Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Chia sẻ: htungc1

Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số... Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều. Ma trận thông...

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Chu.o.ng I
ˆ - . ´. ˆ . . `
MA TRA N - DINH THU C - HE PHU O NG TRI NH
. .
ˆ
§1. MA TRA N
.
-. ˜
1.1. Dinh nghı a

• Ma trˆ n cˆ p m × n (d ˆi khi con goi la co. m × n) la mˆt bang hı
a a
. ´ ¯o ` . ` ˜ ` o ’
. `nh
chu. nhˆ t gˆm m−hang, n−cˆt va ca c phˆn tu. cua ma trˆ n d u.o.c biˆ u diˆ n
˜ a `. o ` o ` ´
. `
a ’ ’ a ¯ .
. e’ ˜
e
du.o. da ng sau:
´i .
 
a11 a12 a13 . . . a1n
a 
 21 a22 a23 . . . a2n 
 
 a31 a32 a33 . . . a3n 
 
 .. .
. .
. . 
. 
 . . . ... .
am1 am2 am3 ... amn
Dˆ d o.n gian ta kı hiˆ u ma trˆ n A cˆ p m × n nhu. sau: A = (aij )m×n ,
-e ¯
’ ’ ´ e . a
. ´
a
trong d´ aij la phˆn tu. o. hang thu. i va cˆt thu. j cua ma trˆ n A.
¯o ` ` a ’ ’ ` ´ ` o . ´ ’ a
.
• Nˆ u ca c phˆn tu. cua ma trˆ n A d` u nhˆ n gia tri thu.c, co nghı a la
´
e ´ `
a ’ ’ a. ¯ˆe a
. ´ . . ´ ˜ `
aij ∈ R, thı ma trˆ n A d u.o.c goi la ma trˆ n thu.c.
` a
. ¯ . . ` a. .
*. Vı du :
´ .
` a a
. ´
A = ( 15 ) la ma trˆ n cˆ p 1 × 1.
 
1 4
  ´
B =  2 7  la ma trˆ n cˆ p 3 × 2.
` a a
.
5 −3
cos x ln x sin x
A= ` a a
. ´
la ma trˆ n cˆ p 2 × 3.
sin x + cos x 2 −3
• Ma trˆ n hang: Ma trˆ n co. 1 × n (chı co 1 hang) goi la ma trˆ n hang.
a
. ` a ˜
. ’ ´ ` . ` a `
.
*. Vı du : Ma trˆ n ( 1 2 3 4 ) la ma trˆ n hang (co. 1 × 4).
´ . a
. ` a `
. ˜
• Ma trˆ n cˆt: Ma a n co. m × 1 (chı co 1 cˆt) goi la ma trˆ n cˆt.
a
. o
. trˆ  ˜
. ’ ´ o
. . ` a o
. .
2
 
*. Vı du : Ma trˆ n  3  la ma trˆ n cˆt (co. 3 × 1).
´ . a
. ` a o
. . ˜
4


1
• Ma trˆ n thu.c gˆm tˆ t ca ca c phˆn tu. b˘ ng 0 d u.o.c goi la ma trˆ n
a
. . ` o ´
a ’ ´ `
a ’ a` ¯ . . ` a
.
khˆng.
o

• Ma trˆ n cˆ p n × n d u.o.c goi la ma trˆ n vuˆng cˆ p n.
a a
. ´ ¯ . . ` a
. o ´
a

• Ma trˆ n d .n vi: La ma trˆ n vuˆng cˆ p n co ca c phˆn tu. n˘ m trˆn
a ¯o
. . ` a. o ´
a ´ ´ `
a ’ a ` e
d u.o. che o chı b˘ ng 1 va ca c phˆn tu. n˘ m ngoai d u.o. che o chı d` u
¯ `ng ´ ´nh a ` ` ´ `
a ’ a ` ` ¯ `ng ´ ´nh ¯ˆe
 
1 0 ... 0
 
` . la co da ng: I =  0 1 . . . 0 . Ky hiˆ u la: I (d ˆi khi ta
b˘ ng 0, tu ` ´ .
a ´c . . . ´ e ` n ¯o
 . . ... .  .
. . .
0 0 ... 1
con ky hiˆ u: I).
` ´ e .
a
. ` a a
. ´
• Ma trˆ n con: Cho A la ma trˆ n cˆ p m × n, ta goi Mij la ma trˆ n
. ` a
.
.o.c tu. ma trˆ n A b˘ ng ca ch bo d i hang i va cˆt j, khi d´ M goi la
lˆ p d u . `
a ¯ a a` ´ ’ ¯ ` ` o ¯o ij . `
. . .
ma trˆ n con cua ma trˆ n A u. vo. phˆn tu. aij .
a
. ’ a
. ´ng  ´i ` a ’ 
1 2 3
 
*. Vı du : Cho ma trˆ n A =  0 −1 4 
´ . a
.
3−2 8
−1 4 0 4 0 −1
Ta co : M11 =
´ ; M12 = ; M13 =
−2 8 3 8 3 −2
2 3 1 3 1 2
M21 = ; M22 = ; M23 =
−2 8 3 8 3 −2
2 3 1 3 1 2
M31 = ; M32 = ; M33 =
−1 4 0 4 0 −1
1.2. Ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p trˆn hang
´ ´ ´
e ¯ˆ ’ ´
a e ` ’
(cˆt) cua ma trˆ n
o
. a
.
• Ca c phe p biˆ n d ˆ i sau d ˆy d ˆ i vo. hang (cˆt) cua ma trˆ n d u.o.c goi
´ ´ ´
e ¯o ’ ´
¯a ¯o ´i ` o. ’ a ¯ .
. .
` ´ ´ ´
e ¯ˆ ’ . cˆ p theo hang (cˆt) cua ma trˆ n:
la ca c phe p biˆ n d o i so a ´ ` o ’ a
. .
-o’ o’ ` o
. ’
(1). Dˆ i chˆ hai hang (cˆt) cua ma trˆ n cho nhau.
a
.
´ `
(2). Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu ’
a a ’ ´ a ’ . cua mˆt hang (cˆt) cua ma trˆ n vo. mˆt
o ` o ’ a ´i o
. . . .
´
sˆ λ = 0.
o
o. ` o `
. o
. ` ¯o ’
(3). Cˆng vao mˆt hang (cˆt) nao d´ cua ma trˆ n mˆt hang (cˆt) kha c
a
. o `
. o
. ´
sau khi d˜ nhˆn vo. mˆt sˆ λ = 0.
¯a a ´i o o . ´



2
 
1 3 4 −2
 
*. Vı du : Cho ma trˆ n A =  −1 2 0 1 
´ . a.
2 −2 0 6
Khi d´ :
¯o
(1) Dˆ i chˆ hang 1 cho hang 2 (cˆt 1 cho cˆt 2)ta d u.o.c:
-o’ ˜
o ` ` o
. o
. ¯
   
−1 2 0 1 3 1 4 2
   
B= 1 3 4 −2  ; B =  2 −1 0 1 
2 −2 0 6 −2 2 0 6
(2) Nhˆn tˆ t ca ca c phˆn tu. cua hang 2 cua A cho λ = 2 ta d u.o.c:
´
a a ’ ´ `
a ’ ’ ` ’ ¯ .
   
1 3 4 −2 1 3 4 −2
   
C = 2.  −1 2 0 1  =  −2 4 0 2 
2 −2 0 6 −2 0 6 2
(3) Cˆng hang 1 vao hang 2 sau khi d˜ nhˆn vo. λ = 2 cua A ta d u.o.c:
o
. ` ` ` ¯a a ´i ’ ¯ .
 
1 3 4 −2
 
D =  −1 7 4 0 
2 −2 0 6
• Dinh nghı a: Phˆn tu. kha c 0 d` u tiˆn cua mˆt hang cua ma trˆ n
-. ˜ `
a ’ ´ ¯ˆ
a e ’ o `
. ’ a
.
.o.c tı . tra i sang phai) d u.o.c goi la phˆn tu. co. so. cua hang d´ .
(d u . ´nh tu ´
¯ ` ’ ¯ . . ` ` a ’ ’ ’ ` ¯o

• Dinh nghı a: Mˆt ma trˆ n d u.o.c goi la ma trˆ n bˆ c thang trˆn
-. ˜ o. a ¯ .
. . ` a. a
. e
´
e ´ ’ ˜ ´ ¯`
nˆ u no thoa ma n ca c d iˆu kiˆ n sau:
e e.
(1). Ca c hang b˘ ng khˆng o. du.o. ca c hang kha c khˆng.
´ ` `
a o ’ ´i ´ ` ´ o
(2). Phˆn tu. co. so. cua hang phı du.o. n˘ m bˆn phai so vo. phˆn tu.
`a ’ ’ ’ ` ´a ´i a ` e ’ ´i ` a ’
co. so. cua hang phı trˆn.
’ ’ ` ´a e

*. Vı du :
´ .
   
1 4 8 1 1 4 0 1 5
0 2 7 −3  0 2 0 −3 3 
   
A=  ; B= 
0 0 4 5  0 0 4 5 1
0 0 0 0 0 0 0 2 1
• Dinh ly : Moi ma trˆ n d` u co thˆ d u.a vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang
-. ´ . a ¯ˆ ´ e ¯
. e ’ ` .
e a
. a
.
trˆn nho. ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang cua ma trˆ n.
e ` ´ ´ ´
e ¯o ’ a´ ` ’ a
.

3
 
1 2 1 7
’  
*. Vı du 1: Tı ma trˆ n bˆ c thang cua ma trˆ n A =  1
´ . `m a a
. . a
. 5 1 10 
2 9 3 17
´ ´ ´n d ˆ i so. cˆ p ta co
Dung ca c phe p biˆ ¯o
` e ’ a´ ´
   
1 2 1 7 1 2 1 7
   
A −→  0 3 0 3  −→  0 3 0 3 
0 5 1 3 0 0 1 −2
*. Vı du 2: Du.a ma trˆ n sau vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang
´ . - a
. ` .
e a a
. .
 
2 1 2 4
4 3 −1 0 
 
A= 
4 1 2 1
6 −2 0 2
   
2 1 2 4 2 1 2 4
 0 1 −5 8  0 1 −5 8 
   
A −→   −→  
 0 −1 −2 −3  0 0 −7 5 
0 −5 −6 −10 0 −5 −6 −10
   
2 1 2 4 2 1 2 4
 0 1 −5 8  0 1 −5 8 
   
−→   −→  
 0 0 −7 5  0 0 −7 5 
55
0 0 −31 30 0 0 0 7
1.3. Ca c phe p toa n ma trˆ n
´ ´ ´ a
.
a
. `
• Hai ma trˆ n b˘ ng nhau:
a
a. ´
Cho hai ma trˆ n A = (aij )m×n , B = (bij )p×q . Khi ˆ y:
a

´
 m = p (sˆ hang)
o `


A = B ⇐⇒ n = q (sˆ cˆt) ´ .
o o



aij = bij
(Tu. la no cung cˆ p va tu. phˆn tu. tu.o.ng u. b˘ ng nhau.)
´c ` ´ ` ´
a ` `ng ` a ’ `
´ng a
*. Vı du :
´ .


4
   
1 4 0 1 1 4 0 1
   
A = 0 2 7 −5  ; B = 0 2 7 −5 
0 1 4 5 0 1 4 5
• Phe p cˆng ma trˆ n:
´ o
. a
.
o’ ’ a `
. ´
a ˜
Tˆ ng cua hai ma trˆ n cung cˆ p A = (aij )m×n , B = (bij )m×n cu ng la
`
ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: A + B, d u.o.c xa c d inh bo.i:
a a
. ´ ´ e ` . ¯ . ´ ¯. ’

A + B = (aij + bij )m×n

*. Vı du :
´ .
   
1 4 0 1 3 7 6 9
   
A = 0 2 7 −5  ; B = 0 8 7 2
0 1 4 5 1 0 2 4
´
Khi ˆ y
a
   
1+3 4+7 0+6 1+9 4 11 6 10
   
A + B = 0 +0 2+8 7+7 −5 + 2  =  0 10 14 −3 
0+1 1+0 4+2 5+4 1 1 6 9
• Phe p nhˆn mˆt sˆ vo.i mˆt ma trˆ n:
´ a o o ´
. ´ o
. a
.
Cho ma trˆ n A = (aij )m×n va sˆ λ = 0. Khi ˆ y tı cua sˆ λ vo. ma
a
. ` o ´ ´
a ´ch ’ o ´ ´i
a ˜ ` a a ´ ´ e ` ¯ .o.c xa c d inh bo.i:
trˆ n A cu ng la ma trˆ n cˆ p m × n, ky hiˆ u la: λ.A, d u . ´ ¯. ’
. . .

λ.A = (λ.aij )m×n

*. Vı du :
´ .
1 4 0 1
´
Cho sˆ λ = 5 va ma trˆ n A =
o ` a
. ´
. Khi ˆ y ta co :
a ´
0 2 7 −5
5.1 5.4 5.0 5.1 5 20 0 5
λ.A = =
5.0 5.2 5.7 5.(−5) 0 10 35 −25
• Phe p nhˆn ma trˆ n:
´ a a
.
Tı cua ma trˆ n A = (aij )m×n vo. ma trˆ n B = (bij )n×p la mˆt ma
´ch ’ a
. ´i a
. ` o.



5
trˆ n cˆ p m × p, ky hiˆ u la: A.B, d u.o.c xa c d inh bo.i:
a a
. ´ ´ e `
. ¯ . ´ ¯. ’
n
A.B = cij = aik .bkj m×p
k=1

*. Vı du :
´ .
 
9 13
1 2 3 4  10 14 
  ´
Cho hai ma trˆ n A =
a
. va B = 
` . Khi ˆ y ta co :
a ´
5 6 7 8  11 15 
12 16
1.9 + 2.10 + 3.11 + 4.12 1.13 + 2.14 + 3.15 + 4.16 110 136
A.B = =
5.9 + 6.10 + 7.11 + 8.12 5.13 + 6.14 + 7.15 + 8.16 278 339

*.Chu ´ : Dˆ hai ma trˆ n nhˆn d u.o.c vo. nhau thı sˆ cˆt cua ma trˆ n
´ y -e ’ a. a ¯ . ´i ´ .
` o o ’ a.
.o. phai b˘ ng sˆ hang cua ma trˆ n sau.
tru ´c ’ a ` ´
o ` ’ a.
e’
• Phe p chuyˆ n vi ma trˆ n:
´ . a.
. ´ a. ’
e . ’
Cho ma trˆ n A = (aij )m×n . Khi ˆ y ma trˆ n chuyˆ n vi cua ma trˆ n A la
a a a
. `
mˆt ma trˆ n co d u.o.c tu. A b˘ ng ca ch chuyˆ n hang thanh cˆt, chuyˆ n cˆt
o
. a ´ ¯ . `
. `
a ´ e’ ` ` o. ’ .
e o
thanh hang theo d´ ng thu. tu..
` ` ¯u ´ .
Ky hiˆ u la: AT . Nhu. vˆ y ta co :
´ e `. a. ´
   
a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1
   
 a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2 
A= .  . .
. . 
.  ; A = .
T
 . .
. . 
. 
 . . ... .   . . ... . 
am1 am2 . . . amn m×n a1n a2n . . . amn n×m

*. Vı du :
´ .
 
  1 5 9
1 2 3 4 2
   6 10 

Cho ma trˆ n A =  5
a
. 8 . Khi ˆ y ta co : AT = 
6 7 a´ ´ 
3 7 11 
9 10 11 12
4 8 12
. ´ tı ´t cua phe p toa n ma trˆ n
1.4. Mˆt sˆ ´nh chˆ
o o a ’ ´ ´ a.
-. a
. ` ´ o´
• Dinh ly 1: Cho ca c ma trˆ n A, B, C va ca c sˆ α, β sao cho ca c phe p
´ ´ ´ ´
toa n sau d ˆy d u.o.c ta o thanh. Khi ˆ y ta se co :
´ ¯a ¯ . . ` ´
a ˜ ´


6
1. A + B = B + A 6. (α.β).A = α.(β.A)
2. (A + B) + C = A + (B + C) 7. α.(A.B) = (α.A).B = A.(α.B)
3. A.(B.C) = (A.B).C 8. α.(A + B) = α.A + α.B
4. (A + B).C = A.C + B.C 9. (α + β).A = α.A + β.A
5. A.(B + C) = A.B + A.C 10. No i chung, A.B = B.A
´
-. ´ a
. ´
• Dinh ly 2: Cho ca c ma trˆ n A, B. Khi ˆ y ta co :
´ a ´
1. (AT )T = A
2. (A + B)T = AT + B T
3. (A.B)T = B T .AT
4. (λ.A)T = λ.AT




7
- . ´.
§2. DINH THU C
 
a11 a12 ... a1n
 
 a21 a22 . . . a2n 
• Cho ma trˆ n vuˆng cˆ p n co da ng: A =  .
a
. o ´
a ´ .  . .
. .  . Ta
. 
 . . ... . 
an1 an2 . . . ann
ky hiˆ u Mij la ma trˆ n vuˆng lˆ p tu. ma trˆ n A sau khi d˜ bo d i hang thu.
´ e . ` a
. o a `
. a
. ¯a ’ ¯ ` ´
i va cˆt thu. j cua ma trˆ n A va Mij d u.o.c goi la ma trˆ n con cua ma trˆ n
` o . ´ ’ a. ` ¯ . . ` a. ’ a
.
A u. vo. phˆn tu. aij .
´ng ´i ` a ’  
1 −2 3
 
*. Vı du : Cho ma trˆ n A =  −5 2
´ . a
. 7 . Khi d´ ta co :
¯o ´
2 1 −3
2 7 −2 3 1 3
M11 = , M21 = , M32 = ...
1 −3 1 −3 −5 7

-. ˜
2.1. Dinh nghı a
• Dinh thu. cua ma trˆ n A = (aij )n×n la mˆt sˆ , ky hiˆ u la
-. ´c ’ a
. . ´
` o o ´ e ` .
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
det(A) = a31 a32 a33 . . . a3n
.
. .
. .
.
. . ... .
an1 an2 ... ann
va d u.o.c xa c d inh nhu. sau:
` ¯ . ´ ¯.
` a a
. ´
(1). A la ma trˆ n cˆ p 1(n = 1):

A = ( a11 ) thı
` det(A) = a11

` a a
. ´
(2). A la ma trˆ n cˆ p 2 (n = 2):
a11 a12
det(A) = = a11 .a22 − a12 .a21
a21 a22
= a11 . det(M11 ) − a21 . det(M21 )
(Chu ´ r˘ ng a11 va a12 la ca c phˆn tu. n˘ m cung o. hang 1 cua ma trˆ n
´ y a` ` ` ´ `a ’ a` ` ’ ` ’ a
.
` o ´
. o’
A), vˆn vˆn, va mˆt ca ch tˆ ng qua t,
a a ´
a a
. ´
(3). A la ma trˆ n cˆ p n (n ≥ 3) thı
` `:

8
det(A) = a11 . det(M11 ) − a21 . det(M21 ) + a31 . det(M31 ) − . . . +
+ (−1)i+j .aij . det(Mij ) + . . . + (−1)n+1 .an1 . det(Mn1 )
(Ngu.o. ta goi la phe p khai triˆ n theo hang 1).
`i . ` ´ e’ `

*. Vı du :
´ .
1 2 3
5 6 2 3 2 3
4 5 6 = 1. − 4. + 7.
8 9 8 9 5 6
7 8 9
= 1.(45 − 48) − 4.(18 − 24) + 7.(12 − 15) = 0.

• Tu.o.ng tu. ta co cˆng thu. khai triˆ n cua d inh thu. theo hang k nao
. ´ o ´c e’ ’ ¯. ´c ` `
d´ :
¯o
det(A) = (−1)k+1 [ak1 det(Mk1 )−ak2 det(Mk2 )+. . .+(−1)n+1 akn det(Mkn )]
*. Vı du 1: Tı
´ . ´nh d inh thu. sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang 3.
¯. ´c a` ´ e’ `


1 −2 0
−2 0 1 0 1 −2
2 4 −1 = (−1)3+1 2 −3 + (−5)
4 −1 2 −1 2 4
2 3 −5
= 2.(2 − 0) − 3.(−1 − 0) + 7.(4 − 4) = −1.


´nh d inh thu. sau b˘ ng ca ch khai triˆ n theo hang 4
*. Vı du 2: Tı
´ . ¯. ´c `
a ´ e’ `
2 1 1 1  
1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
1 2 1 1  
= (−1)4+1 a. 2 1 1 − b. 1 1 1 + c. 1 2 1 − d. 1 2 1 
1 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
a b c d
= −a − b − c + 4d

• Chu ´ : Trong tru.o. ho.p n = 3 ta co thˆ dung quy t˘c Sarrus sau
´ y `ng . ´ e `’ ´
a
d ˆy:
¯a
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32


9
Tu. d´ ta co :
` ¯o ´
a11 a12 a13
= a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32
a21 a22 a23
− a13 .a22 .a31 − a11 .a23 .a32 − a12 .a21 .a33
a31 a32 a33

o o ´nh chˆ t cua d .nh thu.c
´
2.2. Mˆt sˆ tı
. ´
a ’ ¯i ´

´nh chˆ t 1: A = AT
• Tı ´
a
*. Vı du :
´ .
1 2 1 3
= −2 , = −2
3 4 2 4

• Tı ´
a ’
¯o . ´ ’
´nh chˆ t 2: Khi d ˆ i vi trı cua hai hang (hai cˆt) cho nhau thı d .nh
` o
. ` ¯i
thu. d ˆ i dˆ u.
’ ´
´c ¯o a
*. vı du : Ta co :
´ . ´
1 3
= 1.5 − 2.3 = −1
2 5

Dˆ i chˆ hang 1 cho hang 2 ta cu ng d u.o.c:
-o’ ’
o ` ` ˜ ¯ .
2 5
= 2.3 − 1.5 = 1 = −(−1)
1 3
• Tı´nh chˆ t 3: Dinh thu. co mˆt hang (mˆt cˆt) nao d´ gˆm toan sˆ
´
a -. ´c ´ o `
. o o
. . ` ¯o ` o ` o ´
`
0 thı b˘ ng 0.
` a

*. Vı du :
´ .
1 2 3 6 9 0
0 0 0 =0 hay 1 0 0 =0
2 7 9 2 3 0
´nh chˆ t 4: Dinh thu. co hai hang (hai cˆt) ty lˆ nhau thı b˘ ng 0.
• Tı ´
a -. ´c ´ ` o
. ’ e. ` a`




10
*. Vı du 1:
´ .
m.a m.b m.c n.a b a
x y z =0 hay n.x y x =0
a b c n.t u t

*. Vı du 2:
´ .
1 2 1 1 2.1 1
2 4 3 = 2 2.2 3 = 0
3 6 9 3 2.3 9
´nh chˆ t 5: Nˆ u nhˆn mˆt hang (mˆt cˆt) nao d´ cua d inh thu.
• Tı a´ ´
e a o `
. o o
. . ` ¯o ’ ¯. ´c
vo. mˆt sˆ λ = 0 thı d inh thu. d u.o.c nhˆn lˆn vo. sˆ λ d´ .
. ´
´i o o ` ¯. ´c ¯ . a e ´i o ¯o ´

*. Vı du :
´ .
m.a m.b a b n.a t a t
= m. hay = n.
x y x y n.x m x m

*. Vı du :
´ .
2 3 2 3 2 3
= =4 = 4.
4 8
4.1 4.2 1 2
• Tı´nh chˆ t 6: Dinh thu. khˆng thay d ˆ i nˆ u ta cˆng vao mˆt hang
´
a -. ´c o ’ ´
¯o e o
. ` o `
.
’ .p tuyˆ n tı
´
(mˆt cˆt) nao d´ mˆt tˆ ho
o o
. . ` ¯o o o .
. ’ . ´
e ´nh cua mˆt sˆ hang (cˆt) kha c.
o o ` o
. ´

*. Vı du 1:
´ .
a1 a2 a3 (a1 + α.a2 − β.a3 ) a2 a3
b1 b2 b3 = (b1 + α.b2 − β.b3 ) b2 b3
c1 c2 c3 (c1 + α.c2 − β.c3 ) c2 c3
*. Vı du 2:
´ .
2 1 3 2 1 3
4 5 7 = 4 + (−2).2 5 + (−2).1 7 + (−2).3 = −20
6 1 5 6 1 5
*. Vı du 3:
´ .


11
a 1 1 1 a+3 1 1 1 1 1 1 1
1 a 1 1 a+3 a 1 1 1 a 1 1
= = (a + 3).
1 1 a 1 a+3 1 a 1 1 1 a 1
1 1 1 a a+3 1 1 a 1 1 1 a
1 1 1 1
0 a−1 0 0
= (a + 3). = (a + 3).(a − 1)3
0 0 a−1 0
0 0 0 a−1
• Tı´nh chˆ t 7: Dinh thu. cua ma trˆ n tam gia c co da ng du.o. d ˆy
a´ -. ´c ’ a
. ´ ´ . ´i ¯a
d u.o.c xa c d inh la:
¯ . ´ ¯. `
a11 a12 a13 ... a1n
0 a22 a23 ... a2n
0 0 a33 ... a3n = a11 .a22 .a33 . . . ann
.
. .
. .
. .
.
. . . ... .
0 0 0 ... ann

a11 0 0 ... 0
a21 a22 0 ... 0
a31 a32 a33 ... 0 = a11 .a22 .a33 . . . ann
.
. .
. .
. .
.
. . . ... .
an1 an2 an3 ... ann
*. Vı du 1:
´ .
1 2 3 4
0 5 6 −2
= 1.5.3.(−2) = −30
0 0 3 1
0 0 0 −2




12
*. Vı du 2:
´ .
1 0 0 0 0
4 3 0 0 0
3 2 −2 0 0 = 1.3.(−2).4.5 = −120
1 0 2 4 0
1 2 5 0 5
• Tı´nh chˆ t 8: Khi tˆ t ca ca c phˆn tu. cua mˆt hang (hay mˆt cˆt) co
´
a ´
a ’ ´ `
a ’ ’ o `
. o o ´
. .
da ng tˆ ng cua hai sˆ ha ng thı d .nh thu. co thˆ phˆn tı thanh tˆ ng cua
. o’ ’ ´
o . ` ¯i ´c ´ e ’ a ´ch ` o’ ’
hai d inh thu. Co nghı a la:
¯. ´c. ´ ˜ `

a1 a2 a3 + a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 + b3 = b1 b2 b3 + b1 b2 b3
c1 c2 c3 + c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3


a1 + a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 = b1 b2 b3 + b1 b2 b3
c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3

*. Vı du :
´ .
2 1 x+y 2 1 x 2 1 y
0 5 x +y = 0 5 x + 0 5 y
3 2 x +y 3 2 x 3 2 y
= 15(x + y) + 7(x + y ) + 10(x + y )

ˆ - ’
§3. MA TRA N NGHICH DAO
. .
-. ˜
3.1. Dinh nghı a

• Cho A la mˆt ma trˆ n vuˆng cˆ p n. Ma trˆ n B d u.o.c goi la ma trˆ n
` o . a. o ´
a a
. ¯ . . ` a
.
−1 ´ ’ ˜
. ¯’ ’
nghich d ao cua ma trˆ n A (ky hiˆ u la: A ) nˆ u thoa ma n:
a
. ´ e `
. e

A.B = In va
` B.A = In



13
*. Vı du : Cho ma trˆ n
´ . a
.
2 −1
A=
3 3
3 1
9 9
Xe t mˆt ma trˆ n B =
´ o
. a
. −3 2
9 9
Ta co :
´
3 1
2 −1 9 9
1 0
A.B = . −3 2
= = I2
3 3 9 9 0 1
3 1
9 9
2 −1 1 0
B.A = −3 2
. = = I2
9 9 3 3 0 1
Vˆ y B chı
a
. ` a
. . ¯’ ’
´nh la ma trˆ n nghich d ao cua ma trˆ n A.
a
.
e´ ` .
o a
. . ¯’ ` ´ ` a
. ’
• Nˆ u A tˆn ta i ma trˆ n nghich d ao thı ta no i A la ma trˆ n kha nghich.
.
-. ´ ¯` e ` . ¯’
• Dinh ly (d iˆu kiˆ n tˆn ta i ma trˆ n nghich d ao)
e . o . a
.
- ` e `
. a ` ¯ ’ ¯e o’ . a
. o ´
a `
Diˆu kiˆ n cˆn va d u dˆ mˆt ma trˆ n A vuˆng cˆ p n tˆn ta i ma trˆ n
e o . a
.
. ¯’ `
nghich d ao la: det(A) = 0.

3.2. Ca c phu.o.ng pha p tı ma trˆ n nghich d ’ o
´ ´ `m a
. . ¯a
 
a11 a12 ... a1n
 
 a21 a22 ... a2n 
Gia su. ta cˆn tı ma trˆ n nghich d ao cua A =  .
’ ’ ` `m
a a
. . ¯’ ’  . .
. . 
. 
 . . ... . 
an1 an2 ... ann
• Phu.o.ng pha p 1
´
Ta ky hiˆ u Cij = (−1)i+j . det(Mij ) va d u.o.c goi la phˆn phu d a i sˆ cua
´ e . ` ¯ . . ` ` a . ¯. o ’ ´
phˆn tu. aij . Khi ˆ y ta co cˆng thu. xa c d .nh ma trˆ n nghich d ao cua ma
`a ’ ´
a ´ o ´c ´ ¯i a. . ¯’ ’
trˆ n A nhu. sau:
a
.
 T
C11 C12 . . . C1n
 
1  C21 C22 . . . C2n 
 . . 
−1
A = .
det(A)  .
 .
.
. ... . 
. 
Cn1 Cn2 . . . Cnn

14
 
1 2 3
 
*. Vı du 1:
´ . Gia su. cho ma trˆ n A =  2 5
’ ’ a
. 3 . Ta co : det(A) =
´
1 0 8
−1 = 0. Ngoai ra ta co :
` ´
C11 = 40 C12 = −13 C13 = −5
C21 = −16 C22 = 5 C23 = 2
C31 = −9 C32 = 3 C33 = 1
´ a
. . ¯’
Do d´ ta co ma trˆ n nghich d ao
¯o cua ma trˆ n A nhu. sau:
’ a
.
 T  
40 −13 −5 40 16 9
−1 1    
A =  −16 5 2  =  13 −5 −3 
−1
−9 3 1 5 −2 −1
 
1 −3 4
 
*. Vı du 2: Gia su. cho ma trˆ n A =  2
´ . ’ ’ a. 1 1
−1 −2 1
´ e a
. o ´ a
. . ¯’
Ta co : det(A) = 0, nˆn ma trˆ n A khˆng co ma trˆ n nghich d ao.

• Phu.o.ng pha p 2´
Dˆy la phu.o.ng pha p dung ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p theo hang cua ma
-a ` ´ ` ´ ´ ´
e ¯ˆ ’ ´
a ` ’
trˆ n dˆ tı ma trˆ n nghich d ao. Nˆi dung cua phu.o.ng pha p nay la chu ng
a ¯e `m
. ’ a
. . ¯’ o. ’ ´ ` ` ´
ta viˆ t vao bˆn phai cua ma trˆ n A mˆt ma trˆ n d o.n vi cung cˆ p. Dung
´
e ` e ’ ’ a. o
. a ¯
. . ` ´
a `
ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang (chı theo hang) cua ma trˆ n dˆ biˆ n
´ ´ ´
e ¯o ’ ´
a ` ’ ` ’ a ¯e e
. ’ ´
ma trˆ n sau khi d˜ ghe p (co cˆ p la: n × 2n) vˆ mˆt ma trˆ n sao cho ma
a. ¯a ´ ´
´ a ` ` o
e . a
.
a ¯ .n vi n˘ m vˆ phı bˆn tra i va khi ˆ y phı bˆn phai cua ma trˆ n nay
trˆ n d o . a ` ` ´a e
e ´ ` ´
a ´a e ’ ’ a `
. .




15
chı ` a
. . ¯’ `
´nh la ma trˆ n nghich d ao cˆn
a `m. Cu thˆ chu ng ta mˆ ta nhu. sau:
tı . e ´’ o ’
 
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
 
 a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 
A/I =  .
 . .
. . . .
. . . ... .  .

 . . ... . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
´ ’
−→ . . . . . . . . . biˆ n d ˆ i . . . . . . . . .
e ¯o
´ ’
−→ . . . . . . . . . biˆ n d ˆ i . . . . . . . . .
e ¯o
 
1 0 . . . 0 x11 x12 . . . x1n
 
 0 1 . . . 0 x21 x22 . . . x2n 
−→  . .
 . . ... . . . . .
. . 
. 
. . . . . ... . 
0 0 . . . 1 xn1 xn2 . . . xnn
´
Khi ˆ y ta co :
a ´  
x11 x12 ... x1n
 
 x21 x22 ... x2n 
−1
A = .
 . .
. . 
. 
 . . ... . 
xn1 xn2 ... xnn

`m a
. . ¯’ ’
*. Vı du : Tı ma trˆ n nghich d ao cua ma trˆ n sau:
´ . a
.
 
1 1 −3
 
A =  −1 0 2 
−3 5 0
Ta co :
´
   
1 1 −3 1 0 0 1 1 −3 1 0 0
   
A/I =  −1 0 2 0 1 0  −→  0 1 −1 1 1 0
−3 5 0 0 0 1 0 8 −9 3 0 1

   
1 1 −3 1 0 0 1 1 0 16 24 −3
   
−→  0 1 −1 1 1 0  −→  0 1 0 6 9 −1 
0 0 −1 −5 −8 1 0 0 −1 −5 −8 1



16
   
1 0 0 10 15 −2 1 0 0 10 15 −2
   
−→  0 1 0 6 9 −1  −→  0 1 0 6 9 −1 
0 0 −1 −5 −8 1 0 0 1 5 8 −1
Vˆ y:
a
.  
10 15 −2
 
A−1 =  6 9 −1 
5 8 −1

. ’
3.3. Ha ng cua ma trˆ n
a
.
• Dinh nghı a: Ha ng cua mˆt ma trˆ n A la cˆ p cao nhˆ t cua d .nh thu.
-. ˜ . ’ o. a. ` a´ ´
a ’ ¯i ´c
con kha c 0 lˆ p tu. ma trˆ n A. Ky hiˆ u la: rank(A) hay r(A)
´ a `
. a
. ´ e `
.
*. Vı du : Xe t ma trˆ n sau
´ . ´ a
.
 
1 −3 4 2
 
A= 2 1 1 4 
−1 −2 1 −2
Ca c d inh thu. con cˆ p ba cua A la
´ ¯. ´c ´
a ’ `

1 −3 4 1 4 2
2 1 1 =0 2 1 4 =0
−1 −2 1 −1 1 −2
−3 4 2 1 −3 2
1 1 4 =0 2 1 4 =0
−2 1 −2 −1 −2 −2

Ta co d inh thu. con cˆ p hai cua A la
´ ¯. ´c ´
a ’ `
1 −3
=7
2 1
Vˆ y r(A) = 2
a
.
• Phu.o.ng pha p tı ha ng cua ma trˆ n
´ `m . ’ a
.


17
´ ’
´ e ` ¯. ’
˜ ¯e `m . ’
Chu ng ta co thˆ dung d inh nghı a dˆ tı ha ng cua ma trˆ n, tuy nhiˆn
a. e
phu.o.ng pha p nay rˆ t ha n chˆ , nhˆ t la khi cˆ p cua ma trˆ n rˆ t lo. Vı thˆ
´ ´
` a . e´ ´
a ` ´ ’
a . ´
a a ´n. ` e ´
chu ng ta su. du ng phu.o.ng pha p biˆ n d ˆ i so. cˆ p cua ma trˆ n dˆ tı ha ng
´ ’ . ´ ´
e ¯o ’ ´
a ’ ’
a ¯e `m .
.
cua ma trˆ n, nˆi dung cua phu.o.ng pha p nay la chu ng ta dung ca c phe p
’ a
. o
. ’ ´ ` ` ´ ` ´ ´
biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang (ho˘ c cˆt, ho˘ c ca hai) cua ma trˆ n dˆ d u.a ma
´
e ¯o ’ ´
a ` a o
. . a ’
. ’ a ¯e ¯
. ’
a ¯o ` .
. e . . . ´
a ´
trˆ n d´ vˆ da ng ma trˆ n bˆ c thang thu gon nhˆ t. Khi ˆ y ha ng cua
a a a . ’
. ´ o . ´
a o ´ o . ´ o ´
ma trˆ n chı la sˆ ca c hang kha c khˆng (ho˘ c sˆ ca c cˆt kha c khˆng, nˆ u
a ´nh ` o ´ ` ´ e
nho ho.n) cua ma trˆ n cuˆ i cung.
’ ’ a
. ´
o `

*. Vı du 1 :
´ .  
1 0 1 −2
1 1 3 −2 
 
Cho ma trˆ n A = 
a
.  Dung phe p biˆ n d o i so. cˆ p theo
` ´ ´
e ¯ˆ ’ ´
a
2 1 5 −1 
1 −1 1 4

hang cua ma
` trˆ n ta co :
a. ´
     
1 0 1 −2 1 0 1 −2 1 0 1 −2
0 1 2 0  0 1 2 0  0 1 2 0 
     
A −→   −→   −→  
0 1 3 3  0 0 1 3  0 0 1 3 
0 −1 0 6 0 0 2 6 0 0 0 0
Vˆ y ta co : rank(A) = 3.
a
. ´
 
1 2 1
’  
*. Vı du 2: Tı λ dˆ A =  2 λ −2  co ha ng la 2
´ . `m ¯e ´ . `
3 −6 −3
Ta co :
´    
1 2 1 1 1 2
   
 2 λ −2  −→  3 −3 −6 
3 −6 −3 2 −2 λ
   
1 1 2 1 1 2
   
−→  0 −6 −12  −→  0 −6 −12 
0 −4 λ − 2 0 0 λ+6
-e’
Dˆ r(A) = 2 thı λ + 6 = 0 ⇒ λ = −6
`
Vˆ y vo. λ = −6
a ´i
. thı
` r(A) = 2

18
ˆ . . ` ´
ˆ ´
§4. HE PHU O NG TRI NH TUYEN TI NH
.
-. ˜
4.1. Dinh nghı a

• Hˆ gˆm n−ˆ n sˆ {x1 , x2 , x3 , . . . , xn } va m−phu.o.ng trı
e `
. o ’ ´
a o ` `nh co da ng:
´ .

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1




 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(4.1)
 ...............





am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
d u.o.c goi la hˆ phu.o.ng trı
¯ . . ` e . ´
`nh tuyˆ n tı
e ´nh.

´
• Nˆ u chu ng ta d ˘ t
e ´ ¯a .
     
a11 a12 . . . a1n x1 b1
     
 a21 a22 . . . a2n   x2   b2 
A= . . .
. .  ; X = .  ; B= . 
.   .   . 
 . . ... .   .   . 
am1 am2 ... amn xn bm

thı khi ˆ y hˆ phu.o.ng trı
` ´ e
a . `nh (4.1) se d u.o.c viˆ t la i theo da ng ma trˆ n nhu.
˜ ¯ . ´
e . . a
.
sau:     
a11 a12 ... a1n x1 b1
    
 a21 a22 ... a2n   x2   b2 
 . .  .  =  . 
.  .   . 
 . . .
 . . ... .  .   . 
am1 am2 ... amn xn bm
’ ´
hay co thˆ viˆ t gon la:
´ e e . `
A.X = B

• Ma trˆ n A d u.o.c goi la ma trˆ n hˆ sˆ , ma trˆ n B d u.o.c goi la ma trˆ n
a
. ¯ . . ` a e o
. . ´ a. ¯ . . ` a
.
. do va X d u.o.c goi la ma trˆ n nghiˆ m sˆ o. da ng cˆt.
. ´
hˆ sˆ tu
e o . ` ¯ . . ` a
. e. ´
o ’ . o
.
• Bˆ n−sˆ co da ng X = (α1 , α2 , . . . , αn ) d u.o.c goi la nghiˆ m cua hˆ
o
. ´
o ´ . ¯ . . ` e
. ’ e
.




19

 x1 = α1




 x2 = α2
phu.o.ng trı (4.1) nˆ u khi thay
`nh ´
e vao hˆ (4.1) thı chu ng ta d u.o.c
` e . ` ´ ¯ .
 ...





xn = αn
ca c d` ng nhˆ t thu.
´ ¯ˆ o ´
a ´c.

• Hˆ (4.1) d u.o.c goi la tu.o.ng thı
e
. ¯ . . ` ´ch nˆ u no co nghiˆ m, d u.o.c goi la
´ ´ ´
e e. ¯ . . `
khˆng tu.o.ng thı
o ´ch nˆ u nhu. no vˆ nghiˆ m, va d u.o.c goi la vˆ d .nh nˆ u
´
e ´ o e
. ` ¯ . . ` o ¯i ´
e
nhu. no co ho.n mˆt nghiˆ m.
´ ´ o
. e.
 
a11 a12 . . . a1n b1
 
 a21 a22 . . . a2n b2  . .
• Ma trˆ n A co da ng: A =  .
a. ´ .  . .
. .
. .  d u o c goi la
.  ¯ . . `
 . . ... . . 
am1 am2 . . . amn bm
. . ´ ’
e o o ’
ma trˆ n hˆ sˆ bˆ sung cua ma trˆ n A.
a a
.
4.2. Dinh ly vˆ su. tˆn ta i nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı
-. ´ ` . `
e o . e
. ’ e
. `nh

• Dinh ly : Hˆ (4.1) la tu.o.ng thı khi va chı khi rank(A) = rank(A).
-. ´ e
. ` ´ch ` ’

• Nhˆ n xe t:
a. ´
´
(1). Nˆ u rank(A) = rank(A) thı hˆ (4.1) vˆ nghiˆ m.
e ` e. o e
.
´ . ´ e
. ´
(2). Nˆ u rank(A) = rank(A) = n thı hˆ (4.1) co nghiˆ m duy nhˆ t.
e ` e a
´ ` e. ´ o o ´
(3). Nˆ u rank(A) = rank(A) < n thı hˆ (4.1) co vˆ sˆ nghiˆ m.
e e
.
´ . `m ’ .
*. Vı du 1: Tı m dˆ hˆ sau co nghiˆ m.
¯e e ´ e.

 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2


2x1 − x2 + x3 + x4 = 1



x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m
Ta co :
´




20
   
1 2 −1 4 2 1 2 −1 4 2
   
A =2 −1 1 1
1  −→  0 −5 3 −7 −3 
1 7 −4 11 m 1 7 −4 11 m
   
1 2 −1 4 2 1 2 −1 4 2
   
−→  0 −5 3 −7 −3  −→  0 −5 3 −7 −3 
0 5 −3 7 m−2 0 0 0 0 m−5
-e e ´
’ .
Dˆ hˆ co nghiˆ m thı r(A) = r(A)
e. `:
Ma theo trˆn thı r(A) = 2 ⇒ r(A) = 2
` e `
⇐⇒ m − 5 = 0 ⇒ m = 5
Vˆ y vo. m = 5 thı hˆ phu.o.ng trı
a ´i
. ` e . `nh trˆn co nghiˆ m.
e ´ e
.
´ . e a o ´ e ’
*. Vı du 2: Biˆ n luˆ n sˆ nghiˆ m cua phu .o.ng trı ´
`nh theo tham sˆ a:
o
. . .

 ax1 + x2 + x3 = 1


x1 + ax2 + x3 = 1



x1 + x2 + ax3 = 1
Ta co :
´
   
a 1 1 1 1 1 a 1
   
A =1 a 1 1  −→  1 a 1 1
1 1 a 1 1 1 a 1
   
1 1 a 1 1 1 a 1
   
−→  0 a − 1 1 − a 0  −→  0 a − 1 1−a 0 
a 1 1 a 0 0 2 − a − a2 1 − a

• Nˆ u: 2 − a − a2 = 0 =⇒ a = 1, a = −2
´
e
Khi a =1 thı
`:
 
1 1 1 1
 
A = 0 0 0 0  =⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3
0 0 0 0

. ´ o o ´
Nˆn hˆ vˆ d .nh (co vˆ sˆ nghiˆ m).
e e o ¯i e
.



21
Khi a = -2 thı
`:
 
1 1 −2 1
 
A =  0 −3 3 0  =⇒ r(A) = 2, r(A) = 3
0 0 0 3

=⇒ r(A) = r(A) nˆn hˆ vˆ nghiˆ m.
e e o
. e
.
• Nˆ u: 2 − a − a2 = 0 =⇒ a = 1 va a = −2
´
e `
=⇒ r(A) = r(A) = 3. Nˆn hˆ co 1 nghiˆ m duy nhˆ t.
e e ´
. e
. a´
Vˆ y: - Vo. a = 1 thı hˆ vˆ d .nh.
a
. ´i ` e o ¯i
.
´i
- Vo. a = -2 thı hˆ vˆ nghiˆ m.
` e o e
. .
. a = 1 va a = −2 thı hˆ co nghiˆ m duy nhˆ t.
´i
- Vo ` ` e ´ e ´
a
. .
4.3. Phu.o.ng pha p giai hˆ phu.o.ng trı
´ ’ e . ’
`nh tˆ ng qua t
o ´

• Phu.o.ng pha p Gauss: Nˆi dung cua phu.o.ng pha p nay la chu ng ta
´ o
. ’ ´ ` ` ´
dung ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p cua hˆ phu.o.ng trı
` ´ ´ ´
e ¯o ’ a´ ’ e. ’ ´ ’
`nh dˆ biˆ n d ˆ i va loa i
¯e e ¯o ` .
dˆn a n sˆ sao cho hˆ phu.o.ng trı
a ’
` ˆ o ´ e. `nh cuˆ i cung dˆ dang thu d u.o.c nghiˆ m
´
o ` ’
e ` ¯ . e
.
ho.n. Ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p cua hˆ phu.o.ng trı
´ ´ ´
e ¯o ’ ´
a ’ e `
`nh gˆm:
o
.
(1). Dˆ i vi trı hai phu.o.ng trı
-o . ´
’ `nh cho nhau.
(2). Nhˆn mˆt sˆ λ = 0 vao mˆt phu.o.ng trı
a . ´
o o ` o
. `nh.
(3). Cˆng vao mˆt phu.o.ng trı
o. ` o
. `nh cua hˆ mˆt phu.o.ng trı
’ e o
. . `nh kha c sau
´
khi d˜ nhˆn vo. mˆt sˆ kha c 0.
¯a a ´i o o ´ . ´
• Nhˆ n xe t: Vı ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p cua hˆ phu.o.ng trı
a
. ´ ` ´ ´ ´
e ¯o ’ ´ ’ e
a . ´
`nh giˆ ng
o
nhu. ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p theo hang cua ma trˆ n. Do vˆ y chu ng ta co
´ ´ ´
e ¯o ’ a´ ` ’ a
. a. ´ ´

e ` ´ ´ ´
e ¯o ’ ` ’
thˆ dung ca c phe p biˆ n d ˆ i theo hang (chı theo hang) cua ma trˆ n dˆ
` ’ a ¯e
. ’
tı nghiˆ m cua hˆ phu.o.ng trı
`m e
. ’ e . `nh. Cu thˆ : Dung ca c phe p biˆ n d ˆ i so. cˆ p
. e ’ ` ´ ´ ´
e ¯o’ a´
theo hang cua ma trˆ n dˆ d u.a ma trˆ n hˆ sˆ bˆ sung vˆ da ng ma trˆ n bˆ c
` ’ a ¯e ¯
. ’ a e o o
. . ´ ’ ` .
e a a
. .
´
a a´ a ´
o ` ˜
thang thu gon nhˆ t, khi ˆ y ma trˆ n cuˆ i cung se cho ta hˆ phu e .o.ng trı`nh
. . .
tu.o.ng d u.o.ng vo. hˆ phu.o.ng trı
¯ ´i e . `nh ban d` u va do d´ ta dˆ dang co d u.o.c
¯ˆ `
a ¯o ’
e ` ´ ¯ .
nghiˆ m cua hˆ ban d` u.
e
. ’ e . ¯ˆ a




22
*. Vı du 1: Giai hˆ phu.o.ng trı
´ . ’ e . `nh:

 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4


3x1 + x2 − 2x3 = −2



4x1 + 11x2 + 7x3 = 7
Ta co :
´
   
2 4 3 4 2 4 3 4
   
A =3 1 −2 −2  −→  3 1 −2 −2 
4 11 7 7 0 29 29 29
   
2 4 4 3 2 4 3 4
   
−→  0 10 13 16  −→  0 10 13 16 
0 29 29 29 0 0 87 174
Nhu. vˆ y ta co :
a
. ´
 
 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4
  x1 = 1

 
10x2 + 13x3 = 16 ⇐⇒ x2 = −1

 

 
87x3 = 174 x3 = 2
*. Vı du 2: Giai hˆ phu.o.ng trı
´ . ’ e . `nh sau:

 3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2


7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5



5x1 − 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3
Ta co :
´
   
3 −5 2 4 2 1 6 −3 −5 −1
   
A =7 −4 1 3 5  −→  7 −4 1 3 5 
5 −7 −4 −6 3 5 7 −4 −6 3
   
1 6 −3 −5 −1 1 6 −3 −5 −1
   
−→  0 −46 22 38 12  −→  0 −46 22 38 12 
0 −23 11 19 8 0 0 0 0 −4

Co : r(A) = 2 va r(A) = 3
´ `
=⇒ r(A) = r(A)

23
Vˆ y hˆ phu.o.ng trı
a e
. . `nh d˜ cho trˆn la vˆ nghiˆ m.
¯a e ` o e
.
*. Vı du 3: Giai hˆ phu.o.ng trı
´ . ’ e. `nh sau:

 x1 + x2 − 3x3 − 2x4 + 3x5 = 1



 2x + 2x + 4x − x + 3x = 1
 1 2 3 4 5

 3x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 + 3x5 = 1





2x1 + 2x2 + 8x3 − 3x4 + 9x5 = 6
Ta co :
´
   
1 1 3 −2 3 1 1 1 3 −2 3 1
2 2 4 −1 3 1   0 0 −2 3 −3 0 
   
A =  −→  
3 3 5 −2 3 1   0 0 −4 4 −6 −2 
2 2 8 −3 9 6 0 0 2 1 3 4
   
1 1 3 −2 3 1 1 1 3 −2 3 1
 0 0 −2 3 −3 0   0 0 −2 3 −3 0 
   
−→   −→  
 0 0 0 −2 0 −2   0 0 0 −2 0 −2 
0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0

Tˆ t ca ca c d .nh thu. con cˆ p 4 cua A = 0
´
a ’ ´ ¯i ´c ´
a ’
1 3 −2
Ta co : 0 −2
´ 3 = 4 = 0 =⇒ r(A) = r(A) = 3
0 0 −2
. ´ ’ e e ´ o o
. ´
Vˆ y r(A) = r(A) = 3 < 5 = n (sˆ ˆ n). Nˆn hˆ co vˆ sˆ nghiˆ m.
a o a e
.

 x1 + x2 + 3x3 − 2x4 + 3x5 = 1 (1)


. ˜ cho tu.o.ng d u.o.ng vo.
Hˆ d a
e ¯ ¯ ´i: −2x3 + 3x4 − 3x5 = 0 (2)



−2x4 = −2 (3)
(3)=⇒ x4 = 1
3 − 3x5
(2)=⇒ x3 =
2
−2x2 + 3x5 − 3
(1)=⇒ x1 =
2
-a
D˘ t : x2 = s, x5 = t; s, t ∈ R
.
3 3 3 3
Ta co : x1 = −s + t − ; x3 = − t;
´ x4 = 1
2 2 2 2

24
Vˆ y nghiˆ m tˆ ng qua t cua hˆ phu.o.ng trı
a
. e
. o’ ´ ’ e
. `nh la:
`
3 3 3 3
(−s + t − , s, − t, 1, t); ∀s, t ∈ R
2 2 2 2
4.4. Hˆ Cramer
e.
• Dinh nghı a: Hˆ phu.o.ng trı
-. ˜ e
. ´
`nh tuyˆ n tı
e ´nh co da ng:
´ .

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1




 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(4.4)
 ...............





an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
’ ˜ ¯`
va thoa ma n d iˆu kiˆ n:
` e e
.
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
det(A) = .
. .
. . =0
.
. . ... .
an1 an2 ... ann
d u.o.c goi la hˆ Cramer.
¯ . . ` e .
• Dinh ly : Hˆ Cramer co nghiˆ m duy nhˆ t va d u.o.c xa c d .nh nhu. sau:
-. ´ e
. ´ e
. ´
a ` ¯ . ´ ¯i

det(Aj )
xj =
det(A)
Trong d´ A la ma trˆ n ca c hˆ sˆ cua hˆ , Aj la ma trˆ n suy tu. A b˘ ng
¯o ` a ´ e o ’
. . ´ e
. ` a
. ` `
a
ca ch thay cˆt thu. j bo.i cˆt hˆ sˆ tu. do.
´ o
. ´ . . ´
’ o e o .
• Hˆ qua:
e
. ’
´
+ Nˆ u det(A) = det(Aj ) = 0,
e ∀j = 1, n thı hˆ vˆ d .nh
` e o ¯i
.
det(A) = 0
´
+ Nˆ u
e thı hˆ vˆ nghiˆ m.
` e o
. e
.
∃j, det(Aj ) = 0
*. Vı du 1: Giai hˆ phu.o.ng trı
´ . ’ e . `nh:

 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4


3x1 + x2 − 2x3 = −2



4x1 + 11x2 + 7x3 = 7

25
Ta co :
´
2 4 3 2 4 3
det(A) = 3 1 −2 = 29 det(A2 ) = 3 −2 −2 = −29
4 11 7 4 7 7
4 4 3 2 4 4
det(A1 ) = −2 1 −2 = 29 det(A3 ) = 3 1 −2 = 58
7 11 7 4 11 7
Do d´ nghiˆ m cua hˆ phu.o.ng trı
¯o e
. ’ e
. `nh la:
`
29 −29 58
x1 = 29 = 1; x2 = 29 = −1; x3 = 29 =2

*. Vı du 2:
´ . 
 (1 + m)x + y + z = 1


’ i va biˆ n luˆ n hˆ phu
Gia ` e a e .o.ng trı
`nh sau: x + (1 + m)y + z = m
. . . 


x + y + (1 + m)z = m2
Ta co :
´


1+m 1 1 3+m 1 1
D= 1 1+m 1 = 3+m 1+m 1
1 1 1+m m+3 1 1+m
1 1 1 1 1 1
= (m + 3) 1 1 + m 1 = (m + 3) 0 m 0 = m2 (m + 3)
1 1 1+m 0 0 m

´
+ Nˆ u D = 0 −→ m = 0 ∨ m = −3
e

 x+y+z =1


.o.c hˆ
Khi m = 0 ta d u . e
¯ .  x+y+z =0


x+y+z =0
Ta co :
´    
1 1 1 1 1 1 1 1
   
A = 1 1 1 0  −→  0 0 0 −1 
1 1 1 0 0 0 0 −1
1 = r(A) = r(A) = 2 nˆn hˆ vˆ nghiˆ m
e e o
. e
.


26

 −2x + y + z = 1


.o.c hˆ
Khi m = −3 ta d u . e
¯ .  x − 2y + z = −3


x + y − 2z = 9
Ta co :
´
   
−2 1 1 1 1 1 −2 9
   
A = 1 −2 1 −3  −→  1 −2 1 −3 
1 1
−2 9 −2 1 1 1
   
1 1 −2 9 1 1 −2 9
   
−→  0 −3 3 −12  −→  0 −3 3 −12 
0 3 −3 19 0 0 0 7

2 = r(A) = r(A) = 3 nˆn hˆ vˆ nghiˆ m.
e e o
. e
.
´
+ Nˆ u D = 0 ⇒ m = 0 ∧ m = −3 ⇒ hˆ la hˆ Cramer co nghiˆ m duy
e e ` e
. . ´ e
.
´
nhˆ t.
a

1 1 1
Dx = m 1+m 1 = m(2 − m2 )
m2 1 1+m
1+m 1 1
Dy = 1 m 1 = m(2m − 1)
1 m2 1+m
1+m 1 1
Dz = 1 1+m m = m(m3 + 2m2 − m − 1)
1 1 m2
. e
. ’ e `
Vˆ y nghiˆ m cua hˆ la:
a .
Dx 2 − m2 Dy 2m − 1 Dz m3 + 2m2 − m − 1
x= = ;y = = ;z = =
D m(m + 3) D m(m + 3) D m(m + 3)

´
Kˆ t luˆ n:
e a
.
´ e ´
. e
. ´
+ Nˆ u m = 0 va m = −3 hˆ co nghiˆ m duy nhˆ t.
e ` a




27
2 − m2 2m − 1 m3 + 2m2 − m − 1
x= ;y = ;z =
m(m + 3) m(m + 3) m(m + 3)
´
+ Nˆ u m = 0 ∨ m = −3 hˆ vˆ nghiˆ m.
e e o
. e
.




28
4.5. Hˆ phu.o.ng trı
e
. `
`nh thuˆn nhˆ t
a ´
a

• Dinh nghı a: Hˆ phu.o.ng trı
-. ˜ e
. `nh co da ng:
´ .

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0




 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0
(4.5)
 ...............





am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0
d u.o.c goi la hˆ phu.o.ng trı
¯ . . ` e . ´
`nh tuyˆ n tı ` ´
e ´nh thuˆn nhˆ t.
a a

• Nhˆ n xe t:
a
. ´
(1). Ta luˆn co : rank(A) = rank(A), do vˆ y hˆ thuˆn nhˆ t (4.5) luˆn
o ´ a e
. . `a a´ o
. ˜ ´
a `
co nghiˆ m. Ta cu ng thˆ y ngay r˘ ng: X = (0, 0, . . . , 0) la mˆt nghiˆ m cua
´ e a ` o . e
. ’
hˆ (4.5). Nghiˆ m nay d u.o.c goi la nghiˆm tˆm thu.o. cua hˆ .
e
. e. ` ¯ . . ` e
. `a `ng ’ e .
e ´
o ´ e o `
(2). Hˆ (4.5) muˆ n co nghiˆ m khˆng tˆm thu `ng ` ’ ´
a .o. thı phai co : rank(A)
, thoa ma n ca c tiˆn d`
´ng ’ . ´
` o o . ´ e `
. ’ ˜ ´ e ¯ˆe
sau:
(1). < u, u > ≥ 0 va < u, u > = 0 ⇔ u = 0
`
(2). < u, v > = < v, u >
(3). < u + v, w > = < u, w > + < v, w >
(4). < ku, v > = k < u, v >

• Khi d´ khˆng gian vecto. V cung vo. tı vˆ hu.o. goi la khˆng gian co
¯o o ` ´i ´ch o ´ng . ` o ´
tı vˆ hu.o.
´ch o ´ng. Nˆ u V hu.u ha n chiˆu thı V d u.o.c goi la khˆng gian Euclid.
´
e ˜ . `
e ` ¯ . . ` o
*. Vı du 1 : Trong khˆng gian Rn , xe t hai vecto.
´ . o ´

u = (u1 , u2 , . . . , un ), v = (v1 , v2 , . . . , vn )

Ta d .nh nghı a tı vˆ hu.o. nhu. sau:
¯i ˜ ´ch o ´ng

< u, v > = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn (∗)

Khi d´ khˆng gian Rn cung vo. tı vˆ hu.o. d u.o.c d .nh nghı a nhu. trˆn
¯o o ` ´i ´ch o ´ng ¯ . ¯i ˜ e
la mˆt khˆng gian Euclid
` o . o
• Tı vˆ hu.o. (∗) goi la tı vˆ hu.o. Euclid cua Rn .
´ch o ´ng . ` ´ch o ´ng ’
*. Vı du 2: Trong khˆng gian vecto. ca c ham sˆ liˆn tu c trˆn [a, b],
´ . o ´ ` ´
o e . e
thı tı vˆ hu.o. cua hai ham f va g co thˆ d inh nghı a bo.i:
` ´ch o ´ng ’ ` ` ’
´ e ¯. ˜ ’
b
< f, g > = f (x)g(x)dx
a

• V la mˆt khˆng gian co tı vˆ hu.o. va u ∈ V thı sˆ ||u|| d u.o.c xa c
` o. o ´ ´ch o ´ng ` ` o´ ¯ . ´
d inh bo.i :
¯. ’

||u|| = < u, u >

goi la d o dai cua vecto. u (hay chuˆ n cua u)
. ` ¯ˆ ` ’
. a’ ’
*. Vı du : Trong Rn , u = (u1 , u2 , . . . , un ) ta co
´ . ´

||u|| = u2 + u2 + . . . u2
1 2 n




55
goi la d ˆ dai Euclid cua u ∈ Rn
. ` ¯o `. ’
• Bˆ t d ang thu.c Cauchy - Schwarz (C - S):
´
a ¯˘ ’ ´
Nˆ u u va v la hai vecto. trong mˆt khˆng gian co tı vˆ hu.o. thı ta
´
e ` ` o. o ´ ´ch o ´ng `
co bˆ t d ˘ng thu. Cauchy - Schwarz:
´ ’
´ a ¯a ´c

< u, v > ≤ ||u||.||v||

• Da i lu.o.ng ||u − v|| d u.o.c goi la khoang ca ch giu.a hai vecto. u , v. Kı
- . . ¯ . . ` ’ ´ ˜ ´
hiˆ u la
e `
.
d(u, v) = ||u − v||

4.2. Tı´nh tru.c giao - Qua trı
. ´ `nh tru.c giao hoa Gram-Smidt
. ´
-.
4.2.1. Dinh nghı a ˜
• Trong mˆt khˆng gian co tı vˆ hu.o.
o
. o ´ ´ch o ´ng, hai vecto. u va v goi la tru.c
` . ` .
´
giao nˆ u: < u, v > = 0
e
*. Vı du : Trong P2 xe t tı vˆ hu.o.
´ . ´ ´ch o ´ng
1
< p, q >= p(x)q(x)dx
−1

Vo.
´i: p = x , q = x2
Ta co :
´ 1 1
2
< p, q >= x.x dx = x3 dx = 0
−1 −1

Vˆ y hai vecto. p, q trong P2 la hai vecto. tru.c giao.
a
. ` .
• Mˆt ho vecto. trong khˆng gian co tı vˆ hu.o. goi la mˆt ho tru.c
o .
. o ´ ´ch o ´ng . ` o .. .
. kha c nhau nao cua ho cu ng tru.c giao.
´ a `´
giao nˆ u bˆ t ky hai vecto ´
e ` ’ . ˜ .
• Mˆt ho vecto
o . . tru.c giao trong d´ moi vecto. d` u co chuˆ n la 1 goi la
¯o . ¯ˆ ´
e ’
a `
. . . `
mˆt ho tru.c chuˆ n.
o . .
. a’
´ `nh tru.c giao hoa Gram - Smidt
4.2.2. Qua trı . ´
• Cho u1 , u2 , . . . , un ca c vecto. d ˆc lˆ p tuyˆ n tı cua khˆng gian co tı
´ ¯o a
. . ´
e ´nh ’ o ´ ´ch
vˆ hu.o. V . Khi d´ ta co thˆ xˆy du.ng mˆt hˆ ca c vecto. {v1 , v2 , . . . , vn }
o ´ng ¯o ´ e a ’ . o e ´
. .
tru .c giao theo cˆng thu. sau d ˆy:
o ´c ¯a
.


56
Bu.o. 1: D˘ t
´c -a
.
u1
v1 =
||u1 ||
Bu.o. 2: Tı v2 sao cho ho {v1 , v2 } tru.c chuˆ n. Ta d ˘ t
´c `m . . a’ ¯a.

v2 = u2 + αv1

va tı α sao cho
` `m

< v2 , v1 >= 0, tu. la < u2 + αv1 , v1 >= 0
´c `

⇒ < u2 , v1 > +α < v1 , v1 >= 0
< u2 , v1 >
⇒α=− = − < u2 , v1 >
< v1 , v1 >
Do d´ :
¯o
v2 = u2 − < u2 , v1 > v1
-a
D˘ t:
.
v2 u2 − < u2 , v1 > v1
v2 = =
||v2 || ||u2 − < u2 , v1 > v1 ||
Bu.o. 3: Gia su. d˜ xˆy du.ng d u.o.c ho tru.c chuˆ n
´c ’ ’ ¯a a . ¯ . . . a’

{v1 , v2 , . . . , vk−1 }

Ta xˆy du.ng tiˆ p vk dˆ cho ho
a . ´
e ¯e’ .

{v1 , v2 , . . . , vk }

la ho tru.c chuˆ n
` . . a’
Ta d ˘ t:
¯a.
vk = uk + β1 v1 + β2 v2 + · · · + βk−1 vk−1




57
va tı ca c βj , j = 1, . . . , k − 1 , sao cho
` `m ´

< vk , vj >= 0, j = 1, 2, . . . , k − 1
⇒< uk , vj > + βj < vj , vj > = 0
< uk , vj >
⇒ βj = − = − < uk , vj >, j = 1, 2, . . . , k − 1
< vj , vj >
Do d´ vk d u.o.c xa c d inh:
¯o ¯ . ´ ¯.

vk = uk − < uk , v1 > v1 − < uk , v2 > v2 − · · · − < uk , vk−1 > vk−1

Sau d´ ta d ˘ t:
¯o ¯a.
vk uk − < uk , v1 > v1 − < uk , v2 > v2 − · · · − < uk , vk−1 > vk−1
vk = =
||vk || ||uk − < uk , v1 > v1 − < uk , v2 > v2 − · · · − < uk , vk−1 > vk−1 ||
Tiˆ p tu c qua trı d´ cho to. khi k = n ta d u.o.c ho tru.c giao {v1 , v2 , . . . , vn }
´
e . ´ `nh ¯o ´i ¯ . . .
*. Vı du : Cho trong khˆng gian Euclid R3 ho vecto. S = {u1 , u2 , u3 },
´ . o .
vo.
´i
u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)

Ha y tru.c chuˆ n hoa Gram - Smidt ho vecto. {u1 , u2 , u3 }
˜ . a’ ´ .
.o. 1: D˘ t
Bu ´c -a.
u1 (1, 1, 1) 1 1 1
v1 = =√ = √ ,√ ,√
||u1 || 12 + 12 + 12 3 3 3
Bu.o. 2:
´c
u2 − < u2 , v1 > .v1
v2 =
||u2 − < u2 , v1 > .v1 ||
2 1 1 1 −2 1 1
u2 − < u2 , v1 > .v1 = (0, 1, 1) − √ √ , √ , √ = , ,
3 3 3 3 3 3 3
Vˆ y:
a
.
3 −2 1 1 −2 1 1
v2 = √ , , = √ ,√ ,√
6 3 3 3 6 6 6
.o. 3:
Bu ´c
u3 − < u3 , v1 > v1 − < u3 , v2 > v2
v3 =
||u3 − < u3 , v1 > v1 − < u3 , v2 > v2 ||



58
u3 − < u3 , v1 > v1 − < u3 , v2 > v2
1 1 1 1 1 −2 1 1
= (0, 0, 1) − √ √ , √ , √ − √ √ , √ , √
3 3 3 3 6 6 6 6
−1 1
= 0, ,
2 2
Vˆ y:
a
.
√ −1 1 −1 1
v3 = 2 0, , = 0, √ , √
2 2 2 2
Vˆ y ta d u.o.c ho vecto. tru.c chuˆ n la {v1 , v2 , v3 } vo.
a
. ¯ . . . ’
a ` ´i:
1 1 1
v1 = √ , √ , √
3 3 3
−2 1 1
v2 = √ , √ , √
6 6 6
−1 1
v3 = 0, √ , √
2 2




59
` ˆ . .
BAI TA P CHU O NG II
.
Bai 1: Khˆng gian vecto.
` o
a) D˘ t CR [a, b] la tˆ p ho.p ca c ham sˆ liˆn tu c tu. [a, b] → R
-a
. ` a. . ´ ` ´
o e . `
˜
Ta d .nh nghı a : ∀f, g ∈ CR [a, b], ∀α ∈ R
¯i
•(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ [a, b]
•(αf )(x) = αf (x), ∀x ∈ [a, b]
Chu. minh CR [a, b] la khˆng gian vecto..
´ng ` o
b) Tˆ p tˆ t ca ca c bˆ ba sˆ thu.c (x, y, z) vo. ca c phe p tı
. ´
a a ’ ´ o . ´
o . ´i ´ ´ ´nh
(x, y, z) + (x , y , z ) := (x + x , y + y , z + z )
k(x, y, z) := (kx, y, z)
hoi tˆ p cho trˆn co la khˆng gian vecto. cua R3 khˆng ?
’ a . e ´ ` o ’ o

Bai 2: Ca c tˆ p du.o. d ˆy co phai la khˆng gian con cua P3 khˆng:
` ´ a . ´i ¯a ´ ’ ` o ’ o
a) Ca c d a thu. a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 trong d´ a0 = 0 ?
´ ¯ ´c ¯o
b) Ca c d a thu. a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 trong d´ a0 + a1 + a2 + a3 = 0?
´ ¯ ´c ¯o

Bai 3:
`
1. Ha y biˆ u diˆ n vecto. x thanh tˆ ho.p tuyˆ n tı
˜ e’ ˜
e ` ’
o . ´ ’
e ´nh cua u, v, w
a) x = (7, −2, 15); u = (2, 3, 5); v = (3, 7, 8); w = (1, −6, 1)
b) x = (0, 0, 0, 0); u = (4, 1, 3, −2); v = (1, 2, −3, 2); w = (16, 9, 1, −3)
2. Ha y biˆ u diˆ n ca c d a thu. sau thanh tˆ ho.p tuyˆ n tı
˜ e’ ˜ ´ ¯
e ´c ` ’
o . ´
e ´nh cua ’
p1 = 2 + x + 4x2 ; p2 = 1 − x − 3x2 ; p3 = 3 + 2x + 5x2
a) 5 + 9x + 5x2
b) 2 + 6x2

Bai 4: Xa c d inh m sao cho x la tˆ ho.p tuyˆ n tı
` ´ ¯. ’
` o . ´ ’
e ´nh cua u, v, w:
a) u = (2, 3, 5); v = (3, 7, 8); w = (1, −6, 1); x = (7, −2, m)
b) u = (3, 2, 5); v = (2, 4, 7); w = (5, 6, m); x = (1, 3, 5)
c) u = (3, 4, 2); v = (6, 8, 7); w = (4, 1, m); x = (9, 12, 1)

Bai 5: 1. Mˆ i ho vecto. du.o. d ˆy co sinh ra R3 khˆng
` ˜
o . ´i ¯a ´ o
a) v1 = (1,1,1); v2 = (2,2,0); v3 = (3,0,0)
b) v1 = (1,3,3); v2 = (1,3,4); v3 = (1,4,3); v4 = (6,2,1)

60
2. Hoi ca c d a thu. sau co sinh ra P3 khˆng
’ ´ ¯ ´c ´ o
p1 = 1 + 2x − x2 ; p2 = 3 + x2
p3 = 5 + 4x − x2 ; p4 = −2 + +2x − 2x2

Bai 6: Nhu.ng hˆ vecto. sau, hˆ nao d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
` ˜ e
. e ` ¯o a
. . . ´
e ´nh, hˆ nao phu thuˆc
e `
. . o
.
´
tuyˆ n tı
e ´nh
a) {u1 = (1, 0, 0, 2); u2 = (−1, 0, 2, 1); u3 = (0, 0, 2, 3)}
b) {v1 = (2, 1, 0, 1); v2 = (4, 2, 0, 2); v3 = (1, 2, 5, 0)}
c) {w1 = (1, 2, −1); w2 = (1, 0, −1); v3 = (−1, −2, 2)}

Bai 7: Tˆ p nao trong P2 du.o. d ˆy la phu thuˆc tuyˆ n tı
` a `
. ´i ¯a ` . o
. ´
e ´nh
a) 2 − x + 4x2 ; 3 + 6x + 2x2 ; 1 + 10x − 4x2
b) 3 + x + x2 ; 2 − x + 5x2 ; 4 − 3x2
c) 1 + 3x + 3x2 ; x + 4x2 ; 5 + 6x + 3x2 ; 7 + 2x − x2

Bai 8: Cho X, Y, Z ∈ Rn
`
-a
D˘ t A = X + Y, B = Y + Z, C = Z + X
.
´
e ¯o a
. . ´
Nˆ u X, Y, Z d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
e ´nh
Chu. minh A, B, C cu ng d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
´ng ˜ ¯o a
. . ´
e ´nh.

¯ˆ a
. . e ´nh trong Rn . Chu. minh hˆ
´
Bai 9: Cho A1 , A2 , A − 3 d oc lˆ p tuyˆ n tı
` ´ng e
.
¯o a
. . ´
{A1 + A2 , A1 − A2 , A1 + 2A3 } d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
e ´nh.

Bai 10: Cho hˆ {u1 = (1, 2, 3); u2 = (0, 1, 1)} trong R3
` e
.
´ng
a) Chu. minh hˆ {u , u } d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
e 1 2 ¯o a ´
e ´nh
. . .
b) Tı vecto. u3 dˆ {u1 , u2 , u3 } d ˆc lˆ p tuyˆ n tı
`m ¯e’ ¯o a
. . ´
e ´nh

Bai 11: Tı m dˆ ca c vecto. sau d ˆy phu thuˆc tuyˆ n tı
` `m ’
¯e ´ ¯a . o
. e ´nh trong R3
´
v1 = (m, −1 , −1 ), v2 = ( −1 , m, −1 ), v3 = ( −1 , −1 , m)
2 2 2 2 2 2

Bai 12: Ho nao du.o. d ˆy la co. so. cua R3 :
` . ` ´i ¯a ` ’ ’
a) (1, 0, 0) ; (2, 2, 0) ; (3, 3, 3)
b) (1, 6, 4) ; (2, 4, −1) ; (−1, 2, 5)
c) (1, 0, 2) ; (2, 1, 0)

Bai 13: Ho nao du.o. d ˆy la co. so. trong P2
` . ` ´i ¯a ` ’

61
a) 1 − 3x + 2x2 ; 1 + x + 4x2 ; 1 − 7x
b) 1 + x + x2 ; x + x2 ; x2
c) −4 + x + 3x2 ; 6 + 5x + 2x2 ; 8 + 4x + x2

Bai 14: Chu. minh hˆ {u1 , u2 , u3 , u4 } vo.
` ´ng e
. ´i:
u1 = (1, 1, 0, 1); u2 = (2, 1, 3, 1); u3 = (1, 1, 0, 0); u4 = (0, 1, −1, −1)
La co. so. cua R4
` ’ ’
Tı toa d ˆ cua vecto. X = (0, 0, 0, 1) trong co. so. d´
`m . ¯o ’
. ’ ¯o

Bai 15: Cho {u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 1, 3)} trong R3 . Hˆ {u1 , u2 } co phai
` e
. ´ ’
la co. so. cua R3 ? Tı vecto. u3 ∈ R3 dˆ {u1 , u2 , u3 } la co. so. cua R3
` ’ ’ `m ¯e’ ` ’ ’

Bai 16: Tı ha ng cua hˆ vecto.
` `m . ’ e
.
a) {u1 = (1, 2, −1, 0, 0); u2 = (0, 2, 3, 3, 2); u3 = (1, 2, −1, 0, 5); u4 = (2, 6, 1, 3, 7)}
b) {u1 = (4, 2, 0, 2); u2 = (2, −1, −4, 7); u3 = (1, −2, −5, 8); u4 = (−1, 3, 7, −11)}
c) {u1 = (1, 2, 0); u2 = (0, 1, 0); u3 = (−1, −1, 0)}

Bai 17: Xa c d .nh sˆ chiˆu va mˆt co. so. cua khˆng gian nghiˆ m cua ca c
` ´ ¯i ´ ` ` o
o e . ’ ’ o e
. ’ ´
hˆ sau:
e
.

 2x1 + x2 + 3x3 = 0


a) x + 2x2 = 0
 1


x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
b)
5x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0
Bai 18: Tı mˆt co. so. va sˆ chiˆu cua khˆng gian con cua R3 sinh bo.i
` `m o . ’ ` o´ ` e ’ o ’ ’
ca c vecto. sau:
´
a) (1, −1, 2); (2, 1, 3); (−1, 5, 0)
b) (2, 4, 1); (3, 6, −2); (−1, 2, −1 )
2

Bai 19: Cho W = {X = (α, α − 2β, α, γ) : α, β, γ ∈ R}
`
1. Chu. minh W la khˆng gian vecto. con cua R4
´ng ` o ’
2. Tı mˆt co. so. va sˆ chiˆu cua W
`m o
. ’ ` o ´ ` e ’



62
Bai 20: Xe t trong R3 hai co. so. B = {u1 , u2 , u3 } va B = {v1 , v2 , v3 }
` ´ ’ `
trong d´
¯o
u1 = (−3, 0, −3), u2 = (−3, 2, 1), u3 = (1, 6, −1)
v1 = (−6, −6, 0), v2 = (−2, −6, 4), v3 = (−2, −3, 7)
a) Tı ma trˆ n chuyˆ n co. so. tu. co. so. B sang B
`m a
. e’ ’ ` ’
b) Tı ma trˆ n chuyˆ n co. so. tu. co. so. B sang co. so. B
`m a
. e’ ’ ` ’ ’
c) Cho w = (−5, 8, −5), tı´nh ma trˆ n toa d ˆ [w]B va tı
a
. . ¯o
. ` ´nh [w]B
d) Tı
´nh tru.c tiˆ p [w] , va kiˆ m tra la i kˆ t qua trˆn.
´
e ` e ’ ´ ’ e
. B . e
Bai 21: Lam la i bai 20 vo.
` ` . ` ´i
u1 = (2, 1, 1) ; u2 = (2, −1, 1) ; u3 = (1, 2, 1)
v1 = (3, 1, −5) ; u2 = (1, 1, −3) ; v3 = (−1, 0, 2)

Bai 22: Trong P1 xe t ca c co. so. B = {p1 , p2 } , B = {q1 , q2 } vo.
` ´ ´ ’ ´i
p1 = 6 + 3x , p2 = 10 + 2x
q1 = 2 , q2 = 3 + 2x
a) Tı ma trˆ n chuyˆ n co. so. tu. B sang B
`m a
. e’ ’ `
´nh ma trˆ n toa d ˆ [p]B vo. p = −4 + x rˆi suy ra [p]B
b) Tı a . . ¯o . ´i `
o
´nh tru.c tiˆ p [p]B va kiˆ m tra la i kˆ t qua trˆn
c) Tı . ´
e ` e ’ . e ´ ’ e
d) Tı ma trˆ n chuyen co. so. tu. B sang B
`m a. ’ ’ `

Bai 23:
`
1. Vo. hai ma trˆ n trong M2
´i a
.
u1 u2 v1 v2
u= , v=
u3 u4 v3 v4

Ha y chu. minh r˘ ng biˆ u thu.
˜ ´ng `
a e’ ´c

< u, v >= u1 .v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4

la mˆt tı vˆ hu.o.
` o ´ch o
. ´ng.
´ ¯e ´nh tı vˆ hu.o. cua

2. Ap du ng dˆ tı
. ´ch o ´ng ’
−1 2 1 0
u= , v=
6 1 3 3

63
Bai 24: Trong P2 xe t tı vˆ hu.o.
` ´ ´ch o ´ng

< p, q >= a0 b0 + a1 b1 + a2 b2

Chu. minh r˘ ng p = 1 − x + 2x2 va q = 2x + x2 tru.c giao
´ng `
a ` .
Bai 25: Chu. minh r˘ ng
` ´ng `
a

u1 = (1, 0, 0, 1), u2 = (−1, 0, 2, 1)

u3 = (2, 3, 2, −2), u4 = (−1, 2, −1, 1)

la mˆt ho tru.c giao trong R4 d ˆ i vo. tı vˆ hu.o. Euclid
` o . .
. ´
¯o ´i ´ch o ´ng

Bai 26: Trong R3 xe t tı vˆ hu.o. Euclid. Ha y tru.c chuˆ n hoa Gram
` ´ ´ch o ´ng ˜ . a’ ´
- smidt ca c vecto. sau
´
a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1)
b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (3, 7, −2), u3 = (0, 4, 1)

Bai 27: Trong P2 xe t tı vˆ hu.o.
` ´ ´ch o ´ng
1
< p, q > = p(x)q(x)dx
−1

Ha y tru.c chuˆ n ho a Gram - smidt ho vecto. {1, x, x2}
˜ . ’
a ´ .
Bai 28: Trong R3 xe t tı vˆ hu.o.
` ´ ´ch o ´ng < u, v >= u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3
Ha y tru.c chuˆ n hoa Gram - Smidt ho vecto. sau
˜ . a’ ´ .

{u1 = (1, 1, 1, ), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)}




64
Chu.o.ng III
´ ´
ˆ ˜
ˆ
LY THUYET CHUOI
˜
ˆ ´
ˆ
§1. CHUOI SO

˜
1.1. Ca c d .nh nghı a
´ ¯i

• Cho mˆt da y vˆ ha n ca c sˆ u1 , u2 , u3 , . . . , un , . . . Khi ˆ y biˆ u thu.
o ˜
. o . ´ o ´ ´
a e’ ´c
o’
(tˆ ng vˆ ha n):
o .
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .

d u.o.c goi la mˆt chuˆ i sˆ . Ky hiˆ u la:
¯ . . ` o . ˜ ´ ´ e `
o o . un (1.1)
n=1

• un d u.o.c goi la sˆ ha ng thu. n (d ˆi khi ta goi la sˆ ha ng tˆ ng qua t)
¯ . . ` o . ´ ´ ¯o . ` o .´ o’ ´
’ ˜
cua chuˆ i (1.1)
o
n
• Ta d ˘ t Sn =
¯a. uk = u1 + u2 + . . . + un va d u.o.c goi la tˆ ng riˆng
` ¯ . . ` o ’ e
k=1
thu. n cua chuˆ i (1.1)
´ ’ ˜
o

• Nˆ u da y tˆ ng riˆng {Sn } co gio. ha n hu.u ha n khi n → ∞, co nghı a
´ ˜ o
e ’ e ´ ´i . ˜ . ´ ˜
la lim Sn = S (hu.u ha n) thı ta no i r˘ ng chuˆ i (1.1) la hˆi tu , S d u.o.c goi
` ˜ . ` ´ a ` ˜
o ` o .
. ¯ . .
n→∞

’ ’ ˜ ´
la tˆ ng cua chuˆ i va viˆ t S =
` o o ` e un
n=1

• Mˆt chuˆ i khˆng hˆi tu d u.o.c goi la chuˆ i phˆn ky.
o
. ˜
o o o . ¯ . . `
. ˜
o a `

*. Vı du :
´ .

1
˜ ´
Xe t chuˆ i sˆ
´ o o ta co :
´
n=1
n(n + 1)
n
1 1 1 1 1
Sn = = + + +... +
k(k + 1) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)
k=1
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + ...+ −
1 2 2 3 3 4 n n+1
1
=1−
n+1

65
Do d´ ta co :
¯o ´
1
lim Sn = lim 1− =1
n→∞ n→∞ n+1

1
Vˆ y chuˆ i d˜ cho la hˆi tu va ta co :
a
. ˜
o ¯a ` o . `
. ´ = 1.
n=1
n(n + 1)
*. Vı du :
´ .

˜ ´
Xe t chuˆ i sˆ
´ o o n ta co :
´
n=1

n
Sn = k = 1 +2 + 3+ ...+ n
k=1
n(n + 1)
=
2
Do d´ ta co :
¯o ´
n(n + 1)
lim Sn = lim = +∞
n→∞ n→∞ 2

Vˆ y chuˆ i d˜ cho la phˆn ky.
a
. ˜
o ¯a ` a `
- ` e ` ¯ˆ ’ ˜ ´ .
1.2. Diˆu kiˆn cˆn d e chuˆ i sˆ hˆi tu
e . a o o o .
-.
• Dinh ly
´
´ ˜
o o . ` o .
. ´ o’ ´ ’ ` `
Nˆ u chuˆ i (1.1) hˆi tu thı sˆ ha ng tˆ ng qua t un phai dˆn vˆ 0 khi
e a e
˜ `
n → ∞, co nghı a la: lim un = 0.
´
n→∞

• Nhˆ n xe t
a. ´
´
e ` o˜
(1). Nˆ u lim un = 0 thı chuˆ i (1.1) phˆn ky.
a `
n→∞
(2). Diˆu kiˆ n d u.o.c nˆu trong d inh ly chı la d iˆu kiˆ n cˆn ma khˆng
- `e e ¯ . e
. ¯. ´ ’ ` ¯` e e `
. a ` o
phai la d iˆu kiˆ n d u co nghı a la nˆ u lim un = 0 thı chuˆ i (1.1) chu.a ch˘c
’ ` ¯` e e ¯’ ´
. ˜ ` e ´ ` ˜
o ´
a
n→∞
d˜ hˆi tu .
¯a o .
.
*. Vı du 1:
´ .

n−1
˜ ´
Xe t chuˆ i sˆ
´ o o ta co :
´
n=1
3n + 2

n−1
un =
3n + 2

66
Do d´ :
¯o
n−1 1
lim un = lim = =0
n→∞ n→∞ 3n + 2 3

n−1
¯` e `
. a ’ ˜ . ˜
Theo d iˆu kiˆ n cˆn cua chuˆ i hˆi tu ⇒ chuˆ i
e o o . o phˆn ky.
a `
n=1
3n + 2

1
´ . ´ ˜ ´
*. Vı du 2: Xe t chuˆ i sˆ
o o , ta co :
´
n=1
n

1
un =
n
Do d´ :
¯o
1
lim un = lim =0
n→∞ n→∞ n

1
Nhu.ng phˆn ky. Thˆ t vˆ y
a ` a a
. .
n=1
n
Ta co :
´
1 1 1 1 1 1 n 1
S2n − Sn = + + ···+ > + + ···+ = =
n+1 n+2 2n 2n 2n 2n 2n 2
Nˆ u chuˆ i sˆ hˆi tu thı Sn , S2n cung dˆn to. mˆt gio. ha n khi n → ∞,
´
e ˜ ´ .
o o o . ` ` ` ´i o
a . ´i .
tu. la lim (S2n − Sn ) = 0, d iˆu nay mˆu thuˆ n vo. S2n − Sn > 1
´c ` ¯`e ` a ˜
a ´i 2
n→∞

´
1.3. Mˆt sˆ tı ´ ’ ˜
o o ´nh chˆ t cua chuˆ i hˆi tu
. a o o ..
• Tı ´
´nh chˆ t 1
a
∞ ∞
´ ˜
Nˆ u chuˆ i
e o . ` ´ ˜
un hˆi tu va λ la mˆt h˘ ng sˆ thı chuˆ i
o . ` ` o a
. o ` o ˜
λun cu ng hˆi
o
.
n=1 n=1
tu , ngoai ra ta co :
. ` ´
∞ ∞
λun = λ. un
n=1 n=1

3
’ ’ ˜ ´
*. Vı du : Tı tˆ ng cua chuˆ i sˆ sau
´ . `m o o o
n=0
2n

1 1
Ta co :
´ ’
hˆi tu va co tˆ ng S =
o ` ´ o ´ ´ a `
= 2 (Cˆ p sˆ nhˆn lui
a o
n=0
2n . . 1− 1
2

vˆ ha n)
o .



67
∞ ∞
3 1
⇒ = 3. = 3.2 = 6
n=0
2n n=0
2n

• Tı ´
´nh chˆ t 2
a
∞ ∞ ∞
´ ˜
Nˆ u chuˆ i
e o un va
` ˜
un hˆi tu thı chuˆ i
o . `
. o ˜
(un + vn ) cu ng hˆi tu ,
o .
.
n=1 n=1 n=1
ngoai ra ta co :
` ´
∞ ∞ ∞
(un + vn ) = un + vn
n=1 n=1 n=1

’ ’ ´ ´
*. Vı du : Tı tˆ ng cua chuˆ i sˆ sau
´ . `m o o o

1 1
n
+ n
n=0
3 5

Ta co :
´

1 1 3
hˆi tu va co S =
o . ` ´
. 1 =
n=0
3n 1− 3
2

1 1 5
hˆi tu va co S =
o . ` ´
. 1 =
n=0
5n 1− 5
4
∞ ∞ ∞
1 1 1 1 3 5 11
⇒ n
+ n = n
+ n
= + =
n=0
3 5 n=0
3 n=0
5 2 4 4

• Tı ´
´nh chˆ t 3
a
Tı´nh hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i khˆng thay d ˆ i nˆ u nhu. ta bo. d i
o .
. a ` ’ ˜
o o ’ ´
¯o e ´t ¯
mˆt sˆ hu.u ha n ca c ha ng tu. d` u tiˆn cua chuˆ i.
o o ˜
. ´ . ´ . ’ ¯ˆ
a e ’ ˜
o
˜
ˆ ´
ˆ . .
§2. CHUOI SO DU O NG

-. ˜
2.1. Dinh nghı a

˜ ´
• Chuˆ i sˆ
o o un d u.o.c goi la chuˆ i du.o.ng nˆ u nhu.: un > 0, ∀n.
¯ . . ` ˜
o ´
e
n=1

• Nhˆ n xe t
a
. ´
Tu.o.ng tu. nhu. chuˆ i sˆ du.o.ng chu ng ta cu ng co d .nh nghı a chuˆ i sˆ ˆm
. ˜ ´
o o ´ ˜ ´ ¯i ˜ ˜ ´
o oa

´ ˜
(un < 0, ∀n). Tuy nhiˆn, nˆ u chuˆ i
e e o ˜ `
un la mˆt chuˆ i ˆm thı b˘ ng ca ch
` o. o a ` a ´
n=1

68

˜
xe t chuˆ i
´ o (−un ) ta se co d u.o.c mˆt chuˆ i sˆ du.o.ng. Do vˆ y, khˆng mˆ t
˜ ´ ¯ . o
. ˜ ´
o o a
. o ´
a
n=1
´nh tˆ ng qua t chu ng ta chı cˆn xe t dˆ n chuˆ i sˆ du.o.ng.
tı o’ ´ ´ ’ ` ´ ¯e
a ´ ˜ ´
o o

2.2. Hai d .nh ly so sa nh cua chuˆ i sˆ du.o.ng
¯i ´ ´ ’ ˜ ´
o o
-.
• Dinh ly 1:
´
∞ ∞
Cho hai chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o un va
` vn .
n=1 n=1
Gia su. ta co un ≤ vn , ∀n ≥ N0 (N0 ∈ N). Khi ˆ y:
’ ’ ´ ´
a
∞ ∞
´ ˜
(1). Nˆ u chuˆ i
e o ˜
vn hˆi tu thı chuˆ i
o . `
. o ˜
un cu ng hˆi tu .
o .
.
n=1 n=1
∞ ∞
´ ˜
(2). Nˆ u chuˆ i
e o ˜
un phˆn ky thı chuˆ i
a ` ` o ˜
vn cu ng phˆn ky.
a `
n=1 n=1

*. Vı du : Xe t su. hˆi tu cua chuˆ i sˆ
´ . ´ . o . ’. ˜ ´
o o

1

n=1
3
n.3n

Ta co :
´
1 1
un = √ ≤ n = vn ; ∀n ≥ 1
3
n.3n 3

1
Ma
` hˆi tu
o .
.
n=1
3n

1
a’
Theo tiˆu chuˆ n so sa nh ⇒
e ´ √ hˆi tu .
o .
.
n=1
3
n.3n
-.
• Dinh ly 2:
´
∞ ∞
Cho hai chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o un va
` vn . Gia su. tˆn ta i gio. ha n
’ ’ ` o . ´i .
n=1 n=1
un
lim ´
= K Khi ˆ y:
a
n→∞ vn
∞ ∞
´ ˜
(1). Nˆ u K = 0 va chuˆ i
e ` o ˜
vn hˆi tu thı chuˆ i
o . `
. o ˜
un cu ng hˆi tu .
o .
.
n=1 n=1
∞ ∞
´
e ` ˜
(2). Nˆ u 0 < K < +∞ thı hai chuˆ i
o un va
` vn cung hˆi tu ho˘ c
` o . a
. .
n=1 n=1
cung phˆn ky.
` a `

69
∞ ∞
´ ` ˜
(3). Nˆ u K = +∞ va chuˆ i
e o ˜
vn phˆn ky thı chuˆ i
a ` ` o ˜
un cu ng
n=1 n=1
phˆn ky.
a `

*. Vı du : Xe t su. hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sˆ sau
´ . ´ . o . . a ` ’ ˜ ´
o o

1
ln 1 +
n=1
n

Ta co :
´
1 1
ln 1 + ∼ khi n −→ ∞
n n
1
un 1+ n
lim = lim 1
= lim (n + 1) = ∞
n→∞ vn n→∞ n→∞
n
Ma
`
∞ ∞
1 1
phˆn ky ⇒
a ` ln 1 + phˆn ky
a `
n=1
n n=1
n

2.3. Ca c tiˆu chuˆ n d e xe t su. hˆi tu , phˆn ky cua chuˆ i sˆ
´ e ’
a ¯ˆ ´ ’ . o .
. a ` ’ ˜ ´
o o
du.o.ng

Gia su. ta cˆn xe t su. hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sˆ du.o.ng
’ ’ ` ´ . o .
a . a ` ’ ˜ ´
o o un
n=1

e a’
• Tiˆu chuˆ n D’Alembert
un+1
Gia su. r˘ ng lim
’ ’ a ` ´
= D. Khi ˆ y ta co :
a ´
n→∞ un
(1). Nˆ u D > 1 thı chuˆ i d˜ cho phˆn ky.
´
e ` ˜
o ¯a a `
(2). Nˆ u D < 1 thı chuˆ i d˜ cho hˆi tu .
´
e ` ˜
o ¯a o .
.
*. Vı du 1 :
´ .

nn
Cho chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o ’
. Dung tiˆu chuˆ n D’Alembert ta co :
` e a ´
n=1
n!

(n+1)n+1
un+1 (n+1)!
lim = lim nn
n→∞ un n→∞
n!
n+1
(n + 1) .n! (n + 1)n
= lim = lim =e>1
n→∞ nn .(n + 1)! n→∞ nn


70
Vˆ y chuˆ i d˜ cho la phˆn ky.
a
. ˜
o ¯a ` a `

*. Vı du 2 :
´ .
∞ n
1 1
Cho chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o n
1+ ’
Dung tiˆu chuˆ n D’Alembert ta
` e a
n=1
3 n
co :
´
n+1
1 1
un+1 3n+1 1+ n+1
lim = lim n
n→∞ un n→∞ 1 1
3n 1+ n
n+1
1
1 1 + n+1 1 e 1
= lim n = . = 1 thı chuˆ i d˜ cho phˆn ky.
´
e ` ˜
o ¯a a `
(2). Nˆ u C < 1 thı chuˆ i d˜ cho hˆi tu .
´
e ` ˜
o ¯a o .
.
*. Vı du. 1:
´

3n
Cho chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o ’
. Dung tiˆu chuˆ n Cauchy ta co :
` e a ´
n=1
(n + 1)n

√ n
3n 3
lim n
un = lim n
= lim =01
n→∞ n→∞ n 2 n→∞ n 2 2

71
Vˆ y chuˆ i d˜ cho la phˆn ky.
a. ˜
o ¯a ` a `

Nhˆ n xe t: Trong tru.o. ho.p C = 1 thı chu ng ta chu.a thˆ kh˘ng d .nh
a
. ´ `ng . ` ´ ’ ’
e a ¯i
chuˆ i d˜ cho la hˆi tu hay phˆn ky.
˜
o ¯a ` o .
. a `

a’
• Tiˆu chuˆ n Tı
e ´ch phˆn
a
Gia su. f (x) la mˆt ham sˆ khˆng ˆm, khˆng t˘ng trˆn khoang [1, +∞)
’ ’ ` o `
. o´ o a o a e ’
` ’ ´ch e
va f (x) kha tı trˆn moi d oa n [1, A], (A > 1). Khi d´ :
. ¯ . ¯o
+∞ ∞
´
(1). Nˆ u tı phˆn
e ´ch a o . `
. ˜ ´
f (x)dx hˆi tu thı chuˆ i sˆ
o o f (n) hˆi tu .
o .
.
1 n=1
+∞ ∞
´
(2). Nˆ u tı phˆn
e ´ch a ˜ ´
f (x)dx phˆn ky thı chuˆ i sˆ
a ` ` o o f (n) phˆn ky.
a `
1 n=1

*. Vı du :
´ .

1
Cho chuˆ i sˆ du.o.ng
˜ ´
o o ´
. Ta xe t ham sˆ :
´ ` o
n=1
n

1
f (x) =
x
´ ’ ˜ ´ ’ ´
e ’ ’
Ham sˆ nay thoa ma n ca c gia thiˆ t cua tiˆu chuˆ n tı phˆn. Ngoai ra ta
` o ` e a ´ch a `
co :
´
+∞ +∞
1
f (x)dx = dx
x
1 1
A
1
= lim dx = lim (ln A − ln 1) = +∞
A→+∞ x A→+∞
1

+∞
1
Nhu. vˆ y tı phˆn suy rˆng
a ´ch a
. o
. dx phˆn ky. Do d´ chuˆ i sˆ d˜ cho
a ` ¯o ˜ ´
o o ¯a
x
1
˜
cu ng phˆn ky.
a `

Nhˆ n xe t: Trong thu.c hanh chu ng ta thu.o. d ˘ t f (x) = ux , co nghı a
a
. ´ . ` ´ `ng ¯a. ´ ˜
´ ´ ’ ´ ’ ˜ ` ´
la chu ng ta thay biˆ n n trong sˆ ha ng tˆ ng qua t cua chuˆ i b˘ ng biˆ n x ta
` ´ e o . o o a e
se co d u.o.c ham f (x).
˜ ´ ¯ . `
˜
ˆ ´ ˆ ´
§3. CHUOI CO DAU BAT KI ´
ˆ `

72
˜
3.1. Chuˆ i d ´
o ¯an dˆ u
a

-.
• Dinh nghı a˜
˜
o ¯ ´
a ` ˜ ´
Chuˆ i d an dˆ u la chuˆ i sˆ co mˆt trong hai da ng sau:
o o ´ o . .

u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + (−1)n+1 un + . . . (3.1)

hay
−u1 + u2 − u3 + u4 − . . . + (−1)n un + . . . (3.2)

trong d´ uk > 0, ∀k.
¯o

• Nhˆ n xe t
a
. ´
Tu. chuˆ i (3.2) chu ng ta co thˆ chuyˆ n vˆ chuˆ i (3.1) va ngu.o.c la i. Do
` ˜
o ´ ´ e ’ ’ e
e ` ˜
o ` . .
a
. ’ ` ´ ¯e
a ´ ˜
vˆ y ta chı cˆn xe t dˆ n chuˆ i (3.1)
o

-.
• Dinh ly Leibnitz
´
Cho chuˆ i d an dˆ u (3.1) va gia su. r˘ ng hai d iˆu kiˆ n sau d ˆy thoa ma n:
˜
o ¯ ´
a ` ’ ’ a ` ¯` e e
. ¯a ’ ˜
(1). u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
(2). lim un = 0
n→∞
Khi ˆ y chuˆ i d˜ cho (3.1) la hˆi tu va tˆ ng cua no khˆng vu.o.t qua sˆ
´
a ˜
o ¯a ` o . ` o
. ’ ’ ´ o . ´ o´
ha ng d` u tiˆn u1 .
. ¯ˆa e

*. Vı du :
´ .

(−1)n+1
˜
o ¯ ´
Cho chuˆ i d an dˆ u
a ˜ ’ ˜ ´ ¯` ’
. Chuˆ i nay thoa ma n ca c d iˆu kiˆ n cua
o ` e e
.
n=1
n
d inh ly Leibnitz nˆn no hˆi tu .
¯. ´ e ´ o ..
-.
• Dinh nghı a ˜
Mˆt chuˆ i d an dˆ u da ng (3.1) thoa ma n d .nh ly Leibnitz d u.o.c goi la
o
. ˜
o ¯ ´
a . ’ ˜ ¯i ´ ¯ . . `
˜
chuˆ i Leibnitz.
o

˜
o ´ a ´ ´ `
a o .
. e ¯ˆ
. ´
3.2. Chuˆ i co dˆ u bˆ t ky - Hˆi tu tuyˆt d o i

-.
• Dinh ly
´
∞ ∞
Nˆ u chuˆ i sˆ du.o.ng
´
e ˜ ´
o o ˜ ´
|un | hˆi tu thı chuˆ i sˆ
o . `
. o o ˜
un cu ng hˆi tu .
o .
.
n=1 n=1


73
• Nhˆ n xe t
a. ´
-. ’ ` ¯` e ¯’ ` o ’ ` ¯` e `
(1). Dinh ly trˆn chı la d iˆu kiˆ n d u ma khˆng phai la d iˆu kiˆ n cˆn,
´ e e . e . a

˜ ` ˜ ´
co nghı a la chuˆ i sˆ
´ o o ´ ´ ’ ` ¯` ˜
un hˆi tu khˆng nhˆ t thiˆ t phai cˆn d iˆu kiˆ n chuˆ i
o . o
. a e a e e
. o
n=1

sˆ du.o.ng
´
o |un | hˆi tu .
o .
.
n=1
´ ` e a’ e a’
(2). Nˆ u dung tiˆu chuˆ n D’Alembert hay tiˆu chuˆ n Cauchy ma ta
e `
∞ ∞
biˆ t d u.o.c chuˆ i sˆ du.o.ng
´
e ¯ . ˜ ´
o o ˜ ˜ ´
|un | phˆn ky thı ta cu ng co chuˆ i sˆ
a ` ` ´ o o un
n=1 n=1
phˆn ky.
a `
∞ n
2n − 1
*. Vı du : Xe t su. hˆi tu hay phˆn ky cua chuˆ i sau
´ . ´ . o . . a ` ’ ˜
o (−1)n
n=1
3n + 2
∞ ∞
2n − 1 n
a’ ´ ˜
Dung tiˆu chuˆ n Cauchy xe t chuˆ i
` e o |un | = , ta co
´
n=1 n=1
3n + 2
√ n 2n − 1 n 2n − 1 2
lim n
un = lim = lim = 1 , ta co lim
e ´ = |y1 |.

• Nhˆ n xe t
a. ´
´ ` e . ’ e ` `
o . . ´
Theo d .nh ly Abel va hˆ qua trˆn thı tˆn ta i mˆt sˆ r ≥ 0 sao cho:
¯i o o
˜
o o . .
. . ’
(1). Chuˆ i (5.2) hˆi tu ta i moi y thoa |y| < r.
˜
o a ` . . ’
(2). Chuˆ i (5.2) phˆn ky ta i moi y thoa |y| > r.



76
Sˆ r nay d u.o.c goi la ba n kı
´
o ` ¯ . . ` ´ o . ’ ˜ ´ ’
´nh hˆi tu cua chuˆ i (5.2). Khi ˆ y khoang
. o a
(−r, r) d u.o.c goi la khoang hˆi tu cua chuˆ i (5.2). Miˆn hˆi tu cua chuˆ i
¯ . . ` ’ o . ’
. o˜ `
e o . ’
. ˜
o
(5.2) la ho.p cua khoang hˆi tu vo. ca c d iˆ m hˆi tu cua (5.2) xe t ta i hai
` . ’ ’ o . ´i ´ ¯ e
. ’ o . ’
. ´ .
’ ´ ’ ’
d iˆ m mu t cua khoang hˆi tu .
¯e o .
.
´ `m ´
5.2. Quy t˘c tı ba n kı
a ´nh hˆi tu
o .
.
-.
• Dinh ly D’Alembert
´
an+1
´
Nˆ u lim
e ` ´ ´nh hˆi tu cua (5.2) d u.o.c xa c d inh nhu.
= D thı ba n kı o . ’
. ¯ . ´ ¯.
n→∞ an
sau:
(1). Nˆ u D = 0 thı r = +∞ (quy u.o.
´
e ` ´c)
´ 1
(2). Nˆ u 0 < D < +∞ thı r = D
e `
(3). Nˆ u D = +∞ thı r = 0 (quy u.o.
´
e ` ´c).

-.
• Dinh ly Cauchy
´
e ` ´ ´nh hˆi tu cua (5.2) d u.o.c xa c d inh nhu.
Nˆ u lim n |an | = C thı ba n kı
´ o . ’
. ¯ . ´ ¯.
n→∞
sau:
(1). Nˆ u C = 0 thı r = +∞ (quy u.o.
´
e ` ´c)
´ 1
(2). Nˆ u 0 < C < +∞ thı r =
e ` C
(3). Nˆ u C = +∞ thı r = 0 (quy u.o.
´
e ` ´c).

o o ´nh chˆ t cua chuˆ i luy thu.
´
5.3. Mˆt sˆ tı
. ´
a ’ ˜
o ˜ `a

• Tı ´
´nh chˆ t 1
a
Tˆ ng S(y) cua chuˆ i luy thu. (5.2) la mˆt ham sˆ liˆn tu c trong khoang
o’ ’ o ˜ `a
˜ ` o `
. ´
o e . ’
hˆi tu (−r, r).
o .
.
• Tı ´
´nh chˆ t 2
a
Ta co thˆ lˆ y tı phˆn tu. sˆ ha ng cua chuˆ i (5.2) trˆn d oa n [a, b]
’ ´
´ e a ´ch a `ng o . ´ ’ o˜ e ¯ .
` ’ o . ’ ˜ ˜ `
nao d´ n˘ m trong khoang hˆi tu cua chuˆ i. Co nghı a la:
` ¯o a . o ´

b b ∞
S(y)dy = an y n dy
a a n=0




77
b b b b
2
= (a0 ) dy + (a1 y) dy + a2 y dy + . . . + (an y n ) dy + . . .
a a a a

-a
D˘ c biˆ t ta co :
. e
. ´

y y y y y
2
S(t)dt = (a0 ) dt + (a1 t) dt + a2 t dt + . . . + (an tn ) dt + . . .
0 0 0 0 0
a1 a2 an n+1
= a0 y + y 2 + y 3 + . . . + y + . . . (5.3)
2 3 n+1
Chuˆ i (5.3) cu ng la chuˆ i luy thu. co khoang hˆi tu la (−r, r).
˜
o ˜ ` o ˜ `a ´
˜ ’ o . `
.
• Tı ´
´nh chˆ t 3
a
Ta co thˆ lˆ y d a o ham tu. sˆ ha ng cua chuˆ i (5.2) trong khoang hˆi
’ ´
´ e a ¯. ` ´
`ng o . ’ ˜
o ’ o
.
. ’ ˜ ˜ `
tu cua chuˆ i. Co nghı a la:
o ´

S(y) = an y n = a1 + 2.a2 .y + 3.a3 .y 2 . . . + n.an .y n−1 + . . . (5.4)
n=0

Chuˆ i (5.4) cu ng la chuˆ i luy thu. co khoang hˆi tu la (−r, r).
˜
o ˜ ` o ˜ `a ´
˜ ’ o . `
.
*. Vı du : Tı miˆn hˆi tu cua chuˆ i luy thu.
´ . `m `e o . ’
. o ˜ `a
˜

(x + 2)n
n=1
n.3n

Ta co :
´
|un+1 | n.3n 1
lim = lim n+1
= ⇒R=3
n→∞ |un | n→∞ (n + 1)3 3
. ˜
o ´ ’
Vˆ y chuˆ i co khoang hˆi tu la
a o . `
.

−3 < x + 2 < 3 ⇒ −5 < x < 1

Vo. x = −5 ta co chuˆ i
´i ´ ˜
o

(−1)n
hˆi tu
o .
.
n=1
n

78
Vo. x = 1 ta co chuˆ i
´i ´ ˜
o

1
phˆn ky
a `
n=1
n

a
. `
e o . ’
. ˜
Vˆ y miˆn hˆi tu cua chuˆ i la D = [−5, 1)
o `




79
` ˆ . .
BAI TA P CHU O NG III
.
´ ’ ´ ’ ˜
Bai 1: Tı sˆ ha ng tˆ ng qua t cua chuˆ i
` `m o . o o
1 3 5 7
1. + + + + . . .
2 4 6 8
1 4 7 10
2. + + + + ...
2 4 8 16
2 32 42
3. + 2 + 2 + . . .
3 7 11
2 22 23 24
4. + + + + ...
1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
3! 5! 7!
5. + + + ...
2.4 2.4.6 2.4.6.8
1 1.3 1.3.5
6. + + + ...
3 3.6 3.6.9
1 1 1
7. 1+ √ + √ + √ + ...
5 9 13
’ ’ ´
e ´ ’ ´ ˜ ´
Bai 2: Tı tˆ ng riˆng va tˆ ng (nˆ u co )cua ca c chuˆ i sˆ sau
` `m o e ` o o o
1 1 1
1. + + + ...
1.3 3.5 5.7
1 1 1 1
2. + + + ···+ ...
4.5 5.6 6.7 n(n + 1)
1 1 1
3. + + + ...
2.4.6 4.6.8 6.8.10
∞ ∞
3n2 + 3n + 1 1
4. 5. arctg
n=1
n3 (n + 1)3 n=0
n2 +n+1
∞ ∞
1 √ √ √
6. 7. ( n + 2 − 2 n + 1 + n)
n=1
4n2 − 1 n=1
∞ ∞
3 n
8. 9.
n=0
2n n=0
n2 + 1
∞ ∞
1 n+1
10. 2 + 3n + 2
11.
n=1
n n=4
n3 − 6n2 + 11n − 6


80
∞ ∞
3n − 5 1 + 2n
12. 13.
n=2
n(n2 − 1) n=0
3n
∞ ∞
2n − 3n 1
14. 15. (−1)n
n=1
5n n=2
n2 −1

Bai 3: Dung d iˆu kiˆ n cˆn dˆ chuˆ i sˆ hˆi tu , ha y chu. minh ca c chuˆ i
` ` ¯` e e ` ¯e
. a ’ o o o . ˜
˜ ´ . ´ng ´ ˜
o
´
sˆ sau phˆn ky:
o a `
∞ ∞
n−1
1. 2. sinn
n=0
3n + 2 n=0
∞ ∞
n1 n+1 n 1
3. (−1) 4. .
n=0
2 n=1
n e
∞ ∞
n 1
5. 6. √ √
n=2
ln2 n n=1
n− n−1

Bai 4: Dung ca c tiˆu chuˆ n so sa nh xe t su. hˆi tu cua ca c chuˆ i sau:
` ` ´ e a’ ´ ´ . o . ’ ´
. ˜
o
∞ ∞
n 1
1. 2.
n=1
100n2 + 2 n=1 n(n + 1)
∞ ∞ √ √
1+n 2 n+1− n−1
3. 4. 3
n=1
1 + n2 n=1 n4
∞ ∞
1 1 1
5. sin √ 6.
n=1
n n n=1
4.2n −3
∞ ∞
2n + 3 n 1 n+1
7. 8. √ ln
n=1
4n + 2n n=2
n n−1
1 1 1 1
9. + + + +...
11 12 13 14
2 + 1 22 + 1 23 + 1
10. + + +...
5 + 1 52 + 1 53 + 1
Bai 5: Dung tiˆu chuˆ n tı phˆn dˆ xe t su. hˆi tu cua ca c chuˆ i sau
` ` e ’ ’
a ´ch a ¯e ´ . o . ’ ´ . ˜
o
1 1 1
1. + + + ···+
9 ln 9 19 ln 19 29 ln 29
1 1 1
2. + + +...
2 ln 2 ln ln 2 3 ln 3 ln ln 3 4 ln 4 ln ln 4

81

1
3.
n=2
n ln n
∞ 1
ln n
4.
n=2
n2

Bai 5: Dung tiˆu chuˆ n D’alembert hay Cauchy, xe t su. hˆi tu cua ca c
` ` e a’ ´ . o . ’ ´
.
˜
chuˆ i sau
o ∞ ∞
n.lnn 1 n 1n
1. 2. (1 + )
n=0
n2 − 1 n=0
n 2
∞ ∞
3n + 1 2 n! 1
3. ( ) n 4. tg n
n=0
5n − 2 n=0
(2n)! 5
∞ ∞
nn n2 + 5
5. 6.
n=0
3n .n! n=1
2n
∞ ∞
(3n + 1)! 3n .(n!)2
7. 8.
n=1
8n .n2 n=1
(2n)!
∞ n2 ∞
1 1 7n .(n!)2
9. 1− 10.
n=1
5n n n=1
n2n
∞ ∞
n n 2n2 + 2n + 1 n
11. 12.
n=1
2n + 1 n=2
5n2 + 2n + 1

1.3.5. . . . (2n − 1)
13.
n=1
22n (n − 1)!

2 22 23 24
14. + 10 + 10 + 10 + . . .
1 2 3 4
10 102 103
15. + + +...
1! 2! 3!
Bai 6: Xe t su. hˆi tu cua ca c chuˆ i sau:
` ´ . o . ’ ´
. ˜
o
∞ ∞
n+1 n+1
1. √ 2. (−1)n 2
n=1
(−1)n n − n n=1
2n − 5
∞ ∞
n+1 n 2n − 1 n
3. (−1) ( )n 4. (−1)n ( )
n=1
3n − 1 n=1
3n + 2


82
∞ n2 ∞
n2 (−1)n−1
5. (−1) 6. √
n=1
n! n=1
2n − 1
∞ ∞
n n! n+1
7. (−1) 8. (−1)n ln
n=1
1.3.5....(2n − 1) n=1
n

x.lnn
9.
n=1
x2 + n

`m ` e o . ’ ˜
Bai 7: Tı miˆn hˆi tu cua chuˆ i ham:
` . o `
∞ n ∞
(x + 2) 1
1. n
2.
n=1
n.3 n=1
1 + xn
∞ ∞
xn (n − 1)
3. 4.
n=1
1 + x2n n=1
x.nx
∞ ∞
n1 cosnx
5. (x + n n ) 6.
n=1
2 .x n=1
2nx
∞ ∞
1 (−1)n+1
7. 8.
n=1
lnn x n=1
1 + n2x
∞ ∞
(−1)n .n x.lnn
9. 10. sinn ( )
n=1
xn + n2 n=1
x2 + n

Bai 8: Tı miˆn hˆi tu cua ca c chuˆ i lu y thu. sau:
` `m `
e o . ’ ´
. o ˜
˜ `a
∞ n ∞
x (x − 2)n
1. 2. )
n=1
n n=1
n2
∞ ∞
xn 2
3. ( n ) 4. 2n xn
n=1
2 + 3n n=1
∞ ∞
n! n (x − 4)n
5. x 6. √
n=1
nn n=1
n
∞ ∞
(−1)n−1 n n+1 n
7. x 8. ( ) (x − 2)2n
n=1
n.2n n=1
2n + 1

(x + 5)2n−1 x + 1 (x + 2)2 (x + 1)3
9. 10. + + + ..1.
n=1
n2 .4n 1! 3! 5!

83
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản