Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Quá trình phân nhánh và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> NGUYỄN THỊ THU<br /> <br /> QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH<br /> VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> HÀ NỘI - 2017<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> NGUYỄN THỊ THU<br /> <br /> QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH<br /> VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> Chuyên ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học<br /> Mã số:<br /> <br /> 60 46 01 06<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> TS. TẠ NGỌC ÁNH<br /> <br /> HÀ NỘI - 2017<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 Quá trình Galton-Watson<br /> 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2 Mômen . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh . .<br /> 1.4 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . .<br /> 1.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . .<br /> 1.5.1 Các định lý về tỉ lệ . . . .<br /> 1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn .<br /> 1.5.3 Trường hợp tới hạn . . . .<br /> 1.5.4 Trường hợp siêu tới hạn . .<br /> 1.5.5 Tính chất cấp 2 của Zn /mn<br /> 1.6 Quá trình Q . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 2 Quá trình phân nhánh Markov thời gian liên<br /> 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2 Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3 Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.4 Xác suất tuyệt chủng và mômen . . . . . . .<br /> 2.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.6 Nhúng vào quá trình Galton - Watson . . . .<br /> 2.7 Định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.7.1 Trường hợp trên tới hạn λ > 0 . . . .<br /> 2.7.2 Trường hợp tới hạn λ = 0 . . . . . . .<br /> 2.7.3 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . .<br /> 1<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> tục<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 5<br /> 6<br /> 8<br /> 10<br /> 13<br /> 14<br /> 16<br /> 19<br /> 21<br /> 23<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 26<br /> 26<br /> 27<br /> 29<br /> 30<br /> 32<br /> 33<br /> 35<br /> 35<br /> 36<br /> 38<br /> <br /> 3 Quá trình phụ thuộc tuổi<br /> 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.2 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.3 Mômen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.4 Tiệm cận của F (s, t) . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.4.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.4.2 Không tới hạn : trường hợp Malthusian . .<br /> 3.4.3 Không tới hạn: trường hợp sub-exponential<br /> 3.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.5.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . .<br /> 3.5.2 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . . . . .<br /> 3.5.3 Trường hợp trên tới hạn . . . . . . . . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 4 Ứng dụng<br /> 4.1 Chuỗi phản ứng PCR và quá trình phân nhánh . . . .<br /> 4.1.1 Cơ chế hoạt động của PCR . . . . . . . . . . .<br /> 4.1.2 Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 4.1.3 Ước lượng thống kê của tỉ lệ đột biến . . . . .<br /> 4.2 Khuếch đại gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 4.2.1 Khuếch đại gen và kháng thuốc . . . . . . . . .<br /> 4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mô hình khuếch<br /> và suy giảm gen . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 4.2.3 Mô hình toán học của mất sức đề kháng . . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> . .<br /> đại<br /> . .<br /> . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 39<br /> 39<br /> 41<br /> 43<br /> 44<br /> 44<br /> 45<br /> 46<br /> 46<br /> 46<br /> 47<br /> 48<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 50<br /> 50<br /> 50<br /> 51<br /> 52<br /> 53<br /> 53<br /> <br /> . 54<br /> . 55<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 56<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 57<br /> <br /> 2<br /> <br /> Mở đầu<br /> Quá trình phân nhánh là một quá trình ngẫu nhiên mô tả sự phát triển<br /> của một quần thể. Các cá thể sinh sản và chết đi độc lập với nhau theo<br /> một số phân bố xác suất nào đó.<br /> Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng trong sinh học quần thể, sinh<br /> học phân tử, sinh y, dân số học,...<br /> Có nhiều kiểu quá trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quá<br /> trình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, quá trình<br /> phụ thuộc tuổi, quá trình Bellman - Harris). Nhưng trong khuôn khổ luận<br /> văn em trình bày ba quá trình phân nhánh cơ bản là: quá trình Galton Watson, quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi và một số ứng dụng<br /> đơn giản của quá trình phân nhánh.<br /> Luận văn “Quá trình phân nhánh và ứng dụng” gồm: Mở đầu, bốn<br /> chương nội dụng, kết luận và tài liệu tham khảo.<br /> Em xin cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,<br /> Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia<br /> Hà Nội, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lý<br /> thuyết xác suất và thống kê toán học, khóa học 2013 - 2015 đã giúp đỡ em<br /> trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn TS. Tạ<br /> Ngọc Ánh người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành luận văn thạc sĩ<br /> này.<br /> Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2016<br /> Học viên<br /> <br /> Nguyễn Thị Thu<br /> 3<br /> <br />