Một số bài tập thường gặp khi vẽ đồ thi-Nguyễn Phú Khánh

Chia sẻ: Trần Bá Trung5 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

0
119
lượt xem
52
download

Một số bài tập thường gặp khi vẽ đồ thi-Nguyễn Phú Khánh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Một số bài tập thường gặp khi vẽ đồ thi-Nguyễn Phú Khánh " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một số bài tập thường gặp khi vẽ đồ thi-Nguyễn Phú Khánh

  1. Nguy n Phú Khánh – ðà L t M T S BÀI TOÁN THƯ NG G P V ð TH Giao ñi m c a hai ñ th : ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Cho hàm s f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 có ñ th C và parabol P : g x = 2x 2 + 1 a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s . Tùy theo giá tr c a m , gi i và bi n lu n phương trình 2x 3 + 3x 2 − m = 0 ( ) b ) Ch ng t r ng trong s ti p tuy n c a ñ th C thì thi p tuy n t i ñi m u n I có h s góc nh nh t . Vi t phương trình ti p tuy n ñó. Ch ng t I là tâm ñ i x ng c a ñ th C . ( ) ( ) ( ) c) G i A, B là giao ñi m c a ñ th C và parabol P . Vi t phương trình ti p tuy n c a C và ( ) ( ) parabol P t i các giao ñi m c a chúng . ( ) d ) Xác ñ nh trên kho ng ñó C n m phía trên ho c phía dư i P . ( ) Hư ng d n :  1 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) c) A  − ;  , B 0;1 . Ti p tuy n C t i A, B là y = − x + , y = 1 .Ti p tuy n P t i A, B là  2 2 2 4 1 y = −2x + , y = 1 . 2  1 ( ) ( ) ( ) ( ) d ) Xét h x = f x − g x = 2x 3 + x 2 . L p b ng xét d u : h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C n m phía 2 ( )   1  ( ) ( ) ( ) ( ) dư i P . h x > 0, x ∈  − ; 0  , 0; +∞ ⇒ C n m phía trên P . ( )  2  2x − 1 2. Cho hàm s f x =( ) x +1 có ñ th C ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s . ( ) ( ) b ) V i giá tr nào c a m ñư ng th ng dm ñi qua ñi m A −2;2 và có h s góc m c t ñ th ñã cho • T i hai ñi m phân bi t?. • T i hai ñi m thu c hai nhánh c a ñ th ?. Hư ng d n : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b ) dm : y = mx + 2 m + 1 , dm ∩ C : g x = mx 2 + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1 * () ð (d ) ∩ (C ) t i hai ñi m phân bi t khi phương trình (*) có hi nghi m phân bi t khác −1 . Khi ñó ta m m ≠ 0   m < 0 có h : ∆ > 0 ⇔ g −1 ≠ 0 m > 12   ( )  ð (d ) ∩ (C ) t i hai ñi m thu c hai nhánh khi phương trình ( * ) có hai nghi m phân bi t x < −1 < x m 1 2 ⇔ mg ( −1) < 0 ⇔ m < 0 . Cách khác : ð (d ) ∩ (C ) t i hai ñi m thu c hai nhánh khi phương trình ( * ) có hai nghi m phân bi t m x < −1 < x . ð t x = t − 1 khi ñó phương trình ( * ) tr thành mt + mt + 3 = 0 có hai nghi m trái d u. 1 2 2
  2. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 3. Cho hàm s f x = x 3 − 3x + 1 ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s . Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th t i ñi m u n I c a nó . Ch ng minh r ng trong s ti p tuy n c a ñ th thì ti p tuy n t i I có h s góc nh nh t . ( ) b ) G i dm là ñư ng th ng ñi qua ñi m I có h s góc m . Tìm các giá tr m sao cho ñư ng th ng (d ) c t ñ m th ñã cho t i ba ñi m phân bi t. Hư ng d n : a ) y = −3x + 1 b) m > −3 ( ) 4. Cho hàm s f x = x 4 − m + 1 x 2 + m ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s v i m = 2 . Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m u n c a ñ th . b ) Tìm các giá tr c a m sao cho ñ th c a hàm s c t tr c hoành t i b n ñi m , t o thành ba ño n th ng có ñ dài b ng nhau . Hư ng d n : ( ) ( )( ) b ) x 4 − m + 1 x 2 + m = 0 ⇔ x 2 − 1 x 2 − m = 0 . ð ñ th c a hàm s c t tr c hoành t i 4 ñi m phân bi t , t o thành ba ño n th ng có ñ dài b ng nhau khi 0 < m ≠ 1 . • m > 1, m − 1 = 1 − −1 ⇔ m = 9 ( ) • 0 < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m = 1 9 ( ) Ngoài cách gi i trên các b n có th dùng c p s c ng ( l p 11) ñ gi i . 5. a ) V i giá tr nào c a m , ñư ng th ng y = m c t ñư ng cong y = x 4 − 2x 2 − 3 t i 4 ñi m phân bi t?. ( ) b ) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ñư ng th ng dm : y = x − m c t ñư ng cong −x 2 + 2x y= t i hai ñi m phân bi t. x −1 ax + b 6. Cho hàm s y = x −1 ( ) a ) Tìm a, b ñ ñ th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 và ti p tuy n c a ñ th t i A có h s góc b ng ( ) −3 . Kh o sát s bi n thiên và v ñ th C c a hàm s v i a, b v a tìm ñư c . () b ) Cho ñư ng th ng d có h s góc m và ñi qua ñi m B −2;2 . Tìm m ñ ( ) (d ) c t (C ) t i hai ñi m phân bi t M 1, M 2 . Các ñư ng th ng ñi qua M 1, M 2 song song v i các tr c to ñ t o thành hình ch nh t . Tính các c nh c a hình ch nh t ñó theo m , khi nào hình ch nh t này tr thành hình vuông. Hư ng d n :  ax + b  ( A 0; −1 ∈ y = ) x −1  a = 2 2x + 1 a)  −a − 1 ⇔ ⇒y = y ' = = −3 b = 1  x −1 ( ) 2  x −1  b) (d ) ñi qua ñi m B ( −2;2 ) có phương trình y = m (x + 2 ) + 2
  3. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 2x + 1 ð (d ) c t (C ) t i hai ñi m phân bi t M , M 1 2 x −1 ( khi phương trình m x + 2 + 2 = có hai nghi m ) khác 1 , hay phương trình mx 2 + mx − 2m − 3 = 0 có hai nghi m phân bi t khác 1 , t c là m ≠ 0 m ≠ 0   4   m < − ( ∆ = m + 4m 2m + 3 > 0 ⇔  m < − ⇔  2 ) 4 3 3 * () m12 + m1 − 2m − 3 ≠ 0  m>0   m > 0   ( ) ( ) Gi s M 1 x 1; y1 , M 2 x 2 ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có ñ dài là 9m 2 + 12m M 1P = x 2 − x 1 = , M 1Q = y2 − y1 = 9m 2 + 12m m Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vuông khi và ch khi 9m 2 + 12m M 1P = M 1Q ⇔ m = 9m 2 + 12m ⇔ m = 1 ⇔ m = 1 do * ( ( )) S ti p xúc c a hai ñư ng cong : x +2 1. Cho hàm s f x = ( ) 2x + 1 có ñ th G ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s . ( ) b ) Ch ng minh r ng ñư ng th ng dm : y = mx + m − 1 luôn ñi qua ñi m c ñ nh c a ñư ng cong (G ) khi m thay ñ i. c) Tìm các giá tr c a m sao cho ñư ng th ng ñã cho c t ñư ng cong G t i hai ñi m thu c cùng m t ( ) ( ) nhánh c a G . Hư ng d n: ( ) ( ) b ) M −1; −1 là ñi m c ñ nh mà dm ñi qua khi m bi n thiên và M −1; −1 ∈ G . ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) c) Cách 1 : dm ∩ G : g x = 2mx 2 + 3 m − 1 x + m − 3 = 0, x ≠ − ( ) 2 () * .ð (d ) ∩ (G ) t i hai m ∆ > 0  ñi m thu c cùng m t nhánh n u và ch n u   1  ⇔ −3 ≠ m < 0 g  − 2  > 0    x +2 1 1 ( ) ( ) Cách 2 : dm ∩ G : m x + 1 − 1 = 2x + 1 ( ) , x ≠ − ⇔ x + 1 2mx + m − 3 = 0, x ≠ − 2 2 ( )( )  1 ⇔ x = −1 < −  2 ( ) k x = 2mx + m − 3 = 0 
  4. Nguy n Phú Khánh – ðà L t 1 ( ) ( ) ( ) Hai nhánh c a G n m v hai bên c a ti m c n ñ ng x = − . ðư ng th ng dm ∩ G t i hai ñi m 2 1 ( ) thu c cùng m t nhánh c a ñ th khi phương trình k x = 2mx + m − 3 = 0 có nghi m x < − và 2 m ≠ 0 m ≠ 0    −3 < m < 0  3−m 1  3 x ≠ −1 , khi ñó ta có x =
  5. Nguy n Phú Khánh – ðà L t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = 5 , ch ng t t i A −1;2 các ñ th c a ba ( ) hàm s có ti p tuy n chung , nói khác hơn là các ñ th c a ba hàm s ti p xúc nhau t i ñi m A −1;2 . ( ) 3 ( ) d ) O 0; 0 , y = 2 x 4. 2x 2 − x + 1 a ) Cho hàm s f x = ( ) x −1 ( ) có ñ th G . G i A, B là giao ñi m c a ñ th G và ( ) ( ) dm : y = m − x . Tìm t p h p trung ñi m M c a ño n th ng AB khi m bi n thiên. Hư ng d n : a ) m < 4 − 2 6 ho c m > 4 + 2 6 . Qu tích trung ñi m M là 1 ph n ñư ng th ng y = 5x − 2 gi i 6 6 h nb i 1− ≤ x ≤1+ 3 3 BÀI T P T LUY N. ( ) ( ) 1. Cho hàm s f x = x 3 − 2m x + 1 + 1 có ñ th là C m , m là tham s . ( ) a ) V i giá tr nào c a m , ñ th c a hàm s ñã cho c t tr c hoành t i ba ñi m phân bi t ?. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s v i m = 2 . Hư ng d n : Hoành ñ giao ñi m c a ñ th và tr c hoành là nghi m phương trình x = −1 ( ) () ( )( x 3 − 2m x + 1 + 1 = 0 1 ⇔ x + 1 x 2 − x + 1 − 2m = 0 ⇔  ) ( ) () g x = x − x + 1 − 2m = 0 2 2  ð th hàm s ñã cho c t tr c hoành t i ba ñi m phân bi t khi và ch khi phương trình 1 có ba nghi m () () phân bi t hay phương trình 2 có hai nghi m phân bi t khác −1 , t c là ∆ = 8m − 3 > 0  3 3  ⇔ −2 b2 ) x ≤ −1 b3 ) − 1 ≤ x < 0 ( ) ( ) 2. Tìm giao ñi m c a ñ th C c a hàm s f x = x 3 + 3x 2 − 3x − 2 và parabol (P ) : g ( x ) = x 2 ( ) ( ) − 4x + 2 . Xét v trí tương ñ i c a ñư ng cong C và parabol P ( t c là xác ñ nh ( ) m i kho ng trên ñó C n m phía trên ho c dư i P ). ( ) 3. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f ( x ) = 4x 3 − 3x + 3 . V i giá tr nào c a m , phương trình 4x 3 − 3x − 2m + 3 = 0 có nghi m duy nh t ?. ( ) ( ) 4. Cho hàm s f x = x 3 − 3mx 2 + 3 2m − 1 x + 1 có ñ th là C m , m là tham s . ( )
  6. Nguy n Phú Khánh – ðà L t ( ) a ) Ch ng t r ng v i m i giá tr c a m , ñ th C m c a hàm s ñã cho và ñư ng th ng (d ) y = 2mx − 4m + 3 luôn có m m t ñi m chung c ñ nh . ( ) b ) Tìm các giá tr c a m sao cho ñư ng th ng dm và ñư ng cong C m c t nhau ( ) b1 ) T i ba ñi m phân bi t b2 ) T i ba ñi m phân bi t có hoành ñ dương . c) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s khi m = 1 Hư ng d n : a) (d ) y = 2mx − 4m + 3 luôn ñi qua ñi m c m ( ) () ( ) ñ nh A 2; 3 và f 2 = 3 ⇒ A ∈ C m .ð gi i quy t d ng này h c sinh xem l i lý thuy t hàm s sách ñ i s 7 và ñ i s 10 . m < 0 ( ) ( ) ( b ) dm ∩ C m : x − 2 )  ( ) x 2 − 3m − 2 x + 1 − 2m  = 0 ⇒ b )  4  1 
  7. Nguy n Phú Khánh – ðà L t mx − 1 ( 12. Cho hàm s f x ; m = ) x −m ( ) , m ± 1 có ñ th là Gm , m là tham s . ( ) a ) Ch ng minh r ng v i m i m ± 1 , ñư ng cong Gm luôn ñi qua hai ñi m c ñ nh A, B . b ) G i M là giao ñi m c a hai ñư ng ti m c n c a (G ) . Tìm t p h m p c a các ñi m M khi m thay ñ i. 13. x +4 a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x +2 H . ( ) ( ) ( ) b ) Ch ng minh r ng parabol P : y = x 2 + 2 ti p xúc v i ñư ng cong H . Xác ñ nh ti p ñi m và vi t ( ) ( ) phương trình ti p tuy n chung c a P và H t i ñi m ñó. c) Xét v trí tương ñ i cu (P ) và (H ) ( t c là xác ñ nh m ( ) i kho ng trên ñó P n m phía trên hay ( ) phía dư i H ?. 14. x −2 a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x −1 H . ( ) ( ) b ) Ch ng minh r ng v i m i m ≠ 0 , ñư ng th ng y = mx − 3m c t ñư ng cong H t i hai ñi m phân bi t , trong ñó ít nh t m t giao ñi m có hoành ñ l n hơn 1. x 2 − 3x + 1 15. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x . V i giá tr nào c a m , ñ th c a hàm s c t ñư ng th ng y = m t i hai ñi m phâ bi t A, B . Tìm t p h p trung ñi m M c a ño n th ng AB khi m thay ñ i . x 2 − 2x − 3 16. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x −2 .Tìm các giá tr c a m sao cho ñư ng th ng c t ñư ng cong t i hai ñi m phân bi t A, B . Tìm t p h p trung ñi m M c a ño n th ng AB khi m thay ñ i . 2x 2 + 3x + 3 17. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x +1 ( ) C .Tùy theo giá tr c a m , () ( ) bi n lu n s giao ñi m c a d : y = mx + m + 3 và C . V i giá tr nào c a m , ñư ng th ng (d ) : y = mx + m + 3 c t ñư ( ) ng cong C t i hai ñi m thu c hai nhánh c a C . ( ) x2 + x + 1 18. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s f x = ( ) x +1 . V i giá tr nào c a m , phương x2 + x + 1 trình = m có 4 nghi m?. x +1 x2 + m 19. Cho hàm s f x = ( )x −1 , m ≠ −1 C m ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s khi m = 1 .
  8. Nguy n Phú Khánh – ðà L t b ) V i giá tr nào c a m , ñư ng th ng y = −x + 7 ti p xúc v i ñư ng cong C m . ( ) c) Khi m = 2 . V i giá tr nào c a a ,thì phương trình x 2 − 2 x = a a − 1 có 4 nghi m phân bi t?. ( ) x − 4m 1 20. Cho hàm s f x = ( ) ,m ≠ ± ( ) Cm ( 2 mx − 1 ) 2 a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s khi m = 1 . 1 b ) Ch ng minh r ng v i m i m ≠ ± , các ñư ng cong c a C m ñ u ñi qua hai ñi m c ñ nh A, B . 2 ( ) Ch ng minh tích các h s góc t i A, B là h ng s khi m thay ñ i . 1 ( ) ( Hư ng d n : A −2;1 , B 2; −1 ) ( ) () f ' −2 .f ' 2 = 4 . 21. Cho hàm s (P ) : f ( x ) = x 2 ( ) ( ) x11 −x +1 , H : g x = + a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ( P ) , ( H ) . ( )( ) b ) Tìm giao ñi m ñư ng cong P , H . Ch ng minh r ng hai ñư ng cong ñó ti p xúc nhau t i giao ( ) ñi m c a chúng . Xác ñ nh các kho ng trên ñó P n m phía trên hay phía dư i H ?. ( ) 1 ( ) 22. Cho hàm s f x = x + x có ñ th là C ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (C ) . b ) Ti p tuy n c a ñư ng cong (C ) t i ñi m M ( x ; f ( x ) ) c t ti m c n ñ 0 0 ng và ti m c n xiên t i hai ñi m A, B . Ch ng minh r ng M là trung ñi m AB và tam giác OAB có di n tích không ph thu c vào v trí ñi m M trên ñư ng cong C . ( ) Hư ng d n :   () b ) Ti p tuy n t c a ñư ng cong t i ñi m M x 0 ; f x 0 ( ( ) ) : y =  1 − x1  (x − x ) + x  2 0 0 + 1 x0  0     (t ) ∩ TCD = A  0; x2  , (t ) ∩ TCX = {B (2x ;2x )} ⇒ M , A, B    0 0 th ng hàng .    0   1 S ∆OAB = 2 ( OA OB = 2 dvdt , x 0 ≠ 0 ) x +3 23. Cho hàm s f x = ( ) x +1 có ñ th là C ( ) a ) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (C ) . Vi t phương trình ti p tuy n t i các ñi m thu c ñ th c a hàm s (C ) mà chúng có to ñ nguyên dương . b ) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a tham s m , ñư ng th ng y = 2x + m luôn c t C t i hai ( ) ñi m phân bi t M , N . Xác ñ nh m ñ ñ dài MN là nh nh t .
  9. Nguy n Phú Khánh – ðà L t ( ) c) Ti p tuy n t i m t ñi m S b t kỳ c a C c t hai ti m c n c a C t i P và Q . Ch ng minh S là( ) trung ñi m c a PQ . Hư ng d n : b ) Phương trình hoành ñ giao ñi m x +3  2 ( 2x + m + 1 x + m − 3 = 0 = 2x + m ⇔  ) x +1 x ≠ −1  ( ) (C ) t i hai 2 Có ∆ ' = m − 3 + 16 > 0, ∀m. Do ñó ñư ng th ng y = 2x + m luôn c t ñ th c a hàm s ñi m phân bi t M , N . M ∈ y = 2x + m ⇒ M x ; y = 2x + m  1 1 1 ( ) ⇒ MN 2 = 5  x 1 + x 2 ( ) 2 5 − 4x 1x 2  = ... =  m − 3 ( ) 2 + 16  ≥ 20    ( N ∈ y = 2x + m ⇒ N x 2 ; y2 = 2x 2 + m )    4   ( ) 2 hay MN ≥ 2 5 . D u ñ ng th c x y ra khi m − 3 =0⇒m =3 V y m = 3, MN( ) min =2 5 2 ( ) ( ) () c) Gi s S x 0 ; y 0 ∈ C . Ti p tuy n t t i S : y = − (x − x ) + 1 + x 2+ 1 (x ) 2 0 0 +1 0 () Giao ñi m c a t và ti m c n ngang là P 2x 0 + 1;1 ( )  4  () Giao ñi m c a t và ti m c n ñ ng là Q  −1;1 +    x0 + 1  
Đồng bộ tài khoản