KỸ THUẬT GIẢI BÀI TẬP MŨ - LOGARIT

Chia sẻ: anhkhoa_lpt

Tài liệu tham khảo luyện thi đại học - kỹ thuật giải bài tập mũ - logarit rất hay để các bạn ôn tập được tốt hơn.

Nội dung Text: KỸ THUẬT GIẢI BÀI TẬP MŨ - LOGARIT

www.VNMATH.com
Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số mũ
I.
• y=ax; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 01 00; m, n∈R ta có:
an 1 1
− −
= a n − m ;( n =a m ; a0=1; a 1= );
anam =an+m; m
a
a
a
n
an
a m
  = m;
nm nm n nn
( a ) =a ; (ab) =a b ; a n = n am .
b b
2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00)
Với 00; 0 0] .
+logaf(x)= logag(x)⇔ f ( x ) > 0

+logaf(x)=g(x)⇔ 
 f ( x) = a
g( x)
 f ( x) = g ( x)

Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ:
a > 0 a > 0
 af(x)>ag(x) ⇔  af(x)≥ ag(x) ⇔
 
; .
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0
Đặt biệt:
af(x)>ag(x)⇔
* Nếu a>1 thì: f(x)>g(x);
a ≥a ⇔ f(x)≥g(x).
f(x) g(x)

⇔ f(x)< g(x);
* Nếu 0logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 logaf(x)≥logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0
 
; .
( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0] ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]
 
Đặt biệt:
 f ( x) > g ( x)
⇔ 
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ;
g( x) > 0
 f ( x) < g( x)
⇔ 
+ Nếu 0 0


*
* *


www.VNMATH.com 2
Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com
Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit




MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
( )
− 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 .
2 2 2
+x −x −x
− 4.2 x − 22 x + 4 = 0 ⇔ 2 x
x
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành
( )
− 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
2
−x
x
tích: 2

( )
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log3 x.log 3
2
2x + 1 − 1 .
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
log 3 x − 2 log 3 2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
 
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đ ược thì ta bi ến
đổi thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2 x . Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2 x + 6 = 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
2


t 2 + ( x − 5 ) t − 2 x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x ⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v .
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có
nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃c ∈ ( a; b ) :
F ( b) − F ( a )
F ' ( c) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
b−a
∃c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) = 0 ⇔ F ' ( x ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai
nghiệm thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 2.3log2 x = 3 .
Hướng dẫn: x + 2.3log2 x = 3 ⇔ 2.3log 2 x = 3 − x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên
phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x + 2 x = 5 x + 3x . Phương trình tương đương 6 x − 5 x = 3x − 2 x , giả sử
phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5 α = 3α − 2 α .
Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t α , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c ∈ ( 2;5 )
α

α −1
sao cho: f ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1) − cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
'
 
 
phương trình.


www.VNMATH.com 3
Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com
Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

2
−x
+ 2 x −1 = ( x − 1) 2 . Viết lại phương trình dưới dạng
Ví dụ 3: Giải phương trình: −2 x
+ x 2 − x , xét hàm số f ( t ) = 2 + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình
t
2
2 x −1 + x − 1 = 2 x −x


được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − 1 = x − x ⇔ x = 1 .
2 2


Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2 x = 3 x + 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng
minh không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
phương trình không có quá hai nghiệm.
x y
e = 2007 −
y −1
2

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình  có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
x
e y = 2007 −
 x2 − 1

x
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x ) = e + − 2007 .
x

x2 − 1
Nếu x < −1 thì f ( x ) < e − 2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
−1

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
b a
 2a + 1  ≤  2b + 1  (ĐH Khối D−2007)
Ví dụ 6: Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng  ÷ ÷
 2a   2b 
1 1
ln  2 a + a  ln  2b + b 

 ÷ ÷
2  . Xét hàm số
1 1
HD: BĐT  2 
⇔ b ln  2 a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔ ≤
 ÷  ÷ a b
 2  2
1
ln  2 x + x 
 ÷
2  với x > 0

f ( x) =
x
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0 ta có f (a ) ≤ f ( b ) (Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương
trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log 7 x = log3 ( x + 2) . Đặt t = log 7 x ⇒ x = 7t Khi đó phương trình trở thành:
t t
 7 1
+ 2.   .
t = log 3 ( 7t + 2) ⇔ 3t =7t + 2 ⇔ 1 =  3÷
3÷ 
 
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
( x2 − 2 x − 3 ) .
Ví dụ 1: Giải phương trình log 4 6 ( x 2 − 2 x − 2) = 2 log 5

Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6 ( t + 1) = log5 t .

( )
log x
Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x + 3 6 = log 6 x . Đặt t = log 6 x , phương trình tương đương
t
3
6t + 3t = 2t ⇔ 3t +  ÷ = 1 .
2
log b ( x +c )
3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c )
=x
a

Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7 ( x +3) = x . Đặt t = log 7 ( x + 3) ⇒ 7t = x + 3 , phương trình tương
t t
đương 4t = 7t − 3 ⇔   + 3.   = 1 .
4 1
÷ ÷
7 7
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3 ( x + 5 ) = x + 4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 ( t +1) = t
Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 ( x +1) − ( x − 1) 2log3 ( x +1) − x = 0 .
( dx +e ) +α +β , với d = ac + α , e = bc + β
4. Dạng 4: s ax + =c log s
b
x



www.VNMATH.com 4
Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com
Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit


Phương pháp: Đặt ay + b = log s (dx + e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ
phương trình một ta được: s ax +b + acx = s ay +b + acy . Xét f ( t ) = s at +b + act .
Ví dụ: Giải phương trình 7 x −1 = 6 log 7 (6 x − 5) + 1 . Đặt y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) . Khi đó chuyển thành hệ
7 x −1 = 6 ( y − 1) + 1  x −1
7 = 6 y − 5

⇒ 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f ( t ) = 7t −1 + 6t suy ra x=y, Khi
⇔  y −1

 y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) 7 = 6 x − 5


đó: 7 x −1 − 6 x + 5 = 0 . Xét hàm số g ( x ) = 7 x −1 − 6 x + 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
2x
8 18
+x = x −1 1− x
Ví dụ: Giải phương trình x −1
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
8 1 18
+ 1− x = x −1 1− x , đặt u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1.u, v > 0 .
HD: Viết phương trình dưới dạng x −1
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
8 1 18
+=
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:  u v u + v
u.v = u + v

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) − 4 = 0
x x




( ) +( )
x x
2− 3 2+ 3 =4
b.

c. ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0
x x



d. ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x +3
x x




( )( )
x x
2 −1 + 2 + 1 − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
e.
f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
2 2
g. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
ĐS: x=−1, x=2.
2 2
k. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003)
i. 3.16 x + 2.8 x = 5.32 x
1 1 1
j. 2.4 x + 6 x = 9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
5 x + y = 125
 4 x + y = 128
 
a.  3 x −2 y −3 b.  2
 4( x − y ) −1 = 1
=1
5
 
 2 x + 2 y = 12

c. 
x + y = 5

log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)
d.  2 2
3x − xy + y = 81

 x −1 + 2 − y =1

(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
e. 
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
2 3

 1
log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
f.  4
 x 2 + y 2 = 25


www.VNMATH.com 5
Thái Thanh Tùng
www.VNMATH.com
Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit


 23 x = 5 y 2 − 4 y

(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
g.  4 x + 2 x +1
=y
x
 2 +2
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a . ( m − 2 ) .2 x + m.2− x + m = 0 . b . m.3x + m.3− x = 8 .
Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
2 2


a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3  .
3
 
ĐS: a. x = 3± 3 , b. 0 ≤ m ≤ 2

( ) 16
x −1
− m. 2 x + 1 > 0
Bài 5: Cho bất phương trình 4 a. Giải bất phương trình khi m= .
9
b. Định m để bất phương trình thỏa ∀x ∈ R .
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) b. log5 x + log 25 x = log 0,2 3

( ) x+3
2
d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg
c. log x 2 x − 5 x + 4 = 2 =0
x −1
e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
f. log 2 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
2

1
g. log 2 ( 4 + 15.2 + 27 ) + 2 log 2 =0
x x
(ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23.
4.2 − 3
x

Bài 7: Giải bất phương trình:
a. 2 log3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) ≤ 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3.
3

 x2 + x 
÷< 0
b. log 0,7  log 6 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8.
x+4 

c. log 5 ( 4 + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 + 1)
x−2
x
(ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
x − 3x + 2
2

)(
(ĐH_Khối D 2008) ĐS:  2 − 2;1 U 2; 2 + 2  .
≥0
d. log 1  
x
2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−




www.VNMATH.com 6
Thái Thanh Tùng
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản