Ma trận- Định thức

Chia sẻ: cnkbmt1

C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 2 3 4 Ma trận Định thức Ma trận nghịc đảo Hạng của ma trận 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n • aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [aij]m x n = (aij)m x n 1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông: Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n a11,a22,…ann được gọi là các...

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Ma trận- Định thức

C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

1 Ma trận

2 Định thức

3 Ma trận nghịc đảo

4 Hạng của ma trận




1
1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có
m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n
 a11 a12 ... a1n 
a ... a2n 
21 a22
A 
 ... ... ... ... 
a ... amn 
 m1 am2 
• aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
• A = [aij]m x n = (aij)m x n
2
1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vuông:
 Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông
cấp n
a11 a12 ... a1n 
a a22 ... a2n 
 21 
A
 ... ... ... ... 
a am2 ... ann 
 n1 
• a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo.
• Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là
đường chéo chính.
3
1. MA TRẬN
 Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j
a11 a12 ... a1n 
a11 a12 ... a1n 
 a22 ... a2n 
0 a ... a2n 
22  A 

A
... ... 
 ... ... ... ...  
 ann 
0 0 ... ann   
 
 Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j
a11 0 ... 0  a11 
a a22 ... 0  a 
a22
A   21  A   21 
 ... ... ... ...   ... ... ... 
a am2 ... ann  a am2 ... ann 
 n1   n1  4
1. MA TRẬN
 Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j
a11 0 ... 0  a11 
0 a ... 0   
a22
22
A  A 
 ... ... ... ...  ...
 
0 0 ... ann   ann 
   
 Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, i≠j
1 0 ... 0
0 0
1 ...
I  
... ... ... ...
0 1
0 ...
  5
1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột)
1.1.4. Ma trận không:
0 0 ... 0
0 0
0 ...
 
... ... ... ...
0 0
0 ...
 
1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B
1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n
2) aij = bij với mọi i,j
6
1. MA TRẬN
vị: A=[aij]m x n => AT=[aji]n x m
1.1.5. Ma trận chuyển
10 12 15 27 30
 9 14 18 16 24
A 
13 15 20 19 28
11 18 17 25 31
 




7
1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
1. Định nghĩa: A=[aij]mxn; B=[bij]mxn => A+B =[aij+bij]mxn
2 3  1 4   1  3 2  2
5 1 3  2   1 4 1 3 
  
2. Tính chất:
•A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• +A=A
• Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = 
8
1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, kR => kA=[kaij]m x n

 1 2  3  1
A 2 0 5 3  Tính 2A?
 
 2 1 0  4
 
2. Tính chất: cho k, h  R:
• k(A + B) = kA + kB
• (k + h)A = kA + hA

9
1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa : A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n => C=[cij]m x n:
p
c ij  ai1b1j  ai2b2j  ...aipbpj   aikbkj
k 1
Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau:

1 2 3  1
 2  1 1 
2 1 1 0 
 3 2 0  
 
3 0 2 1 
 

10
1. MA TRẬN
2. Một số tính chất:
• (A.B).C = A.(B.C)
• A(B+C) = AB + AC
• (B+C)A = BA + CA
• k(BC) = (kB)C = B(kC)
• Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
• A=[aij]n x n => I.A = A.I = A



11
1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.

Tháng 1 A B C D Tháng 2 A B C D
CH1 10 2 40 15 CH1 12 4 20 10
CH2 4 1 35 20 CH2 10 3 15 15




12
1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng
theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau:
Sản Vật liệu
Phân Sản phẩm
phẩm VL1 VL2 VL3 VL4 VL5
xưởng A B C
A 1 2 0 2 0
PX1 10 0 5
B 0 1 1 2 0
PX2 0 8 4
C 0 0 2 1 3
PX3 0 2 10



13
2. ĐỊNH THỨC
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
 A là ma trận vuông cấp 1:
A= [a11] thì det(A) = |A| = a11
 A là ma trận vuông cấp 2:
a11 a12 
A
a21 a22 
 
thì det(A) = a11a22 – a12a21



14
2. ĐỊNH THỨC
• A là ma trận vuông cấp n:
a11 a12 ... a1n 
a a22 ... a2n 
A   21 
 ... ... ... ... 
a am2 ... ann 
 n1 
• Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách
xoá hàng i cột j.
• Cij = (-1)i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij


15
2. ĐỊNH THỨC
• Định thức cấp n của A là:
det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n
n n
1 j
det( A )   a1jC1j   ( 1) a1j det( A1j )
j1 j1

Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức:
1 23
A  4 5 6
7 8 9

16
2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
• Tính chất 1:AT=A
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng
của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát
biểu ta thay hàng bằng cột.
• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một
định thức ta được một định thức mới bằng định thức
cũ đổi dấu.


17
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột)
như nhau thì bằng không.
• Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một
cột) toàn là số không thì bằng không.
• Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng
(hay một cột) với cùng một số k thì được một định
thức mới bằng định thức cũ nhân với k.
Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột)
có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung
đó ra ngoài định thức.

18
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột)
tỷ lệ thì bằng không.
• Tính chất 7: Dòng thứ i nào đó có aij = a’ij + a”ij
thì det(A) = det(A’) + det(A”)
a11 a12 ... a1n  a11 a12 ... a1n 
a a22 ... a2n  a a22 ... a2n 
 21  21
 
 ... ... ... ...  "  ... ... ... ... 
,
A  "
A  , ,
ai"2 ... ain 
, "
ai1 ai2 ... ain ai1
   
... ... ... 
 ... ... ... ... 
 ...
a an2 ... ann   an1 an2 ... ann 
  19
 n1 
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng là tổ hợp
tuyến tính của các hàng khác thì định thức ấy bằng
không.
• Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một
hàng khác thì được một định thức mới bằng định thức

213
det( A )  4 5 7
615

20
2. ĐỊNH THỨC
• Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá
bằng tích các phần tử chéo.
a11 a12 ... a1n
0 a22 ... a2n
 a11a22...ann
... ... ... ...
0 0 ... ann
a11 0 ... 0
a21 a22 ... 0
 a11a22 ...ann
... ... ... ...
an1 am2 ... ann
21
2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
• Phương pháp 1: Dùng định nghĩa.
• Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp.

Tác dụng Lý do
Biến đổi sơ cấp
Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k TC 5
Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu TC 2
Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi TC 9


22
2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp:
5678
1234
det( A ) 
0981
2348




23
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.1. Ma trận không suy biến: Ta gọi ma trận vuông A
cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0.
3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận vuông A cấp n,
nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = BA
= I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
• Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả
nghịch.
• Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có AA-1 = A-1A = I
3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:
Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất.
24
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo:
Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A-1
được tính bởi công thức sau:
 C11 C21 ... Cn1 
 
1 T 1 C12 C22 ... Cn2 
1
A  C
A A  ... ... ... ... 
C C2n ... Cnn 
 1n 
• Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij.
• CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số
25
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.5. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:
3.5.1. Phương pháp dùng định thức:
 C11 C21 ... Cn1 
C C22 ... Cn2 
1 T 1  12
1 
A  C
A A  ... ... ... ... 
C C2n ... Cnn 
 1n 
Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
 3 1 2
A   2 1  1
 
02 1
 
26
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.5.1. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp
của Gauss - Jordan:
1. Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực
khác không
2. Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã
nhân với một số thực
3. Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau
Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến
đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1]

27
3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo:
1 1 2
A  1 2 2
 
2 4 3 
 




28
4 HẠNG CỦA MA TRẬN
4.1. Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số
nguyên dương, p
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản