC  tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  SBC  bằng 60 . Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
Baì 25: Khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA   ABC  , SC  a . Hãy tìm góc
giữa hai mặt phẳng  SCB  và  ABC  để thể tích khối chóp lớn nhất.
Baì 26: Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a ,
AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC. Tính
theo a thể tích khối chóp A ' ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ', B ' C ' (KA – 2008)
Baì 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA  a , SB  a 3 và mặt phẳng
 SAB  vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích
của khối chóp S .BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. (KB – 2008)
Baì 28: Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a 2 .
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM, B’C
(KD – 2008)




45
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản