Khảo sát cực trị hàm số 12

Chia sẻ: Tô Minh Thuận | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

2
817
lượt xem
255
download

Khảo sát cực trị hàm số 12

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Khảo sát cực trị hàm số 12

  1. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA I,Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) 2.Đạo hàm : y ' = f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại và cực tiểu ⇔ f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = b 2 − 3ac  0 . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có: 1 b 2 b  bc  f ( x ) =  x +  f ' ( x ) + c −  x +  d −  3 9a  3 3a   9a  Tức là: f ( x) = q( x). f ' ( x) + r ( x)  2 b bc  f ' ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = r ( x1) = 3 (c − 3a ) x1 + (d − 9a )  Bước 2:Do  nên   f ' ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = r ( x 2) = 2 (c − b ) x 2 + (d − bc )   3 3a 9a .Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: 2 b bc Y = r (x) hay y = (c − ) + ( d − ) 3 3a 9a II.Các dạng bài tập: Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị: Bài tập: 1 Bài 1:Tìm m để hàm số : y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) có cực đại và cực 3 tiểu Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 + 2mx + (m + 6) = 0 có hai nghiệm phânbiệt ⇔ ∆' = m 2 − m − 6 > 0 ⇔ (m < −2) ∪ (m > 3) Bài 2:Tìm m để hàm số y = (m + 2) x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại và cực tiểu Giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 ⇔ ⇔ 2 ⇔ −3 < m ≠ −2 < 1 ∆' = −3m − 6m + 9 > 0 m + 2 m − 3 < 0 2 1 Bài 3:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m − 2) x 2 + (5m + 4) x + (m 2 + 1) đạt cực trị tại 3 x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1
  2. 1 Bài 4:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 3) x 2 + 4(m + 3) x + (m 2 − m) đạt cực trị tại 3 x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1 0   f cd = f ( x 2) = −6 3  .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là y = −6( x − 1)
  3. Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng y = ax + b Giải: .Đạo hàm f ' ( x) = 6( x 2 + (m − 1) x + m − 2) f ' ( x) = 0 ⇔ g ( x) = x 2 + (m − 1) x + m − 2 = 0 hàm số có CĐ,CT ⇔ f ' ( x) = 0hayg ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ g = (m − 3) 2 > 0 ⇔ m ≠ 3 .Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x) = g ( x)[2 x + (m − 1)] − (m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3) Với m ≠ 3 thì g ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  g ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = −(m − 3) 2 x1 − (m 2 − 3m + 3)  do  nên   g ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = −(m − 3) 2 x 2 − (m 2 − 3m + 3)  suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): y = −(m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3) ta có ( ∆ ) song song với đường m ≠ 3 m ≠ 3, a < 0 a < 0 a < 0 y = ax + b ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ − (m − 3) = a ( m − 3) = −a m − 3 = ± − a m = 3 ± − a 2 2 vậy nếu a ≥ 0 thì không tồn tại m;nếu a
  4. Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng  3m − 1 = 2 − (3m − 1) 2 = −4  y = −4 x ⇔ ( ∆ ) ≡ ( y = −4 x ) ⇔  ⇔  1 ⇔ m =1  m(m − 1)(1 − 2m) = 0  m ∈ 0;1;    2 Bài 4: Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 Giải: Hàm số có CĐ,CT ⇔ f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' g = m 2 − 21 > 0 ⇔ m > 21 .Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có 1 1 2 7m f ( x) = f ' ( x)[ x + m] − [21 − m 2 ] x + 3 − 3 9 9 9 Với m > 21 thì f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  2 7m  y1 = f ( x1) = 9 (21 − m ) x1 + 3 − 9 2  f ' ( x1) = 0  do  nên   f ' ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = 2 (21 − m 2 ) x 2 + 3 − 7 m   9 9 2 7m suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): y = (21 − m 2 ) x + 3 − 9 9  m > 21  ta có ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 ⇔  2  (21 − m )3 = −1 2 9 dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị 2 bài 1:Cho f ( x) = x 3 + (cos a − 3 sin a) x 2 − 8(1 + cos 2a) x + 1 3 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2 ≤ 18 Giải: 1.Xét phương trình: f ' ( x) = 2 x 3 + 2(cos a − 3 sin a) x − 8(1 + cos 2a) = 0 Ta có ∆' = (cos a − 3 sin a) 2 + 16(1 + cos 2a) ∆' = (cos a − 3 sin a ) 2 + 32 cos 2 a ≥ 0∀a cos a = 0 cos a = 0 Nếu ∆' = 0 thì  ⇔ ⇒ 0 = cos 2 a + sin 2 a = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ vôlý cos a − 3 sin a = 0 sin a = 0 Từ đó suy ra ∆' > 0∀a ⇔ f ' ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2.
  5.  x1 + x 2 = 3 sin a − cos a 2.Theo định lý Viét ta có   x1x 2 = −4(1 + cos 2a ) Suy ra x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2 -2x1x2= (3 sin a − cos a) 2 + 8(1 + cos 2a) = 9 sin 2 a − 6 sin a cos a + 17 cos 2 a Khi đó BĐT:x1 2 +x2 2 ≤ 18 ⇔ 9 sin 2 a − 6 sin a cos a + 17 cos 2 a ≤ 18(sin 2 a + cos 2 a) ⇔ 0 ≤ (3 sin a + cos a ) 2 luôn đúng 2 Bài 2: Cho f ( x) = x 3 + (m + 1) x 2 + (m 2 + 4m + 2) x 3 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1. 3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x 2 − 2( x1 + x 2) Giải: Đạo hàm f ' ( x) = 2 x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m + 3 1.-5 0  ( m ≤ −3 − 2 ) ∪ (m ≥ −3 + 2)  S   m < −3 1 <  2    x1 + x 2 = −( m + 1)  3.Theo định lý viét ta có  1 2  x1x 2 = 2 (m + 4m + 3)  m 2 + 4m + 3 1 1 9 Khi đó A= x1x 2 − 2( x1 + x 2) = + 2(m + 1) = [9 − (m + 4) 2 ] ≤ .9 = 2 2 2 2 9 Với m=-4 ∈ (−5;−1) thì Max A= 2
Đồng bộ tài khoản