Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
303
lượt xem
62
download

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cô-si', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức Cô-si

  1. Ch n đi m rơi trong B t Đ ng Th c Cô-Si Trong khi h c Bàn v ki n th c v m ng b t đ ng th c thì b t đ ng th c Cô-Si là m t trong nh ng b t đ ng th c cơ b n nh t .Tuy nhiên trong khi gi i bài t p đ dùng đư c b t đ ng th c này m t cách linh ho t hơn thì ta ph i dùng đ n m t phương pháp g i là phương pháp ch n đi m rơi trong b t đ ng th c Cô-Si. Khi áp d ng bđt côsi trong các bài toán tìm c c tr thì vi c l a ch n tham s đ t i đó d u = x y ra là đi u quan tr ng và khó khăn nh t. Đôi lúc trong các bài toán khi các bi n b gi i h n b i m t đi u ki n nào đó thì khi áp d ng tr c ti p s d n đ n nhi u sai l m. Vì th trong chuyên m c nh này tôi mu n trình bày nh ng phương pháp c th đ b n có th tìm đư c tham s phù h p. Bài toán 1: Cho các s dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá tr nh nh t: a. b. c. d. Gi i: a.Bài này khá đơn gi n ch c b n nào cũng đ u bi t nó. Tuy nhiên dùng bài này minh h a cho vi c l a ch n tham s theo mình là phù h p nh t. Vì vai trò các bi n x,y,z là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra t i x=y=z=1/3. Nên ta có như sau: (d u = x y ra khi ) Như v y ta áp d ng như sau: c ng d n l i r i suy ra. b. Như bài trên mình đã nói lên m t ý tư ng là thêm vào các bi t s ph như ch ng h n. Và phương pháp thêm này nói chung r t hi u qu và tri t đ cho các bài toán d ng này. Ta th y vai trò c a x,y là như nhau nên ta có th d đoán đư c d u = x y ra x=y. Ta c n ch n các bi t s ph sao: (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi ) (d u = x y ra khi ) Và m c đích c a các bi t s ph sao cho khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z. Nên ta có suy ra: (*) Đ ng th i v i các đi u ki n d u b ng và (*) các b n s tìm đư c các bi t s ph như ý mu n.
  2. c.Đ th y thêm s hi u qu thì câu c đi u ki n các tham s đó kô ràng bu c. Ta ch n các bi t s ph sao cho: (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i ) (d u = x y ra t i ) Và m c đích c a các bi t s ph khi ta c ng d n l i ch xu t hi n x+y+z V y ta suy ra d dàng: (*) Đ ng th i v i d u = x y ra và đk (*) b n có th tìm đư c bi t s . d.Sang câu d đây là m t d ng t ng quát c a bài toán này. Tuy nhiên khi gi i mà làm theo các bư c trên thì th t là khó ch i và m t th i gian nhi u. Nay mình xin nói thêm đây là m t cách r t hay ch c n 1 hay 2 dòng là ra các bi t s ph li n. Tuy nhiên các b n ph i hi u rõ các cách trên vì đây ch là m t cách suy ra t pp trên mà thôi. như v y b n ch c n rút x,y,z theo r i th vào đi u ki n là có th ra đư c đi m rơi. Ngoài ra v i bài toán trên nó kô ch gi i h n m c đ nh đó đâu mà nó còn nâng lên b c cao m,n,k c a x,y,z b t kì c ng v i đi u ki n có th t ng quát hơn: . Mà cách gi i v n không m y thay đ i (tuy nhiên đ u là s nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các s dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá tr l n nh t: a. b. c. d. Gi i: Nh ng bài này chúng ta cũng s và có chung m t hương đi gi i quy t đó: a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các s s tìm đư c) Ta có: d u = x y ra khi: Suy ra: Và m c đích c a các bi t s này là có th đưa v d ng xy+yz+zx. Nên khi đó: Như v y ta đư c h phương trình sau: abd=cef a+b=1 c+d=1 e+f=2
  3. H trên 6 phương trình tương ng v i 6 n s các b n hoàn toàn có th gi i đư c có đi u hơi dài. Tuy nhiên trong trư ng h p bài toán a,b,c chúng ta th y r ng các bi n x,y có tính đ i x ng nay nên vi c phân tích s đơn gi n hơn th này a=c, b=d, e=f. Như v y thì đơn gi n hơn đúng không? Còn trư ng h p bài cu i cùng khá t ng quát thì vi c gi i nó s khó khăn đôi chút. Nhưng có m t phương pháp r t hay và m i: Xét bi u th c: V i Như v y ta đư c h phương trình b c 3 theo trong đó là nghi m dương nh nh t. T đây b n có th tính ra suy ra giá tr nh nh t c a bi u th c mà kô c n ph i gi i a,b,c,d,e,f. Bài toán 3: Cho x,y,z là các s dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá tr l n nh t c a: V i các d ng bài này thì phương pháp cũng tương t nhau nên dành cho các b n v y! Xem như đây là m t bài luy n t p Ngoài ra đôi lúc trong vi c tìm c c tr c a bài toán không ph i là ta nhìn đã th y đư c đó là đi m rơi trong côsi mà nó còn k t h p v i phương pháp khác như đ ng nh t th c, đ o hàm, v.v... Và chính đi u này nó làm tăng thêm ph n hay và đ p c a đi m rơi trong Cô-Si.Qua bài vi t này mong các b n s hi u rõ hơn v b t đ ng th c Cô-Si. K thu t ch n đi m rơi trong các bài toán BĐT và c c tr Th i gian qua mình đã nh n đư c nhi u yêu c u c a các b n hư ng d n cách làm bài t p v BĐT và c c tr .Đây cũng là m ng ki n th c sâu r ng và tương đ i khó.Bài vi t này s hư ng d n các b n nh ng hư ng suy nghĩ và gi i quy t các bài t p d ng này thông qua PP ch n "đi m rơi"-t c là nh ng đi m ta d đoán đư c đ t đó có hư ng gi i quy t phù h p nh t. Ký hi u sqrt là căn b c 2 và cbb là căn b c 3 Ta hãy b t đ u t 1 bài toán đơn gi n: Bài 1: Cho .Tìm Min c a: Gi i: Rõ ràng ko th áp d ng Cosi ngay đ vì d u = x y ra khi a=1, mâu thu n v i đk Ta d đoán t đ bài r ng P s nh nh t khi a=3 và đây chính là "đi m rơi" c a bài toán.Khi a=3 thì và
  4. Ta áp d ng Cosi như sau: ta có Khi đó k t h p v i đk ta có D th y khi a=3 thì .V y khi a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Gi i: D đoán d u đ ng th c x yra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp d ng Cosi như sau: Tương t cho 2 BĐT còn l i.Khi đó ta có .Ti p t c áp d ng Cosi cho 3 s ta có .Thay vào ta có Bài 3: Cho 3 s dương x,y,z tho mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Gi i: Đ u tiên ta th y trong căn có d ng nên nghĩ ngay đ n s d ng Bunhi d ng . đây d th y .V y còn a và b.Ta s s d ng PP "đi m rơi". Ta hãy c vi t và d u "=" đ t đư c khi .Ta chú ý ti p đk x+y+z=1 và "d đoán" d u = x y ra bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta đư c ngay: Tương t cho y và z.Cu i cùng ta s có 1 bài toán đơn gi n hơn r t nhi u và ch là TH đ c bi t c a bài toán 1. Cu i cùng là 1 bài toán mình xin dành l i gi i cho các b n: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P= + +

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản