Hướng dẫn giải đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018

Chia sẻ: Nguyễn Kim Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

531
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hướng dẫn giải đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018 giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố lại kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải đề. Chuẩn bị thật tốt cho kì thi các em nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018

Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 Híng dÉn gi¶i ®Ò thi häc sinh giái thõa thiªn huÕ n¨m häc 2017 - 2018. (Lêi gi¶i gåm 07 trang) 2x  m ,  Hm . mx  1 a) Khi m  1, hµm sè ®· cho cã ®å thÞ  H1  c¾t hai trôc Ox, Oy lÇn lît t¹i hai ®iÓm A vµ B. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB. b) Chøng minh r»ng víi mäi m  0 th× ®å thÞ hµm sè  H m  c¾t ®êng th¼ng C©u 1: (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè y   d  : y  2 x  2m t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C, D thuéc mét ®êng  H  cè ®Þnh. th¼ng  d  c¾t Ox, Oy lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M , N . T×m m ®Ó SOCD  3SOMN . §êng Híng dÉn gi¶i: 2x 1 a) Khi . m  1, . hµm sè ®· cho trë thµnh: y   H1  . x 1  A   H1   Ox 1  1  Gäi   A  ;0  , B  0; 1  OA  ; OB  1. 2 2   B   H1   Oy  1 1 1 1 Tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O nªn: SOAB  OA.OB  . .1  (®vdt). 2 2 2 4 b) Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña  H m  vµ  d  lµ:  2x  m  mx  1  0  2 x  2m   mx  1  2 x  m   2 x  2m  mx  1  (I ) 1 1   x   x    Víi m  0 th× . ( I )   . m m 2 2 2 2mx  2m x  m  0 2 x  2mx  1  0 (*)   2 2  1  1 Ph¬ng tr×nh (*) cã   m  2  0, m  0 vµ: 2.     2m.     1  2  1  0, m  0 m  m  m 1 Suy ra m  0 ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt ®Òu kh¸c  . m VËy m  0 th×  H m  vµ  d  lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. 2  x1  x2  m 1  *Gäi x1 , x2 lµ 2 nghiÖm cña (*), theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt th×:  . 1  x2   2 x1  x1 x2   2  Gäi C  x1 ; y1  , D  x2 ; y2  lµ 2 giao ®iÓm cña  H m  vµ  d  .  1  1 Ta cã: y1  2 x1  2m  2 x1  2  x1  x2   2 x2  2.    .  2 x1  x1 1 1 T¬ng tù y2  . VËy hai ®iÓm C , D n»m trªn ®å thÞ hµm sè y  x2 x 1  H  . (§PCM) Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018  M   d   Ox  *Ta cã:   M  m; 0  , N  0; 2m   OM  m ; ON  2m  2 m .  N   d   Oy  1 1 Khi ®ã SOMN  OM .ON  m .2 m  m 2 . 2 2  1  2 1  Ta cã OC.OD   x12  2  x2  2   x1  x2    4 2  x14  x2  x12  x2  2 x 4 1    x x  4  1 x2  1 2 x12 x2 4 1 2 4  1  x14  x2  x1 x2  2 2 2 1 1 2 2 2  2  x1 x2    x1  x2   2 x1 x2   2  x1 x2   m 2  1   m 4  2m 2  .   2 2   1 1  1  m 4  2m 2  2  4m 4  8m 2  25 . VËy OC.OD  16 1 4 4 Ta cã SOCD  3SOMN  1 25 4m 4  8m 2   3m 2 2 4  128m 4  32m 2  25  0  m 2  23 6 23 6 m . 16 4 C©u 2: (4,0 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 1   cos  x   2    1    4 cos  x   . 4  3   sin   x  2     b) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 5 1  1  x3  x 2 4 x 2  25 x  18 , x  0. Híng dÉn gi¶i:    cos  x  2   0 sin x  0     a) §iÒu kiÖn   xk 2  cos x  0 sin  3  x   0     2   Víi ®iÒu kiÖn ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:  k  .    x   4  k  tan x  1  cos x  sin x  0 1 1     2 2  cos x  sin x     1   x   k   sin x cos x 8  2 2 sin x cos x  1 sin 2 x  2    x  3  k  8  §èi chiÕu víi §K ta ®îc ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ: x   x 3  k 8 k   . 2  4  k ; x   8 k    k ; Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 b) C¸ch 1: §a vÒ hµm ®Æc trng. Ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi: 5  5 1  x3  4 x 4  25 x3  18 x 2    25 1  x   5  25 1  x3  5 1  x3  4 x 4  18 x 2  20 2  3   1  x3  2 x 2  4  2 x 2  4  (*) a  5 1  x 3  0  *§Æt  khi ®ã PT(*) trë thµnh: 2 b  2 x  4  0  a 2  a  b 2  b   a  b  a  b  1  0  a  b. *Víi a  b ta cã: 5 1  x3  2 x 2  4  5 (1  x)(1  x  x 2 )  2(1  x)  2(1  x  x 2 )  1  x  2 1  x  x2 5  37   x2  5x  3  0  x  2 2 2 1  x  1  x  x  C¸ch 2: Nh©n liªn hîp.  x  0 . (1)  5 1  x3  10 1  x   4 x 4  25 x3  18 x 2  5  10 1  x   5 1 x   1  x  x 2  2 1  x  4 x 4  25 x3  18 x 2  10 x  15 x  5 1 x. 2  5x  3     x2  5x  3 4 x2  5x  5 2 1 x  x  2 1 x  2 5  37  x  5x  3  0  x  2   5 1 x  4 x2  5x  5  2  1 x  x  2 1 x Ta cã: (**)  1  x  2 1  x  x2 2 1 x  1 x  x  2  1 x  x  4 x2  5x  3  0 (**)  4 x2  5x  3  4x2  5x  3 2 1 x   2   1 x  2 1 x  x 2   4x2  5x  3 (VN ) C©u 3: (4,0 ®iÓm)  x3  y 3  3 y 2  x  4 y  2  0 (1)  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:  3  x, y    . (2) x  x  3  2 x  2  y  b) Cã 30 tÊm thÎ ®îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30. Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ. TÝnh x¸c xuÊt ®Ó tæng sè ghi trªn 3 thÎ chia hÕt cho 3. Híng dÉn gi¶i: a) §iÒu kiÖn x  2; y  . 3 Ta cã: (1)  x3  x  y 3  3 y 2  4 y  2  x 3  x   y  1   y  1 3 Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018 3  x3   y  1   x  y  1  0 2   x  y  1  x 2  x( y  1)   y  1  1  0    y  x  1. Thay y  x  1 vµo (2) ta cã: x3  x  3  2 x  2  x  1    x3  4  2 x  2  x3  8  2 x  2  4   x  2  x 2  2 x  4  x  2  2 2  x  2x  4   2 x2  2  x  2 x2 2 (*) 2  1 nªn PT(*) v« nghiÖm. 2 x2 Víi x  2  y  3. VËy hÖ ®· cho cã 1 nghiÖm lµ:  x; y    2;3 . 2 Víi mäi x  2 ta cã VT (*)   x  1  3  3; VP(*)  b) Gäi A lµ biÕn cè: “Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ mang c¸c sè cã tæng chia hÕt cho 3”. 3 Ta cã n     C30 . *Ta chia 30 thÎ ®îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30 lµm 3 lo¹i sau: Lo¹i 1: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d 1; Lo¹i 2: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d 2; Lo¹i 3: 10 thÎ mang sè chia hÕt cho 3; *Rót 3 thÎ mang sè cã tæng chia hÕt cho 3 x¶y ra c¸c trêng hîp sau: 3 TH1: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 1 cã: C10 c¸ch 3 TH2: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 2 cã: C10 c¸ch 3 TH3: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 3 cã: C10 c¸ch TH4: 3 thÎ ®ã gåm 1 thÎ lo¹i 1; 1 thÎ lo¹i 2 vµ 1 thÎ lo¹i 3 th× cã: 10.10.10  1000 c¸ch. 3 n  A  3C10  1000 68   . X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ: P  A   3 n  C30 203 C©u 4: (3,0 ®iÓm) 2 2 Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®êng trßn  C  :  x  1   y  2   5 vµ ®iÓm M  6; 2  . a) Chøng minh ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn  C  . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M c¾t C  t¹i hai ®iÓm A, B sao cho MA2  MB 2  50. Híng dÉn gi¶i: a) §êng trßn  C  cã t©m I 1; 2  , b¸n kÝnh R  5.   Ta cã: IM   5; 0   IM  5  5  R. VËy ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn  C  . b) Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB. Ta cã IH  AB. 4 Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 I H B   2        MA2  MB 2  MH  HA  MH  HB     A        2 MH 2  HA2  HB 2  2 MH . HA  HB 2      2 MH 2  2 HA2  2 IM 2  IH 2  2 IA2  IH 2 2 2  2 IM  2 IA  4 IH d M   2  50  10  4 IH 2  60  4 IH 2 10 Ta cã MA2  MB 2  50  60  4 IH 2  50  IH  . 2  Gäi n   a; b  a 2  b 2  0 lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®êng th¼ng d cÇn t×m.   Ph¬ng trinh tæng qu¸t ®êng th¼ng d lµ: a  x  6   b  y  2   0 . b  3a 10  b 2  9a 2   2 a b b  3a *Víi b  3a th× ph¬ng tr×nh d lµ:  x  6   3  y  2   0  x  3 y  12  0 Ta cã IH  d  I ; d   5a 2 2  *Víi b  3a th× ph¬ng tr×nh d lµ:  x  6   3  y  2   0  x  3 y  0 C©u 5: (3,0 ®iÓm) Cho h×nh chãp S . ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a, SA  SB  SC  a vµ SD  x  a  0; x  0  a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD theo a vµ x. b) TÝnh x theo a ®Ó thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD lín nhÊt. Híng dÉn gi¶i: S a a a x a A B a O D a C a) Gäi O  AC  BD. *Tam gi¸c SAC c©n t¹i S cã SO lµ trung tuyÕn nªn: SO  AC (1) * ABCD lµ h×nh thoi nªn BD  AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AC   SBD  . 5