Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

Chia sẻ: boy7st

Tài liệu tham khảo môn toán THPT - Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

Nội dung Text: Khảo sát hàm số và bài tập liên quan

 

  1. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 1 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 2 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Phaàn I. ÑAÏO HAØM 5. Baûøng caùc ñaïo haøm : 1. Ñònh nghóa ñaïo haøm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân (a;b) vaø x0∈(a;b). Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá hôïp ∆y f (x 0 + ∆ x) − f (x 0 ) (C)’ = 0 vôùi C laø haèng soá a) f’(x0) = lim = lim laø ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x0. ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆x (x)’ = 1 ∆y (x α )’ = αxα − 1 (u α )’ = αuα − 1.u’ b) f’(x0+) = lim+ laø ñaïo haøm beân phaûi cuûa f(x) taïi x0. ∆ x→ 0 ∆ x 1 1 1 u' ( )’ = − 2 (x≠0) ( )’ = − 2 ∆y x x u u c) f’(x0−) = lim− laø ñaïo haøm beân traùi cuûa f(x) taïi x0. ∆ x→ 0 ∆ x 1 u' ( x )’ = (x>0) ( u )’ = 2 x 2 u Söï coù ñaïo haøm: f’(x0+) = f’(x0−) = A ⇔ f’(x0) = A (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu (cosx)’ = − sinx (cosu)’ = − u’.sinu d) f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) ⇔ f(x) coù ñaïo haøm taïi ∀x0∈(a;b). 1 π u' (tgx )' = = 1+tg2x (x ≠ + kπ , k ∈ Z ) (tgu)' = = u' (1 + tg 2 u)  f (x) coù ñaïo haøm treân (a; b) cos 2 x 2 cos 2 u  e) f(x) coù ñaïo haøm treân [a;b] ⇔  ∃ f' (a ) + 1 u' (cot gx)' = − = − (1+cotg2x) (cot gu)' = − = − u' (1 + cot g 2 u)  ∃ f' (b − ) sin 2 x sin 2 u  (x ≠ kπ , k ∈ Z ) 2. Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi x ∈(a;b) ⊂ D (Taäp xaùc ñònh (ex)’ = ex (eu)’ = u’.eu cuûa haøm soá): (ax)’ = ax.lna (0<a ≠1) (au)’ = u’.au.lna • Cho x soá gia ∆x, tìm ∆y = f(x+∆x) − f(x). 1 u' ∆y (ln|x|)’ = ( x≠0) (ln|u|)’ = • Laäp tyû soá . x u ∆x 1 u' ∆y (loga|x|)’ = (0<a ≠1, x≠0) (loga|u|)’ = • Tìm lim ∆ x = f ' (x) , neáu giôùi haïn toàn taïi. x ln a u ln a ∆ x→ 0 3. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong phaúng (C): y = f(x): 6. Ñaïo haøm caáp cao – vi phaân : A. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: a) Ñaïo haøm cuûa ñaïo haøm caáp n − 1 cuûa haøm soá f(x), neáu coù, laø ñaïo haøm caáp n cuûa haøm Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán cuûa (C): y = f (x) taïi tieáp ñieåm M0(x0;y0) laø k = f’(x0). soá f(x). B. Phöông trình tieáp tuyeán: Cuûa (C): y = f(x) taïi M0(x0;y0) coù daïng: Kyù hieäu : [f (n − 1)(x)]’ = f (n)(x) = y(n)(x) y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1). b) Giaû thieát y = f(x) coù ñaïo haøm trong khoaûng (a;b). Vi phaân cuûa haøm soá Vieát ñöôïc (1) laø phaûi tìm x0; y0 vaø f’(x0). y = f(x) taïi ñieåm x baát kyø thuoäc khoaûng (a;b) laø : 4. Baûng quy taéc tính ñaïo haøm: dy = f’(x).dx. Cho u,v,w...laø caùc haøm soá coù bieán soá x, laàn löôït coù ñaïo haøm theo x laø u’,v’,w’....Ta coù: c) Tính gaàn ñuùng: 1) (u ± v)’ = u’ ± v’. f(x0+∆x) ≈ f(x0) + f ’(x0).∆x Môû roäng :(u ± v ± w)’ = u’ ± v’± w’. 2) (u.v)’ = u’v+u v’. Heä quaû : (ku)’ = k.u’ , k: haèng soá. u u' v − u v' 3) ( )’ = . v v2 k kv' Heä quaû : ( )’ = − 2 , v≠0, k: haèng soá. v v 4) (y[u(x)])’ = y’u.u’x ( ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp )
  2. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 3 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 4 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät c) Laäp baûng bieán thieân, xeùt daáu cuûa f’(x) treân töøng khoaûng xaùc ñònh bôûi caùc ñieåm tôùi Phaàn II. ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM haïn vaø döïa vaøo ñònh lyù 2, 3 ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x) treân khoaûng xaùc I.SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN VAØ NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ ñònh D cuûa noù. 1) Kieán thöùc lôùp 10 : II.CÖÏC DAÏI VAØ CÖÏC TIEÅU Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x1 < x2 vôùi x1,x2∈(a;b) 1. Ñònh nghóa : a) Neáu f(x1) < f(x2) thì f(x) ñoàng bieán treân khoaûng (a;b). Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a; b) vaø ñieåm x0∈(a; b); coù ñoà thò (C). b) Neáu f(x1) > f(x2) thì f(x) nghòch bieán treân khoaûng (a;b). a) V(δ) = (x0−δ; x0+δ) vôùi δ>0 laø moät laân caän cuûa ñieåm x0. 2) Ñònh lyù LaGraêng: b) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) < f(x0) thì x0 laø 1 moät Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) thì toàn ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x), coøn ñieåm taïi moät ñieåm c∈(a;b) sao cho : M0(x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C). f (b) − f (a) c) Neáu vôùi ∀x ∈V(δ)⊂ (a; b) cuûa ñieåm x0 vaø x≠x0 ta ñeàu coù f(x) > f(x0) thì x0 laø 1 moät f(b) − f(a) = f’(c)(b − a) hay f ' (c) = b− a ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), f(x0) laø giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x), coøn 3) Ñieàu kieän ñuû cuûa tính ñôn ñieäu : ñieåm M0 (x0; f(x0)) ñöôïc goïi laø ñieåm cöïc tieåu cuûa (C). a) Ñònh lyù 2 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) . 1. Neáu f’(x) > 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân khoaûng ñoù. 2. Neáu f’(x) < 0 vôùi ∀x∈(a;b) thì haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân khoaûng ñoù. b) Ñònh lyù 3 (Môû roäng ñònh lyù 2) : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a;b) . Neáu f’(x) ≥ 0 (hoaëc f’(x) ≤ 0) vôùi ∀x∈(a;b) vaø f’(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm treân khoaûng (a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán ( hoaëc nghòch bieán ) treân khoaûng ñoù. Toùm taét: Ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C): y = f(x) Ñieåm cöïc tieåu cuûa (C) : y = f(x) Baûng bieán thieân d) Caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñöôïc goïi chung laø caùc ñieåm cöïc trò. Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò goïi laø cöïc trò cuûa haøm soá ñaõ cho. 2.Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò : a) Ñònh lyù Fermat : Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f’(x0) = 0. Haøm soá ñoàng bieán treân (a;b) Haøm soá nghòch bieán treân (a;b) YÙ nghóa hình hoïc : Taïi ñieåm cöïc trò x0 , neáu f(x) coù ñaïo haøm thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò laø 4) Ñieåm tôùi haïn : song song hoaëc truøng (cuøng phöông) vôùi Ox. a) Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0∈(a;b). Ñieåm x0 ñöôïc b) Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn cuûa noù. goïi laø 1 ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá y = f(x) neáu taïi x 0 ñaïo haøm f’(x) khoâng xaùc ñònh hoaëc 3. Caùc daáu hieäu ( ñieàu kieän ñuû ) ñeå haøm soá coù cöïc trò : baèng 0. a) Daáu hieäu 1: Neáu ñi qua ñieåm x0 maø f’(x) ñoåi daáu thì x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y=f(x). b) Tính chaát : Ñoái vôùi caùc haøm soá sô caáp (Toång, hieäu, tích, thöông, haøm soá hôïp cuûa moät Cuï theå : soá caùc haøm soá sô caáp cô baûn): Neáu f’(x) lieân tuïc treân khoaûng (a;b) vaø x1; x2 (x1<x2) laø hai ñieåm tôùi haïn keà nhau thuoäc khoaûng (a;b) thì treân khoaûng (x1; x2) ñaïo haøm f’(x) giöõ nguyeân daáu. 5) Caùch tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x): a) Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá y = f(x). b) Tìm f’(x) vaø tìm caùc ñieåm xi∈ D (i = 1,…,n) (caùc ñieåm tôùi haïn cuûa f(x)).
  3. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 5 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 6 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät b) Daáu hieäu 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc tôùi caáp 2 taïi x0 vaø f’(x0)=0 vaø III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ f’’(x0)≠0 thì x0 laø moät ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x). 1.Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D. Ñònh nghóa: Cuï theå :  ∀ x ∈ D : f (x ) ≤ M Max f (x) = M ⇔   f ' (x 0 ) = 0 D  ∃ x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M  ⇒ x0 laø ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = f(x)  f ' ' (x 0 ) > 0  ∀ x ∈ D : f (x) ≥ m Min f (x) = m ⇔   ∃ x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m D  f ' (x 0 ) = 0  ⇒ x0 laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = f(x) Haún nhieân laø : Neáu D=[a;b] thì M vaø m ñoàng thôøi toàn taïi vaø m ≤ f(x) ≤ M vôùi ∀x∈[a;b]  f ' ' (x 0 ) < 0 2. Caùch tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: 4. Caùc quy taéc tìm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) : • Xaùc ñònh taäp D • Tìm caùc ñieåm tôùi haïn xi∈D (i = 1,2,…) (neáu coù) Quy taéc I Quy taéc II • Tìm: Phöông phaùp: Phöông phaùp: o Giaù trò f(xi) töông öùng (neáu coù); • Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá • Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá o Giaù trò ôû caùc muùt (neáu D = [a;b] thì tìm f(a) vaø f(b) ); • Tìm f’(x) vaø tìm caùc ñieåm tôùi haïn • Tính f’(x) vaø giaûi phöông trình o Tìm caùc giôùi haïn 1 beân (neáu D=(a;b) thì tìm x→ a+ f(x) vaø xlim f(x) ); lim x0∈ D. f’(x)= 0 ñeå tìm caùc nghieäm xi → b− • Xeùt daáu cuûa f’(x) treân baûng bieán (i=1,2….) o Tìm caùc giôùi haïn ôû voâ taän (neáu D = (−∞ ; a] thì tìm xlim f(x) coøn neáu → −∞ thieân. • Tính f’’(x) lim D = [a;+∞) thì tìm x→ + ∞ f(x) ). • Döïa vaøo daáu hieäu I suy ra caùc • Töø daáu cuûa f’’(xi), döïa vaøo daáu Laäp baûng bieán thieân (hoaëc so saùnh caùc giaù trò cuûa haøm soá treân moät ñoaïn), döïa o ñieåm cöïc trò. hieäu II, suy ra tính chaát cöïc trò cuûa vaøo ñoù maø keát luaän. f(x). IV. TÍNH LOÀI LOÕM VAØ ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ 5. Moät soá vaán ñeà coù lieân quan ñeán cöïc trò : • Ñöôøng thaúng ñi qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d 1)Khaùi nieäm veà tính loài, loõm vaø ñieåm uoán : (a≠0 vaø b2−3ac>0) ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc : o Tìm y’. Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò ⇔ a≠0 vaø ∆’ = b2−3ac>0 o Chia y cho y’ ta ñöôïc dö laø αx+β . Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (a;b), coù ñoà thò (C). Giaû thieát taïi moïi ñieåm o Khi ñoù haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d = (Ax+B)y’ +αx+β thuoäc khoaûng (a;b) ñoà thò (C) ñeàu coù tieáp tuyeán. o Goïi x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x). Theo ñònh lyù Fermat: Xeùt cung ACB vôùi A(a;f(a)); B(b;f(b)) vaø C(c;f(c)). ⇒ y’(x0) = 0 ⇒ y(x0) = (Ax0+B)y’(x0) +αx0+β = αx0+β Vaäy ñöôøng thaúng qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0 vaø b2−3ac>0) laø d: y = αx+β  Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm baäc 3 treân laø :  Cung laø moät cung loài cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu 2 b2 bc naèm phía treân (C). Khoaûng (a;c) goïi laø khoaûng loài cuûa ñoà thò. y= (c − )x + d − 3 3a 9a  Cung laø moät cung loõm cuûa (C) neáu taïi moïi ñieåm cuûa cung tieáp tuyeán ñeàu  Ñöôøng thaúng ñi qua cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (neáu coù) cuûa ñoà thò haøm soá naèm phía döôùi (C). Khoaûng (c;b) goïi laø khoaûng loõm cuûa ñoà thò. ax 2 + bx + c Ñieåm C phaân caùch giöõa cung loài vaø cung loõm ñöôïc goïi laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò. Taïi y = f(x) = coù phöông trình : a' x + b' ñieåm uoán tieáp tuyeán xuyeân qua ñoà thò. (ax 2 + bx + c)' 2ax + b y= = (a' x + b' )' a'
  4. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 7 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 8 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät 2) Daáu hieäu loài, loõm vaø ñieåm uoán : 2.Tieäm caän ngang : 1) Ñònh lyù 1 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm ñeán caáp hai treân khoaûng (a;b). Ñònh lyù : Neáu lim f (x) = y 0 thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang cuûa (C) x→ ∞ a. Neáu f”(x) < 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loài treân khoaûng ñoù. Môû roäng : Neáu x→ − ∞ f (x) = y 0 (hoaëc x→ + ∞ f (x) = y 0 ) thì d: y = y0 laø moät tieäm caän ngang beân lim lim b. Neáu f”(x) > 0 vôùi moïi x∈(a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loõm treân khoaûng ñoù. traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x). 2) Ñònh lyù 2 : Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân moät laân caän naøo ñoù cuûa ñieåm x0 vaø coù 3.Tieäm caän xieân : ñaïo haøm tôùi caáp hai trong laân caän ñoù. Neáu ñaïo haøm caáp hai ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì Ñònh lyù : Ñieàu kieän aét coù vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng d:y = ax+b (a≠0) laø moät tieäm caän xieân ñieåm M0(x0;f(x0)) laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá ñaõ cho. cuûa ñoà thò (C) laø : 3) Toùm taét : lim[f (x) − (ax + b)] = 0 a) Tính loài, loõm cuûa ñoà thò: x→ + ∞ x a b X a b hoaëc lim[f (x) − (ax + b)] = 0 x→ − ∞ y” − y” + hoaëc lim[f (x) − (ax + b)] = 0 Ñoà thò x→ ∞ Ñoà thò cuûa loài cuûa haøm loõm Môû roäng : haøm soá soá • Neáu x→ + ∞ [f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi cuûa lim b) Ñieåm uoán cuûa ñoà thò: (C):y=f(x). x x0 • Neáu x→ − ∞ [f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi cuûa lim + − y” (C):y=f(x). (−) (+) Ñoà thò cuûa Ñieåm uoán • Neáu lim[f (x) − (ax + b)] = 0 thì d:y=ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân hai beân cuûa x→ ∞ haøm soá M0(x0;f(x0)) (C):y=f(x). Caùch tìm caùc heä soá a vaø b cuûa ñöôøng tieäm caän xieân y = ax+b: V. TIEÄM CAÄN f (x) 1) Ñònh nghóa : Tìm caùc giôùi haïn : a= lim vaø b= lim[f (x) − ax] x→ ∞ x x→ ∞ a) Giaû söû M(x;y)∈(C):y = f(x). Ta noùi (C) coù moät nhaùnh voâ cöïc Chuù yù : neáu ít nhaát moät trong hai toïa ñoä x, y cuûa ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞. f ( x) Khi ñoù ta cuõng noùi ñieåm M(x;y) daàn tôùi ∞ (vì OM= • Neáu a= x→ − ∞ lim vaø b= x→ − ∞ [f (x) − ax] thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân traùi lim x x 2 + y 2 → + ∞ ). Kyù hieäu M→ ∞. cuûa (C):y = f(x). f ( x) b) Giaû söû ñoà thò (C) coù nhaùnh voâ cöïc. Cho ñöôøng thaúng d. • Neáu a= x→ + ∞ lim vaø b = x→ + ∞ [f (x) − ax] thì d:y = ax+b (a≠0) laø tieäm caän xieân beân phaûi lim Kí hieäu MH laø khoaûng caùch töø ñieåm M(x;y)∈(C) ñeán ñöôøng thaúng d. x lim MH = 0 cuûa (C):y = f(x). d laø tieäm caän cuûa (C)⇔ (M→∈ (∞C )) M VI. KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 2) Caùch xaùc ñònh tieäm caän cuûa (C): y = f(x) : A.Ñöôøng loái chung : 1.Tieäm caän ñöùng : 1.Taäp xaùc ñònh. Tính chaün, leû, tuaàn hoaøn ( neáu coù) cuûa haøm soá. Ñònh lyù : 2.Ñaïo haøm y’: Ñeå khaûo saùt tính ñôn ñieäu, cöïc trò cuûa haøm soá. 3.Ñaïo haøm y’’ : Ñeå tìm caùc khoaûng loài, loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò. Neáu xlim f (x) = ∞ thì d: x = x0 laø moät tieäm caän ñöùng cuûa (C) → x0 4.Caùc giôùi haïn, tieäm caän cuûa ñoà thò ( neáu coù ) haøm soá. Môû roäng : 5.Baûng bieán thieân: Ghi chieàu bieán thieân vaø caùc keát quaû cuûa y’, y. lim f (x) = ∞ Neáu x → x + 0 (hoaëc xlim f (x) = ∞ ) thì d: x = x0 laø moät tieäm caän ñöùng beân → x− 0 6.Giaù trò ñaëc bieät : Thöôøng cho x = 0 ñeå tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi Oy (neáu coù). Cho traùi (beân phaûi) cuûa (C):y = f(x)
  5. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä - Trang 9 - Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 10- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät y=0 ñeå tìm caùc giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc Ox (neáu coù). ta coù theå tìm theâm moät vaøi Stt Heä soá Tính chaát Daïng ñieåm khaùc nöõa. 7.Veõ ñoà thò vaø nhaän xeùt ñoà thò : Neùt veõ maûnh, ñeïp vaø ñuùng, ñuû. Theå hieän ñuùng cöïc trò, 1 ad-bc > 0 ñieåm uoán , loài, loõm, tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. Nhaän xeùt tính chaát ñaëc tröng cuûa ñoà thò. B.Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò : d Tieäm caän ñöùng x = − I.Haøm soá y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0) : c Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : 2 ad-bc < 0 a Tieäm caän ngang y = Stt Tính chaát Daïng c 1 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 a>0 ax 2 + bx + c b' 2 (Ñieàu kieän: ax 0 + bx 0 + c ≠ 0 vôùi x0= − vaø a’ ≠ 0) 2 y’> 0 ( hoaëc y’≥ 0) IV. Haøm soá y = f(x) = a' x + b' a' Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : Ñoà thò cuûa haøm soá höõu tæ 2/1 nhaän giao ñieåm I cuûa hai tieäm 3 b' a y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 caän x = − vaø y= x + p laøm taâm ñoái xöùng vaø coù moät trong boán daïng: a' a' a<0 Stt Tính chaát Daïng 4 y’< 0 ( hoaëc y’≤ 0) 1 II. Haøm soá y = f(x) = ax +bx +c (a≠0) : 4 2 Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 Ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) = ax4+bx2+c (a≠0) nhaän Oy laøm truïc ñoái xöùng vaø coù 1 trong 4 daïng : aa’>0 Stt Heä soá Tính chaát Daïng 2 1 b<0 3 cöïc trò, 2 ñieåm uoán y’> 0 a>0 2 b>0 1 cöïc trò, 0 ñieåm uoán 3 3 b>0 3 cöïc trò, 2 ñieåm uoán a<0 y’ = 0 ⇔ x = x1 V x = x2 b<0 1 cöïc trò, 0 ñieåm uoán ax + b aa’<0 III.Haøm soá y = f(x) = (Ñieàu kieän: ad-bc≠0 vaø c≠0) : 4 cx + d Daïng cô baûn cuûa ñoà thò : d a y’< 0 Ñoà thò cuûa haøm soá höõu tæ 1/1 nhaän giao ñieåm I cuûa hai tieäm caän x = − vaø y = c c laøm taâm ñoái xöùng vaø coù moät trong hai daïng:
  6. Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 11- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät Ñaïo haøm,KS haøm soá vaø BT lieân heä -Trang 12- Gv soaïn: Phaïn Vaên Luaät VII.CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN HEÄ ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 2) Vôùi (C) : y = f(x) baát kyø: 1) Baøi toaùn 1:BIEÄN LUAÄN SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA 2 ÑÖÔØNG. Phöông phaùp : Cho haøm soá y=f(x) coù ñoà thò laø (C), haøm soá y=g(x) coù ñoà thò laø (C 1). Tìm soá giao ñieåm cuûa • Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua M1(x1; y1 ) vaø coù heä soá goùc k, phöông trình (C) vaø (C1) d : y = k(x − x1)+ y1 (1).  Phöông phaùp:  f(x) = k(x - x 1 ) + y 1 • Vieát phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1): f(x)=g(x) (1) • d tieáp xuùc (C) khi heä sau coù nghieäm :   f' (x) = k • Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) laø soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1). Töø ñaây khöû k ⇒ f(x) = f’(x)(x-x1)+y1 ( phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm) • Bieän luaän soá nghieäm phöông trình (1) suy ra soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C1). ⇒ caùc nghieäm x = x0 (neáu coù) vaø tính ñöôïc k theo x0. 2) Baøi toaùn 2: VIEÁT PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN CUÛA (C) : y=f(x) • Thay k tìm ñöôïc vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán töông öùng. A. Phöông trình tieáp tuyeán: Cuûa (C): y = f(x) taïi M0(x0;y0) coù daïng: Chuù yù raèng: Soá tieáp tuyeán phuï thuoäc vaøo k ( chöù khoâng phuï thuoäc vaøo x0) y−y0 = f’(x0)(x−x0) (1). 3) Baøi toaùn 3: HOÏ ÑÖÔØNG CONG. BIEÄN LUAÄN SOÁ ÑÖÔØNG CONG ÑI QUA MOÄT Vieát ñöôïc (1) laø phaûi tìm x0; y0 vaø f’(x0). ÑIEÅM COÁ ÑÒNH. Coù 2 daïng tieáp tuyeán taïi ñieåm: a) Khaùi nieäm : Cho haøm soá y=f(x) trong ñoù ngoaøi bieán x, coù theâm chöõ m ôû caùc heä soá. Daïng 1: Cho hoaønh ñoä x0 (hoaëc tung ñoä y0) cuûa tieáp ñieåm, töø phöông trình y0 = f(x0) tìm Kyù hieäu (Cm):y=f(x,m) vôùi m laø tham soá. Khi m thay ñoåi ta coù voâ soá ñoà thò (C m) vaø goïi y0 ( hoaëc x0). Tìm f’(x) ⇒ f’(x0) roài thay vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán. chung laø hoï (Cm). Daïng 2: Cho heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø f’(x0) = k, töø ñoù tìm hoaønh ñoä x0 cuûa tieáp ñieåm b) Coù bao nhieâu ñoà thò (Cm) ñi qua M0(x0;y0) cho tröôùc ? töø phöông trình f’(x0) = k ⇒ y0 = f(x0) roài thay vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán.  Phöông phaùp: Ta thöïc hieän caùc böôùc : Moät soá kieán thöùc caàn nhôù: 1) Thay toïa ñoä cuûa M0(x0;y0) vaøo haøm soá y=f(x,m) ñöa ñeán moät phöông trình • Neáu cho k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán thì f’(x0) = k. g(m)=0 (1). 2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa (1) : soá nghieäm cuûa (1) chính laø soá ñoà thò (Cm) • Neáu tieáp tuyeán song song (d): y = ax+b thì f’(x0) = k= a. 1 ñi qua M0(x0;y0). • Neáu tieáp tuyeán vuoâng goùc (d): y = ax+b thì f’(x0) = k = − , a≠0 3) Neáu (1) coù voâ soá nghieäm ñoái vôùi m thì M0(x0;y0) trôû thaønh moät ñieåm coá ñònh a π trong caùc ñieåm coá ñònh ( neáu coù) maø (Cm) ñi qua. • Neáu tieáp tuyeán taïo vôùi Ox goùc α ≠ thì f ’(x0) = k = ± tgα. c) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm):y=f(x,m): 2  Phöông phaùp: B. Tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f(x) di qua ñieåm M1(x1; y1 ) : 1) Goïi M0(x0;y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm):y=f(x,m) ñi qua vôùi moïi m . 1) Vôùi (C): y = f(x) = ax2+bx+c (a≠0) coù ñoà thò laø 1 parabol: 2) Ta coù M0(x0;y0)∈(Cm) ⇔ y0=f(x0,m) ⇒ g(m)=0 (1). Phöông phaùp : 3) Ñònh caùc heä soá cuûa (1) ñoàng thôøi baèng 0 ñeå (1) coù voâ soá nghieäm. Töø ñoù giaûi heä • Goïi d laø ñöôøng thaúng ñi qua M1(x1; y1 ) vaø coù heä soá goùc k, phöông trình phöông trình tìm ñöôïc x0 vaø y0 vaø keát luaän veà ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). d : y = k(x − x1)+ y1 (1). 4) Baøi toaùn 4: TÌM TAÄP HÔÏP ÑIEÅM M(x;y) ( quyõ tích ñaïi soá ) , trong ñoù x hoaëc y coù • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa d vaø (C) : ax2+bx+c = k(x − x1)+ y1 chöùa tham soá m. Ta bieán ñoåi phöông trình naøy veà phöông trình baäc 2 aån x daïng :  Phöông phaùp : a1x2+b1x+c1 = 0 (2). 1) Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå ñieåm M toàn taïi. • d tieáp xuùc (C) ⇔ phöông trình (2) coù nghieäm soá keùp : 2) Töø giaû thieát baøi toaùn, ta tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M(x;y) töø heä phöông trình:  a1 ≠ 0  x = g(m) ⇔ .  (1)  ∆ = b 1 − 4a 1 c1 = 0  y = h(m ) 2 • Töø heä ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc k. • Töø ñieàu kieän toàn taïi ñieåm M vaø khöû tham soá m töø heä (1) ta tìm ñöôïc taäp hôïp (C) • Thay k tìm ñöôïc vaøo (1) ñeå coù phöông trình tieáp tuyeán. chöùa M töø ñoù ñi ñeán keát luaän quyõ tích cuûa M.
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản