Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

0
164
lượt xem
109
download

Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2 Tài liệu tham khảo ôn thi TN ĐHCĐ, giúp các bạn tự học, nâng cao vốn kiến thức của mình, tài liệu bao gồm các bài tập tự luận và phương pháp giải hay.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2

  1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ H−íng dÉn gi¶i bµi tËp 1. Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn : |x-1|(x+2) + m = 0 (1) Gi¶i: x 2 + x − 2 = − m víi x ≥ 1 (3) + §Æt f(x) = |x-1| x+2) =  2 x + x − 2 = − m víi x < 1 (4 ) − 1 ± 9 − 4m + NÕu x2 + x – 2 = -m cã nghiÖm th× x1,2 = 2 − 1 ± 9 + 4m + NÕu x2 + x – 2 = m cã nghiÖm th× x3,4 = 2 y y=m (m>0) -1/2 -2 1 x y=-m (m>0) -9/4 + Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy: 9 9 * NÕu m < - ⇒ -m > (®å thÞ vÕ tr¸i cña (3) c¾t y = - m ë 1 ®iÓm 4 4 − 1 + 9 − 4m x2 = > 1 vµ ®å thÞ vÕ tr¸i cña (4) kh«ng c¾t y = m ⇒ ph−¬ng 2 tr×nh (1) cã 1 nghiÖm lµ x2 9 * NÕu - ≤m
  2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ * NÕu m > 0 th× (3) kh«ng cã nghiÖm (2 ®−êng th¼ng kh«ng c¾t nhau; vµ (4) cho 1 nghiÖm x3 (v× 2 ®å thÞ chØ c¾t t¹i 1 ®iÓm x3 < 1) 2. Bµi 2: X¸c ®Þnh a ®Ó ph−¬ng tr×nh |2x2 – 3x – 2| = 5a – 8x – 2x2 (1) cã nghiÖm duy nhÊt. Gi¶i: + (1) ⇔ |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 5a 1 + §Æt y1 = |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 4x2 + 5x – 2 víi x ≤ - ;x ≥ 2 2 1 11x + 2 víi - 0) -7/2 -57/16 Bµi 3: T×m m ®Ó miny = x2 + |m+1|2 + 2+x+m-1| ≤ 3. Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ Gi¶i; + §Æt |x+m-1| = t ≥ 0. + Tr−êng hîp t = x+ m - 1 ⇒ y = t2 - 2(m-2)t + 2(m2+1) ⇒ Hoµnh ®é ®Ønh cña (P) lµ t§ = m-2; nÕu t§ > 0 ⇔ m >2 th× miny = y(t§) = (m-2)2 - 2(m-2)2 + 2(m2+1) = m2 + 4m - 2 ≤ 3. ⇔ -5 ≤ m ≤ 1 kh«ng tho¶ m·n m > 2 2 NÕu t§ < 0 ⇔ m < 2 ⇔ min y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3 ⇔ |m| < (do t≥ 0 hµm t ≥0 2 ®ång biÕn) + Tr−êng hîp t = -x - m + 1 ⇒ y = t2 + 2mt + 2(m2 + 1) ta cã ®Ønh cña (P) lóc nµy cã hoµnh ®é t§ = -m 2 - NÕu t§ ≤ 0 ⇔ m ≥ 0 ⇒ min y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3⇔0≤ m≤ (3) t ≥0 2 2 + Tõ (1) , (2), (3) kÕt luËn -1 ≤m ≤ th× min y≤ 3 2 Bµi 4: T×m m ®Ó f(x) = (x-2)2 + 2|x-m| ≥ víi ∀x (1) Gi¶i: + (1) ⇔ (x-2)2 ≥ 3-2|x-m| + §Æt y1 = (x-2)2 vµ y2 = 3-2|x-m| bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó ®å thÞ hµm y2 3 + 2x − 2m víi x ≤ m n»m d−íi ®å thÞ hµm y1 . ta cã y2 =  3 − 2x + 2m víi x ≥ m + XÐt 2 tiÕp tuyÕn cña y1 cã hÖ sè gãc ± 2 ta cã 2 tiÕp tuyÕn ®ã cã ph−¬ng tr×nh: y = 2x - 5 vµ y = -2x+3 nªn ®Ó y1 n»m trªn y2 víi ∀x cÇn vµ ®ñ lµ y = -2x+3 ë trªn y = -2x + 2m + 3 ⇔ 3 ≥ 2m + 3 ⇔ m ≤0 y = 2x-5 ë trªn y = 2x - 2m + 3 ⇔ -5 ≥ 3-2m ⇔ m ≥ 4 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ V. Chuyªn ®Ò: Ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ §1. VÊn ®Ò 1: C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh v« tØ A. C¸c bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n 1. 2x f (x ) < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 g(x) > 0 f(x) < [g(x)]2k 2. 2x f (x ) > g(x) ⇔ g(x) ≤0 f(x) > 0 g(x) ≥ 0 f(x) < [g(x)]2k 3. 2k f (x ) > 2k g (x ) ⇔ g(x) ≥ 0 f(x) > g(x) B. C¸c ph−¬ng ph¸p th−êng dïng 1. Ph−¬ng ph¸p lòy thõa: C« lËp c¨n thøc vµ luü thõa 2 vÕ. x2 a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : − 3x − 2 = 1 − x (1) 3x − 2 2 Gi¶i: + §K: x > khö mÉu ta cã 3 + Ta cã (1) ⇔ x2 – 3x +2 = (1-x) 3x − 2 ⇔ (x-1)(x-2) + (x-1) 3x − 2 = 0 ⇔ (x-1)[(x-2) + 3x − 2 ] = 0 ⇔ x –1 = 0 (2) 3x − 2 = 2-x (3) + Gi¶i (2) ⇔ x = 1 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ + Gi¶i (3) ⇔ 2-x ≥ 0 3x – 2 = x2 – 4x + 4 x ≤ 2  ⇔  x = 1 ⇔ x = 1  x = 6  + KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 b. VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 (1) Gi¶i : [ ] + (1) ⇔ (x-1)+ (x-2) + 3 3 (x − 1)(x − 2 ) 3 (x − 1) + 3 (x − 2 ) = 2x – 3 + (1) ⇔ 3 (x − 1)(x − 2)(2x − 3) = 0 ⇔ x = 1; 2; 3 2 c. VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 x 2 − 6x + 1 > x-2 (1) Gi¶i: x − 2 < 0  2  2 x − 6 x + 1 ≥ 0 + (1) ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔   2 x 2 − 6 x + 1 > 0  2   2 x − 6 x + 1 > (x − 2 ) 2  Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ x < 2   x ≤ 3 −  7 3− 7  2 x≤  2  x ≥ 3 + 7   2   x ≥ 2   3− 7  x <   2 x >3  3+ 7  x >  2    x < −1   x > 3  3− 7 + KÕt luËn: NghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh x ≤ hoÆc x > 3 2 2. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô a. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cñaph−¬ng tr×nh x2 +x + 12 x + 1 =36 Gi¶i (1): + ®Æt x + 1 = t ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ (x+1)2 - (x+1)+12 x + 1 = 36 Do ®ã (1) cã d¹ng t4- t2 + 12t - 36 = 0 ⇔ (t-2) (t3+2t2+3t+18) = 0 ⇔ (t-2)(t+2)(t2-t+6) = 0 do ®iÒu kiÖu t ≥ 0 ⇒ t = 2 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x == 3 b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 5x 2 + 10 x + 1 > -x2 - 2x + 7 (1) Gi¶i: Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ t2 −1 + §Æt 5x + 10 x + 1 = t ≥ 0 ⇒ x + 2x = 2 2 bÊt ph−¬ng tr×nh (1) trë 5  t ≤ −9 t ≥ 0 thµnh: t2 + 5t - 36 ≥ 0 ⇒  ⇒t ≥4  t≥4 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 4 ⇔ x2 + 2x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ -3 U x ≥ 1 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (1) 3. Ph−¬ng ph¸p ®−a ph−¬ng tr×nh vÒ mét hÖ ph−¬ng tr×nh bÊt ph−¬ng tr×nh a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 + x+5 =5 (1) Gi¶i: §Æt x + 5 = t ≥ 0 ⇒ t2 = x+5 ta cã hÖ sau x 2 + t = 5 x 2 + t = 5 x 2 + t = 5  2 ⇔ 2 ⇔ t − x = 5  x − t + (x − t ) = 0 (x + t )(x − t − 1) = 0 2 x ≤ 0 x + t = 5 2 t = − x ≥ 0    2 x = 1 ± 21  x + t = 0   x − t + (x − t ) = 0 ⇔   2 2 ⇔ 2 ⇔  x + t = 5 t = x + 1 ≥ 0   2 x ≥ −1 x − t = 1 x + x − 4 = 0  − 1 ± 17   x =  2 1 − 21 − 1 + 17 VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm : x1 = ; x2 = 2 2 4x − 9 c. VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 7x2 + 7x = víi x > 0 28 4x − 9 1 4x − 9 9 1 1 Gi¶i: + §Æt =t+ ⇔ t>0 v× > > = 28 2 28 28 4 2 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  8. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________  2 1 7x + 7x = t +  2 1  2 7 x + 7 x = t + +⇒  ⇒ 2 7 t 2 + 7 t = x + 1 (x − t )(7 x + 7 t + 8) = 0    2 x = t  ⇒ 2 1 1 7 x + 7 x − x − 2 = 0 ⇔ 7 x + 6x − 2 = 0 2  − 6 ± 50 − 6 + 50 x= ⇒x= (lo¹i gt ©m v× x > 0) 14 14 4. Ph−¬ng ph¸p so s¸nh: a. VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x−2 + 4 − x = x2 – 6x + 11 gi¶i: VT = x−2 + 4−x ≤ 2(x − 2 + 4 − x ) = 2 (B§TBCS) VP = x2 – 6x + 11 = (x-3)2 + 2 ≥ 2. + VT ≤ 2 ≤ VP ⇒ VT = vP = 2 khi x−2 = 4−x x –3 = 0 ⇔x=3 b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4 (1) Gi¶i: + §K : x ≤ 1; x ≥ 4 + Víi x ≥ 4; (1) ⇔ (x − 1)(x − 2 ) + (x − 1)(x − 3) ≥ 2 (x − 1)(x − 4 ) ⇔ ( ) x −2 + x −3 ≥2 x −4 lu«n ®óng ∀x ≥ 4. V× : x−2 ≥ x−4 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  9. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ x −3≥ x − 4 ⇒ VT ≥ VP + Víi x < 1: (1) ⇔ (1 − x )(2 − x ) + (1 − x )(3 − x ) ≥ 2 (1 − x )(4 − x ) ⇔ ( 2− x + 3− x ≥ 2 4− x) v« nghiÖm. V× : 2−x < 4−x 3− x < 4−x ⇒ VT
  10. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________  π π + §Æt x = sinα ⇒ α ∈ − ,  ⇒ Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh  2 2 sin3α + cos3α = 2 sinα cosα . NÕu ®Æt t = sinα + cosα ⇒ (sinα + cosα)( sin3α + cos3α - sinα cosα) = 2 sinα cosα t2 −1 t2 −1 t(1- )= 2 ⇔ t3 + 2 t2 - 3t - 2 = 0 2 2 ⇔ (t- 2 ) (t2 + 2 2 t + 1) = 0 ⇔ t = 2 ; -( 2 +1); 1- 2 π π π 2 * NÕu t = 2 ⇒ 2 cos (α- ) = 2 ⇔α= ⇒ x = sin = 4 4 4 2 * NÕu t = -( 2 +1) ⇒ lo¹i v× -( 2 +1) < - 2 NÕu t = 1 - 2 ⇒ sinα + cosα = 1- 2 ⇒ x+ 1 − x 2 =1 - 2 ⇔ 1 − x 2 =1 - 2 - x ≥0 ⇒ x ≤ 1 - 2 ⇔ 1 - x 2 = (1- 2 -x)2 = (1- 2 )2 - 2(1- 2 )x + x2 ⇔ 2x2 - 2(1- 2 )x - 2 2 + 2 = 0 ∆' = 2 2 - 1 1− 2 ± 2 2 −1 x12 = 2 2 1− 2 − 2 2 −1 KÕt luËn Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = vµ x = 2 2 Chó ý: Khi ®iÒu kiÖn cña ®èi sè: -1≤x≤1 th−êng ®Æt sinα = x; hoÆc cosα = x Bµi tËp Bµi 1: gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x + 34 - 3 x −3 = 1 Bµi 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: a. x − 3 − x −1 < x − 2 b. 4(x+1)2 < (2x+10)(1- 3 + 2 x )2 Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  11. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ____________________________________________________________ x 1+ x x c. 4x2.3 .x+3 < 2. 3 .x2 + 2x + 6 5 1 d. 5 x + < 2x + +4 2 x 2x Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh a. (4x -1) x 2 + 1 = 2x2 + 2x + 1 b. x3 + 1 = 2 3 2 x − 1 Bµi 4: T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh (4 + x )(6 − x ) ≤ x2 - 2x + m ®óng ∀x ∈ [-4,6] Bµi 5: Cho y = x + 1 − x 2 - m. T×m m ®Ó y ≤ 0 víi ∀x ∈ TX§ Trần V ăn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản