Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô đun biểu diễn được

Chia sẻ: Dangthingocthuy Dangthingocthuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

0
4
lượt xem
0
download

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô đun biểu diễn được

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin, iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp; trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô đun biểu diễn được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> ------------------------------<br /> <br /> ĐỖ TRẦN MINH VŨ<br /> <br /> MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành Phố Hồ Chí Minh-2009<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R-mô đun. Với mỗi phần<br /> tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân<br /> phần tử x với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M = 0 và với<br /> mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó,<br /> <br /> (M ) = ρ<br /> <br /> là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mô đun<br /> con N của M được gọi là mô đun con ρ-nguyên sơ nếu mô đun thương<br /> M/ là ρ-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự<br /> N<br /> biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:<br /> N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn . Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu<br /> các mô đun con nguyên sơ Q1 , Q2 , ..., Qn thỏa các điều kiện :<br /> M/<br /> (1) Các iđêan nguyên tố<br /> Qi phân biệt.<br /> (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.<br /> Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô<br /> đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0 và<br /> với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó,<br /> <br /> (M ) = ρ<br /> <br /> là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Một<br /> biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô<br /> đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + ... + Nn . Biểu diễn thứ cấp được gọi là<br /> tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , ..., Nn thỏa các điều kiện :<br /> (1) Các iđêan nguyên tố<br /> <br /> (Ni ) phân biệt.<br /> <br /> (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại.<br /> Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được.<br /> Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó,<br /> được chia làm hai chương:<br /> Chương 1: Kiến thức chuẩn bị<br /> Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương<br /> sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin,<br /> iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp. Hầu<br /> <br /> hết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua.<br /> Chương 2: Mô đun biểu diễn được<br /> Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định<br /> nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun<br /> thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn<br /> được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của<br /> Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E.<br /> Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết<br /> ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt<br /> quá trình học tập và làm luận văn.<br /> Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại<br /> học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy,<br /> quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học<br /> tập.<br /> Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã<br /> giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.<br /> Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu<br /> sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm.<br /> TP. Hồ Chí Minh 12-2009<br /> Đỗ Trần Minh Vũ<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Iđêan nguyên tố liên kết yếu . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> Iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> Mô đun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.6<br /> <br /> Vành Nơ te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.7<br /> <br /> Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1.8<br /> <br /> Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 10<br /> <br /> 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC<br /> 2.1<br /> <br /> 12<br /> <br /> Mô đun biểu biễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2.1.1<br /> <br /> Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2.1.2<br /> <br /> Tính chất của mô đun biểu diễn được . . . . . . .<br /> <br /> 16<br /> <br /> 2.1.3<br /> <br /> Iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 30<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Mô đun con của mô đun biểu diễn được<br /> <br /> . . . . . . . . .<br /> <br /> 33<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> Tính biểu diễn được của mô đun Artin . . . . . . . . . .<br /> <br /> 41<br /> <br /> 2.4<br /> <br /> Tính biểu diễn được của Hom(M;E) . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 42<br /> <br /> Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 50<br /> <br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 51<br /> <br /> 1<br /> <br /> Chương 1<br /> CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 1.1<br /> <br /> Mô đun<br /> <br /> Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoán có đơn vị khác<br /> không.<br /> Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 = K ⊂ R. Ta<br /> định nghĩa:<br /> A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}<br /> KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K}<br /> Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A+A ⊂ A<br /> và RA ⊂ A.<br /> Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A ∩ B cũng là mô<br /> đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của<br /> M cũng là mô đun con của M.<br /> Cho S là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con<br /> của M chứa S được gọi là mô đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là .<br /> Cho A là mô đun con của M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M } là<br /> R- mô đun với các phép toán<br /> (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2 ) + A<br /> r. (m + A) = rm + A<br /> R-mô đun M/A được gọi là mô đun thương của M theo mô đun A.<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản