Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về sự tồn tại hạng của module Tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về sự tồn tại hạng của module Tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán gồm có 2 chương. Trong đó, chương 1 trình bày về những kiến thức cơ sở; chương 2 - Về sự tồn tại hạng của module Tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về sự tồn tại hạng của module Tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình. Nhân đây, tôi xin được gởi lời cảm ơn. Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền thụ những kiến thức bổ ích, làm nền tảng cho tôi trong quá trình nghiên cứu luận văn này. Và hơn hết, tôi xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học, và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận xét quý báu để luận văn của tôi được hoàn thiện. Bên cạnh sự chỉ dạy của thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình và bạn bè. Xin chân thành cảm ơn mọi người. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014. Trần Thị Thanh Hương.
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU ...............................................................................................................1 DANH MỤC HÌNH VẼ....................................................................................................2 DANH MỤC BIỂU ĐỒ ....................................................................................................3 LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................4 Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................................................................5 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ............................................................................ 5 1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................... 6 1.3. Radical của vành ...................................................................................................... 14 Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO ............................. 20 HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN .......................... 20 2.1. Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán ......................................................................................................................................... 20 2.2. Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán ......................................................................................................................... 21 KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 46
1 BẢNG KÝ HIỆU MR R - môđun phải M J ( R ) hoặc rad R Căn Jacobson HomR ( M , N ) Nhóm các R - đồng cấu từ M đến N End R ( M ) Vành các R - tự đồng cấu của M U ( R) Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R diag A Chéo của ma trận A A Lực lượng của tập hợp A a.c.c Điều kiện dây chuyền tăng d.c.c Điều kiện dây chuyền giảm det A Định thức của ma trận A L(M ) Độ dài của một dãy hợp thành lR ( M ) Độ dài của môđun M
2 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1 .................................................................................................... 14 Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 2 ..................................................................................................... 31
3 DANH MỤC BIỂU ĐỒ BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN ................................ 44
4 LỜI NÓI ĐẦU Cấu trúc module (môđun) xuất hiện trong hầu hết hết các lý thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, không gian vectơ. Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc môđun đã mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lý thuyết môđun, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lý thuyết về không gian vectơ và nhiều lý thuyết toán học khác. Một lớp môđun có cấu trúc rất gần giống với cấu trúc của không gian vectơ đó là lớp môđun tự do. Trước hết, ta nhớ lại rằng một R - môđun M được gọi là tự do nếu M có một cơ sở. Các cách mô tả môđun tự do rất thú vị vì thế nó có nhiều tính chất rất quan trọng. Một trong những tính chất quan trọng đó là khái niệm về hạng và sự tồn tại hạng của nó. Ta biết rằng hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M trên một vành giao hoán có đơn vị thì có cùng số phần tử và số phần tử đó ta gọi là hạng của M. Như vậy, đối với vành giao hoán thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự do hữu hạn sinh luôn tồn tại. Nhưng đối với vành không giao hoán thì khái niệm hạng cho lớp các môđun tự do hữu hạn sinh có tồn tại không? Câu trả lời là không? Vậy với điều kiện nào thì môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có khái niệm hạng. Đây là lý do tôi chọn đề tài “ Về sự tồn tại hạng của Module tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán” để nghiên cứu và tìm hiểu.
5 Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì môđun M là một R - môđun phải, R là vành không giao hoán. 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được ký hiệu là “ +” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +, . là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) R, + là một nhóm giao hoán. ( 2 ) R, . là một nửa nhóm. ( 3) Phép nhân phân phối với phép cộng tức là với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có x ( y + z ) = xy + xz và ( y + z ) x =yx + zx . Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị. Định nghĩa 1.1.2 Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm sinh trên A thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R. Định nghĩa 1.1.3 Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là iđêan trái (iđêan phải) của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra ∈ A ( ar ∈ A ) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R . Vành con A của R được gọi là iđêan của vành R nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của vành R .
6 Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi là đồng cấu (vành) nếu f bảo toàn các phép toán. Tức là, với mọi x, y ∈ R ta có f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( x. y ) = f ( x ) . f ( y ) Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi là một tự đồng cấu của vành R . Một đồng cấu đơn ánh là đơn cấu, toàn ánh là toàn cấu, song ánh là đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu f từ vành R đến vành R′ thì ta viết R ≅ R′ ta nói R và R′ là đẳng cấu. Định nghĩa 1.1.5 Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch thì R được gọi là một thể hay một vành chia. 1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben. M được gọi là một R - môđun phải nếu có một ánh xạ f : M × R → M ( m, r )  f ( m, r ) = mr sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì: (1) m ( a + b ) = ma + mb . ( 2 ) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2 a . ( 3) ( ma ) b = m ( ab ) . Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để chỉ M là R - môđun phải, tương tự ta kí hiệu R M để chỉ M là R - môđun trái, M vừa là R - môđun phải vừa là R - môđun trái gọi là song môđun kí hiệu R MR.
7 Định nghĩa 1.2.2 Cho M là R - môđun và tập ∅ ≠ N ⊂ M . N được gọi là môđun con của M nếu (1) ∀x, y∈N : x − y∈N , ( 2 ) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N . Tất nhiên môđun con N là một R - môđun với phép toán cảm sinh và M N cũng là R - môđun được gọi là môđun thương. Định nghĩa 1.2.3 Cho M là R - môđun, X ⊂ M , X ≠ ∅ . Khi đó mỗi phần tử m ∈ M có dạng m ∑ ai xi ( ai ∈ R, xi ∈ X ) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của X . n = i =1 Tập các tổ hợp tuyến tính của X được ký hiệu là X . Nếu X = M thì X được gọi là hệ sinh của M hay M được sinh bởi X . Khi X là một tập hữu hạn thì X được gọi là hệ sinh hữu hạn của M và M được gọi là môđun hữu hạn sinh. Hệ sinh X của M được gọi là một hệ sinh cực tiểu nếu X không chứa thực sự một hệ sinh nào của M . Nếu M có hệ sinh chỉ bao gồm một phần tử thì M được gọi là môđun xyclic hay là môđun đơn sinh. Môđun không có hệ sinh nào hữu hạn được gọi là môđun vô hạn sinh. Định nghĩa 1.2.4 Cho M là R - môđun, X ⊂ M . Ta nói rằng: 1) X là hệ độc lập tuyến tính nếu ∑ ai xi = 0 ( ai ∈ R, xi ∈ X ) thì ai= 0, ∀i ∈ I . n i =1 2 ) X là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu X không phải là hệ độc lập tuyến tính. 3) X là cơ sở của M nếu X vừa là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính. 4 ) M là R - môđun tự do (gọi tắt là môđun tự do) nếu M có một cơ sở nào đó.
8 Quy ước: Môđun (0) là tự do với tập ∅ là cơ sở. Định lý 1.2.5 R - môđun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . Kí hiệu: R ( ) là tổng trực tiếp ⊕ Ri ; R I là tích trực tiếp ∏ Ri I i∈I i∈I trong đó Ri là bản sao của R và I là tập chỉ số tùy ý. Nếu I là tập hữu hạn với n phần tử thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp trùng nhau tức là R ( ) = R I , và ta còn kí hiệu hai tập trùng nhau này là R n . I Vậy R - môđun M là tự do khi và chỉ khi M ≅ R ( I ) . Chứng minh Nếu có tập I và một đẳng cấu R - môđun f : R ( I ) → M thì ta có thể kiểm tra rằng M là một môđun tự do với cơ sở { f (e ) i i ∈ I } trong đó {ei i ∈ I } là cơ sở chính tắc của R ( I ) với ei có thành phần thứ i bằng 1 , các thành phần còn lại bằng 0. Khi đó M là một R – môđun tự do. Ngược lại, giả sử M có một cơ sở là= X {x i i ∈ I } . Khi đó do X là hệ độc lập tuyến tính của M , mỗi phần tử x ∈ M biểu diễn được duy nhất dưới dạng x= ai xi + ai xi + ... + ai xi với ai ∈ R, xi ∈ X , j = 1 1 2 2 n n j 1,..., n j Suy ra M = ⊕ Rxi (do môđun con sinh bởi X chính là môđun con nhỏ nhất i∈I chứa X của M và môđun con này cũng là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X ). Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i ∈ I toàn cấu R - môđun ϕi : R → Rxi a  axi
9 là một đẳng cấu do tính độc lập của xi . Vậy = M ⊕ Rx i ≅ R( I ) . i∈I Định nghĩa 1.2.6 M là R - môđun tự do hữu hạn sinh nếu M là R - môđun tự do với cơ sở X n hữu hạn. R - môđun tự do hữu hạn sinh M thì đẳng cấu với R n = ⊕ Ri . i =1 Định nghĩa 1.2.7 Cho M , N là các R - môđun, ánh xạ f : M → N . Ta nói f là đồng cấu R - môđun hay R - đồng cấu nếu : f ( m1 + m2 )= f ( m1 ) + f ( m2 ) ∀m, m1 , m2 ∈ M , ∀a ∈ R . f ( am ) = a f ( m ) Tập hợp tất cả các đồng cấu từ M đến N được kí hiệu là HomR ( M , N ) . Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh, toàn cấu nếu f là toàn ánh và đẳng cấu nếu f là song ánh. Nếu M = N thì đồng cấu f là tự đồng cấu. Tập các tự đồng cấu của M được ký hiệu là End R ( M ) . Tự đồng cấu được gọi là tự đẳng cấu nếu nó là song ánh. Tập các tự đẳng cấu của M được ký hiệu là AutR ( M ) . Định lý 1.2.8 Cho M là một R - môđun tự do với cơ sở X và N là một R - môđun bất kì. Khi đó mỗi ánh xạ g : X → N đều mở rộng thành một đồng cấu duy nhất f : M → N . Chứng minh Vì X là cơ sở của M, X ⊂ M , X= { xi }i∈I . Với mỗi x ∈ M viết được duy nhất dưới dạng x = ∑ ai xi trong đó các ai ∈ R bằng 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn i ∈ I . i∈I Từ đó ta suy ra quy tắc f : M → N ∑ ai xi  ∑ ai g ( xi ) i∈I i∈I
10 • f là một ánh xạ. • f là một đồng cấu R - môđun. xi , y ∑ bi xi ∈ M , ∀α , β ∈ R ta có Với mọi x = ∑ ai = i∈I i∈I f (α x + β y )= f  ∑ (α ai xi + β bi xi ) = f  ∑ (α ai + β bi ) xi = ∑ (α ai + β bi ) g ( xi )  i∈I   i∈I  i∈I α ∑ ai g ( xi ) + β ∑ bi g ( xi ) = = α f ( x) + β f ( y) . i∈I i∈I Vậy f là một đồng cấu R - môđun và nó là một mở rộng của g . * Nếu còn có một đồng cấu f ′ : M → N là mở rộng của g thì khi đó  ax  f ′= ai g ( xi ) f  ∑ ai xi  ai f ′ ( x i ) ∑= ∀   ∑ i i  ∑=  ∑ ai xi ∈ M   i∈I  i∈I i∈I  i∈I   i∈I  Vậy f ′ = f . Định nghĩa 1.2.9 Cho R là vành và M là R - môđun • M được gọi là R - môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu MR ≠ ( 0 ) và M chỉ có đúng hai môđun con là ( 0 ) và M . • M được gọi là R - môđun nửa đơn nếu mỗi R - môđun con N của M là một hạng tử trực tiếp của M tức là tồn tại môđun con N1 sao cho M= N ⊕ N1 . Điều này tương đương với R - môđun M được gọi là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của các môđun đơn. Định nghĩa 1.2.10 • Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền giảm (d.c.c) nếu mọi dãy giảm các môđun con M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho = = Mn M n +1 ... . Khi đó M được gọi là môđun Artin.
11 • Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền tăng (a.c.c) nếu mọi dãy tăng các môđun con M 1 ⊂ M 2 ⊂ ... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho = = Mn M n +1 ... . Khi đó M được gọi là môđun Noether. Chú ý : Nếu N  M thì M là môđun Noether hay Artin nếu và chỉ nếu cả N và M N là môđun Noether hay Artin. Mệnh đề 1.2.11 Cho M là R - môđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) M là môđun Noether. ( 2 ) Mỗi môđun con của M là hữu hạn sinh. ( 3) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M có phần tử tối đại. Định nghĩa 1.2.12 Nếu R là R - môđun Noether thì R là vành Noether phải. Nếu R là R - môđun Artin thì R là vành Artin phải. Hệ quả 1.2.13 Cho vành R . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) R là vành Noether. ( 2) R thỏa điều kiện a.c.c. ( 3) Mọi iđêan phải của R là hữu hạn sinh. ( 4 ) Mọi tập khác rỗng các iđêan phải của R có một phần tử tối đại. Hệ quả 1.2.14 Nếu R là vành Artin phải thì R là vành Noether phải. Mệnh đề 1.2.15 Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether (Artin) thì M là môđun Noether (Artin).
12 Định lý 1.2.16 Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R [ X ] cũng là vành Noether. Chứng minh Gọi I là một iđêan khác iđêan không của R [ X ] , ta cần chỉ ra I là hữu hạn sinh. Giả sử trái lại I không hữu hạn sinh. Khi đó ta có một dãy đa thức bậc tăng dần f1 , f 2 ,..., f n ,... sao cho f1 là một đa thức khác không của I có bậc thấp nhất trong I , f 2 là một đa thức có bậc thấp nhất trong I \ f1 , …, f m +1 là một đa thức có bậc thấp nhất trong các đa thức của tập I \ f1 ,..., f m ,… Gọi a j là hệ tử của hạng tử bậc cao nhất của đa thức f j và gọi J là iđêan của R sinh bởi tất cả các a j . Vì R là vành Noether nên J hữu hạn sinh. Do đó tồn tại số nguyên dương n để J = ( a1 ,...., an ) . Gọi m j là bậc của đa thức f j và bx m n+1 là hạng tử n bậc cao nhất của f n +1 . Khi đó ta có b ∈ J , vì vậy b = ∑ λi ai với các λi ∈ R . Dễ thấy i =1 ∈ I \ ( f1 ,..., f n ) và deg g < deg f n +1 (mâu thuẫn với cách chọn n f n +1 − ∑ λi f i x m rằng g = n+1 − mi i =1 f n +1 ) . Vậy I là một iđêan hữu hạn sinh, và do đó R [ X ] là một vành Noether. Định nghĩa 1.2.17 Một dãy hợp thành của một R – môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu {0} sao cho M i −1 M i là một môđun hạn các môđun con M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = đơn với i = 1, 2,..., n . Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành. Mệnh đề 1.2.18 M có một dãy hợp thành nếu và chỉ nếu M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền (d.c.c và a.c.c).
13 Định lý 1.2.19 (Định lý Jordan – Holder) Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n . Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các mô đun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. Chứng minh Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành, khi đó ta kí hiệu L ( M ) là độ dài của một dãy hợp thành có độ dài nhỏ nhất của M . Ta cần đến bổ đề sau đây: Bổ đề 1.2.20 Giả sử R - môđun M có dãy hợp thành và N là một môđun con của M . Khi đó ta có các khẳng định sau đây: (1) N có dãy hợp thành với L ( N ) ≤ L ( M ) . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi N =M. ( 2 ) Môđun thương M N cũng có dãy hợp thành với L ( M N ) ≤ L ( M ) . Chứng minh Định lý Jordan – Holder Giả sử M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M m = {0} là một dãy hợp thành của M có độ dài m . Theo bổ đề 1.2.20, ta có L ( M ) > L ( M 1 ) > ... > L ( M m ) = 0 . Từ đó dễ dàng suy ra m ≤ L ( M ) . Mặt khác, theo định nghĩa của L ( M ) thì L ( M ) ≤ m . Ta nhận được L ( M ) = m . Vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài là L ( M ) . Bây giờ giả sử trong M có một dãy thực sự tăng hoặc giảm các môđun con. Ta suy ra dãy phải có độ dài hữu hạn và độ dài đó không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành. Bằng việc bổ sung M và {0} vào dãy đã cho (nếu M và {0} chưa có trong dãy), ta luôn coi dãy có dạng M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d = {0} . Theo bổ đề 1.2.20, môđun thương M i −1 M i (1 ≤ i ≤ d ) có dãy hợp thành, chẳng hạn
14 M i −1 M i = F0 M i ⊃ F1 M i ⊃ ... ⊃ Ft M i = {0} . Từ đó ta có dãy M i −1 = F0 ⊃ F1 ⊃ ... ⊃ Ft = M i trong đó Fk −1 Fk ≅ ( Fk −1 M i ) ( Fk M i ) là một môđun đơn với mọi k = 1, t . Tiếp theo thay mỗi dãy ngắn M i −1 ⊃ M i bởi dãy M i −1 = F0 ⊃ F1 ⊃ ... ⊃ Ft = M i như trên, ta sẽ nhận được một dãy hợp thành mở rộng từ M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d = {0} . Định nghĩa 1.2.21 Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là lR ( M ) . Nếu R - môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài lR ( M ) = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. Định nghĩa 1.2.22 Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ . P ∃ϕ f σ B C Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 1 Định lý 1.2.23 Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh. Mệnh đề 1.2.24 Cho S là R - môđun. Khi đó R k ⊗ R S ≅ S k với số nguyên k khác 0. 1.3. Radical của vành Định nghĩa 1.3.1 Radical Jacobson (căn Jacobson) của vành R , kí hiệu là rad R hoặc J ( R ) là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các R - môđun bất khả quy.
15 Nếu R không có R - môđun bất khả quy thì rad R = R . Định nghĩa 1.3.2 Vành R là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và R có đúng hai iđêan là ( 0 ) và R . Định nghĩa 1.3.3 Vành R là vành nửa đơn nếu xem R là môđun trên chính nó thì nó là môđun nửa đơn nghĩa là R là tổng trực tiếp hữu hạn của các iđêan phải tối tiểu của nó. Định nghĩa 1.3.4 Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R rad R là vành Artin trái hay R rad R là vành nửa đơn. Nhận xét : Nếu R là vành nửa địa phương thì R có một số hữu hạn các iđêan trái tối đại. Định nghĩa 1.3.5 Phần tử e ≠ 0 ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e . Định nghĩa 1.3.6 • Phần tử a ∈ R được gọi là lũy linh nếu a m = 0 , với m là số tự nhiên khác 0 nào đó. • α là nil - iđêan phải (trái, 2 phía) nếu mỗi phần tử trong α là lũy linh. • α là iđêan lũy linh phải (trái, 2 phía) nếu có một số nguyên dương m sao cho a1a2 ...am = 0 với mọi a1 , a2 ,..., am ∈ α . Định lý 1.3.7 (Định lý Hopkins - Levitzki) Cho R là vành mà rad R là lũy linh và R = R rad R là nửa đơn (vành R gọi là nửa nguyên sơ). Khi đó, với bất kì R - môđun M các phát biểu sau là tương đương: (1) M là Noether. ( 2) M là Artin. ( 3) M có một dãy hợp thành.
16 Đặc biệt : (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether và nửa nguyên sơ. (B) Bất kì môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái có một dãy hợp thành. Chứng minh (1) ⇒ ( 3) Ta có: M là môđun Noether nên tồn tại một môđun con cực đại M 1 của M , rồi tồn tại môđun con cực đại M 2 của M 1 … Kết quả ta được một dãy thực sự giảm của các môđun con của M M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M d Nhưng R là vành nửa nguyên sơ nên ta thu được một dãy có độ dài hữu hạn M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = {0} (*) trong đó M i là một môđun cực đại của M i −1 tức M i −1 M i là môđun đơn ∀i =1, n . Vậy M có một dãy hợp thành. ( 3) ⇒ ( 2 ) M có một dãy hợp thành nên M là môđun Artin. ( 2 ) ⇒ (1) Ta có: M là môđun Artin nên mọi iđêan nguyên tố trong vành Artin đều là iđêan cực đại mà vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại. Mặt khác, trong vành Artin thì linh căn là iđêan lũy linh nên tồn tại các iđêan cực đại không nhất thiết khác n k nhau m1 ,..., mn để ∏ mi = 0 . Đặt J k = ∏ mi với k = 1, n và J 0 = M . Khi đó ta có i =1 i =1 dãy M = J 0 ⊃ J1 ⊃ ... ⊃ J n = {0} . Vì J k −1 J k là một M mk - không gian vectơ Artin lM ( J k −1 J k ) lM m ( J k −1 J k ) < ∞ với k = 1, n . Suy ra M là R - môđun có độ dài nên = k hữu hạn. Do đó M có một dãy hợp thành. Vậy M là môđun Noether. Định nghĩa 1.3.8 Vành R được gọi là Dedekind - hữu hạn nếu ab = 1 kéo theo ba = 1 , với a, b ∈ R bất kì.