KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

0
547
lượt xem
83
download

KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng khai thác thêm các bài toán mới là điều rất cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Mặt khác từ những kinh nghiệm để giải một bài toán ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải (gọi là bài toán gốc). Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8

  1. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM c l p - T do - H nh phúc ********************* B N CAM K T I. TÁC GI H và tên: HOÀNG TH THU HƯƠNG Ngày, tháng, năm sinh: 09/11/ 1975 ơn v : Trư ng THCS Núi èo i n tho i: 0982873720 II. S N PH M: Tên s n ph m: KHAI THÁC M T BÀI TOÁN HÌNH H C L P 8 III. CAM K T Tôi xin cam k t sáng ki n kinh nghi m này là s n ph m c a cá nhân tôi. N u có x y ra tranh ch p v quy n s h u i v i m t ph n hay toàn b s n ph m sáng ki n kinh nghi m, tôi hoàn toàn ch u trách nhi m trư c lãnh o ơn v , lãnh o S GD & T v tính trung th c c a b n cam k t này. Núi èo, ngày 25 / 3/ 2011 Ngư i cam k t Hoàng Th Thu Hương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 1
  2. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 KHAI THÁC M T BÀI TOÁN HÌNH L P 8 A. TV N Trong gi ng d y môn Toán, ngoài vi c giúp h c sinh n m ch c ki n th c cơ b n thì vi c phát huy tính tích c c c a h c sinh m r ng khai thác thêm các bài toán m i là i u r t c n thi t cho công tác b i dư ng h c sinh gi i. M t khác t nh ng kinh nghi m gi i m t bài toán ta thư ng ph i hình thành nh ng m i liên h t nh ng i u chưa bi t n nh ng i u ã bi t, nh ng bài toán ã có cách gi i (g i là bài toán g c). Nên vi c thư ng xuyên khai thác, phân tích m t bài toán ban u là m t cách nâng cao kh năng suy lu n, tư duy sâu cho h c sinh c bi t trong môn hình h c. Qua m t s năm gi ng d y hình h c l p 8, v i kinh nghi m c a b n thân tôi ã luôn giúp h c sinh tìm tòi, khai thác nhi u bài toán, ó cũng là cơ s tôi vi t sáng ki n kinh nghi m này. B. N I DUNG I. CƠ S LÍ THUY T 1 - H qu nh lí Talet trong tam giác : ∆ABC có M ∈ AB, N ∈ AC AM AN MN MN // BC ⇔ = = AB AC BC DB AB 2- nh lí ư ng phân giác: ∆ABC có AD là ư ng phân giác ⇔ = DC AC nh lí Pitago: ∆ABC có a, b, c là ba c nh c a tam giác có Â = 900 ⇔ a2 = b2 + c2 3- 4 - Các h th c lư ng trong tam giác vuông ∆ABC, Â = 900 AH ⊥ BC, (AH = h, HB = b’; HC = c’) * b2 = a.b’; c2 = a.c’ * a2 = b2 + c2 * b.c = a.h = 2S (S là di n tích c a tam giác) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 2
  3. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 * h2 = b.c 1 11 * = 2+ 2 h2 b c 5 - Quan h gi a c nh và góc trong tam giác µ $µ * ∆ABC : A ≥ B ≥ C ⇔ a ≥ b ≥ c * b−c <a<b+c 6 - Quan h gi a các ư ng trong tam giác ∆ABC có ư ng cao ha, trung tuy n ma, phân giác la thì h a ≤ la ≤ m a 7-M ts b t ng th c cơ b n * a + b ≥ 2 ab v i a, b ≥ 0 11 4 * v i a, b > 0 +≥ a b a+b * (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) II. CÁC NH N XÉT VÀ BÀI TOÁN M I Ư C RÚT RA * Nh n xét chung: Trong chương trình hình 8, ta có thêm m t tính ch t c a ư ng phân giác trong DB AB tam giác ó là: N u AD là phân giác c a ∆ABC thì ( 1). k th pv i nh = DC AC lí Ta - let, ta k DE // AB suy ra ∆EAD luôn cân t i E hay EA = ED. DB EA Nhưng t DE // AB l i có (2) A = DC EC 12 Eb EA AB c T (1) và (2) ta có = la EC AC C EA AB B a D ⇔ = EA + EC AB + AC ED c bc 1 11 Do ó EA = ED nên = ⇔ ED = ⇔ =+ b+c b+c b ED b c ( t AB = c; BC = a; CA = b; phân giác AD = la ). ó là l i gi i c a bài toán g c sau: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 3
  4. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 1 11 “∆ABC, AD là phân giác trong DE // AB (E ∈ AC). Ch ng minh =+” ED b c 1. Nh n xét 1: T bài toán g c, ta th y có s liên h gi a c nh b, c và phân giác la ta c bi t khi  = 1200 ⇒ Â1 = Â2 = 600 ⇔ ∆EAD xét trư ng h p u nên ED = AD = la. ó cũng là l i gi i c a bài toán sau: 111 Bài toán 1: Cho  = 1200. Ch ng minh = + . (Rõ ràng l i gi i thông qua bài toán la b c g c). 11 1 111 2. Nh n xét 2: Theo bài toán g c luôn có: . N u cho = + thì la = ED. += la b c b c ED u ⇒  = 1200. Hay ∆EAD 111 + = . Ch ng minh  = 1200. Bài toán 2: Cho b c la 3. Nh n xét 3: Nhưng t m i quan h ha ≤ la ≤ ma trong m t tam giác ta có 11 1 . (Trong ó ha là ư ng cao; la là ư ng phân giác; ma là ư ng trung ≥≥ h a la m a tuy n cùng ng v i m t c nh trong tam giác). 111 111 11 1 ⇒ + ≥ mà theo bài toán g c + = N u cho i u ki n nên suy += b c ha b c la b c ED 1 1 ra ≥ hay DE ≤ la. A DE la 12 Eb DE ≤ la ⇒ Â2 ≤ AED T c la µ Và EA ≤ la ⇒ D 2 ≤ AED 12 C B a D Mà AED = AED C ng các v có 1800 ≤ 3 AED . Hay AED ≥ 600. Mà  + AED = 1800 nên  ≤ 1200. 111 + = . Ch ng minh  ≤ 1200. V y ta có: Bài toán 3: Cho b c ha ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 4
  5. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 11 1 11 1 4. Nh n xét 4: Cũng t ha ≤ la ≤ ma ⇔ . N u cho thì ≥≥ += h a la m a b c ma 111 11 1 + ≤ mà theo bài toán g c + = nên suy ra b c la b c DE 1 1 µ ⇔ DE ≥ la ⇒ A 2 ≥ AED ≤ DE la µ ⇔ AE ≥ la ⇒ D 2 ≥ AED Mà AED = AED C ng các v ta có 1800 ≥ 3AED hay AED ≤ 600. Do DE // AB nên AED +  = 1800 (hai góc trong cùng phía) hay  ≥ 1200. ó cũng là l i gi i bài toán 4: 11 1 . Ch ng minh  ≥ 1200. Bài toán 4: Cho += b c ma  K t lu n 1: Trong ∆ABC c nh a, b, c có la, ha, ma 111 thì  ≤ 1200. a. N u += b c ha 111 thì  = 1200. b. N u += b c la 11 1 thì  ≥ 1200. c. N u += b c ma Và các nh n xét 2; 3; 4 cũng là khai thác v h th c c a bài toán g c. Chuy n sang khai thác bài toán g c v góc ta có nh n xét sau: 5. Nh n xét 5: N u ∆ABC cho gi thi t  = 900 thì Â1 = Â2 = 450 hay ∆EAD vuông cân. N u có la2 = EA2 + ED2 ⇒ la2 = 2ED2 (do EA = ED) 2 1 11 la ⇒ la = ED 2 hay ED = ⇒ = =+ ED b c la 2 Ta có: A 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- E la --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 5 C B D
  6. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 2 11 Bài toán 5: N u  = 900 thì = + bc la (Có th coi ây là m t h th c c a tam giác vuông) 6. Nh n xét 6: Xét chi u ngư c l i c a bài toán 5. 11 2 N u ta có += bc la 11 1 Mà nên la = ED 2 += b c ED Hay la2 = 2ED2 = ED2 + EA2 (vì EA = ED). o suy ra Ê = 900 hay  = 900. Theo nh lí Pitago V y ta có 11 2 thì  = 900. Bài toán 6: N u ∆ABC có += b c la 2 11 7. Nh n xét 7: Khi  = 900 ta có h th c +. = bc la 2 112 Bi n i h th c: Bình phương hai v = 2+ 2+ 2 bc b c la 11 1 V i chú ý + 2 = 2 và bc = 2S 2 b c h 1 2h 2 − la 2 2 1 2 Ta có 2 = 2 + hay = a S (h a la )2 2S ha la Do ó ta có cách tính di n tích tam giác vuông theo ha; la là 2 ( h a la ) S= 2h 2 − la 2 a Áp d ng gi i bài toán 7: Cho ∆ABC ( = 900) có ha = 5cm; la = 7cm. Tính di n tích tam giác vuông. Rõ ràng theo nh n xét 7 thì d dàng tính ư c ( 7.5 )2 = 352 = 1225cm2 S= 2 2 2.5 − 7 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 6
  7. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 ( h a la )2 0 8. Nh n xét 8: Khi  = 90 ta có S = 2h 2 − la 2 a Vì S > 0 nên 2h 2 > la ⇒ 2 2h a > la a V y ta có bài toán 8: Trong tam giác ABC có  = 900, ch ng minh 2h a > la ≥ h a Bài toán đ ngh : Gi i bài toán 8 theo m t cách khác (d ng tam giác vuông cân c nh ha). c bi t góc A ( = 900) * K t lu n 2: T bài toán g c ta khai thác b ng cách th hai là ã thu ư c ba bài toán m i. 2 11 +,  = 900 ⇔ = + bc la +,  = 900 ⇔ 2h a > la > h a ( h a la )2 0 +,  = 90 ⇔ S V = 2h 2 − la 2 a 9. Nh n xét 9: Ta ti p t c dùng phương pháp c bi t hoá N u cho  = 600 suy ra Â1 = Â2 = 300. A H EH ⊥ AD thì AD = 2AH = 2AE.cos 300 30 0 30 0 E 3 l H = ED 3 ⇒ ED = a Hay la = 2ED. 2 3 B 1 11 Theo bài toán g c =+ C D ED b c 3 11 V y ta có bài toán 9: Cho tam giác ABC có  = 600, ch ng minh = + bc la 3 11 1 11 10. Nh n xét 10: Xét chi u ngư c l i trong ∆ABC n u có + mà = =+ bc ED b c la thì suy ra la = ED 3 (Bài toán g c) ED 3 AH 3 =2= H EH ⊥ AD ⇒ cos Â2 = AE ED 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 7
  8. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 Hay Â2 = 300 suy ra  = 600. V y ta có l i gi i bài toán 10 3 11 + . Ch ng minh  = 600. ∆ABC có = bc la * K t lu n 3: Trong ∆ABC, AD là phân giác (AD = la) 3 11  = 600 ⇔ = + bc la - Sau khi ã khai thác h th c và y u t góc trong bài toán g c ta ã phát tri n thêm ư c ra m t s bài toán m i. Ti p theo là s d ng bài toán g c trong vi c nhìn nh n ra l i gi i c a m t s bài toán khác. 1 . Nh n xét 11: Cũng t bài toán g c (s d ng ch ng minh b t ng th c). 1 11 bc = + ⇒ DE = b+c DE b c Mà DE + EA > la (b t ng th c trong tam giác) Hay 2DE > la (do ∆ADE cân t i E) > la ⇒ >  +  1 1 1 1 2 bc Suy ra la 2  b c   b+c V i la; lb; lc là dài các ư ng phân giác trong tam giác. 1 1 1 1  Ch ng minh tương t lb 2  a c  > +   1 1 1 1  lc 2  b a  > +   C ng các v có :  + +  > + + 1 1 1 1 1 1 l l l  a b c b c a Bài toán 11: Trong tam giác ch ng minh  + +  > + + . V i la; lb; lc là 1 1 1 1 1 1 l l l  a b c b c a dài các ư ng phân giác trong tam giác. 12 . Nh n xét 12: N u s d ng bài toán 1, ta có cách nhìn m t s bài toán khó tr nên ơn gi n hơn, ch ng h n xét m t bài toán c a l p 9: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 8
  9. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 Bài toán 12: Cho tam giác ABC u n i ti p (O; R), i m M ch y trên cung BC nh , g i giao i m c a MA và BC là I. Tìm v trí c a i m M I có dài l n nh t. · L i gi i: Ta th y BMC = 120 0 và MI là phân giác c a tam A giác MBC. 1 1 1 Nên theo bài toán 1 suy ra = + MI MB MC D •O áp d n g b t ng th c cơ b n: I B C 1 1 1 4 12 = + ≥ M MI MB MC MB + MC Ta cũng ch ng minh ư c MA = MB + MC. · · (Th t v y: Trên tia MA l y i m D sao cho MD = MB mà BMD = ACB = 60 0 khi y ∆BMD u. · · V y AB = BC, BD = BM, ABD = CBM vì cùng c ng v i góc DBC ưc · · ABC = DBM = 60 0 . Suy ra ∆ABD = ∆CBM nên AD = MC. Do ó MD = MB , AD = MC ⇒ MA = MB + MC) 1 4 MA 2R ⇒ MI ≤ Hay ≥ ≤ MI MA 4 4 MB = MC  D u b ng x y ra ⇔  ⇔ M là i m chính gi a c a cung BC nh . AM = 2R  V y ó là m t cách gi i c a bài toán 12 nhìn ra t bài toán 1. i sao cho b2 + c2 = 2R2 (không 13- Nh n xét 13: N u b, c thay i) thì ta có tìm ư c 11 1 11 c c tr c i lư ng tính theo + (bài toán g c =+) bc DE b c Bài toán 13: Cho i m A di chuy n trên n a ư ng tròn (O) ư ng kính BC = 2R, k phân giác AD c a tam giác ABC. Tìm c c tr c a AD.  Rõ ràng khi A ≡ B, A ≡ C, thì min AD = 0. 2 11  Tìm max thì do  = 900 nên theo bài toán 5 có = + bc la ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 9
  10. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 hay áp d ng b t ng th c cơ b n có: 2 11 4 (1) = +≥ b c b+c la A Và ( b + c)2 ≤ 2(b2 + c2) = 8R2 ⇔ b + c ≤ 2 2R b c 4 4 (2) la ⇔ ≥ b + c 2 2R • B C DO 2 4 T (1) và (2) suy ra ≥ la 2 2R 2 2R la Hay ≤ ⇔ la ≤ R 4 2 D u b ng x y ra khi và ch khi b = c = R 2 Khi ó A là i m chính gi a cung BC. V y la max = R ⇔ A là i m chính gi a cung BC. 2 11 14 . Nh n xét 14: T h th c : Khi  = 900 thì = + bc la 12 2 117 thì có + = , và bi t di n tích tam giác là 6cm2. Ta có bài N u ta cho la = 7 b c 12 toán sau: 12 2 Bài toán 14: Cho tam giác ABC có  = 900, la = và di n tích tam giác là 6cm2. 7 Tính dài hai c nh góc vuông. 1 + 1 = 7 b + c = 7  Gi i: Theo bài ta có  b c 12 ⇔  bc = 12  bc = 12  T ó tính ư c b = 3cm; c = 4cm và l i gi i d a vào h th c c a bài toán 5. 15 . Bài t p ngh Bài 1: Cho tam giác ABC, ch ng minh: a.  = 600 ⇔ a2 = b2 + c2 – bc b.  = 900 ⇔ a2 = b2 + c2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 10
  11. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 c. Â = 1200 ⇔ a2 = b2 + c2 + bc d. Hãy phát tri n các ý a, b, c. Bài 2: Cho tam giác u ABC n i ti p (O), i m M ch y trên cung BC nh . Ch ng minh: a. MA = MB + MC b. MA2 + MB2 + MC2 không i. Bài 3: Ch ng minh trong hình thang ư ng th ng i qua giao i m hai c nh bên và giao i m hai ư ng chéo thì chia ôi hai áy. III. K T QU TH C HI N SÁNG KI N KINH NGHI M 1. K t qu chung: Trong năm h c v a qua, tôi ã hư ng d n cho h c sinh l p 8 m t s bài t p trong sáng ki n kinh nghi m này. K t qu cho th y các em n m v ng bài toán g c và phát hi n k p th i các bài toán sau thông qua bài toán g c. Các bài toán m i ư c các em khai thác r t say sưa dư i hư ng d n c a giáo viên. Hi u qu là ã phát tri n tư duy, óc sáng t o c a h c sinh.  2. K t qu c th : Sau khi ra cho h c sinh l p 8A2: Trong ∆ABC c nh BC = a, AC = b, AB = c có các ư ng phân giác, ư ng cao, ư ng trung tuy n xu t phát t A l n lư t là la, ha, ma; ch ng minh: 111 thì Â ≤ 1200. a. N u += b c ha 111 thì Â = 1200. b. N u += b c la 11 1 thì Â ≥ 1200 c. N u += b c ma K t qu t t ư c như sau: Lp Sĩ s i m 9, 10 i m 7, 8 i m 5, 6 8A2 32 8 em (25%) 12 em (37,5%) 12 em (37,5%) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 11
  12. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 IV - I U KI N ÁP D NG SÁNG KI N KINH NGHI M  Do sáng ki n kinh nghi m c n có n i dung là nh lí Talet, nh lí ư ng phân giác, căn b c hai, ư ng tròn cho nên ch áp d ng ư c h c kì II l p 8, còn riêng i v i h c sinh l p 9 có th d y ngay t u năm.  Vì sáng ki n kinh nghi m có nhi u kĩ năng bi n i, k t h p suy lu n nhi u ki n th c c a môn hình và i nên có th s d ng d y chuyên , b i dư ng h c sinh gi i.  Dùng xu t thêm bài t p m r ng cho h c sinh ng theo t ng ph n liên quan nh t là trong các ti t lu ên t p. V- NH NG I M T N T I H N CH : * Do sáng ki n kinh nghi m nh m khai thác bài toán g c, nên các bài toán sau thư ng ư c qui v s d ng l i gi i bài toán g c. (Nhi u bài toán là b t bu c, ví d : K t lu n 1, k t lu n 2). * Nhưng ngư c l i có m t s bài toán có l i gi i riêng ( ây ch ưa ra cách nhìn nh n m tv n m t cách khác i). c bi t (Â = 600, 900, 1200). * Ch khai thác ư c v i nh ng góc * ch ng minh m t k t qu ph i áp d ng thêm nhi u h qu , nh lí b tr ngoài bài toán g c. Ví d h a ≤ la ≤ m a VI - BÀI H C KINH NGHI M * Qua m t s năm gi ng d y hình 8 và hình 9 theo chương trình cũ ho c chươnng trình thay sách m i, tôi u có hư ng yêu c u h c sinh phân tích t bài toán g c hình thành ra các bài toán khác. Cho th y h c sinh không nh ng h ng thú h c hình mà còn ham tìm tòi nh ng i u m i m trong m t bài toán. * Nhi u h c sinh ã tìm ra hư ng gi i c a nhi u bài toán ã b bi n d ng khác v i bài toán ban u b ng cách nh n bi t liên quan ã trình bày sáng ki n kinh nghi m này, ho c có nhi u em tìm ra l i gi i khác t ng bài nhưng nói chung là khó khăn hơn là ưa chúng v g n bài toán ã bi t l i gi i. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 12
  13. SÁNG KI N KINH NGHI M- NĂM H C 2010-2011 * M t khác i v i nh ng bài toán này, vi c m r ng khai thác thêm các trư ng h p riêng luôn em l i cho h c sinh nh ng h ng thú sáng t o m i. R t kích thích tư duy h c sinh cho các em. C – K T LU N Sau m t th i gian t tìm tòi xung quanh bài toán g c và các tài li u tham kh o, cũng như xin ý ki n óng góp c a ng nghi p, tôi c g ng h th ng và t ng h p l i các k t lu n m i khai thác thông qua 14 nh n xét cơ b n rút ra 14 bài toán liên quan n bài toán g c. Mong óng góp m t ph n nh bé trong kĩ năng rèn luy n tính tích c c phát tri n tư duy sáng t o c a h c sinh, gây h ng thú tìm tòi cái m i khi các em làm toán. Tuy nhiên vi c phát tri n m t bài toán là r t r ng, không tránh kh i các h n ch nên tôi r t mong ư c s óng góp b sung c a các ng nghi p và Ban giám kh o ch m chuyên bài toán ư c hoàn ch nh hơn và cũng tôi có kinh nghi m khai thác các bài toán khác. Tôi xin trân tr ng c m ơn. Xác nh n c a Ban giám hi u Núi èo, ngày 25/ 3/ 2011 Ngư i th c hi n Hoàng Th Thu Hương ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- Hoàng Th Thu Hương – THCS Núi Đèo 13
Đồng bộ tài khoản