KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

0
85
lượt xem
12
download

KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kiến thức cần nhớ về số phức (phần 2)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)

  1. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác Imz II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của s ố phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: M(a; b)  a + bi Modz   r  a 2  b 2 ký hiệu z b r Rez Trục thực vậy môdun của số z bằng khoảng cách  từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . a Ví dụ: Tìm môdun c ủa số phức sau: z = 4 + 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 42  32  5 III. Định nghĩa argument của số phức :   a bi z  a  bi  a2  b2   Trong đó  2  2 a  b2 2  a b    2 2 r  a  b  a   z  r  cos   sin i  là dạng lượng giác cos   a2  b2   b sin   a  b2 2   a  cos   a  b2 2  Mọi nghiệm của hệ phương trình  gọi là argument của số phức b sin    a2  b2  1 z  a  bi  0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM c ủa điểm M Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  2. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Góc  được giới hạn trong khoảng 0    2 hoặc       Ví dụ: Tìm argument của s ố phức z  1  3i Giải : b  3 ta tìm góc  a 1 , a 1  cos   r    2     v ậy Argz =  3 3 sin   b  3  r 2  1  2  k2 IV. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: z1  z2   r1  r2 V. Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai s ố phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. z1.z 2  r1.r2 cos  1  2   sin  1  2  .i     Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z  1  i  1  3i Giải :   z  1  i  1  3i       2  cos  sin .i  2  cos  isin .  4 4 3 3       2 2 cos     isin    4 3 4 3    2 2 cos  sin i 12 12 2 VI. Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai s ố phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  3. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ z1 r1  cos  1  2   sin  1  2  .i z2 r2   2  12i Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z   3 i Giải : 1 3 4   2 2 i  2  12i 2  2 3i   z   3 1   3 i  3 i 2 2  2 i        2  cos  isin 3  2  cos  7   isin 7  3   6 5 5 6   cos  isin 6 6 VII. Dạng mũ số phức 1. Định lý Euler (1707-1783): z  ei  cos  isin  Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z   3  i Giải :  3 1 z   3  i  2  i  2 2    5 5    2  cos  isin  6 6  5 i.  2e 6 Ví dụ: Biểu diễn các s ố phức sau lên mặt phẳng phức : z  e2i Giải : 3 z  e 2  i  e 2 e i  e 2  cos   isin   Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  4. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2. Dạng lũy thừa z  a  bi   z 2  z.z   a  bi   a  bi   a2  b2  2abi 3 z 3   a  bi   a3  3a2bi  3ab2i2  b3i3  ...... n n zn   a  bi    Ck ank bk n k 0  Cn anb0  C1 an1b1  ............  C0a1bn1  C1 a0bn 0 n n n  A  Bi Ví dụ: Tính z 5 của z  2  i Giải : 5 z  2  i   Ck 25 k ik 5 k 0  C 2 i  C1 24 i1  C2 23 i2  C3 22 i3  C5 21i4  C1 20 i5 1 50 4 5 5 5 5 5  32  80i1  80  40i  10  i  38  41i 3. Lũy thừa bậc n của số phức i: i5  i4 .i  i ii i2  1 i6  i4 .i2  1 i3  i2 .i  i i7  i4 .i3  i i4  i2 .i2  1 i8  i4 .i4  1 vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in  ir , v ới r là phần dư c ủa n c hia cho 4. Ví dụ: Tính z c ủa z  i403 4 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  5. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Ta . 403 = 100.4 +3 z  i403  i100.4 3  i3  1 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . 4. De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta có: n r  cos   isin     r n  cosn  isinn    25 z 25  1  i  Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: Giải : 1 1 z  1 i  2  i  2 2     2  cos  isin  4 4  25  25    25  2 25 vậy . z 25  1  i   cos 4  isin 4        = 4096 2  cos  isin  4 4  5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n c ủa số phức z là số phức w, s ao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên z  a  bi  cos   i sin  z  n r  cos   isin    n   k2   k2   zk  n r  cos  isin n n   5 với k  1,2,3,....  n  1 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  6. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Căn bậc n c ủa số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 6. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức c ủa đa thức P(z) v ới hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 v ới hệ s ố thực nhận z1  3i và z 2  5  i Giải : Vì z1  3i và z 2  5  i là hai nghiệm nên z1  3i v à z 2  5  i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt. Bài tập 1) Tính trong C 2 c ) 1  5i  a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5  8i) 1  2i 1  itan  d) e) 2i 1  i tan  Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5  8i) = 10  16i  30i  48i2  58  14i 6 2 c) 1  5i   1  10i  25i2  24  10i Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  7. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 1  2i 1  2i   2  i  2  i  4i  2i2 5i d)    2  i  2  i  2  i 3 3 1  itan  1  itan   1  i tan   e)  1  itan  1  i tan   1  itan   1  2i tan   tan2   cos2   2isin  cos   sin2   1  tan2   cos 2  isin2 2) giải phương trình trong C : a) x 2  2x  2  0 b) x 2  5x  7  0 Giải : a) x 2  2x  2  0    1 x1,2  1  1 phương trình có hai nghiệm phức : x1  1  i , x2  1 i b) x 2  5x  7  0   3 5  3 phương trình có hai nghiệm phức x1,2  2 5 3i 5 3i x1  , x2    2 2 2 2 3) Tìm nghiệm thực của phương trình : 7 a) x  6i  7  yi Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  8. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ b) 1  i  x   2  5i  y  4  17i c) 12   2x  i  1  i    x  y   3  2i    17  6i Giải : x  7 a)   y  6 b) 1  i  x   2  5i  y  4  17i x  xi  2y  5yi  4  17i x  2y   x  5y  i  4  17i  x  2y  4  x  2    x  5y  17 y  3  17  6i  a) 12   2x  i  1  i    x  y   3  2i       12   2x  2xi  i  i  2  3x  2xi  3y  2yi   1  5x  3y   1  2y  i 17 1   x   1  5x  3y  12   3   1  2y  6 1 y    12 4   4) Giải phương trình trong C : a) x2  1  i  x  1  i   0 b) x 2  1  2i  x  i  1  0 8 Giải : a) x2  1  i  x  1  i   0 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  9. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 2  x  1  i   4 1  i   4  2i 2 gọi  a  bi   4  2i  a2  b 2  2abi  4  2i a 2  b2  4 a 2  b2  4    2 2 2ab  2 a  b  2 5   a  5 2  a  5  2   2  b   5  2     b2  5  2    ab  1  a   5  2     b  52     1  i   5  2 i 5 2 Vậy phương trình có nghiệm: x1,2  2 b) x 2  1  2i  x  i  1  0 2  x  1  2i   4  i  1  4i2  5  1 Vậy phương trình có nghiệm: x1  1  i , x 2  i 5) Tìm đa thức bậc 4 v ới hệ s ố thực nhận z1  3i và z 2  2  i làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . f(z)   z  z1   z  z1   z  z 2   z  z2    z  3i   z  3i  z  (2  i)   z  (2  i)  9     z 2  9 z 2  4z  5 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  10. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 6) Tìm tất c ả c ác nghiệm c ủa P(z)  z4  4z3  14z 2  36z  45 biết z  2  i là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức v ới hệ s ố thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành:  z  (2z  i   z  (2  i)  z 2  4z  5 P(z) có thể tách thành: P(z)   z 2  4z  5   z 2  9  Mà z2  9   z  3i   z  3i  vậy phương trình có 4 nghiệm: 2  i , 2  i , 3i ,  3i 7) Giải phương trình sau trong C : z 9  i  0 Giải:   z 9  i  0  z  9 i  9 cos  isin 2 2     k2   k2  zk  cos 2  isin 2 9 9 với k  0,1,2,......,8 8) Giải phương trình sau trong C a)z 5  1  i  0 b)z 2  z  1  0 c)z2  2z  1  i  0 Giải : 10 a) Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  11. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 1 1 z 5  1  i  0  z  5 1  i  2 i  5 2 2  3 3   2  cos  isin   5 4 4  3 3    k2  k2    zk  10 2  cos 4  isin 4  5 5     với k  0,1,2,3,4 b)z 2  z  1  0   3 phương trình có hai nghiệm . 1  3 1  i 3 x1,2   2 2 1 3 1 3 x1   i , x2    i  2 2 22 c)z2  2z  1  i  0    i phương trình có 2 nghiệm z1,2  1  i 9) Mô tả hình học các tập s ố phức thỏa mãn các điều kiện sau : f )1  z  2  2 a) Re z  0 g) z  1  Re z b) 0  Im z  1 c) Im z  2 k) z  1  z  2  d) z  1 m)0  arg z  4 e) z  1  2  n)   arg z  4 11 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  12. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ a) Re z  0  x  0 là nửa mặt phẳng x  0 b) 0  Im z  1  0  y  1là dải 0  y  1 c ) Im z  2  y  2 là dải 2  y  2 d) z  1 đặt z  x  yi ta có z  x 2  y 2  x 2  y 2  1 là phần trong của có tâm I(0;0) bán kính R=1 e) z  1  2 đặt z  a  bi ta có 2 z  i   x  1  yi   x  1  y2  2 Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 . f )1  z  2  2 đặt z  x  yi ta có 2  y2 z  2   x  2   yi   x  2 2 1   x  2  y 2  4 Là hình khuyên giữa 2 đường tròn 2 2 2  x  2  y 2  1 và  x  2   y 2  1 mà  x  2   y 2  1 không thuộc hình khuyên g) z  1  Re z đặt z  x  yi ta có x 2  y 2  1  x  x 2  y 2  1  x 2  2x y 2  1  2x   vậy D  x, y y 2  1  2x k ) z  1  z  2 đặt z  x  yi ta có 12 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  13. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 2 z  1   x  1  yi   x  1  y2 2  x  2  y 2 z  2   x  2   yi  2 2 ycbt   x  1  y 2   x  2   y 2  4x  2y  3  0 Là phương trình đường thẳng 4 x  2y  3  0  là hình quạt được giới hạn bởi l1  x, y y  0, x  0 và m)0  arg z  4 l2  x, y y  x, x  0    n)   arg z    arg z    4 4 4 3 5  argz   4 4 Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia . l1   x,y y  x, x  0 v à l2  x, y y   x, x  0 10) Tìm dạng mũ c ủa số phức sau: z   3  i Giải : 5 5   z   3  i  2  cos  isin  6 6  5 i.  2e 6 11) Chứng minh công thức Ơle (Euler) : ei  e i cos   2 13 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  14. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ ei  cos   isin   Ta có  i e  cos   isin   ei  e i cos   isin   cos   isin   cos    2 2 ei  e i 12) Chứng minh công thức Ơle (Euler): sin   2i Giải : ei  cos   isin   Ta có  i e  cos   isin   ei  e i cos   isin   cos   isin   sin   2i 2i Bài tập tự làm 13) Chứng minh công thức Moivre : Nếu z  r.ei thì zn  r n .ein 14) Tính theo Moivre : 10 a) 1  i  5 1  i b) 3 1  i 20  1  3i  c)   1 i     6   8 d) 1  i  1  i 3 15) Chứng minh các đẳng thức : n n n   n a) 1  i   2 2  cos  isin  4 4  14 n n   n   b) 3  i  2n  cos  isin  6 6  Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
  15. 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 16) Tìm căn bậc 3 của s ố: a  2  2i 3 17) Tìm nghiệm c ủa đa thức z 6  2z 3  1: 18) Giải phương trình trong C : a) z 2  2z  5  0 b)4 z 2  2z  1  0 c) z2   2i  3  z  5  i  0 d)z3  1  0 4 4 e)  z  1  16 f )  z  1  16 19) Tìm tất cả các nghiệm của P(z)  z 4  6z3  9z 2  100 biết z  1  2i là một nghiệm . 15 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn
Đồng bộ tài khoản