Lý thuyết về dao động

Chia sẻ: tieutaithan

Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi nó . Nó được mô phỏng bằng các phương trình toán học. Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính gọi là dao động tuyến tính và ngược lại gọi là dao động phi tuyến tính.

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Lý thuyết về dao động

Tr−êng ®¹i häc thuû lîi
Bé m«n c¬ häc øng dông
--- ---

GS.TS NguyÔn Thóc An
PGS.TS NguyÔn §×nh ChiÒu
PGS.TS Khæng Do·n §iÒn




Lý thuyÕt dao ®éng




Hμ Néi 2003
Lêi nãi ®Çu

Gi¸o tr×nh “C¬ häc Lý thuyÕt II – Lý thuyÕt Dao ®éng” – T¸c gi¶ PGS. PTS NguyÔn
Thóc An, PTS NguyÔn §×nh ChiÒu, PTS Khæng Do·n §iÒn, xuÊt b¶n t¹i Tr−êng §¹i häc
Thñy lîi, n¨m 1989, ®· ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh C«ng tr×nh, ngµnh
Thuû ®iÖn vµ ngµnh M¸y X©y Dùng nh÷ng n¨m qua, trong ®ã ®Ò cËp ®Õn c¸c bµi to¸n dao
®éng cña hÖ mét bËc tù do, hai bËc tù do, v« sè bËc tù do vµ gi¶i quyÕt nguyªn lý cña bé t¾t
chÊn ®éng lùc, triÖt tiªu dao ®éng cña mét vµi tr−êng hîp cô thÓ vµ c¸ch gi¶i quyÕt khi hÖ
cã nguy c¬ xuÊt hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng.

§Ó ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & TBTL vµ c¸c
häc viªn Cao häc, Nghiªn cøu sinh mµ luËn ¸n cã ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ®éng lùc, chóng t«i
biªn so¹n vµ ®−a vµo thªm: Ch−¬ng IV (Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ ¸p dông
Lý thuyÕt va ch¹m vµo bµi to¸n ®ãng cäc); Ch−¬ng V (C¬ së cña Lý thuyÕt dao ®éng phi
tuyÕn) vµ cã ®−a vµo nh÷ng vÝ dô gÇn víi thùc tÕ tÝnh to¸n c«ng tr×nh cho ngµnh Thuû lîi.

Tµi liÖu dïng ®Ó gi¶ng d¹y “ Lý thuyÕt dao ®éng” cho sinh viªn c¸c ngµnh C«ng tr×nh,
Thuû ®iÖn, CÊp tho¸t n−íc, Tr¹m b¬m vµ gi¶ng d¹y m«n “ Dao ®éng kü thuËt” cho sinh
viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & ThiÕt BÞ Thuû Lîi. Tµi liÖu nµy còng cã thÓ dïng lµm tµi liÖu
«n tËp thi tuyÓn Cao häc vµ Nghiªn cøu sinh cho c¸c ngµnh C«ng tr×nh, §éng lùc vµ lµm tµi
liÖu häc tËp vµ tham kh¶o cho Nghiªn cøu sinh c¸c ngµnh cã liªn quan.

Chóng t«i mong nhËn ®−îc nh÷ng ®ãng gãp ý kiÕn cña ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc ®Ó bæ
xung, söa ch÷a cho tËp gi¸o tr×nh ngµy mét hoµn chØnh h¬n.


Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2003.
C¸c t¸c gi¶




1
Ch−¬ng më ®Çu

§1. Mét vμi kh¸i niÖm vμ ®Þnh nghÜa

1.1. C¸c qu¸ tr×nh thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c ®¹i l−îng v« h−íng ®−îc chia
thµnh hai d¹ng: C¸c qu¸ tr×nh dao ®éng vµ c¸c qu¸ tr×nh kh«ng dao ®éng.
Qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sù t¨ng hay gi¶m mét c¸ch lu©n phiªn cña
c¸c ®¹i l−îng biÕn ®æi. Nã ®−îc m« t¶ b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc.
Dao ®éng trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña nã lµ tuyÕn tÝnh,
gäi lµ dao ®éng tuyÕn tÝnh. Ng−îc l¹i, gäi lµ dao ®éng kh«ng tuyÕn tÝnh (phi tuyÕn).
1.2. ChuyÓn ®éng dao ®éng ®−îc ®Æc biÖt quan t©m lµ nh÷ng dao ®éng cã chu kú.
Hµm f*(t) m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng cã chu kú, nÕu nh− tån t¹i gi¸ trÞ T > 0, tho¶ m·n
®iÒu kiÖn sau:

f * ( t ) = f * ( t ± T ) = f * ( t ± 2T ) = ... = f * ( t ± nT ) (1)
Trong ®ã: T gäi lµ chu kú; n lµ sè nguyªn d−¬ng.
Mét d¹ng ®Æc biÖt cña dao ®éng cã chu kú chiÕm vÞ trÝ quan träng trong thùc tÕ lµ dao
®éng ®iÒu hoµ. VÒ mÆt ®éng häc dao ®éng ®iÒu hoµ ®−îc miªu t¶ bëi hÖ thøc:
q = A sin(kt + α) (2)
ë ®©y: q lµ to¹ ®é cña ®iÓm dao ®éng tÝnh tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã (chän lµm gèc
to¹ ®é); A lµ to¹ ®é cña q øng víi ®é lÖch lín nhÊt cña ®iÓm vÒ mét phÝa vµ ®−îc gäi lµ biªn
®é dao ®éng; (kt+α) lµ Argument cña sin gäi lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; k lµ tÇn sè
vßng (riªng) cña dao ®éng. TÇn sè riªng k liªn quan víi chu kú T bëi hÖ thøc:

k ( t + T) + α = kt + α + 2π , tõ ®ã: k = (rad / s) (3)
T
Sè lÇn dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:
1 k
f= = (4)
T 2π
f ®−îc gäi lµ tÇn sè; ®¬n vÞ th−êng dïng lµ Hecz (Hz).

§2. §éng n¨ng cña hÖ

XÐt hÖ N chÊt ®iÓm cã n bËc tù do. Gäi to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ: q1, q2
..., qn (qi, i = 1, n ).
Víi hÖ chÞu liªn kÕt dõng, vÞ trÝ cña mét ®iÓm Mk bÊt kú ®−îc biÓu diÔn:
rk = rk (q 1 , q 2 , ..., q n )

2
d rk n
∂ rk •
Tõ ®ã: vk =
dt
= ∑
i =1 ∂q i
qi (5)

1 n
§éng n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc: T = ∑ m k v 2k
2 k =1

Thay (5) vµo biÓu thøc trªn víi chó ý: v 2 = v k . v k
k


1 n • •
Ta cã: T= ∑1 A ij q i q j
2 i , j=
(6)


ë ®©y: Aij = Aji lµ c¸c hÖ sè chØ phô thuéc vµo c¸c täa ®é suy réng. Khai triÓn chóng
theo chuçi lòy thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta
nhËn ®−îc biÓu thøc ®éng n¨ng cña hÖ ®· tuyÕn tÝnh ho¸:
1 n • •
T= ∑1 a ij q i q j
2 i , j=
(7)

Trong ®ã: a ij = a ji = (A ij ) 0 gäi lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh (thùc tÕ lµ khèi l−îng hoÆc m«men
qu¸n tÝnh).
1 •2
NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: T = a q , trong ®ã a = A(0) (8)
2
NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc:

1⎛ •2 • • •2⎞
⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟
T= ⎜ (9)
2⎝ ⎟


ë ®©y: a 11 = (A11 ) 0 ; a 12 = (A12 ) 0 ; a 22 = (A 22 ) 0 . C¸c hÖ sè cña d¹ng toµn ph−¬ng (7)
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Xin-vec-tr¬ (x¸c ®Þnh d−¬ng), nghÜa lµ:

a 11 a 12 ... a 1n
a 11 a 12
a 11 > 0; > 0; ...; a 21 a 22 ... a 2 n > 0
a 21 a 22
a n1 a n 2 ... a nn


§3. ThÕ n¨ng cña c¬ hÖ.

Víi liªn kÕt dõng, thÕ n¨ng cña hÖ còng lµ hµm cña c¸c to¹ ®é suy réng:
π = π(q1 , q 2 , ..., q n )

Trong hÖ b¶o toµn, t¹i vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) , thÕ n¨ng cña hÖ cã gi¸ trÞ cùc
trÞ nªn:
3
⎛ ∂π ⎞

⎜ ∂q ⎟
⎟ = 0 Víi i = 1, n (10)
⎝ i ⎠ q i =0
Theo ®Þnh lý Lagr¨ng-§iriclª th×: T¹i vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ b¶o toµn, thÕ
n¨ng cña hÖ cùc tiÓu. Khai triÓn π theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh
(q i = 0; i = 1, n) , ta cã:
n
⎛ ∂π ⎞ 1 n
π = ( π) 0 + ∑ ⎜ ⎜ ⎟ q i + ∑ c ij q i q j + ....
⎟ (11)
i =1 ⎝ ∂q i ⎠0 2 i , j=1
NÕu chän vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ lµm gèc tÝnh π th× (π) 0 = 0 vµ do (10) nªn sè
h¹ng thø hai trong (11) b»ng kh«ng. MÆt kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh sÏ kh«ng chøa trong khai
triÓn cña thÕ n¨ng c¸c thµnh phÇn bËc cao h¬n hai ®èi víi to¹ ®é suy réng. Do ®ã thÕ n¨ng π
cña hÖ khi tuyÕn tÝnh ho¸ lµ d¹ng toµn ph−¬ng sau:
1 n
π= ∑
2 i , j=1
c ij q i q j (12)

⎛ ∂2π ⎞
ë ®©y: c ij = c ji = ⎜ ⎟ gäi lµ c¸c hÖ sè cøng.
⎜ ∂q i ∂q j ⎟
⎝ ⎠0
NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã:
1
π = cq 2 , c = π′′(0) (13)
2
NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc:
1
π= (c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 )
2
2 (14)
2
⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
Trong ®ã: c11 = ⎜ ⎟ ; c12 = ⎜ ∂ π ⎟ ; c 22 = ⎜ ∂ π ⎟
⎜ ∂q 2 ⎟ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟
⎝ 1 ⎠0 ⎝ 1 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0
T−¬ng tù nh− phÇn §2, c¸c hÖ sè cij cña d¹ng toµn ph−¬ng (12) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
x¸c ®Þnh d−¬ng.

§4. Hμm hao t¸n.

Gi¶ sö hÖ chÞu t¸c dông lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc: R k = −β k . v k

Trong ®ã: β k > 0 lµ hÖ sè c¶n (nhít); v k lµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm thø k thuéc hÖ.
Gäi to¹ ®é suy réng cña cña hÖ: q i (i = 1, n ) . C¸c lùc suy réng t−¬ng øng víi lùc c¶n
b»ng:
n ∂ rk n ∂r
Q iΦ = ∑ R k = −∑ β k v k k
k =1 ∂q i k =1 ∂q i

4


∂ rk ∂ rr
Khi sö dông ®ång nhÊt thøc Lagr¨ng: = • , ta cã:
∂q i
∂ qi


n
∂ rk ∂ ⎛ n v2 ⎞ ∂φ
Q iΦ = − ∑ β k rk •
= • ⎜ ∑
⎜ βk k ⎟
2 ⎟
Hay: Q i φ = − •
(15)
k =1 ∂ qi ∂ q i ⎝ k =1 ⎠ ∂ qi
n
v2
ë ®©y ta ®Æt: φ = ∑ β k k
(16)
k =1 2
φ ®−îc biÓu diÔn ë (16) gäi lµ hµm hao t¸n. Ta cã thÓ viÕt φ gièng nh− ®éng n¨ng T
1 n • •
trong täa ®é suy réng: φ = ∑
2 i , j=1
B ij q i q j (17)

Trong ®ã: B ij = B ji lµ c¸c hµm chØ cña to¹ ®é suy réng: q i (i = 1, n ) . Khai triÓn chóng
theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng q i = 0; (i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta
nhËn ®−îc biÓu thøc cña hµm hao t¸n ®· tuyÕn tÝnh ho¸:
1 n • •
φ= ∑
2 i , j=1
b ij q i q j (18)

ë ®©y: b ij = b ji = (Bij ) 0 lµ c¸c hÖ sè c¶n suy réng.
1 •2
Khi hÖ cã mét bËc tù do (n = 1): φ = b q ; b = B(0) > 0 (19)
2
1 •2 • • •2
Khi hÖ cã hai bËc tù do (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q 2 + b 22 q 2 ) (20)
2
Trong ®ã: b11 = (B11 ) 0 ; b12 = (B12 ) 0 ; b 22 = (B 22 ) 0 .
C¸c hÖ sè b ij cña d¹ng toµn ph−¬ng (18) còng tho¶ m·n tiªu chuÈn x¸c ®Þnh d−¬ng.

§5. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng.
5.1. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II.
C¬ së lý thuyÕt cña nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu dao ®éng c¸c hÖ H«l«n«m nhiÒu bËc
tù do lµ viÖc ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II.
Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng b»ng c¸ch
sö dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II gäi lµ ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n.
§èi víi hÖ H«l«n«m, cã n bËc tù do, x¸c ®Þnh bëi c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp:
q 1 , q 2 , ... q n (q i : i = 1, n ) , ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II cã d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T
dt ⎜ ∂ q

• ⎟ − ∂q = Q i ; i = 1, n

(21)
i
⎝ i ⎠

5
5.1a. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ.
π ∂π
Ta cã: Qi = Qi = − ; i = 1, n
∂q i
Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π
dt ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, n (21a)
⎜∂q ⎟ i i
⎝ i ⎠
§−a vµo hµm Lagr¨ng: L = T − π , ta ®−îc:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂L ⎟ ∂L
dt ⎜ ∂ q

• ⎟ − ∂q = 0; i = 1, n

(21b)
i
⎝ i ⎠
5.1b. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ bao gåm c¶ lùc cã thÕ vµ lùc c¶n nhít ta cã:
π φ ∂π ∂φ
Qi = Qi + Qi = − − • ; i = 1, n
∂q i
∂ qi
Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ
dt ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • ; i = 1, n (22)
⎜∂q ⎟ i i ∂ qi
⎝ i ⎠
Khi chó ý ®Õn hµm Lagr¨ng L:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ∂φ
dt ⎜ • ⎟ − ∂q + • = 0; i = 1, n (22a)
⎜∂q ⎟ i ∂ qi
⎝ i ⎠

5.1c. NÕu lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi c¸c lùc cã thÕ, vµ lùc c¶n nhít cßn cã c¸c
ngo¹i lùc kh¸c (lùc kÝch ®éng) phô thuéc vµo thêi gian t; lùc suy réng cña nã ký hiÖu
QiP, ta cã:
π φ
Q i = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n
P



Vµ ph−¬ng tr×nh (21) viÕt ë d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ
⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q i ; i = 1, n
P
(23)
dt ⎜ •
⎜∂q ⎟
⎝ i ⎠
i i ∂ qi

ThÝ dô 1:
Con l¾c kÐp gåm hai thanh ®ång chÊt: AB = BC = 2L, träng l−îng P1 = P2 = P nèi víi
nhau bëi b¶n lÒ B. Con l¾c thùc hiÖn dao ®éng nhá trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng xung quanh
vÞ trÝ c©n b»ng Ay; ngoµi ra AB quay xung quanh trôc A; BC quay xung quanh b¶n lÒ B
(H×nh 1).

6
Bµi gi¶i
Gi¶ thiÕt c¸c thanh r¾n tuyÖt ®èi ; hÖ cã hai bËc tù do. Ta chän θ1, θ2 lµ c¸c gãc lÖch cña
thanh víi ph−¬ng th¼ng ®øng Ay lµm täa ®é suy réng. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng th× θ1 = θ2 = 0.
Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt cho hÖ kh¶o s¸t lµ:
x
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
⎜ ⎟−
A
= Q i ; i = 1, 2 (a)
dt ⎜ ∂ θ ⎟ ∂θ i

⎝ i⎠ θ 1

Chän hÖ trôc täa ®é Axy nh− h×nh vÏ. §éng n¨ng
cña hÖ b»ng: P1
B
1 •2 1 ⎛ •2 •2⎞ 1 •2
T = TAB + TBC = J Az θ1 + m BC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ 2
⎜ ⎟ 2 θ2
D
2 2 ⎝ ⎠
P2 C
1P P 1 P
Ta cã: J Az = (2L) 2 , m BC = , J Dz = ( 2 L) 2
3g g 12 g y
H×nh 1
⎧x D = L(2 sin θ1 + sin θ 2 )

⎩ y D = L(2 cos θ1 + cos θ 2 )

2PL2 ⎡ •2 •2 • • ⎤
Ta cã: T = ⎢ 4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 cos(θ1 − θ 2 )⎥
3g ⎣ ⎦
XÐt dao ®éng nhá: cos(θ1 − θ 2 ) ≈ 1 , ta nhËn ®−îc:

2PL2 • 2 • 2 • •
T= (4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 ) (b)
3g
ThÕ n¨ng cña hÖ b»ng c«ng träng l−îng c¸c thanh khi hÖ chuyÓn dÞch tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t
(θ1; θ2) tíi vÞ trÝ c©n b»ng th¼ng ®øng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta cã:
π = PL(1 − cos θ1 ) + PL[2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ 2 )]

Rót gän: π = PL(4 − 3 cos θ1 − cos θ 2 )

θ12
θ2
Víi θ1 , θ 2 nhá: cos θ1 ≈ 1 − ; cos θ 2 ≈ 1 − 2
2 2
PL
Ta cã: π= (3θ1 + θ 2 )
2
2 (c)
2
Thay (b) vµ (c) vµo (a), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña hÖ:

16L •• 2L •• 2 L •• 4 L ••
3θ1 = − θ1 − θ 2 ; θ2 = − θ1 − θ2
3g g g 3g

7
5.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ph¸p §al¨mbe.

Theo nguyªn lý §al¨mbe: ë mçi thêi ®iÓm c¸c lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn c¬ hÖ vµ
c¸c ph¶n lùc liªn kÕt c©n b»ng víi c¸c lùc qu¸n tÝnh. Tõ ®ã:

⎧ F a + N + F qt = 0
⎪∑ k ∑ k ∑ k
⎪k k k

( )
(24)
⎪∑ m O ⎛ Fk ⎟ + ∑ m O N k + ∑ m O ⎛ Fk qt ⎞ = 0

a ⎞
⎜ ⎟
⎪k
⎩ ⎝ ⎠ k k ⎝ ⎠

Trong ®ã: F qt = −m k Wk
k


5.3. ¸p dông ph−¬ng ph¸p lùc ®Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá
(tr−êng hîp riªng cña ph−¬ng ph¸p §al¨mbe).
Gi¶ sö cho mét dÇm ®µn håi cã g¾n mét sè h÷u h¹n khèi l−îng tËp trung
m1 , m 2 , ..., m n . §Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng (uèn) cña dÇm, thuËn lîi h¬n c¶ lµ
dïng ph−¬ng ph¸p lùc. Khi nµy cÇn sö dông kh¸i niÖm dÞch chuyÓn ®¬n vÞ.
C¸c dÞch chuyÓn theo h−íng i do lùc ®¬n vÞ t¸c dông theo h−íng k g©y ra gäi lµ dÞch
chuyÓn ®¬n vÞ, ký hiÖu δik. C¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ δik cßn gäi lµ c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng (H×nh 2).


Pk = 1
m1 m2 m3 mn i
k
δik

H×nh 2


§èi víi c¸c hÖ ®µn håi, theo h−íng k hÖ chÞu t¸c dông cña lùc Pk th× dÞch chuyÓn do
nã g©y ra theo h−íng i sÏ tû lÖ víi lùc, nghÜa lµ:
yi = Pkδik.
Do ®ã, d−íi t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc P1, P2, ..., Pn dÞch chuyÓn toµn phÇn x¸c
®Þnh theo c«ng thøc:
n
yi = ∑P δ
k =1
k ik (25)

C«ng thøc (25) lµ c¬ së ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ theo
ph−¬ng ph¸p lùc.
Theo kÕt qu¶ trong gi¸o tr×nh SBVL, ta cã c¸c c«ng thøc x¸c ®Þnh hÖ sè ¶nh h−ëng δik
sau ®©y:

8
5.3a. X¸c ®Þnh δik khi uèn cña thanh:

Dïng c«ng thøc MO:
L
M i . M k . dx
δ ik = ∑ ∫
0
EJ
(26)


Trong ®ã: EJ lµ ®é cøng cña thanh khi uèn; M i ( x ) vµ M k ( x ) lµ c¸c m«men uèn do lùc
®¬n vÞ Pi = 1 vµ Pk = 1 g©y ra (H×nh 3).


Pi = 1 Pk = 1


M i =(x) M k =(x)

x x

H×nh 3



5.3b. Sö dông phÐp nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin:
*
Ω Mk
δ ik = ∑ i (27)
EJ
*
ë ®©y: Ω i lµ diÖn tÝch biÓu ®å M i , M k lµ tung ®é cña biÓu ®å M k t−¬ng øng hoµnh
®é träng t©m cña Ω i . Khi sö dông c«ng thøc (27) cÇn chó ý chia chiÒu dµi thanh sao cho
trong mçi ®o¹n cña M k lµ ®−êng th¼ng. Theo ®Þnh lý Macxoen ta lu«n cã: δ ik = δ ki

ThÝ dô 2: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng trong tr−êng hîp dÇm chÞu c¸c träng t¶i tËp
trung nh− h×nh vÏ (H×nh 4).

m m m P1 = 1

5L
L/6 L/3 L/3 L/6 36 M1


L/6 5L/6


H×nh 4 H×nh 5a


9
Bµi gi¶i:
§Ó x¸c ®Þnh c¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ (hÖ sè ¶nh h−ëng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta x©y dùng
c¸c biÓu ®å M«men uèn M 1 , M 2 , M 3 t−¬ng øng víi c¸c lùc ®¬n vÞ P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 vµ
biÓu diÔn nh− trªn h×nh vÏ (H×nh 5a, b, c).

P2 = 1 P3 = 1

L 5L
4 36
M2 M3


L/2 L/2 5L/6 L/6


H×nh 5b H×nh 5c


Theo c«ng thøc nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin, ta cã:

1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛1 5 5 5 ⎞⎤
δ11 = δ 33 = ⎢⎜ 2 . 6 . 36 L. 54 L ⎟ + ⎜ 2 . 6 L. 36 L. 54 L ⎟⎥
EJ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

1 5 5 ⎛1 5 ⎞ 1 5 5 1 25L3
= . L. L⎜ L + L ⎟ = ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k
EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 36 2 3888EJ

L3
ë ®©y ta ®Æt: k =
9.1296EJ

1 ⎛1 L L L 1 L L L⎞ L3 L3 L3
δ 22 = ⎜ . . . + . . . ⎟ = 2. = = 243. = 243k
EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ

Thùc hiÖn tÝnh to¸n mét c¸ch t−¬ng tù, ta nhËn ®−îc:

L3 L3
δ13 = δ 31 = 51 = 51k; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117k
9.1296EJ 9.1296EJ


§6. X¸c ®Þnh ®é cøng cña hÖ dao ®éng.

C¸c tÝnh chÊt ®µn håi cña hÖ dao ®éng trong mçi tr−êng hîp cô thÓ ®−îc ®Æc tr−ng
b»ng hÖ sè cøng C.
6.1. Thanh ®µn håi
6.1.1. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng, chÞu kÐo nÐn (H×nh 6).


10
PL
Ta cã: ΔL =
EF
ë ®©y: E lµ m«®un ®µn håi, F lµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang.
EF
Tõ ®ã: P= .ΔL = C.ΔL
L
L
EF
VËy, ta cã: C= (28)
L
6.1.2. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu xo¾n (H×nh 7) th×:
MxL
Δϕ =
GJ p
Trong ®ã: G lµ m«®un tr−ît, JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña ΔL P
mÆt c¾t ngang. Suy ra:
H×nh 6
GJ p
Mx = Δϕ = C.Δϕ
L
GJ p
VËy, nhËn ®−îc: C= (29)
L
Mx




L

L P

f




H×nh 7 H×nh 8

6.1.3. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu uèn. Khi nµy: HÖ sè cøng C cßn phô
thuéc vµo ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt thanh chÞu uèn bÞ ngµm ë mét ®Çu (H×nh 8). §é vâng f
b»ng:
1 PL3 3EJ
f= , suy ra: P = 3 f = Cf
3 EJ L
3EJ
ë ®©y: EJ lµ ®é cøng chèng uèn. VËy ®é cøng C b»ng: C= (30)
L3

11
6.2. HÖ c¸c lß xo.
6.2.1. §èi víi hÖ lß xo m¾c song song (H×nh 9).
Tõ biÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi, ta cã:
Fdh = C1 x + C 2 x = Cx C1 C2 C
VËy, ta ®−îc: C = C1 + C2. NÕu hÖ cã n lß xo
m¾c song song, t−¬ng tù nhËn ®−îc:
n
C = ∑ Ci (31)
i =1
H×nh 9
6.2.2. §èi víi hÖ lß xo m¾c nèi tiÕp (H×nh 10).
BiÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi b»ng:
Fdh = C1 x 1 + C 2 x 2 C1
ë hÖ thay thÕ t−¬ng ®−¬ng hÖ sè cøng C, lß xo C
C2
d·n mét ®o¹n: x = x 1 + x 2 ; Fdh = Cx

F1 F2 Fdh 1 1 1
Ta cã: x= + = ⇒ = +
C1 C 2 C C C1 C 2
H×nh 10
NÕu hÖ cã n lß xo m¾c nèi tiÕp, th× hÖ sè cøng
C cña lß xo thay thÕ x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc:
n
1 1
=∑ (32)
C i =1 C i
Nãi chung ®é cøng C ®−îc tÝnh to¸n theo lý thuyÕt víi c¸c gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh vµ cã
thÓ tra cøu trong c¸c sæ tay kü thuËt.
Ta thèng kª mét sè c«ng thøc ë mét sè d¹ng c¬ b¶n th−êng dïng trong tÝnh to¸n
(b¶ng 1).

B¶ng 1. C«ng thøc x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cøng t−¬ng ®−¬ng

STT S¬ ®å HÖ sè C

Gd 4
C= Víi G: m«®un tr−ît cña
1 8iD
vËt liÖu; d: ®−êng kÝnh d©y lß xo;
i, D: sè vßng vµ ®−êng kÝnh lß xo.

C1
2 C = C1+ C2
C1 C2 C2



12
C1C 2
3 C1 C=
C2 C1 + C 2


EJ EJ
4 C=3
L L3

3EJ(a + b)
5 C=
a b a 2b2

12EJ(a + b) 3
6 C=
a b a 3 b 2 (3a + 4b)


3EJ(a + b) 3
7 a b C=
a 3b3


3EJ
8 C=
L b ( b + L) b 2


12EJ
9 C=
L b (4b + 3L)b 2


24EJ
C=
L3
10
L (EJ lµ ®é cøng khi uèn cña mét
trong hai lß xo ph¼ng)

α 3 EJsh α L
C = ,
N α Lch α L − sh α L
11 L N
α=
EJ

α 2 EJsh ( α L )
C=
L (α Lch α L − sh α L )
12 N
L N
α=
EJ


13
14
Ch−¬ng I
Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do

§1.1. Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do
1.1.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n
XÐt hÖ mét bËc tù do, lùc t¸c dông lªn hÖ cã thÕ. To¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¬ hÖ
lµ q. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng:
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
⎜ ⎟ ∂π
⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q
dt ⎜ ∂ q ⎟
⎝ ⎠
1 •2 1
Víi dao ®éng nhá th×: T = a q ; π = cq 2 : Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän,
2 2
••
ta ®−îc: q+ k 2q = 0 (1-1)
c
Trong ®ã: k = gäi lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng, ®¬n vÞ th−êng dïng rad/s,
a
nã phô thuéc vµo tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng).
Ph−¬ng tr×nh (1-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh
mét bËc tù do.
NTQ cña (1-1) t×m ®−îc ë d¹ng:
q = C1coskt + C2sinkt (1-2)
§Æt: C1 = Asinα; C2 = Acosα
Ta viÕt ®−îc nghiÖm (1-2) d−íi d¹ng biªn ®é:
q = Asin(kt +α) (1-3)
ë ®©y: A = C1 + C 2 lµ biªn ®é dao ®éng; (kt +α) lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu;
2
2
k lµ tÇn sè vßng (tÇn sè dao ®éng riªng) cña hÖ.
2π a
Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = = 2π (1-4)
k c
Gäi f lµ sè dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (tÇn sè dao ®éng), khi ®ã:
1 k 1 c
f= = = (1-5)
T 2π 2π a
C¸c h»ng sè A vµ α ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0: q(0) = q0
•2
• • q0 kq 0
vµ q (0) = q 0 ta nhËn ®−îc: A = q 0 +
2
2
vµ α = arctg •
. Do ®ã:
k q0

14
2 ⎛ ⎞
2 q0 ⎜ kq 0 ⎟
q= q0 + ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ (1-6)
k2 ⎜ q0 ⎟
⎝ ⎠
Nh− vËy, dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do lµ dao ®éng ®iÒu hoµ.
Trong thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tÇn sè riªng k lµ nhiÖm vô quan träng cña bµi to¸n nghiªn
cøu dao ®éng tù do. B¶ng 2 thèng kª mét sè c«ng thøc ®èi víi k cña mét sè hÖ ®¬n gi¶n.
B©y giê ta biÓu diÔn nghiÖm cña bµi to¸n trªn mÆt ph¼ng pha (hÖ täa ®é dÞch chuyÓn -
vËn tèc). T¹i mçi thêi ®iÓm tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng dÞch chuyÓn q vµ vËn tèc

v = q . Ta cã trong tr−êng hîp kh¶o s¸t:

⎧q = A sin( kt + α)

⎨ • (1-7)
⎪v = q = Ak cos(kt + α)

TËp hîp c¸c ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ kh¶o s¸t nh− quü ®¹o pha cho ë d¹ng th«ng sè.
§Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o pha cÇn khö t tõ hÖ (1-7) ta ®−îc:
q2 v2
+ 2 2 =1 (1-8)
A2 A k
NghÜa lµ ph−¬ng tr×nh EllÝp (H×nh 11a). §iÓm biÓu diÔn ban ®Çu (tõ ®ã chuyÓn ®éng
• •
®−îc b¾t ®Çu) t−¬ng øng víi ®iÒu kiÖn ®Çu q(0) = q0 vµ q(0) = q 0 . Khi thay ®æi ®iÒu kiÖn
ban ®Çu quü ®¹o pha biÓu diÔn trªn EllÝp kh¸c. TËp hîp tr¹ng th¸i cã thÓ cña hÖ ®−îc m« t¶
b»ng hÖ c¸c EllÝp (H×nh11). Gèc to¹ ®é t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i c©n b»ng cña hÖ (q0 =0 vµ

q 0 = 0 ). §iÓm nµy lµ ®iÓm kú dÞ vµ gäi lµ t©m.

v v
q 0, v 0

q O q
O




H×nh 11


B¶ng 2: TÇn sè riªng cña mét sè m« h×nh dao ®éng

Stt M« h×nh dao ®éng Ph−¬ng tr×nh k2
••
x C
HÖ khèi l−îng lß C x+ x=0 C
1 m m
xo ®¬n gi¶n m
(q = x)

15
••
C
HÖ khèi l−îng lß
C
y y+ y=0 C
2 m
xo träng tr−êng m
M (q = y)

O
•• g
ϕ L ϕ+ ϕ=0 g
3 Con l¾c to¸n häc L
L
m (q = ϕ)


O •• mga
a
ϕ+ ϕ=0 mga
4 Con l¾c vËt lý ϕ JO
JO
C m (q = ϕ )

•• C
JO ϕ+ ϕ=0
JO C
5 Bµn quay C JO
(q = ϕ)
O r JO •• 1 C
y+ y=0 1 C
JO m1
6
HÖ khèi l−îng v¾t y 1+ JO m1
qua rßng däc m1 m1 r 2 1+
C m1 r 2
(q = y)
m
•• C − mgL
ϕ ϕ+ ϕ=0 C − mgL
7 C¬ cÊu gâ nhÞp JO
L C JO
O (q = ϕ)

•• 1 C
x x+ x=0 1 C
m JC m
8 HÖ con l¨n lß xo C r J 1+ J m
O C
mr 2 1 + C2
mr
(q = x)
•• 1 g
L
ϕ+ ϕ=0 1 g
ϕ
m JC L
9
Con l¨n trªn quü r 1+ J L
®¹o trßn C mr 2 1 + C2
JC mr
(q = ϕ)


16
rC •• mgrC
Nöa ®Üa trßn trªn ϕ+ ϕ=0 mgrC
10 m J C + m(r − rC ) 2
mÆt ph¼ng C J C + (r − rC ) 2 m
ϕ r (q = ϕ)



1.1.2. Dao ®éng tù do cã c¶n.
ë trªn ta coi sù hao t¸n n¨ng l−îng trong dao ®éng kh«ng x¶y ra vµ thiÕt lËp ®Æc tÝnh
kh«ng t¾t dÇn cña dao ®éng tù do. Tuy nhiªn c¸c dao ®éng gÆp trong thùc tÕ lµ t¾t dÇn, do:
ma s¸t trong c¸c bé phËn gi¶m chÊn, phanh h·m, tiÕp xóc víi m«i tr−êng xung quanh v.v...
Gi¶ sö lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi lùc cã thÕ cßn cã lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt
vµo vËn tèc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ
⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − •
dt ⎜ ⎟
⎝∂q ⎠ ∂q
2 2
1 • 1 1 •
Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ rót
2 2 2
gän, ta ®−îc:
•• •
q + 2n q + k 2 q = 0 (1-9)
b c
ë ®©y: 2n = , k2 =
a a
Ph−¬ng tr×nh (1-9) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do t¾t dÇn cña hÖ
tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-9) t×m ®−îc d−íi d¹ng: q = e λt . Trong ®ã λ ®−îc x¸c
®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng sau:
λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10)
Ph−¬ng tr×nh (1-10) cho hai nghiÖm sè:

λ 1, 2 = − n ± n 2 − k 2 (1-11)
Ta kh¶o s¸t ba tr−êng hîp:
1.1.2a. Tr−êng hîp 1: n < k (lùc c¶n nhá). Trong tr−êng hîp nµy ph−¬ng tr×nh ®Æc
tr−ng cã nghiÖm phøc:
λ 1, 2 = − n ± ik 1 ; k 1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1
TÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1-9) cã d¹ng:
q = e − nt (C 1 cos k 1 t + C 2 sin k 1 t ) (1-12)
Hay viÕt ë d¹ng biªn ®é: q = Ae − nt sin( k 1 t + β) (1-13)

17
• •
Khi xÐt ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta cã:
2
⎛• ⎞
⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞
⎠ ; β = arctg C 1 = arctg⎜ q 0 k − n
2 2
⎝ ⎟
A = C1 + C 2 = q 0 +
2 2 2
⎜ • ⎟
k2 − n2 C2 ⎜ q + nq ⎟
⎝ 0 0 ⎠
2
⎛• ⎞
⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞
⎠ e − nt sin⎜ k t + arctg q 0 k − n
2 2
⎝ ⎟
VËy: q = q0 +
2
⎜ 1 • ⎟ (1-14)
k2 − n2 ⎜ q 0 + nq ⎟
⎝ ⎠

ë ®©y: k 1 = k 2 − n 2 gäi lµ tÇn sè dao ®éng t¾t dÇn. Chu kú dao ®éng t¾t dÇn ®−îc
x¸c ®Þnh b»ng:
2π 2π
T1 = = (1-15)
k1 k2 − n2
Víi n kh¸ nhá ta viÕt ®−îc:

T 2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞
2
⎤ ⎡ 1 ⎛ n ⎞2 ⎤
T1 = ≈ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ (1-16)
⎛n⎞
2 k ⎢ 2⎝k⎠
⎣ ⎥
⎦ ⎢ 2⎝k⎠ ⎥
⎣ ⎦
1− ⎜ ⎟
⎝k⎠
nt
NghiÖm (1-13) cña ph−¬ng tr×nh (1-9) chØ ra r»ng: §é lÖch A e cña hÖ cã c¶n gi¶m
theo thêi gian víi quy luËt hµm sè mò. Nã tiÖm cËn tíi kh«ng vµ do ®ã dao ®éng lµ t¾t dÇn
(H×nh 1-1). q


y1
y t
O


T1 T1

H×nh 1-1

Trong thùc tÕ ®Ó ®Æc tr−ng cho sù gi¶m biªn ®é ng−êi ta th−êng dïng mét ®¹i l−îng,
ký hiÖu δ vµ gäi lµ ®é suy gi¶m L«garit cña dao ®éng:
y 2π
δ = ln ψ = ln = nT1 = (1-17)
y1 2
⎛k⎞
⎜ ⎟ −1
⎝n⎠
Muèn x¸c ®Þnh δ b»ng thùc nghiÖm, ta dïng c«ng thøc gÇn ®óng:
18
y y ⎡ Δy ⎛ Δy ⎞ 2 ⎤ Δy
δ = ln = ln = ln ⎢1 + + ⎜ ⎟ + ...⎥ ≈ (1-18)
y1 y − Δy ⎢ y ⎜ y ⎟
⎝ ⎠ ⎥ y
⎣ ⎦
1.1.2b. Tr−êng hîp 2: n > k (Lùc c¶n lín). Trong tr−êng hîp nµy c¶ hai nghiÖm cña
ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng ®Òu thùc vµ ©m:
λ 1, 2 = −n ± k 2 , k 2 = n 2 − k 2
Ph−¬ng tr×nh (1-9) cã NTQ d¹ng:
nt k 2t
q = e (C 1 e k 2 t + C 2 e ) (1-19)
Khi tÝnh ®iÒu kiÖn ban ®Çu nh− tr−êng hîp 1, ta cã:
• •
q (k + n) + q 0 q (k − n ) − q 0
C1 = 0 2 ; C2 = 0 2
2k 2 2k 2

⎡ • •

Tõ ®ã: q=e − nt ⎢ q 0 (k 2 + n ) + q 0 e k 2 t + q 0 (k 2 − n ) − q 0 e k 2 t ⎥ (1-20)
⎢ 2k 2 2k 2 ⎥

⎣ ⎥

HÖ qua vÞ trÝ c©n b»ng t¹i c¸c thêi ®iÓm tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh:
⎡ • •

−( k 2 + n ) t ⎢ q 0 ( k 2 + n) + q 0 2 k 2t q 0 ( k 2 − n) − q 0 ⎥
e e + =0
⎢ 2k 2 2k 2 ⎥
⎣ ⎦
Víi gi¸ trÞ cña biÓu thøc trong dÊu mãc bÊt kú, vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh → 0 khi t → ∞.
Ta cã chuyÓn ®éng kh«ng tuÇn hoµn t¾t dÇn.
1.1.2c. Tr−êng hîp 3: n = k (lùc c¶n tíi h¹n). Trong tr−êng hîp nµy nghiÖm cña
ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng lµ thùc, ©m vµ b»ng nhau. NTQ cña (1-9) cã d¹ng:
q = e − nt (C1 t + C 2 ) (1-21)
ChuyÓn ®éng cña hÖ lµ t¾t dÇn, kh«ng dao ®éng.
Trong mét sè tµi liÖu kü thuËt tr×nh bµy vÒ dao ®éng ng−êi ta cßn sö dông kh¸i niÖm
®é c¶n Lehr - §é c¶n Lehr ký hiÖu lµ D, ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc:
n b b
D= = = (1-22)
k 2ak 2 ac
Ph−¬ng tr×nh (1-9) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:
•• •
q + 2Dk q + k 2 q = 0 (1-23)

Do k 2 − n 2 = k 1 − D 2 , nªn chuyÓn ®éng cña hÖ ®−îc ph©n ra c¸c tr−êng hîp:
D < 1: §é c¶n nhá.
D > 1: §é c¶n lín.
D = 1: §é c¶n tíi h¹n.
19
Nh− thÕ, khi D < 1 chuyÓn ®éng cña hÖ lµ dao ®éng t¾t dÇn. khi D ≥ 1 chuyÓn ®éng
cña hÖ lµ t¾t dÇn kh«ng dao ®éng.
Gi÷a ®é c¶n Lehr D víi ®é suy gi¶m L«garit δ, cã liªn hÖ b»ng hÖ thøc sau:
D
δ = 2π (1-24)
1− D2
ThÝ dô 1-1:
XÐt dao ®éng nhá cña con l¾c to¸n häc cã ®é dµi L, khèi l−îng m (H×nh 1-2). LÊy θ
lµm täa ®é suy réng. Täa ®é cña khèi l−îng m b»ng: x = Lsinθ; y = Lcosθ. Do ®ã:
1 ⎛• •2⎞
2 •2
1 1
T= mv 2 = m⎜ x + y ⎟ = mL2 θ
2 2 ⎜

⎟ 2
⎠ x
O
ThÕ n¨ng cña con l¾c b»ng c«ng cña träng l−îng
P = m g thùc hiÖn trªn di chuyÓn cña nã tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t
θ
(h×nh vÏ) tíi vÞ trÝ c©n b»ng (th¼ng ®øng). L
π = mgL(1 − cos θ)
1 2 1 m
Do θ bÐ, 1-cosθ ≈ θ nªn: π = mgLθ 2
2 2
y
Thay c¸c kÕt qu¶ vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II:
H×nh 1-2
d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
⎜ ⎟− ∂π
=−
dt ⎜ • ⎟
∂θ ∂θ
⎝∂θ⎠
Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng nhá cña con l¾c:
••
g
θ+ θ = 0
L
g L
§ã lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k = vµ chu kú T = 2π .
L g

ThÝ dô 1-2:
XÐt dao ®éng xo¾n nhá cña ®Üa g¾n vµo ®Çu mót d−íi cña
thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng dµi L. Mót trªn cña thanh bÞ
ngµm (H×nh 1-3). Gäi M lµ khèi l−îng cña ®Üa; ρ lµ b¸n kÝnh
qu¸n tÝnh cña ®Üa ®èi víi trôc thanh; G lµ m«®un tr−ît cña vËt liÖu L
thanh; JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn ngang thanh.
GJ P
§é cøng cña thanh khi xo¾n b»ng C = . LÊy θ lµ gãc
L
quay cña ®Üa ®èi víi vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. §éng n¨ng cña ®Üa θ
1 •2
b»ng: T = Mρ 2 θ . ThÕ n¨ng ®µn håi cña nã khi θ nhá (tu©n
2 H×nh 1-3

20
1 2
theo ®Þnh luËt Hooke) lµ π = Cθ . ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ngII nh− thÝ dô 1-1, ta
2
nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng nhá khi xo¾n:

Mρ 2 θ + Cθ = 0

C Mρ 2
§ã lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k = vµ chu kú T = 2π .
Mρ 2 C
ThÝ dô 1-3:
Ng−êi ta treo t¶i träng träng l−îng P b»ng mét thanh tuyÖt
®èi cøng dµi 2L. ë gi÷a thanh cã g¾n hai lß xo ®µn håi cã cïng L
®é cøng C. T¶i träng ®−îc ng©m trong b×nh chøa chÊt láng nhít. ϕ
C C
Trong qu¸ tr×nh t¶i träng thùc hiÖn dao ®éng nhá tù do chÊt láng
g©y ¶nh h−ëng lµm gi¶m dao ®éng lªn hÖ (H×nh 1-4). T×m hÖ sè L
ma s¸t nhít cña hÖ, nÕu chu kú dao ®éng t¾t dÇn cña hÖ T1 = 1s;
c¸c tham sè cña hÖ lÊy c¸c gi¸ trÞ sau ®©y: P = 100 N; 2L = 30cm;
§−êng kÝnh lß xo D = 2cm; ®−êng kÝnh d©y cuèn lß xo d = 2mm; P
M«®un tr−ît cña vËt liÖu lµm lß xo G = 8.106 N/cm2; Sè vßng
cña mçi lß xo i = 6.
Bµi gi¶i:
H×nh 1-4
HÖ cã mét bËc tù do. Chän to¹ ®é suy réng q = ϕ lµ gãc
lÖch nhá cña thanh so víi ph−¬ng th¼ng ®øng. Ph−¬ng tr×nh
Lagr¨ng II ¸p dông cho tr−êng hîp nµy cã d¹ng:

d ⎛ ∂T ⎞ ∂T
⎜ ⎟− ∂π ∂φ
=− − •
dt ⎜ • ⎟
∂ϕ ∂ϕ
⎝∂ ⎠ ∂ϕ
2 2
1 P 2 1 P⎛ •
⎞ 2P 2 •
Ta cã: T = V = ⎜ 2L ϕ ⎟ = L ϕ
2g 2 g⎝ ⎠ g
Cλ2
π = P.2L(1 − cos ϕ) + 2 ; λ = Lsinϕ lµ ®é co d·n cña lß xo so víi vÞ trÝ c©n b»ng
2
ϕ2
th¼ng ®øng cña thanh (khi lß xo chøa biÕn d¹ng), víi ϕ nhá: 1- cosϕ ≈ ; sinϕ ≈ ϕ;
2
Do ®ã thÕ n¨ng cña hÖ b»ng: π = L(P + CL)ϕ 2
Gäi β lµ hÖ sè ma s¸t nhít cña hÖ (chÊt láng), hµm hao t¸n φ x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc:
2
1 •
φ = βϕ
2
Thay c¸c gi¸ trÞ tÝnh ®−îc vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II vµ rót gän, ta nhËn ®−îc:
••
βg • ( P + CL )g
ϕ+ ϕ+ ϕ=0
2PL 2PL
21

Chu kú dao ®éng t¾t dÇn lµ: T1 = (a)
k2 − n2

P + CL
k lµ tÇn sè dao ®éng tù do (khi kh«ng cã lùc c¶n) b»ng: k = .g (b)
2 PL
Gd 4
Gäi C lµ ®é cøng lß xo vµ ®−îc tÝnh theo c«ng thøc sau: C =
8D 3 i
Thay sè vµo ta ®−îc: C = 33,3 N/cm. Do ®ã, tõ (b) sÏ tÝnh ®−îc: k=14rad/s.

4π 2
Tõ (a) gi¶i ®−îc: 2n = k 2 − ; thay sè vµo ta cã: 2n = 12,5rad/s.
T12
HÖ sè c¶n chuyÓn ®éng t×m tõ ®iÒu kiÖn:
βg 4nPL
2n = ⇒β= . Thay sè ta ®−îc: β = 76,5 NS.
2PL g


§1.2. Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do

Dao ®éng c−ìng bøc x¶y ra khi hÖ cã t¸c dông cña c¸c kÝch ®éng ngoµi. C¸c kÝch
®éng nµy cã thÓ tuÇn hoµn hoÆc va ch¹m.
Gi¶ sö hÖ kh¶o s¸t chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc
nhÊt vµo vËn tèc vµ c¸c lùc kÝch ®éng ngoµi lµ hµm cña thêi gian t: P (t ) .
Gäi QP lµ lùc suy réng cña lùc kÝch ®éng ngoµi. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II trong tr−êng
hîp nµy cã d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ
⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q
P

dt ⎜ ⎟
⎝∂q ⎠ ∂q
1 •2 1 1 •2
Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q
2 2 2
1 P
§Æt: Q(t) = Q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän ta nhËn ®−îc:
a
•• •
q + 2n q + k 2 q = Q( t ) (1-25)
Ph−¬ng tr×nh (1-25) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng dao ®éng nhá c−ìng
bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do.
Trong tr−êng hîp lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cña (1-25 ) cã d¹ng:
q = Ae − nt sin( k 1 + β) + q (1-26)
Trong ®ã q lµ NR cña ph−¬ng tr×nh (1-25). C¸c hÖ sè A, β ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn
ban ®Çu.

22
Ta t×m NR q ë d¹ng: q = e − nt Z(t ) (1-27)
Thay (1-27 ) vµo (1-25). Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ®èi víi hµm Z(t):
••
Z + k 1 Z = Q(t ).e nt
2
(1-28)
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1-28) ®−îc t×m b»ng ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
Lagr¨ng, ta ®Æt:
Z(t) = C1(t)sink1t+ C2(t)cosk1t (1-29)
Thay (1-29 ) vaß (1-28) ta suy ra:
⎧ • •

⎪ C1 ( t ) sin k 1 t + C 2 ( t ) cos k 1 t = 0
⎨ ⎛• •
⎞ nt
(1-30)
⎪k ⎜ C1 ( t ) cos k 1 t − C 2 ( t ) sin k 1 t ⎟ = e Q( t )
⎩ ⎝ ⎠
Dïng quy t¾c Crame gi¶i hÖ (1-30) ta cã:
• •
e nt Q(t ) e nt Q(t )
C 1 (t ) = cos k 1 t; C 2 (t ) = − sin k 1 t;
k1 k1
Tõ ®ã ta cã:
e nτ Q(τ) e n τ Q ( τ)
t t
C 1 (t ) = ∫ cos k 1 τ.dτ ; C 2 (t ) = − ∫ sin k 1 τ.dτ (1-31)
0
k1 0
k1
Thay (1-31) vµo (1-29) ta nhËn ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1-28):
t
1
Z( t ) =
k1 0 ∫
e nτ Q(τ) sin k 1 ( t − τ)dτ (1-32)

VËy, NR q cña ph−¬ng tr×nh (1-25) b»ng:
t
1

− nt
q=e Z( t ) = e − n ( t − τ) Q( τ) sin k 1 ( t − τ).dτ (1-33)
k1 0
NTQ cña ph−¬ng tr×nh (1-25) cã d¹ng:
t
1
q = Ae − nt sin(k 1 t + β) +
k1 0∫e − n ( t − τ) Q(τ) sin k 1 ( t − τ)dτ (1-34)

TÝch ph©n theo vÕ ph¶i cña (1-34) dÉn ra theo biÕn τ. V× vËy, khi tÝch ph©n coi t lµ
h»ng sè. Sau khi hoµn thµnh viÖc thay cËn tÝch ph©n ta nhËn ®−îc q lµ hµm cña thêi gian t.
1.2.1. TÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n (n = 0).
Gi¶ sö lùc kÝch ®éng ngoµi biÕn ®æi theo quy luËt ®iÒu hoµ: Q(t) = P0sinpt. Ph−¬ng
tr×nh (1-25) trë thµnh:
••
q + k 2 q = P0 sin pt (1-35)
Khi p ≠ k, NTQ cña (1-35) cã d¹ng:
23
P0
q = C 1 cos kt + C 2 sin kt + sin pt (1-36)
k − p2
2

• •
LÊy ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0; q(0) = q 0 ta cã:

q P0 p
C1 = q0; C 2 = 0 − (1-37)
k k( k 2 − p 2 )

q pP0 P
Tõ ®ã: q = q 0 cos kt + 0 sin kt + sin kt + 2 0 2 sin pt (1-38)
k k(k − p )
2 2
k −p
Trªn c¬ së (1-38) ta cã mét sè nhËn xÐt sau:
1) . Hai sè h¹ng ®Çu cña (1-38) øng víi dao ®éng tù do tÇn sè riªng k. Khi

q (0) = q (0) = 0 , nh÷ng dao ®éng nµy kh«ng x¶y ra.
Sè h¹ng thø ba còng lµ dao ®éng ®iÒu hoµ víi tÇn sè riªng k, nh−ng biªn ®é phô thuéc
vµo lùc kÝch ®éng. Nã lu«n x¶y ra cïng dao ®éng c−ìng bøc víi ®iÒu kiÖn ®Çu tuú ý.
2) . Sè h¹ng cuèi cña (1-38) ký hiÖu lµ q :
P0
q= sin pt (1-39)
k − p2
2


BiÓu thÞ dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý. Ta chó ý mét sè tÝnh chÊt sau:
a). Dao ®éng c−ìng bøc x¶y ra víi tÇn sè lùc kÝch ®éng p. Nã kh«ng phô thuéc vµo
®iÒu kiÖn ®Çu cña hÖ.
b). Khi k > p th× dÊu cña ®é lÖch q cïng dÊu víi lùc kÝch ®éng Q, ta nãi nã cïng pha.
Khi k < p chóng ng−îc dÊu nhau (ng−îc pha). Ta cã thÓ viÕt:
P0
q= sin( pt + π)
k − p2
2


c. Tr−êng hîp k = p, biÓu thøc (1-39) vµ sè h¹ng thø ba trong (1-38) sÏ mÊt ý nghÜa.
Tuy nhiªn nÕu xÐt ®ång thêi th× cã:
P0 p P ⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤
− sin kt + 2 0 2 sin pt = P0 ⎢ ⎥
k( k − p )
2 2
k −p ⎣ k(k 2 − p 2 ) ⎦
0
Víi k = p, nã cã d¹ng . ¸p dông quy t¾c L«pitan, lÊy ®¹o hµm ®èi víi p vµ cho
0
p → k, ta thu ®−îc:
⎡ − p sin kt + k sin pt ⎤ ⎡ − sin kt + kt cos pt ⎤ P0 P0 t
P0 ⎢ ⎥ = lim P0 ⎢ ⎥ = − 2 sin kt − 2k cos kt
⎣ k(k − p )
2 2
⎦ k =p p→k ⎣ − 2kp ⎦ 2k
TÝch ph©n tæng qu¸t cña (1-38) trë thµnh:

q P Pt
q = q 0 cos kt + 0 sin kt + 02 sin kt − 0 cos kt (1-40)
k 2k 2k
24
Râ rµng khi p = k c¸c gi¸ trÞ nguy hiÓm cña biªn ®é t¨ng theo quy luËt tuyÕn tÝnh víi
thêi gian t vµ trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n nã kh«ng tiÕn tíi v« h¹n (H×nh 1-5).
Sù trïng nhau gi÷a tÇn sè cña lùc kÝch ®éng p víi
tÇn sè riªng cña hÖ k vµ c¸c hiÖn t−îng x¶y ra tiÕp sau q
gäi lµ hiÖn t−îng céng h−ëng.
Thùc tÕ khi tÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc kh«ng t
c¶n th−êng ph©n ra hai tr−êng hîp: Tr−êng hîp xa céng O
h−ëng (p ≠ k) vµ tr−êng hîp gÇn céng h−ëng (p ≈ k).
Khi nµy nÕu: p = k+2ε (ε lµ ®¹i l−îng v« cïng bÐ) ta cã
H×nh 1-5
hiÖn t−îng ph¸ch, cßn p = k ta cã hiÖn t−îng céng
h−ëng.
§èi víi c¸c m¸y ®−îc thiÕt kÕ lµm viÖc gÇn céng h−ëng khi t¨ng vËn tèc cña m¸y qua
vïng céng h−ëng ph¶i khÈn tr−¬ng cho v−ît qua ®ñ nhanh.
ThÝ dô 1-4:
§éng c¬ ®iÖn ®Æt trªn sµn m ®−îc ®ì bëi lß xo xo¾n, träng l−îng tæng céng cña sµn vµ
®éng c¬ b»ng 327N. Lß xo cã tÝnh chÊt lµ: ChiÒu cao cña nã ng¾n ®i 1 cm khi chÞu l−c
300N. Ng−êi ta g¾n vµo trôc ®éng c¬ mét t¶i träng m1 nÆng 2N c¸ch ®−êng tim trôc mét
kho¶ng r = 1,3cm. VËn tèc gãc cña ®éng c¬ p = 30 rad/s. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng
cña sµn, gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm ®Çu nã n»m yªn; lÊy g = 981 cm/s2 (H×nh 1-6a).
Bµi gi¶i:
Sµn vµ ®éng c¬ chuyÓn ®éng theo ph−¬ng th¼ng ®øng. Gäi x lµ to¹ ®é khèi t©m cña
sµn vµ ®éng c¬ tÝnh tõ vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh.
C¸c lùc t¸c dông lªn hÖ dao ®éng gåm: Lùc ®µn håi cña lß xo F = Cx; lùc kÝch ®éng
do lùc qu¸n tÝnh ly t©m cña khèi l−îng lÖch t©m m1 g©y ra theo ph−¬ng Ox: Fx=m1rp2cospt.
••
§Æt lùc qu¸n tÝnh lªn khèi l−îng dao ®éng Fqt = − m x (H×nh 1-6b).
r

O O
x
m m1 m r m
1

ϕ = pt m1rp2
Fx
C


x
a) b)
H×nh 1-6
25
Theo nguyªn lý §a-l¨m-be, ta cã:
••
m x + Cx = m1 rp 2 cos pt
•• m1 rp 2 C
⇒ x+ k 2 x = cos pt; k 2 =
m m
NTQ cña p−¬ng tr×nh t×m ë d¹ng:
x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt

=> x = C1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt.

§iÒu kiÖn ®Çu cña bµi to¸n: t = 0 th× x(0) = 0; x(0) = 0 .

m1 r 2 p 2
Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0; B =
C − mp 2
Do ®ã ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña sµn m lµ:
m1 rp 2
x= (cos pt − cos kt )
c − mp 2
C 300 / 1
V× k 2 = = ≅ 30 2 rad / s 2 ⇒ k = 30 rad / s = p
m 327 / 981
Trong tr−êng hîp nµy hÖ cã céng h−ëng. V× vËy nghiÖm cña bµi to¸n viÕt ë d¹ng:
2m1 rp(cos pt − cos kt ) + m1 p 2 rt sin pt
lim x = lim
p→k p→k 2mp
Hay lim x = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm).
p→k


1.2.2. TÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc cã c¶n (n ≠ 0).
XÐt lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt víi vËn tèc, lùc kÝch ®éng ngoµi biÕn ®æi theo
quy luËt ®iÒu hoµ Q(t) = P0sinpt. Ph−¬ng tr×nh (1-25) trë thµnh:
•• •
q + 2n q + k 2 q = P0 sin pt. (1-41)
Víi lùc c¶n nhá (n < k), NTQ cña (1-41) cã d¹ng:
− nt
q = A e sin( k 1 t + β) + q; k 1 = k 2 − n 2 (1-42)

Ta t×m nghiÖm q d−íi d¹ng: q = B sin( pt − ε) (1-43)

Chän B, ε sao cho q tháa m·n ®ång nhÊt ph−¬ng tr×nh (1-42).

⎧B( k 2 − p 2 ) = P0 cos ε
Tõ ®ã ta nhËn ®−îc: ⎨ (1-44)
⎩2Bnp = P0 sin ε
26
P0 2 np
Gi¶i hÖ (1-44), ta cã: B = ; tgε = (1-45)
(k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 k − p2
2



TÝch ph©n tæng qu¸t ph−¬ng tr×nh (1-41) viÕt ë d¹ng:
− nt P0
q = A e sin( k 1 t + β) + sin( pt − ε) (1-46)
(k − p ) + 4n 2 p 2
2 2 2



C¸c h»ng sè A, β ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Tõ (1-46) ta còng cã mét sè
nhËn xÐt sau:
1) . Sè h¹ng ®Çu cña (1-46) øng víi dao ®éng tù do cã c¶n. Thùc tÕ nã t¾t dÇn theo thêi
gian. Sau mét kho¶ng thêi gian nµo ®ã cã thÓ bá qua vµ xem hÖ chØ thùc hiÖn dao ®éng
c−ìng bøc thuÇn tuý:
P0
q = sin( pt − ε) (1-47)
( k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2
Ph−¬ng tr×nh (1-47) x¸c ®Þnh chÕ ®é dao ®éng b×nh æn cña hÖ.
2) . Dao ®éng c−ìng bøc kÓ c¶ khi cã c¶n vÉn x¶y ra víi tÇn sè lùc kÝch ®éng p. Biªn
®é cña nã kh«ng phô thuéc vµo thêi gian vµ kh«ng t¾t dÇn v× lùc c¶n. Khi x¶y ra céng
h−ëng (p = k) biªn ®é nµy vÉn h÷u h¹n vµ kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ cña
biªn ®é. Ta t×m p ®Ó biªn ®é:
P0
B= ®¹t cùc ®¹i.
( k 2 − p 2 ) 2 + 4n 2 p 2

∂B
Tõ ®iÒu kiÖn = 0 , ta suy ra: p2 = k2 - 2n2
∂p
VËy B = Bmax khi p2 = k2 - 2n2. Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc ®¹t cùc ®¹i khi p nhá h¬n
k mét chót (tr−íc céng h−ëng).
3) . Trong dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ cã c¶n lu«n x¶y ra ®é lÖch pha gi÷a pha dao
®éng víi pha cña lùc kÝch ®éng. §é lÖch pha ε x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc:
2np
tgε =
k − p2
2


π
§é lÖch pha ε cã gi¸ trÞ cùc ®¹i khi céng h−ëng (p = k) vµ b»ng .
2
4) . Gäi ®é lÖch tÜnh cña hÖ lµ B0 (b»ng tû sè biªn ®é lùc kÝch ®éng víi hÖ sè cøng cña
P0
hÖ; ë ®©y B 0 = ). Ta lËp tû sè gi÷a biªn ®é B vµ B0, ký hiÖu lµ η . HÖ sè η ®−îc gäi lµ hÖ
k2
sè ®éng lùc vµ b»ng:
B 1
η= = (1-48)
B0 2
⎛ p ⎞ 2
n p 2 2
⎜1 − ⎟ +4
⎜ 2 ⎟
k ⎠ k4


27
1
Khi kh«ng cã c¶n (n = 0 ) hÖ sè ®éng lùc b»ng: η= (1-49)
p2
1− 2
k
η
2n/p=0
0,1 0,15
4 0,2 0,1
0,3 2n/p=0
3 0,4
η
0,5
2 2

1 1

0 p/k 0 p/k
0,5 1,0 1,5 2,0 0,5 1,0 1,5 2,0

a) b)

H×nh 1-7

Trªn h×nh vÏ (H×nh 1-7a) ta cã c¸c ®−êng cong céng h−ëng. Nh÷ng ®−êng nµy biÓu
diÔn qu¸ tr×nh biÕn ®æi cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña hÖ sè ®éng lùc η phô thuéc vµo tÇn sè cña
lùc kÝch ®éng víi mét vµi gi¸ trÞ cña hÖ sè c¶n.
Tõ ®å thÞ râ rµng lµ: C¸c lùc c¶n (nhít) cã t¸c dông râ rÖt trong vïng gÇn céng h−ëng,
ë c¸c vïng nµy th× cã thÓ lÊy η= ηmax (H×nh 1-7b).
Do ®ã, mÆc dï biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc khi cã c¶n lµ h÷u h¹n; nh−ng c¸c chi tiÕt
cña m¸y vÉn lµm viÖc trong tr−êng hîp nµy th× lu«n x¶y ra nguy c¬ ph¸ huû do øng suÊt
mái. V× vËy, khi thiÕt kÕ cÇn chän mèi liªn hÖ c¸c kÝch th−íc vµ ®é bÒn sao cho chÕ ®é b×nh
th−êng n»m xa chÕ ®é céng h−ëng.
ThÝ dô 1-5:
§Ó ghi c¸c qu¸ tr×nh dao ®éng khi cã t¸c ®éng ngÉu
nhiªn kh¸c nhau (x« ®Ëp, va ch¹m) ng−êi ta th−êng dïng C
c¸c chÊn ®å tÇn sè thÊp cã l¾p thªm bé gi¶m chÊn (d¹ng
m
gi¶m chÊn ma s¸t nhít). S¬ ®å nguyªn t¾c cña chÊn ®å
nµy ®−îc m« t¶ trªn h×nh vÏ (H×nh 1-8). ë ®©y chuyÓn
®éng cña khèi l−îng m treo b»ng lß xo víi ®é cøng C α
®−îc h·m l¹i b»ng lùc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc chuyÓn ®éng

t−¬ng ®èi cña t¶i träng, tøc lµ b»ng α y trong ®ã y lµ ®é y1
lÖch cña khèi l−îng m ®èi víi nÒn. T×m gi¸ trÞ ®é lÖch
mµ m¸y ghi l¹i nh− hµm cña thêi gian t, nÕu nÒn chuyÓn H×nh 1-8
®éng theo quy luËt:
y1 = y 0 (sin ωt + 2 sin 10ωt )

C α
Khi gi¶i bµi to¸n lÊy: k 2 = = 0,01ω 2 ; n = = 0,02ω
m 2m
28
Bµi gi¶i:
ChuyÓn ®éng lªn xuèng cña t¶i träng m, nhê ngßi bót g¾n vµo nã sÏ ghi nh÷ng dao
®éng cña m¸y lªn b¶ng chia ®é (H×nh 1-8).
ChuyÓn ®éng th¼ng ®øng y cña t¶i träng m lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ®èi víi khung
chÊn ®å g¾n víi b¶ng chia ®é.
Do mãng vµ chÊn ®å thùc hiÖn chuyÓn ®éng theo quy luËt cho tr−íc:
y1 = y 0 (sin ωt + 2 sin 10ωt )
Nªn lùc qu¸n tÝnh kÐo theo t¶i cña träng m trong chuyÓn ®éng nµy b»ng:
••
− m y 1 = my 0 ω 2 (sin ωt + 200 sin 10ωt )
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng t−¬ng ®èi cña t¶i träng m cã d¹ng:
•• •
y + 2n y + k 2 y = y 0 ω 2 (sin ωt + 200 sin 10ωt )
α C
Trong ®ã: y lµ dÞch chuyÓn cña khèi l−îng m ®èi víi nÒn; 2 n =
; k2 =
m m
NÕu bá qua dao ®éng tù do, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn trong tr¹ng th¸i chuyÓn
®éng b×nh æn cña t¶i träng m lµ:
y 0 ω2 200y 0 ω 2
y= sin(ωt − α 1 ) + sin(100ωt − α 2 )
( k 2 − ω 2 ) 2 + 4n 2 ω 2 ( k 2 − 100ω 2 ) 2 + 400n 2 ω 2
2nω 20nω
ë ®©y: tgα1 = ; tgα 2 =
ω −k
2 2
100ω2 − k 2
Thay: k 2 = 0,01ω 2 ; n = 0,02ω ta nhËn ®−îc dÞch chuyÓn t−¬ng ®èi cña khèi l−îng m
do m¸y ghi ra:
y
y = 0 sin(ωt − α 1 ) + 2y 0 sin(10ωt − α 2 )
5
ThÝ dô 1-6:
§Ó ®Çm bª t«ng ë ch©n mãng c¸c c«ng tr×nh ng−êi ta th−êng dïng mét thiÕt bÞ ®Æc biÖt:
§ã lµ chÊn tö lÖch t©m gåm mét ®Õ nÆng khèi l−îng m, trªn ®ã ®Æt hai ®Üa quay khèi l−îng mçi
®Üa b»ng m1 . C¸c ®Üa quay trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng theo chiÒu ng−îc nhau víi vËn tèc gãc
ω. Trªn mçi ®Üa ng−êi ta g¾n mét t¶i träng m0 c¸ch trôc quay mét kho¶ng lµ e (H×nh 1-9a). Sau
mét thêi gian ®Çm, ta cã thÓ m« t¶ c¸c tÝnh chÊt cña mãng bª t«ng mét c¸ch gÇn ®óng bëi
m« h×nh l−u biÕn nh− h×nh vÏ (H×nh 1-9b).
H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng b×nh æn cña vá chÊn tö. TÝnh biªn ®é dao ®éng.
BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh lµm viÖc vá chÊn tö kh«ng bao giê t¸ch rêi khái khèi l−îng ®ang
®Çm.
Bµi gi¶i:
Gäi x lµ to¹ ®é träng t©m cña vá chÊn tö tÝnh tõ vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh, ¸p dông nguyªn lý
§a-l¨m-be. Lùc ly t©m do c¸c ®Üa g¾n khèi l−îng lÖch t©m chuyÓn ®éng ng−îc nhau t¸c
dông theo ph−¬ng chuyÓn ®éng cña vá chÊn tö (theo ph−¬ng x th¼ng ®øng) sÏ b»ng:
29
P( t ) = 2m 0 ω 2 e sin ωt P(t)

M
e
ϕ = ωt x
m0 C α
m1 ω ω
m


H×nh 1-9

M« h×nh tÝnh hÖ dao ®éng ®−îc m« t¶ trªn h×nh 1-9.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña vá chÊn tö cã d¹ng:
•• •
M x + α x + Cx = P (t )
ë ®©y: M = m + 2(m 0 + m1 ) , hay cã thÓ viÕt:
•• • 2m 0 ω 2 e
x + 2n x + k 2 x = sin ωt
m + 2( m 0 + m 1 )
α α C C
Trong ®ã: n = = , k2 = =
2M 2[m + 2(m 0 + m1 )] M m + 2(m 0 + m1 )
NÕu gäi A0 lµ ®é lÖch tÜnh cña hÖ do biªn ®é lùc kÝch ®éng t¸c dông tÜnh lªn hÖ g©y ra:
2m 0 ω 2 e 2m 0 ω 2 e
A0 = = 2
C k [ m + 2(m 0 + m1 )]
Ta cã biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña vá chÊn tö b»ng:
A0
A=
2 2
⎛ ω 2 ⎞ ⎛ 2nω ⎞
⎜1 − 2 ⎟ + ⎜
⎜ k ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ k ⎠
1.2.3. §Öm ®µn håi cña m¸y.
Ta xÐt mét m« h×nh ¸p dông kü thuËt cña lý thuyÕt dao ®éng c−ìng bøc.
1.2.3a. C¸c m¸y quay cã bé phËn kh«ng c©n b»ng sÏ truyÒn c¸c lùc kÝch ®éng cã chu
kú lªn nÒn (mãng) cña nã, g©y lªn sù rung vµ tiÕng ån kh«ng mong muèn. §Ó gi¶m hiÖn
t−îng nµy th−êng ¸p dông ®Öm ®µn håi.
Gi¶ thiÕt m¸y cã träng l−îng Q (H×nh 1-10) vµ ký hiÖu P lµ lùc ly t©m xuÊt hiÖn do
phÇn quay kh«ng c©n b»ng víi vËn tèc gãc ω( rad / s) . Nh− ®· chØ trªn h×nh vÏ (H×nh 1-10a).
C¸c lùc kÝch ®éng th¼ng ®øng, n»m ngang t−¬ng øng lµ: P sin ωt vµ P cos ωt .
NÕu m¸y ®−îc b¾t chÆt víi nÒn cøng th× lùc kÝch ®éng sÏ truyÒn hoµn toµn xuèng nÒn.
§Ó gi¶m lùc kÝch ®éng lªn nÒn (mãng) ta ®−a vµo ®Öm ®µn håi nh− h×nh vÏ (H×nh 1-10b), ë
®ã ta h¹n chÕ chuyÓn ®éng ngang cña m¸y bëi c¸c liªn kÕt. Khi nµy ta nhËn ®−îc dao ®éng
30
c−ìng bøc cña vËt Q ®Æt trªn lß xo theo ph−¬ng th¼ng ®øng víi lùc kÝch ®éng P0 sin ωt . NÕu
chó ý ®Õn biÓu thøc (1-39) ta cã biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc khi nµy b»ng:
P P
A= = η (1-50)
⎛ ω ⎞ 2 C
C⎜1 − 2 ⎟

⎝ k ⎟⎠


Q Q

ωt ωt
P P
C


a) b)
H×nh 1-10

ë ®©y: C lµ hÖ sè cøng, k lµ tÇn sè riªng cña hÖ, η lµ hÖ sè ®éng lùc ®−îc x¸c ®Þnh
theo (1-49 ). Khi ω > k 2 , hÖ sè η nhá h¬n ®¬n vÞ vµ hiÖu øng ®éng lùc bÞ gi¶m yÕu. Nh−
vËy, ®Ó lµm gi¶m lùc kÝch ®éng truyÒn vµo nÒn (mãng) m¸y cÇn ®Æt trªn c¸c lß xo mÒm sao
cho tÇn sè riªng cña hÖ dao ®éng nhá so víi sè vßng quay trong mét ®¬n vÞ thêi gian cña
m¸y.
1.2.3b. Trong phÇn trªn ta m« t¶ ®Öm ®µn håi cña m¸y P(t)
víi gi¶ thiÕt kh«ng tån t¹i lùc c¶n. §iÒu nµy chØ gÇn ®óng
trong tr−êng hîp ®èi víi c¸c lß xo xo¾n b»ng thÐp. NÕu sö
dông c¸c nhÝp l¸ hoÆc b¶n b»ng cao su th× lùc c¶n lµ ®¸ng kÓ
vµ kh«ng thÓ bá qua. Khi ®ã ®Öm ®µn håi m¸y quy ®æi thµnh
m« h×nh tÝnh gåm lß xo ®é cøng C vµ gi¶m chÊn cã hÖ sè c¶n
b (h×nh 1-11). øng lùc ®éng lùc truyÒn cho nÒn biÓu thÞ b»ng: C b
i

R = Cq + b q (1-51)
Thay (1-47) vµo (1-51), ta t×m ®−îc:
H×nh 1-11
R Max = B C + (bω)
2 2



P 4n 2 ω 2
1+
Hay: R max =
C k2
2
⎛ ω2 ⎞ 4n 2 ω 2
⎜1 − 2
⎜ ⎟ +

⎝ k ⎠ k4

P 4n 2 ω2 P
Khi chó ý tíi (1-48) ta cã: R max = η 1+ 2
= η* (1-52)
C k C

31
4n 2 ω 2
Trong ®ã: η* = η 1 + , η* th−êng η
*
k2
gäi lµ hÖ sè ®éng lùc gia t¨ng. Sù phô thuéc hÖ 3
ω
n/p=0,1
2n
sè nµy víi trong c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau chØ 0,2
k k 0,3
ra trªn h×nh vÏ (H×nh 1-12). 2
0,4
TÊt c¶ c¸c ®−êng cong ®i qua mét ®iÓm 0,5

cã hoµnh ®é 2 vµ tung ®é b»ng 1. Trong 1
ω 0,5
0,4
miÒn < 2 sù t¾t dÇn lµ cã lîi v× lµm gi¶m hÖ 0,3 0,2 2n/p=0,1
k
ω ω/k
sè truyÒn lùc, trong miÒn > 2 víi sù t¨ng 0 1 2 2 3
k
cña lùc c¶n, hÖ sè truyÒn lùc t¨ng. V× vËy, trong H×nh 1-12
c¸c tr−êng hîp: Khi chÕ ®é lµm viÖc n»m ë
vïng sau céng h−ëng lùc truyÒn cho nÒn (mãng) t¨ng do hÖ qu¶ cña gi¶m chÊn. ý nghÜa vËt
lý cña hiÖn t−îng nµy lµ ë chç: C¸c dao ®éng truyÒn cho nÒn mãng thùc hiÖn b»ng hai lùc:
Theo “con ®−êng ®µn håi” vµ “con ®−êng nhít”. Khi lùc kÝch ®éng cã tÇn sè cao x¶y ra vËn
tèc lín vµ t−¬ng øng víi lùc c¶n nhít t¨ng lªn.

1.2.4. ¸p dông phÐp biÕn ®æi Laplace tÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc
1.2.4a. ®Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi Laplace.
Gi¶i sö: f(t) lµ hµm liªn tôc tõng khóc trªn kho¶ng [0; + ∞ ). PhÐp biÕn ®æi Laplace lµ
mét phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n biÕn ®æi hµm gèc f(t) cña biÕn sè thùc thµnh hµm ¶nh F(s) cña
biÕn sè phøc nhê hÖ thøc:

F(s) = L[f ( t )] = ∫ e −st f ( t )dt (1-53)
0

Trong ®ã ký hiÖu: L gäi lµ to¸n tö Laplace. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc, ký hiÖu theo
to¸n tö L–1 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc:
f ( t ) = L−1 [F(s)] (1-54)
To¸n tö L vµ to¸n tö L-1 cã tÝnh chÊt:
L−1 {L[f ( t )]} = f ( t ) (1-55)
Trong b¶ng d−íi ®©y (b¶ng 3) ta giíi thiÖu mét sè hµm f(t) th«ng dông vµ hµm ¶nh
F(s) cña nã qua phÐp biÕn ®æi Laplace.
ThÝ dô 1-7:
T×m c¸c hµm ¶nh cña c¸c hµm gèc f(t) =1, f(t) = e at b»ng phÐp biÕn ®æi Laplace.
Bµi gi¶i:
¸p dông c«ng thøc ®Þnh nghÜa (1-53) ta lÇn l−ît cã:

32
∞ ∞ ∞
e −st 1
L[1] = ∫ e f (t )dt = ∫ e 1dt = −
− st − st
= = F(s)
0 0
s 0
s
∞ ∞ ∞
− 1 − t (s −a ) 1
L[e ] = ∫ e e dt = ∫ e
at −st at −( s −a ) t
dt = e = ; (s > 0)
0 0
s−a 0 s−a
1.2.4b. C¸c tÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Laplace
Ta nªu mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n (kh«ng chøng minh) cña phÐp biÕn ®æi Laplace.
a) . §Þnh lý céng t¸c dông: NÕu L[f1(t)] = F1(s); L[f2(t)] = F2(s) th×:
L[C1f1(t)+C2f2(t)] = C1F1(s)+C2F2(s) (1-56)

⎡n ⎤ n
Tõ ®ã: L ⎢∑ C i fi (t )⎥ = ∑ C i Fi (s); Ci lµ c¸c h»ng sè.
⎣ i =1 ⎦ i =1
b) . §Þnh lý vi ph©n: NÕu L[y(t)]= Y(s) th×:

L[y(n)(t)]=snY(s) – sn-1 y0 – sn-2 y 0 – ... – sn-2 y0(n-2) – y0(n-1) (1-57)
Trong ®ã: y(t)(k) lµ ®¹o hµm bËc k cña hµm y(t) theo t: y 0k ) = y ( k ) (0) = lim y ( k ) ( t )
(
+
t →0

t
c) . §Þnh lý ®ång d¹ng: NÕu L[f(t)]=F(s) th×: L[f ( )] = aF(as) (1-58)
a
d) . §Þnh lý c¶n: NÕu L[f(t)]=F(s) th×: L [e-atf(t)]=F(s+a) (1-59)
e) . §Þnh lý trÔ: NÕu L[f(t)]= F(s) th×: L[f(t-a)] =e-as F(s) (1-60)
Mét sè c«ng thøc c¬ b¶n cña phÐp biÕn ®æi Laplace ®−îc tr×nh bµy trong B¶ng 3.
¬




B¶ng 3 - Hµm f(t) vµ hµm ¶nh F(s) qua phÐp biÕn ®æi Laplace.



STT f(t) F(s) = ∫ e −st f ( t )dt Ghi chó
0

1 1 1/s
2 t 1/s2
1/(s+α)
e − αt
3 n! n nguyªn
t n e − αt (s + α) n +1
1 1
4 (1 − e −αt )
α s(s + α)



33
e − α1t − e − α 2 t 1
5
α 2 − α1 (s + α1 )(s + α 2 )
1 − αt 1
6 (e + αt − 1)
α2 s (s + α)
2


ω
7 sinωt
s + ω2
2


s
8 cos ω t
s + ω2
2


ω
9 e − αt sin ωt
(s + α) 2 + ω2
s+α
10 e − αt cos ωt
(s + α) 2 + ω2
2ωs
11 tsinωt
(s + ω2 ) 2
2


s 2 − ω2
12 tcosωt
(s 2 + ω 2 ) 2
2ω2
13 sin2ωt
s(s 2 + 4ω2 )
s 2 + 2ω 2
14 cos ωt2
s(s 2 + 4ω2 )
β
15 shβt
s − β2
2


s
16 chβt
s − β2
2


2β s
17 tshβt
(s − β 2 ) 2
2


s2 + β2
18 tchβt
(s 2 − β 2 ) 2

1.2.4c. ¸p dông phÐp biÕn ®æi Laplace tÝnh dao ®éng c−ìng bøc.
Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng c−ìng bøc ë d¹ng.
••
1 •
q + 2n q + k 2 q =
f (t ) (1-61)
m
T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1-61) øng víi c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0: q(0) = q0,
• •
q(0) = q 0 .

34
§Ó gi¶i (1-61) b»ng phÐp biÕn ®æi Laplace, tr−íc hÕt ta lËp ph−¬ng tr×nh ¶nh cña
ph−¬ng tr×nh (1-61), ta cã:
⎡ •• •
⎤ 1
L ⎢q + 2 n q + k 2 q ⎥ = L[f (t )]
⎣ ⎦ m
•• •
1
⇒ L[ q] + 2nL [q]+ k 2 L[q] = L[f (t )]
m
• 1
⇒ [s 2 Q(s) + sq 0 − q 0 ] + 2n[sQ(s) − q 0 ] + k 2 Q(s) = F(s)
m
• F(s)
⇒ (s 2 + 2ns + k 2 )Q(s) = sq 0 + 2nq 0 + q 0 + (1-62)
m

§Æt: D(s)= s2+2ns +k2; N 0 (s) = sq 0 + 2nq 0 + q 0 (1-63)
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ¶nh cã d¹ng:
N 0 (s) F(s)
Q(s) = + (1-64)
D(s) mD(s)
N 0 (s)
D¹ng nghiÖm (1-64) lµ tæng hai sè h¹ng: Sè h¹ng ®Çu phô thuéc vµo c¸c ®iÒu
D(s)
kiÖn ban ®Çu vµ t−¬ng øng víi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt; sè
F(s)
h¹ng thø hai phô thuéc vµo hµm lùc kÝch ®éng f(t) vµ t−¬ng øng víi NR cña ph−¬ng
mD(s)
tr×nh vi ph©n cã vÕ ph¶i.
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n gèc (1-61) sÏ cã d¹ng:
⎡ N (s) ⎤ ⎡ F(s) ⎤
q( t ) = L−1 [Q(s)] = L−1 ⎢ 0 ⎥ + L−1 ⎢ ⎥ (1-65)
⎣ D(s) ⎦ ⎣ mD(s) ⎦
ThÝ dô 1-8:
Trªn hÖ dao ®éng tuyÕn tÝnh cã c¶n (H×nh 1-13) t¸c dông lùc f(t) nh− sau:

f(t)
f(t)

m
P0

C b

ωt
O
π/2 π

H×nh 1-13

35

⎪ 0 khi t < 0

⎪ π
f (t) = ⎨ P0 sin ωt khi 0 ≤ t ≤
⎪ ω
⎪ π
⎪ 0 khi t >
⎩ ω
X¸c ®Þnh dao ®éng cña hÖ khi t > 0, biÕt r»ng t ≤ 0 hÖ ®øng yªn.
Bµi gi¶i:
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n biÓu thÞ dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ cã d¹ng:
•• •
1
q + 2n q + k 2 q = f (t ) .
m
b C
ë ®©y ký hiÖu: 2n = , k2 =
m m

Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0: q(0) = 0 ; q (0) = 0 . Do ®ã theo (1-63): N0(s)=0. Trong
π
miÒn 0 ≤ t ≤ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ¶nh khi ¸p dông c«ng thøc (1-64) cã d¹ng:
ω
F(s)
Q(s) =
mD(s)
P0 ω
Trong ®ã: F(s) = L[f ( t )] = P0 L[sin ωt ] = ; D(s) = s 2 + 2ns + k 2
s + ω2
2


§Õn ®©y nãi chung cã thÓ dïng b¶ng ®Ó t×m ¶nh ng−îc vµ khi ®ã cã nghiÖm q(t). ë
®©y ta dïng c¸ch ph©n tÝch c¸c ph©n thøc vÕ ph¶i ®Ó cã nghiÖm cña bµi to¸n.
Gi¶ sö trong tr−êng hîp tæng qu¸t hµm F(s) lµ ph©n thøc d¹ng:
N(s)
F(s) = (1-66)
M(s)
Khi ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ¶nh lµ:
N 0 (s) N (s ) N (s) N (s )
Q(s) = + = 0 + (1-67)
D(s) mM(s)D(s) D(s) m D(s)

Víi D(s) =M(s)D(s). NÕu D(s) vµ D(s) lµ nh÷ng ®a thøc cã nghiÖm ®¬n. Ta gäi sk lµ
nghiÖm cña D(s)=0 vµ s j lµ nghiÖm cña D(s) =0, khi ®ã cã thÓ ph©n tÝch c¸c ph©n thøc
N 0 (s) N(s)
vµ thµnh c¸c ph©n thøc tèi gi¶n:
D(s) D(s)

N 0 (s) N 0 (s k ) 1 N (s) N (s j ) 1
D(s)
= ∑ D′(s
k =1

k ) s − sk
;
m D(s)
= ∑ mD′(s ) ⋅ s − s
j=1
(1-68)
j j


36
ë ®©y D ′(s) vµ D ′(s) lµ ®¹o hµm cña D(s) vµ D(s) theo biÕn s. VËy, nghiÖm ph−¬ng
tr×nh ¶nh b©y giê cã d¹ng:

N 0 (s k ) 1 N (s j ) 1
Q(s) = ∑ D′(s
k =1 k

) s − sk
+ ∑ mD′(s ) ⋅ s − s
j=1
(1-69)
j j


¸p dông b¶ng, ta t×m ®−îc nghiÖm ph−¬ng tr×nh gèc:

N 0 (s k ) s k t N (s j )
q( t ) = ∑ D′(s
k =1 k)
e + ∑ mD′(s ) e
j=1
s jt
(1-70)
j


Trë l¹i bµi to¸n ®ang xÐt, chó ý tíi (1-66) ta cã:
N (s) = P0 ω; M (s) = s 2 + ω 2

Tõ ®ã: D(s) = M(s)D(s) = (s 2 + ω 2 )(s 2 + 2ns + k 2 )

Ph−¬ng tr×nh D(s) = 0 cã bèn nghiÖm: s1, 2 = ± iω; s 3, 4 = −( n ± i k 2 − n 2 )

P0 ω 4 e s t j


Ta cã biÓu thøc nghiÖm q(t) theo (1-70) cã d¹ng sau: q( t ) = ∑
m j=1 D′(s j )

thay s j ( j = 1, 4) vµo, sau khi biÕn ®æi, ta nhËn ®−îc:

P0 ⎡ − (1 − λ2 ) sin ωt − 2Dλ cos ωt
q( t ) = ⎢
C ⎣ (1 − λ2 ) 2 + 4D 2 λ2
1

2Dλ cos ω1 t − (1 − λ2 − 2D 2 )(1 − D 2 ) 2 λ sin ω1 t ⎤
+ 2 2 2 2 2
e − nt ⎥
(1 − λ − 2D ) + 4D (1 − D ) ⎦
n ω
Víi: ω1 = k 2 − n 2 ; D = ; λ=
k k
Trong miÒn t > π⁄ω hÖ thùc hiÖn dao ®éng tù do cã c¶n øng víi ®iÒu kiÖn ®Çu:
• •
q ( t 0 ) = q (π / ω); q ( t 0 ) = q ( π / ω) . Trong miÒn nµy ta cã:

N 0 (s) = sq ( π / ω) + 2nq ( π / ω) + q (π / ω); N (s) = 0
BiÓu thøc nghiÖm cã d¹ng:
⎛ π⎞
−n⎜ t − ⎟
⎝ ω⎠⎧ ⎡ ⎛ π⎞ ⎤ 1• ⎛ π ⎞⎫

⎨q(π / ω) cos ⎢ω1 ⎜ t − ⎟ − α ⎥ + q(π / ω)sin ω1 ⎜ t − ⎟⎬
e
q( t ) =
1− D2 ⎩ ⎣ ⎝ ω⎠ ⎦ k ⎝ ω ⎠⎪ ⎭
n
Víi tgα = .
ω1

37
Ch−¬ng II
Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do

§.2.1. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng

2.1.1. HÖ nhiÒu bËc tù do.
Thùc tÕ c¸c hÖ cÇn tÝnh to¸n dao ®éng phÇn lín lµ c¸c hÖ ®µn håi phøc t¹p, nh−: dÇm,
thanh cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi hoÆc thay ®æi, c¸c trôc th¼ng cã g¾n c¸c ®Üa, c¸c trôc khuûu
cña ®éng c¬ ®èt trong, c¸c c¸nh vµ ®Üa tuèc bin v.v...
§Ó x¸c ®Þnh ®Çy ®ñ biÕn d¹ng cña hÖ sinh ra do dao ®éng, ta cÇn biÕt dÞch chuyÓn cña
tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña nã, nh÷ng hÖ ®µn håi nh− thÕ cã v« sè bËc tù do.
Tuy nhiªn, trong nhiÒu tr−êng hîp viÖc nghiªn cøu dao ®éng ë c¸c hÖ phøc t¹p v« sè
bËc tù do gÆp nhiÒu khã kh¨n vÒ to¸n häc. ViÖc tÝnh to¸n thùc tÕ kü thuËt ph¶i ®−a vµo c¸c s¬
®å ®¬n gi¶n ®Ó tÝnh to¸n hÖ dao ®éng. Cã nhiÒu c¸ch ®¬n gi¶n ho¸ kh¸c nhau, mét trong c¸c
c¸ch ®−îc sö dông réng r·i lµ: Thay hÖ phøc t¹p b»ng mét hÖ kh¸c ®¬n gi¶n h¬n víi khèi
l−îng vµ ®é cøng ph©n bè kh¸c ®i, nh−ng gÇn hÖ ®· cho ë chç: Gi¸ trÞ tÝnh to¸n kh«ng kh¸c
mÊy gi¸ trÞ thùc. HÖ nµy ®−îc gäi lµ hÖ thu gän (hay hÖ t−¬ng ®−¬ng). Ph−¬ng ph¸p nµy cho
phÐp ta thay c¸c hÖ v« sè bËc tù do b»ng hÖ h÷u h¹n bËc tù do t−¬ng ®−¬ng.
Ta minh ho¹ ý t−ëng tr×nh bµy trªn b»ng vÝ dô ®¬n gi¶n sau ®©y: T¶i A
träng m ®−îc treo vµo ®iÓm A cè ®Þnh b»ng lß xo AB (H×nh 2-1). NÕu kÓ ®Õn
sù ph©n bè khèi l−îng cña lß xo th× hÖ sÏ cã v« sè bËc tù do. Nh−ng nÕu khèi B
l−îng cña t¶i träng m v−ît xa khèi l−îng cña lß xo vµ yªu cÇu chØ x¸c ®Þnh tÇn q
sè dao ®éng nhá nhÊt, ta cã thÓ bá qua khèi l−îng lß xo vµ chØ tÝnh ®Õn tÝnh m
®µn håi cña nã. MÆt kh¸c chØ xÐt ®Õn dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña t¶i träng m
th× ta hoµn toµn cã thÓ xem hÖ cã mét bËc tù do, vÞ trÝ cña hÖ dao ®éng ®−îc H×nh 2-1
x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi to¹ ®é suy réng q.

2.1.2. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng.
ViÖc lùa chän ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tù
do phô thuéc vµo m« h×nh c¬ häc cña hÖ.
§èi víi c¸c c¬ hÖ gåm c¸c chÊt ®iÓm, c¸c vËt r¾n, c¸c lß xo bá qua khèi l−îng, c¸c bÖ
gi¶m chÊn ma s¸t, ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng
tr×nh dao ®éng. §èi víi c¸c kÕt cÊu ®µn håi, nh− dao ®éng uèn cña dÇm cã khèi l−îng tËp
trung, ..., ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p lùc, ...
Trong phÇn tr×nh bµy nµy, ta nªu c¸ch ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II ®Ó thiÕt lËp
ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ nhiÒu bËc tù do.
XÐt hÖ N chÊt ®iÓm, cã n bËc tù do, chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n phô
thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc vµ c¸c lùc kÝch ®éng lµ hµm bÊt kú cña thêi gian Pi(t) (i = 1, n ).

38
Gäi q1, q2, ... qn (qi, i = 1, n ) lµ c¸c to¹ ®é suy réng cña hÖ: Q iπ , Q φ , Q iP lµ c¸c lùc suy
i

réng cña c¸c lùc cã thÕ, c¸c lùc c¶n vµ c¸c lùc kÝch ®éng Pi(t), ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt
cho hÖ cã d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T π φ
⎟ − ∂q = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n
Pi
(2-1)
dt ⎜ •
⎜∂q ⎟
⎝ i ⎠
i



∂π ∂φ
ë ®©y: Q iπ = − ; Q φ = − • ; Q iPi = Q i (t ) ; i = 1, n
∂q i
i
∂ qi
XÐt víi dao ®éng nhá, ta cã:
• •
1 n n
T= ∑ ∑ a ij q i q j (a ij = a ji )
2 i =1 j =1


1 n n
π= ∑
2 i =1

j =1
c ij q i q j (c ij = c ji )

• •
1 n n
φ= ∑
2 i =1

j =1
b ij q i q j (b ij = b ji )

C¸c hÖ sè aij, cij, bij tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xin-vÐc-tr¬ vµ lµ c¸c h»ng sè. Thay c¸c biÓu
thøc trªn vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II, ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ:
n •• n • n

∑ a ij q j ∑ b ij q j + ∑ c ij q j = Q i (t ); i = 1, n
j=1 j=1 j=1
(2-2)

ViÕt cô thÓ hÖ (2-2) ta cã:
⎧ •• •• •• • • •

⎪a 11 q 1 + a 12 q 2 + ... + a 1n q n + b 11 q 1 + b 12 q 2 + ... + b 1n q n + c11 q 1 + c12 q 2 + ... + c1n q n = Q 1 (t )
⎪ •• •• •• • • •
⎪a 21 q 1 + a 12 q 2 + ... + a 2 n q n + b 21 q 1 + b 22 q 2 + ... + b 2 n q n + c 21 q 1 + c 22 q 2 + ... + c 2 n q n = Q 2 (t )

⎪.......................................................................................................
⎪ •• •• •• • • •
⎪a n1 q 1 + a n 2 q 2 + ... + a nn q n + b n1 q 1 + b n 2 q 2 + ... + b nn q n + c n1 q 1 + c n 2 q 2 + ... + c nn q n = Q n (t )

(2-2a)
HÖ (2-2a) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng ma trËn:
•• •
a11 a12 ... a1n q1 b11 b12 ... b1n q1 c11 c12 ... c1n q1 Q1
•• •
a21 a22 ... a2n q2 b b ... b2n q 2 c21 c22 ... c2n q 2 Q2
+ 21 22 + =
.................... ... .................... ... .................... ... ... (2-2b)
•• •
an1 an2 ... ann qn bn1 bn2 ... bnn q1 cn1 cn2 ... cnn q1 Qn

39
HoÆc cho gän ta biÓu diÔn nã d−íi d¹ng vÐct¬:
•• •

A q + B q + C q = Q (t ) (2-2c)

2.1.3. Nh÷ng nguyªn t¾c gi¶i ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña hÖ.
NÕu nh÷ng lùc kÝch ®éng ngoµi thay ®æi theo quy luËt ®iÒu hoµ h×nh sin cã cïng tÇn
sè vµ pha th× ®¬n gi¶n h¬n c¶ lµ sö dông ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp, nghÜa lµ t×m chuyÓn ®éng ë
d¹ng: qi = Aisin kt. Ph−¬ng ph¸p nµy cã thÓ ¸p dông cho c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n, khi c¸c
lùc kÝch ®éng thay ®æi theo chu kú. Trong tr−êng hîp nµy, cÇn ph©n tr−íc c¸c lùc kÝch ®éng
ra c¸c thµnh phÇn ®iÒu hoµ.
Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t h¬n lµ ph©n nghiÖm theo c¸c d¹ng riªng cña dao ®éng. §iÒu
chñ yÕu cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ ë chç: Nhê nã mµ ta nhËn ®−îc nghiÖm cña bµi to¸n víi
bÊt kú lùc kÝch ®éng ®· cho.
Ta tr×nh bµy mét tr−êng hîp t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp.
XÐt dao ®éng tù do cña hÖ thanh b¶o toµn (kh«ng c¶n), khi ®ã phÇn vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh
(2-2a) b»ng kh«ng: Q i = 0 (i = 1, n) vµ c¸c hÖ sè b ij = 0 (i, j = 1, n) . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n
dao ®éng cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng hÖ n ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt:
⎧ •• •• ••

⎪a 11 q 1 + a 12 q 2 + .... + a 1n q n + c11 q 1 + c12 q 2 + ... + c1n q n = 0
⎪ •• •• ••
⎪a 21 q 1 + a 22 q 2 + ... + a 2 n q n + c 21 q 1 + c 22 q 2 + ... + c 2 n q n = 0 (2-3)

⎪.....................................................................................
⎪ •• •• ••
⎪a n1 q 1 + a n 2 q 2 + ... + a nn q n + c n1 q 1 + c n 2 q 2 + ... + c nn q n = 0

C¸c tÝch ph©n riªng cña hÖ t×m ë d¹ng:
q i = A i cos(kt + α); i = 1, n (2-4)
Thay (2-4) vµo (2-3) ta nhËn ®−îc:

⎪(c 11 − a 11 k )A 1 + (c 12 − a 12 k )A 2 + ... + (c 1n − a 1n k )A n = 0
2 2 2


⎪(c − a k 2 )A + (c − a k 2 )A + ... + (c − a k 2 )A = 0 (2-5)
⎨ 21 21 1 22 22 2 2n 2n n

⎪...........................................................................................

⎩(c n1 − a n1 k )A 1 + (c n 2 − a n 2 k )A 2 + ... + (c nn − a nn k )A n = 0
2 2 2



§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ tån t¹i c¸c nghiÖm A i (i = 1, n) kh«ng tÇm th−êng lµ:
c 11 − a 11 k 2 c 12 − a 12 k 2 ... c 1n − a 1n k 2
c 21 − a 21 k 2 c 22 − a 22 k 2 ... c 2n − a 2n k 2 (2-6)
=0
...................................................................
c n1 − a n1 k 2 c n 2 − a n 2 k 2 ... c nn − a nn k 2

(2-6) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Nã lµ ph−¬ng tr×nh bËc n ®èi víi k2. Khi gi¶i (2-6) ta
nhËn ®−îc n tÇn sè riªng k2. Gi¶ sö ta ®−îc c¸c tÇn sè riªng kh¸c nhau: k1 < k2 < ... < kn, khi
®ã ta cã:

40
⎧q 1 = A 11 cos( k 1 t + α 1 ) + A 12 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A 1n cos( k n t + α n )

⎪q 2 = A 21 cos( k 1 t + α 1 ) + A 22 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A 2 n cos( k n t + α n )
⎨ (2-7)
⎪.......................................................................................................
⎪q n = A n1 cos( k 1 t + α 1 ) + A n 2 cos( k 2 t + α 2 ) + ... + A nn cos( k n t + α n )

Ta ®−a ra hÖ sè ph©n phèi:
A ij
μ ij = = f i (c rs − a rs k 2 ); i, j = 1, n
j (2-8)
A sj
Trong ®ã víi Aij th× chØ sè ®Çu (i) chØ sè täa ®é suy réng; chØ sè thø hai (j) chØ tÇn sè
riªng. Khi sö dông (2-8) ta viÕt nghiÖm cña (2-3) ë d¹ng:
⎧q 1 = A 1 cos(k 1 t + α1 ) + A 2 cos(k 2 t + α 2 ) + ... + A n cos(k n t + α n )
⎪q = A μ cos(k t + α ) + A μ cos(k t + α ) + ... + A μ cos(k t + α )
⎪ 2 1 21 1 1 2 22 2 2 n 2n n n
⎨ (2-9)
⎪..................................................................................................
⎪q n = A 1μ n1 cos(k 1 t + α 1 ) + A 2 μ n 2 cos(k 2 t + α 2 ) + ... + A n μ nn cos(k n t + α n )

C¸c h»ng sè Aj vµ α j (tÊt c¶ cã 2n h»ng sè) ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu:

q i 0 vµ q i 0 .

§.2.2. Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã hai bËc tù do.

2.2.1. Dao ®éng tù do kh«ng cã c¶n.
2.2.1a. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
XÐt hÖ dao ®éng cã hai bËc tù do, chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ. Gäi to¹ ®é suy
réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña c¬ hÖ lµ: q1, q2. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II trong tr−êng hîp nµy cã
d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π
⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, 2
dt ⎜
(a)

⎝ ∂ qi ⎠
i i



1⎛ •2 • • •2⎞
⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟
Víi dao ®éng nhá: T = ⎜ ⎟
2⎝ ⎠
1
π=
(c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 )
2
2 (b)
2
Thay (b) vµo (a) vµ rót gän ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ
dao ®éng:
⎧ •• ••
⎪a 11 q 1 + a 12 q 2 + c11q1 + c12 q 2 = 0
⎨ •• ••
(2-10)
⎪a 12 q 1 + a 22 q 2 + c12 q 1 + c 22 q 2 = 0


41
2.2.1b. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng, ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
HÖ (2-10) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp II thuÇn nhÊt hÖ sè kh«ng ®æi.
Theo (2-4) ta t×m nghiÖm cña nã d−íi d¹ng:
q 1 = A 1 sin( kt + α); q 2 = A 2 sin( kt + α) (2-11)
Trong ®ã: k lµ tÇn sè vßng (riªng); A1, A2 lµ c¸c biªn ®é; α lµ pha ban ®Çu. C¸c ®¹i
l−îng nµy ®−îc x¸c ®Þnh trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
Thay (2-11) vµo (2-10) ta nhËn ®−îc hÖ hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
®èi víi c¸c biªn ®é A1 vµ A2:
⎧ A 1 (c11 − a 11 k 2 ) + A 2 (c12 − a 12 k 2 ) = 0
⎨ (2-12)
⎩A 1 (c12 − a 12 k ) + A 2 (c 22 − a 22 k ) = 0
2 2



HÖ (2-12) chøa ba Èn sè A1, A2 vµ k. Ta bæ xung ph−¬ng tr×nh thø ba b»ng c¸ch sau:
NÕu lo¹i trõ nghiÖm tÇm th−êng A1 = A2 = 0, ®Ó hÖ (2-12) cã hai nghiÖm sè ®èi víi A1, A2
kh¸c kh«ng th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng kh«ng. Ta cã:
c11 − a 11 k 2 c12 − a 12 k 2
=0
c12 − a 12 k 2 c 22 − a 22 k 2

Hay: (c11 – a11k2)( c22 – a22k2)( c12 – a12k2)2 = 0 (2-13)
Ph−¬ng tr×nh (2-13) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Râ rµng lµ chØ víi c¸c gi¸ trÞ cña k
tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh tÇn sè th× c¸c gi¸ trÞ A1, A2 vµ do ®ã míi tån t¹i c¸c ®¹i l−îng q1, q2
kh¸c kh«ng.
Ph−¬ng tr×nh (2-13) lµ ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng, trong tr−êng hîp tæng qu¸t cã hai
gi¸ trÞ ®èi víi k2. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai nghiÖm sè víi k2 lµ thùc vµ d−¬ng lµ: D¹ng
toµn ph−¬ng cña ®éng n¨ng, thÕ n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh d−¬ng, nghÜa lµ:
a11 > 0; a22 > 0; (a11a22 – a212) > 0
c11 > 0; c22 > 0; (c11c22 – c212) > 0 (c)
Víi c¸c gi¸ trÞ trªn cña k2 th× q1, q2 lµ hµm biÓu diÔn sù phô thuéc cña hµm sin vµo
thêi gian t. NÕu c¸c gi¸ trÞ cña k2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn th× chuyÓn ®éng cña hÖ
kh«ng dao ®éng. Ta xÐt hai tr−êng hîp:
a). TÇn sè b»ng nhau: k1 = k2 = k trong tr−êng hîp nµy c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ (2-10)
®éc lËp nhau. NghiÖm cña chóng biÓu thÞ b»ng:
q1=A1sin(kt + α1); q2 =A2sin(kt + α2) (2-14)
C¸c hÖ sè A1, A2, α 1, α2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0; q1(0) = q10, q2(0) = q20;
• • • •
q 1 (0) = q 10 ; q 2 (0) = q 20 .

VËy, khi tÇn sè nh− nhau hÖ thùc hiÖn dao ®éng ®iÒu hoµ, c¸c hµm q1, q2 thay ®æi theo
quy luËt h×nh sin ®éc lËp nhau.


42
b). TÇn sè kh¸c nhau: Gi¶ sö k1 < k2, trong ®ã k1 gäi lµ tÇn sè c¬ b¶n. C¸c dao ®éng
øng víi c¸c tÇn sè k1, k2 gäi lµ c¸c dao ®éng chÝnh cña hÖ.
Ph−¬ng tr×nh dao ®éng chÝnh thø nhÊt (dao ®éng c¬ b¶n) cã d¹ng:
q 11) = A 11 sin( k 1 t + α1 ); q (21) = A 21 sin( k 1 t + α 1 )
(
(2-15)
Ph−¬ng tr×nh dao ®éng chÝnh thø hai cã d¹ng:
q 12 ) = A 12 sin( k 2 t + α 2 ); q (22 ) = A 22 sin( k 2 t + α 2 )
(
(2-16)
TÝch ph©n tæng qu¸t cña hÖ (2-10) ®−îc biÓu thÞ b»ng:
⎧q 1 = q 11) + q 12) = A 11 sin(k 1 t + α 1 ) + A 12 sin(k 2 t + α 2 )

( (

⎨ (2-17)
⎪q 2 = q (21) + q (22 ) = A 21 sin(k 1 t + α 1 ) + A 22 sin(k 2 t + α 2 )

Khi chó ý tíi (2-8), trong tr−êng hîp kh¶o s¸t ta cã:
q (21) A 21 c − a 11 k 1 2
c − a 12 k 1 ⎫2
μ 21 = = = − 11 = − 12 2 ⎪
q 11) A 11
(
c12 − a 12 k 2 c 22 − a 22 k 1 ⎪
2
⎬ (2-18)
q (22 ) A 22 c11 − a 11 k 2 c12 − a 12 k 2 ⎪
μ 22 = (2) = =− 2
=− 2

q1 A 12 c12 − a 12 k 22 c 22 − a 22 k 2 ⎪
2 ⎭

NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (2-10) khi tÝnh ®Õn hÖ sè ph©n phèi cã d¹ng:
q 1 = A 1 sin( k 1 t + α1 ) + A 2 sin( k 2 t + α 2 ) ⎫
⎬ (2-19)
q 2 = A1μ 21 sin( k 1 t + α1 ) + A 2 μ 22 sin( k 2 t + α 2 )⎭

C¸c h»ng sè A1, A2, α1, α 2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0: q1(0) = q10;
• • • •
q2(0) = q20; q 1 (0) = q 10 ; q 2 (0) = q 20 .
VËy, khi tÇn sè kh¸c nhau, dao ®éng nhá tù do cña hÖ hai bËc tù do ®−îc t¹o thµnh tõ
tæng hai dao ®éng ®iÒu hoµ chÝnh víi tÇn sè k1, k2.
2.2.1c. C¸c to¹ ®é chÝnh.
§Ó biÓu thÞ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (2-10) vµ nghiÖm cña nã (2-19) ng−êi ta
®−a vµo kh¸i niÖm c¸c to¹ ®é chÝnh. C¸c to¹ ®é suy réng θ1, θ 2 ®−îc chän ®Æc biÖt sao cho
biÓu thøc ®éng n¨ng T cña hÖ chØ chøa tæng b×nh ph−¬ng cña c¸c vËn tèc suy réng

θ i (i = 1, 2) cßn biÓu thøc thÕ n¨ng π cña hÖ chØ chøa tæng b×nh ph−¬ng cña c¸c to¹ ®é suy
réng θi(i = 1, 2) th× c¸c to¹ ®é suy réng θ1, θ 2 ®−îc gäi lµ c¸c to¹ ®é chÝnh cña hÖ. Víi c¸c to¹
®é chÝnh, th× c¸c ma trËn khèi l−îngvµ c¸c ma trËn ®é cøng tõ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao
®éng ®Òu cã d¹ng ®−êng chÐo.
Theo ®Þnh nghÜa trªn, ta cã: §éng n¨ng, thÕ n¨ng cña hÖ biÓu thÞ b»ng:

1⎛ • •2⎞
( )
2
1
T= ⎜ a 1 θ1 + a 2 θ 2 ⎟; π = c1θ1 + c 2 θ 2
2
(2-20)

2⎝ ⎟ 2
⎠ 2


43
ë ®©y: a1, a2 lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh; c1, c2 lµ c¸c hÖ sè tùa ®µn håi.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ hai bËc tù do cã d¹ng:
⎧ ••
⎪ a 1 θ 1 + c 1 θ1 = 0
⎨ •• (2-21)
⎪a 2 θ 2 + c 2 θ 2 = 0

BiÕn sè trong c¸c ph−¬ng tr×nh nµy ®éc lËp, nªn cã thÓ thùc hiÖn tÝch ph©n tõng
ph−¬ng tr×nh. NTQ cña (2-21) cã d¹ng:
θ1 = B1sin(k1t+β1); θ2 = B2sin(k2t+β2) (2-22)

c1 c2
Trong ®ã: k 1 = , k2 = lµ c¸c tÇn sè cña c¸c dao ®éng chÝnh (tÇn sè riªng)
a1 a2
cña hÖ. C¸c h»ng sè B1, B2, β1, β 2 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ®· biÕt. VËy, khi
viÕt theo to¹ ®é chÝnh, ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ ®−a vÒ hÖ hai ph−¬ng tr×nh ®éc
lËp gièng nh− trong tr−êng hîp tÇn sè b»ng nhau.
ThÝ dô 2.1:
Cho m« h×nh cña hÖ nh− h×nh vÏ (H×nh 2-2). HÖ chuyÓn dÞch kh«ng ma s¸t theo
h−íng ngang. X¸c ®Þnh chuyÓn ®éng dao ®éng cña hÖ, gi¶ thiÕt r»ng t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu
t¶i träng m2 nhËn ®−îc vËn tèc tøc thêi V0 h−íng vÒ bªn ph¶i. TÝnh tÇn sè dao ®éng chÝnh
vµ c¸c hÖ sè ph©n phèi trong tr−êng hîp m1= m2 = m, C1= C2 = C.

q1 q2


C1 C2 q
m1 m2


H×nh 2-2


Bµi gi¶i:
HÖ cã hai bËc tù do. Chän q1, q2 lµ c¸c to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ.
Trong qu¸ tr×nh dao ®éng, c¸c lß xo chÞu c¸c lùc ®µn håi lµ:
F1 = C1q1, F2 = C2(q2 – q1).
ThÕ n¨ng vµ ®éng n¨ng cña hÖ b»ng:
C 1 q 1 C 2 (q 2 − q 1 ) 2
2
1 •2
1 •2
π= + ; T = m1 q 1 + m 2 q 2 (1)
2 2 2 2
Thay c¸c biÓu thøc trªn vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II:

44
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π
− =− ; i = 1, 2 (2)
dt ⎜ ∂ q

• ⎟ ∂q
⎟ ∂q i
⎝ i ⎠
i



⎧ ••
⎪m 1 q + C 1 q 1 − C 2 ( q 2 − q 1 ) = 0
Ta nhËn ®−îc: ⎨ ••1 (3)
⎪m 2 q + C 2 ( q 2 − q 1 ) = 0
⎩ 2


Ta thö tháa m·n ph−¬ng tr×nh (3) b»ng c¸c hµm:
q1=A1sin(kt + α); q2 =A2sin(kt +α) (4)
Thay (4) vµo (3), ta nhËn ®−îc hÖ:

⎪− C 1 A 1 + C 2 ( A 2 − A 1 ) = m 1 A 1 k
2

⎨ (5)
⎪− C 2 ( A 2 − A 1 ) = − m 2 A 2 k 2

HÖ (5) chøa ba Èn sè: C¸c biªn ®é A1, A2 vµ tÇn sè k. Ta cã ph−¬ng tr×nh tÇn sè theo
(2-13):
C 1 + C 2 − m1 k 2 −C2
=0
−C2 C2 − m2k2

⎛ C + C 2 C 2 ⎞ 2 C 1C 2
Hay: k 4 − ⎜ 1
⎜ m + ⎟k + =0 (6)
⎝ 1 m2 ⎟
⎠ m1m 2

Gi¶i (6), t×m ®−îc:
⎧ 2
⎪k = 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ CC
⎜ + ⎟− ⎜ + ⎟ − 1 2
⎪ 1
⎪ 2 ⎜ m1
⎝ m2 ⎟
⎠ 4 ⎜ m1
⎝ m2 ⎟
⎠ m1m 2
⎨ (7)
⎪ 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ 1 ⎛ C1 + C 2 C 2 ⎞ CC
2

⎪k 2 = ⎜ + ⎟+ ⎜ + ⎟ − 1 2
⎪ 2 ⎜ m1
⎝ m2 ⎟
⎠ 4 ⎜ m1
⎝ m2 ⎟
⎠ m1m 2


⎧q = A 11 sin( k 1 t + α1 ) + A 12 sin(k 2 t + α 2 )
NTQ cã d¹ng: ⎨ 1 (8)
⎩q 2 = A 21 sin(k 1 t + α1 ) + A 22 sin(k 2 t + α 2 )
Tõ (3), ta cã: a11 = m1 ; a22 = m2 ; a12 = 0;
c11 = C1 + C2 ; c22 = C2 ; c12 = − C2;
Nªn c¸c hÖ sè ph©n phèi b»ng:
C 1 + C 2 − m1 k 1
2
C1 + C 2 − m 2 k 2
μ 21 = ; μ 22 = 2
(9)
C2 C2
Do ®ã cã thÓ viÕt NTQ (8) d−íi d¹ng:

45
⎧q 1 = A 1 sin(k 1 t + α 1 ) + A 2 sin(k 2 t + α 2 )
⎨ (10)
⎩q 2 = μ 21 A 1 sin(k 1 t + α 1 ) + μ 22 A 2 sin(k 2 t + α 2 )
Chän gèc tÝnh q1, q2 t¹i vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh c¸c t¶i träng (lß xo ch−a biÕn d¹ng). §iÒu
kiÖn ban ®Çu t = 0, viÕt ®−îc:
• • • •
q1(0) = q10 = 0; q2(0) = q20 = 0; q 1 (0) = q 10 = 0; q 2 (0) = q 20 = V0
Thay ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµo (10) vµ ®¹o hµm cña nã, ta cã hÖ sau:
⎧A 1 sin α1 + A 2 sin α 2 = 0
⎪μ A sin α + μ A sin α = 0
⎪ 21 1 1 22 2 2
⎨ (11)
⎪A 1 k 1 cos α1 + A 2 k 2 cos α 2 = 0
⎪μ 21 A 1 k 1 cos α1 + μ 22 A 2 k 2 cos α 2 = V0

V0 V0
Gi¶i (11) ta cã: α1 = α2 = 0; A 1 = ; A2 = (12)
k 1 (μ 21 − μ 22 ) k 2 (μ 22 − μ 21 )
Khi thay (7), (12) vµo (10) ta nhËn ®−îc kÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n.
Tr−êng hîp: m1 = m2 = m; C1 = C2 = C, tõ (7) vµ (9) ta cã:

C ⎛3− 5 ⎞ 2 C ⎛3+ 5 ⎞ 1+ 5 1− 5
k1 =
2
⎜ ⎟; k2 = ⎜ ⎟ ; μ 21 = = 1,618 ; μ 22 = = −0,618
m⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ m⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ 2 2

2.2.2. Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n.
2.2.2a. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng.
XÐt dao ®éng cña hÖ hai bËc tù do chÞu t¸c dông cña c¸c lùc cã thÕ vµ c¸c lùc kÝch
®éng ®iÒu hoµ h×nh sin. Gäi q1, q2 lµ c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp cña hÖ. Ph−¬ng tr×nh
Lagr¨ng II cã d¹ng:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π
⎟ − ∂q = − ∂q + Q i ; i = 1, 2
P
(a)
dt ⎜ •
⎜∂q ⎟
⎝ i ⎠
i i


Trong tr−êng hîp dao ®éng nhá:
1⎛ •2⎞
( )
•2 • •
1
T= ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟; π = c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2
2
(b)

2⎝ ⎟ 2
⎠ 2
Thay (b) vµo (a) vµ gi¶ thiÕt r»ng: C¸c lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ cã cïng tÇn sè p vµ pha
ban ®Çu δ. C¸c lùc suy réng t−¬ng øng cña chóng b»ng: QiP = Hisin(pt+δ), i = 1, 2. Khi ®ã ta
nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ hai bËc tù do:
⎧ •• ••
⎪ a 11 q 1 + a 12 q 2 + c11 q 1 + c12 q 2 = H 1 sin( pt + δ)
⎨ •• •• (2-23)
⎪a 21 q 1 + a 22 q 2 + c 21 q 1 + c 22 q 2 = H 2 sin( pt + δ)


46
2.2.2b. TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng.
NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ (2-23) ®−îc t×m d−íi d¹ng tæng NTQ cña ph−¬ng tr×nh
thuÇn nhÊt t−¬ng øng vµ mét NR cña nã. Ta cã:


⎪q 1 = C1 sin(k 1 t + β1 ) + C 2 sin( k 2 t + β 2 ) + q 1
⎨ (2-24)
⎪q 2 = μ 21C1 sin(k 1 t + β1 ) + μ 22 C 2 sin(k 2 t + β 2 ) + q 2

Trong ®ã: k1, k2 lµ c¸c tÇn sè dao ®éng chÝnh, ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh tÇn sè (2-13)
μ21, μ22 lµ c¸c hÖ sè ph©n phèi ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (2-18). B©y giê ta t×m NR cña
hÖ (2-23) x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý d−íi d¹ng:
q i = A iP sin(pt + δ); i = 1, 2 (2-25)
••
Tõ ®ã cã: q i = A iP p 2 sin( pt + δ); i = 1, 2 (2-26)
Thay (2-25), (2-26) vµo (2-23) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh AiP; i = 1, 2
⎧ (c11 − a 11 p 2 )A 1P + (c12 − a 12 p 2 )A 2 P = H 1
⎨ (2-27)
⎩(c12 − a 12 p )A 1P + (c 22 − a 22 p )A 2 P = H 2
2 2



Gi¶i (2-27) nhËn ®−îc:
⎧ H 1 (c 22 − a 22 p 2 ) − H 2 (c12 − a 12 p 2 )
⎪ A 1P =
⎪ (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2
⎨ (2-28)
⎪A = H 2 (c11 − a 11 p 2 ) − H 1 (c12 − a 12 p 2 )
⎪ 2 P (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2

Thay (2-28) vµo (2-25) ta ®−îc ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh d¹ng dao ®éng c−ìng bøc thuÇn
tóy cña hÖ.
Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:
a). Dao ®éng c−ìng bøc trong tr−êng hîp kh¶o s¸t lµ ®iÒu hoµ víi tÇn sè lµ tÇn sè cña
lùc kÝch ®éng.

b). Biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc kh«ng phô thuéc vµo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ ®−îc
x¸c ®Þnh chØ b»ng c¸c tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng) vµ c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ.
§Ó cã biÓu thøc cuèi cïng nghiÖm cña bµi to¸n, c¸c h»ng sè C1, C2, β1, β2 trong NTQ ®−îc
x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu.

2.2.2c. HiÖn t−îng céng h−ëng.
C¸c dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ trong tr−êng hîp kh¶o s¸t thùc hiÖn víi biªn ®é biÓu
thÞ theo c¸c biÓu thøc (2-28). C¸c mÉu sè cña chóng lµ ®a thøc bËc hai ®èi víi p2. MÆt kh¸c
tõ ph−¬ng tr×nh tÇn sè (2-13), ta cã thÓ thÊy: C¸c tÇn sè k12, k22 lµ nghiÖm cña ®a thøc trªn.
Do ®ã cã thÓ biÓu diÔn:

47
(c11 – a11p2)(c22 – a22p2) – (c12 – a12p2)2 = (a11a22 – a122)(p2 – k12)(p2 – k22)
C¸c biÓu thøc (2-28) trë thµnh:
H 1 (c 22 − a 22 p 2 ) − H 2 (c12 − a 12 p 2 ) ⎫
A 1P = ⎪
(a 11a 22 − a 12 )(p 2 − k 1 )(p 2 − k 2 ) ⎪
2 2 2

⎬ (2-29)
H 2 (c11 − a 11 p 2 ) − H 1 (c12 − a 12 p 2 ) ⎪
A 2P =
(a 11a 22 − a 12 )(p 2 − k 1 )(p 2 − k 2 ) ⎪
2 2 2

Víi p = k1 hoÆc p = k2 (tÇn sè lùc kÝch ®éng b»ng mét trong c¸c tÇn sè riªng cña hÖ),
c¸c biªn ®é dao ®éng c÷ng bøc theo (2-29) sÏ t¨ng v« h¹n theo thêi gian. C¸c gi¸ trÞ trªn
cña tÇn sè lùc kÝch ®éng lµ c¸c gi¸ trÞ nguy hiÓm (tíi h¹n). Ta cã hiÖn t−îng céng h−ëng.
Khi x¶y ra céng h−ëng, biÓu thøc (2-25) sÏ mÊt ý nghÜa. §Ó biÓu diÔn dao ®éng c−ìng
bøc thuÇn tuý (NR) trong tr−êng hîp nµy, ta thö viÕt ph−¬ng tr×nh ë c¸c to¹ ®é chÝnh.
BiÓu thÞ q1, q2 qua c¸c to¹ ®é chÝnh θ1, θ 2 ë d¹ng sau:

q1 = θ1 + θ2; q2 = μ21θ1 + μ22θ2 (2-30)
C¸c lùc suy réng cña c¸c lùc kÝch ®éng ngoµi theo c¸c to¹ ®é chÝnh ®−îc x¸c ®Þnh
trªn c¬ së biÓu thøc tÝnh c«ng ¶o vµ cã:
⎧ Q1* = Q1 + μ 21Q P = (H 1 + μ 21 H 2 ) sin( pt + δ)
P P

⎨ P
2
(2-31)
⎩Q 2* = Q1 + μ 22 Q 2 = (H 1 + μ 22 H 2 ) sin( pt + δ)
P P



Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng viÕt cho to¹ ®é chÝnh cã d¹ng:
⎧•• H 1 + μ 21 H 2
⎪θ1 + k 1 θ1 = sin(pt + δ)
2

⎪ a1
⎨•• (2-32)
⎪θ 2 + k 2 θ = H 1 + μ 22 H 2 sin( pt + δ)


2 2
a2

HÖ (2-32) cã thÓ tÝch ph©n ®éc lËp. Ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau ®©y:
a). Khi p = k1: Ta t×m NR øng víi dao ®éng c−ìng bøc thuÇn tuý ë d¹ng:
θ1 = C1tcos(pt+δ); θ2 = C2sin(pt+δ) (2-33)
Thay (2-33) vµo (2-32) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh C1, C2 vµ nhËn ®−îc:
H 1 + μ 21 H 2 H +μ H
C1 = − ; C 2 = 1 2 22 2 2
2k 1 a 1 a 2 (k 2 − p )

⎧ H1 + μ 21H 2 H + μ 21H 2 π
⎪θ1 = − 2k a t cos(pt + δ) = 1 t sin(pt + δ − )
⎪ 1 1 2pa1 2
Do ®ã, ta cã: ⎨ (2-34)
⎪θ = H1 + μ 22 H 2 sin(pt + δ)
⎪ 2 a 2 (k 2 − p 2 )
⎩ 2




48
ChuyÓn vÒ to¹ ®é cò q1, q2 ta ®−îc:
H 1 + μ 21 H 2 ⎛ π⎞ H +μ H
q1 = t sin⎜ pt + δ − ⎟ + 1 2 22 2 2 sin(pt + δ)
2pa 1 ⎝ 2 ⎠ a 2 (k 2 − p )
(2-35)
μ 21 (H1 + μ 21 H 2 ) ⎛ π ⎞ μ (H + μ H )
q2 = t sin⎜ pt + δ − ⎟ + 22 1 2 222 2 sin(pt + δ)
2pa 1 ⎝ 2⎠ a 2 (k 2 − p )
b). Khi p = k2, mét c¸ch t−¬ng tù, ta t×m ®−îc:
⎧ H 1 + μ 21 H 2
⎪θ1 = a (k 2 − p 2 ) sin(pt + δ)
⎪ 1 1
⎨ (2-36)
⎪θ = H 1 + μ 22 H 2 t sin( pt + δ − π )
⎪ 2
⎩ 2pa 2 2

Do ®ã, ta cã:
H 1 + μ 21 H 2 H + μ 22 H 2 ⎛ π⎞
q1 = sin( pt + δ) + 1 t sin⎜ pt + δ − ⎟
a1 (k1 − p )
2 2
2pa 2 ⎝ 2⎠
(2-37)
μ 21 (H1 + μ 21 H 2 ) μ 22 (H1 + μ 22 H 2 ) ⎛ π⎞
q2 = sin( pt + δ) + t sin⎜ pt + δ − ⎟
a1 (k1 − p 2 )
2
2pa 2 ⎝ 2⎠
Nh− vËy, hÖ hai bËc tù do chÞu t¸c dông cña c¸c lùc ®iÒu hoµ cïng mét tÇn sè p vµ
cïng mét pha δ, cã thÓ x¶y ra hai tr¹ng th¸i céng h−ëng (v× tÇn sè lùc kÝch ®éng cã thÓ b»ng
mét trong hai tÇn sè riªng).
Thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tr¹ng th¸i céng h−ëng x¶y ra ®èi víi hÖ nhiÒu bËc tù do (kiÓm
tra hÖ vÒ céng h−ëng) lµ mét trong c¸c bµi to¸n quan träng nhÊt cña tÝnh to¸n kü thuËt vÒ
dao ®éng.

2.2.3. Mét vµi bµi to¸n øng dông.
2.2.3a. Bé t¾t chÊn ®éng lùc kh«ng tÝnh ®Õn ma s¸t.
a) NhËn xÐt:
NÕu mét trong sè c¸c lùc kÝch ®éng triÖt tiªu, ch¼ng h¹n:
Q2P = 0, cßn Q1P = H1sin (pt+δ): C¸c biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc theo (2-29) trë thµnh:
⎧ H1 (c 22 − a 22 p 2 )
⎪ A 1p =
⎪ (c11 − a 11 p 2 )(c 22 − a 22 p 2 ) − (c12 − a 12 p 2 ) 2
⎨ (2-38)
⎪A = H 1 (c12 − a 12 p 2 )
⎪ 2 p (c − a p 2 )(c − a p 2 ) − (c − a p 2 ) 2
⎩ 11 11 22 22 12 12


c 22
NÕu chän c¸c tham sè cña hÖ sao cho: c22 – a22p2 = 0 tøc lµ p 2 = th×:
a 22

49
H1
A1P= 0; A 2 P = (2-39)
c12 − a 12 p 2
c 22
Nh− vËy, khi p 2 = th× dao ®éng c−ìng bøc øng víi to¹ ®é suy réng thø nhÊt ®−îc
a 22
hoµn toµn dËp t¾t. HiÖn t−îng nµy gäi lµ sù t¾t chÊn ®éng lùc cña dao ®éng mµ nã kh«ng cã
®−îc trong c¸c hÖ cã mét bËc tù do.
b). Nguyªn lý t¹o ra bé t¾t chÊn ®éng lùc kh«ng cã ma s¸t.
Gi¶ sö ta cã m« h×nh dao ®éng nh− h×nh vÏ (H×nh 2-3a), chÞu t¸c dông cña lùc kÝch
®éng Q(t). §Ó lµm t¾t dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ nµy, ta ®Æt mét khèi l−îng phô m2 trªn lß
xo ®µn håi cã ®é cøng C2 (H×nh 2-3b). Khi ®ã nguyªn lý c¬ b¶n t¹o ra bé t¾t chÊn ®éng lùc
®−îc m« t¶ d−íi d¹ng sau:
q2
m2
Q(t) C2
q1
m1 m1
Q(t)

C1 C1



a) b
H×nh 2-3

Hai khèi l−îng m1, m2 ®Æt trªn c¸c lß xo kh«ng khèi l−îng cã ®é cøng t−¬ng øng C1,
C2. Cho lùc kÝch ®éng t¸c dông lªn khèi l−îng m1 mµ lùc suy réng cña nã biÓu thÞ b»ng:
Q1P = H1sin (pt + δ)
Cßn trªn khèi l−îng m2 kh«ng cã lùc kÝch ®éng, tøc lµ Q2P = 0. HÖ m« t¶ sÏ cã hai bËc
tù do víi c¸c to¹ ®é suy réng lµ q1, q2 ta cã:

1⎛ • 2 ⎞
[ ]
• 2
1
⎜ m 1 q 1 + m 2 q 2 ⎟; π = c 1 q 1 + c 2 (q 2 − q 1 ) 2
T= ⎜ 2

2⎝ ⎟
⎠ 2

Vµ: a11= m1; a12 = 0; a22 = m2
c11 = C1+ C2; c12 = – C2; c22 = C2
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng cã d¹ng:
⎧ ••
⎪m 1 q 1 + (C 1 + C 2 )q 1 − C 2 q 2 = H 1 sin(pt + δ)
⎨ ••
(2-40)
⎪m q − C q + C q = 0
⎩ 2 2 2 1 2 2



50
BiÓu thÞ q i = A iP sin(pt + δ); i = 1, 2 ; cßn AiP x¸c ®Þnh theo (2-38). NÕu chän tham sè
c 22 C 2
cña hÖ ®Ó cã: p 2 = = th×:
a 22 m 2

⎧q 1 = 0

⎨ H1 H (2-41)
⎪q 2 = sin(pt + δ) = − 1 sin(pt + δ)
⎩ c 12 − a 12 p 2 C2

Tøc lµ dao ®éng c−ìng bøc thø nhÊt cña t¶i träng m1 ®−îc dËp t¾t.
ThËt vËy, thay q 2 võa t×m vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ (2-40) ta ®−îc:
•• C1 + C 2
q1 + q1 = 0 (2-42)
m1
Ph−¬ng tr×nh (2-42) m« t¶ dao ®éng tù do cña khèi l−îng m1 víi tÇn sè:

C1 + C 2
k1 =
m1

Thùc tÕ, ®Ó lo¹i trõ hiÖn t−îng xuÊt hiÖn biªn ®é lín ®¸ng kÓ cña dao ®éng khi thay
®æi tÇn sè lùc kÝch ®éng, th−êng ng−êi ta ®−a vµo bé gi¶m chÊn.
2.2.3b. Dao ®éng cña ¤-t«.
Ta cã thÓ kh¶o s¸t dao ®éng cña « t« nh− mét hÖ cña c¸c vËt r¾n chÞu liªn kÕt ®µn håi
(H×nh 2-4). ë s¬ ®å nµy vËt 1 lµ thïng xe, c¸c vËt 2 ÷ 5 lµ c¸c b¸nh xe; khèi l−îng cña
chóng coi nh− tËp trung. M« h×nh nh− thÕ còng thuËn tiÖn khi kh¶o s¸t dao ®éng cña toa
tÇu, ®Çu m¸y xe löa vµ c¸c ph−¬ng tiÖn vËn t¶i kh¸c thuéc lo¹i nµy.
ChuyÓn ®éng cña hÖ nh− trªn trong qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng b¶y to¹
®é: DÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña träng t©m thïng xe, c¸c dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña träng
t©m cña c¸c b¸nh xe, c¸c dÞch chuyÓn quay cña thïng xe ®èi víi trôc däc vµ trôc ngang. HÖ
nh− thÕ cã b¶y bËc tù do.

y l
b
5 a
4 1
yC C y2
y1 ϕ VÞ trÝ c©n
b»ng tÜnh
h x
2 3
L




H×nh 2-4 H×nh 2-5

51
Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n s¬ bé, ta cã thÓ x©y dùng m« h×nh tÝnh dao ®éng
cña ¤-t« nh− hÖ cã hai bËc tù do. Trong tr−êng hîp nµy ta gi¶ sö r»ng c¸c lèp xe kh«ng biÕn
d¹ng vµ kh¶o s¸t dao ®éng cña ¤-t« trong mÆt ph¼ng däc th¼ng ®øng. HÖ kh¶o s¸t trong
tr−êng hîp nµy cã hai bËc tù do. To¹ ®é suy réng ®−îc chän: DÞch chuyÓn th¼ng ®øng yC
cña träng t©m thïng xe vµ dÞch chuyÓn quay ϕ cña nã quanh trôc ngang qua träng t©m
th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ (H×nh 2-5).
B©y giê ta xÐt ¤-t« ®ang ch¹y trªn ®−êng kh«ng b»ng ph¼ng víi vËn tèc kh«ng ®æi V.
Quy luËt nhÊp nh« cña mÆt ®−êng ®−îc cho bëi hµm tuÇn hoµn sau:
h⎛ 2πx* ⎞
y* = ⎜1 − cos ⎟
2⎝ L ⎠
Ký hiÖu: m lµ khèi l−îng cña ¤-t«; JC lµ m«men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc ®i qua
khèi t©m C vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ; C1, C2 lµ ®é cøng lß xo (øng víi gi¶m xãc
b¸nh tr−íc vµ b¸nh sau), l lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai b¸nh xe l = a+b.
§éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña hÖ ®−îc tÝnh theo biÓu thøc:
2 2
1 • 1 •
1 1
T = m y C + J C ϕ ; π = C 1 Δy 1 + C 2 Δy 2
2
2
2 2 2 2
ë ®©y: Δy1 vµ Δy2 lµ c¸c biÕn d¹ng cña lß xo, ta cã:
Δy1 = yC - y1* - aϕ; Δy2 = yC - y2* + bϕ.
2πV
§Æt Ω = , to¹ ®é c¸c ®iÓm tiÕp xóc gi÷a lß xo vµ mÆt ®−êng b»ng:
L
⎧x1* = Vt

⎨ h⎛ 2πx1* ⎞ h
⎪y1* = 2 ⎜1 − cos L ⎟ = 2 (1 − cos Ωt )
⎩ ⎝ ⎠
⎧x 2* = Vt + l

⎨ h ⎛ cos 2πx 2* ⎞ h ⎡ ⎛ 2πl ⎞⎤
⎪ y 2* = 2 ⎜1 − ⎟ = ⎢1 − cos⎜ Ωt + ⎟
L ⎠⎥
⎩ ⎝ L ⎠ 2⎣ ⎝ ⎦
Thay c¸c gi¸ trÞ T vµ π vµo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II:
⎛ ⎞
d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π
dt ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, 2; q1 = yC; q2 = ϕ.
⎜∂q ⎟
⎝ i ⎠
i i


Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña ¤-t«:
⎧ ••
⎪m y C + c11 y C + c12 ϕ = 2 (c11 − c13 cos Ωt + c14 s in Ωt )
h
⎨ •• (2-43)
⎪J C ϕ+ c 21 y C + c 22 ϕ = (c 21 − c 23 cos Ωt + c 24 s in Ωt )
h
⎩ 2

52
Trong ®ã: c11 = C1+ C2 ; c21 = c12; c12 = C2b – C1a; c22 = C2(a2+b2)
⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞
c13 = C1 + C2cos ⎜ ⎟ ; c23 = – C1a + C2bcos ⎜ ⎟ (2-44)
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
⎛ 2πl ⎞ ⎛ 2πl ⎞
c14 = C2sin ⎜ ⎟ ; c24 = C2bsin ⎜ ⎟
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
Ph−¬ng tr×nh tÇn sè cã d¹ng:
c 22 m + c11 J C c11c 22 − c 212
k −k
4 2
+ =0 (2-45)
mJ C mJ C

c 22 m + c11 J C ± (c 22 m + c11 J C ) 2 − 4mJ C (c11c 22 − c12 )
2

Tõ ®ã: k 2
1, 2 = (2-46)
2mJ C
NR cña hÖ (2-43) t×m ë d¹ng:
⎧ y C = A 0 + A 1 cos Ωt + A 2 sin Ωt

⎨ (2-47)
⎪ϕ = B 0 + B1 cos Ωt + B 2 sin Ωt

Thay (2-47) vµo (2-43) vµ thùc hiÖn ®ång nhÊt ta nhËn ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i sè
tuyÕn tÝnh ®èi víi A0, A1, A2, B0, B1, B2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta cã:
⎧ h
⎪A 0 = 2

⎪ h ⎛ c c − c13 (c 22 − J c Ω 2 ) ⎞
⎪ A 1 = ⎜ 23 12 ⎟
2⎜⎝ Δ ⎟


⎪ h ⎛ − c c + c14 (c 22 − J c Ω 2 ) ⎞
⎪A 2 = ⎜ 24 12 ⎟

⎨ 2⎜ ⎝ Δ ⎟
⎠ (2-48)
⎪B 0 = 0

⎪ h ⎛ c13 c12 − c 23 (c11 − mΩ 2 ) ⎞
⎪B 1 = ⎜ ⎟
⎪ 2⎜⎝ Δ ⎟

⎪ ⎛ ⎞
⎪B 1 = h ⎜ − c14 c12 + c 24 (c11 − mΩ ) ⎟
2



⎩ 2⎜⎝ Δ ⎟

Víi: Δ= (c11 – m Ω2)(c22 – JCΩ2) – c122.
Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc cña ¤-t« cã d¹ng:


h⎧ 1
[ 2
] 1
[ 2
]⎫
⎪ y C = 2 ⎨1 + Δ c 23 c12 − c13 (c 22 − J C Ω ) cos Ωt + Δ − c 24 c12 + c14 (c 22 − J C Ω ) sin Ωt ⎬
⎩ ⎭


⎩ 2Δ
{[ 13 12 23 11 ] [
⎪ϕ = h c c − c (c − mΩ 2 ) cos Ωt + − c c + c (c − mΩ 2 ) sin Ωt
⎪ 14 12 24 11 ] }
(2-49)
53
HiÖn t−îng céng h−ëng x¶y ra khi Ω = ki (i = 1, 2)
Lk i
Ta cã vËn tèc giíi h¹n (Vgh) cña ¤-t« lµ: Vigh = (i = 1, 2) (2-50)

ThÝ dô 2-2:
Mãng m¸y cã träng l−îng P1 = 1000 KN ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi vµ dao ®éng theo
ph−¬ng th¼ng ®øng d−íi t¸c dông cña lùc kÝch ®éng biÕn ®æi theo quy luËt: F = 100sinωt (KN).
§Ó khö c¸c dao ®éng céng h−ëng xuÊt hiÖn khi vËn tèc gèc cña trôc m¸y ω = 100 rad/s, ng−êi
ta ®Æt trªn nÒn mãng mét bé gi¶m rung cã d¹ng mét bÖ nÆng ®Æt trªn c¸c lß xo ®µn håi
(H×nh 2-6a). H·y x¸c ®Þnh träng l−îng P2 cña hÖ vµ ®é cøng tæng céng cña c¸c lß xo trong
bé gi¶m rung sao cho biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña mãng triÖt tiªu khi trôc m¸y quay víi
vËn tèc gãc cho ë trªn, cßn biªn ®é cña bé gi¶m rung kh«ng v−ît qu¸ A2 = 2 mm.
Bµi gi¶i:

P2
P2 q2
C

P1
P1 F(t) q1

C


a) b
H×nh 2-6

M« h×nh tÝnh to¸n dao ®éng cña hÖ chØ ra trªn h×nh vÏ (H×nh 2-6b). T−¬ng tù nh− c¸ch
thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh (2-40), ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ lµ:
⎧ ••
⎪m1 q 1 + (C1 − C 2 )q 1 + C 2 q 2 = −F0 sin ωt , F0 = 100KN
⎨ ••
⎪m 2 q 2 + C 2 q 1 − C 2 q 2 = 0

Theo ®iÒu kiÖn bµi ra, khi thiÕt kÕ bé gi¶m rung ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn q1 = 0, nªn ph−¬ng
tr×nh trªn trë thµnh:
⎧C 2 q 2 = −F0 sin ωt

⎨ ••
⎪m2 q 2 − C2q2 = 0

P2 • •
Tõ ®ã suy ra: q 2 = C 2 q 2 = − F0 sin ωt
g
Do bé gi¶m rung lµm viÖc víi biªn ®é A2 = 2 mm vµ tÇn sè ω = 100 rad/s, nªn nghiÖm
q2 ta lÊy d¹ng:

54
••
q2 = A2sinωt ⇒ q 2 = −ω 2 A 2 sinωt
Nh− vËy, ta cã:
P2 2
ω A 2 sin ωt = −F0 sin ωt
g
Träng l−îng P2 cña bé gi¶m rung ph¶i b»ng:
Fg 100.981
P2 = 0 2 = = 49KN
A 2ω 0,2.10 4
C2
Khi xuÊt hiÖn céng h−ëng ω = k = nªn ®é cøng cña lß xo ®Æt trªn bé gi¶m rung
m2
ph¶i cã:
P2 ω 2 F g ω2 F 100
C2 = = 0 2 = 0 = = 500KN / cm
g A 2ω g A 2 0,2


§.2.3. Dao ®éng xo¾n cña trôc mang c¸c ®Üa.

2.3.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n. Ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
Kh¶o s¸t dao ®éng xo¾n cña trôc ®µn håi mang c¸c ®Üa r¾n tuyÖt ®èi coi nh− c¸c khèi
l−îng tËp trung (H×nh 2-7a). Ký hiÖu J1, J2, ..., Jn lµ c¸c m«men qu¸n tÝnh cña c¸c ®Üa ®èi víi
trôc; C1, C2, ..., Cn-1 lµ c¸c hÖ sè cøng khi xo¾n cña c¸c ®o¹n trôc ®µn håi.
Chän to¹ ®é suy réng lµ c¸c gãc quay cña c¸c ®Üa quanh trôc: ϕ1, ϕ2, ..., ϕn. C¸c m«men
xo¾n t¸c dông ë c¸c tiÕt diÖn trôc phô thuéc vµo gãc quay t−¬ng ®èi gi÷a hai ®Üa kÒ nhau vµ
®−îc x¸c ®Þnh t−¬ng øng b»ng (H×nh 2-7b):
C1(ϕ2 - ϕ1), C2(ϕ3 - ϕ2), ..., Cn - 1 (ϕn - ϕn- 1)

Jn-1
J2
J1 J3 Jn
C1 C2 Cn-1



H×nh 2-7a


C1( ϕ2 − ϕ1) C2( ϕ3 − ϕ2 ) Cn-1(ϕn − ϕn-1)




H×nh 2-7b

55
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña hÖ ®−îc thiÕt lËp trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p trùc
tiÕp cã d¹ng:
⎧ ••

⎪C1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 1 ϕ1
⎪ ••
⎪C 2 (ϕ 3 − ϕ1 ) − C1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 2 ϕ 2
⎪ ••
⎪C 3 (ϕ 4 − ϕ 3 ) − C 2 (ϕ 3 − ϕ 2 ) = J 3 ϕ 3
⎨ (2-51)
⎪........................................................
⎪ ••
⎪C n −1 (ϕ n − ϕ n −1 ) − C n − 2 (ϕ n −1 − ϕ n − 2 ) = J n −1 ϕ n −1
⎪ ••
⎪− C (ϕ − ϕ ) = J ϕ
⎩ n −1 n n −1 n n

Khi trôc vµ ®Üa quay ®Òu nh− mét vËt r¾n tuyÖt ®èi, ph−¬ng tr×nh (2-51) tho¶ m·n nghiÖm:
ϕ1 = ϕ2 = .... = ϕn = ϕ0 + ωt (2-52)
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2-51) t×m d−íi d¹ng:
ϕi = Aisin ( kt +α); i = 1, n (2-53)
Thay (2-53) vµo (2-51) ta sÏ nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt
x¸c ®Þnh c¸c biªn ®é A1, A2, ... An.
⎧C 1 (A 2 − A 1 ) = − J 1 k 2 A 1

⎪C 2 (A 3 − A 2 ) − C 1 (A 2 − A 1 ) = − J 3 k A 2
2


⎪C 3 (A 4 − A 3 ) − C 2 (A 3 − A 2 ) = − J 3 k A 3
2

⎨ (2-54)
⎪..........................................................
⎪C (A − A ) − C (A − A ) = − J k 2 A
⎪ n −1 n n −1 n −2 n −1 n−2 n −1 n −1

⎪− C n −1 (A n − A n −1 ) = − J n k A n

2



HÖ (2-54) chøa (n+1) Èn (n Èn biªn ®é vµ 1 Èn tÇn sè riªng k). T−¬ng tù nh− c¸c phÇn
trªn, ta bæ xung ph−¬ng tr×nh ®Ó gi¶i bµi to¸n b»ng ph−¬ng tr×nh tÇn sè:
Do hÖ (2-54) lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt nªn ®Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm
th−êng cña c¸c biªn ®é th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng kh«ng.
XÐt hÖ cã ba ®Üa, ®iÒu kiÖn trªn cã d¹ng:
− C1 + J1 k 2 C1 0
C1 − C 2 − C1 + J 2 k 2
C2 =0
0 C2 − C 2 + J3k 2



Hay ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp nµy lµ:
⎡J J J ⎛ J + J3 J + J3 ⎞ 2 ⎤
k2 ⎢ 1 2 3 k4 −⎜ 2
⎜ C J1 + 2 J 3 ⎟k + J 1 + J 2 + J 3 ⎥ = 0
⎟ (2-55)
⎣ C 1C 2 ⎝ 1 C2 ⎠ ⎦

56
NTQ cÇn viÕt d−íi d¹ng:
ϕi = ϕ0 +ωt +Ai1sin(k1t + α1) + Ai2sin(k2t+α2)+...+Ai,n-1sin(kn-1t + αn -1); i = 1, n (2-56)
Trong (2-56) cßn chøa c¸c h»ng sè ch−a biÕt. §Ó x¸c ®Þnh chóng, t−¬ng tù nh− tr−íc
®©y cÇn dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu t¹i t = 0.
2.3.2. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng xo¾n c−ìng bøc trôc mang c¸c ®Üa.
Dao ®éng xo¾n c−ìng bøc cña trôc lµ do c¸c m«men quay biÕn ®æi t¸c dông lªn nã.
C¸c m«men nµy cã ®Æc tÝnh chu kú, nh−: ¸p lùc khÝ trong c¸c xilanh, c¸c lùc qu¸n tÝnh cña
c¸c phÇn chuyÓn ®éng.
Ta kh¶o s¸t tr−êng hîp khi c¸c m«men biÕn ®æi ®· cho t¸c dông lªn c¸c ®Üa cña hÖ
t−¬ng ®−¬ng (H×nh 2-7) lµ M1(t), M2(t),... Mn(t).
NÕu bá qua c¸c lùc c¶n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng c−ìng bøc cña trôc cã d¹ng:
⎧ ••

⎪ M 1 (t ) + C 1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 1 ϕ1
⎪ ••
⎪M 2 (t ) + C 2 (ϕ 3 − ϕ1 ) − C 1 (ϕ 2 − ϕ1 ) = J 2 ϕ 2
⎨ (2-57)
⎪............................................................
⎪ ••
⎪M n (t ) − C n −1 (ϕ n − ϕ n −1 ) = J n ϕ n

ThÝ dô 2.3:
Trªn h×nh trô tiÕt diÖn kh«ng ®æi dµi 2L = 50cm cã mét ®Çu bÞ ngµm ®−îc g¾n hai ®Üa
nh− nhau, cã mét m«men qu¸n tÝnh J1 = J2 = J = 50 kgcm2. Mét trong hai ®Üa ®−îc g¾n ë
gi÷a trôc, cßn ®Üa kia g¾n ë ®Çu tù do (H×nh 2-8 ). M«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn
trôc Jρ = 602cm4. M«®un tr−ît cña vËt liÖu lµm trôc G = 8,3.10 6N/cm2. Bá qua khèi l−îng trôc.
a). x¸c ®Þnh tÇn sè k1, k2 vµ dao ®éng xo¾n tù do c¸c ®Üa.
b). x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng xo¾n c−ìng bøc cña c¸c ®Üa khi t¸c dông lªn ®Üa gi÷a
m«men kÝch ®éng M = 200sin(400t) (Nm).


J1 ϕ 1 J2 ϕ 2
C1 C2


L L


H×nh 2-8

Bµi gi¶i:
a). HÖ cã hai bËc tù do. Chän to¹ ®é suy réng lµ c¸c gãc quay c¸c ®Üa ϕ1, ϕ2. HÖ sè
cøng khi xo¾n cña c¸c ®o¹n trôc ®−îc tÝnh theo c«ng thøc ®· biÕt (SBVL).

57
8,3.10 6 .602
GJ ρ
C1 = C 2 = C = = = 2.10 6 Nm
L 25
2
• •2
1
§éng n¨ng cña hÖ: T = ( J 1 ϕ1 + J 2 ϕ 2 ) ⇒ a 11 = J 1 ; a 12 = 0; a 22 = J 2
2

ThÕ n¨ng cña hÖ: π =
1
2
[ ]
c1ϕ1 + c 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 ⇒ c11 = C1 + C 2 ; c12 = −C 2 ; c 22 = C 2
2



Tõ ®ã cã ph−¬ng tr×nh tÇn sè: (C1 + C2 – J1k2)(C2 – J2k2) – C22 = 0
Thay C1 = C2 = C; J1 = J2 = J, ta cã:
C 2 C2
k4 −3 k − 2 =0
J J
⎧ (3 − 5 )C C
⎪k 1 = = 0,62 = 124rad / s
⎪ 2J J
Gi¶i ra, ta ®−îc: ⎨
⎪ (3 + 5 )C C
⎪k 2 = = 1,62 = 324rad / s
⎩ 2J J
C¸c hÖ sè ph©n phèi b»ng:
⎧ 3− 5 C
⎪ 2C − J
⎪μ 21 = − 2 J = 2 − 3 − 5 = 1 + 5 = 1,62
⎪ −C 2 2

⎪ 3+ 5 C
⎪ 2C − J
2 J = 2 − 3 + 5 = 1 − 5 = −0,62
⎪μ 22 = −
⎩ −C 2 2

Khi biÕt μ21 vµ μ22 ta biÓu thÞ ®−îc c¸c dao ®éng chÝnh. Trªn h×nh vÏ (H×nh 2-9) m« t¶
dao ®éng chÝnh khi cho biªn ®é dao ®éng ®Üa thø nhÊt b»ng ®¬n vÞ.
a). §Ó x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña c¸c ®Üa cÇn tÝnh tr−íc hÕt lùc suy
réng cña lùc kÝch ®éng.
A11 = 1 A21 = 1,62

A12 = 1

A22 = 0,62
A1P = 6.10-5 A2P = 2.10-5
6,25cm


H×nh 2-9

58
Ta cã: Q1 = M; Q2 = 0 => H1 = M0 = 200; H2 = 0
Khi ®ã c¸c biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc b×nh æn, theo c«ng thøc (2-29) ta ®−îc:
M 0 (C − Jp 2 )
A 1P = = −6.10 −5 ; p = 400
(2C − Jp )(C − Jp ) − C
2 2 2


M 0C
A 2P = = 2.10 −5
(2C − Jp )(C − Jp 2 ) − C 2
2


Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc cña ®Üa cã d¹ng:
ϕ1 = A1Psinpt = -6.10-5sin 400t
ϕ2 = A2Psinpt = 2.10-5sin 400t

§ 2.4. Dao ®éng uèn cña dÇm cã c¸c khèi l−îng tËp trung.

2.4.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n - Ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
Trong tr−êng hîp nµy, ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng ta dïng ph−¬ng
ph¸p lùc.
XÐt dao ®éng tù do mang c¸c khèi l−îng tËp trung: m1, m2, ..., mn. DÞch chuyÓn cña
chóng t−¬ng øng khi dao ®éng y1, y2, ..., yn. §Æt c¸c lùc qu¸n tÝnh lªn c¸c khèi l−îng kh¶o
•• •• ••
s¸t: − m1 y 1 , − m 2 y 2 , ..., − m n y n . Theo (25) trong ch−¬ng më ®Çu, ta cã:
n ••
y i = −∑ m k y k δ ik ; i = 1, n (2-58)
k =1

HÖ (2-58 ) viÕt cô thÓ cã d¹ng:
⎧ •• •• ••

⎪ y 1 = −m 1 y 1 δ11 − m 2 y 2 δ12 − .... − m n y n δ1n
⎪ •• •• ••
⎪y 2 = −m 1 y 1 δ 21 − m 2 y 2 δ 22 − ... − m n y n δ 2 n
⎨ (2-58a)
⎪..........................................................
⎪ •• •• ••
⎪y n = −m 1 y 1 δ n1 − m 2 y 2 δ n 2 − ... − m n y n δ nn

••
HÖ cã mét bËc tù do: y1 = − m 1 y 1 δ11 .
Ph−¬ng tr×nh nµy t−¬ng ®−¬ng víi:
••
m1 y1 + Cy1 = 0 ; C = 1/ δ11.
NghiÖm cña hÖ (2-58a) t×m ®−îc ë d¹ng:
yi = Aisin ( kt +α) (2-59)
Thay (2-59) vµo (2-58a) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ®èi
víi c¸c biªn ®é Ai (i = 1, n ).

59
⎧A 1 (m1δ11 k 2 − 1) + A 2 m 2 δ12 k 2 + ... + A n m n δ1n k 2 = 0

⎪A 1 m1δ 21 k + A 2 (m 2 δ 22 k − 1) + ... + A n m n δ 2 n k = 0
2 2 2

⎨ (2-60)
⎪..................................................................................
⎪A m δ k 2 + A m δ k 2 + ... + A (m δ k 2 − 1) = 0
⎩ 1 1 n1 2 2 n2 n n nn


Cho ®Þnh thøc cña hÖ b»ng kh«ng, ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh tÇn sè bËc n ®èi víi k2.
1 – b1k2 + b2k4 – b3k6 + ... + (–1)n bnk2n = 0 (2-61)
Ta ký hiÖu n nghiÖm thùc d−¬ng k2 cña (2-61) theo thø tù t¨ng dÇn: k12, k22,... k2n.
NTQ cña (2-58a) lµ:
n
y i = ∑ A Þ sin( k j t + α j ) ; i = 1, n (2-62)
J =1

2.4.2. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng uèn c−ìng bøc cña dÇm cã c¸c khèi l−îng tËp
trung.
Gi¶ sö lùc kÝch ®éng t¸c dông lªn mçi khèi l−îng tËp trung lµ ®iÒu hoµ:
P(t) = Pksin pt (2-63)
ë ®©y: Pk lµ c¸c biªn ®é cña lùc, p lµ tÇn sè cña nã. Ph−¬ng tr×nh dao ®éng uèn c−ìng
bøc cña dÇm nhËn ®−îc b»ng c¸ch céng bæ xung vµo (2-58a) sè h¹ng t−¬ng øng víi d¹ng
lùc kÝch ®éng. Ta cã:
⎧ •• •• ••

⎪ y 1 = − m1 y 1 δ11 − m 2 y 2 δ12 − ... − m n y n δ1n + Pk δ1k sin pt
⎪ •• •• ••
⎪y 2 = − m1 y 1 δ 21 − m 2 y 2 δ 22 − ... − m n y n δ 2 n + Pk δ 2 k sin pt
⎨ (2-64)
⎪.........................................................................................
⎪ •• •• ••
⎪y n = −m1 y 1 δ n1 − m 2 y 2 δ n 2 − ... − m n y n δ nn + Pk δ nk sin pt


PhÇn dõng cña nghiÖm cã d¹ng: yi = AiPsin pt (i = 1, n ) (2-65)

Thay (2-65) vµo (2-64) ta nhËn ®−îc hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh c¸c biªn ®é:

⎧(1 − m1δ11 p 2 )A 1P − m 2 δ12 A 2 P − ... − m n δ1n p 2 A nP = Pk δ1k

⎪− m 1δ 21 p A 1P + (1 − m 2 δ 22 P )A 2 P − ... − m n δ 2 n P A nP = Pk δ 2 k
2 2 2

⎨ (2-66)
⎪...............................................................................................
⎪− m δ P 2 A − m δ P 2 A + ... + (1 − m δ p 2 )A = P δ
⎩ 1 n1 1P 2 n2 2P n nn nP k nk



ThÝ dô 2-4:
X¸c ®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng vµ m«men uèn lín nhÊt ë ngµm ®èi víi hÖ chØ ra trªn
h×nh vÏ (H×nh 2-10a).

60

T¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t¶i träng m cã vËn tèc th¼ng ®øng x 2 (0) = V0 vµ kh«ng cã dÞch
chuyÓn ban ®Çu. Bá qua khèi l−îng cña thanh. §é cøng c¶ hai phÇn thanh b»ng EJ theo
chiÒu dµi.
Bµi gi¶i:

L x1 L P1 =1 2/3L

x2 1.L P2 =1
M1 M2
L L
2/3L


1.L 1.L

H×nh 2-10

Gäi dÞch chuyÓn cña t¶i träng theo c¸c h−íng lµ x1, x2 ta cã theo (2-58a).
⎧ •• ••
⎪ x 1 = − m x 1 δ11 − m 2 x 2 δ12
⎨ •• ••
⎪x 2 = − m x 1 δ 21 − m 2 x 2 δ 22

=> a11 = mδ11; a12 = mδ12; a22 = mδ22; c11 = 1; c12 = 0; c22 = 1.
NÕu lÊy nghiÖm riªng: xi = Aisin (kt +α); i = 1, 2. Sau khi thay vµo ph−¬ng tr×nh ta
nhËn ®−îc:
⎧x 1 = mk 2 x 1δ11 + mk 2 x 2 δ12


2



⎪x 2 = mk 2 x 1δ 21 + mk 2 x 2 δ 22

§Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng, ta x©y dùng c¸c biÓu ®å m«men uèn M1, M2 øng
víi c¸c lùc ®¬n vÞ P1 = 1, P2 = 1 t¸c dông theo c¸c h−íng x1, x2 (H×nh 2-10b). ¸p dông
c«ng thøc nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin, ta cã:
1 ⎛ 1 2 2 ⎞ L3
δ11 = ⎜ .L . .L ⎟ = ;
EJ ⎝ 2 3 ⎠ 3EJ
1 ⎛ 1 2 ⎞ L3
δ12 = δ 21 = ⎜ .L .L ⎟ = ;
EJ ⎝ 2 ⎠ 2EJ
1 ⎛1 2 2 ⎞ 4L
3
δ 22 = ⎜ .L . .L + L .L ⎟ =
2
;
EJ ⎝ 2 3 ⎠ 3EJ

⎧ Zx = 2 x 1 + 3x 2 6EJ
Thay δik vµo ph−¬ng tr×nh: ⎨ 1 ; Z=
⎩Zx 2 = 3x 1 + 8x 2 mL3 k 2

61
2−Z 3
Ph−¬ng tr×nh tÇn sè: = 0 ⇒ Z1 = 9,242; Z 2 = 0,7574
3 8−Z
Do ®ã c¸c tÇn sè b»ng:
6EJ 6EJ EJ
Z1 = = 9,242 ⇒ k 1 = = 0,807
mL3 k 1
2 3
mL Z 1 mL3

6EJ 6EJ EJ
Z2 = = 0,7574 ⇒ k 2 = = 2,82
mL3 k 2
2
3
mL Z 2 mL3

mL3 6EJ
1− . 3
c − a 11 k 1 2
3EJ mL .9,242
C¸c hÖ sè ph©n phèi: μ 21 = − 11 = = 2,4140
c12 − a 12 k 1
2
mL3 6EJ
− .
2EJ mL3 9,242

mL3 6EJ
1− .
c −a k 2 3
3EJ mL .0,7574
μ 22 = − 11 11 2 = − = 0,4142
c 12 − a 12 k 2
2
mL3 6EJ
− .
2EJ mL3 0,7574
NTQ cña bµi to¸n viÕt ë d¹ng:
x1 = A1sin(k1t + α1) + A2sin(k2t + α2)

x2 = μ21A1sin(k1t + α1) + μ22A2sin (k2t + α2)

=> x 1 = k1A1cos(k1t + α1) + k2A2cos(k2t + α2)

x 2 = μ21k1A1cos(k1t + α1) + μ22k2A2cos(k2t + α2)
• •
Thay ®iÒu kiÖn ban ®Çu t = 0: x1(0) = x2(0) = 0; x 1 (0) = 0; x 2 (0) = V0 vµo trªn ta ®−îc:

⎧A1 sin α1 + A 2 sin α 2 = 0
⎪μ A sin α + μ A sin α = 0
⎪ 21 1 1 22 2 2

⎪k 1A1 cos α1 + k 2 A 2 cos α 2 = 0
⎪μ 21 k 1A1 cos α1 + μ 22 k 2 A 2 cos α 2 = 0

V0 1 V 1
Gi¶i ra: α1 = α2 = 0; A 1 = ; A2 = 0
k 1 μ 21 − μ 22 k 2 μ 22 − μ 21
Thay c¸c gi¸ trÞ ®· tÝnh vµo, cuèi cïng nhËn ®−îc:
V0 V
x1 = (0,354 sin k1t − 0,101 sin k 2 t ) ; x 2 = 0 (0,853. sin k 1 t + 0,042. sin k 2 t )
k1 k1


62
V0 EJ
M« men uèn t¹i ngµm: M ngµm = (0,785 sin k 1 t − 0,469 sin k 2 t )
k 1 L2
V0 EJ
Tõ ®ã: M max = 1,254
Ngµm

k 1 L2
ThÝ dô 2-5:
Lùc kÝch ®éng P(t) = Psinωt t¸c dông lªn khèi l−îng gi÷a cña hÖ (H×nh 2-11a). X¸c
®Þnh biªn ®é dÞch chuyÓn cña tÊt c¶ c¸c khèi l−îng vµ x©y dùng biÓu ®å m«men uèn ®éng
lùc. Cho biÕt: M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ngang cña dÇm lµ J = 35520 cm4; M«®un ®µn
håi cña vËt liÖu E = 2,1.107N/cm2. NhÞp dÇm dµi L = 400 cm; khèi l−îng c¸c träng t¶i b»ng
m = 40,8 Ns2/cm; biªn ®é lùc kÝch ®éng: P = 6000 N; tÇn sè lùc kÝch ®éng ω = 100 rad/s.
Bµi gi¶i:
Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng δik. Theo kÕt qu¶ thÝ dô 2, ch−¬ng më ®Çu,
ta cã:
δ11 = δ33 = 75k; δ22 = 243k; δ21 = δ12 = δ32 = δ23 = 117k; δ13 = δ31 = 51k;
L3
ë ®©y ®Æt k = .
9.1296EJ
Thay sè tÝnh ®−îc: k = 7,38.10-9 cm/N.
δ 11 = δ33 = 5,53.10-7 cm/ N; δ22 = 17,92.10-7 cm/N.
δ21= δ12 = δ32 = δ23 = 8,64.10-7 cm/N; δ13 = δ31 = 3,76.10-7 cm/N.

P(t)
m m m
a)

L/6 L/3 L/3 L/6

Psinωt
b)

mA 1P ω2 mA2Pω2 mA3P ω2
4
636.10 Ncm
4
328.10 Ncm
c)
4
PL/4=60.10 Ncm
d)



H×nh 2-11


63
Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh biªn ®é:
⎧(1 − mδ11ω 2 )A 1P − mδ12 ω 2 A 2 P − mδ13 ω 2 A 3P = P.δ12

⎨− mδ 21ω A 1P + (1 − mδ 22 ω )A 2 P − mδ 23 ω A 3 P = Pδ 22
2 2 2


⎩− mδ 31ω A 1P − mδ 32 ω A 2 P + (1 − mδ 33 ω )A 3 P = Pδ 32
2 2 2



Thay sè vµ gi¶i ra: A1P = A3P = – 0,064cm; A2P = – 0,128cm
C¸c dÞch chuyÓn tÜnh t−¬ng øng víi lùc P2 t¸c dông (P2 = P).
y1t = y3t = P2δ12 = 6000.8,64 .10-7 = 0,0052cm.
y2t = P2δ22 = 6000.17,92.10-7 = 0,0107cm.
Râ rµng biªn ®é khi hÖ dao ®éng lín h¬n kho¶ng 10 lÇn dÞch chuyÓn tÜnh t−¬ng øng.
§Ó x©y dùng biÓu ®å m«men uèn ®éng lùc, cÇn kh¶o s¸t t¶i träng t¸c dông lªn dÇm do
c¸c gi¸ trÞ biªn ®é lùc kÝch ®éng P vµ c¸c lùc qu¸n tÝnh: mAiP ω2. C¸c lùc qu¸n tÝnh n»m ë
pha ng−îc víi pha cña lùc kÝch ®éng. Ta cã:
mA1Pω2 = – 26100N; mA2Pω2 = – 52200N; mA3Pω2 = – 26100N
Nh÷ng ®iÒu tr×nh bµy ®−îc biÓu thÞ trªn (H×nh 2-11b, c, d) trong ®ã biÓu ®å cuèi (H×nh
2-11d) biÓu thÞ t¸c dông tÜnh cña biªn ®é lùc kÝch ®éng P.




64
Ch−¬ng III
Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã v« sè bËc tù do
HÖ cã khèi l−îng ph©n bè liªn tôc cã v« sè bËc tù do (tøc lµ cã v« sè tÇn sè riªng vµ
d¹ng dao ®éng riªng).
Kh¸c víi hÖ h÷u h¹n bËc tù do ph−¬ng tr×nh to¸n häc m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng lµ hÖ
ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ë ®©y dÉn tíi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. Do ®ã
ngoµi c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu, cÇn xÐt ®Õn c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
Ta xÐt mét sè hÖ liªn tôc ®¬n gi¶n th−êng gÆp trong kü thuËt.

§.3.1. Dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi.

3.1.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh.
Khi xÐt dao ®éng däc cña thanh th¼ng ta coi tiÕt diÖn ngang cña thanh ph¼ng vµ c¸c
phÇn tö cña thanh kh«ng thùc hiÖn dÞch chuyÓn ngang mµ chØ dÞch chuyÓn theo h−íng däc
thanh.
Cho thanh th¼ng dµi L. Chän trôc Ox h−íng däc thanh nh− h×nh vÏ (H×nh 3-1).

L
U
m n m n
O X



U + ∂U dx
x dx dx
∂x

m n
∂N dx
N N
∂x

H×nh 3-1


Ký hiÖu: ρ lµ khèi l−îng riªng cña vËt liÖu thanh; E lµ M«®un ®µn håi cña nã; F lµ
diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña thanh.
XÐt ph©n tè giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t m, n. Gäi U lµ dÞch chuyÓn däc cña tiÕt diÖn
ngang bÊt kú m cã to¹ ®é x khi dao ®éng. DÞch chuyÓn nµy sÏ lµ hµm cña x vµ t: U = U(x,t).
∂U
Khi ®ã dÞch chuyÓn ë tiÕt diÖn l©n cËn n sÏ b»ng: U + dx . Tõ ®ã ®é d·n dµi tuyÖt ®èi cña
∂x
∂U ∂U
ph©n tè thanh dx lµ dx ; vµ ®é d·n dµi t−¬ng ®èi cña nã b»ng: ε = (3-1)
∂x ∂x

65
Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang m cã to¹ ®é x ®−îc tÝnh theo biÓu thøc:
∂U
N = EFε = EF (3-2)
∂x
EF gäi lµ ®é cøng cña thanh khi kÐo, nÐn. Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang l©n cËn
cã to¹ ®é (x + dx) b»ng:
∂N
N′ = N + dx.
∂x
∂ 2U
Khèi l−îng ph©n tè thanh kh¶o s¸t lµ: ρFdx, nªn lùc qu¸n tÝnh ®Æt lªn nã lµ: − ρFdx 2 .
∂t
¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be ®èi víi ph©n tè thanh, ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn
⎛ ∂N ⎞ ∂2U
®éng trªn trôc Ox: − N + ⎜ N + dx ⎟ − ρFdx 2 = 0
⎝ ∂x ⎠ ∂t
∂N ∂2U
Suy ra: = ρF 2 (3-3)
∂x ∂t
∂2U ∂ 2U
Thay (3-2) vµo (3-3) nhËn ®−îc: = a2 (3-4)
∂t 2 ∂x 2
F
Trong ®ã: a = lµ tèc ®é truyÒn sãng däc trong thanh; (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh dao
ρ
®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi .
3.1.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3-4) b»ng ph−¬ng ph¸p Furiª.
Ph−¬ng tr×nh (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp hai gäi lµ ph−¬ng tr×nh sãng.
Hµm U = U(x,t). NR cña (3-4) t×m d−íi d¹ng:
U = X(x)T(t) (3-5)
NghÜa lµ t×m U ë d¹ng tÝch hai hµm. X(x) chØ lµ hµm cña x, T(t) chØ lµ hµm cña t. Thay
(3-5) vµo (3-4) ta cã:
••
a 2 X ′′ T
=
X T
VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc chØ phô thuéc vµo x, vÕ ph¶i chØ phô thuéc t. §Ó ®¼ng thøc ®óng
víi mäi x, t th× chóng ph¶i b»ng h»ng sè. Ta ký hiÖu h»ng sè nµy qua: - p2. Do ®ã:
••
a 2 X ′′ T
= −p 2 ; = −p 2
X T
Ta cã hai ph−¬ng tr×nh sau:
2
••
⎛p⎞
T + p 2 T = 0; X ′′ + ⎜ ⎟ X = 0 (3-6)
⎝a⎠
Ph−¬ng tr×nh ®Çu cña (3-6) cã nghiÖm:
T = Asin(pt + α) (3-7)

66
Nã ®Æc tr−ng cho qu¸ tr×nh dao ®éng, ë ®ã p ch−a biÕt cã ý nghÜa nh− tÇn sè dao
®éng tù do.
Ph−¬ng tr×nh thø hai cña (3-6) cã nghiÖm:
p p
X = C sin x + D cos x (3-8)
a a
Nã x¸c ®Þnh d¹ng riªng cña dao ®éng.
Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh ®¹i l−îng ch−a biÕt p ®−îc thiÕt lËp khi xÐt c¸c ®iÒu kiÖn biªn
gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
Nãi chung ph−¬ng tr×nh nµy lu«n lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt vµ cã v« sè nghiÖm pn
(n = 1, 2...). NghiÖm viÕt ë d¹ng (3-5) chØ lµ mét NR cña ph−¬ng tr×nh sãng. NTQ cña (3-4)
nhËn ®−îc b»ng c¸ch hîp c¸c NR:

U = ∑ X n ( x ) Tn ( t ) (3-9)
n =1

Hµm Xn (x) gäi lµ hµm riªng, m« t¶ d¹ng riªng cña dao ®éng, nã kh«ng phô thuéc vµo
®iÒu kiÖn ®Çu vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao. Khi F = const, m ≠ n, ta cã:
L

∫X
0
m (x).X n (x)dx = 0 (3-10)

3.1.3. C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña thanh, ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
2.1.3a. Thanh cã hai ®Çu tù do (H×nh 3-2).
Trong tr−êng hîp nµy lùc däc ë hai ®Çu L
thanh b»ng kh«ng, nªn ®é d·n dµi t−¬ng ®èi b»ng X
kh«ng
x
∂U
Ta cã: = 0 khi x = 0 vµ x = L
∂x H×nh 3-2

Hay: X ′T = 0 khi x = 0 vµ x = L
C¸c ®iÒu kiÖn trªn ®−îc thùc hiÖn nÕu:
dX dX
= 0 vµ =0 (3-11)
dx x =0 dx x =L

Tõ (3-8) víi C vµ D bÊt kú, nªn ®iÒu kiÖn ®Çu cña (3-11) ®−îc tho¶ m·n khi ®Æt C = 0;
pL
®iÒu kiÖn thø hai ®−îc tho¶ m·n nÕu: sin =0 (3-12)
a
(3-12) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Nã cho phÐp x¸c ®Þnh tÇn sè riªng cña dao ®éng däc
thanh víi c¸c mót tù do.
pnL
Ta cã: = nπ ; n = 1, 2, 3 ... (3-13)
a

67
Khi n = 1, ta cã tÇn sè dao ®éng c¬ b¶n:
aπ π E
p1 = = (3-14)
L L ρ
Chu kú t−¬ng øng b»ng:
2π ρ
T1 = = 2L (3-15)
p1 E
Nh− vËy, ta cã v« sè tÇn sè dao ®éng riªng, mçi tÇn sè t−¬ng øng víi mét d¹ng dao
nπx
®éng riªng x¸c ®Þnh bëi hµm riªng Xn(x) = cos . V× thÕ, NTQ dao ®éng tù do cña thanh
L
víi hai ®Çu mót tù do ®−îc biÓu diÔn ë d¹ng:
∞ ∞
nπx
U = ∑ X n ( x )Tn ( t ) = ∑ cos .A n sin( p n t + α n )
n =1 n =1 L
nπx ⎛

nπat nπat ⎞
Hay: U = ∑ cos .⎜ a n cos + b n sin ⎟ (3-16)
n =1 L ⎝ L L ⎠
C¸c h»ng sè an, bn cã thÓ chän sao cho tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0 th×

U = f (x); U = f1 (x) . Thay ®iÒu kiÖn nµy vµo (3-16) ta ®−îc:
t =0 t =0


nπx ∞
nπa nπx
f (x) = ∑ a n cos ; f1 (x) = ∑ b n cos
n =1 L n =1 L L
nπx nπx
L L
2 2
Tõ ®ã suy ra: a n = ∫ f (x) cos dx; b n = ∫ f1 (x) cos L dx (3-17)
L0 L nπa 0

3.1.3b. Thanh mét ®Çu ngµm chÆt, mét ®Çu tù do (H×nh 3-3).
Gi¶ sö thanh bÞ ngµm ë ®Çu x = 0, ®Çu cßn L
l¹i x = L tù do. §iÒu kiÖn biªn cã d¹ng:
X

∂U
U x =0 = 0 vµ =0 x
∂x x =L
H×nh 3-3
Hay: XT = 0 khi x = 0 vµ X ′T = 0 khi x = L.
§iÒu nµy ®−îc thùc hiÖn nÕu:
X x =0 = 0 ; X ′ x =L = 0 (3-18)

T−¬ng tù c¸ch lý gi¶i nh− 3.1.3a, ®Ó tho¶ m·n (3-18) ph¶i cã D = 0 vµ ta suy ra
pL
ph−¬ng tr×nh tÇn sè: cos =0 (3-19)
a
nπa
Gi¶i ra ta cã: pn = ; n = 1, 3, 5... (3-20)
2L

68
πa π E
Víi n = 1 th×: p1 = = (3-21)
2L 2L ρ
NTQ dao ®éng däc cña thanh trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng:

nπx ⎛ nπat nπat ⎞
U = ∑ sin .⎜ a n cos + b n sin ⎟ (3-22)
n =1, 3, 5... 2L ⎝ 2L 2L ⎠
H»ng sè an, bn còng ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn ®Çu t¹i t = 0. Gi¶ sö thanh ®−îc kÐo
bëi lùc däc P t¹i mót tù do. T¹i t = 0 lËp tøc c¾t bá lùc P vµ thanh cßn tù do. Ký hiÖu ε lµ ®é
d·n dµi t−¬ng ®èi ban ®Çu th× ε = P/EF. Ta viÕt ®−îc ®iÒu kiÖn ®Çu ë d¹ng:

U t = 0 = εx ; U =0
t =0

§iÒu kiÖn nµy cho ta x¸c ®Þnh an vµ bn. Khi ®ã ta cã:
n −1
8εL
bn = 0 ; a n = 2 2 (−1) 2
n π
n −1
8εL (−1) 2 nπx nπat
Do ®ã: U = 2 ∑ sin cos (3-23)
π n =1,3,5... n 2
2L 2L
Tãm l¹i, tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c tÇn sè riªng vµ c¸c hµm riªng.
B¶ng 4: Ta thèng kª mét sè d¹ng c¬ b¶n c¸c ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n khi xÐt dao
®éng däc cña thanh.
B¶ng 4: C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña vµi d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng däc cña thanh.

S¬ ®å D¹ng liªn kÕt §iÒu kiÖn biªn
O X
Ngµm U(0,t) = 0

∂U (0, t )
O
X §Çu tù do EF =0
∂x
N ∂U (0, t )
=N
X
Lùc däc EF
O ∂x
C ∂U (0, t )
= CU
X
EF
O Liªn kÕt ®µn ∂x
C håi tuyÕn tÝnh ∂U (L, t )
X
EF = −CU
O ∂x

∂U (0, t ) ∂ 2U
X
m
O EF =m 2
§Çu thanh g¾n ∂x ∂t
m khèi l−îng m ∂U (L, t ) ∂2U
= −m 2
X
EF
O ∂x ∂t

69
§.3.2. Dao ®éng xo¾n cña trôc trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi.

3.2.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ nghiÖm cña nã.
VÒ mÆt to¸n häc viÖc thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña trôc trßn gièng
nh− kh¶o s¸t dao ®éng däc cña thanh.
Cho trôc trßn dµi L. Chän trôc Ox däc trôc nh− h×nh vÏ (H×nh 3-4) Gäi ρ lµ mËt ®é
khèi l−îng cña vËt liÖu trôc; G lµ m«®un ®µn håi tr−ît cña nã; JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc
cùc cña tiÕt diÖn ngang trôc; khi ®ã: GJP = C lµ ®é cøng tiÕt diÖn ngang trôc khi xo¾n.

L
M m n
m n
O X


x dx ∂M dx
M+
∂x
H×nh 3-4

XÐt yÕu tè thanh giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t m, n gÇn kÒ nhau. M«men xo¾n t¸c dông ë
∂M
hai tiÕt diÖn nµy t−¬ng øng b»ng: M vµ M + dx
∂x
∂θ
Gäi θ lµ gãc xoay cña tiÕt diÖn m cã to¹ ®é x, khi ®ã biÕn d¹ng gãc t−¬ng ®èi lµ .
∂x
Theo c«ng thøc ®· biÕt trong SBVL, ta cã:
∂θ
M = GJP (3-24)
∂x
∂ 2θ
Lùc qu¸n tÝnh t¸c dông lªn yÕu tè cña trôc b»ng: − ρJPdx 2
∂t
¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng m«men ®èi víi trôc Ox:
⎛ ∂M ⎞ ∂ 2θ
− M + ⎜M + dx ⎟ − ρJ P dx 2 = 0
⎝ ∂x ⎠ ∂t
∂M ∂ 2θ
Tõ ®ã: = ρJ P 2 (3-25)
∂x ∂t
Thay (3-24) vµo (3-25) ta nhËn ®−îc:
∂ 2θ 2 ∂ θ
2
= a1 2 (3-26)
∂t 2 ∂x
G
Trong ®ã: a 1 = lµ vËn tèc truyÒn sãng tr−ît.
ρ
Ph−¬ng tr×nh (3-26) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña trôc trßn tiÕt diÖn
kh«ng ®æi. Nã cã d¹ng gièng ph−¬ng tr×nh (3-4).

70
NTQ cña (3-26) cã d¹ng:

θ = ∑ X n ( x )Tn ( t ) (3-27)
n =1


pn x p x
Trong ®ã: Xn(x) = Cn sin + D n cos n (3-28)
a1 a1

Tn(t) = An sin ( pnt + αn)
C¸c h»ng sè An, α n ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ®Çu. C¸c tÇn sè riªng vµ hµm riªng
®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.

3.2.2. C¸c ®iÒu kiÖn biªn - ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
3.2.2a. Trôc cã hai ®Çu tù do (H×nh 3-5).

L

X


x

H×nh 3-5

Trong tr−êng hîp nµy m«men xo¾n ë hai ®Çu b»ng kh«ng. Nªn:
∂θ ∂θ
= 0 vµ =0
∂x x =0 ∂x x = L
Hay cã thÓ viÕt: X ′ x =0 = 0 vµ X ′ x =L = 0 (3-29)
pL
§Ó tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3-29), ta ph¶i cã: C = 0 vµ: sin =0 (3-30)
a1
(3-30) lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp kh¶o s¸t. Gi¶i ra:
pnL
= nπ; n = 1, 2, 3... (3-31)
a1

nπx ⎛ nπa 1 t nπa 1 t ⎞
NTQ cã d¹ng: θ = ∑ cos ⎜ a n cos + b n sin ⎟
n =1 L ⎝ L L ⎠
L
3.2.2b. Trôc cã g¾n c¸c ®Üa (b¸nh ®µ) ë hai J1
J2
®Çu mót (H×nh 3-6). x
O
Trong tr−êng hîp nµy m«men xo¾n ë c¸c ®Çu
trôc b»ng m«men c¸c lùc qu¸n tÝnh cña c¸c ®Üa x
(b¸nh ®µ).
H×nh 3-6

71
§iÒu kiÖn biªn khi nµy cã d¹ng sau: J 1 ∂ θ = GJ P ∂ θ
2
khi x = 0
2
∂t ∂x
∂ 2θ ∂θ
J2 = − GJ P khi x = L
∂t 2
∂x
⎧J 1p 2 X ′ = GJ P X ′
⎪ khi x = 0
Hay: ⎨ 2 (3-32)
⎪J 2 p X ′ = −GJ P X ′
⎩ khi x = L
Khi cho tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh tÇn sè:
⎛ pL pa 1 J 1 pL ⎞ p ⎛ pL pa 1 pL ⎞
p 2 ⎜ cos
⎜ − sin ⎟ J 2 = − GJ P ⎜ sin + cos ⎟ (3-33)
⎝ a1 GJ P a1 ⎟
⎠ a1 ⎜
⎝ a 1 GJ p a1 ⎟

pL J 1g J J γLJ P
§Æt: =β = 1 = m; 2 = n; J 0 =
a1 γLJ P J 0 J0 g

Ph−¬ng tr×nh (3-33) ®−a vÒ d¹ng: βn(1 – mβtgβ) = − (tgβ+ mβ)
(m + n )β
Hay suy ra: tgβ = (3-34)
mnβ 2 − 1
NÕu β1, β2, ... βn lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (3-34) th× NTQ ®èi víi tr−êng hîp kh¶o
s¸t lµ:

⎛ β x β x ⎞⎛ β at β a t⎞
θ = ∑ ⎜ cos n − mβ n sin n ⎟⎜ a n cos n 1 + b n sin n 1 ⎟ (3-35)
n =1 ⎝ L L ⎠⎝ L L ⎠

§.3.3. Dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi.

3.3.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n.
Gi¶ sö dÇm cã mÆt ph¼ng ®èi xøng vµ dao ®éng x¶y ra trong mÆt ph¼ng nµy, nghÜa lµ dÇm
chØ thùc hiÖn dao ®éng uèn theo ph−¬ng y. Trong tr−êng hîp mÆt c¾t dÇm kh«ng ®èi xøng qua
hai trôc th× dÇm sÏ thùc hiÖn dao ®éng xo¾n vµ uèn ®ång thêi mµ ta kh«ng xÐt ë ®©y.
MÆt kh¸c ta còng gi¶ thiÕt r»ng: C¸c mÆt c¾t cña dÇm lu«n lu«n ph¼ng vµ v«ng gãc
víi trôc vâng cña dÇm. Ta ký hiÖu EJ lµ ®é cøng cña dÇm khi uèn, q lµ khèi l−îng ®¬n vÞ
trªn chiÒu dµi dÇm, y lµ dÞch chuyÓn cña tiÕt diÖn dÇm.
XÐt ph©n tè dÇm dx giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t kÕ nhau m vµ n (H×nh 3-7).
M«men uèn vµ lùc c¾t t¸c dông lªn ph©n tè dÇm ë hai mÆt c¾t m vµ n t−¬ng øng b»ng:
∂M ∂Q
M, M + dx vµ Q, Q + dx
∂x ∂x
∂2y
Lùc qu¸n tÝnh t¸c dông lªn ph©n tè dÇm kh¶o s¸t: qdx
∂t 2

72
¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be, Ta cã:
- Tæng h×nh chiÕu c¸c lùc lªn ph−¬ng th¼ng ®øng Oy:

∂Q ∂ 2y
+q 2 =0 (1)
∂x ∂t

m n x

y

x dx
L
y
m n ∂M
Q M+ dx
M ∂x
dx ∂Q
Q+ dx
∂x
∂ 2y
qdx
∂t 2

H×nh 3-7

- Tæng m«men c¸c lùc ®èi víi trôc thuéc tiÕt diÖn m th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ:
∂M
−Q = 0 (2)
∂x
∂ 2 M ∂Q
§¹o hµm (2) theo x: − =0 (3)
∂x 2 ∂x
∂2M ∂ 2y
Thay (1) vµo (3) ta ®−îc: +q 2 =0 (3-36)
∂x 2 ∂t
∂ 2y
¸p dông c«ng thøc vÒ lý thuyÕt uèn cña thanh trong SBVL: EJ =M (3-37)
∂x 2
∂ 2 ⎡ ∂ 2y ⎤ ∂2y
Thay (3-37) vµo (3-36) ta cã: ⎢EJ ⎥+q 2 =0 (3-38)
∂x 2 ⎣ ∂x 2 ⎦ ∂t

∂2y ∂4y
NÕu dÇm cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi th× EJ = const ta suy ra: = a2 4 (3-39)
∂t 2 ∂x
2


EJ
Trong ®ã: a 2 = , (3-39) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn
q
kh«ng ®æi.

73
3.3.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3-39).
T−¬ng tù nh− c¸c tr−êng hîp trªn, ta t×m nghiÖm ph−¬ng tr×nh (3-39) d−íi d¹ng:
y = X(x).T(t) (3-40)
Thay (3-40) vµo (3-39) ta ®−îc:
••
T X ( IV )
= −a 2
2 (3-41)
T X
§Ó hÖ thøc nµy lu«n lu«n lµ ®ång nhÊt thøc th× vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña nã ph¶i b»ng
h»ng sè: (-p2). Do ®ã, ta nhËn ®−îc:
2
••
⎛p⎞
T + p T = 0 vµ X
2 ( IV )
−⎜ ⎟ X = 0 (3-41)
⎝a⎠
Ph−¬ng tr×nh ®Çu cña (3-41) m« t¶ chuyÓn ®éng cã ®Æc tr−ng dao ®éng víi tÇn sè p.
Ph−¬ng tr×nh sau cña (3-41) x¸c ®Þnh d¹ng dao ®éng riªng, c¸c NR cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ:
sinkx, coskx, shkx, chkx. NTQ cña nã biÓu diÔn ë d¹ng:
X = C1sin kx + C2coskx + C3shkx + C4chkx (3-42)
2
⎛ p ⎞ qp 2
Trong ®ã: k = 4 ⎜
⎜a ⎟ =4
⎟ (3-43)
⎝ 2 ⎠ EJ

C¸c h»ng sè C1, C2, C3, C4 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
3.3.3. Ph−¬ng tr×nh tÇn sè.
Thay c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµo (3-42) sÏ dÉn tíi c¸c ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®èi víi c¸c
h»ng sè C1, C2, C3, C4. §Ó c¸c h»ng sè kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th× ®Þnh thøc cña hÖ
ph¶i b»ng kh«ng. §iÒu ®ã sÏ dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Ta minh ho¹ ®iÒu nµy b»ng vµi
tr−êng hîp sau:
3.3.3a. DÇm cã hai gèi tùa b¶n lÒ (H×nh 3-8).
Trong tr−êng hîp nµy m« men uèn M vµ ®é vâng y t¹i c¸c gèi tùa b»ng kh«ng.
y = XT = 0 vµ M = EJ.X′′T = 0.
x


L
y

H×nh 3-8

Hay: X x =0 = 0 ; X ′′ x =0 = 0 ; X x = L = 0 ; X ′′ x = L = 0 (3-44)
Ta viÕt nghiÖm (3-42) ë d¹ng sau:

74
X = C 1 (cos kx + chkx) + C 2 (cos kx − chkx) + C 3 (sin kx + shkx)
(3-45)
+C 4 (sin kx − shkx)
Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu cña (3-44): X x =0 = 0; X ′′ x =0 = 0 . Suy ra r»ng: C1, C2 cã thÓ ®Æt
b»ng kh«ng.
Tõ c¸c ®iÒu kiÖn cßn l¹i cña (3-44): X x = L = 0; X ′′ x = L = 0 . Ta nhËn ®−îc: C3 = C4 vµ
sinkL = 0 (3-46)
(3-46) lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp kh¶o s¸t, gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta cã:
kL = nπ; n = 1, 2, 3... (3-47)
Khi chó ý tíi (3-43) ta nhËn ®−îc:
n 2π2 EJ
pn = (3-48)
L2 q
3.3.3b. DÇm cã c¸c mót tù do (H×nh 3-9).

x


L
y

H×nh 3-9

Trong tr−êng hîp nµy lùc c¾t Q vµ m«men uèn M ë hai ®Çu thanh b»ng kh«ng, ta cã:
⎧Q = EJX ′′′T = 0
⎨ khi x = 0, x = L.
⎩M = EJX ′′T = 0
⎧X ′′′ = 0
Hay: ⎨ khi x=0, x=L (3-49)
⎩X ′′ = 0
Ta vÉn sö dông biÓu thøc nghiÖm (3-45). Khi ®ã tõ ®iÒu kiÖn:
X ′′ x =0 = 0 vµ X ′′′ x =0 = 0 suy ra C 2 = C 4 = 0
Nªn: X = C1(coskx+chkx) + C3(sinkx+shkx)
Tõ ®iÒu kiÖn cßn l¹i: X ′′ x = L = 0 vµ X ′′′ x = L = 0 ta nhËn ®−îc:
⎧C 1 (− cos kL + chkL ) + C 3 (− sin kL + shkL ) = 0

⎩C 1 (sin kL + shkL ) + C 3 (− cos kL + chkL ) = 0
NghiÖm C1, C2 kh¸c kh«ng nhËn ®−îc chØ trong tr−êng hîp ®Þnh thøc cña hÖ b»ng
kh«ng. Ta cã ph−¬ng tr×nh tÇn sè sau:
(-coskL + chkL)2 - (sh2kL - sin2kL) = 0
Chó ý r»ng: ch2kL - sh2kL =1; cos2kL + sin2kL = 1
Ta nhËn ®−îc: coskL.chkL =1 (3-50)

75
S¸u nghiÖm ®Çu tiªn cña ph−¬ng tr×nh nµy nh− sau:

k1L k2L k3L k4L k5L k6 L
0 4,730 7,853 10,996 14,137 17,279
Trong b¶ng 5, ta dÉn ra c¸c ®iÒu kiÖn biªn cña mét vµi d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng
uèn cña dÇm.
Chó ý:
Víi thanh (dÇm) cã khèi l−îng ph©n bè liªn tôc, tiÕt diÖn cña nã biÕn ®æi theo chiÒu
dµi, khi ®ã thay c¸c ph−¬ng tr×nh (3-4), (3-26), vµ (3-39) cã d¹ng sau:
⎧ 2 ∂ ⎡ ∂U ⎤ ∂2U (3 − 51)
⎪a ⎢F ⎥ = F ∂t 2
⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦
⎪ ∂ ⎡ ∂θ ⎤
⎪ 2 ∂ 2θ (3 − 52)
⎨a 1 ⎢ J ⎥ = J ∂t 2
⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦
⎪ ∂ 2 ⎡ ∂ 2y ⎤ ∂2y (3 − 53)
⎪ 2 ⎢EJ 2 ⎥ = −q 2
⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦
⎩ ∂t

B¶ng 5: C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña mét sè d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng uèn cña dÇm.
S¬ ®å D¹ng liªn kÕt §iÒu kiÖn biªn
O x Q = EJX ′′′T = 0 ⇒ X ′′′ = 0
§Çu tù do
M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0
O x Y = XT = 0 => X = 0
B¶n lÒ
M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0

O x Y = XT = 0 => X = 0
Ngµm
θ = X ′T = 0 ⇒ X ′ = 0

m0
x
M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0
O §Çu thanh g¾n
khèi l−îng m0 ••
m0
x
Q = − m0 y => m0p2 X = ±EJX′′
O
O x
C M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0
Liªn kÕt ®µn
Q = R ⇒ EJX ′′ = ± CX
O x håi tuyÕn tÝnh
C
(R = Cy)


76
Nhê viÖc ®Æt U = X(x)T(t); θ = X(x)T(t); y = X(x)T(t). Cã thÓ nhËn ®−îc c¸c ph−¬ng
tr×nh vi ph©n th−êng nh− sau ®èi víi hµm X(x) vµ T(t):
2
⎛p⎞
(FX ′)′ + ⎜ ⎟ FX = 0 (3-54)
⎝a⎠
2
⎛p⎞
( JX ′)′ + ⎜ ⎟ JX = 0
⎜ ⎟ (3-55)
⎝ a1 ⎠
(EJX ′′)′′ − qp 2 X = 0 (3-56)
••
T+ p 2T = 0 (3-57)
C¸c ph−¬ng tr×nh nµy kh¸c víi c¸c ph−¬ng tr×nh tr−íc ®©y ë chç: C¸c hÖ sè cña chóng
biÕn ®æi. NghiÖm hiÓn cña chóng nhËn ®−îc chØ trong c¸c tr−êng hîp riªng khi c¸c biÕn: F,
J, EJ, q x¸c ®Þnh sù phô thuéc ®Æc biÖt. Trong tr−êng hîp tæng qu¸t cÇn ®−a vµo c¸c phÐp
gi¶i gÇn ®óng, nh−: Ph−¬ng ph¸p Ris; ph−¬ng ph¸p Butnèp - Galerkin; ph−¬ng ph¸p gÇn
®óng liªn tiÕp v.v...

§3.4. Sù truyÒn sãng ®μn håi däc trong thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi.

Trong phÇn §3.1 ®· thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn
kh«ng ®æi:
∂2U 2 ∂ U
2
−a =0 (3-4)
∂t 2 ∂x 2
E
Trong ®ã: a = lµ vËn tèc truyÒn sãng däc trong thanh. Ph−¬ng tr×nh (3-4) còng
ρ
cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh sãng. NghiÖm cña (3-4) ®· ®−îc kh¶o s¸t ë d¹ng chuçi Fuariª. Tuy
nhiªn d¹ng nghiÖm nµy kh«ng ph¶i duy nhÊt. Cã thÓ chØ ra c¸c c¸ch kh¸c nhau gi¶i ph−¬ng
tr×nh sãng (3-4) nh− ph−¬ng ph¸p §a-l¨m-be, ph−¬ng ph¸p häa ®å gi¶i tÝch, ph−¬ng ph¸p
biÕn ®æi tÝch ph©n v.v.... ë phÇn tr×nh bµy d−íi ®©y ta kh¶o s¸t nghiÖm cña (3-4) b»ng
ph−¬ng ph¸p §a-l¨m-be.
§−a vµo biÕn sè míi: ξ = at - x; η = at + x
1 1
=> x = ( η - ξ); t = (η - ξ)
2 2a
Khi ®ã hµm dÞch chuyÓn U(x,t) qua biÕn sè míi lµ U(ξ,η).
¸p dông quy t¾c ®¹o hµm cña hµm hîp ta cã:
⎧∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂
⎪ ∂x = ∂ξ ∂x + ∂η ∂x = ∂ξ + ∂η

⎨ 2
⎪ ∂ = ∂ +2 ∂ + ∂
2 2 2

⎪ ∂x 2 ∂ξ 2
⎩ ∂ξ∂η ∂η 2

77
⎧∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ⎛ ∂ ∂ ⎞
⎪ = + = a⎜ − ⎟
⎜ ∂ξ ∂η ⎟
⎪ ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂t ⎝ ⎠
⎨ 2
⎪ ∂ = a2⎛ ∂ − 2 ∂ + ∂ ⎞
2 2 2
⎜ 2 ⎟
⎪ ∂t 2

⎜ ∂ξ
⎝ ∂ξ∂η ∂η 2 ⎟⎠
Tõ ®ã (3-4) trë thµnh:
∂ 2U ∂ ⎛ ∂U ⎞
4a 2 = 0 Hay ⎜ ⎟=0
∂ξ∂η ∂η ⎜ ∂ξ ⎟
⎝ ⎠
∂U ∂U
Râ rµng kh«ng phô thuéc vµo η vµ chØ lµ hµm cña ξ, ký hiÖu = Q(ξ). Ta cã:
∂ξ ∂ξ
U = ∫ Q(ξ)dξ + ψ(η)

TiÕp tôc ®Æt: ∫ Q(ξ)dξ = ϕ(ξ) ta cã:

U = ϕ(ξ) + ψ(η)
Khi chuyÓn qua biÕn míi, ta ®−îc:
U = ϕ(at - x) + ψ(at + x) (3-58)
BiÓu thøc (3-58) lµ NTQ cña ph−¬ng tr×nh (3-4). Nã gåm hai sè h¹ng:
a). Sè h¹ng ®Çu: ϕ(at - x) lµ sãng dÞch chuyÓn truyÒn däc thanh theo h−íng trôc Ox
víi vËn tèc truyÒn sãng a kh«ng ®æi. ThËt vËy, khi x = at + c th× ϕ = const. Nh− thÕ nÕu ë
thêi ®iÓm t = t1, t¹i tiÕt diÖn x = x1 tån t¹i dÞch chuyÓn ϕ th× ë thêi ®iÓm t = t2 dÞch chuyÓn
nµy sÏ ë tiÕt diÖn x = x2 víi x2 = x1 + a(t2 – t1).
b). Sè h¹ng thø hai: ψ(at + x), víi c¸ch lý gi¶i t−¬ng tù sÏ lµ sãng dÞch chuyÓn däc
thanh theo h−íng ng−îc l¹i cïng víi vËn tèc truyÒn sãng a.

KÕt luËn: ChuyÓn ®éng cña thanh cã thÓ kh¶o s¸t nh− kÕt qu¶ tæng hîp cña hai sãng
biÕn d¹ng däc thanh ë h−íng ng−îc nhau víi cïng vËn tèc truyÒn sãng a.
Khi cho c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn x¸c ®Þnh, ta t×m ®−îc nghiÖm cô thÓ
cña ph−¬ng tr×nh (3-4).
¸p dông ®iÒu tr×nh bµy trªn, ta xÐt cô thÓ mét sè bµi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n
vµo thanh ®µn håi, ®ã lµ: Va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi tù do vµ va ch¹m cña
vËt r¾n vµo thanh ®µn håi mét ®Çu bÞ g¾n chÆt (ngµm).




78
Ch−¬ng IV
Va ch¹m däc cña vËt r¾n vμo thanh ®μn håi
vμ ¸p dông lý thuyÕt va ch¹m vμo bμi to¸n ®ãng cäc

Néi dung ch−¬ng nµy sÏ tr×nh bµy:
Mét vµi bµi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ øng dông cña
chóng ®Ó nghiªn cøu c¸c bµi to¸n va ch¹m cña bóa vµo cäc.

§.4.1. Mét vμi bμi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vμo thanh ®μn håi.

4.1.1. Va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi tù do.
Bµi to¸n nµy ®· ®−îc Xanhv¬n¨ng gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Butxinet vµ nghiÖm t×m
®−îc d−íi d¹ng hµm liªn tôc tõng khóc ®èi víi mét vµi kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn sè. Sau ®ã
E.A.Nhic«lai ®· t×m ®−îc biÓu thøc gi¶i tÝch cña nghiÖm ®èi víi kho¶ng tuú ý liªn tôc cña
biÕn sè.

x V0 O

H×nh 4-1


Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña thanh lµ:
∂2U ∂ 2U
= a2 (4-1)
∂t 2 ∂x 2
XÐt ®iÒu kiÖn ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n.
Gi¶ sö thêi ®iÓm t = 0 trïng víi thêi ®iÓm b¾t ®Çu va ch¹m cña vËt r¾n vµ thanh, khi
®ã ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu sau:

U(0,t) = 0; U t (0, t ) = 0 víi a < x < L (4-2)

U t (0, t ) = −V0 víi x = L (4-3)
Trong ®ã: L lµ chiÒu dµi cña thanh; V0 lµ vËn tèc ban ®Çu cña vËt thÓ va ch¹m. §iÒu
kiÖn cuèi ta coi r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu vËn tèc cña ®Çu thanh trïng víi vËn tèc cña vËt va
ch¹m.
ë t¹i ®Çu tù do (x = L) cña thanh. Lùc qu¸n tÝnh cña vËt thÓ va ch¹m cã d¹ng:
∂U Q ∂2U
EF =− (4-4)
∂x g ∂t 2

79
Trong ®ã: Q - träng l−îng cña vËt thÓ va ch¹m; F - diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña thanh.
Ta ký hiÖu tû sè gi÷a träng l−îng cña vËt thÓ va ch¹m Q vµ träng l−îng cña thanh
Q1 = γFL qua m, do ®ã Q = mQ1.
HÖ thøc trªn ®−îc viÕt:
∂ 2 U (t, L ) ∂U (t, L )
mL = −a 2 (4-5)
∂t 2
∂x
§iÒu kiÖn biªn ë ®Çu tù do kia cña thanh cã d¹ng:
∂U (t,0)
=0 (4-6)
∂x
NghiÖm cña (4-1) theo §a-l¨m-be cã d¹ng:
U = ϕ(at – x) + ψ(at + x) (4-7)
Khi ®¹o hµm hÖ thøc trªn theo thêi gian vµ to¹ ®é ta cã:
∂U
= a[ϕ′(at – x) + ψ′(at + x)] (a)
∂t
∂U
= – ϕ′(at – x) + ψ′(at + x) (b)
∂x
Víi x = 0 theo ®iÒu kiÖn biªn ta cã:
∂U( t ,0)
= −ϕ′(at ) + ψ ′(at ) = 0 (c)
∂x
Hay: ϕ′(at ) = ψ ′(at )
Do ®ã: ϕ′(at − x) = ψ ′(at − x)

Khi tÝch ph©n ®¼ng thøc ta cã: ϕ(at – x) = ψ(at – x)
§¼ng thøc (4-7) cã thÓ viÕt:
U = ψ(at – x) + ψ(at + x)
∂U (0, x)
Víi t = 0 ta sÏ cã: = a[ψ ′(− x) + ψ ′(x)] = 0
∂t
Hay lµ: ψ ′(− x ) + ψ ′( x ) = 0 (d)
MÆt kh¸c tõ ®¼ng thøc (b) ta cã:
− ψ ′(− x ) + ψ ′( x ) = 0
Suy ra ψ ′(− x ) = 0 , ψ ′( x ) = 0 víi 0 < x < L, hay nãi c¸ch kh¸c nÕu thay biÕn sè x
b»ng biÕn sè míi z ta cã:
ψ ′(z ) = 0 Víi – L < z < L

80
TÝch ph©n hÖ thøc (d) vµ lo¹i bá c¸c h»ng sè ta cã:
ψ(–x) – ψ(x) = 0
Theo ®iÒu kiÖn ®Çu:
U( 0,x) = ψ(–x) + ψ(x) = 0
Tõ ®ã suy ra: ψ(−x) = ψ(x) = 0 víi 0 < x < L
Do ®ã: ψ( z ) = 0 Víi: – L < z < L (e)
Khi sö dông ®iÒu kiÖn (4-6) ta sÏ cã:

mLa 2 [ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L )] = −a 2 [− ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L )]

§Ó ®¬n gi¶n ta ®Æt z = at + L, ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc viÕt:
1 1
ψ ′′(z ) + ψ ′(z) = −ψ ′′(z − 2L ) + ψ ′(z − 2L ) (4-8)
mL mL
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

⎡ ⎤
z z z
− − 1
ψ ′(z ) = Ce mL
+e mL
∫e mL
⎢− ψ ′′(z − 2L) + mL ψ ′(z − 2L )⎥ dz (4-9)
⎣ ⎦
Víi L < z < 3L
Nhê ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta sÏ cã:
−L
V0 − zmL
ψ ′(z) = − e
a
z−L
mLV0 − mL
TÝch ph©n ta cã: ψ(z) = e + C1
a
Dùa vµo tÝnh liªn tôc cña hµm U (t, L) vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta cã:
mLV0
U (t0, L) = ψ(L + 0) = 0 do ®ã: C 1 = −
a

mLV0 ⎛ −
z−L

VËy: ψ( z ) = − ⎜1 − e mL ⎟
a ⎜ ⎟
⎝ ⎠

mLV0 ⎛ −
z−L

Hay lµ: U = ψ(at + x) = − ⎜1 − e mL ⎟
a ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Víi 3L < z < 5L, lý gi¶i t−¬ng tù nh− trªn ta cã:
z z −3 L
− 2V0 −
ψ ′(z) = Ce mL
− (z − 3L)e mL
maL

81
Dùa vµo tÝnh liªn tôc cña vËn tèc t¹i x = L, cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc h»ng sè C:

V0 ⎛ m
1 3

C=− ⎜e − em ⎟
a ⎜ ⎟
⎝ ⎠
z−L z −3 L
V − V ⎡ 2 ⎤ −
Do ®ã: ψ ′(z ) = − 0 e mL + 0 ⎢1 − (z − 3L )⎥ e mL
a a ⎣ mL ⎦
∂U
T¹i tiÕt diÖn (x = L) biÕn d¹ng t−¬ng ®èi sÏ lµ: = −ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L )
∂x

∂U
at
V −
Khi at < 2L ta cã: = − 0 e mL < 0
∂x a
NghÜa lµ víi at < 2L th× vËt thÓ va ch¹m vµ thanh cßn tiÕp xóc víi nhau.
NÕu at > 2L ta cã:
⎛ at − 2 L ⎞ ⎛ at − 2 L ⎞
∂U V0 −⎜ ⎡ ⎤ −⎜
⎟ at ⎟
V − V 2
= e ⎝ mL ⎠
− 0 e mL + 0 ⎢1 − mL (at − 2L )⎥ e
⎝ mL ⎠

∂x a a a ⎣ ⎦
Khi thay at = 2L + 0 ta cã:

∂U (2L + 0, t ) V ⎛ − ⎞
2

= −ψ ′(at − L ) + ψ ′(at + L ) = 0 ⎜ 2 − e m ⎟ > 0
∂x a ⎜



2L
§iÒu ®ã cã nghÜa lµ ë thêi ®iÓm t = thanh t¸ch rêi khái vËt, hiÖn t−îng va ch¹m
a
2L
kÕt thóc víi t = .
a

4.1.2. Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi mét ®Çu bÞ g¾n chÆt.
Bµi to¸n nµy ®· ®−îc mét sè t¸c gi¶ quan t©m nh−: S.P.Tim«senk«; N.A.Kintrepski;
E.A Nhik«lai; V.L.Biderman ...


x V0 O


H×nh 4-2


Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña thanh lµ:
∂2U ∂2U
= a2 (4-1)
∂t 2 ∂x 2

82
§iÒu kiÖn ®Çu cña bµi to¸n:
⎧ ∂U (x,0)
⎪U (x,0) = 0; = 0 víi 0 < x < L
⎪ ∂t

⎪ ∂U (x,0) = − V víi x = L
⎪ ∂t

0


§iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n:
ë t¹i ®Çu thanh g¾n chÆt U(0,t) = 0
Lùc qu¸n tÝnh cña vËt t¸c dông lªn ®Çu thanh tù do cho nªn víi x = L ta cã:
∂U Q ⎛ ∂2U ⎞
EF =− ⎜ ⎟ (4-4)
∂x x=L g ⎜ ∂t 2 ⎟ x =L
⎝ ⎠
T−¬ng tù dïng c¸c ký hiÖu ë 4.1.1, ®iÒu kiÖn biªn t¹i ®Çu tù do cã d¹ng:
∂ 2 U (t, L ) ∂U (t, L )
mL = −a 2 (4-5)
∂t 2
∂x
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (4-1) cã d¹ng:
U = ϕ(at – x) + ψ(at + x) (4-7)
Sö dông ®iÒu kiÖn ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn ta x¸c ®Þnh c¸c hµm ϕ vµ ψ.
Tõ ®iÒu kiÖn t¹i ®Çu (x = 0) g¾n chÆt ta cã:
ϕ(at) + ψ(at) = 0
Do ®ã: ψ(at +x) = – ϕ(at + x )
VËy: U (x,t) = ϕ(at – x) – ϕ(at + x) (4-10)
B©y giê trªn c¬ së, ®iÒu kiÖn ®Çu vµ ®iÒu kiÖn t¹i ®Çu tù do ta sÏ t×m ®−îc d¹ng gi¶i
tÝch cña hµm ϕ vµ x¸c ®Þnh d¹ng sãng.
Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu ta cã:

⎪U (x) = ϕ(−x) − ϕ(+ x) = 0 (0 < x < L )
⎪ t =o
⎪ ∂U

⎨ = −ϕ′(−x) − ϕ′(+ x) = 0 (0 < x < L ) (4-11)
⎪ ∂x t =0
⎪ ∂U
⎪ = aϕ′(−x ) − aϕ′(+ x) = 0 (0 < x < L )
⎪ ∂t t =0

Tõ hai ®¼ng thøc cuèi ta cã:
ϕ′(− x ) = 0; ϕ′(+ x ) = 0 (0 0 , cßn tr−êng hîp ω1 < 0 còng lý luËn t−¬ng tù).
2 2



L
Gäi P0 (t ) lµ lùc nÐn cña ®Öm lªn ®Çu cäc trong kho¶ng 0 ≤ t ≤
a
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-54) cã d¹ng:
KCa 2
P0 (t ) = e − nt (C 1 cos ω1 t + C 2 sin ω1 t ) +
ω1 + n 2
2



C¸c h»ng sè C1 vµ C2 ®−îc x¸c ®Þnh dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña P0 (t ) vµ P 0 (t ) .

Víi t = 0 th× P0 (0) = 0 vµ P 0 (0) = CV . Tõ ®ã ta cã:

KCa 2 1 ⎛ KCa 2 ⎞
C1 = − ; C 2 = ⎜ CV − n 2 ⎟
ω1 + n 2
2
ω1 ⎜
⎝ ω1 + n 2 ⎟


105
Theo (4-4a) vµ (4-51a), sãng thuËn ë miÒn 1 cã d¹ng:
1 ⎛ x⎞
ϕ′(at − x) = − K(at − x) + P0 ⎜ t − ⎟ (4-55)
EF ⎝ a ⎠

øng suÊt trong cäc ë miÒn 1 cã d¹ng:
1 ⎛ x⎞
σ = E[− ϕ′(at − x ) − K(at − x)] = − P0 ⎜ t − ⎟
F ⎝ a⎠
L
Gi¶ thiÕt t¹i ®−êng biªn t = gi÷a miÒn 1 vµ 2 th× hµm dÞch chuyÓn lµ hµm liªn tôc:
a
⎛L ⎞ ⎛L ⎞
U ⎜ − 0; x ⎟ = U⎜ + 0; x ⎟
⎝a ⎠ MiÒn 1 ⎝a ⎠ MiÒn 2

Do ®ã: ϕ1 (at − x) MiÒn 1 = ϕ′2 (at − x) MiÒn 2


VËy sãng thuËn ë miÒn 1, 2 vµ 4a, 4 gièng nhau:
1 ⎛ x⎞
ϕ′(at − x) = −K(at − x) + P0 ⎜ t − ⎟
EF ⎝ a ⎠
Tõ (4-53b) vµ (4-55) øng suÊt trong cäc ë miÒn 2 cã d¹ng:

[
σ = E − ϕ, (at − x) − K(L − x) = − ] 1 ⎛ x⎞
P0 ⎜ t − ⎟ + EK(at − L )
F ⎝ a⎠
L
XÐt tr−êng hîp cäc ch−a lón ngay t¹i t = :
a
Gäi ty lµ thêi ®iÓm cäc b¾t ®Çu lón, ty ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn lón t¹i ®¸y cäc.
Khi sãng ϕ′(at − x) ch−a truyÒn tíi ®¸y cäc th× øng suÊt t¹i ®¸y cäc b»ng kh«ng.
L ∂U
Khi t > th× øng suÊt t¹i ®¸y cäc t¨ng dÇn nh−ng EF < −R nªn ®¸y cäc vÉn
a ∂x
∂U
ch−a lón. T¹i thêi ®iÓm t = ty th× EF = −R vµ ®¸y cäc b¾t ®Çu lón.
∂x
L
Khi < t < t y th× cäc ch−a lón. Do ®ã sãng ph¶n ψ ′(at + x) ë miÒn 4a, 5a, 6a ®−îc
a
x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn biªn (4-6c).
∂U
= a[ϕ′(at − x) + ψ ′(at + x)] = 0
∂t
VËy: ψ ′(at + x) = −ϕ′(at − x)
Tõ (4-55) sãng ph¶n cña cäc ë miÒn 4a, 5a, vµ 6a lµ:

106
1 ⎛ x − 2L ⎞
ψ ′(at + x) = − P0 ⎜ t + ⎟ + K(at + x − 2L ) (4-56)
F ⎝ a ⎠

øng suÊt trong cäc ë miÒn 4a cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t + a ⎟⎥ + EK(2at + x − 3L )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
2L
Trong kho¶ng thêi gian t y < t < cäc lón.
a
Tõ (4-6b), ta cã sãng ψ ′(at + x) ë c¸c miÒn 4, 5, 6b, 6 lµ:

1 ⎡ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
ψ ′(at + x) = ⎢ P0 ⎜ t + a ⎟ − R⎥ − K(at + x − 2L ) (4-57)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
Tõ (4-53c), (4-55) vµ (4-57) øng suÊt trong cäc ë miÒn 4 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟⎥ − EK(L − x)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
L 2L
2. XÐt trong kho¶ng thêi gian ≤t≤
a a
ë miÒn 2 vµ 3, hµm dÞch chuyÓn U cña cäc cã d¹ng (4-53b). Lý luËn t−¬ng tù nh−
trªn, ta cã ph−¬ng tr×nh lùc nÐn P(t) cña ®Öm lªn ®Çu cäc:
•• •
P (t ) = 2n P(t ) + (ω1 + n 2 )P(t ) = 0
2
(4-45)
Gäi P1(t) lµ lùc nÐn cña ®Öm lªn ®Çu cäc trong kho¶ng ®ang xÐt, nghiÖm tæng qu¸t cña
(4-45) cã d¹ng:
P1 (t ) = e − nt (C 3 cos ω1t + C 4 sin ω1t )

L
C¸c h»ng sè C3, C4 t×m ®−îc dùa vµo tÝnh liªn tôc cña hµm P(t) t¹i t = .
a
⎛L⎞ ⎛L⎞ •
⎛L⎞ • ⎛L⎞
P1 ⎜ ⎟ = P0 ⎜ ⎟ vµ P 1 ⎜ ⎟ = P 0 ⎜ ⎟
⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝a⎠
Suy ra:

⎛L⎞
nL
L L
C 3 cos ω1 + C 4 sin ω1 = e a P0 ⎜ ⎟ (a)
a a ⎝a⎠

L 1 a ⎡ ⎛ L ⎞ • ⎛ L ⎞⎤
nL
L
− C 3 sin ω1 + C 4 cos ω1 = e ⎢ nP0 ⎜ ⎟ + P 0 ⎜ ⎟⎥ (b)
a a ω1 ⎣ ⎝a⎠ ⎝ a ⎠⎦


107
⎧ L L
⎪C 3 = α cos ω1 a − β sin ω1 a

Tõ (a) vµ (b) ta cã: ⎨
⎪C = β cos ω L + α sin ω L
⎪ 4

1
a
1
a

⎛L⎞ ⎡ ⎛ L ⎞ • ⎛ L ⎞⎤
nL nL
1
α = e a P0 ⎜ ⎟; β = ⎢ nP0 ⎜ a ⎟ + P 0 ⎜ a ⎟⎥
a
Víi: e
⎝a⎠ ω1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ ®©y ta cã sãng ϕ′(at − x) ë c¸c miÒn 3, 5a, 5, 7 lµ:

1 ⎛ x⎞
ϕ′(at − x) = P1 ⎜ t − ⎟ − KL (4-58)
EF ⎝ a ⎠

øng suÊt trong cäc ë miÒn 3 cã d¹ng:
1 ⎛ x⎞
σ = E[− ϕ′(at − x) − K(L − x)] = − P1 ⎜ t − ⎟ + EKx
F ⎝ a⎠
Tõ (4-53b), (4-56) vµ (4-58) øng suÊt trong cäc ë miÒn 5a cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t + a ⎟⎥ + EK(at + 2x − 2L )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

øng suÊt trong cäc ë miÒn 5 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟ − R⎥ − EK(at − 2L )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
Dùa vµo (4-6b) ë ®¸y cäc thuéc miÒn 7, ta cã sãng ph¶n ë miÒn 7, 8a, 8 vµ 9 cña cäc lµ:
1 ⎡ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
ψ ′(at + x) = ⎢ P1 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ − KL (4-59)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
øng suÊt trong cäc ë miÒn 7 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ + P1 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ − EK(L − x)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

2L L
3. XÐt trong kho¶ng thêi gian: ≤ t ≤ + ty
a a
Trong kho¶ng nµy, sãng ph¶n ®· xuÊt hiÖn ë ®Çu cäc. Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta cã
ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh lùc nÐn cña ®Öm ®µn håi lªn ®Çu cäc P2 (t ) lµ:
•• •
P 2 (t ) + 2n P 2 (t ) + (ω1 + n 2 )P2 (t ) = −2Ca 2 ψ ′′(at )
2
(4-44)
Tõ (4-56), sãng ph¶n t¹i ®Çu cäc trong miÒn 6a lµ:

108
1 L
ψ ′(at ) = − P0 (t − 2 ) + K(at − 2L )
EF a
1 • L
ψ ′′(at ) = − P 0 (t − 2 ) + K
EFa a
Thay vµo (4-44) ta cã:
•• •
1 • ⎛ 2L ⎞
P 2 (t ) + 2 n P 2 (t ) + (ω1 + n 2 )P2 (t ) = 2Ca P0⎜t − ⎟ − 2Ca K
2 2
(4-60)
EF ⎝ a ⎠
Trong ®ã:
⎛ 2L ⎞
⎟⎡ 2L ⎞ ⎤

⎛ L⎞ −n⎜ t −
⎛ 2L ⎞ ⎛
P 0 ⎜ t − 2 ⎟ = e ⎝ a ⎠ ⎢(ω1 C 2 − nC 1 ) cos ω1 ⎜ t − ⎟ − (ω1C 1 + nC 2 ) sin ω1 ⎜ t − ⎟
⎝ a⎠ ⎣ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠⎥⎦
Ph−¬ng tr×nh (4-60) ®−îc viÕt d−íi d¹ng:
⎛ 2L ⎞
•• • −n⎜ t − ⎟ ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞ ⎤
P 2 (t ) + 2n P 2 (t ) + (ω + n )P2 (t ) = e
2
1
2 ⎝ a ⎠
⎢A cos ω1 ⎜ t − a ⎟ + B sin ω1 ⎜ t − a ⎟⎥ − 2Ca K
2

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(4-61)
1 1
Víi: A = 2Ca (ω1C 2 − nC1 ); B = −2Ca ( nC 2 + ω1C 1 )
EF EF
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-61) cã d¹ng:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t− ⎟ 2KCa 2
P2 (t ) = e ⎝ a ⎠
.P 2 (t ) − (4-62)
ω1 + n 2
2



Víi P2 (t ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
••
⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞
P2 (t ) + ω1 P2 (t ) = A cos ω1 ⎜ t −
2
⎟ + B sin ω1 ⎜ t − ⎟ (4-63)
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-63) cã d¹ng :
t ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞⎤
P2 (t ) = C 5 cos ω1 t + C 6 sin ω1 t + ⎢A sin ω1 ⎜ t − a ⎟ − B cos ω1 ⎜ t − a ⎟⎥ (4-64)
2ω1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm P(t) ta x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ c¸c h»ng sè C5 vµ C6. Ta cã:
⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞
P2 ⎜ ⎟ = P1 ⎜ ⎟ (a′)
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠

⎛ 2L ⎞ • ⎛ 2L ⎞
P2⎜ ⎟ = P1 ⎜ ⎟ (b′)
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
⎛ 2L ⎞ KCa 2 ⎛ 2L ⎞
Tõ (4-62) vµ (a′) ta cã: P2 ⎜ ⎟−2 2 = P1 ⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ω1 + n 2
⎝ a ⎠

109
⎛L⎞ ⎛ L ⎞ 2KCa
2
Suy ra: P2 ⎜ ⎟ = P1 ⎜ ⎟ + 2
⎝a⎠ ⎝ 2 ⎠ ω1 + n
2



Tõ (4- 64) ta cã:

⎛ L⎞ ⎛ L ⎞ LB 2KCa 2 ⎛ 2L ⎞
C 5 cos⎜ 2ω1 ⎟ + C 6 sin⎜ 2ω1 ⎟ − − 2 = P1 ⎜ ⎟
⎝ a⎠ ⎝ a ⎠ aω1 ω1 + n 2
⎝ a ⎠

⎛ L⎞ ⎛ L⎞ ⎛ 2L ⎞ LB 2KCa
2
Hay: C 5 cos⎜ 2ω1 ⎟ + C 6 sin⎜ 2ω1 ⎟ = P1 ⎜ ⎟ + + 2 (c′)
⎝ a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠ aω1 ω1 + n
2



Tõ (b′) vµ (4-62) ta cã:

⎛L⎞ • ⎛L⎞ ⎛L⎞ KCa 2
P2 ⎜ ⎟ = P 1 ⎜ ⎟ + nP1 ⎜ ⎟ + 2n 2 (d′)
⎝a⎠ ⎝a⎠ ⎝a⎠ ω1 + n 2
Tõ (4-63) ta cã:

⎛ 2L ⎞ ⎡ ⎛ L⎞ ⎛ L ⎞⎤ B LA
P2 ⎜ ⎟ = ω1 ⎢− C 5 sin⎜ 2ω1 ⎟ + C 6 cos⎜ 2ω1 ⎟⎥ − +
⎝ a ⎠ ⎣ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠⎦ 2ω1 2

Thay gi¸ trÞ nµy vµo (d′) ta cã:

⎛ L⎞ ⎛ L⎞ 1 ⎡ B LA • ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞ KCa 2 ⎤
− C 5 sin⎜ 2ω1 ⎟ + C 6 cos⎜ 2ω1 ⎟ = ⎢ − + P1 ⎜ ⎟ + nP1 ⎜ ⎟ − 2n 2 ⎥
⎝ a⎠ ⎝ a ⎠ ω1 ⎣ 2ω1 2 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ω1 + n 2 ⎦

(e′)
⎧ ⎛ L⎞ ⎛ L⎞
⎪C 5 = Q1 cos⎜ 2ω1 a ⎟ − Q 2 sin⎜ 2ω1 a ⎟
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tõ (c′) vµ (e′) ta cã: ⎨
⎪C = Q cos⎛ 2ω L ⎞ + Q sin⎛ 2ω L ⎞
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎪ 6

2
⎝ a⎠
1
⎝ a⎠

⎧ ⎛ 2L ⎞ LB 2KCa
2

⎪Q1 = P1 ⎜ ⎟+ + 2
⎝ a ⎠ aω1 ω1 + n
2

Trong ®ã: ⎨
⎪Q = 1 ⎡ B − LA + P 1 ⎛ 2L ⎞ + nP ⎛ 2L ⎞ + 2 nKCa ⎤
• 2

⎪ 2 ω1 ⎢ 2ω1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎥
⎝ a ⎠ ω1 + n ⎦
1
⎝ a ⎠
2
⎩ ⎣ 2

VËy c«ng thøc x¸c ®Þnh P2(t) lµ:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t − ⎟ ⎧ t ⎡ ⎛ 2L ⎞
P2 (t ) = e ⎝ a ⎠
⎨C 5 cos ω1 t + C 6 sin ω1 t + ⎢A sin ω1 ⎜ t − a ⎟
⎩ 2ω1 ⎣ ⎝ ⎠
(4-65)
⎛ 2L ⎞ ⎤ ⎫ KCa 2
− B cos ω1 ⎜ t − ⎟⎥ ⎬ − 2 2
⎝ a ⎠⎦ ⎭ ω1 + n 2

110
Tõ ®iÒu kiÖn biªn (4-6a) ta cã sãng ϕ′(at − x) ë c¸c miÒn 6a, 6b, 8a, 10a lµ:

1 ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x + 2L ⎞ ⎤
ϕ′(at − x) = ⎢ P2 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t − a ⎟⎥ + K(at − x − 3L) (4-66)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

øng suÊt trong cäc ë miÒn 6a cã d¹ng:
1 ⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢ P0 ⎜ t − a ⎟ − P2 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t + a ⎟⎥ + 3EKx
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ (4-51)vµ (4-66), øng suÊt trong cäc ë miÒn 6b cã d¹ng:
1 ⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢ P0 ⎜ t − a ⎟ − P2 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ − EK(2at − x − 4L )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
Tõ (4-53) vµ (4-66), øng suÊt ë miÒn 8a cã d¹ng:
⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ = ⎢ P0 ⎜ t − ⎟ − P2 ⎜ t − ⎟ + P1 ⎜ t + ⎟ − R ⎥ − EK(at − 2x − L )
⎣ ⎝ a ⎠ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠ ⎦
Tr−êng hîp cäc lón ë miÒn 10a, tõ (4-6b) vµ (4-66) sãng ψ ′(at + x) ë c¸c miÒn 10a,
10b, 11a, 13a lµ:
1 ⎡ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
ψ ′(at + x ) = ⎢− P0 ⎜ t + a ⎟ + P2 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ + K(at + x − 5L ) (4-67)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
øng suÊt trong cäc ë miÒn 10a cã d¹ng:

1 ⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢P0 ⎜ t − a ⎟ − P2 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t + a ⎟ + P2 ⎜ t + a ⎟ − R⎥ + 3EK(L − x)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
L 3L
4. XÐt trong kho¶ng thêi gian + ty ≤ t ≤
a a
Trong kho¶ng nµy, sãng ph¶n ®· xuÊt hiÖn ë ®Çu cäc. Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta cã
ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh lùc nÐn cña ®Öm ®µn håi lªn ®Çu cäc P(t) lµ:
•• •
P(t ) + 2 n P(t ) + (ω1 + n 2 )P(t ) = −2Ca 2 ψ ′′(at)
2
(4-44)
Tõ (4-6b)vµ (4-55), sãng ph¶n t¹i ®Çu cäc trong miÒn 6 lµ:
1 ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎤
ψ ′(at ) = ⎢ P0 ⎜ t − a ⎟ − R ⎥ − K(at − 2L )
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ (4-68)
1 • ⎛ 2L ⎞
ψ ′′(at ) = P0⎜t − ⎟−K
EFa ⎝ a ⎠
Thay vµo (4-44) vµ gäi lùc nÐn P(t) lµ P3(t) ta cã:


111
•• •
1 • ⎛ 2L ⎞
P 3 (t ) + 2n P3 (t ) + (ω1 + n 2 )P3 (t ) = −2Ca
2
P0⎜t − ⎟ + 2Ca k
2
(4-69)
EF ⎝ a ⎠
Trong ®ã:
⎛ 2L ⎞
⎛ 2L ⎞ a ⎠⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ L ⎞⎤
• −n⎜ t − ⎟
P0⎜t − ⎟=e ⎝ ⎢(ω1C 2 − nC 1 ) cos ω1 ⎜ t − a ⎟ − (ω1C 1 + nC 2 ) sin ω1 ⎜ t − a ⎟⎥ + 2Ca K
2

⎝ a ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Ph−¬ng tr×nh (4-69) ®−îc viÕt d−íi d¹ng:
⎛ 2L ⎞
•• • −n ⎜ t − ⎟ ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞⎤
P 3 (t ) + 2n P 3 (t ) + (ω + n )P3 (t ) = e ⎢A1 cos ω1 ⎜ t − a ⎟ + B1 sin ω1 ⎜ t − a ⎟⎥ + 2Ca K
2 2 ⎝ a ⎠ 2
1
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
1 1
Víi: A1 = −2Ca (ω1C 2 − nC 1 ); B 1 = 2Ca ( nC 2 + ω1C 1 )
EF EF
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-69) cã d¹ng:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t − ⎟ KCa 2
P3 (t ) = e ⎝ a ⎠
P 3 (t ) + 2 (4-70)
ω1 + n 2
2



Víi P3 (t ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
••
⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞
P3 (t ) + ω1 P3 (t ) = A 1 cos ω1 ⎜ t −
2
⎟ + B 1 sin ω1 ⎜ t − ⎟ (4-71)
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-71) cã d¹ng:
t ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞ ⎤
P3 (t ) = C 7 cos ω1 t + C 8 sin ω1 t + ⎢A 1 sin ω1 ⎜ t − a ⎟ − B 1 cos ω1 ⎜ t − a ⎟⎥
2ω1 ⎣
(4-72)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm P(t) ta x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ c¸c h»ng sè C7 vµ C8. Ta cã:
⎛L ⎞ ⎛L ⎞
P3 ⎜ + t y ⎟ = P2 ⎜ + t y ⎟ (a′′)
⎝a ⎠ ⎝a ⎠

⎛L ⎞ • ⎛L ⎞
P3⎜ + ty ⎟ = P2⎜ + ty ⎟ (b′′)
⎝a ⎠ ⎝a ⎠
⎛ L⎞
⎛L ⎞ −n⎜ t y − ⎟ ⎡
⎛L ⎞ KCa 2 ⎤
Tõ (4-70) vµ (a′′) ta cã: P3 ⎜ + t y ⎟ = e ⎝ a ⎠ ⎢ P2 ⎜ + t y ⎟ − 2 2 ⎥
⎝a ⎠ ⎣ ⎝a ⎠ ω1 + n 2 ⎦

Tõ (4-72) ta cã:
⎛ L⎞
⎛L ⎞ ⎛L ⎞ −n⎜ t y − ⎟ ⎡
⎛L ⎞ KCa 2 ⎤
C 7 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ + C 8 sin ω1 ⎜ + t y ⎟ = e ⎝ a ⎠ ⎢ P2 ⎜ + t y ⎟ − 2 2 ⎥
⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ⎣ ⎝a ⎠ ω1 + n 2 ⎦
1 ⎛L ⎞⎡ ⎛L ⎞ ⎛L ⎞⎤
+ ⎜ + t y ⎟ ⎢B 1 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ − A1 sin ω1 ⎜ + t y ⎟⎥
2ω1 ⎝ a ⎠⎣ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠⎦

112
Tõ (b′′) ta cã:

⎞ 1 ⎧ −n⎜ t y − a ⎟ ⎡ • ⎛ L
⎛ L⎞
⎛L ⎞ ⎛L ⎪ ⎝ ⎠ ⎞ ⎛L ⎞ KCa ⎤
2
− C 7 sin ω1 ⎜ + t y ⎟ + C 8 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ = ⎨e ⎢ P 2 ⎜ + t y ⎟ + nP2 ⎜ + t y ⎟ − 2 2⎥
⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ω1 ⎪
⎩ ⎣ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ω1 + n ⎦
⎡A B ⎛L ⎞⎤ ⎛ L⎞ ⎡ B A ⎛L ⎞⎤ ⎛ L ⎞⎫
− ⎢ 1 + 1 ⎜ + t y ⎟⎥ sin ω1 ⎜ t y − ⎟ + ⎢ 1 − 1 ⎜ + t y ⎟⎥ cos ω1 ⎜ t y − ⎟⎬
⎣ 2ω1 2 ⎝ a ⎠⎦ ⎝ a ⎠ ⎣ 2ω1 2 ⎝ a ⎠⎦ ⎝ a ⎠⎭

⎛L ⎞ ⎛L ⎞
Do ®ã ta cã: C 7 = Q 3 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ − Q 4 sin ω1 ⎜ + t y ⎟
⎝a ⎠ ⎝a ⎠
⎛L ⎞ ⎛L ⎞
C 8 = Q 4 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ + Q 3 sin ω1 ⎜ + t y ⎟
⎝a ⎠ ⎝a ⎠
Trong ®ã:
⎛ L⎞
⎡ ⎛L
−n⎜ t y − ⎟
⎞ KCa 2 ⎤
Q3 = e ⎢ P2 ⎜ + t y ⎟ − 2 2
⎝ a⎠

⎣ ⎝a ⎠ ω1 + n 2 ⎦
1 ⎛L ⎞⎡ ⎛L ⎞ ⎛L ⎞⎤
+ ⎜ + t y ⎟ ⎢B 1 cos ω1 ⎜ + t y ⎟ − A1Sinω1 ⎜ + t y ⎟⎥
2ω1 ⎝ a ⎠⎣ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠⎦

1 ⎧ −n⎛ t y − L ⎞ ⎡ • ⎛ L
⎪ ⎜ a⎟ ⎞ ⎛L ⎞ KCa 2 ⎤
Q4 = ⎨e ⎝ ⎠ ⎢P2 ⎜ + t y ⎟ + nP2 ⎜ + t y ⎟ − 2 2 ⎥
ω1 ⎪ ⎣ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ω1 + n 2 ⎦

⎡A 1 ⎛L ⎞⎤ ⎛ L⎞ ⎡ B 1 ⎛L ⎞⎤ ⎛ L ⎞⎫
− ⎢ 1 + B 1 ⎜ + t y ⎟⎥ sin ω1 ⎜ t y − ⎟ + ⎢ 1 − A1 ⎜ + t y ⎟⎥ cos ω1 ⎜ t y − ⎟⎬
⎣ 2ω1 2 ⎝ a ⎠⎦ ⎝ a ⎠ ⎣ 2ω1 2 ⎝ a ⎠⎦ ⎝ a ⎠⎭

VËy c«ng thøc x¸c ®Þnh lùc nÐn P3(t) lµ:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t − ⎟ ⎧ t ⎡ ⎛ L⎞
P3 (t ) = e ⎝ a ⎠
⎨C 7 cos ω1 t + C 8 sin ω1 t + ⎢A 1 sin ω1 ⎜ t − 2 a ⎟
⎩ 2ω1 ⎣ ⎝ ⎠
⎛ L ⎞⎤ ⎫ KCa 2
+ B 1 cos ω1 ⎜ t − 2 ⎟⎥ ⎬ + 2 2
⎝ a ⎠⎦ ⎭ ω1 + n 2

VËy sãng thuËn ϕ′(at − x) trong c¸c miÒn 6, 8, 10b, 10 lµ:

1 ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x + 2L ⎞ ⎤
ϕ′(at − x) = ⎢ P3 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t − a ⎟ − R ⎥ − K(at − x − L ) (4-73)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
øng suÊt trong cäc ë miÒn 6 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − a ⎟ − P3 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟⎥ − EKx
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦


113
Theo (4-59) vµ (4-73), øng suÊt trong cäc ë miÒn 8 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − a ⎟ − P3 ⎜ t − a ⎟ + P1 ⎜ t + a ⎟⎥ + EK(at − 3L )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Theo (4-67) vµ (4-70), øng suÊt trong cäc ë miÒn 10b cã d¹ng:

1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − ⎟ − P0 ⎜ t + ⎟ − P3 ⎜ t − ⎟ + P2 ⎜ t + ⎟⎥ + EK(2at + x − 7L)
F⎣ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a⎠ ⎝ a ⎠⎦

Theo ®iÒu kiÖn biªn (4-6c) sãng ψ ′(at + x) trong c¸c miÒn 10, 11, 13 lµ:

1 ⎡ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
ψ ′(at + x) = ⎢P0 ⎜ t + a ⎟ + P3 ⎜ t + a ⎟ − 2R ⎥ − K(at + x − 3L ) (4-74)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
Tõ (4-70), (4-67) øng suÊt trong cäc ë miÒn 10 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P0 ⎜ t − a ⎟ − P3 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟ + P3 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ − EK(L − x)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
3L 4L
5. XÐt trong kho¶ng thêi gian: ≤t≤
a a
Trong kho¶ng nµy, sãng ph¶n ®· suÊt hiÖn ë ®Çu cäc. Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta cã
ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh lùc nÐn cña ®Öm ®µn håi lªn ®Çu cäc lµ:
•• •
P (t ) + 2n P (t ) + (ω1 + n 2 )P (t ) = −2Ca 2 ψ ′′(at )
2



1 • ⎛ 2L ⎞
Tõ (4-59) ta cã: ψ ′′(at ) = P1 ⎜ t − ⎟
EFa ⎝ a ⎠
Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn ta cã:
•• •
1 • ⎛ 2L ⎞
P 4 (t ) + 2 n P 4 (t ) + (ω1 + n 2 )P4 (t ) = −2Ca
2
P1 ⎜ t − ⎟ (4-75)
EF ⎝ a ⎠
Trong ®ã:
⎛ 2L ⎞
⎛ 2L ⎞ a ⎠⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞⎤
• −n⎜ t − ⎟
P1 ⎜ t − ⎟=e ⎝ ⎢(ω1C 4 − nC 3 ) cos ω1 ⎜ t − a ⎟ − (ω1C 3 + nC 4 ) sin ω1 ⎜ t − a ⎟⎥
⎝ a ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
VËy ph−¬ng tr×nh (4-75) ®−îc viÕt:
⎛ 2L ⎞
•• • ⎡ −n⎜ t −
⎛ 2L ⎞

⎛ 2L ⎞ ⎤
P 4 (t ) + 2 n P 4 (t ) + (ω + n )P4 (t ) = e ⎢A 2 cos ω1 ⎜ t − a ⎟ + B 2 sin ω1 ⎜ t − a ⎟⎥
2 2 ⎝ a ⎠
1
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(4-75a)
1 1
Víi: A 2 = 2Ca ( nC 3 − ω1C 4 ); B 2 = 2Ca ( nC 4 + ω1C 3 )
EF EF

114
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-75a) cã d¹ng:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t − ⎟
P4 (t ) = e ⎝ a ⎠
P4 (t ) (4-76)
Víi P4 (t ) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
••
⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞
P4 (t ) + ω1 P4 (t ) = A 2 cos ω1 ⎜ t −
2
⎟ + B 2 sin ω1 ⎜ t − ⎟ (4-75b)
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
NghiÖm tæng qu¸t cña (4-75b) cã d¹ng:
t ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞ ⎤
P4 (t ) = C 9 cos ω1 t + C 10 sin ω1 t + ⎢A 2 sin ω1 ⎜ t − a ⎟ − B 2 ω1 cos⎜ t − a ⎟⎥
2ω1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm P(t) ta x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ c¸c h»ng sè C9 vµ C10, ta cã:
⎛ 3L ⎞ ⎛ 3L ⎞ • ⎛ 3L ⎞ • ⎛ 3L ⎞
P4 ⎜ ⎟ = P3 ⎜ ⎟; P 4 ⎜ ⎟ = P 3 ⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
⎧ ⎛ L⎞ ⎛ L⎞
⎪C 9 = Q 5 cos⎜ 3ω1 a ⎟ − Q 6 sin⎜ 3ω1 a ⎟
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn ta cã: ⎨
⎪C = Q cos⎛ 3ω L ⎞ + Q sin⎛ 3ω L ⎞
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎪ 10

6
⎝ a⎠
5
⎝ a⎠
Trong ®ã:
⎛ 3L ⎞ 3L ⎡ ⎛ L⎞ ⎛ L ⎞⎤
nL

Q 5 = e P3 ⎜ ⎟ + ⎢B 2 cos⎜ ω1 a ⎟ − A 2 sin⎜ ω1 a ⎟⎥
a

⎝ a ⎠ 2aω1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
1 n a ⎡ • ⎛ 3L ⎞ ⎛ 3L ⎞⎤ ⎛ A 3L ⎞ ⎛ L ⎞
L
Q6 = e ⎢ P 3 ⎜ ⎟ + nP3 ⎜ ⎟⎥ − ⎜ 2 + ⎟ sin⎜ ω1 ⎟
ω1 ⎣ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠⎦ ⎝ 1 2aω1 ⎟ ⎝ a ⎠
⎜ 2ω

⎛ 3L B ⎞ ⎛ L⎞
−⎜ ⎟ cos⎜ ω1 ⎟
⎜ 2aω − 2ω 2 ⎟ ⎝ a⎠
⎝ 1 1 ⎠
VËy c«ng thøc x¸c ®Þnh lùc P4(t) lµ:
⎛ 2L ⎞
−n⎜ t − ⎟ ⎧ t ⎡ ⎛ 2L ⎞ ⎛ 2L ⎞⎤ ⎫
P4 (t ) = e ⎝ a ⎠
⎨C 9 cos ω1 t + C 10 sin ω1 t + ⎢A 2 sin ω1 ⎜ t − a ⎟ − B 2 ω1 cos⎜ t − a ⎟⎥ ⎬
⎩ 2ω1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎭

VËy sãng thuËn ϕ′(at − x) trong c¸c miÒn 9, 11a, 11, 12 lµ:
1 ⎡ ⎛ x⎞ ⎛ x + 2L ⎞ ⎤
ϕ′(at − x) = ⎢ P4 ⎜ t − a ⎟ + P1 ⎜ t − a ⎟ − R ⎥ − 2KL (4-77)
EF ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
øng suÊt trong cäc ë miÒn 9 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ − P4 ⎜ t − a ⎟ + P1 ⎜ t + a ⎟⎥ + EKx
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

115
Theo (4-53c) øng suÊt trong cäc miÒn 11a cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ − P4 ⎜ t − a ⎟ − P0 ⎜ t + a ⎟ + P2 ⎜ t + a ⎟⎥ + EK(at + 2x − 4L)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Tõ (4-74) vµ (4-77) øng suÊt trong cäc ë miÒn 11 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞ ⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ − P4 ⎜ t − a ⎟ + P0 ⎜ t + a ⎟ + P3 ⎜ t + a ⎟ − R ⎥ − EK(at − 4L)
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
XÐt cäc vÉn lón trong miÒn 12, theo (4-6c) ta cã sãng ψ ′(at + x ) ë miÒn 12 lµ:
1 ⎡ x − 4L x − 2L ⎤
ψ ′(at + x) = ⎢ P1 (t + a ) + P4 (t + a ) − 2R ⎥ − 2KL (4-78)
EF ⎣ ⎦
øng suÊt trong cäc ë miÒn 12 cã d¹ng:
1⎡ ⎛ x + 2L ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x − 4L ⎞ ⎛ x − 2L ⎞⎤
σ= ⎢− P1 ⎜ t − a ⎟ − P4 ⎜ t − a ⎟ + P1 ⎜ t + a ⎟ + P4 ⎜ t + a ⎟⎥ − EK(L − x )
F⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
Lý luËn t−¬ng tù nh− trªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc tr¹ng th¸i øng suÊt cña cäc trong
c¸c miÒn tiÕp theo cho ®Õn khi va ch¹m kÕt thóc vµ thêi gian va ch¹m cña bóa vµo cäc ®−îc
x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh P(t) = 0.

4.2.3.3 TÝnh to¸n víi sè liÖu cô thÓ
1. Bóa
Bóa §iezel, khèi l−îng ®Çu bóa M = 1,8 T; chiÒu cao r¬i H = 1,8m.
2. §Öm
TÝnh to¸n víi ®Öm ®Çu cäc thay ®æi øng víi mét sè gi¸ trÞ cña th«ng sè ®Æc tr−ng cho
CL
®Öm ®Çu cäc (γ) lµ: 0,165; 0,195; 0,235 víi γ = . ë ®©y C lµ ®é cøng cña ®Öm; L lµ
EF
chiÒu dµi cäc; E, F lµ M«®un ®µn håi vµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña cäc.
3.Cäc
KÝch th−íc cäc: 30x30x1000cm, M¸c bª t«ng 200.
M«®un ®µn håi cña cäc: E = 3,11.10 5 kG / cm 2
4. §Êt nÒn
Cäc chÞu lùc ma s¸t mÆt bªn ph©n bè ®Òu víi q = 3,4T / m 2 . §¸y cäc chÞu lùc c¶n cña
®Êt víi c−êng ®é tiªu chuÈn R = 240T / m 2 .
Víi sè liÖu trªn, tõ nh÷ng c«ng thøc tÝnh øng suÊt trong cäc ®· thiÐt lËp ®−îc ë trªn,
sö dông ng«n ng÷ lËp tr×nh Pascal, viÕt ch−¬ng tr×nh ch¹y trªn m¸y vi tÝnh ta nhËn ®−îc c¸c
kÕt qu¶ tÝnh to¸n lµ c¸c ®−êng ®å thÞ biÓu diÔn øng suÊt trong cäc vµ c¸c b¶ng gi¸ tri t−¬ng
øng kÌm theo, tõ trang 117 ®Õn trang 122.

116
B¶ng gi¸ trÞ øng suÊt t¹i tiÕt diÖn x = 0 cm

t σ1(KG/cm2) σ2(KG/cm2) σ3(KG/cm2)
0,0000 0,000 0,000 0,000
0,0005 15,010 17,688 21,236
0,0010 29,491 34,643 41,414
0,0015 43,370 50,765 60,401
0,0020 56,578 65,966 78,080
0,0025 69,053 80,166 94,348
0,0030 80,738 93,295 109,122
0,0035 91,584 105,294 122,332
0,0040 101,548 116,114 133,927
0,0045 110,593 125,716 143,873
0,0050 118,691 134,072 152,148
0,0055 125,819 141,162 158,749
0,0060 132,230 147,355 164,230
0,0065 138,080 152,569 167,988
0,0070 142,162 155,374 168,492
0,0075 144,451 155,864 165,970
0,0080 145,025 154,181 160,679
0,0085 143,974 150,480 152,896
0,0090 141,397 144,931 142,917
0,0095 137,404 137,716 131,048
0,0100 132,114 129,027 117,604
0,0105 125,649 119,061 102,904
0,0110 118,139 108,019 87,265
0,0115 109,857 96,298 71,278
0,0120 101,389 84,543 55,593
0,0125 91,805 71,586 38,870
0,0130 81,113 57,637 21,573
0,0135 69,547 43,035 4,201
0,0140 57,337 28,111 0,000
0,0145 44,632 13,047
0,0150 31,566 0,000
0,0155 18,363
0,0160 5,235
0,0165 0,00

σ max (Kg / cm 2 ) 145,045 155,953 168,672



117
118
117
B¶ng gi¸ trÞ øng suÊt t¹i tiÕt diÖn x = 400 cm

t σ1 (KG / cm 2 ) σ 2 (KG / cm 2 ) σ 3 (KG / cm 2 )
0,0000 0,000 0,000 0,000
0,0005 0,000 0,000 0,000
0,0010 0,000 0,000 0,000
0,0015 11,396 13,440 16,151
0,0020 26,014 30,583 36,600
0,0025 40,046 46,917 55,889
0,0030 53,424 62,350 73,897
0,0035 66,083 76,800 90,517
0,0040 77,965 90,196 105,662
0,0045 89,398 102,924 119,799
0,0050 114,579 128,468 142,501
0,0055 111,630 121,434 132,700
0,0060 106,099 113,996 122,427
0,0065 100,274 106,219 111,792
0,0070 86,204 88,764 89,627
0,0075 78,649 84,808 90,129
0,0080 86,521 92,746 97,789
0,0085 92,825 98,636 102,725
0,0090 97,608 102,570 105,113
0,0095 100,927 104,653 105,152
0,0100 102,848 105,007 103,062
0,0105 115,300 117,678 114,307
0,0110 108,110 101,614 87,860
0,0115 92,422 81,839 62,833
0,0120 77,145 62,897 39,422
0,0125 57,639 39,342 11,108
0,0130 36,317 19,938 0,000
0,0135 37,871 21,265
0,0140 38,098 21,110
0,0145 37,156 19,714
0,0150 35,208 17,313
0,0155 32,374 0,000
0,0160 37,268
0,0165 0,000


σ max (KG/cm2) 119,219 129,019 144,746


119
120
B¶ng gi¸ trÞ øng suÊt t¹i tiÕt diÖn x = 1000 cm

t σ1 (KG / cm 2 ) σ 2 (KG / cm 2 ) σ 3 (KG / cm 2 )
0,0000 0,000 0,000 0,000
0,0005 0,000 0,000 0,000
0,0010 0,000 0,000 0,000
0,0015 0,000 0,000 0,000
0,0020 0,000 0,000 0,000
0,0025 0,000 0,000 0,000
0,0030 11,840 13,977 16,820
0,0035 33,000 33,000 33,000
0,0040 33,000 33,000 33,000
0,0045 33,000 33,000 33,000
0,0050 33,000 33,000 33,000
0,0055 33,000 33,000 33,000
0,0060 33,000 33,000 33,000
0,0065 33,000 33,000 33,000
0,0070 33,000 33,000 33,000
0,0075 33,000 33,000 33,000
0,0080 33,000 33,000 33,000
0,0085 33,000 33,000 33,000
0,0090 33,000 33,000 33,000
0,0095 33,000 33,000 33,000
0,0100 33,000 33,000 33,000
0,0105 33,000 33,000 33,000
0,0110 33,000 33,000 33,000
0,0115 33,000 33,000 33,000
0,0120 33,000 33,000 33,000
0,0125 33,000 33,000 33,000
0,0130 33,000 33,000 33,000
0,0135 33,000 33,000 33,000
0,0140 33,000 33,000 33,000
0,0145 33,000 33,000
0,0150 33,000 33,000
0,0155 33,000
0,0160 33,000
0,0165 33,000


σ max (KG / cm 2 ) 33,000 33,000 33,000


122
121
122
121
NhËn xÐt:
1- S¬ ®å bµi to¸n cã ®−a ®Öm ®µn håi g¾n vµo ®Çu cäc lµ phï hîp víi thùc tÕ khi ®ãng
cäc nh»m tr¸nh vì ®Çu cäc.
2- §Ó tho¶ m·n nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (4-52) vµ phï hîp víi thùc tÕ th× trong
L
kho¶ng thêi gian 0 ≤ t ≤ ta kh«ng dïng nghiÖm tæng qu¸t cña Ghecxevanèp mµ thay
a
K
b»ng nghiÖm: U = ϕ(at − x) + ψ(at + x) + x 2 − Katx
2
3- Víi ph−¬ng ph¸p lan truyÒn sãng, c¸c hµm sãng ϕ′(at − x) vµ ψ ′(at + x) ®−îc x¸c
®Þnh biÓu diÔn qua lùc nÐn P(t) cña ®Öm t¸c dông lªn ®Çu cäc cho nªn c«ng thøc x¸c ®Þnh
øng suÊt ®−îc biÓu thÞ ng¾n gän vµ thuËn tiÖn cho viÖc sö dông m¸y vi tÝnh.
4- Qua sè liÖu tÝnh to¸n cô thÓ, ta thÊy cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt, ma s¸t mÆt bªn
cña cäc ph©n bè ®Òu, lùc chèng ë ®¸y cäc lµ kh«ng ®æi th× øng suÊt trong cäc chØ chÞu øng
suÊt nÐn. øng suÊt cùc ®¹i th−êng x¶y ra ë ®Çu cäc vµ gi¶m dÇn liªn tôc theo chiÒu dµi cña
R
cäc, ®Õn ®¸y cäc th× øng suÊt b»ng cho nªn ®Ó tr¸nh vì ®Çu cäc, khi thiÕt kÕ cäc th−êng
F
ph¶i gia cè cèt thÐp ë ®Çu cäc vµ khi ®ãng ng−êi ta ph¶i dïng ®Öm vµ mò cäc.




123
Ch−¬ng V
C¬ së cña lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn

Më ®Çu

Lý thuÕt dao ®éng phi tuyÕn nghiªn cøu c¸c chuyÓn ®éng tuÇn hoµn ®−îc m« t¶ bëi
c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn. NhiÒu hiÖn t−îng quan s¸t ®−îc trong lÜnh vùc kü thuËt
giao th«ng vËn t¶i, ®éng lùc häc m¸y, v« tuyÕn ®iÖn, ®éng lùc häc nÒn mãng v.v... ph¶i
®−îc gi¶i thÝch b»ng dao ®éng phi tuyÕn. Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn ph¶n ¸nh tÝnh chÊt
cña chuyÓn ®éng dao ®éng ®Çy ®ñ vµ chÝnh x¸c h¬n.
Thùc tÕ, líp c¸c lùc phi tuyÕn v« cïng phong phó. Tuy vËy, cã thÓ tËp hîp mét sè tÝnh
chÊt chung t¹o thµnh c¸c ®Æc tr−ng s¬ bé vÒ sù kh¸c nhau gi÷a hÖ phi tuyÕn vµ hÖ tuyÕn
tÝnh:
1- Kh«ng thÓ ¸p dông nguyªn lý tæ hîp tuyÕn tÝnh ®èi víi c¸c hÖ phi tuyÕn. NghÜa lµ,
kh«ng thÓ lËp NTQ cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ phi tuyÕn b»ng c¸c NR ®éc lËp.
2- Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh bao giê còng t¾t dÇn. Dao ®éng tuÇn hoµn thùc sù
cña nã chØ cã thÓ x¶y ra d−íi d¹ng dao ®éng c−ìng bøc xuÊt hiÖn do t¸c ®éng cña c¸c lùc
kÝch ®éng tuÇn hoµn tõ bªn ngoµi. Trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra c¸c dao ®éng tù do tuÇn
hoµn æn ®Þnh (ngay c¶ khi cã c¶n), ch¼ng h¹n nh−: Dao ®éng cña con l¾c ®ång hå vµ nhiÒu
hÖ dao ®éng kh¸c.
3- Dao ®éng c−ìng bøc trong hÖ tuyÕn tÝnh do c¸c lùc ®iÒu hßa g©y ra sÏ cã cïng tÇn
sè vµ chu kú víi lùc, cßn trong hÖ phi tuyÕn cã thÓ x¶y ra víi chu kú lùc kÝch ®éng, nh−ng
còng cã thÓ x¶y ra víi chu kú b»ng béi sè nguyªn hoÆc ph©n sè cña chu kú lùc kÝch ®éng.
Do ®ã ®èi víi hÖ phi tuyÕn mét bËc tù do d−íi t¸c dông cña mét lùc ®iÒu hoµ cã thÓ x¶y ra
nhiÒu chÕ ®é céng h−ëng.
4- TÇn sè riªng trong hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu vµ biªn ®é.
PhÇn lín trong c¸c hÖ phi tuyÕn tÇn sè phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng.
Ta minh ho¹ mét sè thÝ dô sau ®Ó lµm râ ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña hÖ kh¶o s¸t:
ThÝ dô 1: Con l¾c to¸n häc: (H×nh 5-1) ta cã:
O
m w = mg + T
ϕ L
ChiÕu lªn ph−¬ng tiÕp tuyÕn τ, th×: T τ
••
mw τ = −mg sin ϕ ⇒ L ϕ+ g sin ϕ = 0

g mg
§Æt: = k 2 , ta nhËn ®−îc:
L H×nh 5-1
••
ϕ+ k 2 sin ϕ = 0 (1)
124
ϕ3 •• ϕ3
Víi dao ®éng bÐ: sin ϕ = ϕ − ... do ®ã: ϕ+ k (ϕ − ) = 0
2
(2)
6 6
••
Khi tuyÕn tÝnh hÖ: ϕ+ k 2 ϕ = 0 (3)
2π L
Nh− ®· biÕt, ë ph−¬ng tr×nh (3) ta cã dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu kú T == 2π
k g
chØ phô thuéc vµo c¸c tham sè cña hÖ mµ kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn
®éng. Râ rµng tÝnh chÊt Êy sÏ kh«ng ®óng víi ph−¬ng tr×nh (2).
ThÝ dô 2: ChÊt ®iÓm nÆng khèi l−îng m g¾n
vµo ®Çu thanh ®µn håi (H×nh 5-2). m

Lùc ®µn håi cho bëi hµm y = f(x). x
Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cã d¹ng:
x
••
m x + f (x) = 0 (4) y = f(x)
ViÖc tuyÕn tÝnh ho¸ ph−¬ng tr×nh (4), tøc thay
®−êng cong y = f(x) bëi ®−êng th¼ng y = kx ®−îc
chÊp nhËn víi gi¸ trÞ rÊt nhá cña x vµ ta cã: O y
••
m x + kx = 0 (5)
Víi x lín th× ph¶i xÐt ®Õn hµm f(x) d−íi d¹ng phi y = kx
tuyÕn.
ThÝ dô 3: XÐt hÖ chØ trªn h×nh vÏ: (H×nh 5-3)
Gäi L lµ ®é dµi ban ®Çu cña lß xo, C lµ hÖ sè H×nh 5-2
cøng cña nã. Gi¶ sö khi t¶i träng ë vÞ trÝ trung b×nh lß
xo kh«ng c¨ng, khi t¶i träng lÖch mét kho¶ng x lß xo gi·n ra mét ®o¹n: x 2 + L2 − L vµ
(
lùc c¨ng cña lß xo lµ: N = C x 2 + L2 − L )
Thµnh phÇn ngang cña lùc x¸c ®Þnh ®Æc tÝnh ®µn håi cña hÖ sÏ b»ng:

⎛ ⎞
⎜ ⎟ P
x ⎜ 1 ⎟ q=x
P=N = Cx⎜1 − ⎟
x 2 + L2 ⎜ x2 ⎟
⎜ 1+ 2 ⎟ m
⎝ L ⎠ q=x
O
Gäi x lµ nhá so víi L, cã thÓ lÊy:
2
1 1⎛ x ⎞
≈ 1− ⎜ ⎟
x2 2⎝L⎠
1+
L2
H×nh 5-3


125
Cx 3
Nh− vËy, ®Æc tr−ng cña hÖ sÏ lµ phi tuyÕn vµ cã: P ≈ 2 (6)
2L
NÕu lß xo cã søc c¨ng ban ®Çu N0, th× khi t¶i träng lÖch mét kho¶ng x, lùc c¨ng toµn
phÇn b»ng:

(
N = N 0 + C x 2 + L2 − L )
x x Cx 3
Vµ thµnh phÇn n»m ngang cña lùc nµy sÏ: P = N ≈ N0 + (7)
x 2 + L2 L 2L2

ThÝ dô 4: Kh¶o s¸t nhÝp sau cña «-t« (H×nh 5-4).
Gi¶ sö ngoµi nhÝp c¬ b¶n cßn cã c¸c nhÝp phô (nhÝp
con). Khi thïng xe cã dÞch chuyÓn kh«ng lín, mót c¸c nhÝp
phô kh«ng tiÕp xóc víi gèi tùa vµ chØ cã nhÝp c¬ b¶n lµm
viÖc. Sù phô thuéc vµo c¸c ¸p lùc P lªn nhÝp vµ ®é vâng q = y P
cã thÓ coi lµ tuyÕn tÝnh vµ ®−îc biÓu diÔn bëi ®o¹n ab. P c
Khi cã dÞch chuyÓn lín cña thïng xe, mót c¸c nhÝp con
tùa lªn gi¸ ®ì cña khung vµ ®é cøng t−¬ng ®−¬ng cña nhÝp
trë nªn lín. Quan hÖ gi÷a P vµ q = y ®−îc biÓu diÔn b»ng b
®o¹n bc. Nh− vËy ®Æc tÝnh chung cña nhÝp lµm viÖc lµ phi a q=y
tuyÕn: P = P(y). Gäi C1 lµ ®é cøng cña nhÝp c¬ b¶n, C2 lµ ®é
cøng t−¬ng ®−¬ng cña c¸c nhÝp phô th× ®é cøng trªn ®o¹n ab H×nh 5-4
lµ C1, cßn trªn ®o¹n bc lµ C1+C2.


§5.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do
víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi.

5.1.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n vµ nghiÖm chÝnh x¸c cña nã.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do víi ®Æc tr−ng phi
tuyÕn cña lùc phôc håi ®−îc thiÕt lËp t−¬ng tù nh− ®· tr×nh bÇy trong phÇn §1.1 cña ch−¬ng
thø nhÊt, ë ®©y ta thay lùc phôc håi tuyÕn tÝnh b»ng lùc phôc håi phi tuyÕn: P = P(q) ta cã:
•• ••
m q + P (q ) = 0 ⇒ q + f ( q ) = 0 (5-1)
P (q )
ë ®©y ®Æt: f (q) = (5-2)
m
• • •
•• d q d q dq • d q
Ta biÓu diÔn gia tèc ë d¹ng: q= = =q
dt dq dt dq

• dq • •
Ph−¬ng tr×nh (5-1) trë thµnh: q + f (q) = 0 ⇒ q d q = −f (q)dq
dq

126
Khi tÝch ph©n hÖ thøc trªn, ta lÊy thêi ®iÓm ®Çu cã ®é lÖch lín nhÊt (qmax = a), cßn vËn
⎛• ⎞
tèc b»ng kh«ng ⎜ q = 0 ⎟ , ta cã:
⎝ ⎠
• • 2
q • • q a q
q

0
q d q = − ∫ f (q)dq ⇒
a
2
= − ∫ f (q )dq = ∫ f (q )dq
a q

Quan hÖ nµy biÓu thÞ quy luËt b¶o toµn n¨ng l−îng: VÕ tr¸i lµ ®éng n¨ng tÝch luü
• •
trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ tõ vÞ trÝ biªn (q = a, q = 0 ) ®Õn vÞ trÝ bÊt kú (q, q ). Cßn
vÕ ph¶i lµ thÕ n¨ng mÊt ®i trong qu¸ tr×nh ®ã. N¨ng l−îng nµy sÏ ®−îc biÓu thÞ b»ng phÇn
g¹ch chÐo trªn ®å thÞ (H×nh 5-5). Tõ biÓu thøc cuèi ta nhËn ®−îc:
• a
dq f(q)
q= = − 2 ∫ f (q)dq (5-3)
dt q


ë ®©y dÊu tr−íc c¨n lÊy dÊu ©m (-) v× trong
O q
kho¶ng kh¶o s¸t chuyÓn ®éng vËn tèc ©m (-).
q a
TÝch ph©n (5-3) cho ta thêi gian t lµ hµm cña
dÞch chuyÓn:
q a
dq dq H−íng chuyÓn ®éng
t = −∫ =∫
a a
2∫ f (q)dq 2∫ f (q)dq
a q

q q H×nh 5-5
NÕu tiÕn hµnh tÝch ph©n trong kho¶ng tõ q = 0
®Õn q = a th× ®èi víi hÖ cã ®Æc tr−ng ®èi xøng sÏ t×m ®−îc thêi gian cña mét phÇn t− chu kú.
Chu kú cña dao ®éng t−¬ng øng b»ng:
a
dq
T = 2 2∫ (5-4)
a
2 ∫ f (q)dq
0

q

C«ng thøc (5-4) cho phÐp t×m sù phô thuéc chÝnh x¸c chu kú dao ®éng tù do vµo biªn
®é cña nã.
XÐt tr−êng hîp ®Æc tr−ng ®èi xøng m« t¶ bëi quy luËt:
f (q ) = αq 2 n −1 ; n = 1, 2, ... (5-5)
ë ®©y α, n lµ c¸c h»ng sè. Do ®ã t×m ®−îc:

∫ f (q)dq = 2n (a )
α
a
2n
− q 2n
q


a 1
dq n 1 q
∫ =
α a n −1 ∫ ; ξ=
0

n
(
α 2n
a − q 2n ) 0 1 − ξ 2n a


127
Theo c«ng thøc (4-4) ta nhËn ®−îc:


1
n 1
T=4
α a n −1 ∫
0 1 − ξ 2n
(5-6)

Tõ ®ã ta thÊy: chØ khi n = 1 chu kú T kh«ng phô thuéc vµo biªn ®é dao ®éng (®Æc
tr−ng tuyÕn tÝnh); trong c¸c tr−êng hîp cßn l¹i tån t¹i phô thuéc gi÷a chu kú vµ biªn ®é. Sù
tån t¹i mèi liªn hÖ nµy lµ ®Æc tÝnh chung ®èi víi hÖ phi tuyÕn .
B©y giê gi¶ sö xÐt dao ®éng cña hÖ ®èi víi ®Æc tr−ng bËc ba:
f (q ) = αq 3 khi ®ã n = 2 tõ biÓu thøc (5-6) ta ®−îc:

4 2 1 dξ
a a ∫ 1 − ξ4
T=
0


Sö dông b¶ng c¸c hµm ®Æc biÖt tÝnh tÝch ph©n EliptÝc ®−îc 1,8541/ 2 , do ®ã ta cã:
4
T= ⋅ 1,8541
a α

TÇn sè dao ®éng tù do b»ng: p = = 0,8472a α (5-7)
T
NghÜa lµ tÇn sè t¨ng bËc nhÊt víi sù t¨ng cña biªn ®é.
5.1.2. NghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh (5-1).
MÆc dï c«ng thøc (5-4) cho ta biÓu diÔn chu kú dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét
bËc tù do ®èi víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc kh«i phôc vÒ nguyªn t¾c lµ chÝnh x¸c. Nh−ng
thùc tÕ tÝnh to¸n rÊt cång kÒnh vµ th−êng kh«ng thÓ viÕt ë d¹ng kÝn. Khã kh¨n nµy cã thÓ
®−îc kh¾c phôc khi ta sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng d−íi ®©y:
5.1.2a. Ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n nhÊt.
LÊy dao ®éng cña hÖ kh¶o s¸t m« t¶ b»ng quy luËt nh− trong hÖ tuyÕn tÝnh, nghÜa lµ:
q = a sin( pt + α) (5-8)
Nh− ®· biÕt, biÓu thøc (5-8) chØ lµ nghiÖm chÝnh x¸c trong tr−êng hîp f(q) tuyÕn tÝnh.
Trong tr−êng hîp tæng qu¸t khi thay (5-8) vµo (5-1) sÏ kh«ng ®−a nã trë thµnh ®ång nhÊt
thøc. Ta “mÒm ho¸” tÝnh chÝnh x¸c víi ®iÒu kiÖn sao cho ph−¬ng tr×nh (5-1) tho¶ m·n ë thêi
••
®iÓm khi ®é lÖch q ®¹t cùc ®¹i (tøc b»ng a). Khi nµy gia tèc q còng sÏ cã gi¸ trÞ cùc ®¹i:
••
q max = −ap 2 (5-9)
Do ®ã, t¹i thêi ®iÓm trªn cÇn tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:
f (a )
− ap 2 + f (a ) = 0 ⇒ p 2 =
a

128
HÖ thøc cuèi cïng x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng tù do p phô thuéc vµo biªn ®é a cña nã.
MÆc dï c«ng thøc nµy kh«ng chÝnh x¸c, song nhê nã cã thÓ nhËn ®−îc c¸ch biÓu diÔn kh¸i
qu¸t ®óng vÒ mèi liªn hÖ a(p2).
ThÝ dô: Cho ®Æc tr−ng phi tuyÕn ë d¹ng:
f ( q ) = p 0 q + αq 3
2
(p0, α lµ nh÷ng sè ®· cho).

p 0 a + αa 3
2
Theo trªn, ta cã: p 2 = = p 0 + αa 2
2
a
a α=0
§å thÞ cña sù phô thuéc nµy biÓu diÔn trªn (H×nh 5-6). α< 0 α>0
Râ rµng lµ: TÇn sè dao ®éng riªng t¨ng cïng víi biªn ®é khi
α > 0 (gäi lµ ®Æc tr−ng ®µn håi cøng) vµ tÇn sè dao ®éng riªng
gi¶m khi biªn ®é t¨ng víi α < 0 (gäi lµ ®Æc tr−ng ®µn håi p2
O
mÒm). §−êng t−¬ng øng víi α = 0 ta quy −íc gäi lµ ®−êng 2
p0
cong x−¬ng sèng.
H×nh 5-6

5.1.2. Ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ.
Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc tr×nh bµy vµ ®Æt c¬ së to¸n häc bëi A.Po¨ngcarª. C¬ së cña
ph−¬ng ph¸p lµ ë chç: Gi¶ sö cho hÖ cã tÝnh phi tuyÕn gi¶m yÕu, ch¼ng h¹n xÐt hÖ mµ dao
®éng cña nã ®−îc miªu t¶ b»ng ph−¬ng tr×nh:
••
q + p 0 q + αq 3 = 0
2
(5-10)

NÕu th«ng sè α ®ñ nhá, trong tr−êng hîp nµy, nghiÖm sÏ ®−îc t×m ë d¹ng khai triÓn
theo chuçi luü thõa tham sè bÐ:
q = q 0 + αq 1 + α 2 q 2 + ... (5-11)

ë ®©y: qo, q1, q2, ... lµ c¸c hµm ch−a biÕt cña thêi gian t cÇn x¸c ®Þnh.
Ngoµi khai triÓn (5-11) ta còng dÉn ra khai triÓn hÖ sè p20:
p 0 = p 2 + C1α + C 2 α 2 + ......
2
(5-12)
Trong ®ã: p2 lµ h»ng sè ch−a biÕt míi; C1, C2,... lµ c¸c h»ng sè ch−a x¸c ®Þnh mµ ta sÏ
chØ ra ë d−íi.
Thay (5-11) vµ (5-12) vµo (5-10) vµ giíi h¹n chØ ë c¸c thµnh phÇn khai triÓn ®· viÕt, ta cã:
•• •• ••
q 0 + α q 1 + α 2 q 2 + (p 2 + C1α + C 2 α 2 )(q 0 + αq 1 + α 2 q 2 ) + α(q 0 + αq 1 + α 2 q 2 ) 3 = 0

Khi chØ gi÷ l¹i c¸c thµnh phÇn chøa α kh«ng lín h¬n bËc hai, ta ®−îc:
••
⎛ •• ⎞ ⎛ •• ⎞
q 0 + p 2 q 0 + α⎜ q 1 + p 2 q 1 + C1q 0 + q 3 ⎟ + α 2 ⎜ q 2 + p 2 q 2 + C 2 q 0 + C1q 1 + 3q 0 q 1 ⎟ = 0
2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0




129
Ph−¬ng tr×nh nµy ®óng víi mäi α v× vËy c¸c hÖ sè cña α0, α1, α2, ... ph¶i b»ng kh«ng
®iÒu nµy dÉn ®Õn hÖ:
⎧••
⎪q 0 + p q 0 = 0
2


⎪••
⎨q 1 + p q 1 = − C 1 q 0 − q 0
2 3
(5-13)
⎪••
⎪q 2 + p 2 q 2 = −C 2 q 0 − C1q 1 − 3q 0 q 1
2


CÊu tróc cña c¸c ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc chØ ra qu¸ tr×nh gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Çu cho
ta t×m q0, sau ®ã ph−¬ng tr×nh thø hai cho ta t×m q1 vµ tõ ®ã t×m q2 tõ ph−¬ng tr×nh thø ba.

LÊy ®iÒu kiÖn ®Çu ë d¹ng sau: Khi t = 0 th× q = a, q = 0. Tõ (5-11) nhËn ®−îc:

⎧q 0 (0) + αq 1 (0) + α 2 q 2 (0) = a

⎨• • •
⎪q 0 (0) + α q 1 (0) + α 2 q 2 (0) = 0

§Ó c¸c ®¼ng thøc nµy tho¶ m·n víi mäi α cÇn ph¶i ®ång thêi tho¶ m·n s¸u ®iÒu kiÖn sau:
⎧ •

⎪ q 0 (0) = a; q 0 (0) = 0
⎪ •
⎨q 1 (0) = 0; q 1 (0) = 0 (5-14)
⎪ •
⎪q 2 (0) = 0; q 2 (0) = 0

Khi gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ (5-13) cã tÝnh ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu ë hÖ (5-14) ta cã:
q 0 = a cos pt
§Æt biÓu thøc nµy vµo ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ (5-13) ta ®−îc:
••
⎛ 3 ⎞ a3
q 1 + p 2 q 1 = −C 1 a cos pt − a 3 cos 3 pt = −⎜ C 1 a + a 3 ⎟ cos pt − cos 3pt (5-15)
⎝ 4 ⎠ 4
Gi¶ thiÕt r»ng hÖ sè cña cospt kh¸c kh«ng. Khi ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy sÏ chøa
sè h¹ng nh− ®· biÕt trong dao ®éng tuyÕn tÝnh: tsinpt (gäi lµ thµnh phÇn ®Æc tÝnh), trong ®ã coi
t lµ thõa sè cña hµm l−îng gi¸c. Cã thÓ sö dông nghiÖm d¹ng céng h−ëng nµy chØ víi gi¸ trÞ t
rÊt nhá. §Ó nghiÖm ®óng víi bÊt kú t cÇn lo¹i bá thµnh phÇn ®Æc tÝnh trong (5-15).
3 3
NghÜa lµ ®Æt: C1a + a 3 = 0 ⇒ C1 = − a 2 (5-16)
4 4
a3
NghiÖm cña (5-15) viÕt ®−îc ë d¹ng: q1 = C1cospt + C2sinpt + cos 3pt
32p 2
Sau khi x¸c ®Þnh c¸c h»ng sè C1, C2 tõ dßng thø hai cña ®iÒu kiÖn ®Çu (5-14), ta t×m
®−îc:

130
a3
q1 = (cos 3pt − cos pt )
32p 2
Nh− vËy, trong c¸c khai triÓn (5-11), (5-12) hai sè h¹ng ®Çu ®−îc x¸c ®Þnh. NghiÖm
chÝnh x¸c ®Õn sè h¹ng nhá bËc nhÊt cã d¹ng:
αa 3
q = a cos pt + (cos 3pt − cos pt )
32p 2
H¬n n÷a, t−¬ng øng víi (5-12) vµ (5-16) ta cã:
3
p 2 = p 0 + αa 2
2
(5-17)
4
Sau khi thay q0, q1 vµo ph−¬ng tr×nh thø ba cña hÖ (5-13) vµ còng tiÕn hµnh viÖc lÆp l¹i
qu¸ tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc nghiÖm chÝnh x¸c ®Õn c¸c sè h¹ng nhá bËc hai:
2a 3 α 2a 5
q = a cos pt + (cos 3pt − cos pt ) + (cos 5pt − 3 cos 3pt − 4 cos pt )
32p 2 1024p 2
(5-18)
3 3α 2 a 4
p 2 = p 0 + αa 2 +
2

4 128p 2
Ta nhËn thÊy, ®Æc ®iÓm quan träng cña nghiÖm nhËn ®−îc lµ qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc
m« t¶ kh«ng ph¶i b»ng mét ®iÒu hoµ mµ b»ng tæng c¸c ®iÒu hoµ, trong ®ã c¸c ®iÒu hoµ tiÕp
theo cµng cã biªn ®é nhá ®i. Mét lÏ ®−¬ng nhiªn tÇn sè cña ®iÒu hoµ c¬ b¶n p phô thuéc vµo
biªn ®é dao ®éng a.

5.1.2c. Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin.
Theo ph−¬ng ph¸p nµy ta cho tr−íc c«ng thøc x¸c ®Þnh nghiÖm cÇn t×m. C¸ch ®¬n
gi¶n h¬n c¶, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5-1) thö t×m ë d¹ng gièng nh− ®èi víi hÖ tuyÕn tÝnh:
q = a cos(pt + α) (5-19)

ë ®©y a, α, p lµ c¸c h»ng sè.
Thay nghiÖm vµo (5-1), tÊt nhiªn kh«ng nhËn ®−îc ®¼ng thøc ®ång nhÊt kh«ng chõng
nµo (5-19) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm chÝnh x¸c cña ph−¬ng tr×nh (5-1). Theo ý t−ëng c¬ b¶n cña
ph−¬ng ph¸p lµ ë chç: Yªu cÇu sao cho tÝch ph©n sau ®©y lÊy trong kho¶ng mét chu kú b»ng
kh«ng:

p ••
⎡ ⎤
∫ ⎢q + f (q)⎥qdt = 0
0 ⎣ ⎦
(5-20)

Thay (5-19) vµo (5-20), ta nhËn ®−îc:




∫ {− ap cos(pt + α) + f [a cos(pt + α)]}cos(pt + α)dt = 0
p
2
(5-21)
0



131

p

Hay: − πpa + ∫ f [a cos(pt + α)]cos(pt + α)dt = 0
0

Ký hiÖu: pt + α = ψ , Ta nhËn ®−îc c«ng thøc ®èi víi b×nh ph−¬ng cña tÇn sè:

1
πa ∫
p =
2
f (a cos ψ ) cos ψ.dψ (5-22)
0

¸p dông: Tr−êng hîp f (q ) = p 0 q + αq 3 , khi ®ã:
2



f (a cos ψ) = ap 0 cos ψ + αa 3 cos 3 ψ
2



1 2π 2
πa ∫
Theo (5-22), ta cã: p 2 = (ap 0 cos ψ + αa 3 cos 3 ψ ) cos ψdψ
0

2π 2π
3
∫ cos ψdψ = π; ∫ cos ψ dψ = π do ®ã nhËn ®−îc:
2 4
V×:
0 0
4
3
p 2 = p 0 + αa 3
2

4
KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ nhËn ®−îc theo ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ.
Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin cã thÓ cho phÐp x©y dùng nghiÖm gÇn ®óng cao h¬n.
Khi nµy cÇn t×m nghiÖm kh«ng ph¶i chØ lµ mét hµm (5-19), mµ ë d¹ng chuçi hµm:
q = a 1q1 + a 2 q 2 + ...
⎡•• ⎤
T
Vµ sau ®ã ®Æt ®iÒu kiÖn sao cho tÝch ph©n: ∫ ⎢q + f (q)⎥ q i dt = 0; i = 1, 2, ...
0⎣ ⎦
5.1.2d. ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ ®iÒu hoµ.
Tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt cña ph−¬ng ph¸p N.M.Kr−l«p vµ N.N.Bogoliubop. Ta viÕt
ph−¬ng tr×nh (5-1) ë d¹ng:
••
q + p 2 q = p 2 q − f (q )

ë ®©y: p lµ tÇn sè dao ®éng ch−a biÕt. Thay vµo vÕ ph¶i ®¼ng thøc trªn c«ng thøc gÇn
®óng cña nghiÖm:
q = acos(pt+α).
Ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh:
••
q + p 2 q = F( t ) (5-23)
Trong ®ã: F( t ) = ap 2 cos(pt + α) − f [a cos(pt + α)] ,

lµ hµm chu kú víi chu kú b»ng .
p

132
Khai triÓn F(t) thµnh chuçi Fuariª, ta nhËn ®−îc:
F(t ) = a 0 + a 1 cos(pt + α) + a 2 cos 2(pt + α) + ...

NÕu a1 kh¸c kh«ng th× sè h¹ng a 1 cos(pt + α) lµ nguyªn nh©n xuÊt hiÖn thµnh phÇn ®Æc
tÝnh trong nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (5-23). §Ó lo¹i trõ nã cÇn ®Æt hÖ sè Fuariª a1 b»ng
kh«ng, nghÜa lµ:
T
2
a 1 = ∫ F( t ) cos(pt + α).dt = 0
T0



∫ {ap }
P
Hay: 2
cos(pt + α) − f [a cos(pt + α)] cos(pt + α)dt = 0
0


Quan hÖ cuèi cïng trïng víi ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n nhËn ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p
Butn«p-Galepkin (5-21).
5.1.2e. Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp.
a). Tr−êng hîp f(q) ®èi xøng (h×nh 5-7).
Thay f(q) kh«ng tuyÕn tÝnh bëi biÓu thøc tuyÕn tÝnh f*(q):

f * (q ) = p 2 q (5-24)

ë ®©y hÖ sè p2 ®−îc chän riªng, ®é lÖch r phô théc vµo to¹ ®é q: r = r(q), ta cã:
r (q ) = f (q ) − f * ( q ) = f (q ) − p 2 q
VÊn ®Ò lµ chän f*(q) sao cho rÊt gÇn f(q), nghÜa lµ r(q) tu©n theo ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña
tÝch ph©n sau ®©y trªn toµn kho¶ng thay ®æi cña to¹ ®é q:
a
I = ∫ r 2 dq
0


TÝch ph©n nµy phô thuéc vµo viÖc chän th«ng sè p2 vµ v× vËy sù cùc tiÓu ®¹t ®−îc
dI
b»ng c¸ch x¸c ®Þnh th«ng sè nµy tõ ph−¬ng tr×nh = 0.
d(p 2 )
Thùc tÕ trong c¸c bµi to¸n vÒ dao ®éng th−êng tån t¹i c¸c ®é lÖch r lín h¬n trong c¸c
gi¸ trÞ cña to¹ ®é q lín, v× vËy mét c¸ch tù nhiªn ta xÐt ®é lÖch cã träng sè:
rq = [f (q) − p 2 q]q


∫ {[f (q) − p q ]q} dq
a
2
Khi nµy bµi to¸n dÉn tíi t×m cùc tiÓu cña tÝch ph©n: I1 = 2

−a


dI1
NghÜa lµ p2 x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh: =0 (5-25)
d(p 2 )

133
Ph−¬ng ph¸p nµy gi¶ thiÕt r»ng: Sai sè g©y ra bëi ®é lÖch tû lÖ víi gi¸ trÞ to¹ ®é t−¬ng
øng. Tõ ph−¬ng tr×nh (5-25) t×m ®−îc:
a a
5 5
p = 5 ∫ f (q )q 3 dq = 5 ∫ f (q ).q 3 dq
2
(5-26)
2a − a a 0

Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc p2, bµi to¸n dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ®· biÕt thay cho
ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn ®· cho:
••
q+ p2q = 0
Vµ p lµ tÇn sè cña dao ®éng tù do.
§Ó minh ho¹ ®iÒu tr×nh bµy, ta lÊy: f ( q ) = p 0 q + αq 3
2



αa 7
∫ (p q + αq )q dq = 5
a 2 5
p a
Vµ tÝnh : 2
0
3 3 0
+
0 7
5
Theo c«ng thøc (5-26) ta ®−îc: p 2 = p 0 + αa 2
2
(5-27)
7
So s¸nh ®é chÝnh x¸c c¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc theo c¸c ph−¬ng ph¸p kh¸c nhau trong
tr−êng hîp p0 = 0, nghÜa lµ f(q) = αq3; ta cã:

Theo (5-27): p = 0,845a α

Theo (5-17); (5-22): p = 0,866a α
Theo (5-7): p = 0,847a α


f(q) f(q)
r(q)

f*(q)
f*(q)
f(q) a2 f(q)
O q q
a O
Δ a1




H×nh 5-7 H×nh 5-8



134
b). Tr−êng hîp f(q) kh«ng ®èi xøng (H×nh 5-8).
Gäi a1 lµ ®é lÖch ban ®Çu, a2 lµ ®é lÖch lín nhÊt ë phÝa kh¸c. Nãi chung a 1 ≠ a 2 liªn
hÖ gi÷a c¸c ®é lÖch biªn nµy biÓu thÞ sù c©n b»ng thÕ n¨ng cña hÖ ë c¶ hai vÞ trÝ biªn vµ
b»ng:
a1


−a 2
∫ f (q)dq = 0
VÞ trÝ trung b×nh, c¹nh nã hÖ thùc hiÖn dao ®éng tÝnh tõ gèc to¹ ®é vÒ bªn tr¸i b»ng:
a −a
Δ= 2 1
2
§Æc tr−ng tuyÕn tÝnh dÇn ra qua t©m dao ®éng cã ph−¬ng tr×nh:
f * (q ) = p 2 (q + Δ )
§é lÖch lµ: r (q ) = f (q ) − p 2 (q + Δ )
Khi nµy cÇn x¸c ®Þnh cùc tiÓu cña tÝch ph©n sau:

∫ {[f (q) − p }
a1
2
I= 2
(q + Δ)](q + Δ) dq
−a 2

a1
dI 5
= 0 , ta nhËn ®−îc: p 2 ∫ f (q)(q + Δ)
3
Gi¶i ph−¬ng tr×nh dq
2
d(p ) (a 1 + a 2 ) 5 −a 2

a1 + a 2
Ta ®−a ra biÕn sè: q1 = q + Δ vµ nöa kho¶ng dao ®éng: a = , ta cã c«ng thøc
2
cña p2:
a
5
p2 = ∫ f (q1 − Δ).q 1 dq1
3
(5-28)
( 2a ) 5 −a



§5.2. Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do
víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi.

Gi¶ sö lùc phôc håi F(q) bÊt kú (H×nh 5-9) vµ lùc kÝch ®éng ®iÒu hoµ h×nh sin.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cã d¹ng: F(q)
•• F(q ) P0
q+ = sin ωt (5-29)
m m F(a)
O q
Ph−¬ng tr×nh (5-29) kh«ng gi¶i ®−îc ë d¹ng kÝn. Ta gi¶i nã
a
b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng sau:
5.2.1. Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin.
T×m nghiÖm ë d¹ng chuçi hµm:
q ( t ) = a 1q1 ( t ) + a 1q 2 ( t ) + ...
H×nh 5-9


135
ë ®©y qi(t) lµ c¸c hµm ®−îc chän thÝch hîp, ai lµ c¸c hÖ sè ch−a biÕt, gi¸ trÞ cña chóng
®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh:

ω ••

∫ [m q + F(q) − P0 sin ωt ]q i dt = 0
0

Ch¼ng h¹n, lÊy d¹ng nghiÖm q = a sin ωt , th× ta cã:



∫ [− maω ]
ω
2
sin ωt + F(a sin ωt ) − P0 sin ωt sin ωtdt = 0
0

Khi thùc hiÖn tÝch ph©n ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè kh«ng tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn ®é
dao ®éng a.
5.2.2. Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp.
Thay (5-29) b»ng ph−¬ng tr×nh:
•• P
q + p 2 q = 0 sin ωt (5-30)
m
P sin ωt
PhÇn dõng cña nghiÖm cã d¹ng: q = 0 2
m( p − ω 2 )
P0
Cßn biªn ®é cña nã: a= (5-31)
m( p − ω 2 )
2


F(q)
NÕu, ch¼ng h¹n: = p 0 q + αq 3 , th× nh− ®· t×m tr−íc ®©y ta cã:
2

m
5
p 2 = p 0 + αa 2
2

7
P0
Quan hÖ (5-31) cã d¹ng sau: a =
5
mp 0 + mαa 2 − mω2
2

7
5
Hay: mαa 3 + m(mp 0 − ω 2 )a = P0
2
(5-32)
7
Ph−¬ng tr×nh (5-32) cho phÐp x¸c ®Þnh biªn ®é a.

5.2.3. Ph−¬ng ph¸p §ufing.
C¬ së cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ lo¹i trõ sè h¹ng ®Æc tÝnh.
Ta minh ho¹ b»ng ph−¬ng ph¸p b»ng c¸ch xÐt:
F(q)
= p 0 q + αq 3
2

m
Ph−¬ng tr×nh (5-29) trë thµnh:
•• P0
q + p 0 q + αq 3 = sin ωt
2
(5-33)
m

136
LÊy gÇn ®óng ®Çu b»ng:
q = a sin ωt (5-34)
Vµ viÕt ph−¬ng tr×nh (5-33) ë d¹ng:
•• P0
q + ω 2 q = ( ω 2 − p 0 )q − α q 3 +
2
sin ωt (5-35)
m
Thay (5-34) vµo (5-35), ta cã:
••
⎡ 3 P ⎤ 1
q + ω 2 q = ⎢(ω 2 − p 0 )a − αa 3 + 0 ⎥ sin ωt + αa 3 sin 3ωt
2

⎣ 4 m⎦ 4
NÕu biÓu thøc trong ngoÆc vu«ng kh¸c kh«ng th× nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh xuÊt hiÖn
sè h¹ng ®Æc tÝnh vµ nã mang tíi hiÖn t−îng céng h−ëng. §Ó lo¹i trõ cÇn ®Æt:

(ω 2
)
2 3
4
P
− p 0 a − αa 3 + 0 = 0
m
(5-36)

Quan hÖ nµy vÒ cÊu tróc gièng (5-32) vµ cã thÓ dïng ®Ó x¸c ®Þnh a.
Khi tho¶ m·n (5-36) th× (5-35) ®−a vÒ d¹ng:
•• 1
q + ω 2 q = αa 3 sin 3ωt
4
NR cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng:
αa 3 sin 3αωt αa 3
=− sin 3ωt
⎡ ⎛ 3ω ⎞ 2 ⎤ 32ω2
4ω ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
2

⎢ ⎝ ω⎠ ⎥
⎣ ⎦
NTQ cña nã lµ:
αa 3
q = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt − sin 3ωt
32ω 2
• αa 3
T¹i t = 0: q(0) = a; q(0) = 0 , ta cã: C1 = a + ; C2 = 0
32ω 2
αa 3
Do ®ã: q = a sin ωt + (sin ωt − sin 3ωt )
32ω2
Nh− vËy, ë gÇn ®óng nµy, lùc ®iÒu hoµ P0 sin ωt g©y ra trong dao ®éng phi tuyÕn
kh«ng ph¶i chØ lµ mét tÇn sè ω, mµ c¶ tÇn sè cao h¬n.
§Ó x©y dùng nghiÖm gÇn ®óng tiÕp theo, ta thay (5-32) vµo vÕ ph¶i cña (5-35), sau ®ã
l¹i ®Æt hÖ sè cña sin ωt b»ng kh«ng v.v...
ThÝ dô 5-1:
Ng−êi ta g¾n tù do hai lß xo vµo khèi l−îng m (g¾n tù do lµ kh«ng cã lùc c¨ng ban
®Çu). Mçi lß xo cã ®é dµi L0 vµ ®é cøng C (H×nh 5-10a). Gi¶ thiÕt r»ng khèi l−îng m di
chuyÓn trong mÆt ph¼ng n»m ngang víi ma s¸t nhá kh«ng ®¸ng kÓ. T×m sù phô thuéc gi÷a

137
tÇn sè vµ biªn ®é giao ®éng tù do cña khèi l−îng, biÕt r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu (t = 0) khèi
l−îng lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng kho¶ng c¸ch x0.
Bµi gi¶i:




L0
m L0 L0
x


L0 T T x
C
L 0 + ΔL ••
mx


a) b)
H×nh 5-10

HÖ mét bËc tù do, chän to¹ ®é suy réng xÐt chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m lµ q = x.
Khi khèi l−îng m lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng kho¶ng c¸ch x, lùc ®µn håi trong lß xo b»ng
(H×nh 5-10b).
Cx 2
T = C.ΔL = C( L20 + x 2 − L 0 ) ≈ (1)
2L 0
ChiÕu c¸c lùc t¸c dông lªn khèi l−îng m theo trôc x, ta ®−îc:
•• Tx Cx 3
m x = −2 =− 2
L0 L0
•• C
Hay: x + kx 3 = 0; k = (2)
mL20
• •• dy dy dx • dy dy
§Æt: x = y ta cã: x = = =x =y
dt dx dt dx dx
Thay vµo ph−¬ng tr×nh (2) nhËn ®−îc: ydy = −kx 3 dx (3)

TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (3) vµ chó ý tíi ®iÒu kiÖn ®Çu: t = 0; x = x 0 ; x = y = 0

k 4
Ta cã: y 2 = (x 0 − x 4 ) .
2

Do y = x , tõ hÖ thøc trªn suy ra:

138
x
dx 1 2 1 dξ x
t = −∫ = ∫ ; ξ= (4)
k 4 x0 k ξ 1− ξ 4 x0
(x 0 − x 4 )
x0

2
V× lùc phôc håi cña lß xo x¸c ®Þnh tõ (1) lµ ®èi xøng nªn ®Ó x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng
ta chØ cÇn xÐt mét phÇn t− chu kú lµ ®ñ, vËy chu kú dao ®éng tÝnh theo (5-4) b»ng:

1 2 1 dξ
k ∫ 1 − ξ4
T = 4⋅ (5)
x0 0



1
BiÓu thøc (5) chøa tÝch ph©n EllÝptÝc toµn phÇn lo¹i mét: K = 2 ∫ (6)
0 1 − ξ4

TÝch ph©n (6) th−êng ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng chuÈn sau:
1

K (a , ϕ) = ∫ (7)
cos ϕ (1 − ε 2 )(a ′ 2 + a 2 ε 2 )

π π
ë ®©y: a = sinα , a′ = cosα. LÊy α = , ϕ = ta cã:
4 2


1
K (π / 4) = 2 ∫ , tra b¶ng K=1,8541
0 1− ε4

C 4L m
Thay thÕ kÕt qu¶ vµo (5), víi chó ý: k = 2
, ta ®−îc: T = 1,8541 0
mL 0 x0 C
ThÝ dô 5-2:
Cho biÕt khèi l−îng m ®−îc g¾n cøng vµo mét yÕu tè
®µn håi phi tuyÕn víi ®Æc tr−ng F = (Cx + C1x3) (H×nh 5-11). m
C x
LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tù do cña khèi l−îng m,
bá qua ma s¸t. a
T×m sù phô thuéc gi÷a tÇn sè dao ®éng vµ biªn ®é,
biÕt r»ng ë thêi ®iÓm ban ®Çu ®é lÖch cña khèi l−îng ®èi H×nh 5-11
víi vÞ trÝ c©n b»ng lµ A, vËn tèc chuyÓn ®éng b»ng 0. LÊy
A = 1cm, C = 1N/cm, C1 = 0,5 N/cm, m = 1Ns2/cm.
Bµi gi¶i:
HÖ mét bËc tù do, chän to¹ ®é suy réng q = x. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña
khèi l−îng m cã d¹ng:
••
m x + F( x ) = 0 (1)
••
Thay F(x) = Cx+C1x3 vµo ta ®−îc: x + p 2 x + Mx 3 = 0 (2)

139
C C
p2 = ; μ = 1 tham sè bÐ.
m m
NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn t×m b»ng ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ (d−íi d¹ng chuçi).
x = x0 + μx1 + μm2x2 + ... (3)
§Æt: p2 = p12+ μ1a1+ μ2a2+ ... (4)
ë ®©y p1, a1, a2 lµ c¸c h»ng sè.
Thay (3), (4) vµo (2) vµ chØ h¹n chÕ ë c¸c sè h¹ng chøa μ bËc nhÊt, ta ®−îc:

( )
••
x 0 + p1 x 0 + μ x1 + p1 x1 + a 1x 0 + x 0 = 0
2 2 3
(5)

Ph−¬ng tr×nh (5) ph¶i tho¶ m·n víi gi¸ trÞ μ nhá tuú ý, v× vËy suy ra:
••
x 0 + p1 x 0 = 0
2
(6)
••
x 1 + p 1 x 1 = −(a 1 x 0 + x 3 )
2
0 (7)

Khi chó ý tíi ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0, x0 = A, x 0 = 0 , ta t×m ®−îc nghiÖm ph−¬ng tr×nh
(6) d−íi d¹ng:
x0 = Acos p1t (8)
Thay (8) vµo ph−¬ng tr×nh (7) ta ®−îc:
••
⎛ 3 ⎞ 1
x 1 + p1 x 1 = −⎜ a 1 A + A 3 ⎟ cos p1 t − A 3 cos 3p1 t
2
(9)
⎝ 4 ⎠ 4
NghiÖm ph−¬ng tr×nh (9) ph¶i giíi néi, nghÜa lµ cÇn lo¹i sè h¹ng ®Æc tÝnh, ta ph¶i cã:
3
a 1A + A 3 = 0
4
(Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i tÇn sè lùc kÝch ®éng b»ng tÇn sè dao ®éng tù do vµ x1 --> ∞).
Tõ trªn suy ra:
3
a1 = − A 2 (10)
4
Khi tÝnh ®Õn (10) vµ ®iÒu kiÖn ®Çu, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (9) cã d¹ng:
A3
x1 = 2
(cos 3p1 t − cos p1 t ) (11)
32p1
VËy tõ (8), (11) ë xÊp xØ bËc nhÊt, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2), theo (3) biÓu diÔn ë
d¹ng:
μA 3
x = A cos p 1 t + 2
(cos 3p 1 t − cos p 1 t )
32p 1

140
Trªn c¬ së hÖ thøc (10) vµ (4) ta t×m ®−îc tÇn sè dao ®éng tù do:
3 C 3 C1 2
p1 = p 2 + μA 2 = +
2
A
4 m 4 m
Thay sè vµo ta cã: p1=1,17 rad/s
ThÝ dô 5-3:
Gi¶i bµi tËp theo vÝ dô 2 b»ng ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸, tøc lµ b»ng viÖc thay thÕ
®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lß xo b»ng ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh nhê ®iÒu kiÖn cho ®é lÖch b×nh
ph−¬ng gi÷a ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh vµ ®Æc tr−ng phi tuyÕn trë nªn cùc tiÓu.
Bµi gi¶i:
Thay ®Æc tr−ng phi tuyÕn F = Cx + C1x3 b»ng ®Æc tr−ng tuyÕn tÝnh F* = C0x, khi ®ã
cÇn cã ®iÒu kiÖn:
A

∫ [C 0 x − (Cx + C 1x )]dx = Min
3

0

TÝnh tÝch ph©n nãi trªn vµ lÊy ®¹o hµm biÓu thøc thu ®−îc theo tham sè cÇn t×m C0 ta cã:
3
C 0 = C + C1 A 2
5
Tõ ®ã ta t×m ®−îc tÇn sè dao ®éng tù do cña khèi l−îng:
C0 C 3 C1 2
p= = + A
m m 5 m
Thay c¸c gi¸ trÞ b»ng sè ta ®−îc p = 1,14 rad/s. (tõ kÕt qu¶ thÝ dô 2, ta cã p1= 1,17 rad/s).

ThÝ dô 5-4:
Ng−êi g¾n khèi l−îng m vµo ®Çu mót cña yÕu tè ®µn håi phi tuyÕn (lß xo) (H×nh 5-12).
T×m sù phô thuéc gi÷a biªn ®é dao ®éng c÷ng bøc cña khèi l−îng vµ biªn ®é lùc kÝch ®éng
®iÒu hoµ P = P0sin ωt, gi¶ thiÕt ®Æc tr−ng cña lß xo cã d¹ng F = Cx + C1x3, ma s¸t kh«ng ®¸ng
kÓ. TÝnh biªn ®é dao ®éng trong tr−êng hîp: F 0 = 20N, ω = 10rad/s, m = 10-1 Ns 2 /cm,
C = 15N/cm; C1= 1 N/m3.

Bµi gi¶i:
m
HÖ mét bËc tù do chän to¹ ®é suy réng q = x. Ph−¬ng C x
tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ cã d¹ng: F
••
m x + F( x ) = P( t ) (1) x

Thay F(x) = Cx+C1x3, P(t) = P0sinωt H×nh 5-12

••
Ta cã: m x + Cx + C1 x 3 = P0 sin ωt (2)


141
Theo ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin. NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) t×m ë d¹ng:
x1= x0sinωt (3)
Thay (3) vµo (2) råi cho tÝch ph©n sau b»ng 0:

3 ••
I = ∫ [m x 1 + C 1 x1 + C 1 x1 − P0 sin ωt ]x1 dt = 0
3
(4)
0


Trong ®ã - chu kú dao ®éng. Sau khi lÊy tÝch
3
η
ph©n ta ®−îc sù phô thuéc gi÷a x0 vµ F0:

C1 x 3 + (C − mω 2 )x 0 − P0 = 0
2
3
0 (5) η
1
4 η
1 2
Ta gi¶i ph−¬ng tr×nh (5) b»ng ®å thÞ. Muèn vËy ta
vÏ c¸c ®å thÞ cña hµm sè: O
x0
1 2 2,27 3 4
3
η1 = C1x 3
0
4 H×nh 5-13
η 2 = P0 − (C − mω )x 02



Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ nµy cho ta nghiÖm ph−¬ng tr×nh (5). Theo h×nh vÏ (H×nh 5-13)
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x0 ≈ 2,27 cm.




142
Bμi tËp ch−¬ng I
Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do
1. X¸c ®Þnh chu kú dao ®éng cña t¶i träng Q g¾n vµo c¸c lß xo vµ t×m hÖ sè cøng
t−¬ng ®−¬ng cña hÖ m« t¶ trªn h×nh vÏ. C¸c t¶i träng dÞch chuyÓn theo ph−¬ng th¼ng ®øng.

M Q
Tr¶ lêi: 1a) T = 2π = 2π ; C = C1 + C 2
C g( C 1 + C 2 )

Q
1b) T = 2π ; C = C1 + C 2
g( C 1 + C 2 )

Q( C 1 + C 2 ) C .C
1c) T = 2π ; C= 1 2
g(C 1 .C 2 ) C1 + C 2

Q(CL3 + 48EJ ) C .C
1d) T = 2π ; C= 1 2
48gCEJ C1 + C 2

QL3 48EJ
1e) T = 2π ; C = C1 + 3
g(CL + 48EJ )
3
L



C1 L L
C1 C1
C1 C2 EJ EJ
Q
C2 C1 Q
C2 L L
Q Q
Q

a) b) c) d) c)

H×nh vÏ bt 1


2. Mét t¶i träng khèi l−îng m ®−îc g¾n vµo thanh kh«ng träng l−îng cøng tuyÖt ®èi,
dµi 3L. Thanh ®−îc g¾n vµo mÆt ph¼ng cè ®Þnh b»ng hai lß xo cã cïng ®é cøng C. TÝnh tÇn
sè dao ®éng riªng cña con l¾c khi:
a) Thanh th¼ng ®øng (h×nh 2a).
b) Thanh n»m ngang (h×nh 2b).

5C 1g 5C
Tr¶ lêi: a) k = + b) k =
9m 3L 9m

143
L
C
L L L
L
C m C C
L
m


a) b)

H×nh vÏ bt 2


3. T×m tÇn sè dao ®éng riªng cña con l¾c th¼ng ®øng, gi¶ thiÕt thanh tuyÖt ®èi cøng.

C g
Tr¶ lêi: k = m
2m 2L
m
m C C


L
L
C C
C C L

L L
m


H×nh vÏ bt 3 H×nh vÏ bt 4

4. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng nhá cña con l¾c dïng trong mét sè m¸y ghi ®éng
®Êt. Con l¾c gåm thanh cøng chiÒu dµi L, mét ®Çu mang khèi l−îng m bÞ Ðp gi÷a hai lß xo
n»m ngang cã ®é cøng C, ®Çu ngoµi lß xo g¾n chÆt. Bá qua khèi l−îng thanh vµ coi lß xo ë
vÞ trÝ c©n b»ng ch−a bÞ d·n.

Tr¶ lêi: T =
2C g

m L
5. Ng−êi ta g¾n t¶i träng khèi l−îng m lªn cét chèng mÒm b»ng thÐp ®é cøng C1, tiÕt
diÖn ngang h×nh ch÷ nhËt. Cét ®−îc gi÷ th¼ng ®øng nhê hai lß xo víi ®é cøng C2. T×m tÇn sè
dao ®éng riªng cña t¶i träng, biÕt khèi l−îng cña cét chèng vµ lß xo lµ nhá so víi khèi l−îng
cña t¶i träng; ¶nh h−ëng cña träng l−îng cña t¶i träng lªn ®é uèn cña cét chèng bá qua.

144
2C 2 a 2 − mgL
Tr¶ lêi: k =
⎡ a 2 (L − a ) 2 ⎤
mL ⎢L + 2C 2
⎣ 3EJ ⎥ ⎦
6. Trong bé ghi rung dïng ®Ó ghi c¸c dao ®éng cña mãng, c¸c bé phËn m¸y,..., lß xo
xo¾n cã ®é cøng C gi÷ con l¾c träng l−îng Q lÖch khái ®−êng th¼ng ®øng gãc α. M« men
qu¸n tÝnh cña con l¾c ®èi víi trôc quay b»ng J. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng tù do cña bé
ghi rung.
J
Tr¶ lêi: T = 2π
Qs cos α + C


m


EJ
L
C2 C2
s α
a

Q
h×nh vÏ bt 5
h×nh vÏ bt 6

7. H·y x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng tù do cña mãng m¸y ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi vµ bÞ
lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng. Träng l−îng cña mãng vµ m¸y Q =1470KN, diÖn tÝch ®Õ mãng S
= 50m2; ®é cøng riªng cña ®Êt λ = 30 N / cm 3 (HÖ sè cøng cña ®Êt b»ng C = λS ).

Q
Tr¶ lêi: T = 2π = 6,28.10 − 2 rad / s
gC




x
Q
Q

x
h×nh vÏ bt 7
h×nh vÏ bt 8

8. Lång thang m¸y cã träng l−îng Q = 30KN h¹ xuèng giÕng má víi vËn tèc u = 3m/s, ®ét
nhiªn h·m chÆt ®Çu trªn cña d©y c¸p l¹i, lång kh«ng h¹ xuèng n÷a. H·y x¸c ®Þnh chuyÓn

145
®éng tiÕp sau cña lång, nÕu hÖ sè cøng cña d©y lµ C = 27,5 KN/cm. Bá qua khèi l−îng d©y
c¸p.
Tr¶ lêi: x =0,1sin(30t) cm.
9. Mét ®Üa khèi l−îng m, m«men qu¸n tÝnh cña khèi l−îng b»ng Jo, ®−îc g¾n vµo may
¬ b¸n kÝnh r. May ¬ cña ®Üa ®−îc ®Æt lªn mét thiÕt bÞ dÉn h−íng cong trßn b¸n kÝnh R. LËp
ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña ®Üa víi gi¶ thiÕt khi ®Üa chuyÓn ®éng may ¬
kh«ng tr−ît trªn c¬ cÊu dÉn h−íng.

( r2
)
••

Tr¶ lêi: mr + J o ϕ+ mg
2
sin ϕ = 0
R−r

( r2
)
••
Dao ®éng nhá: mr + J o ϕ+ mg 2
ϕ=0
R−r



C
R
r
R



α



h×nh vÏ bt 9 h×nh vÏ bt 10

10. Mét xe goßng khèi l−îng m ®−îc ®Æt trªn mét mÆt nh¸m n»m nghiªng, xe goßng
®−îc gi÷ trªn mÆt nghiªng bëi lß xo cã ®é cøng C. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá
cña xe goßng, biÕt mçi cÆp b¸nh xe goßng cã m« men qu¸n tÝnh cña khèi l−îng b»ng J; b¸n
kÝnh b¸nh xe b»ng R vµ b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît trªn mÆt nghiªng.
••
Tr¶ lêi: (mR 2 + 2J ) ϕ+ CR 2 ϕ = 0; ϕ - gãc quay cña b¸nh xe.
11. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña khèi l−îng m ë hÖ m« t¶ trªn

h×nh vÏ, biÕt lùc c¶n dao ®éng tû lÖ thuËn víi vËn tèc chuyÓn ®éng: F = α y .
⎧ ⎛ ••
⎞ ⎛ •

⎪ y = δ11 ⎜ − m y ⎟ + δ12 ⎜ − α y k ⎟
⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tr¶ lêi: ⎨
⎪y = δ ⎛ − m y ⎞ + δ ⎛ − α y ⎞
•• •

21 ⎜ ⎟ 22 ⎜ k ⎟


k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12. Ng−êi ta g¾n t¶i träng cã träng l−îng P vµo mét thanh cøng tuyÖt ®èi kh«ng qu¸n
tÝnh dµi L. Thanh ®−îc gi÷ ë vÞ trÝ c©n b»ng nhê lß xo vµ mét bé gi¶m chÊn. Bé gi¶m chÊn

cã ®Æc tr−ng ma s¸t tuyÕn tÝnh F = α x .

146
TÝnh tÇn sè dao ®éng riªng cña hÖ vµ ®é suy gi¶m t¾t dÇn LogarÝt Λ cña dao ®éng.
BiÕt P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; ®−êng kÝnh lß xo D = 5cm; ®−êng kÝnh d©y lß xo d
= 0,5cm; sè vßng lß xo i = 5; m«®un ®µn håi G = 8.106N/cm2; hÖ sè c¶n chuyÓn ®éng cña
bé gi¶m chÊn α = 3NS/cm.
Tr¶ lêi: K 1 = 11,5 rad / s ; Λ = 1,29.


P




y L
EJ C
K
α m
a
L/2 L/2


h×nh vÏ bt 11 h×nh vÏ bt 12


13. G¾n mét khèi l−îng m vµo ®Çu thanh. G¾n vµo thanh c¸c phÇn tö c¶n ®µn håi. Bá
qua khèi l−îng thanh.
a) Ph¶i chän ®é lín hÖ sè c¶n b thÕ nµo ®Ó hÖ cã thÓ dao ®éng nhá;
1
b) X¸c ®Þnh ®é c¶n Lehr D cÇn thiÕt ®Ó sau 10 dao ®éng biªn ®é gi¶m cßn biªn ®é
10
cña chu kú ®Çu; sau ®ã x¸c ®Þnh chu kú dao ®éng.
n b D
(§é c¶n Lehr: D = = ; §é suy gi¶m t¾t dÇn Logarit: Λ = δT = 2π )
k 2 mC 1− D2

gm 2 2am
Tr¶ lêi: a) b < Cm + b) D = 0,037; T = 2π
2a 2aC + gm

14. HÖ cho trªn h×nh vÏ n»m trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng. VÞ trÝ c©n b»ng tÜnh cña hÖ
øng víi vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh OM. ë thêi ®iÓm ®Çu thanh lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh ng−îc
chiÒu kim ®ång hå mét gãc ϕ0 vµ kh«ng cã vËn tèc ban ®Çu. X¸c ®Þnh dao ®éng nhá cña hÖ.
Khèi l−îng lß xo, thanh, bé gi¶m chÊn ma s¸t ë b¶n lÒ bá qua. LÊy träng l−îng cña t¶i träng
M lµ P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 60, C = 20N/cm, μ = 15NS/cm.

Tr¶ lêi: ϕ = 0,12e −7, 25 t sin (8,7t + 0,28π)

147
O
L1
μ
a A
ϕ
b
L2 L
C C

a B

m C M



h×nh vÏ bt 13 h×nh vÏ bt 14


15. Cho biÕt c¬ cÊu gåm t¶i träng khèi l−îng m ®−îc g¾n vµo hai lß xo cïng ®é cøng
C. T¶i träng ®−îc ng©m trong èng ®Çy chÊt láng. Lùc c¶n chuyÓn ®éng cña t¶i träng trong
èng cã thÓ ®−îc ®iÒu chØnh nhê thay ®æi khe hë gi÷a t¶i träng vµ èng hoÆc ®é nhít chÊt
láng.
a) LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá tù do cña t¶i träng.
b) TÝnh thêi gian ®Ó biªn ®é dao ®éng tù do cña t¶i träng gi¶m ®i 100 lÇn, biÕt khi t

= 0: x(0) = x0, x(0) = 0 .
Khi gi¶i gi¶ thiÕt lùc c¶n chuyÓn ®éng cña t¶i träng tû lÖ thuËn víi vËn tèc chuyÓn
®éng; m = 0,5NS 2 / cm; C = 10 N / cm; α = 5NS / cm .




[ ]
x = x 0 e − nt cos k 2 − n 2 .t , n =
α
2m
, k2 =
2C
m
Tr¶ lêi : ⎨
1
⎪t = Ln100 = 0,92s
⎪1 n

C




C H m
d
m

C
D

h×nh vÏ bt 15 h×nh vÏ bt 16


148
16. Bé phËn c¶n thuû lùc (hoµn xung hay gi¶m chÊn thuû lùc) lµ mét pÝtt«ng khèi l−îng
m chuyÓn ®éng trong chÊt láng. H·y kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña pÝtt«ng biÕt t¹i t = 0 pÝtt«ng
lÖch víi vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng y0 = 0,5cm. T×m thêi gian ®Ó ®é lÖch cña pÝtt«ng ®èi víi vÞ
trÝ c©n b»ng gi¶m ®i hai lÇn.
Cho biÕt: ®é cøng lß xo C=30N/cm; ®−êng kÝnh h×nh trô D = 10cm; ®−êng kÝnh lç hë
pÝtt«ng d = 1cm; sè lç hë z = 25; träng l−îng pitt«ng Q = 27,3N; chiÒu cao pÝtt«ng H = 5cm. HÖ
sè nhít ®éng lùc chÊt láng μ = 6.108NS/cm; khi tÝnh lùc c¶n nhít lÊy β theo c«ng thøc:
128μHσ 2 πD 2
β= ; σ= diÖn tÝch ngang pÝtt«ng.
πd 4 z 4

[ ] β
⎪ y = y 0 e cos k − n .t , n = 2m = 5,42

− nt 2 2


Tr¶ lêi: ⎨
⎪k 2 = C = 1080 rad / s; t = 0,03s

⎩ m
1



17. T×m biÓu thøc phô thuéc gi÷a tÇn sè dao ®éng xo¾n riªng cña trôc m¸y trén vµ ®é
nhít chÊt láng ®em trén còng nh− thêi gian ®Ó biªn ®é trôc m¸y trén gi¶m ®i 10 lÇn sau khi
m«t¬ dõng l¹i ®ét ngét, biÕt vËn tèc quay tr−íc lóc m«t¬ dõng l¹i ®Òu b»ng Ω.
Khi tÝnh gi¶ thiÕt khèi l−îng trôc nhá so víi khèi l−îng c¸c c¸nh, m«men qu¸n tÝnh
khèi l−îng c¸nh J = 50 Ncms2, ®−êng kÝnh trôc d = 5mm; ®é dµi trôc L = 0,5m; hÖ sè c¶n
nhít α =120N cms; m«®un tr−ît vËt liÖu trôc G = 8.106 N/cm2.
αΩ −1, 2 t
Tr¶ lêi: ϕ = − e cos 4,25t; t 1 = 1,9s.
C




d L
Q Q

O1 O2


C


h×nh vÏ bt 17 h×nh vÏ bt 18


18. M¸y rung dïng ®Ó t¹o ra c¸c dao ®éng gåm hai ®Üa m¾c lÖch t©m trªn hai trôc
song song, träng l−îng mçi ®Üa lµ Q, träng l−îng toµn m¸y b»ng P, t©m sai c¶ hai ®Üa b»ng
nhau vµ b»ng r. Khi l¾p r¸p ban ®Çu c¸c ®Üa t¹o víi ph−¬ng n»m ngang nh÷ng gãc α1, α2.

149
Hai ®Üa quay ng−îc chiÒu nhau víi vËn tèc gãc ω. M¸y g¾n bu l«ng trªn bÖ ®µn håi ®é cøng
C. H·y x¸c ®Þnh biªn ®é dao ®éng c−ìng bøc cña m¸y, bá qua träng l−îng cña nã.
2Qr α1 + α 2
Tr¶ lêi: A = sin
Cg 2
− ( P + Q)
ω2
19. HÖ t¹o tõ t¶i träng M träng l−îng P1 = 80 N, c¸c thanh kh«ng träng l−îng vµ lß
xo cã ®é cøng C = 5N/cm n»m trong mÆt ph¼ng ®øng. Thanh OA chuyÓn ®éng theo r·nh
th¼ng ®øng víi quy luËt y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = 8 rad/s). VÞ trÝ n»m ngang cña BM
t−¬ng øng víi vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh khi y = 0. X¸c ®Þnh dao ®éng nhá cña t¶i träng ë h−íng
th¼ng ®øng. BiÕt L1 = 90 cm; L2 = 60 cm. T¹i thêi ®iÓm ®Çu (t = 0) hÖ ë vÞ trÝ c©n b»ng tÜnh,
vËn tèc gãc cña BM còng nh− vËn tèc cña t¶i träng M b»ng 0; y = 0; bá qua ma s¸t.

Tr¶ lêi: ϕ = 0,0785sin5,2t − 0,0505sin8t

20. C¬ cÊu dÉn ®éng cho van cã s¬ ®å ho¸ d−íi d¹ng khèi l−îng m m¾c gi÷a hai lß
xo: Lß xo trªn cã ®é cøng C g¾n vµo mét ®iÓm cè ®Þnh, Lß xo d−íi cã ®é cøng C1 g¾n vµo
cam chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Trªn mÆt c¾t cña cam ph¶i ®Þnh tr−íc ®Ó cho chuyÓn ®éng th¼ng
®øng x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

x1 = a(1 − cosωt) khi 0 ≤ t ≤
ω

x1 = 0 khi t>
ω
H·y x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m.
C1 a ⎡ 1 1 ⎤ 2π
Tr¶ lêi: x = ⎢ k 2 (1 − cos kt ) + k 2 − ω 2 (cos kt − cos ωt )⎥ khi 0 ≤ t ≤
m ⎣ ⎦ ω

C 1a ⎡ 1 1 ⎤⎡ π ⎤ 2π
x= ⎢ k 2 − ω 2 − k 2 ⎥.⎢cos kt − cos k(t − 2ω )⎥ khi t >
ω
m ⎣ ⎦⎣ ⎦



y0 M C
B x
O m

C1
C

A

L2 L1

h×nh vÏ bt 19 h×nh vÏ bt 20


150
21. Mét ®éng c¬ cã träng l−îng Q ®Æt th¼ng ®øng trªn bÖ m¸y cã diÖn tÝch ®¸y b»ng
S; ®é cøng cña ®Êt b»ng λ; ®é dµi tay quay ®éng c¬ lµ L; vËn tèc gãc cña trôc lµ ω. PÝtt«ng
vµ c¸c phÇn kh«ng c©n b»ng thùc hiÖn c¸c chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn qua l¹i cã träng l−îng P.
Träng l−îng cña mãng m¸y b»ng G tay quay coi nh− c©n b»ng nhê ®èi träng. H·y x¸c ®Þnh
dao ®éng c−ìng bøc cña mãng m¸y, bá qua khèi l−îng cña thanh truyÒn.
Pr ω 2 r Pr ω 2
Tr¶ lêi: ξ = cos ωt + cos 2ωt
(Q + G )( k 2 − ω 2 ) L (Q + G )( k 2 − 4ω 2 )


P
η

Q L m
x1(t)
C α
ξ ω r
ζ
G O



h×nh vÏ bt 21 h×nh vÏ bt 22

22. B¸nh xe l¨n trªn ®−êng gå ghÒ cã vËn tèc cña trôc b¸nh xe kh«ng ®æi vµ b»ng V.
T¶i träng khèi l−îng m g¾n víi trôc b¸nh xe b»ng lß xo ®é cøng C. Trong lß xo cã ma s¸t
nhít, hÖ sè c¶n α vµ lùc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc t−¬ng ®èi. Bá qua biÕn d¹ng cña b¸nh xe vµ
mÆt ®−êng. ViÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng t−¬ng ®èi th¼ng ®øng cña t¶i träng. BiÕt ph−¬ng
⎛ πξ ⎞
tr×nh mÆt ®−êng: η = η max sin 2 ⎜ ⎟ víi L - chiÒu dµi sãng.
⎜L⎟
⎝ ⎠
1
Tr¶ lêi: y = Be − nt [cos ε. cos k 1 t + ( n cos ε + p sin ε) sin k 1 t ] − B cos(pt − ε)
k1

2πV 2np P0 p2
p= ; ε = arctg 2 ; B= ; P0 = η max
L k − p2 ( k 2 − p 2 ) − 4n 2 p 2 2

23. Cho biÕt ë thêi ®iÓm ban ®Çu khèi l−îng m lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng
x0. Nã ®−îc th¶ tù do kh«ng cã vËn tèc ban ®Çu. Khi khèi l−îng tr−ît trªn mÆt, gi÷a chóng

xuÊt hiÖn lùc ma s¸t kh« (ma s¸t Cul«ng). Sù phô thuéc gi÷a lùc ma s¸t Ft víi vËn tèc x cña
khèi l−îng m ®−îc m« t¶ trong h×nh vÏ. T×m quy luËt chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m.
⎡ (2n − 1)Ft ⎤ F C
Tr¶ lêi: x m = ⎢ x 0 − ⎥ cos kt + (−1) n −1 t 2 , k =
⎣ mk 2
⎦ mk m

151
24. Gi¶ sö lùc kÝch ®éng biÕn ®æi theo quy luËt: F(t) = F0⏐sinωt⏐ t¸c dông lªn khèi
l−îng m. LËp ph−¬ng tr×nh dao ®éng c−ìng bøc cña t¶i träng vµ cho biÕt víi tÇn sè ω nµo
cña lùc kÝch ®éng trong hÖ sÏ x¶y ra céng h−ëng (bá qua ma s¸t).
2F0 4F0 ∞ cos 2nωt k
Tr¶ lêi: x = − ∑ (2n − 1)(2n + 1)(k 2 − 4n 2 ω2 ) ; ω = 2n ; n = 1, 2, 3 ...
πC πm n =1

x

C m C/2 C m
F(t)

Ft F(t)

x t
F0
π/ω 2π/ω

h×nh vÏ bt 23 h×nh vÏ bt 24


25. H·y kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m khi cã lùc ngoµi kh«ng ®æi Q ®ét
ngét t¸c dông lªn nã (tøc gi¶ thiÕt F(t) = Q).
Q
Tr¶ lêi: y(t) = (1 – cos pt); ymax = 2δt.
mp 2

F(t) ω
r

m
L
α
F(t)
m
C C
t
δt

h×nh vÏ bt 25 h×nh vÏ bt 26


26. Ng−êi ta ®Æt khèi l−îng m lªn hai lß xo, mçi lß xo cã ®é cøng C vµ nèi víi c¬ cÊu
tay quay then truyÒn qua bé gi¶n chÊn cã hÖ sè c¶n nhít α. ViÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng cña khèi l−îng m. T×m øng suÊt xuÊt hiÖn trong lß xo, biÕt ®−êng kÝnh lß xo
D, ®−êng kÝnh d©y thÐp lß xo d, vËn tèc gãc cña tay quay ω b»ng tÇn sè dao ®éng riªng t¾t
dÇn cña khèi l−îng m trªn lß xo.

152
⎧ •• •
α 2C
⎪ x 2 + 2n x 2 + k 2 x 2 = 2nωr cos ωt; 2n = ; k 2 =
m m

Tr¶ lêi: ⎨ ⎛ mg ⎞
⎪ 8⎜ Cr + ⎟D
⎪τ max = ⎝ 2 ⎠
⎩ πd 3
27. §Ó gi¶m ¶nh h−ëng dao ®éng cña nÒn (hoÆc dÇm) tíi chÕ ®é lµm viÖc cña m¸y
ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p c¸ch ly rung thô ®éng. §ã lµ viÖc ®Æt (hoÆc treo) c¸c m¸y
trªn c¸c bé gi¶m rung mÒm. TÝnh hÖ sè ®éng lùc (tû sè gi÷a biªn ®é dao ®éng a cña khèi
l−îng m víi biªn ®é dao ®éng cña nÒn (hoÆc dÇm) x0) ®èi víi c¸c s¬ ®å m« t¶ trªn h×nh vÏ.
a 1 1 1
Tr¶ lêi: K dl = = ; a) K dl = ; b) K dl = ;
x0 ⎛ ω⎞
2

2
4 mω
2
1− ⎜ ⎟ 1− 1−
⎝k⎠ C 3C

L L
m
m
C
C x0sinωt
x0sinωt

a) b)
h×nh vÏ bt 27

28. §Ó gi¶m t¸c dông cña lùc qu¸n tÝnh g©y ra bëi chi tiÕt mÊt c©n b»ng trong m¸y
xuèng nÒn (mãng), ng−êi ta dïng ph−¬ng ph¸p c¸ch ly rung ®éng c¬. §ã lµ viÖc ®Æt hoÆc
treo ®éng c¬ lªn nh÷ng gèi mÒm ®µn håi. TÝnh hÖ sè truyÒn ®éng lùc cña lùc qu¸n tÝnh
xuèng nÒn ë nh÷ng chç g¾n gèi ®µn håi víi ®é cøng C. DÇm trªn ®ã ®Æt ®éng c¬ ®−îc xem
nh− cøng tuyÖt ®èi.
R dl 1 1 1 1
Tr¶ lêi: K dl = = ; a) K dl = ; b) K dl = ; c) K dl =
Rt ω 2
mω 2
4mω 2
9mω2
1− 2 1− 1− 1−
k C C 20C

P0sinωt P0sinωt
P0sinωt L1
C m m
m L1
C C
L L
C L L

a) b) c)

h×nh vÏ bt 28

153
29. §Ó c¸ch ly rung ®éng cña m¸y vµ thiÕt bÞ tíi gi¸ ®ì ®µn håi ng−êi ta th−êng ®−a
vµo c¸c yÕu tè hao t¸n. §ã lµ bé gi¶m chÊn cã ma s¸t nhít. H·y tÝnh hÖ sè ®éng lùc ®èi víi
s¬ ®å m« t¶ trªn h×nh vÏ. Khi tÝnh lÊy c¸c gi¸ trÞ nh− sau: m = 1NS 2 / cm ; ω = 100rad / s ;
EJ
α = 60 NS / cm ; = 200 N / cm
L
1
Tr¶ lêi: η = ; η = 0,316
2 2
⎛ ω 2 ⎞ ⎛ 2 nω ⎞
⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟
⎜ k ⎟
⎝ ⎠ ⎝ k ⎠
30. Kh¶o s¸t dao ®éng c−ìng bøc cña khèi l−îng m khi cã xung lùc tuÇn hoµn cïng
dÊu trong kho¶ng h÷u h¹n t1 vµ ®é cao h t¸c dông lªn nã.
⎡ ⎛ T − t1 ⎞ ⎤
⎢ cos p 0 ⎜ t + 2 ⎟ ⎥
⎛ p 0 t 1 ⎞⎢ ⎝ ⎠ + 2 sin p ⎛ t − t 1 ⎞⎥
Tr¶ lêi: y( t ) = h sin ⎜ ⎟ 0⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠⎢ T ⎝ 2 ⎠⎥
⎢ sin p 0 ⎥
⎣ 2 ⎦
Trong kho¶ng: T ≤ t < ∞ nghiÖm nµy ®−îc th¸c triÓn tuÇn hoµn víi chu kú T.



C m F(t)
P0sinωt
EJ m EJ
F(t)
α h
t
L L
T T T


H×nh vÏ bt 29 H×nh vÏ bt 30




154
Bμi tËp ch−¬ng II
Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do.
31. Hai t¶i träng khèi l−îng m1, m2 treo vµo c¸c lß xo cã ®é cøng C1, C2 t−¬ng øng. X¸c
®Þnh c¸c tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ khi: a) C1 = C2 = C vµ b) C1 = C2 = C vµ m1 = m2 = m.

2(m1 + m 2 )C ( 2m 2 + m 1 ) 2 C 2 C2
Tr¶ lêi: a) k 1, 2 = m −
2m 1 m 2 4m 1 m 2
2
2 m1 m 2

b) k 1, 2 =
1C
2m
(
3m 5 )

C1
m1

C2
m2

h×nh vÏ bt 31 h×nh vÏ bt 32


32. Mét mãng m¸y nÆng Q = 1000KN ®Æt trªn nÒn ®Êt ®µn håi. DiÖn tÝch ®¸y mãng
S =17m2; ®é cøng riªng cña ®Êt b»ng: Λ = 60000KN/cm3. §Ó khö c¸c dao ®éng céng h−ëng
ph¸t sinh khi m¸y lµm viÖc ng−êi ta ®Æt m¸y trªn mét bÖ nÆng liªn kÕt víi mãng b»ng c¸c lß xo
®µn håi cã ®é cøng tæng céng lµ: C = 50.000KN / m . Träng l−îng cña m¸y vµ bÖ P = 49 KN.
H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng cña hÖ (mãng vµ bé gi¶m rung).
Tr¶ lêi: k 1 = 89,5rad / s; k 2 = 111,7rad / s
33. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng xo¾n chÝnh cña hÖ gåm mét trôc vµ ba ®Üa ®ång
chÊt nh− nhau l¾p trªn trôc. Hai ®Üa l¾p chÆt vµo hai ®Çu, cßn ®Üa thø ba l¾p chÆt vµo gi÷a.
M«men qu¸n tÝnh cña mçi ®Üa ®èi víi ®−êng t©m cña trôc b»ng J; ®é cøng khi xo¾n cña c¸c
phÇn trôc C1 = C2 = C. Bá qua khèi l−îng cña trôc.
C 3C
Tr¶ lêi: k 1 = , k2 =
J J
34. Hai con l¾c nh− nhau cã ®é dµi L vµ khèi l−îng m nèi víi nhau ë kho¶ng h b»ng
lß xo cã ®éng cøng C. C¸c ®Çu lß xo g¾n chÆt vµo c¸c thanh cña chóng. H·y x¸c ®Þnh dao
®éng nhá cña hÖ trong mÆt ph¼ng chøa vÞ trÝ c©n b»ng cña con l¾c, sau khi lµm cho mét con
l¾c lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét gãc α. VËn tèc ban ®Çu cña chóng b»ng 0. Bá qua khèi
l−îng cña c¸c thanh vµ lß xo.
⎛ k + k 2 ⎞ ⎛ k1 − k 2 ⎞ ⎛ k + k 2 ⎞ ⎛ k1 − k 2 ⎞
Tr¶ lêi: ϕ1 = α cos⎜ 1 t ⎟ cos⎜ t ⎟ ; ϕ2 = α sin⎜ 1 t ⎟ sin⎜ t⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

155
g g 2Ch 2
Trong ®ã: k1 = ; k2 = +
L L mL2


h
C
C M
L
ϕ
m
m m

h×nh vÏ bt 34 h×nh vÏ bt 35

35. Con l¾c gåm con ch¹y khèi l−îng M tr−ît kh«ng ma s¸t trªn mÆt ph¼ng n»m
ngang vµ qu¶ cÇu nhá cã khèi l−îng m nèi víi con ch¹y b»ng mét thanh dµi L, thanh nµy cã
thÓ quay quanh mét trôc g¾n liÒn víi con ch¹y. Lß xo cã ®é cøng C, mét ®Çu g¾n víi con
ch¹y cßn ®Çu kia g¾n cè ®Þnh. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng nhá cña hÖ.
Tr¶ lêi: TÇn sè ph¶i t×m lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
⎛ C g( M + m) ⎞ 2 Cg
k4 − ⎜ + ⎟k + =0
⎝M ML ⎠ ML

36. Thanh ®ång chÊt cã ®é dµi L treo vµo mét ®iÓm cè ®Þnh nhê sîi d©y dµi l = 0,5 L.
H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ vµ t×m tû sè c¸c ®é lÖch khái ®−êng th¼ng ®øng
cña thanh vµ d©y øng víi dao ®éng chÝnh thø nhÊt vµ thø hai. Bá qua khèi l−îng d©y.
g g
Tr¶ lêi: k 1 = 0,677 ; k 2 = 2,558
l l
ϕ1 = 0,847ϕ2 trong dao ®éng chÝnh thø nhÊt.
ϕ1 = −1,180ϕ2 trong dao ®éng chÝnh thø hai.

l
l b
ϕ1 C

a
L
L
ϕ2
m=P/g m=P/g

h×nh vÏ bt 36 h×nh vÏ bt 37

156
37. Hai con l¾c vËt lý nh− nhau treo vµo hai trôc song song ®Æt trong mÆt ph¼ng n»m
ngang vµ nèi víi nhau b»ng mét lß xo cã ®é dµi ë tr¹ng th¸i ch−a bÞ c¨ng b»ng kho¶ng c¸ch
gi÷a hai trôc cña con l¾c.
H·y x¸c ®Þnh tÇn sè, tû sè biªn ®é c¸c dao ®éng chÝnh cña hÖ khi c¸c gãc lÖch khái vÞ
trÝ c©n b»ng lµ nhá. Träng l−îng cña mçi con l¾c b»ng P, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi
trôc ®i qua träng t©m song song víi trôc treo b»ng ρ, ®é cøng cña lß xo b»ng C, kho¶ng
c¸ch tõ träng t©m cña con l¾c vµ tõ ®iÓm g¾n lß xo vµo con l¾c ®Õn trôc treo t−¬ng øng b»ng
a vµ b. Bá qua søc c¶n chuyÓn ®éng vµ khèi l−îng cña lß xo.
(1)
ga ( Pa + 2Cb 2 )g A 1 A (12)
Tr¶ lêi: k 1 =
2
; k2 =
2 ; (1) = +1; ( 2) = −1
ρ2 + a 2 P(ρ 2 + a 2 ) A2 A2

38. H·y nghiªn cøu dao ®éng cña toa xe löa trong mÆt ph¼ng gi÷a th¼ng ®øng cña nã,
nÕu träng l−îng cña phÇn trªn lß xo cña toa xe b»ng Q. Kho¶ng c¸ch tõ träng t©m ®Õn c¸c
mÆt ph¼ng th¼ng ®øng ®i qua c¸c trôc lµ L1 = L2 = L, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh ®èi víi trôc trung
t©m song song víi c¸c trôc cña toa xe b»ng ρ, ®é cøng cña c¸c lß xo ë c¶ hai trôc lµ nh−
nhau C1 = C2 = C.

Tr¶ lêi: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β). Trong ®ã: x lµ dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña
träng t©m toa xe; ϕ lµ gãc t¹o bëi sµn toa xe víi mÆt ph¼ng n»m ngang; A, B, α, β lµ c¸c
2Cg 2CgL2
h»ng sè tÝch ph©n; k 1 = ; k2 =
Q Qρ 2

O
L
C
L1 L2
R
A m


h×nh vÏ bt 38 h×nh vÏ bt 39


39. Mét ®Üa trßn ®ång chÊt b¸n kÝnh R khèi l−îng M nèi khíp víi thanh OA = L,
thanh nµy cã thÓ quay quanh trôc cè ®Þnh n»m ngang. ChÊt ®iÓm khèi l−îng m g¾n chÆt vµo
vµnh ®Üa. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng tù do cña hÖ, bá qua khèi l−îng thanh. §Üa cã thÓ
quay trong mÆt ph¼ng dao ®éng cña thanh OA.
Tr¶ lêi: TÇn sè dao ®éng tù do lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:
M + m ⎛ 2m(R + L ) ⎞ g 2 2mg 2 ( M + m)
k4 − ⎜1 + ⎟ k + =0
M + 3m ⎝ MR ⎠L MRL ( M − 3m)

157
40. H·y x¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng xo¾n tù do cña hÖ gåm hai trôc liªn kÕt víi nhau
b»ng c¸c b¸nh r¨ng truyÒn ®éng. M«men qu¸n tÝnh cña c¸c khèi l−îng l¾p trªn trôc vµ
m«men qu¸n tÝnh cña c¸c b¸nh r¨ng ®èi víi ®−êng t©m c¸c trôc b»ng: J1 = 87500 kgcms2;
J2 = 56000 kgcms2; J1z = 302 kgcms2; J2z = 10,5 kgcms2; Tû sè truyÒn λ = Z1/Z2 = 5; §é
cøng cña c¸c trôc khi xo¾n: C1 = 316.106 Kgcm; C2 = 115.106 Kgcm. Bá qua khèi l−îng cña
c¸c trôc.

Tr¶ lêi: k1 = 54,8 rad/s; k2 = 2,38.103 rad/s.

41. Mét c¬ hÖ gåm khèi l−îng m1 vµ pitt«ng cña bé gi¶m chÊn g¾n cøng víi nhau t¹i
®iÓm B. Nhê lß xo cã ®é cøng C1, hÖ treo vµo tÊm ph¼ng A ®ang chuyÓn ®éng theo quy luËt:
ξ = ξ(t). Hép cña bé gi¶m chÊn cã khèi l−îng m2 tùa trªn lß xo cã ®é cøng C2, ®Çu kia cña
lß xo tùa trªn pitt«ng. Ma s¸t nhít trong bé gi¶m chÊn tû lÖ víi vËn tèc t−¬ng ®èi cña
pitt«ng so víi hép, hÖ sè c¶n lµ β.

H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ.

⎧ •• • •
⎪ m 1 x 1 + β x 1 − β x 2 − ( C 1 + C 2 ) x 1 − C 2 x 2 = C 1 ξ( t )
Tr¶ lêi: ⎨ •• • •
⎪m 2 x 2 − β x 1 + β x 2 − C 2 x 1 + C 2 x 2 = 0

O
ξ(t)
A
O1 C
1
II II m1


C2
I I
m2
B


h×nh vÏ bt 40 h×nh vÏ bt 41


42. H·y t×m tÇn sè vµ d¹ng dao ®éng chÝnh cña hai t¶i träng nh− nhau vµ b»ng Q, g¾n
vµo hai ®Çu cña mét dÇm c«ng x«n n»m ngang. DÇm cã ®é dµi 3L n»m tù do trªn hai gèi ®ì
c¸nh nhau mét kho¶ng L, ®iÓm g¾n t¶i träng c¸ch gèi nh÷ng kho¶ng L nh− nhau. M«men
qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ngang dÇm b»ng J; M«®un ®µn håi cña vËt liÖu dÇm b»ng E. Bá qua
khèi l−îng cña dÇm.

6EJg 2EJg
Tr¶ lêi: k 1 = ; k2 =
5QL3 QL3

158
43. §éng c¬ ®iÖn träng l−îng Q1 g¾n trªn mãng bª t«ng ®µn håi (d¹ng h×nh hép ®Æc)
cã träng l−îng Q2 vµ hÖ sè cøng C2. Mãng ®Æt trªn nÒn ®Êt cøng. R«to cã träng l−îng P l¾p
trªn trôc ®µn håi n»m ngang cã hÖ sè cøng khi uèn b»ng C1, t©m sai R«to ®èi víi trôc b»ng
r, vËn tèc gãc cña trôc b»ng ω. H·y x¸c ®Þnh dao ®éng c−ìng bøc th¼ng ®øng cña Stato cña
®éng c¬ cã tÝnh ®Õn ¶nh h−ëng khèi l−îng mãng b»ng c¸ch céng thªm 1/3 khèi l−îng cña
nã vµo khèi l−îng cña Stato.

Tr¶ lêi: §é lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng cña Stato:

C 1 Pgrω 2 sin(ωt )
y=
⎡ 1 ⎤ 1
C 1C 2 g 2 − ⎢(C 1 + C 2 )P + C 1 (Q 1 + Q 2 )⎥ gω 2 + (Q 1 + Q 2 )ω 4
⎣ 3 ⎦ 3

ωt
rP

C1
Q Q Q1

L L L C2

Q2

h×nh vÏ bt 42 h×nh vÏ bt 43


44. Ba toa tÇu chë hµng mãc víi nhau, ®é cøng c¸c mãc nèi toa b»ng C1, C2. Träng
l−îng c¸c toa lµ Q1, Q2, Q3. T¹i thêi ®iÓm ban ®Çu hai toa ë vÞ trÝ c©n b»ng, cßn toa cuèi
cïng bªn ph¶i lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng mét kho¶ng x0.
a) T×m tÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ.
b) X¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña c¸c toa xe vµ vÏ c¸c dao ®éng chÝnh trong tr−êng hîp:
C¸c toa xe cã träng l−îng b»ng nhau (Q1 = Q2 = Q3 = Q) vµ c¸c mãc nèi cã ®é cøng nh−
nhau (C1 = C2 = C3 = C).
Tr¶ lêi:
a) k1 = 0, k2 vµ k3 lµ nghiÖn cña ph−¬ng tr×nh:
⎛C C + C2 C3 ⎞ 2 ⎛C C C C CC ⎞
k 4 − g⎜ 1 + 1
⎜Q + ⎟k + g 2 ⎜ 1 2 + 2 3 + 1 3 ⎟ = 0
⎟ ⎜Q Q ⎟
⎝ 1 Q2 Q3 ⎠ ⎝ 1 2 Q 2 Q 3 Q 1Q 3 ⎠
x0 x0 x
b) x 1 = − cos k 2 t + 0 cos k 3 t ;
3 2 6
x0 x0
x2 = − cos k 3 t
3 2

159
x0 x0 x gC 3Cg
x3 = + cos k 2 t + 0 cos k 3 t ; k 2 = ; k3 =
3 2 6 Q Q
C¸c dao ®éng chÝnh biÓu diÔn nh− sau:


1 1 1
1 2


45. a) X¸c ®Þnh tÇn sè dao ®éng riªng cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi cã hai khèi l−îng
tËp trung m1 = m, m2 = 2m (H×nh vÏ 45a)
b) §Æt lùc tøc thêi P(t) =P0 lªn khèi l−îng m1. T×m quy luËt dao ®éng cña c¸c t¶i
träng vµ m«men uèn ë dÇm (H×nh vÏ 45b).

EJ FJ
Tr¶ lêi: a) k 1 = 5,6117 3
; k 2 = 17,10
mL mL3
P0 L3
b) x 1 = ( 25 − 20 cos k 1 t − 4 cos k 2 t − cos k 3 t )
3888EJ
P0 L3
x2 = (39 − 40 cos k 1 t + cos k 3 t )
3888EJ
P0 L3
x3 = (17 − 20 cos k 1 t + 4 cos k 2 t − cos k 3 t )
3888EJ

EJ EJ EJ
k1 = 5,643 3
; k 2 = 22,4045 3
; k 2 = 36
mL mL mL3

P0
C1 C2 EJ m1 m2 EJ m1 m2 m3
m1 m2 m3
L/4 L/4 L/6 L/3 L/3 L/6
L L

a) b
h×nh vÏ bt 44 h×nh vÏ bt 45

46. Ng−êi ta g¾n trªn trôc chung cña mét ®éng c¬ bèn nhÞp víi ba xi lanh. R«to cña
m¸y ph¸t ®iÖn mét chiÒu cã m«men qu¸n tÝnh J1 = 1,78.103 kgcms2. R«to cña m¸y ph¸t ®iÖn
xoay chiÒu cã m«men qu¸n tÝnh J2 = 5J1 vµ b¸nh ®µ cã m«men qu¸n tÝnh J3 = 50J1. §é dµi
thu gän cña c¸c phÇn trôc L1 = 373 cm; L2 = 239 cm; M«®un tr−ît cña vËt liÖu trôc b»ng G;

160
m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn trôc b»ng JP; tÝch GJP = 1010 kgcm2. H·y x¸c ®Þnh:
TÇn sè dao ®éng chÝnh cña hÖ, vËn tèc tíi h¹n cña trôc. Bá qua ¶nh h−ëng khèi l−îng cña
pitt«ng, thanh truyÒn, tay quay vµ trôc.

Tr¶ lêi: k1 = 0; k2 = 6,43 s-1; k3 = 138 s-1; ω(1)th = 42,6 s-1; ω(2)th = 92 s-1.




L1 L2
J1 J2 J3




h×nh vÏ bt 46




161
Bμi tËp ch−¬ng III
Dao ®éng cña hÖ cã v« sè bËc tù do

47. Trªn thanh bÞ ngµm ë hai ®Çu t¸c dông lùc däc trôc kh«ng ®æi P ë t¹i gi÷a thanh.
Dao ®éng cña thanh sÏ x¶y ra nh− thÕ nµo nÕu lùc P bÊt th×nh l×nh bÞ c¾t bá.
4εL n −1
1 nπx P
Tr¶ lêi: U = ∑ (−1) 2 n 2 sin L cos p n t; ε = 2EF
π n =1,3,...
2


48. H·y x¸c ®Þnh c¸c tÇn sè riªng vµ c¸c hµm riªng cña thanh mét ®Çu bÞ ngµm chÆt,
mét ®Çu mang khèi l−îng m.
E λ x
Tr¶ lêi: p n = λ n ; x n (x) = C n sin n ; n = 1, 2, 3...
ρL 2
L

m μρ 2 4
λ n lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: cot gλ = λ; λ4 = L ; μ = ρF
μL EJ
49. Mét thanh bÞ ngµm chÆt mét ®Çu ph¶i, bªn tr¸i g¾n vµo lß xo. X¸c ®Þnh tÇn sè
2EF
riªng c¬ b¶n khi C * =
L
E
Tr¶ lêi: p1 = 2,29
ρL2
r m
P x x C* x
O L/2 L/2 O L O L

εL/2

h×nh vÏ bt 47 h×nh vÏ bt 48 h×nh vÏ bt 49

1
50. Trôc ®ång chÊt h×nh trô trßn ®Æt trªn hai æ ®ì nh− h×nh vÏ. BiÕt JP1/ JP2 = . X¸c
2
®Þnh tÇn sè riªng c¬ b¶n dao ®éng xo¾n cña trôc.

a G
Tr¶ lêi: p1 = λ 1 = 1,15 ; λ 1 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: sin λ + 3 sin 3λ = 0
a* ρa *
2




ρG, JP1 ρG, JP2 m
ρE, EJ

L
a* 2a*

h×nh vÏ bt 50 h×nh vÏ bt 51

162
51. Cho dÇm ®ång chÊt tiÕt diÖn kh«ng ®æi, ®Çu tr¸i bÞ ngµm chÆt, bªn ph¶i tù do
m 3
mang khèi l−îng m. BiÕt ε = = . X¸c ®Þnh c¸c tÇn sè riªng c¬ b¶n vµ tÇn sè riªng bËc 1.
μL 4
EJ EJ
Tr¶ lêi: p n = λ2n ; p 1 = 1,742
ML4 μL4
Víi λ n lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 1 + chλcosλ + ελ(shλcosλ − chλsinλ) = 0




163
Bμi tËp ch−¬ng V
C¬ së cña lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn

52. Mét xµ cøng cã tiÕt diÖn ngang kh«ng ®æi dµi 2L, khèi l−îng m ®−îc g¾n b¶n lÒ ë
®iÓm A vµ ®−îc gi÷ th¨ng b»ng bëi hai lß xo ®Òu cã ®é cøng C.
LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña xµ, biÕt phô thuéc gi÷a lùc c¶n cña lß xo
vµ ®é d·n dµi lµ tuyÕn tÝnh. T×m tÇn sè riªng cña dao ®éng nhá cña xµ.

2 ••
CL2 . cos ϕ cos α ⎛ 1 1 ⎞
Tr¶ lêi: a) mL α + ⎜ − ⎟=0
3 sin ϕ ⎜ 1 − sin α sin ϕ
⎝ 1 + sin α sin 2 ϕ ⎟


3C
b) p = cos ϕ
m
L L

O
O

L
C C
ϕ ϕ
C C


L
A α

L L

h×nh vÏ bt 52 h×nh vÏ bt 53

53. Mét xµ cøng ®é dµi 2L, tiÕt diÖn ngang kh«ng ®æi, träng l−îng Q, ®−îc treo ë ®Çu
mót trªn vµ ®−îc gi÷ th¼ng ®øng nhê hai lß xo ®Òu cã ®é cøng C.
LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng tù do cña xµ. TÝnh tÇn sè riªng cña dao ®éng nhá
cña xµ.
3g 3Cg
( 1 + sin α − ) 3g ⎛ C 1 ⎞
••
Tr¶ lêi: a) α + sin α + 1 − sin α = 0 ; b) p = ⎜ + ⎟.
4L 4Q 4 ⎝Q L⎠
54. Cho biÕt khèi l−îng m cã thÓ di chuyÓn tù do kh«ng ma s¸t däc theo trôc n»m
ngang. ë hai phÝa cña khèi l−îng ng−êi ta g¾n hai lß xo nh− nhau, ®é cøng C. Gi÷a lß xo vµ
gèi cã khe hë. T×m tÇn sè dao ®éng cña hÖ phô thuéc vµo biªn ®é x0.
πp 0 C
Tr¶ lêi: p = ; p0 =
2Δ m
π+
x0 − Δ

164
Δ Δ
C C C1 C2
m m
x0

h×nh vÏ bt 54 h×nh vÏ bt 56


55. Gi¶i bµi tËp 54 ë trªn víi ®é cøng cña hai lß xo kh¸c nhau (C1 vµ C2).
2πp 1 p 2
Tr¶ lêi: p =

(p 1 + p 2 )(π + )
x0 − Δ
56. Gi¶ thiÕt khèi l−îng m cã thÓ dÞch chuyÓn tù do (kh«ng ma s¸t) trªn mÆt ph¼ng
n»m ngang. Khi chuyÓn ®éng khèi l−îng sÏ tiÕp xóc víi mét trong hai lß xo g¾n ë hai phÝa.
Lß xo kh«ng g¾n cøng vµo khèi l−îng vµ ë vÞ trÝ c©n b»ng (khi gi÷a lß xo vµ khèi l−îng
kh«ng cã khe hë) lß xo kh«ng bÞ nÐn hoÆc kÐo. §é cøng c¸c lß xo kh¸c nhau vµ b»ng C1 vµ
C2. T×m tÇn sè dao ®éng cña hÖ.

2 C 1C 2
Tr¶ lêi: p =
m ( C1 + C 2 )

57. Cho biÕt khèi l−îng m ®−îc g¾n vµo hai lß xo kÐo víi ®é c¨ng ban ®Çu To. Gi¶ sö
dao ®éng cña khèi l−îng trªn mÆt ph¼ng ngang lµ kh«ng cã ma s¸t. H·y t×m gi¸ trÞ ®é lÖch
ban ®Çu x0 sao cho tÇn sè dao ®éng cña khèi l−îng b»ng 5 rad/s. H·y gi¶i bµi to¸n b»ng
ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ vµ giíi h¹n ë xÊp xØ bËc nhÊt. Cho m = 0,01 Ns2 /cm; L0 = 50 cm;
T0 = 50 N; C = 20 N/cm.
Tr¶ lêi: x0 ≈ 9,12 cm
y



C r
L0 F
m C
x

R
L0
C



h×nh vÏ bt 57 h×nh vÏ bt 59


165
58. Cho biÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng tù do cña con l¾c to¸n häc cã d¹ng:
•• g
ϕ+ sin ϕ = 0 . Trong ®ã: L lµ ®é dµi con l¾c.
L
T×m tÇn sè dao ®éng tù do cña nã biÕt r»ng trong khai triÓn cña hµm sinϕ ra chuçi
Taylor ta lÊy hai sè h¹ng ®Çu.
Cho biÕt ë thêi ®iÓm ban ®Çu (t = 0) con l¾c lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng th¼ng ®øng mét
gãc ϕ0. H·y gi¶i bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ vµ ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc
tiÕp råi so s¸nh kÕt qu¶ thu ®−îc:

g ⎛ ϕ0 2

Tr¶ lêi: a) Ph−¬ng ph¸p tham sè bÐ: p = ⎜1 −
2

L⎜ ⎟
1
⎝ 8 ⎠

2⎛ 5ϕ 2 ⎞ 2 g
Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp: p 1 = p 0 ⎜1 − 0
2

⎟; p 0 =

⎝ 42 ⎠ L

b) Δ = 0,006p 0 ϕ 0
2 2



59. T×m tÇn sè dao ®éng cña ®ßn bÈy khi cho lùc kh«ng ®æi F t¸c dông vµo nã. M«
men qu¸n tÝnh cña khèi l−îng ®ßn bÈy b»ng J, ®é cøng cña trôc lµ C.
Gi¶ sö dao ®éng cña ®ßn bÈy lµ kh¸ lín, v× vËy trong khai triÓn hµm sinϕ ra chuçi
ϕ3
Taylor ta lÊy hai sè h¹ng ®Çu tiªn sinϕ = ϕ − . BiÕt ë thêi ®iÓm ban ®Çu (t = 0) gãc quay
6
• •
cña ®ßn bÈy ϕ(0) = 0, cßn vËn tèc gãc ϕ(0) = ϕ 0 . H·y gi¶i bµi to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p tham
sè bÐ vµ ph−¬ng ph¸p Butnèp-Galepkin råi so s¸nh kÕt qu¶ thu ®−îc.

Tr¶ lêi: KÕt qu¶ hai ph−¬ng ph¸p trïng nhau:
2
⎛ • ⎞
3 ⎜ ϕ 0 ⎟ FR 2 C − FR
p1 = p 2 + ⎜ ⎟
2
, p =
4 ⎜ p1 ⎟ GJ J
⎝ ⎠
60. Ng−êi ta g¾n khèi l−îng m vµo ®Çu mót
mét yÕu tè ®µn håi phi tuyÕn (lß xo). Gi¶ sö lùc
®éng ®iÒu hoµ cã d¹ng F = F0 sin ωt, ®Æc tr−ng cña F
m
lß xo cã d¹ng T = Cx + C1x3 cßn ma s¸t kh«ng ®¸ng
kÓ. Cho F0 = 20N ; ω = 10rad/s, m = 10 –1Ns2/cm.
C = 15N/cm; C1 = 1,0N/cm . Víi gi¸ trÞ nµo cña tÇn h×nh vÏ bt 60
sè lùc kÝch ®éng hÖ sÏ tån t¹i hai chÕ ®é dao ®éng
b×nh æn. TÝnh biªn ®é dao ®éng trong hai chÕ ®é nµy.
Tr¶ lêi: ω* = 16,6 rad/s; a0 = 4,76 cm; a1 = - 2,38 cm

166
61. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh dao ®éng c−ìng bøc cña khèi l−îng m
(xem h×nh vÏ BT 60) b»ng ph−¬ng ph¸p §ufinh, biÕt ë thêi ®iÓm ban ®Çu khèi l−îng m cã
®é lÖch cùc ®¹i ®èi víi vÞ trÝ c©n b»ng lµ x0 (c¸c trÞ sè b»ng sè lÊy nh− BT 60).

Tr¶ lêi: x= 2,27sin10t – 0,363.10-1(sin10t – sin30t).




167
Tμi liÖu tham kh¶o

1. NguyÔn Thóc An, NguyÔn §×nh ChiÒu, Khæng Do·n §iÒn. Bµi gi¶ng Lý thuyÕt dao
®éng. §HTL - Hµ Néi 1988, 88 tr.
2. Gi¸o tr×nh C¬ häc lý thuyÕt. TËp II §HTL - Hµ néi 1977.

3. Бабаков И. М. Теория колебаний. изд. 2-е. М. Наука - 1965- 650с.

4. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л.Сидпромгиз -1962 - 194c.

5. Быховский И. И. Основы теории вибрационной техники. М.Машиностроение -
1969 - 364c.

6. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара -
Л.Машиностроение -1976. 319c.

7. Тимошенко С. П. колебания в инженерном деле. М. Наука - 1967 - 444c.

8. Филипов А. Л. колебания деформируемых систем. М.Машиностроение -1970 - 732c.

9. NguyÔn V¨n Khang. Dao ®éng kü thuËt NXB KHKT Hµ Néi 2001.
10. NguyÔn Thóc An. Lý thuyÕt va ch¹m däc cña thanh ®µn håi vµ øng dông vµo bµi to¸n
cäc - §H Thuû lîi 1991.

11. NguyÔn Thóc An. ¸p dông lý va ch¹m däc cña thanh vµo bµi to¸n ®ãng cäc - §H Thuû
lîi 1999.

12. Kolsky - Stress waves in soil - Oxford 1953.

13. Кильчевский Н. А. Теория соударений твердых тел- Киев 1969.

14. P. C Muller, W. O. Schiellen, Dao ®éng tuyÕn tÝnh dÞch gi¶ NguyÔn §«ng Anh, NXB
X©y Dùng 1997.
15. Nonlinear oscillations Ali Hasan NayFeh and Dean T. Mook, John Willey & Sons, New
York, 1979.




168
169
Môc lôc
Trang
Lêi nãi ®Çu 1
Ch−¬ng më ®Çu 2
§1 Mét vµi kh¸i niÖm vµ ®Þnh nghÜa 2
§2 §éng n¨ng cña c¬ hÖ 2
§3 ThÕ n¨ng cña c¬ hÖ 3
§4 Hµm hao t¸n 4
§5 Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng 5
5.1 ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng nhê ph−¬ng tr×nh Lagr¨ngII 5
5.2 ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ph¸p §al¨mbe 8
5.3 ¸p dông ph−¬ng ph¸p lùc ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá 8
§6 X¸c ®Þnh ®é cøng cña hÖ dao ®éng 10
6.1 Thanh ®µn håi 10
6.2 HÖ c¸c lß xo 12


Ch−¬ng I: Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do 14
§1.1 Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 14
1.1.1 Dao ®éng tù do kh«ng c¶n 14
1.1.2 Dao ®éng tù do cã c¶n 17
§1.2 Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 22
1.2.1 Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n 23
1.2.2 Dao ®éng c−ìng bøc cã c¶n 26
1.2.3 §Öm ®µn håi cña M¸y 30
1.2.4 ¸p dông phÐp biÕn ®æi Laplace tÝnh to¸n dao ®éng c−ìng bøc 32


Ch−¬ng II: Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ nhiÒu bËc tù do 38
§2.1 HÖ nhiÒu bËc tù do. Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng 38
2.1.1 HÖ nhiÒu bËc tù do 38
2.1.2 Ph−¬ng ph¸p chung thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng 38
2.1.3 Nh÷ng nguyªn t¾c gi¶i ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña hÖ 40

169
§2.2 Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã hai bËc tù do 41
2.2.1 Dao ®éng tù do kh«ng cã c¶n 41
2.2.2 Dao ®éng c÷ng bøc kh«ng c¶n 46
2.2.3 Mét vµi bµi to¸n øng dông 49
§2.3 Dao ®éng xo¾n cña trôc mang c¸c ®Üa 55
2.3.1 Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n. Ph−¬ng tr×nh tÇn sè 55
2.3.2 Ph−¬ng tr×nh dao ®éng xo¾n c−ìng bøc trôc mang c¸c ®Üa 57
§2.4 Dao ®éng uèn cña dÇm cã c¸c khèi l−îng tËp trung 59
2.4.1 Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n – Ph−¬ng tr×nh tÇn sè 59
2.4.2 Ph−¬ng tr×nh dao ®éng uèn c−ìng bøc cña dÇm cã c¸c khèi l−îng tËp trung 60


Ch−¬ng III: Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã v« sè bËc tù do 65
§3.1 Dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi 65
3.1.1 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh 65
3.1.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh sãng b»ng ph−¬ng ph¸p Furiª 66
3.1.3 C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña thanh, ph−¬ng tr×nh tÇn sè 67
§3.2 Dao ®éng xo¾n cña trôc trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi 70
3.2.1 Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ nghiÖm cña nã 70
3.2.2 C¸c ®iÒu kiÖn biªn - Ph−¬ng tr×nh tÇn sè 71
§3.3 Dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi 72
3.3.1 Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n 72
3.3.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi 74
3.3.3 Ph−¬ng tr×nh tÇn sè 74
§3.4 Sù truyÒn sãng ®µn håi däc trong thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi 77


Ch−¬ng IV: Va ch¹m däc cña vËt r¾n vμo thanh ®μn håi
vμ ¸p dông lý thuyÕt va ch¹m vμo bμi to¸n ®ãng cäc 79
§4.1 Mét vµi bµi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi 79
4.1.1 Va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi tù do 79
4.1.2 Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi mét ®Çu bÞ g¾n chÆt 82
§4.2 Mét vµi bµi to¸n va ch¹m cña bóa vµo cäc 91
4.2.1 Va ch¹m cña bóa vµo cäc tù do 91

170
4.2.2 Va ch¹m cña bóa vµo cäc tùa trªn nÒn cøng 97
4.2.3 Va ch¹m cña bóa vµo cäc ®ãng trong nÒn ®ång nhÊt
®¸y cäc gÆp lùc c¶n kh«ng ®æi 103


Ch−¬ng V: C¬ së cña lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn 124
Më ®Çu 124
§5.1 Dao ®éng tù do kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do
®èi víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi 126
5.1.1 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n vµ nghiÖm chÝnh x¸c cña nã 126
5.1.2 NghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n 128
§5.2 Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng c¶n cña hÖ mét bËc tù do
víi ®Æc tr−ng phi tuyÕn cña lùc phôc håi 135
5.2.1 Ph−¬ng ph¸p Butn«p-Galepkin 135
5.2.2 Ph−¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ trùc tiÕp 136
5.2.3 Ph−¬ng ph¸p §ufing 136


phÇn bμi tËp
Bµi tËp ch−¬ng I 143
Bµi tËp ch−¬ng II 155
Bµi tËp ch−¬ng III 162
Bµi tËp ch−¬ng V 164


Tμi liÖu tham kh¶o 168




171
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản