Lý thuyết mở rộng trường và GALOIS

Chia sẻ: Van Kent Kent | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:328

0
358
lượt xem
132
download

Lý thuyết mở rộng trường và GALOIS

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số , tập hợp nhiều kiến thức và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau , nhằm giải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của đại số hiện đại

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết mở rộng trường và GALOIS

  1. NGUY N CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đ i H c Sư Ph m Hu Giáo trình đi n t LÍ THUY T M R NG TRƯ NG VÀ GALOIS Hu 12-2006
  2. D˘ ˜ ¯ AC TÍNH KY THUAT ˆ ˙ ˙ ˆ’ • Có the tra cu’u d´ n tu’ng phan cua giáo trình bang cách click vào Bookmarks ´ ¯e ` ˆ ` ˆ ’ ` ˘ ` ˆ ’ bên le trái cua Acrobat Reader. • Có siêu kiên ket tham khao chéo và tham chieu d´ n các tài lieu tham khao ´ ˆ ’ ´ ¯e ˆ ˆ ˆ ’ ˙ (305). • Có siêu liên ket d ˆ’ tra cu’u các thuat ngu’ hoac noi dung cu the bang Chı muc ´ ¯e ˆ ´ ˆ ˜ ˘ ˆ ˆ’ ` ˘ ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ´ ˆ (307) o’ cuoi giáo trình. ˆ’ ´ ´ ˆ ’ • Có the liên ket vo’i trang web chı ra. • Có siêu liên ket d ˆ’ tham khao nhanh hu’o’ng dan giai cua tu’ng bài tap (250). ´ ¯e ˆ ’ ´ ˜ ˆ ’ ’ ` ˆ ˙ ˆ’ ¯o ˘ • Có the d c trên mang, download hoac nhanh chóng in thành giáo trình d c. ¯o ˙ ˙ ˙ ˙ • Có the dùng d ˆ’ trình chieu vo’i chu’c nang View|Full Screen. ˆ’ ¯e ´ ˆ ´ ´ ˘ ii
  3. MUC LUC ˙ ˙ `’ Dˆ` LOI NÓI ¯ AU ix ´’ ˆ˜ ’ HU’ONG DAN SU’ DUNG xiii ˙ ` ˆ VÀI NÉT VE LICH SU’ ’ 1 ˙ ’ ’ ¯a ´ a) Lich su’ giai phu’o’ng trình d thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ˙ ˆ ¯o ’ b) Cuoc d `’i cua Evariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˙ ´ˆ ´ Chu’o’ng 0 KIEN THU’C CHUAN BI ˆ’ 21 ˙ 0.1 ` D˘ ˆ ´ cua tru’o’ng. Tru’o’ng. ¯ ac so ’ ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ˙ 0.2 ¯a ´ Vành d thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii
  4. 0.3 ˆ ´ ˆ Mot so nhóm hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 30 ˙ ˙ 0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˙ ’’ ˆ Chu’o’ng 1 MO RONG TRU’ONG `’ 45 ˙ §1 ’ ˆ ` ˆ ’ ’ ˆ ` Mo’ rong tru’o’ng. Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ ˙ ˙ 1.1 ’ ˆ ` Mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ˙ 1.2 ˆ ’ ’ ˆ ` Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ˙ ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ˙ §2 ’’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mo ˆ ¯o . . . . . 53 ˙ 2.1 ` ’ ˆ ˆ Vành con và tru’o’ng con sinh ra bo’i mot tap . . . . . . . . . 53 ˙ ˙ 2.2 Ca ´ u trúc cua mo’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . . ˆ ’ ’ ˆ ¯o . . . . . 55 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ˙ §3 ’ ˆ ’ ˆ ¯a ´ˆ Mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so . . . . . . . . . . . ˜ . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ 3.1 ´ ˆ ’ ’ ˆ ’ ˆ ¯a ´ Tính chat cua mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so ˜ ˆ . . . . . 69 ˙ ˙ ˙ ˙ iv
  5. 3.2 ` ` ’ ¯a ´ ˆ ˆ ` Tru’o’ng con các phan tu’ d i so. Tru’o’ng d ¯a ´ ˆ ¯óng d i so. Bao d¯óng ˙ ˙ ¯a ´ ˆ d i so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 ˙ §4 ` ˘ ´ ’ Du’ng hình bang thu’o’c ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ 4.1 Ba bài toán du’ng hình co d ˆ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ’ ¯ie 77 ˙ 4.2 Dˆ ¯ ie`u kien can d ˆ’ d giác d ˆ u p canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c ˆ ` ¯e ¯a ˆ ` ¯e ¯u ` ˘ ´ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ˙ §5 ` ’ ˆ ¯a ´ D ´ ¯u Tru’o’ng phân rã cua mot d thu’c. ¯ a thu’c tách d ’o’c . . . . . . . 91 ˙ ˙ 5.1 Tru’o ’ `’ng phân rã cua mot d thu’c . . . . . . . . ˆ ¯a ´ . . . . . . . 91 ˙ 5.2 ´ ¯u ¯ a thu’c tách d ’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . D . . . . . . . 98 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ˙ ´ ˆ Chu’o’ng 2 LÍ THUYET GALOIS 109 §6 ’ ¯a ´ ˆ ` ’ ’ ˆ Tu’ d ˘ ng cau và tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . 109 ` ˙ ˙ 6.1 ’ ´ ’ ’ ˆ Nhóm các tu’ d ˘ ng cau cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . 110 ¯a ˆ ` ˙ ˙ v
  6. 6.2 ` ’ ’ ˆ ` Tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . 114 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ˙ §7 ¯u ˆ’ ˘ ´ ’’ rong tách d ’o’c, chuan tac và Galois . . . . . . . . . Mo ˆ . . . . . 124 ˙ ˙ 7.1 ’ ˆ ¯u ¯i ` ˆ Mo’ rong tách d ’o’c và d nh lí phan tu’ nguyên thuy ’ ’ . . . . . 124 ˙ ˙ ˙ 7.2 ˆ’ ’ ’ ˆ Tiêu chuan cua mo’ rong Galois và chuan tac . . . ˆ’ ´ ˘ . . . . . 127 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 ˙ §8 ’ ’ ´ ˆ ¯ ˙nh lí co’ ban cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . . Di . . . . . 137 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ˙ §9 Mo ´ ´ ˆ ’ ´ ˆ t so u’ng dung cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . ˆ . . . . . 156 ˙ ˙ 9.1 ` Tru’o’ng hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ . . . . . 156 ˙ 9.2 ` ¯a ´ ¯u ` Tru’o’ng và d thu’c chia d ’o’ng tròn . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3 D ¯e` ¯u ` ’ ¯ a giác d ˆ u du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa . . ˘ ´ . . . . . 169 ˙ ˙ 9.4 ’ ’ ¯a ´ ˆ ¯ ˙nh lí co’ ban cua d ˙ i so . . . . . . . . . . . . . . Di . . . . . 171 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ˙ ’ ¯a ´ § 10 Nhóm Galois cua d thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.1 ˆ ´ Biet thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˙ vi
  7. 10.2 ’ ¯a ´ ˆ Nhóm Galois cua d thu’c bac 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ˙ 10.3 ¯ a thu ˙ D ˆ ´’c bac 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.4 ´ ˆ’ ¯ a thu’c tong quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 191 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ˙ ˆ’ ’ ¯u ` ˘ ˘ ´ ’ ¯a ´ § 11 Tiêu chuan giai d ’o’c bang can thu’c cua d thu’c . . . . . . . . . 201 ˙ ’ ˆ ˘ ˆ’ ’ ¯u 11.1 Mo’ rong can và tiêu chuan giai d ’o’c . . . . . . . . . . . . . 201 ˙ ˙ ’ ¯u ’ ¯a ´ ˆ ´ ´ ˆ 11.2 Tính không giai d ’o’c cua d thu’c có bac lo’n ho’n bon . . . . 211 ˙ ˙ ˆ ˘ ´ ’ ¯a ´ ˆ’ ˆ 11.3 Nghiem can thu’c cua các d thu’c tong quát có bac không quá 4213 ˙ ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 ˙ PHU LUC 223 ˙ ˙ A ’ ¯u ¯o Nhóm giai d ’o’c và nhóm d ’n . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ˙ B ¯ ˙nh lí Sylow và ¯ ˙nh lí Cauchy Di Di . . . . . . . . . . . . . . . 239 C Bao d ¯a ´ ’ ˆ ˆ ` ¯óng d i so cua mot tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . 242 ˙ ˙ D ˆ` So’ lu’o’c ve Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 ˙ ´’ ˜ ˆ ’ HU’ONG DAN GIAI BÀI TAP ˆ 250 ˙ vii
  8. ’ ˆ ´’ BANG KÍ HIEU VÀ QUY U’OC 302 ˙ ˆ ’ TÀI LIEU THAM KHAO 305 ˙ ’ CHI MUC 307 ˙ viii
  9. `’ Dˆ` LOI NÓI ¯ AU ´ ˆ ˆ Lí thuyet Galois là mot trong nhu’ng lí thuyet d p d ˜ nhat cua d i so, tap ho’p ˜ ´ ¯e ¯e ˆ ´ˆ ’ ¯a ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhie ˆ`u kien thu’c và phu’o’ng pháp cua các lınh vu’c toán hoc khác nhau, nham giai ´ˆ ´ ’ ˜ ` ˘ ’ ˙ ˙ quyet các bài toán co d ˆ’ n và nhu’ng van d ˆ quan trong khác cua d i so hien d i. ´ ˆ ˆ’ ¯ie ˜ ´ ¯e ˆ ` ’ ¯a ´ ˆ ¯a ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ´ ’ ´ ˆ ’ Mot trong nhu’ng u’ng dung chu yeu cua Lí thuyet Galois là giai quyet bài toán ˜ ´ ˆ ’ ´ ˆ ˙ ˙ ˆ tìm nghiem can thu’c cu˘ ´ ’ a phu’o’ng trình d thu’c, d ˘ c biet chı ra rang phu’o’ng trình ¯a ´ ¯a ˆ ’ ` ˘ ˙ ˙ ˙ ˆ ´ ´ˆ ˆ’ ’ ¯u ` ˘ ˘ bac lo’n ho’n bon không the giai d ’o’c bang can thu’c. Mat khác, Lí thuyet Galois cho ´ ˘ ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ¯i ¯a ¯e` phép xác d nh d giác d ˆ u n canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa. Bên canh ¯u ` ˘ ´ ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ó, ˆ ¯u d chúng ta nhan d ’o’c tu’ Lí thuye ` ´ t Galois lo’i giai cho ba bài toán du’ng hình co ˆ ` ’ ˆ’ ˙ ˙ ˙ d ˆ’ n, d là không the (bang thu’o’c ke và compa) chia ba mot góc, gap d hình lap ¯ie ¯ó ˆ’ ` ˘ ´ ’ ˆ ´ ¯ôi ˆ ˆ ˙ ˙ phu’o’ng hoac ca ˘ ˆ ` u phu’o’ng d ’o’ng tròn. ¯u ` ˙ ` ˆ ’ ´ˆ ` Do tam quan trong cua Lí thuyet Tru’o’ng và Galois mà tu’ nam 1986, môn hoc ` ˘ ˙ ˙ ¯ã ¯u ˆ ¯ào ¯u này d d ’o’c Bo Giáo duc và d tao d ’a vào trong chu’o’ng trình chính thu’c cua ´ ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ` D ’ khoa Toán các tru’o’ng ¯ ai hoc và Cao d ˘ ng, d ˘ c biet là cho khoa Toán các Tru’o’ng ¯a ¯a ˆ ` ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ˆ ´ ˆ ¯u Su’ pham. Ho’n the, Lí thuyet Galois cung d ’o’c giang day cho các lo’p Cao Hoc, xem ˜ ’ ´ ˙ ˙ ˙ ˙ nhu’ kie ´ n thu’c co’ ban d ˆ’ tu’ d mo’ rong cho nhu’ng nghiên cu’u lí thuyet và u’ng ˆ ´ ’ ¯e ` ¯ó ’ ˆ ˜ ´ ´ ˆ ´ ˙ dung sâu sac ho’n. ´ ˘ ix ˙
  10. ’ ’ Giáo trình này ra d `’i trên co’ so’ bài giang cua tác gia cho sinh viên Khoa Toán, ¯o ’ ’ ` ˆ ´ ´ ˆ Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham Hue suot ho’n 10 nam tru’c tiep giang day môn hoc này. D ˘ ´ ˆ ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ó, ’ ’ ¯u ’ Trong quá trình d ban thao d ’o’c chınh su’a và bo sung sao cho vu’a phù ho’p vo’i ’ ˆ’ ` ´ ˙ ˙ ’ ˆ chu’o’ng trình cua Bo Giáo duc và ¯ ào tao, vu’a d u’ng nhu cau su’ dung các công D ` ¯áp ´ ˆ` ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ’ ¯a ´ ˆ ` ˆ’ cu mo’i cua d i so tính toán, vu’a bo sung nhu’ng kien thu’c liên quan khó có the ˜ ´ˆ ´ ˆ’ ˙ ˙ tìm d ¯u ˆ ˆ’ ’ trong mot vài quyen sách tham khao. Vì the, giáo trình ra d `’i, tru’o’c het, ’ ´ ˆ ¯o ´ ´ ˆ ˙ ` ` ’ ’ nham d u’ng nhu cau su’ dung cua sinh viên d i hoc, cao d ˘ ng và hoc viên cao ˘ ¯áp ´ ˆ ¯a ¯a’ ˙ ˙ ˙ ˙ hoc ngành toán. Bên canh d giáo trình có the ¯ó, ’ là mot tài lieu tham khao bo ích cho ˆ ˆ ˆ ’ ˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ giáo viên pho thông trung hoc và hoc sinh gioi. Ho có the tìm thay trong giáo trình ’ ˆ’ ´ˆ ˙ ˙ ˙ ’ ˘ ˆ này co’ so’ toán hoc chat che cho viec tìm nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình d ˜ ˆ ˘ ´ ’ ¯a ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ’ ` ˘ ´ thu’c, cua các bài toán du’ng hình bang thu’o’c ke và compa, nhu’ng kien thu’c ve lich ’ ˜ ´ˆ ´ ˆ ` ˙ ˙ ’ su’ toán hoc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio’i thieu ve Maple, mot trong ´ ˆ ` ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ nhu’ng he tho ˜ ˆ ˆ ´ ng tính toán d i so manh me và pho bien nhat hien nay. Thông qua ¯a ˆ ´ ˜ ’ ´ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ nhu’ng ví du minh hoa, giáo trình chı ra kha nang tính toán manh me cua Maple ˜ ’ ˘ ˜ ’ ˙ ˙ ˙ cung nhu’ viec ho tro’ d ´ c lu’c cua phan mem này cho các giáo viên pho thông, cho ˜ ˆ ˜ ˆ ¯a˘ ’ ˆ` ` ˆ ˆ’ ˙ ˙ ˙ ¯o ’ sinh viên và hoc sinh trong hoat d ˆ ng giang day, nghiên cu’u và hoc tap toán. ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ x
  11. ¯u ´ ¯a Giáo trình d ’o’c biên soan trên nguyên tac d ’ m bao d ˆ y d ’ và chat che cua kien ˘ ’ ¯a ¯u ` ˘ ˜ ’ ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ´ D ˆ’ ’ ’ ˆ ` thu’c. ¯ e làm viec vo’i giáo trình này, d ˆ c gia chı can mot so kien thu’c co’ so’ cua d i ˆ ´ ¯o ˆ ´ ´ ˆ ˆ ´ ’ ’ ¯a ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ˆ ´ ˆ ¯a ´ ¯aˆ ¯ã so tuyen tính, lôgic, d i so d i cu’o’ng nhu’ d hoc trong nam thu’ nhat và thu’ hai ˘ ´ ´ˆ ´ ˙ ˙ ˙ cu D ˘ ¯a ’ ˜ ´ ’ a ¯ ai hoc hoac Cao d ˘ ng. Ngoài nhu’ng kien thu’c d nhu’ng khái niem mo’i d ’o’c ˆ ´ ¯ó, ˜ ˆ ´ ¯u ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯i ˜ ˜ ´ ` d nh nghıa và nhu’ng ket qua mo’i d ˆ u d ’o’c chu’ng minh d ˆ y d ’ . Phan kien thu’c ˆ ’ ´ ¯e ¯u ´ ` ¯a ¯u ` ˆ ´ ˆ ´ ˙ ˙ bo ˆ’ sung, neu chu’a d ’o’c hoc trong nhu’ng nam d ˆ u tiên cua chu’o’ng trình ¯ ai hoc, ´ ˆ ¯u ˜ ˘ ¯a` ’ D ˙ ˙ ˙ ˙ Cao d ¯a’ ˜ ¯u ´ ˆ ´ ˘ ng, se d ’o’c gio’i thieu chi tiet trong Phu luc. Cuoi moi tiet (§), giáo trình ˆ ´ˆ ˆ ´ ˜ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ cung cap mot he thong phong phú các bài tap tu’ de d´ n khó, bat d ˆ u tu’ bài trac ´ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ ` ˆ ¯e ˜ ˆ ´ ¯a ` ˘ ` ´ ˘ ˙ ˙ ˙ ´ ` ˘ ¯o ’ ´ nghiem lí thuyet nham giúp d ˆ c gia nam mot cách chac chan nhu’ng khái niem và ˆ ˆ ˘ ˆ ´ ˘ ´ ˘ ˜ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ’ ’ ´ ` ket qua chu yeu. Gan 150 bài tap trong giáo trình d ˆ u có phan hu’o’ng dan giai d ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ ¯e ` ˆ` ´ ˜ ˆ ’ ¯a ` ˙ d¯u ˜ ˆ ¯o ˆ’ ’ trong no lu’c giúp d ˆ c gia có the tu’ hoc. Qua thu’c te giang day, tác gia cho rang ’ ´ ’ ˆ ’ ` ˘ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ˆ ’ ¯a viec day-hoc toán hien nay nói chung, o’ d i hoc nói riêng, ngu’o’i day và ngu’o’i hoc ` ` ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ˆ ˜ ˆ ˆ ’ ’ ` ˆ can khai thác su’ ho tro’ hieu qua cua các phan mem toán hoc. Có su’ ho tro’ này, ˆ` ˆ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ viec day-hoc có nhu’ng thay d ˆ ˆ ˜ ¯o’ i tích cu’c và chat lu’o’ng giáo duc d ’o’c cai thien rõ ´ ˆ ¯u ’ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ´ ˆ ´ ˘ ´ ˆ ´ ret. Cùng vo’i viec nam vu’ng kien thu’c lí thuyet, có kha nang giai quyet các bài ˜ ´ ˆ ’ ˘ ’ ´ ˆ ˙ ˙ ´ ` ` ˆ ´ ’ ˆ toán u’ng dung, ngu’o’i hoc can biet su’ dung các phan mem ho tro’ cho các muc d ˆ` ` ˆ ˜ ˆ ¯ích ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ xi
  12. ˆ’ ` ˆ ´ˆ tính toán cu the. Có nhieu tính toán rat khó và phu’c tap tru’o’c d nay tro’ nên ´ ´ ¯ây ’ ˙ ˙ ¯o ’ ´ ’ ` ˆ ` ˆ vô cùng d ’n gian vo’i su’ tro’ giúp cua các phan mem toán hoc. Trên tinh than d ` ˆ ¯ó, ˙ ˙ ˙ o ˜ ’ ˆ’ ’’ nhu’ng vi trí thích ho’p, tác gia bo sung các lenh và ví du minh hoa cho viec su’ ˆ ˆ ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dung Maple. ˙ D ˆ’ ’ ¯ã ˆ ¯u ¯ e hoàn thành giáo trình này, tác gia d nhan d ’o’c su’ ho tro’ cua nhieu the he ˜ ˆ ’ ` ˆ ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ sinh viên và hoc viên cao hoc trong vie ˆ ’ ˆ c phát hien, su’a chu’a sai sót trong giáo ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ` ˆ ` trình. Nhieu thay cô, d ˆ ng nghiep và ban bè cung d d ˆ ¯o ˆ ˜ ˆ` ¯ã ¯óng góp nhieu ý kien quý ´ ˆ ˙ ˙ báu trong quá trình biên soan. Nhân dip giáo trình này ra d `’i, tác gia, mot lan ¯o ’ ˆ ˆ ` ˙ ˙ ˙ nu’a, go’i lo’i cam o’n sâu sac d´ n các thay cô, d ˆ ng nghiep, ban bè và sinh viên ve ˜ ’ ` ’ ´ ¯e ˘ ˆ ` ˆ ` ¯o ˆ ` ˆ ˙ ˙ ¯o nhu’ng giúp d ˜’ vô giá trên. ˜ ˘ ¯ã ´ ˘ ˆ ´ ˆ’ Mac dù d co gang, giáo trình này không the tránh khoi nhu’ng thieu sót. Tác ’ ˜ ´ ˆ ˙ ’ ´ ˆ ´ ˆ ˆ ¯u gia vô cùng biet o’n neu nhan d ’o’c nhu’ng ý kien d ˜ ´ ¯óng góp, bình luan và nhu’ng ˆ ˆ ˜ ˙ ˙ ˙ ˜ ’ ¯o phát hien loi trong giáo trình này cua d ˆ c gia gan xa. Moi ý kien d ˆ ˆ ’ ˆ ` ´ ¯óng góp, trao d ˆ’ i ˆ ¯o ˙ ˙ ˙ ` ’ ˆ ¯i ’ ˜ ˆ xin gu’i ve d a chı : TS. Nguyen Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham ` D ˙ ˙ ˙ ˙ Hue ´ , 32 Lê Lo’i, Thành pho Hue, email: nctu2000@yahoo.com. ˆ ´ ˆ ´ ˆ ˙ ´ˆ Hue ngày 25 tháng 4 nam 2007. ˘ xii
  13. ´’ HU’ONG DAN SU’ DUNG ˆ˜ ’ ˙ ´ˆ ˆ` ´ ˆ ˆ Lí thuyet Galois có nhieu cách tiep can khác nhau. Mot cách tiep can có nhieu ˆ ´ ˆ ˆ ` ˆ ˙ ˙ ˙ u’u d ˆ ¯ie ’ m là trình bày Lí thuyet Galois trên co’ so’ Lí thuyet mo’ rong tru’o’ng. Quan ´ˆ ’ ´ˆ ’ ˆ ` ˙ d ˆ’ m d cua Bo Giáo duc và d tao d ’o’c chúng tôi thong nhat trong viec biên ¯ie ¯ó ’ ˆ ¯ào ¯u ´ ˆ ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ soan giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u’ng vo’i Lí thuye ´ ´ ´ t mo’ rong tru’o’ng và ˆ ’ ˆ ` ˙ ˙ ´ ˆ ˜ ˆ ¯u Lí thuyet Galois. Moi chu’o’ng d ’o’c chia ra thành các tiet (§) tu’o’ng u’ng vo’i 4-5 gio’ ´ˆ ´ ´ ` ˙ ˆ ´ ˆ’ hoc tap trên lo’p. Ngoài ra, giáo trình có bo sung phan Kien thu’c chuan bi (Chu’o’ng ` ˆ ´ ˆ ´ ˆ’ ˙ ˙ ˙ 0), nha ` m nhac lai nhu’ng kien thu’c cu chu yeu có liên quan sau này. Giáo trình co ˘ ´ ˘ ˜ ´ˆ ´ ˜ ’ ´ˆ ´ ˆ ˙ ´ ˘ ´ ´ ˆ ’ gang trình bày theo thu’ tu’ ho’p lí nhat cua viec giang day-hoc tap môn hoc. Tuy ˆ ’ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ nhiên tùy theo muc d ¯ích mà d ˆ c gia ¯o ˆ’ ’ ’ có the su’ dung theo mot thu’ tu’ phù ho’p khác. ˆ ´ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ´ ˆ ’ ´ ¯o Sau khi d c xong phan lí thuyet cua tiet, d ˆ c gia can tu’ mình giai quyet các bài ¯o ˆ ˆ ’ ˆ ` ’ ´ ˆ ˙ ˙ ˙ tap cuo ˆ ˆ ˆ ´ ’ ` ˆ ´ ˘ ˆ ˆ’ ´ i tiet và tra lo’i bài tap trac nghiem (có the tham khao phan hu’o’ng dan, neu ’ ˆ` ´ ˜ ˆ ´ ˆ ˙ ˙ ˙ can). Các bài tap d ’o’c sap xep tu’ de d´ n khó ; nhu’ng bài tap (*) d ho’i su’ tu’ duy ` ˆ ˆ ¯u ´ ˘ ´ ˆ ` ˆ ¯e ˜ ˆ ˜ ˆ ¯òi ˙ ˙ ˙ ˙ ¯ã ´ ˆ ¯ie` cao ho’n. Nhu’ d trình bày, neu có d ˆ u kien, d ˆ c gia nên khai thác su’ dung Maple ˆ ¯o ’ ’ ˙ ˙ ˙ thông qua các ví du và noi dung cu the ˆ ˆ’ trong giáo trình. ˙ ˙ ˙ ` ’ ´ ˆ ´ Tu’ (§ 8), giáo trình su’ dung thêm các kien thu’c sâu sac ho’n cua d i so d i cu’o’ng. ´ ˘ ’ ¯a ´ ¯a ˆ ˙ ˙ ˙ xiii
  14. ´ ˆ ´ ¯u ´ ˆ Nhu’ng kien thu’c này d ’o’c trình bày chi tiet trong Phu luc. ˜ ˙ ˙ ˙ Các d nh lí, menh d ˆ ˆ ¯i ˆ ¯e ’ ˆ’ ¯e ¯u ¯ánh so theo tu’ng tiet, ví du “Menh d ˆ `, he qua, bo d ˆ d ’o’c d ` ´ˆ ` ´ˆ ˆ ` ¯e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ¯u ˜ ˆ ˆ ` 2.3” nam trong § 2 và d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ 2.3” hoac gon ho’n là “2.3”. Các ˘ ¯e ˘ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ˘ ´ tu’ d ˆ u d´ n cuoi giáo trình ve bên phai, ¯u ¯ánh so ` ¯a công thu’c hoac phu’o’ng trình d ’o’c d ˆ ` ¯e ˆ ´ ˆ ` ˆ ’ ˙ ˙ ví du ˙ Df = −4p3 − 27q 2 (1) ¯u ˜ ` ˆ ¯i ˆ ` d ’o’c trích dan là “(1)”. Riêng phan Phu luc, moi d nh lí, menh d ˆ ,...d ’o’c d ˆ ¯e ¯u ¯ánh so ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ˆ ˜ ¯u ˆ ` ¯e ¯u ˜ ˆ ˆ ` vo’i mot chu’ cái d ´’ng tru’o’c, ví du “Menh d ˆ A.2.” d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ A.2.” ´ ¯e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯o ’ ’ ˆ ’ hay d ’n gian là “A.2.”. Giáo trình có bang các kí hieu su’ dung trong giáo trình và ˙ ˙ pha ˆ ’ ` ` n Chı Muc (307) (Index) nham giúp d ˆ c gia de dàng tra cu’u d ’o’c noi dung khái ˘ ¯o ’ ˆ˜ ´ ¯u ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ˘ ´ ˆ ` ´ ˆ niem hoac kien thu’c can thiet. ´ ˆ ˙ ˙ xiv
  15. ` ˆ VÀI NÉT VE LICH SU’ 1 ’ ˙ ’ ’ A) LICH SU’ GIAI PHU’ONG TRÌNH ¯ A THU’C ’ D ´ ˙ ` ` ˘ ˆ ’ Ngày nay, ngu’o’i ta tin rang, viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac hai d d ’o’c các ¯a ´ ˆ ¯ã ¯u ˙ ˙ ˙ ˆ’ ¯a nhà toán hoc co d i Babilon quan tâm cách d gan 4000 nam. Nhu’ng tam d ´ t sét ¯ây ˆ ` ˘ ˜ ´ ˆ ¯aˆ ˙ ˙ ¯a ¯u ´ˆ ’ ` ˆ ˘ có niên d i 1600 BC d ’o’c tìm thay cua nen van minh Babilon còn ghi lai viec tìm ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ’ ˆ ˆ’ nghiem cua nhu’ng phu’o’ng trình bac hai cu the. Tuy nhiên, nhu’ng lo’i giai trên ˜ ˜ ` ’ ˙ ˙ ˙ ¯u d ’o’c mô ta ba ’ ˘ ` ng phu’o’ng pháp hình hoc và do d chı liên quan d´ n nhu’ng phu’o’ng ¯ó ’ ¯eˆ ˜ ˙ ˙ ˆ ˆ ´ ´ trình bac hai có he so lo’n ho’n 0.ˆ ˙ ˙ Nhu’ng phu’o’ng pháp hình hoc d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac hai tiep tuc d ’o’c nhà ˜ ¯e ’ ˆ ´ ˆ ¯u ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc vı d i Hy Lap Euclid (325 BC-265 BC) d ˆ cap d´ n. Mãi d´ n the kı thu’ 7, ˜ ¯a ` ¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ¯e ´ ’ ´ ˆ ˙ ˙´ ˙ ˙ ˆ Dˆ ´ nhà toán hoc An ¯ o Brahmagupta (598-665), mo’i trình bày mot cách giai phu’o’ng ˆ ’ ˙ ˙ ˙ ˆ ’ ´ ˆ trình bac hai có su’ dung so âm và các kí hieu, d ˆ ´ ˆ ˆ’ ¯ánh dau su’ phát trien cua d i so. ’ ¯a ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ ` Viec xét mot cách d ˆ y d ’ nghiem cua phu’o’ng trình bac hai bang phu’o’ng pháp ˆ ¯a ¯u ˆ ’ ˆ ` ˘ ˙ ˙ ˙ ˙ ¯a ´ ˆ ’ ¯u ˆ ’ d i so chı d ’o’c thu’c hien bo’i các nhà toán hoc Arab, tiêu bieu là al-Khwarizmi ˆ’ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 1 ` ˆ ¯u ’ ’ ´ˆ ` Thông tin trong phan này d ’o’c tham khao chu yeu tu’ [5] và [7]. ˙
  16. 2 ` ˆ ’’ Vài nét ve lich su ˙ (780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hoc Arab lai chu’a biet d´ n so âm, do d trong ´ ¯e ´ ˆ ˆ ˆ ¯ó ˙ ˙ ´ ˆ ’ cuon sách cua mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d phân ¯ã ˆ ´ ´ thành 6 loai phu’o’ng trình bac hai, u’ng vo’i 6 chu’o’ng trong cuon sách và trình ´ˆ ˙ ˙ ’ ` D ¯uo ´ bày cách giai cho tu’ng loai. ¯ ây d ’c xem là cuon sách d ˆ u tiên ve d i so và tu’ ˆ ¯a` ˆ ¯a ´ ` ˆ ` ˙ ˙ ˙ ¯a ´ ’ ´ D´ “Algebra” (d i so) ra d `’i tu’ tên cua cuon sách này. ¯ en nam 1145, cuon sách noi ˆ ¯o ` ˆ ˆ ˘ ´ ˆ ˆ’ ˙ tie´ ng cua nhà toán hoc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136) ˆ ’ ˙ ¯u d ’o’c xua ´ t ban o’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cung trình bày d ˆ y ˆ ’ ’ ˜ ` ¯a ˙ d ’ nghiem cua các phu’o’ng trình bac hai. ¯u ˆ ’ ˆ ˙ ˙ ’ ¯a ` ’ Tru’o’ng phái toán hoc Italy kho’i d ˆ u khoang nam 1500 vo’i cuon sách cua Luca ` ˘ ´ ´ˆ ’ ˙ Pacioli (1445-1517) xuat ban nam 1494, d ’o’c biet d´ n vo’i tên viet tat là “Suma”, ´ ˆ ’ ˘ ¯u ´ ¯e ˆ ˆ ´ ´ ´ ˆ ˘ ˙ ¯ó ` ’ ’ ˆ ¯u trong d lo’i giai cua phu’o’ng trình bac hai d ’o’c trình bày chi tiet bang ngôn ngu’ d i ´ ˘ ˆ ` ˜ ¯a ˙ ˙ ˙ so hien d i. Pacioli không d ˆ cap d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac ba nhu’ng ´ ˆ ¯a ˆ ` ¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ’ ¯a ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ông lai nha ¯e ´ c d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Ông viet, theo ngôn ngu’ ˘ ˆ ˆ ’ ¯a ´ ˆ ˆ´ ´ ˆ ˜ ˙ ˙ ˙ ’ ¯a ´ ˆ ˆ ´ cua d i so ngày nay, “phu’o’ng trình bac bon x4 = a + bx2 giai d ’o’c bang phu’o’ng ˆ ’ ¯u ` ˘ ˙ ˙ ˙ pháp nhu’ d ˆ ´ ¯o´ i vo’i phu’o’ng trình bac hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và ˆ ˙ x4 + a = bx2 thì không the’ giai d ’o’c”. ˆ ’ ¯u ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  17. ` ˆ ’’ Vài nét ve lich su 3 ˙ ` ¯u ˆ ’ Ngu’o’i d ˆ u tiên tìm d ’o’c nghiem cua phu’o’ng trình d thu’c bac ba là Scipione ` ¯a ¯a ´ ˆ ˙ ˙ ˙ del Ferro (1465-1526), mot giáo su’ no ˆ ˆ ’ i tieng cua ¯ ai hoc Bologna, Italy. Ferro tìm ˆ ´ ’ D ˙ ˙ ˙ d ’o’c nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình x3 + mx = n. Tat nhiên, neu biet su’ ¯u ˆ ˘ ´ ’ ´ ˆ ´ ˆ ´ ˆ ’ ˙ ˙ ´ Dˆ ˆ ´ ˆ ’ dung khái niem so âm cua các nhà toán hoc An ¯ o, thì công thu’c nghiem d là ˆ ´ ˆ ¯ó ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d ’ d ˆ’ giai tat ca các dang cua phu’o’ng trình bac ba. Tuy nhiên, lúc bay gio’, Ferro ¯u ¯e ’ ´ ’ ˆ ’ ˆ ´ ˆ ` ˙ ˙ ´ ¯ie ¯ó. ` ’ ¯u không biet d ˆ u d Ferro giai d ’o’c phu’o’ng trình bac ba nêu trên vào nam 1515, ˆ ˆ ˘ ˙ ˙ nhu’ng giu’ bí mat cho d´ n tru’o’c lúc qua d `’i nam 1526 mo’i tiet lo cho mot ngu’o’i hoc ˜ ˆ ˆ ¯e ´ ¯o ˘ ´ ´ ˆ ˆ ˆ ` ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ˆ ` trò cua mình là Antonio Fior. Fior là mot ngu’o’i hoc toán bình thu’o’ng và ngay lap ` ˆ ˙ ˙ ˙ tu’c làm rò rı ` ´ ` ˆ ¯o` ` ` ’ lo’i giai cua thay mình ra ngoài. Tin d ˆ n ve lo’i giai cua phu’o’ng trình ’ ’ ˆ ’ ’ ˆ ˆ ´ ˘ ˆ bac ba lan rong khap Bologna và các vùng lân can, kích thích nhà toán hoc nghiep ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ 2 ˙ du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo’i gia ` ’ i cua phu’o’ng trình x3 + mx = n ’ không lâu sau d N. Fontana (d ’o’c biet d´ n vo’i tên Tartaglia) quyet d nh công ¯ó. ¯u ´ ¯e ˆ ˆ ´ ´ ¯i ˆ ˙ ˙ bo thành công cua mình. Mot cuoc thách d´ khoa hoc no ra giu’a Tartaglia và Fior ´ ˆ ’ ˆ ˆ ˆ ¯o ˆ’ ˜ ˙ ˙ ˙ ˘ nam 1535. Luat cu ˆ ˆ ¯o ’ ˜ ’ a cuoc thi d ’n gian là moi ngu’o’i se d ’a ra 30 phu’o’ng trình bac ˆ ` ˜ ¯u ˆ ˙ ˙ ˙ ba cho d´ i thu, hen trong 50 ngày, ai giai d ’o’c nhieu ho’n thì thang. Tat ca các ˆ ¯o ’ ’ ¯u ` ˆ ´ ˘ ´ˆ ’ ˙ ˙ phu’o’ng trình mà Fior d ’a ra cho Tartaglia d ˆ ¯u ¯e`u có dang x3 + mx = b và Fior tin ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  18. 4 ` ˆ ’’ Vài nét ve lich su ˙ Hình 1: Chân dung Tartaglia ´ ˘ ˆ’ ’ ¯u ´ ` ´ ˆ chac là Tartaglia không the giai d ’o’c. Tru’o’c tho’i han cuoi cùng 8 ngày, Tatarlia ˙ ˙ ¯ã ¯u ˆ’ ’ ´ˆ ’ ˆ ´ d tìm d ’o’c phu’o’ng pháp tong quát giai tat ca phu’o’ng trình bac ba. Tru’o’c công ˙ ˙ ¯u ` ’ ’ ` ¯u ˆ chúng, Tartaglia d ’a ra lo’i giai cua 30 bài toán trong vòng 2 gio’ và d ’o’c công nhan ˙ ˙ ` ´ ˘ ˆ ´ ` ˆ ’ là ngu’o’i thang cuoc. Tuy nhiên, ông không công bo lo’i giai chi tiet.´ ˆ ˙ Chien thang cua Tartaglia lan d´ n Milan, kích thích mot nhà toán hoc nghiep ´ ˆ ´ ˘ ’ ˆ ¯e ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ ˆ ´ du’ khác, bác sı Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lap tu’c mo’i Tartaglia ˜ ` ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  19. ` ˆ ’’ Vài nét ve lich su 5 ˙ d´ n tham Milan vào nam 1539 và tìm cách thuyet phuc Tartaglia tiet lo lo’i giai ˆ ¯e ˘ ˘ ´ ˆ ´ ˆ ` ˆ ’ ˙ ˙ ` phu’o’ng trình bac ba cho mình. Tartaglia d ˆ ng ý vo’i giao u’o’c Cardano phai giu’ ˆ ¯o ´ ´ ’ ˜ ˙ bí mat ve lo’i giai cho d´ n khi Tartaglia tu’ mình xuat ban công trình d Nhu’ng ˆ ˆ `` ’ ˆ ¯e ´ˆ ’ ¯ó. ˙ ˙ ´ ` ’ ’ ˆ ˆ ´ ¯ã ¯u ˆ Cardano không giu’ giao u’o’c, lo’i giai cua phu’o’ng trình bac ba và bac bon d d ’o’c ˜ ˙ ˙ ˙ ´ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ’ ˆ’ ´ ˆ ’ xuat hien chi tiet trong quyen sách “Ars Magna” noi tieng cua Cardano, xuat ban ´ ˆ ’ ˙ ˘ ´ ˆ ˆ ’ nam 1545. Tartaglia vô cùng tu’c gian và trong mot bài báo cua mình xuat ban sau ´ˆ ’ ˙ ˙ ¯ó, ’ ˘ ¯i ’ ’ ˆ ’ d Tartaglia khang d nh lai công lao cua mình và lên án su’ phan boi cua Cardano. ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ` ´ ´ ˆ ¯a ´ Trong “Ars Magna”, cuon sách tieng Latinh d ˆ u tiên trên the gio’i ve d i so, ˆ ˆ ¯a ˆ ` ˆ ˙ Cardano có d ˆ cap d´ n công lao cua Tartaglia chính là tác gia cua công thu’c ` ¯e ˆ ¯e ˆ ’ ’ ’ ´ ˙ ˆ ’ ˆ ’ ` ˘ nghiem cua phu’o’ng trình bac ba, nhu’ng ông cung giai thích thêm rang viec chu’ng ˜ ˆ ´ ˙ ˙ ˙ ´ ˜ ` ’ ´ ˆ ’ minh công thu’c cung nhu’ trình bày lo’i giai chi tiet là cua ông cùng các hoc trò cua ’ ˙ ´ ’ ` ` ’ mình. ¯ ac biet, cuon sách cua Cardano lan d ˆ u tiên trình bày lo’i giai cho 20 loai D˘ ˆ ˆ ˆ ¯a ` ˙ ˙ ˙ ¯a ´ ˆ ´ ˆ ` ’ ¯e` phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Các lo’i giai này d ˆ u có chung phu’o’ng pháp là tìm ˙ ˆ nghiem cu ’ a mot phu’o’ng trình phu bac ba (ngày nay ta goi là giai thu’c bac ba), ˆ ˆ ’ ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ roi su’ dung nó d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac bon d cho. Tác gia cua ket qua này là ` ˆ ’ ¯e ’ ˆ ´ ¯ã ˆ ’ ’ ´ ˆ ’ ˙ ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  20. 6 ` ˆ ’’ Vài nét ve lich su ˙ Hình 2: Chân dung G. Cardano ˆ ´ ´ ˆ ˘ ´ ’ ˆ Lodovico Ferari (1522-1565), mot trong nhu’ng hoc trò xuat sac nhat cua Cardano. ˜ ˙ ˙ Mot lí do nu’a d ˆ’ giai thích cho quyet d nh cua Cardano là ông phát hien ra rang ˆ ˜ ¯e ’ ´ ¯i ˆ ’ ˆ ` ˘ ˙ ˙ ˙ ` ¯ã ’ ¯u ˆ ´ ¯ó ˘ Ferro là ngu’o’i d giai d ’o’c các phu’o’ng trình bac ba tru’o’c d 30 nam. ˙ ˙ ¯o ’ Su’ ra d `’i cua Ars Magna truye ˆ`n cam hu’ng cho nhieu nhà toán hoc trên the ’ ´ ˆ` ´ˆ ˙ ˙ ´ ´ ˆ ´ ` ˆ ¯a ´ gio’i tiep tuc nghiên cu’u ve phu’o’ng trình d thu’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy), ˙ Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản