Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

Chia sẻ: boy7st

Tài liệu tham khảo môn toán THPT - Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

Nội dung Text: Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 1 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 2 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät

Phaàn I. ÑAÏO HAØM 5. Baûøng caùc ñaïo haøm :
1. Ñònh nghóa ñaïo haøm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân (a;b) vaø x0∈(a;b). Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
∆y f (x 0 + ∆ x) − f (x 0 ) (C)’ = 0 vôùi C laø haèng soá
a) f’(x0) = lim = lim laø ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x0.
∆ x→ 0
∆ x ∆ x→ 0 ∆x (x)’ = 1
∆y (x α )’ = αxα − 1 (u α )’ = αuα − 1.u’
b) f’(x0+) = lim+ laø ñaïo haøm beân phaûi cuûa f(x) taïi x0.
∆ x→ 0 ∆ x 1 1 1 u'
( )’ = − 2 (x≠0) ( )’ = − 2
∆y x x u u
c) f’(x0−) = lim− laø ñaïo haøm beân traùi cuûa f(x) taïi x0.
∆ x→ 0 ∆ x 1 u'
( x )’ = (x>0) ( u )’ =
2 x 2 u
Söï coù ñaïo haøm: f’(x0+) = f’(x0−) = A ⇔ f’(x0) = A (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(cosx)’ = − sinx (cosu)’ = − u’.sinu
d) f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⇔ f(x) coù ñaïo haøm taïi ∀x0∈(a;b). 1 π u'
(tgx )' = = 1+tg2x (x ≠ + kπ , k ∈ Z ) (tgu)' = = u' (1 + tg 2 u)
 f (x) coù ñaïo haøm treân (a; b) cos 2 x 2 cos 2 u

e) f(x) coù ñaïo haøm treân [a;b] ⇔  ∃ f' (a )
+
1 u'
(cot gx)' = − = − (1+cotg2x) (cot gu)' = − = − u' (1 + cot g 2 u)
 ∃ f' (b − ) sin 2 x sin 2 u

(x ≠ kπ , k ∈ Z )
2. Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi x ∈(a;b) ⊂ D (Taäp xaùc ñònh
(ex)’ = ex (eu)’ = u’.eu
cuûa haøm soá):
(ax)’ = ax.lna (0 f(x2) thì f(x) nghòch bieán treân khoaûng (a;b). a) V(δ) = (x0−δ; x0+δ) vôùi δ>0 laø moät laân caän cuûa ñieåm x0.
2) Ñònh lyù LaGraêng: b) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) < f(x0) thì x0 laø 1 moät
Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) thì toàn ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), coøn ñieåm
taïi moät ñieåm c∈(a;b) sao cho : M0(x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C).
f (b) − f (a) c) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) > f(x0) thì x0 laø 1 moät
f(b) − f(a) = f’(c)(b − a) hay f ' (c) =
b− a ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), coøn
3) Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu : ñieåm M0 (x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc tieåu cuûa (C).
a) Ñònh lyù 2 :
Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) .
1. Neáu f’(x) > 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân khoaûng ñoù.
2. Neáu f’(x) < 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân khoaûng ñoù.
b) Ñònh lyù 3 (Môû roäng ñònh lyù 2) :
Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) .
Neáu f’(x) ≥ 0 (hoaëc f’(x) ≤ 0) vôùi ∀x∈(a;b) vaø f’(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm
treân khoaûng (a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán ( hoaëc nghòch bieán ) treân khoaûng ñoù.
Toùm taét: Ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C): y = f(x) Ñieåm cöïc tieåu cuûa (C) : y = f(x)
Baûng bieán thieân d) Caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñöôïc goïi chung laø caùc ñieåm cöïc trò. Giaù trò cuûa haøm soá
y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò goïi laø cöïc trò cuûa haøm soá ñaõ cho.
2.Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò :
a) Ñònh lyù Fermat : Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù
thì f’(x0) = 0.
Haøm soá ñoàng bieán treân (a;b) Haøm soá nghòch bieán treân (a;b) YÙ nghóa hình hoïc : Taïi ñieåm cöïc trò x0 , neáu f(x) coù ñaïo haøm thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò laø
4) Ñieåm tôùi haïn : song song hoaëc truøng (cuøng phöông) vôùi Ox.
a) Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b). Ñieåm x0 ñöôïc b) Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn cuûa noù.
goïi laø 1 ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá y = f(x) neáu taïi x 0 ñaïo haøm f’(x) khoâng xaùc ñònh hoaëc 3. Caùc daáu hieäu ( ñieàu kieän ñuû ) ñeå haøm soá coù cöïc trò :
baèng 0. a) Daáu hieäu 1: Neáu ñi qua ñieåm x0 maø f’(x) ñoåi daáu thì x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y=f(x).
b) Tính chaát : Ñoái vôùi caùc haøm soá sô caáp (Toång, hieäu, tích, thöông, haøm soá hôïp cuûa moät Cuï theå :
soá caùc haøm soá sô caáp cô baûn): Neáu f’(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø x1; x2 (x10) ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc :
o Tìm y’. Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò ⇔ a≠0 vaø ∆’ = b2−3ac>0
o Chia y cho y’ ta ñöôïc dö laø αx+β . Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong
khoaûng (a;b), coù ñoà thò (C). Giaû thieát taïi moïi ñieåm
o Khi ñoù haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d = (Ax+B)y’ +αx+β
thuoäc khoaûng (a;b) ñoà thò (C) ñeàu coù tieáp tuyeán.
o Goïi x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x). Theo ñònh lyù Fermat:
Xeùt cung ACB vôùi A(a;f(a)); B(b;f(b)) vaø C(c;f(c)).
⇒ y’(x0) = 0 ⇒ y(x0) = (Ax0+B)y’(x0) +αx0+β = αx0+β
Vaäy ñöôøng thaúng qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d
(a≠0 vaø b2−3ac>0) laø d: y = αx+β
 Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm baäc 3 treân laø :  Cung laø moät cung loài cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu
2 b2 bc
naèm phía treân (C). Khoaûng (a;c) goïi laø khoaûng loài cuûa ñoà thò.
y= (c − )x + d −
3 3a 9a
 Cung laø moät cung loõm cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu
 Ñöôøng thaúng ñi qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (neáu coù) cuûa ñoà thò haøm soá naèm phía döôùi (C). Khoaûng (c;b) goïi laø khoaûng loõm cuûa ñoà thò.
ax 2 + bx + c Ñieåm C phaân caùch giöõa cung loài vaø cung loõm ñöôïc goïi laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò. Taïi
y = f(x) = coù phöông trình :
a' x + b' ñieåm uoán tieáp tuyeán xuyeân qua ñoà thò.
(ax 2 + bx + c)' 2ax + b
y= =
(a' x + b' )' a'
Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 7 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 8 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät
2) Daáu hieäu loài, loõm vaø ñieåm uoán : 2.Tieäm caän ngang :
1) Ñònh lyù 1 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai treân khoaûng (a;b). Ñònh lyù : Neáu lim f (x) = y 0 thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang cuûa (C)
x→ ∞
a. Neáu f”(x) < 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loài treân khoaûng ñoù.
Môû roäng : Neáu x→ − ∞ f (x) = y 0 (hoaëc x→ + ∞ f (x) = y 0 ) thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang beân
lim lim
b. Neáu f”(x) > 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loõm treân khoaûng ñoù.
traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x).
2) Ñònh lyù 2 : Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân moät laân caän naøo ñoù cuûa ñieåm x0 vaø coù
3.Tieäm caän xieân :
ñaïo haøm tôùi caáp hai trong laân caän ñoù. Neáu ñaïo haøm caáp hai ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì
Ñònh lyù : Ñieàu kieän aét coù vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng d:y = ax+b (a≠0) laø moät tieäm caän xieân
ñieåm M0(x0;f(x0)) laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá ñaõ cho.
cuûa ñoà thò (C) laø :
3) Toùm taét :
lim[f (x) − (ax + b)] = 0
a) Tính loài, loõm cuûa ñoà thò: x→ + ∞


x a b X a b hoaëc lim[f (x) − (ax + b)] = 0
x→ − ∞
y” − y” +
hoaëc lim[f (x) − (ax + b)] = 0
Ñoà thò x→ ∞
Ñoà thò cuûa
loài cuûa haøm loõm Môû roäng :
haøm soá
soá • Neáu x→ + ∞ [f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi cuûa
lim
b) Ñieåm uoán cuûa ñoà thò: (C):y=f(x).
x x0 • Neáu x→ − ∞ [f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi cuûa
lim
+ −
y” (C):y=f(x).
(−) (+)
Ñoà thò cuûa Ñieåm uoán • Neáu lim[f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân hai beân cuûa
x→ ∞


haøm soá M0(x0;f(x0)) (C):y=f(x).
Caùch tìm caùc heä soá a vaø b cuûa ñöôøng tieäm caän xieân y = ax+b:
V. TIEÄM CAÄN f (x)
1) Ñònh nghóa : Tìm caùc giôùi haïn : a= lim vaø b= lim[f (x) − ax]
x→ ∞
x x→ ∞

a) Giaû söû M(x;y)∈(C):y = f(x). Ta noùi (C) coù moät nhaùnh voâ cöïc Chuù yù :
neáu ít nhaát moät trong hai toïa ñoä x, y cuûa ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞. f ( x)
Khi ñoù ta cuõng noùi ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞ (vì OM= • Neáu a= x→ − ∞
lim vaø b= x→ − ∞ [f (x) − ax] thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi
lim
x
x 2 + y 2 → + ∞ ). Kyù hieäu M→ ∞. cuûa (C):y = f(x).
f ( x)
b) Giaû söû ñoà thò (C) coù nhaùnh voâ cöïc. Cho ñöôøng thaúng d. • Neáu a= x→ + ∞
lim vaø b = x→ + ∞ [f (x) − ax] thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi
lim
Kí hieäu MH laø khoaûng caùch töø ñieåm M(x;y)∈(C) ñeán ñöôøng thaúng d. x
lim MH = 0 cuûa (C):y = f(x).
d laø tieäm caän cuûa (C)⇔ (M→∈ (∞C ))
M VI. KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
2) Caùch xaùc ñònh tieäm caän cuûa (C): y = f(x) : A.Ñöôøng loái chung :
1.Tieäm caän ñöùng : 1.Taäp xaùc ñònh. Tính chaün, leû, tuaàn hoaøn ( neáu coù) cuûa haøm soá.
Ñònh lyù : 2.Ñaïo haøm y’: Ñeå khaûo saùt tính ñôn ñieäu, cöïc trò cuûa haøm soá.
3.Ñaïo haøm y’’ : Ñeå tìm caùc khoaûng loài, loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò.
Neáu xlim f (x) = ∞ thì d: x = x0 laø moät tieäm caän ñöùng cuûa (C)
→ x0
4.Caùc giôùi haïn, tieäm caän cuûa ñoà thò ( neáu coù ) haøm soá.
Môû roäng : 5.Baûng bieán thieân: Ghi chieàu bieán thieân vaø caùc keát quaû cuûa y’, y.
lim f (x) = ∞
Neáu x → x +
0
(hoaëc xlim f (x) = ∞ ) thì d: x = x0 laø moät tieäm caän ñöùng beân
→ x−
0
6.Giaù trò ñaëc bieät : Thöôøng cho x = 0 ñeå tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi Oy (neáu coù). Cho
traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x)
Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 9 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 10- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät
y=0 ñeå tìm caùc giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc Ox (neáu coù). ta coù theå tìm theâm moät vaøi Stt Heä soá Tính chaát Daïng
ñieåm khaùc nöõa.
7.Veõ ñoà thò vaø nhaän xeùt ñoà thò : Neùt veõ maûnh, ñeïp vaø ñuùng, ñuû. Theå hieän ñuùng cöïc trò, 1 ad-bc > 0
ñieåm uoán , loài, loõm, tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. Nhaän xeùt tính chaát ñaëc tröng cuûa ñoà thò.
B.Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò : d
Tieäm caän ñöùng x = −
I.Haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0) : c
Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : 2 ad-bc < 0 a
Tieäm caän ngang y =
Stt Tính chaát Daïng c
1
y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2
a>0 ax 2 + bx + c b'
2 (Ñieàu kieän: ax 0 + bx 0 + c ≠ 0 vôùi x0= − vaø a’ ≠ 0)
2

y’> 0 ( hoaëc y’≥ 0) IV. Haøm soá y = f(x) =
a' x + b' a'
Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Ñoà thò cuûa haøm soá höõu tæ 2/1 nhaän giao ñieåm I cuûa hai tieäm
3 b' a
y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 caän x = − vaø y= x + p laøm taâm ñoái xöùng vaø coù moät trong boán daïng:
a' a'
a0
Stt Heä soá Tính chaát Daïng 2
1 b 0
a>0
2 b>0 1 cöïc trò, 0 ñieåm uoán

3 3
b>0 3 cöïc trò, 2 ñieåm uoán
a
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản