Lý thuyết điều khiển nâng cao-Chương 3: Điều khiên tối ưu

Chia sẻ: Le Trong Tan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
144
lượt xem
43
download

Lý thuyết điều khiển nâng cao-Chương 3: Điều khiên tối ưu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Điều khiển tối ưu là bài toán xác định luật điều khiển cho hệ thống trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng. Điều khiển tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương pháp biến phân được phát triển bởi các nhà toán học như bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết điều khiển nâng cao-Chương 3: Điều khiên tối ưu

  1. Môn Môn học LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Bách Khoa TP Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 1
  2. Ch Chương 3 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 2
  3. Nội dung chương 3 Giới thiệu thi Tối ưu hóa tĩnh Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến phân Phương pháp qui hoạch động Bellman Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman) Điều khiển tối ưu LQG khi LQG 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 3
  4. GI GIỚI THIỆU 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 4
  5. Giới thiệu Điều khiển tối ưu là bài toán xác định luật điều khiển cho hệ thống khi là bài toán xác đị lu khi cho th động cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng. Điều khiển tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương pháp biến phân được phát triển bởi các nhà toán học như Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass,… Từ những năm 1950, điều khiển tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở nh 1950 khi phát tri và tr thành một lĩnh vực độc lập. Các phương pháp điều khiển tối ưu quan trọng nhất là: Phương pháp quy hoạch động do Richard Bellman (1920-1984) đưa ra trong thập niên1950. Nguyên lý cực tiểu Pontryagin do Lev Pontryagin (1908-1988) lý ti Pontryagin do Lev Pontryagin (1908 và các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950. Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc Kalman do Rudolf Kalman (b. 1930) đưa ra trong những năm1960. 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 5
  6. Phân loại bài toán điều khiển tối ưu Có nhiều bài toán điều khiển tối ưu, tùy theo: nhi bài toán khi tùy theo: Loại đối tượng điều khiển Mi th gian liên Miền thời gian liên tục hay rời rạc hay Chỉ tiêu chất lượng Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không Điều khiển tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời gian Điều khiển tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear Quadractic tí (Li Regulator – LQR) Bài toán điều khiển tối ưu H2 … 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 6
  7. Ứng dụng Trước khi máy tính số ra đời, chỉ có thể giải được một số ít bài toán khi máy tính ra đờ ch có th gi đượ ít bài toán điều khiển tối ưu đơn giản Máy tính số ra đời cho phép ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu vào nhiều bài toán phức tạp. Ngày nay, điều khiển tối ưu được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực: Không gian (aerospace) Điều khiển quá trình (proccess control) Robot Kỹ thuật sinh học (bioengineering) Kinh Kinh tế Tài chính … 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 7
  8. TỐI ƯU HÓA TĨNH 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 8
  9. Tối ưu hóa tĩnh không ràng buộc Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông số thực (hay phức) toán không ràng bu tìm th (hay ph u1, u2,…, um sao cho hàm L(u1, u2,…, um) đạt cực tiểu: L(u)=L(u1, u2,…, um) → min trong đó u=[u1, u2,…, um]T Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu L(u)≥L(u*) với mọi u nằm trong lân cận ε của u*. Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu toàn cục nếu L(u)≥L(u*) với mọi u 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 9
  10. Điều kiện cực trị không ràng buộc Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u, thì điều kiện cần và đủ để u* là kh đạ hàm theo thì ki đủ điểm cực tiểu cục bộ là: ⎧ Lu (u* ) = 0 ⎨ Luu (u* ) > 0 ⎩ trong đó: ⎡ ∂L ∂u1 ⎤ ⎢ ∂L ∂u ⎥ ∂L ⎢ 2⎥ Lu = = ∂u ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣∂L ∂u m ⎦ ⎡ ∂ 2 L ∂u1u1 ∂ 2 L ∂u1u2 L ∂ 2 L ∂u1um ⎤ ∂2L ⎢ ⎥ Luu = 2 = ⎢ M M M ⎥ ∂u ⎢∂ 2 L ∂umu1 ∂ 2 L ∂umu2 L ∂ 2 L ∂u mum ⎥ ⎣ ⎦ 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 10
  11. Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1 Tìm Tìm cực trị hàm: L(u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 2 tr hàm: Giải: Điều kiện cần có cực trị: ⎡ ∂L ⎤ ∂L ⎢ ∂u1 ⎥ ⎧10u1 + 2u2 + 8 = 0 ⎧u1 = −0.7222 * ⎪ ⎪ Lu = =⎢ ⎥=0 ⇒ ⎨ ⇒⎨ ∂u ⎢ ∂L ⎥ ⎪2u1 + 4u 2 + 3 = 0 ⎪u2 = −0.3889 * ⎩ ⎩ ⎣ ∂u2 ⎥ ⎢ ⎦ Xét vi phân bậc hai: vi phân hai: ⎡ ∂2L ∂2L ⎤ ⎢ ⎥ ∂u1 ∂u 2 ⎥ ⇒ L = ⎡10 2⎤ ∂u12 ⇒ Luu > 0 Luu = ⎢ 2 ⎢ 2 4⎥ uu ⎢ ∂L ∂L ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎢ ∂u ∂u ∂u 2 ⎥ 2 ⎣12 ⎦ (u1 , u 2 ) = (−0.7222;−0.3889) là điểm cực tiểu. * * ⇒ 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 11
  12. Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1 Tìm u* = (−0.7222;−0.3889) 250 200 150 L 100 50 0 u* 4 -50 2 6 4 0 2 0 u1 -2 -2 -4 u2 -4 -6 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 12
  13. Tối ưu hóa tĩnh có ràng buộc Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số u sao cho hàm toán có ràng bu tìm vector cho hàm L(x,u) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa điều kiện f(x,u)=0 L(x,u) → min f(x,u)=0 trong đó x=[x1, x2,…, xn]T u=[u1, u2,…, um]T L : ℜn × ℜm → ℜ f : ℜn × ℜm → ℜ p L(x,u) gọi là hàm đánh giá và f(x,u) là điều kiện ràng buộc 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 13
  14. Hàm Hàm Hamilton Định nghĩa hàm Hamilton: ngh hàm Hamilton H ( x , u) = L ( x , u) + λ T f ( x , u) trong đó λ ∈ ℜ p là vector hằng số, gọi là thừa số Larrange là vector là th Larrange Do ràng buộc f(x,u) = 0 nên cực tiểu của L(x,u) cũng chính là cực tiểu của H(x,u). ti ⇒ Biến đổi bài toán tìm cực tiểu hàm L(x,u) với ràng buộc f(x,u) = 0 thành bài toán tìm cực tiểu không ràng buộc hàm Hamilton H(x,u) bài tì ti khô hà Vi phân hàm Hamilton: ∂H ( x , u) ∂H ( x , u) dH ( x , u) = dx + du ∂x ∂u 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 14
  15. Thừa số Lagrange Th Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự do chọn thừa số Lagrange ta tìm tr theo có th do ch th Lagrange sao cho: ∂H ( x , u) ∂L( x, u) T ∂f ( x , u) +λ H x ( x , u) = = =0 ∂x ∂x ∂x −1 ⎡ ∂L( x , u) ⎤ ⎡ ∂f ( x , u) ⎤ λ = −⎢ ⇒ T ⎥⎢ ⎥ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎦ Viết gọn lại: λ T = − Lx [ f x ] −1 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 15
  16. Độ dốc của hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc Độ ∂L( x , u) ∂L( x , u) Vi phân hàm mục tiêu: dL( x , u) = dx + hà tiê du ∂x ∂u ∂f ( x, u) ∂f ( x , u) Do f(x,u) = 0 nên: df ( x, u) = dx + du = 0 ∂x ∂u −1 ∂f ( x, u) ⎤ ∂f ( x , u) ⎡ dx = − ⎢ ⇒ du ⎥ ⎣ ∂x ⎦ ∂u Thay (2) vào (1), ta được: −1 ∂L( x, u) ⎡ ∂f ( x, u) ⎤ ∂f ( x, u) ∂L( x , u) dL( x , u) = − du + du ⎢ ∂x ⎥ ∂x ⎣ ∂u ∂u ⎦ ∂H ( x , u) ∂f ( x, u) ∂L( x , u) ⎤ ⇒ dL( x, u) = ⎡λ T ⇒ dL( x , u) = + du ⎥ du ⎢ ∂u ∂u ∂u ⎦ ⎣ ⇒Với điều kiện f(x,u)=0, độ dốc của L(x,u) theo u chính bằng Hu(x,u) ⇒ Điều kiện để L(x,u) đạt cực trị với ràng buộc f(x,u)=0 là: ki để đạ tr ràng bu là: H u ( x , u) = 0 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 16
  17. Điều kiện cần cực trị có ràng buộc Kết hợp với điều kiện xác định hằng số Lagrange, điều kiện cần để ki xác đị Lagrange ki để L(x,u) đạt cực trị có ràng buộc f ( x , u) = 0 là: ⎧ H x ( x , u ) = Lx ( x , u ) + λ T f x ( x , u ) = 0 ⎪ ⎨ H u ( x , u) = Lu ( x, u) + λ f u ( x, u) = 0 T ⎪ H λ ( x , u) = f ( x , u ) = 0 ⎩ H ( x , u) = L( x, u) + λT f ( x , u) trong đó: 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 17
  18. Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1 Tìm Tìm cực trị hàm: L(u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 2 Tì hà Với điều kiện ràng buộc: f (u) = u1 + 6u 2 − 2 = 0 Giải: Hà Hàm Hamilton: H (u) = L(u) + λT f (u) ⇒ H (u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 + λ (u1 + 6u2 − 2) 2 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 18
  19. Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1 Tìm Điều kiện cần để có cực trị: ki để có tr ∂H (u) = 10u1 + 2u2 + 8 + λ = 0 ∂u1 ⎧ H x ( u) = 0 ⎪ ∂H (u) ⇒ ⎨ H u ( u) = 0 = 2u1 + 4u2 + 3 + 6λ = 0 ⎪ f ( u) = 0 ∂u2 ⎩ f (u) = u1 + 6u2 − 2 = 0 Giải hệ phương trình, ta được: u* = [− 0.8412 0.4735] λ = −0.5353 T H (u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 + λ (u1 + 6u2 − 2) 2 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 19
  20. Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1 Tìm u* = [− 0.8412 0.4735] T 250 200 150 L 100 50 0 u* 4 -50 2 6 4 0 2 0 u1 -2 -2 -4 u2 -4 -6 22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản