Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

22
4.931
lượt xem
2.445
download

Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn tập Toán tham khảo về một số dạng bài tập chương . Giúp các em có thêm kiến thức để đạt được điểm cao hơn trong kì thi Đại học sắp tới. Chúc các em thi thành công.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D

  1. Trường……………………………… Khoa………………………….. Lý thuyết luyện thi đại học môn toán
  2. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam b c KHẢO SÁT HÀM SỐ S  x1  x 2  x 3   ; x1.x 2  x 2 .x 3  x 3 .x1   ; a a d Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC P  x1.x 2 .x 3  a I. Tam thức bậc hai: III. Đạo hàm:  a  b  0 BẢNG ĐẠO HÀM  c  0   x   , ax  bx  c  0   2 (kx) '  k (ku) '  k.u '  a  0  (x  ) '  .x 1     0 (u  ) '  .u '.u 1 .   a  b  0 1 u'  ( x)'  ( u)'  c  0 2 x 2 u   x   , ax  bx  c  0   2  a  0 ' '  1 1 1 u'    0    2    2  x x u u  Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (sin x) '  cos x (sin u) '  u '.cos u Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 ; x 2 thì: (cos x) '   sin x (cos u) '  u '.sin u b c S  x1  x 2   ; P  x1.x 2  a a 1 u' (tan x) '  (tan u) '  a  0 cos 2 x cos 2 u  Pt có 2 nghiệm phân biệt     0 1 u ' (cot x) '  (cot u) '  a  0 sin 2 x sin 2 u  Pt có nghiệm kép     0 (ex ) '  ex (eu ) '  u '.eu a  0  a  0 1 u'  Pt vô nghiệm  b  0   (ln x) '  (ln u) '  c  0   0 x u  1 u'  Pt có 2 nghiệm trái dấu  P  0  log a x  '   loga u  '  x ln a u ln a   0  Pt có 2 nghiệm cùng dấu   (a x ) '  a x .ln a (a u ) '  u '.a u .ln a P  0  Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương Quy tắc tính đạo hàm   0 (u  v) = u  v (uv) = uv + vu   P  0 S  0   u  uv  vu yx  yu.ux    (v  0)  Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm v v2   0 Đạo hàm của một số hàm thông dụng   P  0 ax  b ad  bc S  0 1. y   y'   cx  d  cx  d  2 II. Đa thức bậc ba:  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ax 2  bx  c adx 2  2aex  be  cd 2. y   y'  dx  e  dx  e  2 Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1; x 2 ; x 3 thì: Trang 1
  3. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ. 1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.  Xét sự biến thiên của hàm số: y‟ = 0 vô nghiệm  D‟ = b2 – 3ac < 0 o Tính y. o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 a>0 a<0 hoặc không xác định. y y o Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). I I o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.  Vẽ đồ thị của hàm số: 0 x 0 x o Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). 3. Hàm số trùng phƣơng – Tính y. y  ax 4  bx 2  c (a  0) : – Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.  Tập xác định D = R. o Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ  Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. thị. o Xác định một số điểm đặc biệt của đồ  Các dạng đồ thị: thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ y‟ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  ab < 0 (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể a>0 a<0 bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. o Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :  Tập xác định D = R.  Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. y‟ = 0 có 1 nghiệm phân biệt  ab > 0  Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y‟ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  D‟ = b2 – 3ac > 0 a>0 a<0 y y I 0 x 0 x I 4. Hàm số nhất biến ax  b y (c  0, ad  bc  0) : cx  d y‟ = 0 có nghiệm kép  D‟ = b2 – 3ac = 0 a>0 a<0  Tập xác định D = R \  . d c  Trang 2
  4. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam d CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN  Đồ thị có một tiệm cận đứng là x   và một c a KHẢO SÁT HÀM SỐ tiệm cận ngang là y  . Giao điểm của hai tiệm c cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI  Các dạng đồ thị: ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ad – bc > 0 ad – bc < 0 ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0  x 0 ;f (x 0 )  . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x 0 ;f (x 0 )  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) ax 2  bx  c Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của 5. Hàm số hữu tỷ y  đƣờng cong (C): y = f(x) a 'x  b' ( a.a '  0, tử không chia hết cho mẫu) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0  x 0 ; y0   Tập xác định D = R \    b' a' .  Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). b' Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương  Đồ thị có một tiệm cận đứng là x   và một a' trình f(x) = y0. tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0). đối xứng của đồ thị hàm số.  Phương trình tiếp tuyến  là:  Các dạng đồ thị: y – y0 = f (x0).(x – x0) y = 0 có 2 nghiệm phân biệt a 0 a0 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).   có hệ số góc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. y = 0 vô nghiệm  Phương trình đường thẳng  có dạng: a 0 a0 y = kx + m. y y   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f (x)  kx  m 0 x 0 x  (*) f '(x)  k  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Trang 3
  5. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể Dạng 3: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d được cho gián tiếp như sau: mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp   tạo với chiều dương trục hoành góc  thì tuyến với đồ thị (C): y = f(x) k = tan Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.   song song với đường thẳng  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số d: y = ax + b thì k = a góc k: y = k(x – xM) + yM   vuông góc với đường thẳng   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: 1 f (x)  k(x  x M )  y M (1) d: y = ax + b (a  0) thì k =   a f '(x)  k (2)   tạo với đường thẳng d: y = ax + b một  Thế k từ (2) vào (1) ta được: k a f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) góc  thì  tan  1  ka  Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của x của (3) (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A(x A ; yA ) . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. Dạng 4: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau y0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  tại M: Gọi M(xM; yM). y – y0 = f (x0).(x – x0)  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   đi qua A(x A ; yA ) nên:   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (1) f (x)  k(x  x M )  y M (1)  Giải phương trình (1), tìm được x0. Từ đó  viết phương trình của . f '(x)  k (2) Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Thế k từ (2) vào (1) ta được:  Phương trình đường thẳng  đi qua f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) A(x A ; yA ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)  Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3)   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. trình sau có nghiệm:  Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau f (x)  k(x  x A )  y A  f (x1).f (x2) = –1  (*) Từ đó tìm được M. f '(x)  k Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành phương trình tiếp tuyến . (3) coù2 nghieäm phaân bieät thì  f(x1 ).f(x2 ) < 0 Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương Vấn đề 2. SỰ TƢƠNG GIAO CỦA trình sau có nghiệm: CÁC ĐỒ THỊ  f (x)  g(x) 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x).  (*) f '(x)  g '(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là của hai đường đó. phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao Trang 4
  6. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hoành tại 3 trình bậc 3 điểm phân biệt  Trƣờng hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và  Phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 có 3 Ox có 1 điểm chung nghiệm phân biệt.  f khoâng coù cöïc trò (h.1a)  Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có cực đại, cực   f coù 2 cöïc trò  (h.1b) tiểu và yCÑ .yCT  0 .  yCÑ .yCT >0  Vấn đề 3. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)  Trƣờng hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C)  Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao tiếp xúc với Ox điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) f coù 2 cöïc trò  Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ  (h.2) yCÑ .yCT =0 giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)  Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau: Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1) Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) và d: y  Trƣờng hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  =m (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  d là đường thẳng cùng phương với Ox f coù 2 cöïc trò  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm  (h.3) của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) yCÑ .yCT <0 y (C) m A (d) : y = m Bài toán 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm yCĐ c. cùng dấu c. c. c. c.  Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân yCT xA x biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương c. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) f coù 2 cöïc trò  Thực hiện tương tự, có thể đặt g(m) = k. y .y < 0   Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.   CÑ CT xCÑ > 0, xCT > 0 a.f(0) < 0 (hay ad < 0)  Đặc biệt: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị  Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax  bx 2  cx  d  0 (a  0) (1) có đồ thị (C) 3  Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành  Trƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân Trang 5
  7. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN độ âm ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f coù 2 cöïc trò y .y < 0    CÑ CT Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị xCÑ < 0, xCT < 0 (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng a.f(0) > 0 (hay ad > 0)  d: y = ax + b Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB  Phương trình đường thẳng  vuông góc 1 với d: y = ax + b có dạng: : y   x  m a  Phương trình hoành độ giao điểm của  và 1 (C): f(x) =  x  m (1) Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU a  Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI điểm phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các 1. Đồ thị hàm số y = f  x  (hàm số chẵn) nghiệm của (1).  Tìm toạ độ trung điểm I của AB. Gọi (C) : y  f (x) và (C1 ) : y  f  x  ta thực hiện  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  các bước sau: d, ta tìm được m  xA, xB  yA, yB  A, B. Bƣớc 1. Vẽ đồ thị (C) và chỉ giữ lại phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung. Bƣớc 2. Lấy đối xứng phần đồ thị ở bước 1 qua trục tung ta được đồ thị (C1). 2. Đồ thị hàm số y = f(x) Gọi (C) : y  f (x) và (C2 ) : y  f (x) ta thực hiện các bước sau: Chú ý: Bƣớc 1. Vẽ đồ thị (C).  A, B đối xứng nhau qua trục hoành Bƣớc 2. Giữ lại phần đồ thị của (C) nằm phía x A  x B trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị nằm  phía dưới trục hoành của (C) qua trục hoành ta  yA   yB được đồ thị (C2).  A, B đối xứng nhau qua trục tung x A  x B  3. Đồ thị hàm số y = f  x   yA  yB Gọi (C1 ) : y  f  x  , (C2 ) : y  f (x) và  A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b (C3 ) : y  f  x  . Dễ thấy để vẽ (C3) ta thực hiện x A  x B  các bước vẽ (C1) rồi (C2) (hoặc (C2) rồi (C1)).  y A  y B  2b  A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a  x A  x B  2a   yA  yB Trang 6
  8. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị LƢỢNG GIÁC (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phƣơng pháp: A, B đối xứng nhau Vấn đề 1: ÔN TẬP qua I  I là trung điểm của AB. I. Góc và cung lƣợng giác:  Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y  k(x  a)  b . 1. Giá trị lượng giác của một số góc:      Phương trình hoành độ giao điểm của (C) Α 0 và d: f(x) = k(x  a)  b (1) 6 4 3 2  Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân 1 2 3 Sinα 0 1 biệt 2 2 2 A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1). 3 2 1 Cosα 1 0  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là 2 2 2 trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB. 3 Chú ý: Tanα 0 1 3  3 x A  x B 3 A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   Cotα  3 1 0  yA   yB 3 2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) Dạng 3: Khoảng cách   –x  –x –x + x +x Kiến thức cơ bản: 2 2 1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B: Sin –sinx sinx cosx –sinx cosx AB = (x B  x A )2  (yB  yA )2 – Cos cosx –cosx sinx –sinx 2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường cosx thẳng : ax + by + c = 0: Tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx ax 0  by0  c Cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx d(M, ) = a 2  b2 II. Công thức lƣợng giác: 3. Diện tích tam giác ABC: 1. Công thức cơ bản:   2   AB2 .AC2   AB.AC  1 1 S = AB.AC.sin A  sin 2 a  cos2 a  1 2 2 tan a.cot a  1 1 1  tan 2 a  Nhận xét: Ngoài những phương pháp đã nêu, bài cos 2 a tập phần này thường kết hợp với phần hình học 1 giải tích, định lý Vi-et nên cần chú ý xem lại các 1  cot 2 a  sin 2 a tính chất hình học, các công cụ giải toán trong 2. Công thức cộng: hình học giải tích, áp dụng thành thạo định lý Vi-et trong tam thức bậc hai. cos(  )  cos .cos   sin .sin  cos(  )  cos .cos   sin .sin  sin(  )  sins .cos   cos .sin  sin(  )  sins .cos   cos .sin  tan   tan  tan(  )  1  tan .tan  tan   tan  tan(  )  1  tan .tan  Trang 7
  9. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 3. Công thức nhân đôi, nhân ba: Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG cos 2  cos 2   sin 2   2cos 2   1  1  2sin 2  GIÁC  (cos   sin )(cos   sin ) I. Phƣơng trình cơ bản: sin2  2sin .cos   x    k2 cos3  4cos3   3cos   sin x  sin    k   x      k2 sin 3  3sin   4sin3   x    k2  cos x  cos    k   x    k2 4. Công thức hạ bậc: 1  cos 2x  tan x  tan   x    k k  cos 2 x   1  sin 2 x 2  cot x  cot   x    k k   (1  cos x)(1  cos x) Trường hợp đặc biệt: 1  cos 2x  sin x  0  x  k, k  sin 2 x   1  cos 2 x 2   (1  cos x)(1  sin x)  sin x  1  x   k2 k  2 5. Công thức biến đổi tổng thành tích:   sin x  1  x    k2 k   xy xy 2 cos x  cos y  2 cos cos  2 2  cos x  0  x   k k  xy xy 2 cos x  cos y  2sin sin 2 2  cos x  1  x  k2 k  xy xy II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một sin x  sin y  2sin cos hàm lƣợng giác: 2 2 xy xy  a sin 2 x  bsinx  c  0 (1) sin x  sin y  2 cos sin 2 2  a cos2 x  b cosx  c  0 (2) 6. Công thức biến đổi tích thành tổng:  a tan 2 x  b tan x  c  0 (3) 1  a cot 2 x  a cot x  c  0 (4) cos  cos    cos(  )  cos(  ) 2 Cách giải: 1 - Đặt t là một trong các hàm lượng giác. sin  sin     cos(  )  cos(  )  2 Giải phương trình theo t và dễ dàng tìm được 1 nghiệm của phương trình đã cho. sin  cos   sin(  )  sin(  )  2 III. Phƣơng trình a.sin x  b.cos x  c  Một số chú ý cần thiết: Cách giải: sin 4 x  cos4 x  1  2.sin 2 x.cos2 x - Nếu a 2  b2  c2 : phương trình vô nghiệm sin 6 x  cos6 x  1  3.sin 2 x.cos2 x - Nếu a 2  b2  c2 : Ta chia hai vế của sin 8 x  cos8 x  (sin 4 x  cos 4 x) 2  2sin 4 x.cos 4 x phương trình cho a 2  b2 . Pt trở thành:  (1  2sin 2 x.cos2 x)2  2sin 4 x.cos 4 x a sin x  b cos x  c 1 a b 2 2 a b 2 2 a  b2 2  sin 4 2x  sin 2 2x  1 c 8  cos .sin x  sin .cos x  Trong một số phương trình lượng giác, đôi a 2  b2 khi ta phải sử dụng cách đặt như sau: c  sin(x  )  Đặt t  tan x a  b2 2 2t 1 t2  b a  Khi đó: sin 2x  ; cos 2x  Lƣu ý:  sin   ;cos    1 t2 1 t2 a 2  b2 a 2  b2   Trang 8
  10. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Biến thể: VI. Phƣơng trình A.B  0 a.sin x  b.cos x  csin y  d cos y Cách giải: Trong đó: a 2  b2  c2  d 2 - Dùng các công thức biến đổi đưa về dạng A.B  0 a.sin x  b.cos x  csin y (có thể c.cos y ) A  0 Trong đó: a 2  b2  c2 A.B  0   IV. Phƣơng trình B  0 a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x  d Cách giải: Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT Cách 1:  Xuất hiện 3 nghĩ đến phương trình III.  - Xét cos x  0  x   k2, k    Xuất hiện 3 và góc lượng giác lớn nghĩ đến 2 dạng biến thể của phương trình III. Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận  Xuất hiện góc lớn thì dùng công thức tổng có nhận nghiệm cos x  0 hay không?) thành tích để đưa về các góc nhỏ.  - Xét cos x  0  x   k2, k   Xuất hiện các góc có cộng thêm 2   k , k , k thì có thể dùng công thức tổng thành Chia hai vế của phương trình cho cos2 x . Phương 4 2 trình trở thành: tích, tích thành tổng hoặc cung liên kết, hoặc a.tan 2 x  b.tan x  c  d(1  tan 2 x)   công thức cộng để làm mất các k , k , k Đặt t  tan x ta dễ dàng giải được phương trình. 4 2 Cách 2:  Xuất hiện 2 thì nghĩ đến phương trình III hoặc cũng có khả năng là các vế còn lại nhóm Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình III. Chú ý: Đối với dạng phƣơng trình thuần được (sin x  cos x) để triệt 2 vì nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos ta cũng   có cách giải hoàn toàn tương tự. t  sin x  cos x  2 sin  x    4 V. Phƣơng trình  Khi đã đơn giản các góc, mà chưa đưa về a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c  0 được phương trình quen thuộc thì nghĩ ngay đến Cách giải: khả năng “nhóm nhà, nhóm cửa”. Lưu ý, khả Đặt t  sin x  cos x năng tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) về tích hai phương trình bậc nhất.     Điều kiện: t  2  Do t  2 sin  x    Chú ý: Góc lớn là góc có số đo lớn hơn 2x.   4  Ta chỉ sử dụng công thức nhân ba khi đã đưa bài Ta có: t 2  sin 2 x  cos2 x  2sin x.cos x toán về sinx, sin 2 x hoặc cosx, cos2 x . t2 1  sin x.cos x  2 Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC t 2 1 I. Công thức sin, cos trong tam giác: Pt trở thành: a.t  b c 0 Do A  B  C   nên: 2 Ta dễ dàng giải được. a. sin(A  B)  sin C Chú ý: Đối với dạng phương trình b. cos(A  B)   cos C a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c  0 A B C  Do    nên:   2 2 2 2 Bằng cách đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   A B C  4 a. sin(  )  cos ta sẽ giải được với cách giải hoàn toàn tương tự 2 2 2 như trên. Trang 9
  11. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam b. cos( A B  )  sin C ĐẠI SỐ 2 2 2 II. Định lí hàm số sin: a b c Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC    2R HAI SinA SinB SinC III. Định lí hàm số cosin: I. Phƣơng trình bậc hai a 2  b2  c2  2bccos A Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 IV. Công thức đƣờng trung tuyến: (a  0) có   b2  4ac . 2b 2  2c2  a 2    0 : phương trình vô nghiệm. ma 2  4 b    0 : phương trình có nghiệm kép x   . V. Công thức đƣờng phân giác: 2a A    0 : (3) có hai nghiệm phân biệt 2bc.cos la  2 b   b  b2  4ac bc x1,2   2a 2a VI. Các công thức tính diện tích tam giác: II. Định lý Vi–et (thuận và đảo) 1 1 abc S  ah a  bcsin A   pr  Cho phương trình ax 2  bx  c  0 có hai 2 2 4R  b  p(p  a)(p  b)(p  c) S  x1  x 2   a  nghiệm x1 , x 2 thì  P  x .x  c   1 2 a S  x  y  Nếu biết  thì x, y là nghiệm của P  x.y phương trình X2  SX  P  0 . III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) 0: x   y Cùng dấu a 0: x  x0  y Cùng dấu a 0 Cùng dấu a 0: x  x1 x2  y Cùng 0 trái 0 Cùng IV. Cách xét dấu một đa thức:  Tìm nghiệm của đa thức gồm cả nghiệm tử và nghiệm mẫu (nếu đa thức là phân thức)  Lập bảng xét dấu  Xét dấu theo quy tắc “Thượng cùng, lẻ đổi, chẵn không” Chú ý: Không nhận những điểm mà hàm số không xác định. Trang 10
  12. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC Lúc đó ta có: CAO a 1  a 2  a a a  b  b  b I. Phƣơng trình bậc 3:  1 2 1 2  ax3  bx 2  cx  d  0(a  0) a1b 2  a 2 b1  c  Bước 1: nhẩm 1 nghiệm x   b1b 2  d   Bước 2: chia ax3  bx 2  cx  d cho Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; ( x   ) (dùng sơ đồ Horner), đưa (4) về phương a2 ; b2 . Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trình tích (x  )(ax 2  Bx  C)  0 . trị nguyên. Chú ý: trường hợp nghiệm phương trình bậc lớn Chú ý: Phương pháp hệ số bất định này còn hơn 3 ta cũng có thể giải tương tự. áp dụng rất nhiều ở các dạng toán đòi hỏi nhóm  Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghiệm là một trong các tỉ số (ước của d với ước của a) đặt thừa số chung hay phân chia phân số. II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt: III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên: 1. Phƣơng trình trùng phƣơng: Phương pháp: Coi các giá trị tham số, hằng số là ax4 + bx2 + c = 0 ( a  0 ) biến. Còn biến được coi làm hằng số. Đặt t = x2, t  0 . (5)  at2 + bt + c = 0. IV. Phƣơng trình 2. Phƣơng trình đối xứng: a f (x)  b.f (x).g(x)  c g(x)   0 2 2 ax4 + bx3 + cx2  bx + a = 0 ( a  0 ) Bước 1: Chia 2 vế cho x2, Trong đó bậc f(x) và g(x)  2.  1   1  Xét g(x) = 0 thỏa phương trình? pt  a  x 2  2   b  x    c  0 .  x   x  Xét g(x)  0 chia hai vế cho  g(x) đặt 2 1 Bước 2: Đặt t  x  , đưa (8) về phương trình x f (x) t . bậc hai theo t. g(x) 3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến: (x + a)4 + (x + b)4 = c ab Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT Đặt t  x  , đưa (7) về phương trình trùng PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2 phương theo t I. Các công thức: 4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ: cộng: A, A  0 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d  A2  A   A, A  0 Đặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) về phương 2 trình bậc 2 theo t  B  3B2  A  AB  B   A    2 2 5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép  2 4 nhân:  (A  B)3  A3  B3  3AB  A  B  x  a  x  b  x  c  x  d   mx 2 với ab=cd=p  2  b  ad  ax  bx  c  a  x    2 Đặt t  x  hoặc t  (x  a)(x  d)  2a  4a 2 2. Phƣơng trình – bất phƣơng trình chứa 6. Phƣơng pháp hệ số bất định: dấu giá trị tuyệt đối: Giả sử phương trình bậc 4:  A  B  A2  B2  A  B x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 B  0 và có phân tích thành  A B (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0 A   B Trang 11
  13. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam  A  B  B A B f x  h x  k x  g x B  0  Bình phương, giải phương trình hệ quả.  A B B  A  B  3 A3B3C  A  B  B0  B  0  A  B  3 3 A.B  3  A 3 B C A  B  A  B  Sử dụng phép thế : 3 A  3 B  C 3. Phƣơng trình – bất phƣơng trình vô tỷ:  Ta được phương trình: A  0  B  0  A  B A  B  3 3 A.B.C  C A  B  Thử lại nghiệm.  A  B  B  0  A  B2 b. Đặt ẩn phụ:  A  B 0AB0 Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn B  0 mới:  A  B A  B a b ax 2  bx  c  px 2  qx  r trong đó  p q A  0  B  0  A B Cách giải: Đặt t  px 2  qx  r điều kiện t  0 A  B 2 Dạng 2: Phƣơng trình dạng: B  0 B  0  A B  A  0 A  B 2   P  x   Q  x     Px  Qx   3 A  3 BAB 2 P  x  .Q  x     0   2  2  0   A  B  A  B2n 1 2n 1 Cách giải: Đặt t  P  x   Q  x  A  0  B  0  2n A  2n B    t 2  P  x   Q  x   2 P  x  .Q  x  A  B B  0 Dạng 3: Phƣơng trình dạng:  A B 2n A  B 2n P(x)  Q(x)   P(x).Q(x)  0    0 II. Các dạng toán thƣờng gặp: Cách giải: 1. Phƣơng trình vô tỷ: P  x   0  * Nếu P  x   0  pt   Q  x   0 a. Dạng cơ bản:   f  x   g  x   f  x   g(x)  0 * Nếu P  x   0 chia hai vế cho P  x  sau đó đặt g  x   0   f x  g x   Qx t với t  0 f  x   g  x  Px 2   f  x   g  x   h  x  . Đặt điều kiện Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng với hai căn bình phương hai vế thức: Chú ý: Ở đây ta có thể không đặt điều kiện, a  cx  b  cx  d  a  cx  b  cx   n cứ bình phương các vế để mất căn, phương trình mới là phương trình hệ quả của phương trình đã Cách giải: Đặt t  a  cx  b  cx cho. Do đó khi giải tìm nghiệm ta phải thử lại.  a  b  t  2 a  b   f x  g x  h x  k x Dạng 5: Phƣơng trình dạng: Với f  x   h  x   g  x   k  x  x  a 2  b  2a x  b  x  a 2  b  2a x  b  Ta biến đổi phương trình về dạng  cx  m Cách giải: Đặt t  x  b điều kiện: t  0 Trang 12
  14. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Đưa phương trình về dạng: Ta nên biến đổi để nhân cho lượng liên hiệp t  a  t  a  c(t 2  b)  m tổng để việc chứng minh nghiệm duy nhất được dễ dàng. Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến e. Phương pháp hàm số: thiên. Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất 6x 2  10x  5   4x  1 6x 2  6x  5  0 Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) c. Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng, hệ có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: nửa đối xứng:  Chọn được nghiệm x0 của phương trình. Dạng 1: Phƣơng trình dạng  Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) x n  a  b n bx  a (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) Cách giải: Đặt y  n bx  a khi đó ta có hệ: giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0.  x n  by  a  0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình.   n Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm  y  bx  a  0  hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Dạng 2: Phƣơng trình dạng: Dạng 2: Biện luận tham số m ax  b  r  ux  v   dx  e  Đặt ẩn phụ theo các phương pháp trên. 2 trong đó a, u, r  0 và u  ar  d, v  br  e  Chuyển m theo ẩn phụ m  Dùng công cụ đạo hàm để định m thỏa bài Cách giải: Đặt uy  v  ax  b khi đó ta có hệ: toán. uy  v  r  ux  v 2  dx  e  f. Phương pháp đánh giá:  Phương pháp này chủ yếu dựa vào các bất ax  b   uy  v  2  đẳng thức, đạo hàm để dánh giá so sánh vế trái và vế phải. Nghiệm bài toán là khi ta đi giải quyết Dạng 3: Phƣơng trình dạng: dấu bằng xảy ra khi nào của các đẳng thức trái và n a  f x  m b  f x  c phải. Cách giải: Đặt u  n a  f  x  , v  m b  f  x  2. Bất phƣơng trình vô tỷ: Khi đó ta có hệ: Phương pháp giải bất phương trình cũng được chia thành các dạng giống như giải phương u  v  c  n trình. u  v  a  b m Chú ý: d. Nhân lượng liên hiệp:  Luôn đặt điều kiện trước khi bình phương. Dạng 1: Phương trình có dạng:  Một số công thức bổ sung: f x  a  f x  b f (x) f (x)  0 f (x)  0 a. 0 hoặc  Cách giải: Nhân lượng liên hợp của vế trái khi đó g(x) g(x)  0 g(x)  0 ta có hệ: f (x) f (x)  0 f (x)  0  f x  a  f x  b b. 0 hoặc   g(x) g(x)  0 g(x)  0  a B  0  f x  a  f x  c. A 1   b A  B 2 B Dạng 2: Phương trình dạng: B  0 A B  0  f  x   g  x   a f  x   g  x  d. 1  hoặc A  0 B A  0  A  B2 Chú ý: Bài toán nhân liên hiệp thường dùng nếu  ta nhẩm được nghiệm của bài toán và nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Trang 13
  15. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH V. Hệ đẳng cấp bậc 2: I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn: a1x 2  b1xy  c1 y 2  d1   2 a 2 x  b 2 xy  c2 y  d 2 2 a1x  b1 y  c1   a 2 x  b 2 y  c 2 Cách giải: Cách giải:  Xét y = 0. a1 b1 c b1 a c1  Xét y  0 khi đó đặt x  ty và giải Đặt D  , Dx  1 , Dy  1 phương trình bậc hai ẩn t a2 b2 c2 b2 a2 c2 VI. Hệ bậc hai mở rộng: 1. D  0 : Hệ phương trình có nghiệm duy f (x, y)  0 f (x, y)  0 x  Dx / D   nhất  . g(x, y)  0 .f (x, y)  .g(x, y)  0 y  Dy / D f (x, y)  0 2. D  0, Dx  0 hoặc D y  0 : Hệ phương  (ax  by  c)(px  qy  r)  0 trình vô nghiệm. Chú ý: Một số bài toán cần phải đặt ẩn phụ để 3. D = Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm thỏa chuyển về các dạng toán đã biết. Ngoài ra phương a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2. pháp đánh giá và phương pháp hàm số cũng có II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất: thể được dùng để giải.  1 ax  by  c  y  b  c  ax     f (x, y)  d f  x, 1  c  ax    d     b   III. Hệ đối xứng loại 1: f (x, y)  0 f (x, y)  f (y, x)  với  g(x, y)  0 g(x, y)  g(y, x) u  x  y Cách giải: Đặt  với u 2  4v  v  xy IV. Hệ đối xứng loại 2: f (x, y)  0 f (x, y)  g(y, x) Dạng 1:  với  g(x, y)  0 g(x, y)  f (y, x) Cách giải: f (x; y)  g(x; y)  0 (x  y)h(x; y)  0   f (x; y)  0 f (x; y)  0 x  y  0 h(x; y)  0    f (x; y)  0 f (x; y)  0 f (x, y)  0 Dạng 2:  trong đó chỉ có một phương g(x, y)  0 trình đối xứng. Cách giải: Cách 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại. Cách 2: Đưa phương trình đối xứng về dạng f (x)  f (y)  x  y với hàm f đơn điệu. Trang 14
  16. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam MŨ - LOGARIT  a  1  x   : f (x), g(x)   2. a f (x)  a g(x)   0  a  1 Vấn đề 1: CÔNG THỨC  I. Hàm số mũ y = ax (a > 0)  f (x)  g(x)  1. Tập xác định: D    b  0 2. Tập giá trị: G  (0; )  a b f (x)  log a b f (x ) 3.    3. Tính đơn điệu:  b  0 0  a  1   0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên   x   : f (x)     a > 1: Hàm số đồng biến trên  4. Một số công thức cơ bản:  b  0  a f (x )  b f (x)  log a b  a 0  1 (a  0)  a n  1 4.     b  0 an a  1   a m .a n  a mn  a m : a n  a mn  x   : f (x)     a  m n  a m.n  (ab)m  a m .bm a f (x)  a g(x) 5.   f (x)  g(x) m 0  a  1 a am m     m  a  n am n a f (x)  a g(x) b b 6.   f (x)  g(x) a  1 II. Hàm số logarit y = logax (0  a  1) IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit Định nghĩa: y = logax  x = ay cơ bản: 1. Tập xác định: D  (0; ) log f (x)  b 2. Tập giá trị: G   1.  a  f (x)  a b 0  a  1 3. Tính đơn điệu:  0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên D log f (x)  log a g(x) f (x)  0 2.  a   a > 1: Hàm số đồng biến trên D 0  a  1 f (x)  g(x) 4. Một số công thức cơ bản: log f (x)  b 3.  a  0  f (x)  a b  a loga x x  e ln x x 0  a  1  a logb c  clogb a  loga x 2n  2n log a x log f (x)  b 4.  a  f (x)  a b   log a b  1 a  1  log a b  log a b  log b a log f (x)  log a g(x) 5.  a  0 < f(x) < g(x)  log a b  log c b  loga b.log b c  loga c 0  a  1 log c a log f (x)  log a g(x) 6.  a  f(x) > g(x) > 0  loga (bc)  loga b  loga c a  1 b V. Các dạng toán thƣờng gặp:  log a    log a b  log a c c 1. Phƣơng trình mũ: III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ a. Đưa về cùng cơ số: bản: Với a > 0, a  1: a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x) a f (x)  b b  0 Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: 1.   a M  a N  (a  1)(M  N)  0 0  a  1 f (x)  log a b b. Logarit hoá: a f (x)  bg(x)  f (x)   log a b  .g(x) Trang 15
  17. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam c. Đặt ẩn phụ: f (x)  g(x) log a f (x)  log a g(x)   f (x)  0 (g(x)  0) Dạng 1:  t  a f (x ) , t  0 b. Mũ hóa P(a f (x) )  0   , P(t)  0 Với a > 0, a  1: trong đó P(t) là đa thức theo t. loga f (x)  b  a loga f (x)  a b Dạng 2: c. Đặt ẩn phụ d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số a 2f (x)  (ab)f (x)  b2f (x)  0 e. Đưa về phương trình đặc biệt Cách giải: f. Phương pháp đối lập a f (x ) Chú ý: Chia 2 vế cho b2f (x) , rồi đặt t     Các phương pháp liệt kê không nêu cách b giải có cách giải tương tự phương trình mũ. Dạng 3: Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều a f (x)  bf (x)  m , với ab  1 . kiện để biểu thức có nghĩa. 1  Với a, b, c > 0 và a, b, c  1 thì: Cách giải: Đặt t  a f (x)  bf (x)  t a logb c  clogb a d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 4. Bất phƣơng trình logarit: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Cách giải: Tương tự như phần phương trình.  Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:  Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất. loga B  0  (a  1)(B  1)  0 ;  Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì log a A  0  (A  1)(B  1)  0 f (u)  f (v)  u  v log a B e. Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt: 5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit: A  0 Cách giải: Kết hợp các cách giải của phương trình  Phương trình tích: A.B = 0   B  0 mũ – logarit ở trên và phần giải phương trình và hệ phương trình đại số. A  0  Phương trình A 2  B2  0   B  0 f. Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x)  M Nếu ta chứng minh được:  thì g(x)  M f (x)  M (1)   g(x)  M 2. Bất phƣơng trình mũ: Cách giải: Tương tự như phương trình mũ. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M  a N  (a  1)(M  N)  0 3. Phƣơng trình logarit: a. Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a  1: Trang 16
  18. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Như vậy:  f  x  dx  F  x   C II. Tính chất: BẢNG NGUYÊN HÀM Haøm Hoï nguyeân Haøm soá Hoï nguyeân haøm 1.  kf  x  dx  k  f  x  dx;  k  0 soá f(x) haøm F(x) f(x) F(x)+C 2.  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   a ax + C 3.  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  du  F  u   C x α+1 1 (ax  b)1 x +C (ax  b) C α +1 a  1 Vấn đề 2: TÍCH PHÂN 1 1 1 ln x  C ln ax  b  C I. Định nghĩa: x ax  b a b  f  x  dx  F  x   F  b  F a  b x a a x C a ln a a 1 ax  b II. Tính chất: ex ex  C eax  b e C b a  f  x  dx   f  x  dx a 1. sin(ax+b) 1 a b sinx -cosx + C  cos(ax  b)  C a b b cos(ax+b) 1 2.  kf  x  dx  k  f  x  dx (k  0) cosx sinx + C sin(ax  b)  C a a a b b b 1 1 1 3.  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   tgx + C tg(ax  b)  C a a a cos 2 x cos (ax  b) 2 a b c b 1 1 1 4.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx sin 2 x -cotgx + C sin 2 (ax  b)  a cot g(ax  b)  C a a c b 5. Nếu f  x   0, x  a;b thì  f  x  dx  0 u ' (x) 1 1 x a ln u(x)  C ln C a u(x) x  a2 2 2a x  a b b 1 6. Nếu f  x   g  x  thì  f  x  dx   g  x  dx , tgx  ln cos x  C ln x  x 2  a 2  C a a x a x  a; b 2 2 cotgx ln sin x  C 7. Nếu m  f  x   M, x  a;b thì b Vấn đề 1: NGUYÊN HÀM m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a I. Định nghĩa: Chú ý: Hàm số F  x  gọi là nguyên hàm của hàm số - Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải f  x  trên  a, b  nếu F  x   f  x  , x   a, b  . biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. Chú ý: Nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì - Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số mọi hàm số có dạng F  x   C ( C là hằng số) cũng hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. là nguyên hàm của f  x  và chỉ những hàm số có dạng F  x   C mới là nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f  x  và ký hiệu là  f  x  dx . Trang 17
  19. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ Tính  uv  a và suy nghĩ tìm cách b  Bước 3: I. Công thức: b  b tính tiếp  vdu  f   x .  x  dx   f  t  dt    a a II. Những cách đặt thông thƣờng: II. Những phép đổi biến phổ thông: u dv Hàm số có chứa  (x) Đặt t  (x)  P(x).e dx n x P(x) e x dx Đặt t là mẫu số Hàm số có mẫu số  P(x).cos xdx P(x) cos xdx Đặt t  (x) hay Hàm số có chứa (x) t  (x)  P(x).sin xdx P(x) sin xdx Tích phân chứa dx Đặt t  ln x  P(x).ln xdx lnx P(x) x Chú ý : Tích phân chứa e x Đặt t  e x Tích phân hàm hữu tỉ: dx - Nếu mẫu là bậc nhất thì lấy tử chia mẫu Tích phân chứa Đặt t  x x - Nếu mẫu là bậc hai có nghiệm kép thì đưa về dx 1 hằng đẳng thức Tích phân chứa 2 Đặt t  - Nếu mẫu là bậc hai có hai nghiệm thì đồng x x nhất thức Tích phân chứa cos xdx Đặt t  sin x dx - Nếu mẫu là bậc hai vô nghiệm thì đổi biến số. Tích phân chứa Đặt t  tgx Tích phân hàm lƣơng giác: cos 2 x dx - Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn thì hạ bậc Tích phân chứa Đặt t  cot gx .  sin2 x  1  cos2x ;cos2 x  1  cos2x  sin 2 x  2 2    Đặt x = asint, - Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ thì tách ra rồi đặt t Tích phân chứa a  x 2 2    t  ;  - Nếu có tan2x hoặc cot2x thì thêm bớt 1  2 2 - Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi Đặt x = atant, 1 đặt t Tích phân chứa    a  x2 2 t   ;  - Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng  2 2 công thức biến đổi tích thành tổng. - Nhiều bài chúng ta phải biến đổi các hàm lượng giác để đưa về các dạng có khả năng tính Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN được. Chú ý: Tích phân trong các đề thi đại học thường I. Công thức: b b ra dưới dạng kết nhiều dạng tính tích phân. Vì thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi về tổng hoặc  uvdx   uv  a   vudx b a a hiệu các tích phân. Khi đó, từng tích phân dễ b b dàng tích được bằng các phương pháp trên.  udv   uv    vdu (thường là một tích phân đổi biến và một tích b hay a a a phân từng phần). Các bước thực hiện:  Bước 1:  u  u(x) du  u(x)dx (Ñaïo haøm) Ñaët   dv  v(x)dx  v  v(x) (nguyeân haøm)  Bước 2: Thế vào công thức (1). Trang 18
  20. LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA II. Tính thể tích khối tròn xoay: DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Trƣờng hợp 1. b Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới Giả sử cần tính tích phân I   f (x) dx . hạn bởi các đường a y  f (x)  0 x  a; b , y = 0, x = a và x = b Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) (a < b) quay quanh trục Ox là: trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: b X a x1 x2 b V   f 2 (x)dx f(x) + 0 – 0 + a Bƣớc 2. Tính 2. Trƣờng hợp 2. b x1 x2 b Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới I   f (x) dx   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx . hạn bởi các đường x  g(y)  0 y  c; d  , x = 0, y = c và y = d a a x1 x2 Chú ý: Nếu trong khoảng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thì: (c < d) quay quanh trục Oy là: b b d V   g 2 (y)dy  f (x) dx   f (x)dx a a c 3. Trƣờng hợp 3. Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các đường Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH y = f(x), y  g(x) , x = a và x = b PHÂN I. Tính diện tích hình phẳng:  a  b, f (x)  0, g(x)  0 x a; b quay 1. Trƣờng hợp 1: quanh trục Ox là: b Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y  f (x), y  g(x), x  a, x  b là: V   f 2 (x)  g 2 (x) dx a b S   f (x)  g(x) dx 4. Trƣờng hợp 4. Thể tích khối tròn xoay V a do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x  g(y) , y = c và y = d 2. Trƣờng hợp 2: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các  c  d, f (y)  0, g(y)  0 y  c; d  quay đường y  f (x), y  g(x) là: quanh trục Oy là:  d S   f (x)  g(x) dx V   f 2 (y)  g 2 (y) dy  c Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn Chú ý: Cách giải tích phân có dấu giá trị nhất của f(x) = g(x). tuyệt đối đã nêu ở trên. Chú ý:  Nếu trong khoảng  ;   phương trình f (x)  g(x) không có nghiệm thì:    f (x)  g(x) dx    f (x)  g(x) dx   Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta đổi vai trò x cho y trong công thức trên. Trang 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản