Học vê Xác suất

Chia sẻ: Mai Trần Thúy Hạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

0
120
lượt xem
29
download

Học vê Xác suất

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về xác suất

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Học vê Xác suất

  1. M CL C M Đ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Chương 1. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Tính đ c l p, đ c l p đôi m t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tính m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Khái ni m b ch n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. M t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5. M t s khái ni m v lu t s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. M t s b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 TÀI LI U THAM KH O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
  2. M ĐU Lu t s l n đóng m t vai trò r t quan tr ng trong Lý thuy t Xác su t. Lu t s l n đ u tiên c a J.Bernoulli đư c công b năm 1713. V sau k t qu này đư c Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... m r ng. Tuy nhiên, ph i đ n năm 1909 lu t m nh s l n m i đư c E.Borel phát hi n. K t qu này đư c Kolmogorov hoàn thi n năm 1926. Năm 1987, Moricz đã đưa ra khái ni m m-ph thu c c a dãy các bi n ng u nhiên. Trong th i gian g n đây, có nhi u bài báo nghiên c u v Lu t m nh s l n đ i v i dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c. Trên cơ s đ c và tìm hi u các tài li u tham kh o, chúng tôi nghiên c u đ tài "Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c". M c đích chính c a đ tài là thi t l p lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i b ng cách s d ng phương pháp tương t như trong m t s tài li u tham kh o [4], [5], [6]. Khóa lu n g m 2 chương. Chương 1. Ki n th c chu n b . Trong chương này, chúng tôi đưa ra các khái ni m v tính đ c l p, đ c l p đôi m t, khái ni m v m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i, khái ni m v b ch n ng u nhiên, m t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên, khái ni m v Lu t s l n. Đ ng th i chúng tôi đưa ra m t s b t đ ng th c và b đ thư ng s d ng đ ch ng minh Lu t m nh s l n. Chương 2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c. Đây là n i dung chính c a khóa lu n, bao g m hai ti t. Ti t 2.1 chúng tôi trình bày chi ti t l i Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i trong [5]. Ti t 2.2 chúng tôi thi t l p Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i. K t qu trong ti t này t ng quát Đ nh lý 1 trong [6]. 2
  3. Khóa lu n đư c th c hi n t i Trư ng Đ i h c Vinh dư i s hư ng d n t n tình c a Th c sĩ Lê Văn Thành. Nhân d p này cho phép tác gi bày t l i c m ơn sâu s c nh t t i ThS. Lê Văn Thành, ngư i th y đã t n tình hư ng d n tác gi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành khóa lu n. Tác gi xin g i l i c m ơn t i th y giáo PGS.TS. Nguy n Văn Qu ng, th y giáo PGS.TS. Tr n Xuân Sinh. Đ ng th i tác gi xin chân thành c m ơn Ban ch nhi m khoa Toán, các th y cô giáo trong Khoa Toán đã nhi t tình gi ng d y, cu i cùng tác gi c m ơn t t c các b n bè, đ c bi t là các b n trong l p 45B Toán đã đ ng viên giúp đ và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành khóa lu n. M c dù đã có nhi u c g ng nhưng vì năng l c còn h n ch nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót v c n i dung l n hình th c. Vì v y, tác gi r t mong nh n đư c nh ng l i ch b o quý báu c a các th y cô giáo và nh ng góp ý c a b n đ c. Vinh, tháng 05 năm 2008 Tác gi 3
  4. CHƯƠNG 1 KI N TH C CHU N B Trong toàn b khóa lu n ta luôn gi s (Ω, F , P ) là không gian xác su t c đ nh. 1.1. Tính đ c l p, đ c l p đôi m t 1.1.1. Đ nh nghĩa. Gi s X là bi n ng u nhiên, khi đó F (X ) = {X −1 (B ) : B ∈ B (R)} đư c g i là σ -đ i s sinh b i X . H h u h n {Fi , 1 ≤ i ≤ n} các σ -đ i s con c a F đư c g i là đ c l p n u n n P Ai = P (Ai ), i=1 i=1 đ i v i m i Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) b t kỳ. H vô h n {Fi , i ∈ I } các σ -đ i s con c a F đư c g i là đ c l p n u m i h con h u h n c a nó đ c l p. H các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ I } đư c g i là đ c l p n u h các σ -đ i s sinh b i chúng {F (Xi ), i ∈ I } đ c l p. H các bi n c {Ai , i ∈ I } đư c g i là đ c l p n u h các bi n ng u nhiên {IAi , i ∈ I } đ c l p. 1.1.2. Đ nh nghĩa. T p các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ I } đư c g i là đ c i, j ∈ I . l p đôi m t n u Xi và Xj đ c l p, v i m i i = j, 1.2. Tính m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i Gi s m là s nguyên không âm. 4
  5. 1.2.1. Đ nh nghĩa. M t h các bi n ng u nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} đư c g i là m-ph thu c n u n ≤ m + 1, ho c n > m + 1 và h {Xi , 1 ≤ i ≤ k } đ c l p v i h {Xi , l ≤ i ≤ n} khi l − k > m. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c n u h {Xi , 1 ≤ i ≤ k } đ c l p v i h {Xn , n ≥ l} khi l − k > m. 1.2.2. Đ nh nghĩa. M t h các bi n ng u nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} đư c g i là m-ph thu c đôi m t n u n ≤ m + 1, ho c n > m + 1 và hai bi n ng u nhiên Xi và Xj đ c l p v i nhau khi j − i > m. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t n u Xi và Xj đ c l p v i nhau khi j − i > m. 1.2.3. Đ nh nghĩa. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t theo kh i n u v i m i s nguyên dương p h {Xi , 2p−1 < i ≤ 2p } là m-ph thu c đôi m t. 1.2.4. Đ nh nghĩa. Gi s {βk , k ≥ 1} là dãy s nguyên dương tăng ng t v i β1 = 1, và đ t Bk = [βk , βk+1 ). Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} n u v i m i k ≥ 1, h các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ Bk } là m-ph thu c. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} n u v i m i k ≥ 1, h các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ Bk } là m-ph thu c đôi m t. Đ i v i {βk , k ≥ 1} và {Bk , k ≥ 1} như đã nói trên chúng ta đưa vào các ký hi u sau đây: B (l) = {k ∈ N : 2l ≤ k < 2l+1 }, l ≥ 0, (l) Bk = Bk ∩ B (l) , k ≥ 1, l ≥ 0, (l) Il = {k ≥ 1 : Bk = ∅}, l ≥ 0, (l) (l) rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l ≥ 0, 5
  6. cl = cardIl , l ≥ 0, (l) dl = max(cardBk ), l ≥ 0, k ∈Il ∞ cl IB (l) (n), n ≥ 1, ϕ(n) = l=0 ∞ dl IB (l) (n), n ≥ 1, φ(n) = l=0 ψ (n) = max ϕ(k ), n ≥ 1, k ≤n p B (l) , l ≥ 0. v i IB (l) là hàm đ c trưng c a t V i các ký hi u trên ta đưa ra nh n xét dư i đây. 1.2.5. Nh n xét (l) Bk = B (l) , l ≥ 0. i) k ∈Il (l) ii) T n t i k ∈ Il đ rk = 2l , l ≥ 0. iii) {ψ (n), n ≥ 1} là dãy s nguyên dương, không gi m. M (l) Bk = {k ∈ N : 1 ≤ k < 2M +1 }. iv) l=0 k ∈Il (l) v) 1 ≤ cardBk ≤ cardB (l) = 2l , k ∈ Il , l ≥ 0. 1.2.6. Nh n xét i) N u βk = 2k−1 , k ≥ 1 thì ψ (n) = 1. ii) N u βk = [q k−1 ] v i k đ l n và q > 1 thì ψ (n) = O(1). 1.3. Khái ni m b ch n ng u nhiên 1.3.1. Đ nh nghĩa. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là b ch n ng u nhiên b i bi n ng u nhiên X n u t n t i h ng s D < ∞ sao cho P (|Xn | > t) ≤ DP (|DX | > t), t ≥ 0, n ≥ 1. 1.3.2. Nh n xét. N u dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} cùng phân ph i thì nó b ch n ng u nhiên b i bi n ng u nhiên X1 . 6
  7. 1.4. M t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên cùng xác đ nh trên không gian xác su t (Ω, F , P ). 1.4.1. S h it theo xác su t Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là h i t theo xác su t đ n bi n ng u nhiên X (khi n → ∞) n u v i m i ε > 0 ta đ u có lim P (|Xn − X | > ε) = 0. n→∞ P Ký hi u Xn −→ X. 1.4.2. S h it h u ch c ch n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là h i t h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X (khi n → ∞) n u P ω : lim Xn (ω ) = X (ω ) = 1. n→∞ h.c.c Ký hi u Xn −→ X, ho c lim Xn = X h.c.c. n→∞ 1.4.3. Đ nh lý. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} h i t h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X khi và ch khi v i ε > 0 b t kỳ, sup |Xk − X | > ε lim P = 0. n→∞ k ≥n h.c.c h.c.c 1.4.4. Đ nh lý. Cho Xn −→ X, Yn −→ Y . Khi đó h.c.c Xn + Yn −→ X + Y. Ch ng minh. Đ t A1 = ω : lim Xn (ω ) = X (ω ) , n→∞ A2 = ω : lim Yn (ω ) = Y (ω ) . n→∞ 7
  8. Khi đó ta có P (A1 ) = P (A2 ) = 1, Ta suy ra P (A1 ∩ A2 ) = 1. N u ω ∈ A1 ∩ A2 thì lim Xn (ω ) = X (ω ) n→∞ lim Yn (ω ) = Y (ω ) n→∞ Do đó lim (Xn (ω ) + Yn (ω )) = X (ω ) + Y (ω ). n→∞ Ch ng t ta có ω ∈ ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) , n→∞ Nên ta có A1 ∩ A2 ⊂ ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) . n→∞ Suy ra P ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) = 1. n→∞ V y ta có h.c.c Xn + Yn −→ X + Y. 1.5. M t s khái ni m v lu t s l n Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên cùng xác đ nh trên không gian xác su t (Ω, F , P ). Đ t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . 8
  9. 1.5.1. Lu t y u s l n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t y u s l n nu Sn − ESn P −→ 0. n 1.5.2. Lu t y u s l n t ng quát Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t y u s l n t ng quát n u t n t i hai dãy s (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an P −→ 0. bn 1.5.3. Lu t m nh s l n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t m nh s lnnu Sn − ESn h.c.c −→ 0. n 1.5.4. Lu t m nh s l n t ng quát Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t m nh s l n t ng quát n u t n t i hai dãy s (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an h.c.c −→ 0. bn 1.6. M t s b t đ ng th c B đ sau đây giúp ta ch ng minh các đ nh lý chương 2. 1.6.1. B đ Toeplitz. Cho ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1, và xi , i ≥ 1 là các s n |ani | ≤ C < ∞. Khi th c sao cho v i m i i c đ nh, lim ani = 0 và v i m i n, n→∞ i=1 n n đó, n u lim xn = 0 thì lim ani xi = 0, và n u lim ani = 1, lim xn = x n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ i=1 i=1 n thì lim ani xi = x. n→∞ i=1 9
  10. Ch ng minh. N u lim xn = 0 thì v i m i ε > 0 t n t i nε sao cho n→∞ |xn | < C −1 ε, v i m i n ≥ nε . Do đó, v i n ≥ nε ta có nε −1 n n ani xi ≤ |ani xi | + |ani xi | i=1 i=1 i=nε nε −1 ≤ |ani xi | + ε. i=1 Theo gi thi t ta suy ra lim ani = 0, v i m i i = 1, 2, . . . , nε − 1. n→∞ Do v y ta có n lim ani xi = 0. n→∞ i=1 n N u lim ani = 1, lim xn = x thì t k t qu trên và đ ng th c n→∞ n→∞ i=1 n n n ani (xi − x), ani xi = x ani + i=1 i=1 i=1 n ta cũng thu đư c lim ani xi = x. n→∞ i=1 Đ nh lý sau đây là m t k t qu n i ti ng có tên là B đ Kronecker, đư c s d ng r t nhi u khi ch ng minh các đ nh lý d ng Lu t m nh s l n. ∞ xn đ Kronecker. Gi s 0 < bn ↑ ∞, và chu i s 1.6.2. B hit . n=1 bn Khi đó n 1 lim xk = 0. bn n→∞ k =1 10
  11. Ch ng minh. Đ t xn , n ≥ 1, yn = bn an = bn − bn−1 , n ≥ 1, b0 = 0, n yi , n ≥ 1. Sn+1 = i=1 lim Sn+1 = S. n→∞ Khi đó n n 1 1 bk (Sk+1 − Sk ) lim xk = lim bn bn n→∞ n→∞ k =1 k =1 n 1 Sn+1 − = lim ak Sk bn n→∞ k =1 n 1 = S − lim ak Sk n→∞ bn k =1 =S−S (Do B đ Toeplitz) = 0. 1.6.3. B t đ ng th c Markov. Gi s X là bi n ng u nhiên b t kỳ và 0 < p < ∞. Khi đó v i m i ε > 0 b t kỳ ta đ u có E |X |p P (|X | > ε) ≤ . εp Ch ng minh. V i ε > 0 b t kỳ ta có 0 ≤ εp I (|X | > ε) ≤ |X |p I (|X | > ε) ≤ |X |p . T đó ta có E (εp I (|X | > ε)) ≤ E |X |p , Do đó εp P (|X | > ε) ≤ E |X |p . T đây ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 11
  12. 1.6.4. Đ nh lý. Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên, và p > 0. Nu ∞ E |Xn |p < ∞, (1.2) n=1 thì h.c.c Xn −→ 0. (1.3) Ch ng minh. V i ε > 0 b t kỳ và m i k ≥ 1 ta có ∞ sup |Xn | > ε ≤ P (|Xn | > ε) P n≥k n=k ∞ 1 E |Xn |p ≤p (1.4) ε n=k (Do b t đ ng th c Markov). sup |Xn | > ε T (1.2) và (1.4) ta có lim P = 0. k →∞ n≥k h.c.c V y Xn −→ 0. 1.6.5. Đ nh lý. Gi s bi n ng u nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞. Khi đó ∞ xα−1 P (X > x) dx. EX α = α 0 Ch ng minh. Ta có EX α = X α dP Ω ∞   αxα−1 I (X > x) dx dP =  0 Ω ∞   xα−1 =α I (X > x) dP  dx (Đ nh lý Fubini) 0 Ω ∞ xα−1 P (X > x) dx. =α 0 12
  13. 1.6.6. Đ nh lý. Gi s {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là h các bi n ng u nhiên, 0 < p ≤ 1, và E |Xi |p < ∞, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó n n p E |Xi |p . ≤ E Xi (1.5) i=1 i=1 Ch ng minh. Do 0 < p ≤ 1 nên ta có n n p |Xi |p . ≤ Xi i=1 i=1 L y kỳ v ng hai v ta suy ra (1.5). 1.6.7. Đ nh lý. Cho bi n ng u nhiên X và r > 0. Khi đó ∞ ∞ 1 1 r P |X | ≥ n ≤ E |X | ≤ P |X | ≥ n r . (1.6) r n=1 n=0 Ch ng minh. Đ t ∞ Y= jI(j ≤|X |r
  14. ∞ ∞ ∞ 1 P (j ≤ |X |r < j + 1) P |X | ≥ n = r n=0 n=0 j =n j ∞ P (j ≤ |X |r < j + 1) = j =0 n=0 ∞ (j + 1)P (j ≤ |X |r < j + 1) = j =0 = EZ. (1.9) T (1.7), (1.8) và (1.9) ta thu đư c (1.6). Khi ch ng minh các đ nh lý gi i h n nói chung và Lu t m nh s l n nói riêng, ngư i ta thư ng s d ng b đ sau. 1.6.8. B đ Borel-Cantelli. Gi s {An , n ≥ 1} là dãy các bi n c b t kỳ. ∞ P (An ) < ∞ thì P (lim sup An ) = 0. a) N u n=1 ∞ P (An ) = ∞ và {An , n ≥ 1} đ c l p thì P (lim sup An ) = 1. b) N u n=1 ∞ Am , n ≥ 1 là dãy gi m nên v i m i n ≥ 1, ta có Ch ng minh. a) Vì m=n ∞ ∞ 0 ≤ P (lim sup An ) = lim P ≤ lim Am P (Am ) = 0, n→∞ n→∞ m=n m=n T đó ta thu đư c P (lim sup An ) = 0. b) N u {An , n ≥ 1} đ c l p thì {An , n ≥ 1} cũng đ c l p. Do đó ∞ ∞ P Am = P (Am ). m=n m=n Mà ta có P (Am ) = 1 − P (Am ) ≤ e−P (Am ) (Do 1 − x ≤ e−x , 0 ≤ x ≤ 1). Nên ta có ∞ ∞ ∞ ∞ − P (Am ) e−P (Am ) = e = e−∞ = 0. 0≤P P (Am ) ≤ Am = m=n m=n m=n m=n 14
  15. T đó ta có ∞ ∞ =1−P P Am Am = 1. m=n m=n Như v y ta có P (lim sup An ) = 1. 1.6.9. B t đ ng th c Doob. N u {Xi , Fi , 1 ≤ i ≤ N } là hi u martingale, và E |Xi |p < ∞, 1 < p < ∞ thì p k N p p p ≤ E max Xi E Xi . p−1 k ≤N i=1 i=1 1.6.10. B t đ ng th c Marcinkiewicz-Zygmund. N u {Xn , n ≥ 1} là dãy bi n ng u nhiên đ c l p và EXn = 0, n ≥ 1, thì v i p ≥ 1 luôn t n t i h ng s dương Ap , Bp ph thu c vào p th a mãn 1 1   2 2 n n n 2 2 ≤ ≤ Bp  Ap  Xj  Xj Xj  . p j =1 j =1 j =1 p p 1.6.11. B t đ ng th c Redemacher-Menshov. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên tr c giao. Khi đó v i n ≥ 1 ta có k n 2 2 EXi2 . ≤ 4 log (n + 1) E max Xi 1≤k ≤n i=1 i=1 15
  16. CHƯƠNG 2 LU T M NH S L N CHO DÃY CÁC BI N NG U NHIÊN m-PH THU C Trong chương này, ký hi u C ch m t h ng s . H ng s đó không nh t thi t gi ng nhau gi a các dòng. Ký hi u log ch logarit cơ s 2. 2.1. Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i Trong ti t này chúng tôi trình bày chi ti t hơn hai đ nh lý trong [5]. Đ nh lý 2.1.6 là Đ nh lý 3.1 trong [5], Đ nh lý 2.1.7 là Đ nh lý 3.3 trong [5]. 2.1.1. B đ . Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p v i EXn = 0, n ≥ 1 và gi s p > 1 thì p p j n 2 Xi2 ≤ CE E max Xi , (2.1) 1≤j ≤n i=1 i=1 đây C là h ng s không ph thu c vào n. Ch ng minh. Đ t Fn = σ (X1 , X2 , . . . , Xn ), n ≥ 1 Khi đó ta có {Xn , Fn , n ≥ 1} là hi u martingale. Áp d ng b t đ ng th c Doob và b t đ ng th c Marcinkiewicz-Zygmund ta thu đư c (2.1). đ . Gi s {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là h các bi n ng u nhiên m-ph 2.1.2. B thu c v i EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, và gi s p ≥ 1. Khi đó t n t i h ng s C ch ph thu c vào m và p sao cho p j n E |Xi |p , 1 ≤ p ≤ 2 ≤C E max Xi (2.2) 1≤j ≤n i=1 i=1 16
  17. p j n p −1 E |Xi |p , p ≥ 2. ≤ Cn E max Xi (2.3) 2 1≤j ≤n i=1 i=1 Ch ng minh. N u n ≤ m + 1, B đ 2.1.2 hi n nhiên đúng. Ta ch ng minh B đ 2.1.2 trong trư ng h p n > m + 1. Trong trư ng h p p = 1, v i m i n ≥ 1 ta có j j ≤E |Xi | E max Xi max 1≤j ≤n 1≤j ≤n i=1 i=1 n |Xi | =E i=1 n E |Xi |, = i=1 (2.2) đư c ch ng minh. Trong trư ng h p p > 1, v i n > m + 1 ta có p p  j m+1 k ≤E E max Xi max Xi(m+1)+j  1≤j ≤n 0≤k (m+1)≤n−j i=1 j =1 i=0 p m+1 k ≤ (m + 1)p−1 E max Xi(m+1)+j 0≤k (m+1)≤n−j j =1 i=0 p  2 m+1 Xi2(m+1)+j  ≤C E (2.4) j =1 0≤i(m+1)≤n−j (Do B đ 2.1.1). N u 1 < p ≤ 2 thì p    2 m+1 m+1 Xi2(m+1)+j  ≤ |Xi(m+1)+j |p  E E j =1 j =1 0≤i(m+1)≤n−j 0≤i(m+1)≤n−j (Do Đ nh lý 1.6.6) n E |Xi |p . = (2.5) i=1 17
  18. T (2.4) và (2.5) ta thu đư c (2.2). N u p ≥ 2 thì p    2 m+1 m+1 p Xi2(m+1)+j  ≤ n 2 −1 |Xi(m+1)+j |p  E E j =1 j =1 0≤i(m+1)≤n−j 0≤i(m+1)≤n−j n−j ≤ n, j = 1, 2, . . . , m + 1 m+1 n p −1 E |Xi |p . =n (2.6) 2 i=1 T (2.4) và (2.6) ta thu đư c (2.3). 2.1.3. B đ . Gi s {Xn , n ≥ 1} là m t dãy các bi n ng u nhiên , gi s {bn , n ≥ 1} là m t dãy s dương không gi m, và gi s {kn , n ≥ 0} là dãy s dương th a mãn bkn+1 bk > 1 và sup n+1 < ∞ inf (2.7) n≥0 bkn n≥0 bkn Thì n 1 lim Xi = 0 h.c.c (2.8) n→∞ bn i=1 khi và ch khi   k 1 lim  max Xi  = 0 h.c.c. (2.9) bkn+1 − bkn n→∞ kn ≤k 1 thì t n t i ε > 0 tho mãn n≥0 b2n b2n+1 ≥ 1 + ε. inf n≥0 b2n b 2n 1 ≤ , ∀n ≥ 0, Suy ra b2n+1 1+ε 18
  19. Do đó luôn t n t i h ng s C > 0 tho mãn b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1 , ∀n ≥ 0. 2.1.6. Đ nh lý. Gi s {Xn , n ≥ 1} là m t dãy các bi n ng u nhiên v i EXn = 0, n ≥ 1, gi s p ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy s dương không gi m th a mãn b2n+1 b2n+1 < ∞. inf >1 sup (2.10) và n≥0 b2n n≥0 b2n N u {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} và n u ∞ E |Xn |2p (ϕ(n))2p−1 (φ(n))p−1 < ∞, (2.11) b 2p n n=1 thì n 1 lim Xi = 0 h.c.c. (2.12) n→∞ bn i=1 Ch ng minh. Đ t j (l) k ∈ Il , l ≥ 0, Tk = max Xi , (l ) j ∈Bk (l ) i=rk 1 (l) l ≥ 0. Tl = Tk , b2l+1 k ∈Il V i l ≥ 0, ta có 1 2p−1 (l) E (Tl )2p ≤ E (Tk )2p 2p c l b2l+1 k ∈Il   (l) p−1 1 C 2p c2p−1 E |Xi |2p  ≤ cardBk   l  b2l+1 k ∈Il (l ) i∈Bk (Do B đ 2.1.2) 1 2p−1 dp−1 E |Xi |2p ≤C 2p c l l b2l+1 k ∈Il i∈B (l) k 1 2p−1 p−1 E |Xi |2p =C 2p c l dl b2l+1 (l ) i∈ Bk k∈Il 19
  20. 2l+1 −1 1 2p−1 p−1 E |Xi |2p =C 2p c l dl b2l+1 i=2l 2l+1 −1 E |Xi |2p 2p−1 (φ(i))p−1 , ≤ C 2p (ϕ(i)) bi i=2l Do đó ∞ ∞ E |Xi |2p ETl2p (ϕ(i))2p−1 (φ(i))p−1 , ≤C b 2p i i=1 l=0 T đó và (2.11) ta có ∞ ETl2p < ∞. l=0 Do đó lim Tl = 0 h.c.c (Do Đ nh lý 1.6.4). l→∞ Ta có k k 1 C Xi ≤ max max Xi b2l+1 − b2l b2l+1 2l ≤k

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản