Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn gồm hai nội dung chính đó là CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn; một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn. Đây là tài liệu hữu ích phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hoàng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hoàng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Mỵ Vinh Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dành nhiều thời gian và công sức tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy PGS.TS. Trần Tuấn Nam, TS. Trần Huyên, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, PGS.TS. Bùi Tường Trí và quý thầy cô khoa Toán đã giảng dạy cho tôi những kiến thức cơ bản về Đại số và Giải tích để từ đó tôi có thể tự đọc thêm kiến thức và hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý Thầy Cô đã giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này. Và để có được kết quả như ngày hôm nay, tôi đã nhận được những lời động viên, đóng góp ý kiến của bạn bè và người thân. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu dùng trong luận văn MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................2 Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN ..........................15 2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn .......................................................15 2.2. Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn. ...................................24 KẾT LUẬN ..............................................................................................................41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................42
BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN H ≤G H là nhóm con của G H < ⋅G H là nhóm con tối đại của G H
1 MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Bài toán cơ bản của lí thuyết nhóm là mô tả cấu trúc các nhóm với sự chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên thực tế, việc mô tả cấu trúc các nhóm là không thể, chính vì thế mà lí thuyết nhóm vẫn còn được tiếp tục nghiên cứu. Năm 1993, L.M. Ezquerro đã đưa ra một số tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn G là p-siêu giải được và siêu giải được dựa trên giả thiết tất cả các nhóm con tối đại của nhóm con Sylow của G có các tính chất phủ và né. Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết quả của bài báo: “ Cover-avoidance properties and the structure of finite groups” của Guo Xiuyun và K.P. Shum, tôi sẽ trình bày một vài tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn giải được dựa trên giả thiết một số nhóm con tối đại hoặc 2-nhóm con tối đại của nó có tính chất phủ và né. Mục tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của các nhóm con có tính chất phủ - né và những ảnh hưởng của nó lên cấu trúc của một nhóm hữu hạn. Đặc biệt, là nghiên cứu các nhóm con có tính chất phủ và né trong sự liên hệ với tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn. Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, ta sẽ định nghĩa các khái niệm cơ bản như các nhóm con đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,... và chứng minh một số kết quả quan trọng sẽ được sử dụng trong việc chứng minh các định lí ở chương 2. Trong chương 2, ta sẽ định nghĩa CAP-nhóm con của một nhóm và tìm hiểu vài tính chất của nó để thấy sự liên hệ giữa các nhóm con có tính chất phủ và né với tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn. Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại, nhóm con tối tiểu Cho G là nhóm, L < G i) Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại L gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại M < G sao cho L < M < G . Kí hiệu L < ⋅ G . K gọi là 2-nhóm con tối đại của G nếu K là nhóm con tối đại của L. ii) Nhóm con tối tiểu L gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu L ≠ 1 và không tồn tại N < G sao cho 1< N < L. 1.2. Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc tối đại, tối tiểu Cho G là nhóm, N  G . Khi đó: N gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu không tồn tại M  G sao cho N
3 1.4.1. Định nghĩa Nhóm con Frattini của nhóm G được định nghĩa là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G và được kí hiệu là Φ (G ) . Nếu nhóm G không có nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ (G ) = G. 1.4.2. Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó, Φ (G ) char G, do đó Φ (G )  G . 1.5. Chuẩn hóa tử, tâm hóa tử, lõi Cho G là nhóm, K ≤ G . Khi đó, ta định nghĩa: i) Với mọi g ∈ G , nhóm con K g = g −1 Kg gọi là nhóm con liên hợp của K trong G. ii) { N G ( K ) =∈ g G Kg = } K gọi là chuẩn hóa tử của K trong G. iii) CG ( K ) = {g ∈ G gk = kg , ∀k ∈ K } gọi là tâm hóa tử của K trong G. iv) Z(G ) = CG (G ) = {g ∈ G xg = gx, ∀x ∈ G} gọi là tâm giao hoán của G. v) KG = ∩ K g gọi là lõi của K trong G. g∈G 1.6. Định lí Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu K  G và P là p-nhóm con Sylow của K thì G = KN G ( P ) [6, Định lí 5.2.14, trang 136]. 1.7. Nhóm con đặc trưng 1.7.1. Định nghĩa
4 Cho G là nhóm, K ≤ G , K gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu α ( K ) = K với mọi α ∈ Aut(G ) , kí hiệu K char G . 1.7.2. Định lí i) Nếu H char G thì H  G . ii) Với mọi α ∈ Aut(G ), α ( H ) ≤ H thì H char G. iii) Nếu K char H và H  G thì K  G [1, Mệnh đề 8.2, trang 35]. 1.8. Nhóm con dẫn xuất Cho G là một nhóm và với mỗi x, y ∈ G , kí hiệu [ x, y ] = x −1 y −1 xy . Khi đó, [ x, y ] được gọi là hoán tử của x và y. Nhóm con sinh bởi tập các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G và được kí hiệu là G ' . 1.9. Định lí i) G ' là nhóm con chuẩn tắc của G. ii) G ' là nhóm con nhỏ nhất sao cho G G ' là nhóm Abel iii) G ' là nhóm con đặc trưng của G [1, Định lí 2.16 trang 19]. 1.10. Định nghĩa phần bù Cho G là nhóm và H , K ≤ G . K được gọi là phần bù của H trong G nếu G = HK và H ∩ K = 1. 1.11. Định lí Sylow 1.11.1. Định nghĩa nhóm con Sylow Cho G là nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố. Khi đó, ta định nghĩa: i) G được gọi là p- nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p.
5 ii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm. iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.11.2. Định lí Sylow = Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn, G p= a m, ( m, p ) 1 . Khi đó: i) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G. Đặc biệt, vì 1 là một p-nhóm con nên các p-nhóm con Sylow luôn tồn tại. ii) Nếu n p là số các p-nhóm con Sylow thì n p ≡ 1 mod p . iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. 1.11.3. Định lí Cho P là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G. i) Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G thì H = N G ( H ) . ii) Nếu N  G thì P ∩ N là một p-nhóm con Sylow của N và PN N là một p- nhóm con Sylow của G N [6, Định lí 1.6.18, trang 41]. 1.11.4. Định lí Cho G là p-nhóm không tầm thường và H < G . Khi đó, H < N G ( H ) . Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Giả sử G là nhóm có cấp nhỏ nhất không thỏa mãn mệnh đề. Vì H < G và Z(G ) ≠ 1 nên H  HZ(G ) .
6 Nếu Z(G ) ≤ H thì H < HZ(G ) ≤ N G ( H ) . Do đó, ta giả sử Z(G ) ≤ H . Khi đó, H Z(G ) là nhóm con thực của G Z(G ) . Theo giả thiết qui nạp, ta có H Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G )) . Gọi K là nhóm con của G chứa H sao cho K Z(G ) = N G Z( G ) ( H Z(G )) . Vì H Z(G )  K Z(G ) nên H  K . Suy ra, H < K ≤ N G ( H ) . 1.11.5. Định lí Cauchy Cho G là một nhóm, nếu một số nguyên tố p chia hết cấp của G thì G có chứa một phần tử cấp p. Chứng minh Giả sử G = p a m , trong đó ( m, p ) = 1 . Theo định lí Sylow tồn tại p-nhóm con cấp p của G và do đó nhóm này là nhóm cyclic sinh bởi phần tử cấp p. 1.12. Nhóm giải được Cho G là nhóm . Dãy các nhóm con của G là một họ các nhóm con {N i }n như sau: 1 = N 0 ≤ N1 ≤ ... ≤ N n = G (1) • Nếu N i  N i +1= với i 0,1,..., n − 1 thì dãy (1) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và được = viết lại là 1 N= 0  N 1  ...  N n G . Khi đó, mỗi N i +1 N i được gọi là nhân tử của dãy. • Nếu nhân tử N i +1 N i là nhóm đơn thì N i +1 N i được gọi là nhân tử hợp thành của G. • Nếu nhân tử N i +1 N i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu G N i thì N i +1 N i được gọi là nhân tử chính của G. 1.12.1. Định nghĩa
7 Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy chuẩn tắc =1 N= 0  N 1  ...  N n G sao cho N i +1 N i là nhóm Abel= với i 0,1,..., n − 1 . Khi đó, dãy trên được gọi là dãy Abel của G. Độ dài dãy Abel ngắn nhất trong G gọi là độ dài dẫn xuất trong G. 1.12.2. Định lí Cho G là nhóm giải được, H là nhóm con của G. Khi đó: i) H là nhóm giải được. ii) Nếu H  G thì G H là nhóm giải được [1, Định lí 8.12, trang 39]. 1.12.3. Hệ quả Hai nhóm H và K đều giải được khi và chỉ khi H × K giải được. 1.12.4. Định lí Mọi p-nhóm G hữu hạn đều giải được [1, Định lí 8.14, trang 40]. 1.12.5. Định lí Cho G là nhóm hữu hạn giải được. Khi đó mọi nhân tử hợp thành của G có cấp là số nguyên tố [6, Định lí 5.4.3 trang 148]. 1.13. Định nghĩa p-nhóm Abel sơ cấp Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó, G được gọi là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu G là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p. Do đó N là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu N là nhóm Abel thỏa điều kiện x p = 1, ∀x ∈ N . 1.14. Định lí
8 Nếu G là nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là p-nhóm con Abel sơ cấp [1, Định lí 11.3, trang 53]. 1.15. Nhóm con Hall, p-nhóm con chuẩn tắc tối đại Cho π là tập không rỗng các số nguyên tố và π ' là phần bù của π trong tập tất cả các số nguyên tố. • Một số nguyên dương n được gọi là một π -số nếu các ước nguyên tố của n thuộc π . • Một phần tử của G được gọi là π -phần tử nếu cấp của g là một π -số. • Một nhóm G được gọi là một π -nhóm nếu mọi phần tử của G đều là π -phần tử. Trường hợp đặc biệt, khi p = { p} thì π -nhóm chính là p-nhóm. • Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là một π -nhóm con Hall của G nếu H là một π -nhóm và G : H là một π ' -số. Trong một nhóm G hữu hạn bất kì, H là một nhóm con Hall của G nếu và chỉ nếu ( G : H , H ) = 1 . Hơn nữa, p-nhóm con Sylow của G là một trường hợp đặc biệt của π -nhóm con Hall khi π chỉ chứa một số nguyên tố p. Trong nhóm G hữu hạn bất kì, giả sử H và K là các π -nhóm con, K  G . Khi đó H ∩ K và HK K là các π -nhóm. Do đó HK là π -nhóm. Vì vậy nhóm con sinh bởi tất cả các π -nhóm con chuẩn tắc của G là π -nhóm. Đây là π -nhóm con chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G, kí hiệu: Οπ (G ) Trường hợp đặc biệt π chỉ chứa một số nguyên tố p, Ο p (G ) là p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G. 1.16. p-giải được, p-lũy linh, p-phần bù chuẩn tắc, p-đóng, nhóm con Thompson
9 1.16.1. Định nghĩa Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố. Ta định nghĩa: i) G được gọi là nhóm p-giải được nếu mọi nhân tử hợp thành của G hoặc là p- nhóm hoặc là p ' -nhóm. ii) Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Nhóm G được gọi là nhóm p-lũy linh nếu trong G có nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = PN và P ∩ N = 1. Khi đó N được gọi là p-phần bù chuẩn tắc của G. iii) Nhóm G được gọi là p-đóng nếu nó có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. iv) Với p-nhóm P bất kì, ta kí hiệu A( P ) là tập các nhóm con Abel của P có cấp tối đại. Khi đó ta định nghĩa J= ( P) A A ∈ A( P ) J ( P ) được gọi là nhóm con Thompson của P. 1.16.2. Định lí (Glauberman - Thompson) Cho P là p-nhóm con Sylow của nhóm G hữu hạn, trong đó p là một số nguyên tố lẻ. Nếu N G (Z( J ( P ))) có một p-phần bù chuẩn tắc thì G cũng có một p- phần bù chuẩn tắc [4, Định lí 8.3.1, trang 280]. 1.16.3. Định lí Cho số nguyên tố p. Nếu một p-nhóm con Sylow P của nhóm hữu hạn G nằm trong tâm chuẩn hóa tử của nó thì G là p-lũy linh [6, Định lí 10.1.8, trang 289]. 1.16.4. Định lí Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G. Giả sử G không là nhóm p-lũy linh. Khi đó các p-nhóm con Sylow của G không là nhóm cyclic. Hơn nữa, G chia hết cho p 3 hoặc 12 [6, Định lí 10.1.9, trang 289].
10 1.17. Nhóm lũy linh 1.17.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, tức là G có một dãy các nhóm con chuẩn = tắc 1 G= 0  G1  ...  Gn G sao cho Gi +1 Gi ≤ Z ( G Gi ) , ∀= i 0, n − 1 . Nhận xét: Mọi nhóm Abel đều là nhóm lũy linh 1.17.2. Định lí Mọi nhóm lũy linh đều giải được [1, Mệnh đề 9.14, trang 45]. 1.17.3. Định lí Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh. 1.17.4. Định lí Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó: i) Nếu M ≤ G thì M là nhóm lũy linh. ii) Nếu M  G thì G M là nhóm lũy linh. iii) Nếu M và N là hai nhóm lũy linh thì M × N là nhóm lũy linh. 1.17.5. Định lí Giả sử mọi nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh nhưng G không lũy linh. Khi đó: i) G là nhóm giải được. ii) G = p m q n trong đó p và q là hai số nguyên tố khác nhau.
11 iii) Có một p-nhóm con Sylow P duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm cyclic. Do đó G = QP và P  G [6, Định lí 9.1.9, trang 258]. 1.17.6. Định lí Cho nhóm hữu hạn G không là p-lũy linh nhưng các nhóm con tối đại của G là các nhóm p-lũy linh. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P sao cho G : P là lũy thừa số nguyên tố q ≠ p . Hơn nữa mọi nhóm con tối đại của G là nhóm lũy linh [6, Định lí 10.3.3, trang 296]. 1.17.7. Định lí Nếu nhóm hữu hạn G có một nhóm con tối đại lũy linh M có cấp lẻ thì G là nhóm giải được [6, Định lí 10.4.2, trang 303]. 1.17.8. Định lí Giả sử nhóm hữu hạn G là nhóm không giải được có một nhóm con tối đại lũy linh M. Gọi T là 2-nhóm con Sylow duy nhất của M và U là 2-phần bù duy nhất của M. Khi đó U  G , Z(U ) ≤ Z(G ), G Z(U ) ≅ G U × U Z(U ) và G U là nhóm không giải được nhưng các 2-nhóm con Sylow của G U là các nhóm con tối đại. Đăc biệt, nếu Z(G ) = 1 thì M là 2-nhóm con Sylow của G [7, Định lí 1, trang 183]. 1.17.9. Định lí Cho H là nhóm con tối đại của nhóm G. H là nhóm lũy linh và các 2-nhóm con Sylow của H có lớp ≤ 2 . Khi đó, G là nhóm giải được. 1.17.10. Định lí Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ (G ) là nhóm con lũy linh của G. 1.18. Nhóm con X-bất biến, nhóm con nguyên thủy 1.18.1. Định nghĩa
12 Cho G và X là hai nhóm. Khi đó ta định nghĩa: i) Nhóm con U của G là X-bất biến nếu với mọi x ∈ X : U x =: {u x u ∈ U }= U ii) Nhóm con M của G là nhóm con nguyên thủy nếu M thỏa điều kiện: 1≠ N  M ⇒ M = NG ( N ) 1.18.2. Định lí Cho M là nhóm con nguyên thủy, p ∈ p ( M ) và N  G . Giả sử M ∩ N = 1 và Ο p ( M ) ≠ 1 . Khi đó: a) p ∈ p (N ) b) Với mọi q ∈ π ( N ) tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow M-bất biến của N. c) Nếu π ( N ) ≥ 2 thì M không là nhóm con tối đại của G. 1.19. Định lí Nếu G là nhóm hữu hạn, lũy linh thì mọi nhóm Sylow chuẩn tắc trong G. Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Cho G là nhóm lũy linh và H < G . Khi đó H < N G ( H ) . Thật vậy: Vì G là nhóm lũy linh nên Z(G ) ≤ N G ( H ) • Nếu Z(G ) ≤/ H thì H < HZ(G ) ≤ N G ( H ) .
13 • Nếu Z(G ) ≤ H thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Xét nhóm thương G Z(G ) . Theo giả thiết qui nạp: H Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G ) ) Gọi K là nhóm con của G sao cho K Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G ) ) . Vì H Z(G )  K Z(G ) nên H  K . Suy ra H < K ≤ N G ( H ) . Bây giờ ta chứng minh định lí Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Với mọi g ∈ N G ( N G ( P ) ) ta có g −1 N G ( P ) g = N G ( P ). Mặt khác g −1 Pg là p-nhóm con Sylow của G và P  N G ( P ) Suy ra g −1 Pg ≤ g −1 N G ( P ) g = NG ( P) ⇒ g −1 Pg= P ⇒ g ∈ N G ( P ) ⇒ N G ( N G ( P )= ) NG ( P) Theo bổ đề trên ta có G = N G ( P ) . Vậy P  G . 1.20. Định lí Mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu K của nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp K = T1 × ... × Tm trong đó Ti (i = 1, m ) là các nhóm con đơn chuẩn tắc tối tiểu của K liên hợp trong G. Chứng minh Gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Khi đó, các nhóm liên hợp x −1Tx, ∀x ∈ G của T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K.
14 Chọn S = {T1 ,..., Tm } là tập tối đại các liên hợp của T thỏa mãn tính chất sau L := T1 ,..., Tm = T1 × ... × Tm  K . Gọi H là nhóm liên hợp của T trong G. Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Suy ra H ∩ L là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Do đó, hoặc H ≤ L hoặc H , L= HL= H × L . Nhưng do cách chọn S nên H ≤ L . Suy ra L chứa tất cả các nhóm liên hợp của T trong G. Vậy L  G . Vì 1 ≠ L ≤ K và K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên K = L = T1 × ... × Tm . Với mọi Ti (i = 1, m ) , Ti là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu trong T1 × ... × Tm nên Ti là nhóm đơn.
15 Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Trong luận văn này, ta chỉ xét các nhóm hữu hạn. 2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn 2.1.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, A ≤ G và H K là nhân tử chính của G . Ta nói: (1) A phủ H K nếu H ≤ KA hay HA = KA ; (2) A né H K nếu H ∩ A ≤ K hay H ∩ A = K ∩ A ; (3) A gọi là CAP- nhóm con của G nếu A hoặc là phủ hoặc là né mỗi nhân tử chính của G . Nhận xét: Cho G là nhóm, A ≤ G và H K là nhân tử chính của G. Khi đó, nếu A phủ H K thì A không né H K và ngược lại. Thật vậy, giả sử A phủ và né H K . Ta có HA = KA và H ∩ A = K ∩ A Mà H ≅ HA = KA ≅K nên H = K H∩A A A K∩A Điều này mâu thuẫn vì K < H 2.1.2. Ví dụ Cho G = S4 là nhóm đối xứng bậc 4. Khi đó, nhóm G chỉ có một dãy chuẩn tắc 1 ≤ V4 ≤ A4 ≤ G . Dễ thấy A4 , S3 , A3 , D8 là các CAP-nhóm con của G . 2.1.3. Tính chất Cho G là nhóm giải được i) Mọi nhóm con tối đại của G là các CAP-nhóm con của G .