Lý thuyết cực trị của hàm số_Nguyễn Phú Khánh

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

0
99
lượt xem
28
download

Lý thuyết cực trị của hàm số_Nguyễn Phú Khánh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'lý thuyết cực trị của hàm số_nguyễn phú khánh', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết cực trị của hàm số_Nguyễn Phú Khánh

  1. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn C C TR C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D ( ) ( ) a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v 0 ( ) { } ( ) i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a hàm s f . ( ) b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v 0 ( ) { } ( ) i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a hàm s f . Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ ( ) 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr : ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0 ( ) Chú ý : • ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 . • Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm . • Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm s không có ñ o hàm . 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr : ( ) ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó : 0 0  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )  a) N u  0 0 thì hàm s ( ) ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i  f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )  0 0 d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . x a x0 b ( ) f' x − + f (x ) f a() () f b ( ) f x0 b) N u  0 ( )  f ' x > 0, x ∈ a; x  0( ) thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i ( )   ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b( ) d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . -41-
  2. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x a x0 b ( ) f' x + − f (x ) ( ) f x0 f a () () f b ( ) ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o ( ) hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 . ( ) a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . b) N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s 0 f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . 4. Quy t c tìm c c tr : Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2 • Tìm f ' x ( ) ( ) • Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm. • Xét d u c a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3 • Tìm f ' x ( ) ( ) • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . ( ) • V i m i x tính f '' ( x ) . i i − N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s i ñ t c c ñ i t i ñi m x i . − N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s i ñ t c c ti u t i ñi m x i . Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : 1 ( ) a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 5 ( ) x (x − 3 ) c) f x = 3 3 f (x ) = x ( ) b) f x = x x + 2 ( ) d) Gi i : 1 3 5 a) f x = 3 ( ) x − x 2 − 3x + 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 Cách 1. B ng bi n thiên x −∞ −1 3 +∞ f' x ( ) + 0 − 0 + 10 f x ( ) 3 +∞ 22 −∞ − 3 -42-
  3. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 3 ( ) , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − 3 () ( ) Cách 2 : f '' x = 2x − 2 10 ( ) Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = ( ) 3 . 22 () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − () 3 . ( ) ( b) f x = x x + 2 =  x x + 2 khi x ≥ 0  ) ( ) −x x + 2 khi x < 0  ( ) Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ .  2x + 2 > 0 khi x > 0 ( ) Ta có f ' x =  f ' x = 0 ⇔ x = −1 ( ) −2x − 2 khi x < 0  Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 . B ng bi n thiên x −∞ −1 0 +∞ ( ) f' x + 0 − + f (x ) 1 +∞ −∞ 0 ( ) V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () ( ) c) f x = ( x x −3 )  x x − 3 khi x ≥ 0  Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  . ( ) ( )  −x x − 3 khi x < 0  ( ) 3 x − 1  (khi x > 0 )  2 x ( ) Ta có f ' x =  f' x =0⇔x =1 ( )  3 − x + −x > 0 khi x < 0  2 −x  x −∞ 0 1 +∞ ( ) f' x + − 0 + f (x ) 0 +∞ −∞ −2 () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2 () ( ) d) f x = x -43-
  4. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x khi x ≥ 0  Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x =  ( ) . −x khi x < 0  1 khi x > 0  Ta có f ' x = ( ) −1 khi x < 0  B ng bi n thiên x −∞ 0 +∞ ( ) f' x − + f (x ) +∞ +∞ 0 Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau : ( ) a) f x = x 4 − x 2 ( ) c) f x = 2 sin 2x − 3 b) f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d) f ( x ) = x − sin 2x + 2 Gi i : ( ) a) f x = x 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n  −2;2    4 − 2x 2 Ta có a ) f ' x = ( ) , x ∈ −2;2 ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 4 − x2 ( ) f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2, ( ) f − 2 = −2 ( ) f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2, f ( 2) = 2 Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n: x −2 − 2 2 2 ( ) f' x − 0 + 0 − f (x ) 0 2 −2 0 ( ) b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . -44-
  5. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) ( Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x ) sin x = 0 x = k π ( ) f' x =0⇔  cos x = − 1 = cos 2π ⇔  x = ± 2π + k 2π ,k ∈ ℤ .   2 3   3 ( ) f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x  2π  2π 2π  2π  1 f ''  ± + k 2π  = 6 cos = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ± + k 2π , f  ± + k 2π  = 4  3  3 3  3  2 ( ) f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π ( ) ( ) c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . π π ( ) Ta có f ' x = 4 cos 2x , ( ) f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = 4 +k 2 ,k ∈ ℤ π π π   −8 khi k = 2n ( ) f '' x = −8 sin 2x f ''  + k  = −8 sin  + k π  =  , khi k = 2n + 1 4 2 2  8 π π  V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f  + nπ  = −1 và ñ t c c ñ i t i 4 4  π π π π ( ) x = + 2n + 1 ; f  + 2n + 1  = −5 4 2 4 2 ( ) ( ) d ) f x = x − sin 2x + 2 π Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = − + k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m 6 π x = + kπ , k ∈ ℤ . 6 Ví d 3 : ( x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 ) 1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = ( ) x −m luôn có c c ñ i và c c ti u . ( ) ( ) 2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u . mx 2 + x + m 3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = (x +m ) không có c c ñ i , c c ti u . ( ) 4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch ( ) có m t ñi m c c tr . 1 4 3 5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = ( ) 2 x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c 2 ñ i. Gi i : -45-
  6. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . { } x2 − 2mx + m − 1 2 g (x ) Ta có y ' = = ( ) , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) (x − m ) 2 2 ( ) ( ) D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 ( ) luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh . x −∞ m −1 m m +1 +∞ ( ) f' x + 0 − − 0 + f (x ) +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1 y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay m + 2 ≠ 0   m ≠ −2  m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ( ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0  ) 3 −m − 2m + 3 > 0  2  ( −3 < m < 1 ) V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . mx 2 + 2m 2x { } 3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' = (x + m ) 2 Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình ( ) ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 ( ) Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ ( ) ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . 4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 2kx + k − 1 = 0  (*) -46-
  7. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 k = 0  k = 0 k ≤ 0  ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔   ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0 k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1   ( )   V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm . 5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔  2 x = m *  () Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 ⇔m≤0 V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm. Ví d 4 : x 2 + mx + 1 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x +m ( ) ñ t c c ñ i t i x = 2. ( ) ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i x = −1. ( ) ( ) 3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u. x 2 + mx + 2 4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ( ) x −1 có ñi m c c ti u n m trên Parabol (P ) : y = x 2 +x −4 Gi i : x 2 + 2mx + m 2 − 1 { } 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = ( ) , x ≠ −m (x + m ) 2 m = −3 () N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔  m = −1  x − 6x + 8 2 x = 2 m = −3 , ta có f ' x = ( ) ,x ≠ 3 f' x =0⇔ ( ) ( ) x = 4 2 x −3  B ng bi n thiên : x −∞ 2 3 4 +∞ ( ) f' x + 0 − − 0 + f (x ) 1 +∞ +∞ -47-
  8. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5 D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn . Tương t v i m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = { } , x ≠ −m ( ) ( ) 2 x +m 2 y '' = , x ≠ −m ( ) 3 x +m Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi  1 1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0 () ( ) 2 y ' 2 = 0   2+m  m = −1 ∨ m = −3   ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3   () y '' 2 < 0  2 0 ( ) ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 1 ( ) ( 1 ) ( ) y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2 3   3 ( ) ( ) ( ) ( ) G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . ( ) Trong ñó : -48-
  9. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn   1 3 ( ) ( ) ( y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ) ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2 ( ) ( ) y ' x 1 = 0    1 3 ( ) ( ) ( y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ) ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2 ( ) ( ) y ' x 2 = 0  Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) (2x )( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2  2 m − 2 x 2 + m − 2  > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0    1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0 2 2 2 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2      17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm . 4 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 {} x 2 − 2x − m − 2 Ta có y ' = ,x ≠ 1 ( ) g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) 2 x −1 ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1  ( ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0 ⇔  ) m + 3 > 0 ⇔ m > −3  () g 1 = −m − 3 ≠ 0  m ≠ −3   m+3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3 Khi ñó y ' = 0 ⇔  − m+3  m+3 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3  m+3 B ng bi n thiên : x −∞ x1 1 x2 +∞ ( ) f' x + 0 − − 0 + f (x ) y1 +∞ +∞ −∞ −∞ y2 ( D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s . ) ( ) 2 ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49-
  10. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) 2 ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm. Ví d 5 : ( ) 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, () () f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) . ax 2 + bx + ab 3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ( ) ax + b ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . Gi i : ( ) 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m () x = 0, f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b ( ) f ' 0 = 0  Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi  ⇔  () c = 0 ⇔  c = 0 1 ()   f '' 0 > 0   () 2b > 0   b>0 ( ) f ' 1 = 0  Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi  ⇔  () 3a + 2b + c = 0 2 ()   f '' 1 < 0   () 6a + 2b < 0 () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 () T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x 3 2 Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 2 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1 V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 ( ) 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 . ( ) Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b -50-
  11. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn  f ' −2 = 0  Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi   ⇔ ( ) 4a − b = 12 1 ()   f −2 = 0  ( ) 4a − 2b + c = 8 ( ) () ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 () T (1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 . a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' = (ax + b ) 2 • ði u ki n c n : Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi b 2 − a 2b b 2 − a 2b = 0  =0  b = a 2 > 0  () y ' 0 = 0  b 2 ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b  b≠0 ⇔ 2  a = −2  ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔  ( )   () y ' 4 = 0  =0 16a + 8ab + b − a b = 0 2 2 4a + a 2 ≠ 0 b = 4  ( ) 2  4a + b 4a + b ≠ 0    • ði u ki n ñ : a = −2  x 2 − 4x x = 0  ⇒ y' = y' = 0 ⇔  b = 4 ( ) x = 4 2  −x + 2  B ng bi n thiên x −∞ 0 2 4 +∞ ( ) f' x + 0 − − 0 + f (x ) Cð +∞ +∞ −∞ −∞ CT T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm. Ví d 6: ( ) 1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) . Hãy xác ñ nh t t c các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u c a ñ th (C ) v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x a 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 2. Cho hàm s y = f x = ( ) x . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i x ∈ 0;2m ( ) 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua -51-
  12. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñư ng th ng y = x − 2 2 4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) ( x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 ) . có c c x −1 tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t. 5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = x 2 + m + 2 x + 3m + 2 ( có giá tr ) x +1 1 c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > . 2 2 2 Gi i : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2  ( ) ( ) ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 ( ) ( ) v hai phía c a hai ( ) ñư ng tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 a a 5 ( ) ( ) ( ) + (y − 2a ) 2 2 Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a 2  2 36 6 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2 Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5  a +  + 2 ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B  5 5 5 ( ) n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn 3 (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( ) 2 a a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔
  13. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 , . x 1.x 2 = 3 ( ) ( G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB . ðư ng th ng AB có h s góc y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 x 2 − x1 x 2 − x1 m2 2m 2 − 6 kAB = 4 − − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 2 ( ) AB ⊥ ∆  ( ) ( ) Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi  ( ) I ∈ ∆  1  2m − 6  2 • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2  3  • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 y' = 0 ⇔  1 1 ⇒ I 1; −2 ( ) ( )   x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4 ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ ( ) V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 . x − 2x + m − 3m + 3 2 g (x )2 Ta có y ' = = ,x ≠ 1 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x 1 2 khác 1 . ∆ ' > 0   2 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1
  14. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2  7 4 4 4 7 y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5  m −  − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m =  5 5 5 5 5 7 So v i ñi u ki n , v y m = là giá tr c n tìm . 5 5. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 . { } x 2 + 2x − 2m ( ) g x Ta có : y ' = = , x ≠ −1 ( ) g x = x 2 + 2x − 2m ( ) ( x + 1) 2 2 x +1 ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác  ∆ ' > 0  2m + 1 > 0 1 −1 ⇔  ⇔ ⇔m >−  ( ) g −1 ≠ 0  −2m − 1 ≠ 0  2 ( ) ( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 Theo ñ nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ( ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) 2 2 2 y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 y1 + y 2 = 4  x 1 + x 2 ( )  + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 − 2x 1x 2     1 2 y1 + y2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 ( ) Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − 2 ( ) f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2  1   1 1  1  ( ) Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞  ( )  2   2 2  2  1  1  V y y CÑ + yCT > , m ∈  − ; +∞  2 2 2  2  Ví d 7: 1 1 ( 1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i , 3 3 ) ( ) c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m tương ng có m t x +m ñi m c c tr thu c góc ph n tư th ( ) II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th (IV ) c am t ph ng t a ñ . Gi i : 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . -54-
  15. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 ( ) ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình ( ) ( mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 )  m ≠ 0 m ≠ 0  m ≠ 0   ⇔ ⇔ 2 − 6 2+ 6 ( ) ( ) 2 −2m + 4m + 1 > 0 2 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0   
  16. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 ()()() T a b c suy ra m < − là giá tr c n tìm. 5 Ví d 8: ( ) ( ) ( ) Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñ th là C m , m là tham s . ( ) 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u . 2. Khi m = 1 , ñ th hàm s là C ( ) () a ). Vi t phương trình ñư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = x 3 ( ) và ti p xúc v i ñ th C . b ). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a C . ( ) Gi i : Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) ( ) 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . ( ) ( ) Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ñó ñ th c a hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . ( ) ( ) 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 a ). G i M ( x ; y ) là to 0 0 ñ ti p ñi m c a ñư ng th ng d và ñ th () (C ) 3 2 () ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ðư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = x 3 khi 1 y 0 '   = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () V y ñư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i ñ th (C ) t i ñi m ( 0; −1) . ( ) ( b ). ð th C có ñi m c c ñ i là A −1;1 , ñi m c ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ñó ñư ng th ng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví d 9: ( ) ( ) 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ( ) ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . x 2 − m + 1 x + 3m + 2 ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = ( ) x −1 có hai ñi m c c ñ i và c c ti u cùng d u . ( ) ( ) ( ) 3. Cho hàm s y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ð nh m ñ hàm s ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1. x 2 + 2mx + 2 4. Tìm giá tr c a m ñ ñ th hàm s f x = x +1 ( ) có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u và kho ng cách t hai ñi m ñó ñ n ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : ( ) ( 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 ) -56-
  17. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình ( ) f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 () ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . x 2 − 2x − 2m − 1 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x ={} ( ) ,x ≠ 1 ( ) 2 x −1 ( ) Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình ( ) g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 , khi ñó  ∆ ' > 0  2m + 2 > 0  () ⇔ ⇔ m > −1 (1 ) g 1 ≠ 0  −2m − 2 ≠ 0  ( ) ( G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0 ( )  2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2 Khi ñó: y ' = 0 ⇔  − 2m + 2  2m + 2 x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2  2m + 2 Hai giá tr c c tr cùng d u khi ( )( y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m ) ( ) 2 ( − 4 2m + 2 > 0 ) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (2 ) T (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2 x 2 − 2x − 2m − 1 {} Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ( ) ,x ≠ 1 ( x − 1) 2 ( ) Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình  ∆ ' > 0  2m + 2 > 0 ( ) g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔  ⇔ ()  ⇔ m > −1 g 1 ≠ 0  −2m − 2 ≠ 0  Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay ( phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T c là  m < 5 − 4 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0  ⇔ ( )  ⇔ ( ) m 2 − 10m − 7 > 0   ⇔  m > 5 + 4 2 ( 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0  ) 2m + 2 ≠ 0   m ≠ −1  So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm . -57-
  18. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2 ( ) ( ) ( ) ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 ( ) ( ) có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n :  ()  1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 () 3 3m 2 + m − 4 < 0 ( )    x < 1 < x  1 2 1 ⇔  () ∆ ' > 0   9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ⇔  ( ) ( )   x1 < x 2 ≤ 1 2  () () 2 ⇔  −3.f ' 1 ≥ 0  ()  3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 ( )  S  0 ⇔  ⇔ 3 ⇔m
  19. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s y = x − 2mx + 2m + m có c c ñ i , c c ti u ñ ng th i các ñi m 4 2 4 c c tr l p thành tam giác ñ u. Gi i : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . { } x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( ) Ta có f ' x = ,x ≠ m ( ) g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m (x − m ) 2 ( ) ( ) x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 Do ñó f ' x = 0 ⇔  1 1 ( ) ( ) x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2  ( ) ( ) ð t A x 0 ; y 0 .Gi s ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s x = m1 − 1  x = m2 + 1  Ta có:  0 ; 0 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 2 2   m − 1 = m2 + 1   m − m2 = 2 Theo bài toán , ta có :  1 2 ⇔ 1 −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  2 ( )(  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4  )  1  1 m1 − m2 = 2 m1 = x 0 = − ⇔  ⇔  2 ⇒  2 ⇒ A− 1;− 7    m1 + m2 = −1  m = − 3 y = − 7  2 4  2  2  0  4  1 7 V y A  − ; −  là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán .  2 4 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ x = 0 Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m ( ) y' = 0 ⇔  2 x = m * ()  ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các () nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔  ( ) ( x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C  ) ( m ; m 4 − m 2 + 2m ) Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u AB = AC  ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0( ) ( ) AB = BC  V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Ví d 11: 1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Gi i : -59-
  20. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + a x −2 ( ) y '' = a x 2 − 4x + 5 (x ) 3 2 − 4x + 5  a x −2  x 2 − 4x + 5( ) y ' x = 0  Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔  0   2 ( ) 0 ⇔  x − 4x + 5 =2  0 ⇔ 0 = a (1) x0 − 2 y '' x 0 < 0   0 ( ) 0 a < 0 2 a < 0   () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 0 − 4x 0 + 5 2 Xét hàm s : f x 0 = ( ) x0 − 2 , x0 < 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 x →−∞ ( ) lim f x 0 = lim x →−∞ x0 − 2 = −1 , − x →2 ( ) lim f x 0 = lim− x →2 x0 − 2 = −∞ −2 ( ) Ta có f ' x 0 = ( < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 ) ( ) 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 B ng bi n thiên : x −∞ 2 ( ) f' x − f (x ) −1 −∞ () a Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 BÀI T P T LUY N 1. Tìm c c tr c a các hàm s sau : ( )1 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 ( ) f ) f x = 8 − x2 3 () 1 3 b) f x = x − x 2 + 2x − 10 ( ) g) f x = 2 x x +1 3 x3 ( ) c) f x = x + 1 ( ) h) f x = x +1 x 1 1 ( ) i) f x = 5 − x 2 ( ) d) f x = x 5 − x 3 + 2 5 3 j ) f (x ) = x + x2 − 1 x 2 − 3x + 3 e) f x =( ) x −1 1 k ) f (x ) = x 3 − x 2 − 3x + 4 3 3 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau : -60-

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản