Hướng dẫn giải toán cao cấp A3

Chia sẻ: ytuongsangtao

Tham khảo tài liệu 'hướng dẫn giải toán cao cấp a3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Nội dung Text: Hướng dẫn giải toán cao cấp A3

HƯ NG D N GI I ð KI M TRA GI A KỲ
MÔN: TOÁN CAO C P A 3 (ðHTC)
Th i gian: 30 phút
(Các ñ khác gi i tương t )
Câu 1. Cho hàm s f (x, y) = y 2e x − x 2 + xy + 1 , k t qu vi phân c p m t df (0, −1) là:
A. – 2dy; B. 2dx + 2dy;
C. 6dx + 4dy; D. 2dx – 4dy.
f x = y e − 2x + y f x/ (0; −1) = 0
/ 2x
 
⇒ / ⇒ A.
HD.  /
f y = 2ye + x f y (0; −1) = −2
x
 

Câu 2. Cho hàm s z = x 3 − x 2 y + y 2 , k t qu vi phân c p hai d2z(1,–1) là:
A. 12dx2 – 8dxdy + 2dy2; B. –12dx2 + 8dxdy + 2dy2;
2 2
D. –8dx2 + 4dxdy + 2dy2.
C. 8dx – 4dxdy + 2dy ;
z //2 = 6x − 2y z //2 (1; −1) = 8
x x
z x = 3x − 2xy  //
/ 2
  //
⇒ z xy = −2x ⇒ z xy (1; −1) = −2 ⇒ C.
HD.  /
z y = − x 2 + 2y
  //  //

 z y2 = 2 z y2 (1; −1) = 2
 

Câu 3. Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + 2y3 – 3x2 – 3x – 10y. Kh ng ñ nh nào sau ñây là ñúng ?
A. z có 4 ñi m d ng; B. z có 3 ñi m d ng;
C. z có 2 ñi m d ng; D. z có 1 ñi m d ng.
z x = 3x − 6x − 3 = 0
/ 2

⇒ A.
HD.  /
z y = 6y − 10 = 0
2


Câu 4. Tìm c c tr c a hàm s f (x, y) = x 3 − 3y 2 − 6y − 3 v i ñi u ki n x – y = 1.
Kh ng ñ nh nào sau ñây là ñúng ?
B. f(x,y) ñ t c c ñ i t i ñi m M(0;–1);
A. f(x,y) ñ t c c ñ i t i ñi m M(2; 1);
C. f(x,y) ñ t c c ti u t i ñi m M(0;–1); D. f(x,y) không có c c tr .
HD. x − y = 1 ⇒ y = x − 1 ⇒ f = x − 3x ⇒ f = 3x − 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2 .
3 2 / 2


L p b ng bi n thiên, ta th y f ñ t c c ñ i t i x = 0. Suy ra M(0;–1). ðáp án B.

∫∫ f(x, y)dxdy , trong ñó D là mi n gi
Câu 5. Xác ñ nh c n c a tích phân I = i h n b i các ñư ng
D

y = −x và y = x ta có k t qu là:
2

−x 2
0 0 x

∫ dx ∫
∫ dx ∫
A. I = B. I =
f(x, y)dy ; f(x, y)dy ;
−1 −1 −x 2
x
−x 2
1 x 1

∫ dx ∫ ∫ dx ∫
C. I = D. I =
f(x, y)dy ; f(x, y)dy .
−x 2
0 0 x
HD.
V mi n D (xem hình), ta có:
D = {−1 ≤ x ≤ 0, x ≤ y ≤ − x 2 } ⇒ A.




∫∫ (x2 + y2 )dxdy , trong ñó D là mi n gi
Câu 6. ð i bi n trong t a ñ c c c a tích phân I = ih nb i
D

các ñư ng x 2 + (y − 2)2 = 4 và x 2 + (y − 1)2 = 1 ta có k t qu là:
π
π 4 cos ϕ 2

∫ dϕ ∫ r2dr ;
∫ dϕ ∫ B. I =
A. I = 3
r dr ;
2 cos ϕ 0 1
0
π 2 sin ϕ π 4 sin ϕ

∫ dϕ ∫ ∫ dϕ ∫
C. I = D. I =
3
r3dr .
r dr ;
sin ϕ 2 sin ϕ
0 0
HD.
 x = r cos ϕ
⇒ J = r, x 2 + y 2 = r 2 .
ðt
 y = r sin ϕ
 r1 = 2sin ϕ
Th x, y vào phương trình hai ñư ng tròn:  .
 r2 = 4sin ϕ

V mi n D (xem hình), ta có:
π
 
D = 0 ≤ ϕ ≤ , 2sinϕ ≤ r ≤ 4sin ϕ  ⇒ D.
 
2



∫∫ f(x, y)dxdy
Câu 7. ð i bi n t ng quát c a tích phân I = b ng cách ñ t u = x + y , v = x − y
D
trong ñó D là mi n gi i h n b i 1 ≤ x + y ≤ 2 và 0 ≤ x − y ≤ 3 ta có k t qu là:
2 3 2 3
u + v u − v
 u + v u − v

1 1
f f
A. I = − ∫ du ∫ B. I = ∫ du ∫
 dv ;  dv ;
 
; ;
2 2
 2
2   
21 21
0 0
2 3 2 3
u + v u − v
 u + v u − v
 dv ;
f D. I = −2∫ du ∫ f 
C. I = 2∫ du ∫  dv ; 
 
; ;
2 
 2
2   2
1 0 1 0
u+v

x=
u = x + y  x/ x /v
 1 1
⇒ J = ; D uv = {1 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 3} ⇒ B.
2
⇒J= u =−
⇒
HD. 
v = x − y y = u − v
/ /
2 2
yu y v

 2

Câu 8. Giá tr c a tích phân I = 4 ∫∫∫ xydxdydz , trong ñó mi n V = [0;1] × [0;2] × [1;2] , là:
V
A. I = 8 ; B. I = 6 ; C. I = 4 ; D. I = 2 ;
1  2  2 
HD. I =  ∫ 2xdx   ∫ 2ydy   ∫ dz  ⇒ C.
0  0  1 

∫∫∫ cos
Câu 9. Tích phân I = x 2 + y2 dxdydz , trong ñó V gi i h n b i z = 4 − x 2 − y 2 và z = 0
V
có bi u di n sang t a ñ tr là:
2π 4 −r 2 2π 4 − r2
2 2

∫ dϕ ∫ cos rdr ∫ ∫ dϕ ∫ r cos rdr ∫
A. I = B. I =
dz ; dz ;
0 0 0 0 0 0
2π 2π
2 0 2 0

∫ dϕ ∫ r cos rdr ∫ ∫ dϕ ∫ cos rdr ∫
C. I = D. I =
dz ; dz .
4 − r2 4 −r 2
0 0 0 0
HD.
 x = r cos ϕ
0 ≤ r ≤ 2

ð t  y = r sin ϕ ⇒ J = r, x 2 + y 2 = r 2 . Chi u V lên Oxy ta ñư c D : x 2 + y 2 ≤ 4 ⇒  .
0 ≤ ϕ ≤ 2 π
z = z

Th x, y vào phương trình z = 4 − x 2 − y 2 ⇒ 0 ≤ z ≤ 4 − r2 ⇒ B .



∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz , trong ñó V : x2 + y2 + z2 ≤ 2z có bi u di n sang
Câu 10. Tích phân I =
V
t a ñ c u là:
2π π 2 cos θ

∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫
A. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ;
0 0 0
2π π 2 sin θ

∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫
B. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ;
0 0 0
π
2π 2 cos θ
2

∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫
C. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ;
0 0 0
π
2π 2 sin θ
2

∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫
D. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr .
0 0 0
HD.
Biên c a V là m t c u (S) : x2 + y 2 + z2 − 2z = 0 ⇒ (S)
ti p xúc Oxy t i O.

 x = r cos ϕ sin θ
π

ð t  y = r sin ϕ sin θ ⇒ J = r 2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ .
2
z = r cos θ


Th x, y, z vào phương trình (S): r = 2 cos θ ⇒ 0 ≤ r ≤ 2 cos θ .

Chi u V lên Oxy, ta ñư c D : x 2 + y 2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ⇒ C.



----------H t----------
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản