Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
229
lượt xem
135
download

Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1 Tài liệu tham khảo ôn thi TN ĐHCĐ, giúp các bạn tự học, nâng cao vốn kiến thức của mình, tài liệu bao gồm các bài tập tự luận và phương pháp giải hay.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ H−íng dÉn gi¶i bµi tËp Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh 4x2 - 2(m + 1 + m )x + m 1 + m < 0 (1) Gi¶i: + m + 1 < 0 ⇒ 1 + m kh«ng cã nghÜa ⇒ kh«ng tån t¹i bÊt ph−¬ng tr×nh (m < -1). + NÕu m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 gi¶i nghiÖm tam thøc vÕ tr¸i ®−îc m m +1 xa = ; xb = 2 2 m m +1 1+ 5 + NÕu < ⇔m< m + 1 ⇔ -1 ≤ m < 2 2 2 m m +1 th× nghiÖm cña (1) lµ ⇔m> 2 2 2 m +1 m th× nghiÖm cña (1) lµ 0 víi ∀x Gi¶i: + Thªm bít m2 ta cã: (x - m)2 + 2x - m + 2 - m2 > 0 víi ∀x + §Æt x - m = t ≥ 0 ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh f(t) = t2 + 2t + 2 - m2 > 0 ∀t ≥ 0 ⇒ t®Ønh = -1 VËy t ≥ 0 hµm f(t) ®ång biÕn vµ min f (t ) = f(0) = 2 - m2 t ≥0 Do ®ã f(t) > 0 víi ∀t ≥ 0 ⇔ 2 - m2 > 0 ⇔ m < 2 Bµi 3: T×m a ®Ó x2 - ax + 1 > 0 (1) víi ∀x > 0 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ Gi¶i: 1 + (1) ⇔ x + >a x 1 + §Æt f(x) = x + > 0 víi ∀x > 0 t−¬ng ®−¬ng min f (x ) > a x x >0 1 + Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: x + ≥ 2 víi ∀x > 0 dÊu b»ng x¶y ra khi x x 1 x>0 = ⇔ x = 1 ⇒ min f (x ) = f(1) = 2 > a x x >0 + KL: a < 2 th× (1) ®óng ∀x > 0 m cos 2 x − m + m 2 Bµi 4: T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh: > 0 víi ∀x (1) m 2 + 1 − m cos 2 x Gi¶i: + §Æt t = cos2x ⇒ t ∈ [0, 1] khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh mt − m + m 2 > 0 ⇔ (mt - m + m2)(m2 + 1 - mt) > 0 (2) m + 1 − mt 2 Víi ∀t ∈ [0, 1] + Víi m = 0 ⇒ (2) kh«ng nghiÖm + Víi m ≠ 0 ⇒ Tam thøc vÕ tr¸i cã hÖ sè cña t2 lµ -m2 < 0 do ®ã ®Ó ∀ ∈ [0, 1] lµ nghiÖm. − m 2 f (0 ) < 0 f (0 ) > 0 m 2 − m > 0 m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔ − m f (1) < 0 f (1) > 0 m − m + 1 > 0 m > 1 2 + KÕt luËn m < 0 hoÆc m > 1 bÊt ph−¬ng tr×nh (1) ®óng ∀x Bµi 5: T×m a ®Ó 2 bÊt ph−¬ng tr×nh sau t−¬ng ®−¬ng. (a - 1)x - a + 3 > 0 (1) (a + 1)x - a - 2 > 0 (2) Gi¶i: + NÕu a = ± 1 ⇒ (1): ∓ 1 + 3 > 0 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ ∓1− 2 > 0 ⇒ kh«ng t−¬ng ®−¬ng a −3 a+2 + NÕu a > 1 nghiÖm cña (1) lµ x > vµ cña (2): x > ®Ó (1) t−¬ng a −1 a +1 a −3 a +2 ®−¬ng (2) ⇔ = ⇔ a = 5. a −1 a +1 a −3 a+2 + NÕu -1 < a < 1: nghiÖm cña (1): x < vµ nghiÖm cña (2): x > ⇒2 a −1 a +1 kho¶n trªn kh«ng thÓ trïng nhau ⇒ kh«ng t−¬ng ®−¬ng. a −3 a+2 + NÕu a < -1: nghiÖm cña (1): x < vµ cña (2) x < a −1 a +1 a −3 a +2 (1) t−¬ng ®−¬ng (2) ⇔ = ⇔ a = 5 (lo¹i) a −1 a +1 + KÕt luËn: a = 5, 2 bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng. §3. VÊn ®Ò 3: Ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh bËc 2 chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. A. Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i: §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh, bÊt ph−¬ng tr×nh cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ng−êi ta th−êng t×m c¸ch khö gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng mét sè ph−¬ng ph¸p sau: 1. Ph−¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa a. BÊt ph−¬ng tr×nh: f(x) > g(x) f (x ) = g(x )   f ( x ) > g (x ) f (x ) ≥ 0 ⇔ ; f (x ) = g (x ) ⇔   f ( x ) < − g (x ) f (x ) < 0  f (x ) = −g(x )  g(x ) > 0 b. BÊt ph−¬ng tr×nh: f(x) < g(x) ⇔   − g (x ) < f ( x ) < g ( x ) c. f(x) = g(x) ⇔ f(x) = ±g(x) Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ 2. Ph−¬ng ph¸p luü thõa a. f(x) > g(x) f 2 (x ) > g 2 (x ) f 2 (x ) = g 2 (x )  ; f (x ) = g (x ) ⇔  g(x ) ≥ 0 g(x ) ≥ 0 ⇔ g(x ) < 0  x ∈ D (tËp x¸c dÞnh cña bpt )  g ( x ) > 0 b. f(x) < g(x) ⇔  2 f (x ) < g (x ) 2 c. f(x) ≥ g(x) ⇔ f2(x) ≥ g2(x) ⇔ [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≥ 0 3. Ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng: t×m nghiÖm cña c¸c biÓu thøc trong gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, xÐt dÊu c¸c biÓu thøc ®ã råi dùa vµo ®Þnh nghÜa ph¸ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi c¸c biÓu thøc; sau ®ã gi¶i ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh trªn tõng kho¶ng ®· ®−îc ph¸ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi vµ kÕt luËn. 4. Ph−¬ng ph¸p hµm sè vµ ®å thÞ: Dïng ®å thÞ cña hµm sè bËc 2 vµ bËc nhÊt ®Ó gi¶i bµi to¸n ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch: ®iÒu chØnh c¸c vÕ cña ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh sao cho mét vÕ viÖc vÏ ®å thÞ dÔ dµng vµ th−êng cè ®Þnh vÕ kia ®å thÞ di ®éng theo tham sè hoÆc còng lµ ®å thÞ cè ®Þnh vµ dÔ vÏ. Tõ ®ã xÐt vÞ trÞ t−¬ng ®èi cña 2 ®å thÞ ë 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh - bÊt ph−¬ng tr×nh mµ suy ra kÕt qu¶. B. C¸c vÝ dô: (1) VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11(1) C¸ch 1: + §Æt x2 - 5x + 5 = y th× bÊt ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh 1 y ≤ -2y - 1 ⇒ ®iÒu kiÖn -2y - 1 > 0 ⇔ y < - ⇒y
  5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ x -∞ 5− 5 5+ 5 +∞ 2 2 x2-5x+5 0 0 - 0 + 5− 5 + XÐt trªn kho¶ng x < ⇒ (1) x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11 gi¶i bÊt 2 5− 5 ph−¬ng tr×nh trªn kho¶ng x < ... c¸c em tù lµm trªn c¸c kho¶ng vÏ cã kÕt qu¶ 2 nh− trªn. 2. VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh: x2 - 5x + 4 < 2a (1) x 2 − 5x + 4 víi x ≤ 1; x ≥ 4 Gi¶i: ®Æt y1 = x - 5x + 4 =  2 − (x − 5x + 4 ) víi 1 < x < 4 2 ⇒ VÏ ®å thÞ y = x2 - 5x + 4 + §Æt y = a vµ vÏ ®å thÞ lµ ®−êng th¼ng song song ox c¾t oy ë ®iÓm cã tung ®é b»ng 2a. y1 = x2 - 5x + 4 9/4 A B C D y2 = a 0 4 + Tõ ®å thÞ ta cã -2a ≤ 0 bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm (v× ®å thÞ y1 trªn y2) 9 -0
  6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ 9 -a> bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm xA < x < xD 8 (ë ®©y xA, xD lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x2 - 5x + 4 - 2a = 0 5 ± 9 + 8a ⇒ xA, D = ; xB, xC lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh -x2 + 5x - 4 - 2a = 0 2 5 ± 9 − 8a ⇔ x2 - 5x + 4 + 2a = 0, xB, xC = ) 2 * Chó ý: cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn b»ng ph−¬ng ph¸p luü thõa ((x2 - 5x + 4)2 < 4a2 víi a > 0 hoÆc b»ng ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng) VÝ dô 3: T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) : -2x2 + 10x - 8 = x2 - 5x + a cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Gi¶i: + Ph−¬ng tr×nh trªn (1) ⇔ -2x2 + 10x - 8 - x2+ 5x = a + §Æt y1 = f(x) = -2x2 + 20x - 5 - x2 + 5x =  2 x ≤ 1 x − 5x + 8 (P1 ) víi  = x ≥ 4  − 3x + 15x − 8 (P2 ) víi 1 < x < 4 2 - VÏ ®å thÞ y1; y2 = a lµ y ®−êng th¼ng song song ox c¾t oy ë ®iÓm cã tung ®é a. 4/3 a 0 1 4 x 43 - Nh×n vµo ®å thÞ ta cã 4 < a < th× 2 ®å thÞ c¾t nhau t¹i 4 ®iÓm ⇒ ph−¬ng 4 tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm. Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ * NhËn xÐt: trong hai vÝ trô trªn; v× t¸ch riªng ®−îc tham sè m nªn viÖc gi¶i b»ng ®å thÞ ng¾n gän vµ nhÑ nhµng h¬n. 4. VÝ dô 4: Gi¶i vµ biÖn luËn x2 - 2x + a ≤ x2 - 3x - a (1) Gi¶i: + (1) ⇔ (x2 - 2x + a)2 ≤ (x2 - 3x - a)2 ⇔ (x2 - 2x + a)2 - (x2 - 3x - a)2 ≤ 0 ≤ (x + 2a)(x2 - 5x) ≤ 0 (2) + BiÖn luËn 5 - NÕu a < 0 ⇒ -2a < 4 ⇔ - < a < 0 khi ®ã dÊu VT cña (2) lµ 2 - + - + 0 -2a 5 5 nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ≤ 0 < khi ®ã dÊu vÕ tr¸i cña (2) lµ 2 - + - + -2a 0 5/2 5 nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh : x ≤ -2a; 0 ≤ x ≤ 2 5. VÝ dô 5: Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ax + 2 + ax - 1 = b (1) Gi¶i: + (1) ⇔ (x + 2 + x - 1)a = b (2) + BiÖn luËn - NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ⇒ (2) V« nghiÖm ⇒ (1) V« nghiÖm - NÕu a = b = 0 ⇒ (2) cã nghiÖm ∀x ⇒ (1) nghiÖm ∀x b - NÕu a ≠ 0 th× (2) ⇔ f(x) = x + 2 + x - 1 = = g(x ) a Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  8. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ − 2x − 1 víi x < −2  ⇒ f(x) = 3 víi − 2 ≤ x < 1 cã ®å thÞ 2x + 1 víi x ≥ 1  y f(x) 3 b b a g(x) = a -2 0 x BiÖn luËn: - Dùa vµo ®å thÞ ta cã: b */ 3 Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: a  b 1 +  b a + b -2x - 1 = ⇒ x 1 =  a = −  a 2  2a  b −1 b a b−a 2x + 1 = ⇒ x 2 = = a 2 2a 6. VÝ dô 6: Cho y = 3x2 - 6x + 2a - 1 víi x ∈ [-2, 3]. T×m a ®Ó maxy ®¹t gi¸ trÞ min. Gi¶i: Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  9. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ + Ta thÊy ngay theo tÝnh chÊt cña hµm bËc 2: maxy = max{y(-2); y(1); y(3)} = max{2a + 23}; 2a - 4; 2a + 8} + Dùng ®å thÞ cña 3 hµm sè y1 = 2a + 23; y2 = 2a - 4; y3 = 2a + 8 trªn 1 hÖ trôc täa ®é oay. Trªn ®å thÞ cã: c¸c gi¸ trÞ maxy thuéc phÇn vÏ nÐt ®Ëm vµ trªn ®ã min chÝnh t¹i ®iÓm I lµ giao 19 cña 2a + 23 = -2a + 4 ⇒ a = - . 4 y I a 23 -4 0 2 - 2 Bµi tËp: Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn : x - 1(x + 2) + m = 0 Bµi 2: X¸c ®Þnh a ®Ó ph−êng tr×nh: 2x2 - 3x - 2 - 5a + 8x + 2x2 = 0 cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 3: T×m m ®Ó miny = x2 + (m + 1)2 + 2x + m - 1 kh«ng lín h¬n 3. Bµi 4: T×m m ®Ó f(x) = (x - 2)2 + 2x - m ≥ 3 víi ∀x Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản