Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Chia sẻ: Minh Long | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
380
lượt xem
110
download

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'lý thuyết thặng dư và ứng dụng', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

  1. Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
  2. Chương 6. Lý thuyết thặng dư và ứng dụng Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 412-514. Từ khoá: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm nguyên, Hàm phân hình, Bài toán cousin. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
  3. Chu.o.ng 6 L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng y ´ e a . a ´ dung . 6.1 Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . 423 ’ y ´ e a . 6.1.1 D.nh ngh˜ th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 -i ıa a . 6.1.2 Phu.o.ng ph´p t´ th˘ng du. . . . . . . . . . . . . . 425 a ınh a . 6.1.3 Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . . . . 436 -. y ’ ’ y ´ a e . 6.1.4 ´ T´ t´ phˆn theo chu tuyˆn d´ng . . . . . . . . 444 ınh ıch a e o 6.2 Mˆt sˆ u.ng dung cua l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . 448 . ´ o o´ . ’ y ´ e a . 6.2.1 Phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn . . . . . . . . . . . . 448 a ınh ıch a 2π 6.2.2 T´ t´ phˆn dang I = ınh ıch a . R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ . . . 451 0 +∞ 6.2.3 T´ phˆn dang I = ıch a . R(x)dx . . . . . . . . . . . 454 −∞ 6.2.4 T´ phˆn dang I = ıch a . eiax R(x)dx . . . . . . . . . 459 R
  4. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 423 6.2.5 T´ phˆn dang I = ıch a . R(x)xαdx . . . . . . . . . . 463 R+ 6.2.6 . ´ Mˆt sˆ v´ du kh´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 o o ı . a 6.2.7 ’ ’ ˜ T` tˆng cua chuˆ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 ım o o 6.3 H`m nguyˆn v` h`m phˆn h` a e a a a ınh . . . . . . . . . . 495 6.3.1 a a ınh. B`i to´n Cousin th´. nhˆt trong H`m phˆn h` a a u ´ a m˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 a . ’ a u 6.3.2 H`m nguyˆn. B`i to´n Cousin th´. hai trong m˘t a e a a u a . ’ ph˘ng ph´ a u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 6.4 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . 513 6.1 Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 6.1.1 Dinh ngh˜ th˘ng du. -. ıa a. Tru.´.c khi ph´t biˆu dinh ngh˜ vˆ th˘ng du. ta ch´.ng minh mˆt dinh l´ do.n o a ’ e . ıa ` a e . u o . . y ’ gian sau dˆy a Dinh l´ 6.1.1. Gia su. h`m f chınh h` trong v`nh tr`n -. y ’ ’ a ’ ınh a o V = {z ∈ C : r < |z − a| < R} Khi d´ t´ch phˆn o ı a I(ρ) = f (z)dz, r
  5. 424 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . ` o a ` dˆng luˆn suy ra r˘ng a f (z)dz = f (z)dx. γ(ρ1 ) γ(ρ2 ) Dinh ngh˜ 6.1.1. Gia su. h`m f (z) chınh h` tai diˆm a ho˘c c´ bˆt -. ıa ’ ’ a ’ ınh . ’ e a o a . ´ thu.`.ng cˆ lˆp d˘c t´nh do.n tri a. Gia su. γ l` du.`.ng cong d´ng Jordan bao o o a a ı . . . ’ ’ a o o ’ a .o.c dinh hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim dˆng hˆ. Khi d´ t´ch phˆn diˆm z = a v` du . . e o ` e ` o ` o o ı a . 1 f (z)dz du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f (z) dˆi v´.i diˆm a v` du.o.c k´ . . a a . ’ a ´ o o e ’ a . y 2πi γ hiˆu l` e a . 1 Res [f ; a] = f (z)dz. (6.1) 2πi γ Hiˆn nhiˆn chu tuyˆn γ thoa m˜n dinh ngh˜a 6.1.1 bao gi`. c˜ng tˆn tai. ’ e e ´ e ’ a . ı o u ` . o . . ` e a . a ’ Thˆt vˆy, theo diˆu kiˆn d˜ cho h`m f chınh h`nh trong U (ρ) = {0 < |z−a| < a a e ı o e a’ ´ ρ}. Do d´ ta c´ thˆ lˆy γ l` du o o a .`.ng cong Jordan d´ng bˆt k` thuˆc U (ρ) o ´ a y o. khˆng di qua a nhu o .ng bao a, v´ du du.`.ng tr`n γr = {|z − a| = r, r < ρ}. ı . o o T`. dinh l´ Cauchy v` dinh l´ 6.1.1 suy ra r˘ng th˘ng du. (6.1) c´ thˆ viˆt u . y a . y ` a a . o e e ’ ´ du.´.i dang o . 1 Res [f ; a] = f (z)dz, (6.2) 2πi γ(a,r) trong d´ du.`.ng tr`n γ(a, r) chay theo hu.´.ng du.o.ng v` dai lu.o.ng o. vˆ phai o o o . o a . . ´ ’ e ’ cua (6.2) khˆng phu thuˆc v`o r v` ho`n to`n du.o.c x´c dinh bo.i d´ng diˆu ’ o . o a . a a a . a . ’ a e . dia phu.o.ng cua h`m f tai diˆm a. ’ a e’ . . Dinh ngh˜ 6.1.2. Gia su. h`m f ∈ H{|z| > r} v` z = ∞ l` diˆm bˆt -. ıa ’ ’ a a a e ’ ´ a thu.`.ng cˆ lˆp cua h`m f (z). Dai lu.o.ng o o a ’ a . . . 1 Res [f ; ∞] = f (z)dz 2πi γ − (0,R)
  6. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 425 du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f tai diˆm ∞ trong d´ γ − (0, R) l` du.`.ng tr`n . . a a . ’ a . ’ e o a o o γ (0, R) = {|z| = R} v´.i b´n k´nh du l´.n du.o.c dinh hu.´.ng sao cho lˆn cˆn − o a ı ’ o . . o a a . ’m ∞ luˆn luˆn n˘m bˆn tr´i. diˆ e o o a ` e a Ta c´ thˆ du.a ra dinh ngh˜ ho.p nhˆt sau dˆy vˆ th˘ng du.. o e ’ . ıa . ´ a a ` a e . Dinh ngh˜ 6.1.3. Gia su. a ∈ C l` diˆm chınh h`nh ho˘c diˆm bˆt thu.`.ng -. ıa ’ ’ a e ’ ’ ı a . ’ e ´ a o .n tri cua h`m f . Gi´ tri cua t´ch phˆn cua h`m f theo biˆn cua lˆn cˆ lˆp do o a . . ’ a a . ’ ı a ’ a e ’ a cˆn du b´ cua diˆm z = a chia cho 2πi du.o.c goi l` th˘ng du. cua h`m f tai a . ’ e ’ e’ . . a a . ’ a . ’ diˆm a. e Theo dinh l´ Cauchy . y Res [f ; a] = 0 nˆu h`m f chınh h`nh tai diˆm a v` a ∈ C. Th˘ng du. tai ∞ c´ thˆ kh´c ´ e a ’ ı . ’ e a a. . o e a’ 1 0 khi h`m chınh h`nh tai ∞. Thˆt vˆy, gia su. f (z) = . Hiˆn nhiˆn diˆm a ’ ı . a a . . ’ ’ ’ e e ’ e z z = ∞ l` khˆng diˆm do.n cua f v` a o e’ ’ a 1 1 Res [f ; ∞] = dz = −1 = 0. 2πi z γ − (0,R) Nhu. vˆy h`m chı c´ thˆ c´ th˘ng du. = 0 tai diˆm a c´ch gˆc toa dˆ mˆt a a . ’ ’ o e o a . . e ’ a ´ o . o o. . ’ khoang c´ch h˜ a u.u han trong tru.`.ng ho.p khi a thˆt su. l` diˆm bˆt thu.`.ng, o a . a e ’ ´ a o . . . trong khi d´ n´ c´ thˆ c´ th˘ng du. = 0 tai ∞ thˆm ch´ ca trong tru.`.ng ho.p ’ o o o e o a . . a . ı ’ o . a ’ h`m chınh h`nh tai d´. ı . o 6.1.2 Phu.o.ng ph´p t´ th˘ng du. a ınh a . Viˆc t´nh th˘ng du. b˘ng c´ch xuˆt ph´t t`. dinh ngh˜a hˆt s´.c ph´.c tap. Co. e ı . a . ` a a ´ a a u . ı e u´ u . ’ so. cho viˆc t´nh to´n th˘ng du. mˆt c´ch thu.c tiˆn l` dinh l´ sau dˆy. e ı a a o a ˜ a . e y a . . . . Dinh l´ 6.1.2. Gia su. v´.i 0 < |z − a| < ρ h`m f (z) c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i -. y ’ ’ o a ’ ’ o e e ˜ e o dang . f (z) = an (z − a)n , (6.3) −∞
  7. 426 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . Khi d´ o Res[f ; a] = a−1 . (6.4) ´ Nˆu khi R < |z| < ∞ e f (z) = an z n (6.5) −∞
  8. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 427 V´ du 1. Gia su. ı . ’ ’ sin z f (z) = · z6 T´ Res[f ; 0]. ınh ’ ı . a a . ’ Giai. V` tai lˆn cˆn diˆm z = 0 ta c´ e o 1 z3 z5 f (z) = z− + −... z6 3! 5! 1 1 1 = 5− + + ... z 3!z 3 5!z 1 1 nˆn a−1 = e v` Res[f ; 0] = . a 5! 5! V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng nˆu ı . u ` a ´ e 1 f (z) = z · cos z+1 th` ı 1 Res[f ; −1] = − · 2 ’ Giai. Thˆt vˆy, ta c´ a a . . o 1 f (z) = [(z + 1) − 1] 1 − + ... 2(z + 1)2 v` do d´ a o 1 a−1 = − · 2 V´ du 3. Gia su. ı . ’ ’ 1 f (z) = · z(1 − e−hz ) T´ Res[f ; 0]. ınh
  9. 428 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . 1 ’ . . . a a . ’ Giai. Khi d´ Res[f ; 0] = . Thˆt vˆy, tai lˆn cˆn diˆm z = 0 ta c´ o a a e o 2 1 f (z) = h2 z 2 z 1 − 1 + hz − + ... 2! 1 = h2 z 3 hz 2 − + ... 2! 1 1 = 2+ + ϕ(z), hz 2z trong d´ ϕ(z) chınh h` tai diˆm z = 0. T`. d´ suy ra diˆu phai ch´.ng minh. o ’ ınh . e ’ u o ` e ’ u e ` e a a ’ ıch V´ du 4. Ta x´t miˆn D = C \ [0, 1] v` h`m giai t´ trong d´ ı . o z F (z) = 8 · 1−z T´ Res[f ; ∞], trong d´ f l` nh´nh chınh h`nh nhˆn gi´ tri du.o.ng o. b`. ınh o a a ’ ı a. a . ’ o e ’ ´ trˆn cua nh´t c˘t [0, 1]. a a ’ ` e a o e a ’ Giai. Trong miˆn D h`m F (z) c´ thˆ t´ch th`nh ba nh´nh chınh h`nh. a a ’ ı Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh nhˆn gi´ tri du.o.ng o. b`. trˆn cua nh´t c˘t. ’ ’ a a ’ ı a . a . ’ o e ’ a a ´ Ta s˜ khai triˆn h`m f (z) th`nh chuˆ i Laurent tai lˆn cˆn diˆm ∞. V´.i e ’ e a a ˜ o . a a . ’ e o z ∈ D ta c´ o z ϕ f (z) = 8 ei 3 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 , 1−z trong d´ ϕ1 = ∆γ arg z, ϕ2 = ∆γ (1 − z), γ ⊂ D l` du.`.ng cong n˘m trong D o a o ` a ´ ’ v` nˆi diˆm 0 + i0 v´ a o e o.i z ∈ D. Khi z = x > 1 ta c´ ϕ1 = 0, ϕ2 = −π. Do d´ o o x iπ/3 f (x) = 3 e , x−1 v` f (∞) = lim f (x) = eiπ/3 . a x→+∞ T`. d´ suy ra r˘ng trong lˆn cˆn diˆm z = ∞ ta c´ u o ` a a a . ’ e o 1 1 −1 3 iπ/3 iπ/3 f (z) = e =e 1− , 3 1 z 1− z
  10. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 429 trong d´ c˘n th´.c nhˆn gi´ tri 1 tai ∞. T`. d´ dˆ d`ng thˆy r˘ng o a u a . a . . u o ˜ a e a ` ´ a   1 iπ/3 −   3 (−1)n z −n f (z) = e n≥0 n v` a   1 − Res[f ; ∞) = −eiπ/3  3  . 1 V´ du 5. Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh cua h`m ı . ’ ’ a a ’ ı ’ a 1−z α F (z) = , α∈R 1+z m` f (0 + i0) = 1 trong miˆn D = C \ [−1, +1]. T´ th˘ng du. cua h`m f (z) a ` e ınh a . ’ a . e ’ tai diˆm ∞ (v´ du 5.3.5). ı . ’ ’ e a a ˜ o . a a . ’ Giai. Ta khai triˆn h`m f (z) th`nh chuˆ i Laurent tai lˆn cˆn diˆm ∞. e Ta c´o f (∞) = lim f (x) = e−iαπ . x→+∞ ´ Tiˆp theo e 1 α −1 + f (z) = z = e−iαπ g(z), 1 1+ z trong d´ ta d˘t o a . 1 α 1− g(z) = z · 1 1+ z
  11. 430 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . a ’ ı . e ’ H`m g(z) chınh h`nh tai diˆm ∞ v` g(∞) = 1 a 1 α 1− f (z) = z 1 1+ z α α(α − 1) −2 1− + z + ... = z 2! α α(α − 1) −2 1+ + z + ... z 2! 2α =1− + ... z T`. d´ suy ra r˘ng u o ` a 2α f (z) = eiπα 1 − + ... z v` a Res [f ; ∞] = 2αeiαπ . 1−z V´ du 6. Gia su. f (z) l` nh´nh chınh h`nh cua h`m F (z) = Ln ı . ’ ’ a a ’ ı ’ a m` a 1+z ` e ı a . cua h`m f (z) tai f (0 + i0) = 0 trong miˆn D = C \ [−1, +1]. T´nh th˘ng du ’ a . . diˆ e’m ∞ (v´ du 5.3.6). ı . ’ Giai. Ta c´o 1−z f (z) = ln + i(ϕ1 − ϕ2) 1+z ϕ1 = ∆γ arg(1 − z), ϕ2 = ∆γ (1 + z), trong d´ γ l` tuyˆn thuˆc D nˆi diˆm z = 0 + i0 (diˆm 0 o. b`. trˆn cua nh´t o a ´ e o . ´ ’ o e ’ e ’ o e ’ a c˘t) v´.i diˆm z. Hiˆn nhiˆn khi z = iy, y > 0 th` ϕ1 = −ϕ2, ϕ2 = arctg y v` ´ a o e ’ ’ e e ı a do d´ v´ o o .i y > 0. f (iy) = −2iarcrg y, v` |1 − iy| = |1 + iy|. ı
  12. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 431 T`. d´ c˜ng r´t ra r˘ng u o u u ` a f (∞) = lim f (iy) = −πi. y→∞ . e’ Do d´ tai lˆn cˆn diˆm z = ∞ ta c´ o . a a o 1 −1 + f (z) = ln z 1 1+ z 1 1 = −πi + ln 1 −− ln 1 + , z z trong d´ c´c logarit o. vˆ phai chınh h`nh tai lˆn cˆn diˆm ∞ v` b˘ng 0 khi o a ´ ’ e ’ ’ ı . a a . ’ e a `a z = ∞. ˜ a a ` ´ a Dˆ d`ng thˆy r˘ng e 1 (−1)n+1 f (z) = −πi − − n 1 nz n n 1 nz n 2 = − πi + , 1 < |z| < ∞. n 0 (2n + 1)z 2n+1 v` t`. d´ r´t ra a u o u Res[f ; ∞] = +2. Trong c´c v´ du trˆn dˆy, viˆc khai triˆn h`m th`nh chuˆ i Laurent du.o.c tiˆn a ı . e a e. ’ e a a ˜ o . ´ e o a ˜ a h`nh mˆt c´ch dˆ d`ng. Tuy nhiˆn tuyˆt dai da sˆ tru o a e e e . ´ o .`.ng ho.p ph´p khai e . . . triˆn d´ du.o.c tiˆn h`nh rˆt kh´ kh˘n. ’ e o . ´ e a ´ a o a ˘ . ’ M BAT THU.O.NG COT YEU. Nˆu diˆm z = a ˆ ´ ˆ ` ˆ´ ´ ˆ ´ ’ I. THANG DU TAI DIE . . e e l` diˆm bˆt thu.`.ng cˆt yˆu cua h`m f (z) th` dˆ t´nh th˘ng du. cua h`m tai a e ’ ´ a o ´ ´ o e ’ a ’ ı e ı a . ’ a . e’ o ` ım ` a a ınh ’ diˆm d´ ta cˆn t` phˆn ch´ cua khai triˆn Laurent v` su . ’ e a ’ . dung cˆng th´.c o u (6.4) nˆu a ∈ C, cˆng th´.c (6.6) nˆu a = ∞. ´ e o u ´ e . . ’ II. THANG DU TAI CU C DIE M. Trong tru.`.ng ho.p khi a l` cu.c diˆm ˘ . . . ˆ o . a . ’ e cua h`m f , dˆ t´ th˘ng du. tai diˆm a, thay cho cˆng th´.c (6.4) v` (6.6) ’ a ’ e ınh a . . ’ e o u a ’ (su .. dung khai triˆn Laurent) ta thu.`.ng su. dung nh˜.ng cˆng th´.c s˜ ch´.ng ’ e o ’ . u o u e u minh du o a .´.i dˆy chı cˆn t` dao h`m. Ta x´t c´c tru.`.ng ho.p cu thˆ sau dˆy. ’ ` ım . a a e a o ’ . . e a 1. Tru.`.ng ho.p cu.c diˆm do.n o . . e’
  13. 432 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . Dinh l´ 6.1.3. Nˆu a l` cu.c diˆm do.n cua h`m f (z) th` th˘ng du. cua f -. y ´ e a . ’ e ’ a ı a . ’ tai a du.o.c t´nh theo cˆng th´.c . . ı o u Res[f ; a] = lim(z − a)f (z). (6.7) z→a Ch´.ng minh. Tai lˆn cˆn diˆm a khai triˆn Laurent cua h`m f (z) c´ dang u . a a . ’ e ’ e ’ a o . f (z) = a−1 (z − a)−1 + an (z − a)n n 0 v` t`. d´ suy ra a u o a−1 = lim(z − a)f (z). z→a Nhu. vˆy, dˆ t´nh th˘ng du. tai cu.c diˆm do.n ta c´ cˆng th´.c a . ’ e ı a . . . ’ e o o u Res[f (z); a] = lim(z − a)f (z). z→a ϕ(z) . ’ ´ Hˆ qua 6.1.1. Nˆu f (z) = e e , trong d´ ϕ v` ψ l` nh˜.ng h`m o a a u a ψ(z) ’ chınh h` . ’ e ’ a ` ınh tai diˆm a thoa m˜n diˆu kiˆn ϕ(a) = 0, ψ(a) = 0, e e . ψ (a) = 0 th` ı ϕ(a) Res[f ; a] = · (6.8) ψ (a) Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, v` a l` cu.c diˆm cua f (z) nˆn t`. (6.7) ta c´ u a a . . ı a . ’ e ’ e u o (z − a)ϕ(z) Res[f ; a] = lim z→a ψ(z) ϕ(z) ϕ(a) = lim = · z→a ψ(z) − ψ(a) ψ (a) z−a
  14. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 433 2n + 1 V´ du 7. T` th˘ng du. cua h`m w = tg z tai c´c diˆm zn = ı . ım a . ’ a . a e ’ π, n ∈ Z. 2 sin z ’ Giai. Ta c´ tg z = o , cos zn = 0, cos z zn = − sin zn . Do d´ t`. (6.8) o u cos z ta c´ o sin zn Res[tg z; zn ] = = −1. − sin zn Tru.`.ng ho.p cu.c diˆm bˆi. Ta c´ dinh l´ sau dˆy: o . . ’ e o . o . y a Dinh l´ 6.1.4. Nˆu a l` cu.c diˆm cˆp m cua h`m f (z) th` -. y ´ e a . ’ e ´ a ’ a ı 1 dm−1 Res[f ; a] = lim (z − a)m f (z) . (6.9) (m − 1)! z→a dz m−1 Ch´.ng minh. V` a l` cu.c diˆm cˆp m cua h`m f (z) nˆn u ı a . ’ e ´ a ’ a e am a−1 f (z) = m + ··· + + an (z − a)n (z − a) z−a n 0 v` t`. d´ a u o (z − a)m f (z) = a−m + a−m+1 (z − a) + · · · + a−1(z − a)m−1 + an (z − a)n+m . (6.10) n 0 Lˆy vi phˆn biˆu th´.c (6.10) m − 1 lˆn liˆn tiˆp ta c´ ´ a a e’ u ` a e ´ e o dm−1 [(z − a)m f (z)] = (m − 1)! a−1 + m! a0(z − a) + . . . dz m−1 v` chuyˆn qua gi´.i han khi z → a ta thu du.o.c (6.9). a e’ o . . V´ du 8. T´ th˘ng du. cua h`m ı . ınh a . ’ a 1 f (z) = (z 2 + 1)3 dˆi v´.i diˆm z = i. ´ o o e ’
  15. 434 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . Giai. Hiˆn nhiˆn diˆm z = i l` cu.c diˆm cˆp ba cua h`m f (z). Do d´ ap ’ ’ e e ’ e a . ’ e ´ a ’ a o´ dung cˆng th´.c (6.9) ta c´ . o u o 1 d2 1 Res[f ; i] = lim 2 (z − i)3 3 (z + i)3 2! z→i dz (z − i) 2 1 d = lim 2 [(z + i)−3 ] 2 z→i dz 1 3 = lim[(−3)(−4)(z + i)−5 ] = − i. 2 z→i 16 V´ du 9. T´ ı . ınh 1 Res ;0 . sin z 2 Giai. V` z = 0 l` cu.c diˆm cˆp hai cua h`m f (z) nˆn ’ ı a . ’ e ´ a ’ a e d z2 2z sin z 2 − 2z 3 cos z 2 Res[f ; 0] = lim = lim z→0 dz sin z 2 z→0 sin2 z 2 z6 z4 2z z 2 − + . . . − 2z 3 1 − + ... = lim 3! 2! z→0 z6 2 z2 − + ... 3! 2 7 z + ... = lim 3 4 = 0. z→0 z + . . . . III. THANG DU TAI VO CUNG. Cˆng th´.c (6.6) l` cˆng th´.c co. ban ˘ . . ˆ ` o u a o u ’ ’ . tai diˆm vˆ c`ng dˆ t´nh th˘ng du . e e ı a ’ o u . Res[f ; ∞] = −a−1. (20.6) Tuy nhiˆn, trong mˆt sˆ tru.`.ng ho.p dˆ t´nh th˘ng du. tai ∞, ta c´ thˆ ´p e . ´ o o o . ’ e ı a . . o ea’ dung cˆng th´ o u.c du.o.c ch´.ng minh trong dinh l´ sau dˆy. u y a . . . -. y ´ e a ’ ı . ’ Dinh l´ 6.1.5. Nˆu h`m f chınh h`nh tai diˆm ∞ th` e ı Res[f ; ∞] = − lim z[f (z) − a0]. (6.11) z→∞
  16. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 435 Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, v´.i |z| > R ta c´ u a a . . o o a−1 a−2 f (z) = a0 + + 2 + ... z z a−n a−n = + a0 ⇒ f (z) − a0 = · n≥1 zn n 1 zn Nhˆn hai vˆ cua d˘ng th´.c trˆn dˆy v´.i z v` chuyˆn qua gi´.i han khi z → ∞ a ´ e ’ a ’ u e a o a e’ o . .o.c (6.11). ta thu du . e . ’ ´ e a o ’ e ´ a ’ Hˆ qua 6.1.2. Nˆu ∞ l` khˆng - diˆm cˆp m 1 cua f (z) th` a0 = a−1 = ı · · · = a−m+1 = 0 v` do d´ Res[f ; ∞] = −a−1 = 0. a o ´ e u.c l` lim f (z) = a0 = 0 th` Nˆu m = 1, t´ a ı z→∞ Res[f (z); ∞] = − lim z · f (z). z→∞ V´ du 10. Gia su. cho h`m ı . ’ ’ a z 1−p (1 − z)p F (z) = , p ∈ R D = C \ [0, 1]. 1 + z2 T´ th˘ng du. tai ∞ cua nh´nh chınh h`nh f (z) thoa m˜n diˆu kiˆn ınh a . . ’ a ’ ı ’ a ` e e . arg(1 − z) = arg z = 0 khi z thuˆc b`. trˆn cua nh´t c˘t [0, 1] ⊂ R c`n sau d´ c´c acgumen biˆn o o e . ’ a ´ a o o a ´ e thiˆn liˆn tuc. e e . ’ e’ e e’ a e ’ a a ’ a Giai. Hiˆn nhiˆn diˆm z = 0, z = 1 l` diˆm phˆn nh´nh cua h`m da tri . F (z) v` trong miˆn D h`m F (z) c´ thˆ t´ch nh´nh chınh h`nh. Gia su. f (z) a ` e a ’ o e a a ’ ı ’ ’ a a ’ a a ` e e a e . e’ e ` l` nh´nh thoa m˜n c´c diˆu kiˆn d˜ nˆu. Hiˆn nhiˆn r˘ng a lim f (z) = 0. z→∞ Do d´, dˆ t´nh Res[f ; ∞] ta c´ thˆ ´p dung cˆng th´.c (6.11). Ta cˆn t` ’ o e ı o ea’ . o u ` ım a lim |zf (z)| v` lim arg zf (z). a z→∞ z→∞
  17. 436 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . Ta c´ a) o |z|1−p |1 − z|p lim |f (z) · z| = lim |z| · z→∞ z→∞ |1 + z 2| 1 p 1− = lim z = 1. z→∞ 1 1+ 2 z b) T´ lim arg(zf (z)). V` z · f (z) l` h`m chınh h`nh trong D nˆn gi´.i ınh ı a a ’ ı e o han cua n´ khˆng phu thuˆc v`o phu.o.ng dˆn z ra vˆ c`ng. Gia su. z → ∞ . ’ o o . o a . ` a o u ’ ’ .´.ng du.o.ng cua truc thu.c. Ta c´ theo hu o ’ o . . lim arg(z · f (z)) = lim {arg z + (1 − p) arg z + p arg(1 − z) − arg(1 + z 2)} z→∞ z→∞ = 0 + (1 − p) · 0 + p · (−π) + 0 = −pπ. Nhu. vˆy a . lim z · f (z) = e−pπi , z→∞ v` t`. d´ suy ra r˘ng a u o ` a Res[f ; ∞] = −e−pπi . 6.1.3 Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. -. y ’ ’ y ´ e a . Dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. l` dinh l´ sau dˆy . y ’ ’ y ´ e a . a . y a Dinh l´ 6.1.6. (Cauchy) Gia su. D l` tˆp ho.p mo. cua m˘t ph˘ng ph´.c v` -. y ’ ’ a a . . ’ ’ a. a’ u a ’ f l` h`m chınh h`nh trong D \ {ai}, trong d´ ai l` tˆp ho a a ı o a a . .p nh˜.ng diˆm bˆt u ’ e ´ a . thu.`.ng cˆ lˆp cua h`m f (z). Gia su. Γ l` biˆn c´ hu.´.ng cua miˆn B ⊂ D o o a ’ . a ’ ’ a e o o ’ ` e a ’ ´ ` ’ ´ v` gia thiˆt r˘ng Γ khˆng di qua mˆt diˆm bˆt thu o e a o o e a .`.ng n`o cua f . Khi d´ a ’ o . ´ ’ ´ 1. sˆ diˆm bˆt thu o o e a .`.ng cua f o. trong B l` h˜.u han. ’ ’ a u . 2. h`m f (z) tho a ’ a m˜n hˆ th´.c a e u . f (z)dz = 2πi Res[f ; ai ], (6.12) Γ ai ∈B
  18. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 437 trong d´ tˆng o. vˆ phai cua (6.12) du.o.c lˆy theo moi diˆm bˆt thu.`.ng cua ’ o o ’ e ´ ’ ’ . a ´ . ’ e ´ a o ’ a ` h`m f (z) n˘m trong B. a Ch´.ng minh. u 1. Diˆu kh˘ng dinh th´. nhˆt cua dinh l´ ho`n to`n hiˆn nhiˆn. ` e ’ a . u ´ a ’ . y a a ’ e e ’ 2. Dˆ ch´ e u .ng minh diˆu kh˘ng dinh th´. hai ta cˆn phˆn biˆt hai tru.`.ng ` e ’ a u `a a e o . . ho.p . Tru.`.ng ho.p th´. nhˆt. Diˆm ∞ ∈ B. V` diˆm ∞ khˆng thuˆc B nˆn B o . u ´ a ’ e ı e ’ o o . e a ` ’ e ’ ’ l` miˆn cua C. Gia su . Si l` nh˜.ng h`nh tr`n d´ng v´.i tˆm tai mˆ i diˆm bˆt a u ı o o o a ˜ o e ’ ´ a ◦ . thu.`.ng ai (∈ B): Si = {|z − ai | ri , ri > 0}. Ta gia thiˆt r˘ng ri du.o.c chon o ’ e ` ´ a . . ’ e du b´ sao cho: ◦ a) S i ⊂ B, ∀ i; b) Si ∩ Sj = ∅, i = j. Gia su. γi l` biˆn cua h`nh tr`n Si tu.o.ng u.ng chay theo hu.´.ng du.o.ng. ’ ’ a e ’ ı o ´ . o Ta k´ hiˆu y e . ◦ B∗ = B \ Si , i ◦ o a ’ e’ trong d´ S i l` phˆn trong cua Si . Hiˆn nhiˆn B ∗ c˜ng l` mˆt miˆn. Biˆn a ` e u a o . ` e e ∂B ch´ l` hiˆu gi˜.a biˆn c´ hu.´.ng Γ cua B v` c´c du.`.ng tr`n γi . V` ∗ ınh a e . u e o o ’ a a o o ı ∗ f ∈ H(B ) nˆn e f (z)dz = f (z)dz. (6.13) Γ i γi Nhu.ng m˘t kh´c t`. (6.2) ta c´ a . a u o f (z)dz = 2πiRes[f ; ai]. γi Thˆ biˆu th´.c n`y v`o (6.13) ta thu du.o.c hˆ th´.c (6.12). ´ ’ e e u a a . e u. .`.ng ho.p th´. hai. Diˆm ∞ ∈ B. Gia su. U (∞, r) = {z ∈ C : |z| r} Tru o u ’ e ’ ’ . l` lˆn cˆn diˆm ∞ m` tai d´ h`m f (z) chınh h`nh (c´ thˆ tr`. ra ch´nh diˆm a a a . e’ a . o a ’ ı o e u ’ ı ’ e z = ∞) v` gia su. ∂U (∞, r) ∩ Γ = ∅. a ’ ’
  19. 438 Chu.o.ng 6. L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a´ . Ta k´ hiˆu: y e . B(r) = B \ {|z| > r}. Biˆn c´ hu.´.ng cua B(r) l` tˆng biˆn c´ hu.´.ng Γ cua B v` du.`.ng tr`n e o o ’ a o ’ e o o ’ a o o {|z| = r} chay theo hu o .´.ng du.o.ng. V` miˆn B(r) khˆng ch´.a diˆm ∞ nˆn ı ` e o u ’ e e . t`. tru.`.ng ho.p I suy ra u o . f (z)dz + f (z)dz = 2πi Res[f ; ai], (6.14) i Γ {|z|=r} trong d´ tˆng o. vˆ phai cua (6.14) du.o.c lˆy theo moi diˆm bˆt thu.`.ng ai o o ’ ’ e ´ ’ ’ . a ´ . ’ e ´ a o ’ ` a ` cua f n˘m trong miˆn B tr` e u. ra diˆm ∞. Nhu.ng theo dinh ngh˜a 6.1.2 ta c´ ’ e ı o . f (z)dz = −2πiRes[f ; ∞], {|z|=r} v` t`. (6.14) suy ra r˘ng a u ` a f (z)dz = 2πi Res[f ; ai] + Res[f ; ∞] . i Γ D´ ch´ l` d˘ng th´.c (6.2) v` diˆm ∞ c˜ng l` mˆt trong c´c diˆm ai . o ınh a a ’ u ı e ’ u a o. a ’ e Nhˆn x´t 6.1.1. Cˆng th´.c t´ch phˆn co. ban th´. hai cua Cauchy l` nˆn tang a e . o u ı a ’ u ’ a ` ’ e dˆ xˆy du.ng to`n bˆ l´ thuyˆt h`m chınh h`nh m` d˘c biˆt l` dˆ thu du.o.c ’ e a . a o y . ´ e a ’ ı a a . e a e . ’ . ’ a ’ khai triˆn Laurent v` do d´ dˆ t´nh th˘ng du e o e ı a .. Nhu.ng cˆng th´.c d´ lai l` o u o . a . y . ban cua Cauchy vˆ l´ thuyˆt th˘ng du.. Thˆt vˆy, mˆt hˆ qua cua dinh l´ co ’ o e ’ ’ . ’ ` y e ´ a e a a . . . . . ´i v´.i h`m f ∈ H(D), h`m dˆ o a o a f (z) z→ z−a nhˆn diˆm a l` diˆm bˆt thu.`.ng c´ thˆ c´. Th˘ng du. cua h`m n`y tai a a . e’ a e ’ ´ a o o e o’ a . ’ a a . b˘ng f (a). Thˆt thˆ, diˆm a chı c´ thˆ l` diˆm chınh h`nh ho˘c cu.c diˆm ` a a . ´ e e ’ ’ ’ o e a e ’ ’ ı a . . ’ e f (z) do.n cua ’ v` nˆu ta su. dung khai triˆn a e ´ ’ . ’ e z−a f (z) = f (a) + f (a)(z − a) + . . .
  20. 6.1. Co. so. l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . 439 1 . ´ ı e o ’ th` hˆ sˆ cua z−a s˜ l` f (a). Do d´ e a o 1 f (z) f (z) dz = Res ; a = f (a). 2πi z−a z−a ∂D Dinh l´ 6.1.6 c´ y ngh˜ to l´.n vˆ m˘t nguyˆn t˘c v` n´ du.a viˆc t´ . y o ´ ıa o ` ae . e ´ ı o a e ınh . mˆt dai lu . o . .o.ng c´ t´ chˆt to`n cuc - t´ch phˆn cua h`m chınh h`nh theo o ınh a ´ a ı a ’ a ’ ı . . biˆn cu e ’ a miˆn - vˆ t´nh nh˜.ng dai lu.o.ng c´ t´nh chˆt dia phu.o.ng - th˘ng du. ` e ` ı e u . . o ı ´ a . a . ’ a cua h`m tai c´c diˆ . a ’m bˆt thu.`.ng. e ´ a o Hˆ qua 6.1.3. Gia su. h`m f chınh h`nh trong to`n m˘t ph˘ng C tr`. ra e. ’ ’ ’ a ’ ı a a . ’ a u .u han) c´c diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp. Khi d´ tˆng c´c th˘ng du. tai ’ ’ . ´ (mˆt sˆ h˜ . o o u a e ´ a o o a. o o a a . . a ’ ´ e a ’ e ’ e ’ a ` c´c diˆm ˆy (kˆ ca diˆm ∞) l` b˘ng 0. a Ch´.ng minh. Tru.´.c hˆt ta nhˆn x´t r˘ng sˆ c´c diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp (nˆu u o e ´ a e a . ` ´ o a e ’ ´ a o o a. ´ e o e ’ h`m khˆng c´ diˆm bˆt thu o a o a´ .`.ng khˆng cˆ lˆp) khˆng thˆ b˘ng ∞ v` trong o o a o ’ ` e a ı . tru.`.ng ho.p d´ s˜ tˆn tai diˆm tu dˆi v´.i tˆp ho.p c´c diˆm bˆt thu.`.ng v` o . o e ` o . e’ ´ . o o a . . a e’ ´ a o a e ’ o a e ’ diˆm d´ l` diˆm bˆt thu oa´ .`.ng nhu.ng khˆng cˆ lˆp. o o a . Bˆy gi` ’ ’ a o. gia su. a l` diˆm h˜.u han t`y y m` tai d´ f chınh h`nh. Ta bao a e ’ u u ´ a . o ’ ı . diˆm a bo.i mˆt du.`.ng tr`n γ(a, ε) v´.i tˆm a v` b´n k´nh du b´ ε sao cho f e ’ ’ o. o o o a a a ı ’ e ’ chınh h` trong S(a, ε) = {|z − a| ε}. Du o ınh .`.ng tr`n γ(a, ε) chia m˘t ph˘ng o a ’ a . ` ` ∞ ´ a e e . a . a ` th`nh hai miˆn: miˆn bi ch˘n D = S(a, ε) v` miˆn khˆng bi ch˘n D . Ap e o . a . dung dinh l´ th˘ng du o o y a . dˆi v´.i D∞ ta thu du.o.c ´ . . . . f (z)dz = 2πi Res[f ; .]. γ(a,ε) C a . a . y ıch a a . ` M˘t kh´c, theo dinh l´ t´ phˆn Cauchy (´p dung cho miˆn D) ta c´ e o f (z)dz = 0. γ(a,ε) T`. d´ suy ra u o Res[f ; .] = 0. (6.15) C

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản