Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Chia sẻ: Chu Ba Nam Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
404
lượt xem
131
download

Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c = 0 tại 3 điểm phân biệt. Chứng minh rằng xo thuộc R sao cho f'(xo) = 0 và f'(x) đổi dấu qua x = xo

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

  1. Tr­êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c Mét sè bµi to¸n ®­îc gi¶I b»ng ®Þnh lÝ lagrange Bµi to¸n 1: Cho f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊt kú ®o¹n nµo cña R. BiÕt r»ng ®å thÞ hµm sè y = f(x) c¾t ®­êng th¼ng ax + by + c = 0 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. CMR tån t¹i x0 Î R sao cho f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x = x0. LG: V× ®­êng th¼ng ax + by + c =0 c¾t ®å thÞ y = f(x) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt nªn b ¹ 0. Ta ®Æt: ax + c g ( x) = f ( x) + th× ph­¬ng tr×nh g(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. b Do f”(x) = g”(x) vµ f(x) cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊt kú mét kho¶ng nµo cña R nªn g(x) còng cã tÝnh chÊt ®ã. Theo ®Þnh lÝ Rolle th× tån t¹i 2 nghiÖm x1 , x2 víi x1< x2, cña ph­¬ng tr×nh g’(x) = 0 sao cho g’(x) ¹ 0 víi "x Î ( x1 ; x2 ) vµ $x0 Î ( x1 ; x2 ) sao cho g”(x0) = 0. Ta thÊy g”(x) ®æi dÊu qua x0 , v× nÕu tr¸i l¹i th× g”(x) ³ 0 hoÆc g”(x) £ 0 trong [ x1 ; x2 ] ; tõ ®ã dÉn ®Õn g’(x) hoÆc ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn trong [ x1 ; x2 ] , ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra. Suy ra f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x0 (®pcm). Bµi to¸n 2: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi v« h¹n trªn R vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a/. $M > 0 : f ( n ) ( x) £ M , "x Î R, "n Î N . æ1ö b/. f ç ÷ = 0, "n Î N * . ènø CMR, f ( x ) º 0, "x Î R .. LG: ¸p dông ®Þnh lÝ Rolle trªn c¸c ®o¹n [ a1 ; a2 ] , [ a2 ; a3 ] ,..., ta dÔ chøng minh ®­îc kh¼ng ®Þnh sau: Gi¶ sö f(x) cã ®¹o hµm trªn R. Gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (an) n ³ 1 héi tô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(an) = 0 "n Î N . Khi ®ã tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (a’n) n ³ 1 héi tô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f’(a’n) = 0 "n Î N . 1 Sö dông kÕt qu¶ nµy cho hµm f(x) víi an = , n Î N , sau ®ã ¸p dông tiÕp víi c¸c n hµm : f’(x), f”(x),… ta ®­îc: æ1ö f (0) = lim f ç ÷ = 0 x ®¥ è nø f '(0) = lim f ' ( a 'n ) = 0 x ®¥ f ''(0) = lim f (a ''n ) = 0 x ®¥ …………………….. Nh­ vËy f ( n ) (0) = 0, "n Î N . Khai triÓn Taylor cña hµm f(x) t¹i x = 0 ta ®­îc f ( x ) º 0, "x Î R (®pcm). Bµi to¸n 3: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: f (0) = 0, f (1) = 1;0 £ f ( x ) £ 1, "x Î R .
  2. Tr­êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c CMR, tån t¹i a, b Î ( 0;1) , a ¹ b sao cho f’(a).f’(b) = 1.(OLYMPIC New – York -76) LG: XÐt hµm sè g(x) = f(x) + x – 1. Ta thÊy g(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] , do g(0) = -1, g(1) = 1 nªn $c Î ( 0;1) sao cho g(c) = 0. Suy ra f(c) + c -1 = 0 hay f(c) = 1 – c. Theo ®Þnh lÝ Lagrange cho f(x) trªn c¸c ®o¹n [ 0; c ] , [c;1] ta cã: f (c ) - f (0) = f '(a ) víi a Î ( 0; c ) c-0 f (1) - f (c) vµ = f '(b) víi b Î ( c;1) 1- c f (c) 1 - f (c ) (1 - c)c tõ ®©y ta cã: f '(a ). f '(b) = . = = 1 (®pcm). c 1- c c (1 - c ) Bµi to¸n 4: Cho hµm sè g(x) liªn tôc trªn [ 0,1] vµ kh¶ vi trong (0;1) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn g(0) = g(1) = 0. CMR, tån t¹i c Î ( 0;1) sao cho g’(c) = g(c). LG: XÐt hµm sè f ( x ) = e - x g ( x) ta cã f '( x) = [ g '( x) - g ( x)] e - x Theo ®Þnh lÝ Rolle ®èi víi hµm f(x) $c Î ( 0;1) sao cho f '(c ) = 0 hay [ g '(c ) - g (c )] e - c = 0 hay g’(c) = g(c). Bµi to¸n 5: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ a; b ] vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1 a/. f (a) = ( a - b) 2 1 b/. f (b) = (b - a) 2 æ a+b ö c/. f ç ÷¹0 è 2 ø CMR, tån t¹i c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau c1 , c2 , c3 Î ( a; b ) sao cho f '(c1 ) f '(c2 ) f '(c3 ) = 1 LG: Theo ®Þnh lÝ Lagrange $c1 Î (a; b) sao cho f (b) - f (a ) f '(c1 ) = b-a a+b xÐt hµm sè h(x) = f ( x) + x - khi ®ã h(a).h(b) = - (a-b)2 < 0. 2 a+b Do ®ã $x0 Î ( a; b ) sao cho h(x0) = 0, hay f ( x0 ) = - x0 . Theo ®Þnh lÝ 2 Lagrange, f ( x0 ) - f (a) b - x0 $c2 Î ( a; x0 ) , c2 ¹ c1 sao cho f '(c2 ) = = x0 - a x0 - a
  3. Tr­êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c t­¬ng tù nh­ vËy, $c3 Î ( x0 ; b ) , c1 ¹ c3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f ( b ) - f ( x0 ) x0 - a f '(c3 ) = = . Râ rµng c1, c2 , c3 ph©n biÖt vµ b - x0 b - x0 f '(c1 ) f '(c2 ) f '(c3 ) = 1 . Bµi to¸n 6: Ch o f(x) lµ hµm cã ®¹o hµm cÊp 2 liªn tôc trªn R vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) = a. CMR, max { f ''( x )} ³ 8(a - b) víi b = min { f ( x)} xÎ[0,1] xÎ[0,1] Cho kÕt qu¶ më réng víi [ a; b ] Ì R . Bµi to¸n 7: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt x1 , x2 ,..., xn . n P ''( xi ) CMR, å P '( x ) = 0 . i =1 i Bµi to¸n 8: Cho x1 , x2 ,..., xn > 0 , ta ®Æt n n n s1 = å xi ; s2 = å xi x j ; s3 = å xi x j xk ;...; sn = x1.x2 ...xn i =1 1£ i < j £ n 1£ i < j < k £ n s1 s s s Si lµ c¸c hµm c¬ b¶n cña xi. CMR: 1 ³ 2 ³ 3 3 ³ ... ³ n n . ( THTT ) 2 3 n cn cn cn cn Bµi to¸n 9: Cho P(x) lµ ®a thøc bËc n cã n nghiÖm thùc ph©n biÖt, c lµ sè d­¬ng vµ tËp tÊt P '( x ) c¶ c¸c sè x ®Ó > c , lµ hîp cña mét sè h÷u h¹n kho¶ng kh«ng giao nhau. CMR, tæng P ( x) n ®é dµi c¸c kho¶ng Êy b»ng . c Bµi to¸n 10: Cho a, b, c, r, s tho¶ m·n a > b > c >0; r > s > 0. CMR, a r .b s + b r .c s + c r .a s > a s .b r + b s .c r + c s .a r r LG: Do a > b > c >0 suy ra a s > b s > c s víi s > 0, vµ tõ r > s > 0 suy ra > 1 . s r XÐt hµm sè f (t ) = t víi t > 0 dÔ thÊy f’’(t) > 0 víi mäi t > 0. Suy ra f(t) lµ hµm t¨ng s nghiªm ngÆt trªn ( 0, +¥ ) . MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ Lagrange $m Î b s , a s ; n Î c s , a s sao ( ) ( ) cho: f '(m) = ( ) f as - f bs ( )=a - br ; f '(n) = r f bs - f c s br - c r ( ) ( ) = s s do m > n vµ f’(t) t¨ng a s - bs a s - bs bs - c s b -c a -b r r b - cr r nghiªm ngÆt trªn ( 0, +¥ ) Þ f '(m) > f '(n) Û s > s s a - bs b - c suy ra a r .b s + b r .c s + c r .a s > a s .b r + b s .c r + c s .a r ( ®pcm ). Bµi to¸n 11: ( §Ò thi chän HSG tØnh B¾c Ninh 2005 – 2006 ): Cho hµm sè g(x) cã ®¹o hµm g’(x) lµ hµm liªn tôc trªn [ a, b ] . §Æt M = max g '( x ) vµ gi¶ sö g(a) = g(b) = 0 a £ x £b
  4. Tr­êng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c a. CMR, víi "x Î ( a, b ) ta cã: g ( x ) £ M ( x - a); g ( x) £ M ( b - x ) b 4 (b - a ) ò b. CMR, M³ 2 g ( x) dx a HD: ë ®©y t«i chØ xin tr×nh bµy c©u (a), cßn c©u (b) ®­îc suy ra trùc tiÕp tõ c©u (a). "x Î [ a, b ] ta cã g(x) = g(x) – g(a) = g’(c)(x – a) víi c Î ( a, x ) . Tõ ®ã suy ra, g ( x ) = g '(c) ( x - a ) £ M ( x - a ) . Hoµn toµn t­¬ng tù ta còng cã g ( x ) £ M ( b - x ) . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản