Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Đức MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè. Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ. Thầy đã hướng dẫn tôi từ khi làm luận văn Đại học, nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian học cao học và hoàn thành luận văn Thạc sĩ này Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về Đại Số cũng như kiến thức về học tập. Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số K21 cũng như các bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012 TRẦN MINH ĐỨC MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 3 1.1. Một số bổ đề và định nghĩa ................................................................................. 3 1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu ................................................................ 4 1.3. Dãy chính quy – độ sâu ....................................................................................... 5 1.4. Số chiều – hệ tham số .......................................................................................... 6 1.5 . Giới hạn thuận .................................................................................................... 7 1.6. Hàm tử dẫn xuất phải .......................................................................................... 9 1.7. Dãy phổ ............................................................................................................. 10 1.8. Môđun đối đồng điều địa phương ..................................................................... 13 Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN ......................................................................................................................... 16 2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ..................................... 16 2.2. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech............... 27 2.3. Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun đối đồng điều địa phương......................................................................................... 34 2.4. Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ................................................................................................... 38 KẾT LUẬN ................................................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44 1 MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan I. Trong cả luận văn này, ta giả thiết R là vành Nơte giao hoán và cho I, J là hai → iđêan của R. Ta định nghĩa được hàm tử (I, J)-xoắn Γ I , J : Mod R  Mod R là mở rộng của hàm tử I-xoắn Γ I . Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử Γ I , J (Bổ đề (2.1.3)), với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I , J chính là H Ii , J - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J). Một khái niệm quan trọng được xem xét trong luận văn chính là tập: W( I , J ) = ( R ) | I n ⊆ p+ J , n  1} {p ∈ Spec đây là tập hợp con của Spec( R) (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) chỉ ra rằng một R-môđun M là (I, J)-xoắn khi và chỉ khi Supp M ⊆ W( I , J ) . Ta cũng lưu ý rằng khi J = 0 thì hàm tử H Ii , J lại trở thành hàm tử đối đồng điều địa phương H Ii và tập W( I , J ) lại trở thành tập V ( I ) , nên có thể thấy W( I , J ) là mở rộng của V ( I ) tương ứng theo một cặp iđêan (I, J). Luận văn được trình bày thành hai chương. Trong chương một tôi sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương theo một iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai. Độc giả có thể bỏ qua chương một để đọc thẳng chương hai, phần chính của luận văn, trình