intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Dạng lượng giác của số phức - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Le Vy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST
Báo xấu
189
lượt xem 44
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho các bạn học sinh với chuyên đề dạng lượng giác của số phức, các bạn sẽ được củng cố và bổ sung kiến thức Toán học cần thiết để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Dạng lượng giác của số phức - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 04. D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C Th y ng Vi t Hùng 1. Khái ni m v d ng lư ng giác c a s ph c Cho s ph c z = a + bi, s ph c trên ư c g i là d ng i s c a s ph c S ph c z = r(cosϕ + isinϕ) ư c g i là d ng lư ng giác c a s ph c Trong ó: r: là module c a s ph c ϕ: là argument c a s ph c 2. Cách chuy n i m t s ph c t d ng i s sang lư ng giác chuy n s ph c z = a + bi sang d ng lư ng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta ph i tìm ư c module và argument c a s ph c.   r = a + b 2 2 r = a 2 + b 2     a a B ng vi c ng nh t bi u th c hai s ph c ta có: a = r cos ϕ ⇔ cos ϕ = = , (1) b = r sin ϕ  r a + b2 2    b b sin ϕ = = 2 , (2)   r a + b2 H phương trình trên cho phép chúng ta th c hi n vi c chuy n i d dàng t i s sang lư ng giác. Chú ý: ♦ T các h th c (1) và (2), k t h p v i ki n th c lư ng giác v cung và góc lư ng giác ta s xác nh ư c ϕ. ♦ Nhi u s ph c cho d ng “na ná”lư ng giác r t d làm chúng ta “l m tư ng” ó chính là d ng lư ng giác. Nhưng không, b ng vi c chuy n i linh ho t các công th c t cos sang sin và ngư c l i ta s thu ư c d ng lư ng giác “chính g c” ♦ Trong các bi u th c cho phép xác nh ϕ thì thư ng có hai giá tr ϕ ch p nh n ư c, tùy thu c vào chi u quay mà ta ch n l y ϕ theo chi u dương hay chi u âm (ví d c p giá tr ϕ = –5π/6 ho c ϕ = 7π/6 u ch p nh n ư c) Ví d 1. Tính modun và argument c a các s ph c sau a) z = 1 + i b) z = 3 + i c) z = 3 − i d) z = 1 + i 3 Hư ng d n gi i:   r = a + b 2 2   a a Áp d ng các công th c cos ϕ = = , ta có  r a 2 + b2  b b sin ϕ = =   r a 2 + b2 a) z = 1 + i ⇒ r = a 2 + b2 = 1 + 1 = 2  a 1 cosϕ = r = 2  π ng th i  ⇒ϕ= sinϕ = b = 1 4   r 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95  r = 3 + 1 = 2  r = 2  3 3  b) z = 3 + i ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = 6   1 1  sin ϕ = =  r 2  r = 3 + 1 = 2  r = 2  3 3  c) z = 3 − i ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = − 6   1 1 sin ϕ = − = −  r 2  r = 1 + 3 = 2  r = 2  1 1  d) z = 1 + i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = 3   3 3 sin ϕ = =  r 2 Ví d 2. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác a) z = − 6 − i 2 b) z = −2 + 2 3i c) z = −1 − i 3 d) z = −5 − 5 3i Hư ng d n gi i:   r = 6 + 2 = 2 2 r = 2 2   r = 2 2  − 6 − 6  − 6 − 3  a) z = − 6 − i 2 ⇒ cosϕ = = ⇔ cosϕ = = ⇒ 7π  r 2 2  r 2 ϕ =    6 − 2 − 2 − 2 −1 sin ϕ = = sin ϕ = =  r 2 2  r 2  7π 7π  T ó z = − 6 − i 2 = 2 2  cos + i sin   6 6    r = 4 + 12 = 4  r = 4  −2 −1   2π 2π  b) z = −2 + 2 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ 2π ⇒ z = 4  cos + i sin   r 2 ϕ = 3   3 3   2 3 3 sin ϕ = =  r 2  r = 1 + 3 = 2  r = 2  −1 −1   4π 4π  c) z = −1 − i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ 4π ⇒ z = 2  cos + i sin   r 2 ϕ = 3   3 3   − 3 − 3 sin ϕ = =  r 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95  r = 25 + 75 = 10  r = 10  −5 −1   4π 4π  d) z = −5 − 5 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ 4π ⇒ z = 10  cos + i sin   r 2 ϕ = 3   3 3   −5 3 − 3 sin ϕ = =  r 2 ϕ Ví d 3. Vi t s ph c sau d ng lư ng giác: z = sin ϕ + 2i sin 2 2 Hư ng d n gi i: φ φ φ φ φ φ φ Bi n i s ph c ã cho ta ư c z = sin φ + 2i sin 2 = 2sin cos + 2i sin 2 = 2 sin  cos + i sin  2 2 2 2 2 2 2 Do module c a s ph c luôn là s dương nên ta xét các trư ng h p sau φ φ φ φ TH1: sin > 0 ⇒ z = 2sin  cos + i sin  2 2 2 2 φ φ φ  φ  TH2: sin < 0 ⇒ z = −2sin cos  + π  + i sin  + π   2 2 2  2  Ví d 4. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác 1. z = − 3 − i 2. z = −1 + i 3 3. z = 1 − i 3 4. z = 5 − 5 3i 5. z = 2 − 2i 6. z = i 7. z = 8i 8. z = –4i 3. Nhân và chia hai s ph c d ng lư ng giác a) Nhân hai s ph c d ng lư ng giác Cho hai s ph c d ng lư ng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi ó s ph c z = z1.z2 ư c cho b i công th c z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] T ó ta có s ph c z = z1.z2 có module và argument th a mãn r = r1.r2 và ϕ = ϕ1 + ϕ2 Ch ng minh: Th t v y ta có: z = z1.z 2 =  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  .  r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 )  =     r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 − sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2 )  = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]   Ví d 1. Vi t các s ph c sau d ng i s a) z = 2 ( cos180 + i sin180 )( cos 720 + i sin 720 ) b) z = 3 ( cos1200 + i sin1200 )( cos150 + i sin150 ) Hư ng d n gi i: Áp d ng công th c z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] ta có ( )( ) ( a) z = 2 cos180 + i sin180 cos 720 + i sin 720 = 2 cos 180 + 720 + i sin 180 + 720    ) ( ) = 2 ( cos90 + i sin 90 ) = i 2 ⇒ z = i 2 0 0 ( )( ) ( ) b) z = 3 cos1200 + i sin1200 cos150 + i sin150 = 3 cos 1200 + 150 + i sin 1200 + 150    ( )  1 1  ( ) = 3 cos1350 + i sin1350 = 3  − + i ⇒ z = − 3 + 3 i  2 2  2 2 Ví d 2. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác ( a) z = (1 + i ) 3 − i ) ( b) z = 2 + i 6 1 − i 3 )( ) Hư ng d n gi i: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95 ♦ V i bài này chúng ta hoàn toàn có th th c hi n phép nhân ngay r i chuy n k t qu thành lư ng giác, nhưng thư ng thì do argument c a s ph c khó tìm ư c k t qu p nên chúng ta s chuy n t ng bi u th c sang lư ng giác r i th c hi n phép nhân sau. ♦ V i nh ng d ng bài toán như th này thì khi chuy n sang lư ng giác chúng ta có th th c hi n nhanh mà không ph i trình bày rư m rà thao tác chuy n như th nào (t c là ph i pro v cách chuy n r i ó).  π π  −π −π  a) Ta có: 1 + i = 2  cos + i sin  ; 3 − i = 2  cos + i sin   4 4  6 6  π π    −π −π   π π (     ) Khi ó z = (1 + i ) 3 − i =  2  cos + i sin   .  2  cos 4 4    6 + i sin 6     = 2 2  cos + i sin   12 12   π π  −π −π  b) Ta có: 2 + i 6 = 2 2  cos + i sin  ; 1 − i 3 = 2  cos + i sin   3 3  3 3  π π    −π −π   ( )(   )  Khi ó z = 2 + i 6 1 − i 3 =  2 2  cos + i sin   .  2  cos  3 3    3 + i sin  = 2 2 ( cos 0 + i sin 0 ) 3  b) Chia hai s ph c d ng lư ng giác Cho hai s ph c d ng lư ng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) z z r Khi ó s ph c z = 1 ư c cho b i công th c z = 1 = 1 [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 z 2 r2 z r T ó ta có s ph c z = 1 có module và argument th a mãn r = 1 và ϕ = ϕ1 – ϕ2 z2 r2 Ch ng minh: r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )   r2 ( cos ϕ2 − i sin ϕ2 )  =   z Th t v y ta có z = 1 = 1 z 2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r22 r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 + sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( sin ϕ1.cosϕ2 − cosϕ1.sin ϕ2 )    r1 = 2 = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r 2 r2 Ví d 1. Vi t các s ph c sau d ng is  2π 2π  2  cos + i sin  cos85 + i sin 85 0 0  3 3  a) z = b) z = cos 400 + i sin 400  π π 2  cos + i sin   2 2 Hư ng d n gi i: z1 r1 Áp d ng công th c z = = [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] , ta ư c: z 2 r2 cos850 + i sin 850 a) z = cos 40 + i sin 40 0 0 ( ) ( ) = cos 850 − 400 + i sin 850 − 400 = cos450 + i sin 450 = 1 2 + 1 2 i  2π 2π  2  cos + i sin   3 3  2   2π π   2π π   2 π π 6 2 b) z = = cos  3 − 2  + i sin  3 − 2   = 2 cos 6 + i sin 6  = 4 + 4 i  π π 2        2  cos + i sin   2 2 Ví d 2. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác 1− i −1 + 3i a) z = b) z = 2 + 2i 3 +i Hư ng d n gi i:  −π −π   π π a) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin  ; 2 + 2i = 2(1 + i) = 2 2  cos + i sin   4 4   4 4 Khi ó: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95  −π −π  2  cos + i sin  1− i  4 4  1  π π  π π  1  −π −π  1 z= = = cos  − −  + i sin  − −   =  cos + i sin =− i 2 + 2i  π π 2  4 4  4 4  2  2 2  2 2 2  cos + i sin   4 4  2π 2π   π π b) Ta có: −1 + 3i = 2  cos + i sin  ; 3 + i = 2  cos + i sin   3 3   6 6  2π 2π  2  cos + i sin  −1 + 3i  2π π   2π π  π π =  3 3  Khi ó z = = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin ⇒ z = i 3 +i  π π  3 6  3 6 2 2 2  cos + i sin   6 6 Ví d 3. Vi t các s ph c sau d ng i s  π π  π π a) z = 5  cos + i sin  .3  cos + i sin   6 6  4 4 2(cos 45 + i sin 45 ) 0 0 b) z = 3(cos150 + i sin150 ) 4. Công th c Moiver và ng d ng d ng lư ng giác c a s ph c a) Công th c Moiver Cho s ph c z = r(cosϕ + isinϕ), khi ó zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công th c zn = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] ư c g i là công th c Moiver. Ví d : π π  π  π  ( ) 4  4  z = (1 + i ) =  2cos + i sin  = 2 cos  4.  + i sin  4.   = 4 ( cosπ + i sin π ) = −4 4  4 4   4  4  B ng các phép tính toán i s ta cũng d dàng thu ư c k t qu như trên!!! b) ng d ng d ng lư ng giác ♦ ng d ng 1: Tính toán các bi u th c s ph c v i lũy th a l n Ví d 1. Tính module và vi t các s ph c liên h p c a m i s ph c sau 100 ( )  1− i  6 a) z = −1 + i 3 b) z =    1+ i  Hư ng d n gi i: 6 2π 2π  2π 2π    ( )   6 a) Ta có: −1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ z = −1 + i 3 =  2  cos + i sin    3 3    3 3   12π 12π  = 26  cos + i sin  = 2 ( cos4π + i sin 4π ) = 2 ⇒ z = 64 6 6  3 3  T ó ta có z = 64; z = 64  −π −π  b) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin   4 4   −π −π  2  cos + i sin   π π  1− i  4 4  −π −π 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ = = cos + i sin = −i  4 4  1+ i  π π 2 2 2  cos + i sin   4 4 100 100  1− i   −π −π  −100π −100π ⇒z=  =  cos + i sin  = cos + i sin =1  1+ i   2 2  2 2 T ó ta ư c z = 1; z = 1 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95 Ví d 2. Tính module c a m i s ph c sau (1 + i 3 ) ( ) (1 + i )6 ( ) 8 6 4 3 −i 3 − 3i a) z = b) z = (1 − i )5 (1 − 3i ) 5 Hư ng d n gi i: a) Ta có: π π 8π 8π  2π 2π    ( )  8 ♦ 1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ 1 + i 3 = 28  cos + i sin  = 28  cos + i sin   3 3  3 3   3 3  −π −π  −6 π −6 π   6 ( )  = 2  cos ( −π ) + i sin ( −π )  6 ♦ 3 − i = 2  cos + i sin  ⇒ 3 − i = 2  cos + i sin 6    6 6   6 6  −π −π  −5π − 5π  − 5π − 5π   ( ) 5  ♦ 1 − i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 − i ) = 2  cos + i sin  = 4 2  cos + i sin 5   4 4   4 4   4 4  T ó ta có:  2π 2π  −π −π + i sin  .26 cos ( −π ) + i sin ( −π )  ( )( ) 28  cos   8 6 1+ i 3 3 −i cos + i sin 214 =  3 3  3 3 z= = (1 − i ) 5  −5π − 5π  4 2 cos −5π − 5π 4 2  cos + i sin  + i sin  4 4  4 4 214   −π 5π   −π 5π   2  14 11π 11π  214 =  cos  +  + i sin  +  =  cos + i sin  ⇒z = 4 2  3 4   3 4  4 2  12 12  4 2 b) Ta có: π π 6π 6π  3π 3π   ( ) 6  ♦ 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2  cos + i sin  = 8  cos + i sin  6  4 4  4 4   2 2  −π −π  −6 π −6 π   ( ) ( ) 4 ♦ 3 − 3i = 3 (1 − i ) = 6  cos 4 + i sin  ⇒ 3 − 3i = 6  cos + i sin =  4 4   4 4   −3π −3π  = 36  cos + i sin   2 2  −π −π  − 5π − 5π   ( 5 ) 5 ♦ 1 − 3i = 2  cos + i sin  ⇒ 1 − 3i = 2  cos + i sin   3 3   3 3  T ó ta có:  3π 3π   −3π −3π  (1 + i )6 ( ) 8  cos + i sin  .36  cos + i sin 4 3 − 3i  cos0 + i sin 0 =  2 2   2 2  z= = 9. (1 − 3i )  − 5π − 5π  − 5π − 5π 5 25  cos + i sin  cos + i sin  3 3  3 3  5π 5π  = 9  cos + i sin  ⇒ z = 9  3 3  ♦ ng d ng 2: Tìm căn b c n c a s ph c - Khái ni m căn b c n: Cho s ph c z, m t s ph c w ư c g i là căn b c n c a s ph c z n u wn = z. - Cách tìm căn b c n c a s ph c z Gi i s s ph c z ã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và s ph c w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi ó i u ki n wn = z tương ương v i:  r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ⇔ r 'n cos ( nϕ ') + i sin ( nϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) n     Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95 r ' = n r  r 'n = r  T ó ta suy ra  ⇒ ϕ + k2π , v i k = 0, 1, 2…n –1. nϕ ' = ϕ + k2π ϕ ' =  n  ϕ + k2π ϕ + k2π  V y các căn b c n c a s ph c z là w = n r  cos + i sin  , k = 0, n − 1  n n  Ví d . Tìm các căn b c n theo yêu c u a) Căn b c 3 c a z = 3 − i b) Căn b c 4 c a z = i Hư ng d n gi i:  −π −π  a) Ta có z = 3 − i = 2  cos + i sin   6 6  G i s ph c w = r(cosϕ + isinϕ) là căn b c 3 c a z, khi ó w3 = z.  −π −π   + k2π + k2π  Theo công th c tính căn b c n c a s ph c ta có w = 3 2  cos 6 + i sin 6  , k = 0, 2  3 3     −π −π     −π −π  V i k = 0 ta ư c w1 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 3 2  cos + i sin   3 3   18 18     −π −π   + 2π + 2π   11π 11π  V i k = 1 ta ư c w 2 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 2  cos 3 + i sin   3 3   18 18     −π −π   + 4π + 4π   23π 23π  V i k = 2 ta ư c w 3 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 2  cos 3 + i sin   3 3   18 18    V y s ph c ã cho có ba căn b c ba là w1, w2, w3 như trên. π π b) Ta có z = i = cos + i sin 2 2 G i s ph c w = r(cosϕ + isinϕ) là căn b c 4 c a z, khi ó w4 = z. Theo công th c tính căn b c n c a s ph c ta có:  π π  π π  + k2π + k2π  + k2π + k2π w = 1  cos 2 + i sin 2 2 2  = cos + i sin , k = 0,3 4  4 4  4 4   π π π π V i k = 0 ta ư c w1 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 2π + 2π 5π 5π V i k = 1 ta ư c w 2 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 4π + 4π 9π 9π V i k = 2 ta ư c w 3 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 6π + 6π 2 2 13π 13π V i k = 3 ta ư c w 4 = cos + i sin = cos + i sin 4 4 8 8 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng Facebook: LyHung95 V y s ph c ã cho có b n căn b c b n là w1, w2, w3, w4 như trên. BÀI T P LUY N T P Bài 1. Vi t các s ph c sau d ng is ( ) ( ) 6 15 a) z = (1 + i ) 1 − i 3 8 b) z = 2 − 2 3i (3 3 − 3i ) . (1 − i ) 4  π π c) z =  cos − i sin  i5 .(1 + 3i)7 d) z = ( 3 + i) 6  3 3 Bài 2. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác ( ) ( )( ) 7 8 10 a) z = 3 −i (1 − i )10 b) z = 6 −i 2 3 −i (1 + i )7 ( ) 8 d) z = (1 − i ) 1 + i 3 9 b) z = ( ) 8 3 −i Bài 3. Vi t các s ph c sau d ng lư ng giác ( 3 + i) 5 ( ) (1 − i 3 ) 7 10 a) z = 3 +i (1 + i ) 4 b) z = (1 − i 3 ) 11 ( 3 − i ) .(3i) 20 6 7  1+ i 3  c) z =   1− i   d) z =   (1 + i )10 Bài 4. Tìm các căn b c 3 c a: a) z = 1 b) z = 1 + i c) z = 1 – i d) z = 1 + 3i Bài 5. Tìm các căn b c 4 c a: a) z = 3 − i b) z = 2 − 2i c) z = 1 + i 3 d) z = −i 1 1 Bài 6. Tính: z 2010 + 2010 bi t z + =1 z z Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1082 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2