Một số bài toán tính tổng của chuỗi

Chia sẻ: 743459

1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { } n u . Tổng vô hạn 1 2 1 ... ... n n n u u u u ¥ = + + + + =å (1) được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số n u được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) 1 2 ... n n S = u + u + + u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1).

Bạn đang xem 20 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Một số bài toán tính tổng của chuỗi

Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:
1.1. Các khái niệm cơ bản:
1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { un } . Tổng vô hạn

u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un (1)
n =1

được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số un được gọi là số hạng tổng quát thứ n của
(1).
Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó.
Tổng của n số hạng đầu tiên của (1)
Sn = u1 + u2 + ... + un
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1).
Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số { Sn } , và gọi là dãy tổng riêng.
Định nghĩa: Nếu tồn tại lim S n = S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có
n→∞


tổng là S, ký hiệu S = ∑ un . Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ.
n =1

1.1.2 Định nghĩa 2:
Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là
số thực rn = S − Sn .
Ta có
lnim rn = lim( S − S n ) = S − S = 0 .
→∞ n →∞


1.1.3 Định nghĩa 3:
∞ ∞

∑u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∑ un hội tụ (suy ra chuỗi
- Chuỗi n
n =1 n =1





∑u cũng hội tụ).
n
n =1

∞ ∞ ∞

- Chuỗi ∑ un được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi ∑ un hội tụ nhưng chuỗi ∑ un
n =1 n =1 n =1

phân kỳ.

Trang 1
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1.1.4 Định nghĩa 4:


∑u được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n .
Chuỗi n
n =1

1.1.5 Định nghĩa 5:


Chuỗi số có dạng ∑ ( −1)
n −1
un , un > 0, ∀n (3) được gọi là chuỗi đan dấu.
n =1

1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:
Về hình thức, kí hiệu


∑u = u1 + u2 + ... + un + ...
n
n =1


giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là m ột
tổng vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số

{ u } . Mặt khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên
n


hệ như thế nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều
giữa chuỗi số và dãy số.
Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau
S1 , S2 ,..., Sn ,... (2)
trong đó
n
Sn = ∑ uk = u1 + u2 + ... + un .
k =1


Ngược lại, cho trước dãy số { Sn } . Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương
ứng:

u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un
n =1


ở đó
u1 = S1 ,
u2 = S 2 − S1 ,


Trang 2
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
................
un = Sn − Sn−1 ,
.................
nhận dãy { Sn } làm dãy tổng riêng.
Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương

với sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng { Sn } .
Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn
toàn có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy
(2).


hội tụ là lim un = 0 và
∑u
Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi n n →∞
n =1





∑u
nếu un không dần tới số không khi n → ∞ thì chuỗi phân kì, khi đó ta nói
n
n =1


chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần.
1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu:
1.3.1 Chuỗi số dương:
1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh:
∞ ∞

∑u ∑v (2). Giả sử un ≤ vn , ∀n . Khi đó
Cho hai chuỗi dương (1) và
n n
n =1 n =1


+ Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ.
+ Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì.
un
= k ≠ 0, k ≠ ∞ thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc
Đặc biệt, nếu lim
vn
n →∞



cùng phân kì.
1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert:


∑u
Cho chuỗi dương (1) . Khi đó
n
n =1




Trang 3
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
un +1
< 1 thì chuỗi (1) hội tụ.
+ Nếu lim
un
n →∞



un +1
> 1 thì chuỗi (1) phân kì.
+ Nếu lim
un
n →∞



un+1
Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn u = lim , khi đó nếu u < 1 thì chuỗi (1)
un
n →∞



hội tụ, nếu u > 1 thì chuỗi (1) phân kì.
1.3.2 Chuỗi đan dấu:


∑ (−1) un , un > 0, ∀n . Nếu dãy số
n −1
Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu
n =1



{u } đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.
n


2. Các tính chất của chuỗi số:
Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn
vì trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này,
chúng ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và
tổng hữu hạn.
2.1 Tính chất kết hợp:


và { mk } là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt
∑u
Cho chuỗi n
n =1


v1 = u1 + u2 + ... + um , v2 = um +1 + um + 2 + ... + um ,...
1 1 1 2


∞ ∞

∑u ∑v
Khi đó nếu chuỗi n hội tụ thì chuỗi cũng hội tụ và hai chuỗi có
n
n =1 n =1


tổng bằng nhau.
Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược
lại thì không đúng.
Ví dụ: Chuỗi
(1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...


Trang 4
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi
1-1+1-1+...+1-1+...
là chuỗi phân kì.
2.2 Tính chất giao hoán:
2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet)
∞ ∞

∑u ∑v
Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi thành lập
n n
n =1 n =1





∑u
bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng un của chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối và
n
n =1


có tổng bằng S.
2.2.2 Định lí 2:(Riemann)


∑u
Nếu chuỗi số bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có
n
n =1


thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước.
Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt
đối nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ.
3. Các phép toán về chuỗi:
3.1 Cộng các chuỗi:
3.1.1 Định lí 3:
∞ ∞

∑u ∑v
Nếu các chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng

n n
n =1 n =1



∞ ∞

∑ (u ± vn ) , ∑ kun cũng hội tụ và
số thì các chuỗi n
n =1 n =1

∞ ∞ ∞

1. ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑v =U ± V;
n
n =1 n =1 n =1

∞ ∞

2. ∑ kun =k ∑ un =kU.
n =1 n =1




Trang 5
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
∞ ∞ ∞

Chú ý: 1. Nếu chuỗi ∑ un phân kì và chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ (u ± vn ) phân
n
n =1 n =1 n =1


kì.
∞ ∞

2. Nếu chuỗi ∑ un phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi ∑ ku phân kì.
n
n =1 n =1

∞ ∞ ∞

∑ un và ∑ vn phân kì thì chuỗi ∑ (u ± vn ) có thể hội
3. Nếu cả hai chuỗi n
n =1 n =1 n =1


tụ hoặc phân kì.
3.2 Nhân các chuỗi:
Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ
từng số hạng. Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng
số hạng của hai chuỗi hội tụ hay không?
∞ ∞ ∞

∑ un và ∑ vn , tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi ∑w
Cho hai chuỗi , trong
n
n =0 n =0 n =0


đó
w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 , ∀n .
3.2.1 Định lí 4:(Mertens)
∞ ∞

∑u ∑v
Giả sử các chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U và V. Khi

n n
n =0 n =0





∑w
đó, nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của
n
n =0


chúng hội tụ và


∑w = UV .
n
n =0


Chứng minh:




Trang 6
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số


∑w hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu U n ,Vn , Wn lần lượt là các tổng
Giả sử chuỗi n
n =0



∞ ∞ ∞

∑u , ∑v , ∑ w
riêng thứ n của các chuỗi .
n n n
n =0 n =0 n =0


Khi đó
Wn = u0Vn + u1Vn−1 + ... + unV0

= V nên V = Vn − rn với lim rn = 0 .
∑v
Vì n n →∞
n =0


Vậy Wn = VU n + (u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) .

Bây giờ ta chứng minh lim(u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) = 0 .
n →∞


Thật vậy, lấy ε > 0 bé tùy ý và m, M như sau:

rn ≤ m với n ≥ 0 , M = ∑ un .
n =0


ε
Khi đó, ∃k , l ∈ ¥ sao cho với n ≥ k thì rn ≤ và với n ≥ l + 1 thì
2M
ε
ul +1 + ... + un < .
2m
Như vậy, với n ≥ l + k thì ta có
u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ≤ ( u0 rn + u1 rn−1 + ... + ul rn −l ) + ( ul +1 rn −l +1 + ... + un r0 )

ε
≤ ( u0 + u1 + ... + ul ) + ( ul +1 + ... + un ).m
2M
ε ε
.m = ε .
< M. +
2 M 2m
lim(u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) = 0 .
Do đó n →∞

W
Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.
Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối
thì tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối.
Đây là kết quả của định lí Cauchy.


Trang 7
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
3.2.2 Định lí 5:(Cauchy)
∞ ∞

∑u ∑v
Nếu hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì

n n
n =0 n =0


chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng ui vk (i, k = 1,2,...) sắp xếp theo một thứ
tự tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV.
Chú ý:
1. Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì.

1
∞ ∞

∑ (−1) ∑w
n −1
Ví dụ: Xét chuỗi là chuỗi bán hội tụ. Gọi là tích Cauchy của
n
n
n =1 n =1




1


∑ (−1) n −1
với chính nó.
n
n =1


Khi đó
1 1
1
w n = ( −1) n−1  + ... + + ... + ÷
k. n − k +1
 1. n n .1 
Ta có
1 1 1 1
1 1
wn =  + ... + + ... + ÷ > n + n + ... + n .
k. n − k +1
n n  1 44 2 4 4 3
n



∑w
Suy ra w n > 1 tức là phân kì (do vi phạm điều kiện cần).
n
n =1



∑w
Vậy chuỗi phân kì.
n
n =1

W
2. Tích Cauchy của một chuỗi dương hội tụ và chuỗi dương phân kì thì phân kì.
Chứng minh:




Trang 8
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
∞ ∞

Giả sử ∑ un và ∑v lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi
n
n =0 n =0





∑w là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên.
n
n =0


Khi đó
w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 > u0vn .
∞ ∞

Vì chuỗi ∑ vn phân kì nên chuỗi tích Cauchy ∑w cũng phân kì.
n
n =0 n =0


W
Vậy ta có điều phải chứng minh.
3. Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì.
Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau
n −1
n
3 3  1
∞ ∞
1 − ∑ ÷ 1 + ∑  ÷  2n + n+1 ÷

n =1  2  n =1  2   2


∑w
Giả sử là tích Cauchy của hai chuỗi trên.
n
n =0


Khi đó
n −1
w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 = u0vn + v0un + ∑ uk vn − k
k =1

n −1
n
3 3 1
trong đó u0 = v0 = 1, un = −  ÷ , vn =  ÷ (2 n + n+1 ) .
2 2 2
Do đó
n −1 n −1
n
3  3  n −1  3   1
1
w n =  ÷ (2n + n +1 ) −  ÷ − ∑  ÷  2 n− k + n− k +1 ÷
2  2  k =1  2   
2 2
n
 3  2 1 
n +1
2 n −1 
1
− 1 − ∑  2n−k + n −k +1 ÷
= ÷  +
 2   3 3.2 3 k =1  
n
2
n
3 1
= ÷ . n
2 2



Trang 9
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
n
3
= ÷
4
n
3

mà chuỗi ∑  ÷ là chuỗi hội tụ.
n =1  4 

3.2.3 Định lí 6:(Abel)
∞ ∞

∑ un và ∑v
Nếu hai chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U,V và nếu tích
n
n =0 n =0

Cauchy của hai chuỗi trên hội tụ về W thì W = UV .

4. Một số kiến thức cần lưu ý:
4.1 Kiến thức 1:
Nếu zn = xn + iyn là dãy số phức và x = lim xn , y = lnim n yn thì lnim zn = x + iy .
n →∞ →∞ →∞

4.2 Kiến thức 2:
a − b , với
a, b ∈ ¡
arctan a − arctan b = arctan
1 + ab
Chứng minh:
Ta đặt x = arctan a, y = arctan b .
tan x − tan y
Từ công thức tan ( x − y ) =
1 + tan x tan y
a −b
= .
1 + ab
W
Suy ra điều phải chứng minh.
4.3 Kiến thức 3:
π
cot x = 2cot(2 x) + tan x, x ≠ k , k ∈ ¢ .
2
Chứng minh:
π π π
2 tan x
Từ công thức tan 2 x = , x ≠ + k , x ≠ + kπ , k ∈ Z ta suy ra
1 − tan x
2
4 2 2
tan 2 x − tan 2 x tan 2 x = 2 tan x .
π
Chia hai vế của đẳng thức cho tan 2 x tan x với x ≠ k , k ∈ Z ta được
2
cot x = 2cot(2 x) + tan x .
W
Đó là điều cần chứng minh.



Trang 10
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Trên đây là một số kiến thức cơ sở về chuỗi số bao gồm các định nghĩa,
các tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ
năng biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau.




CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI
BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng
của chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy. Bài toán tính
tổng của chuỗi có thể chia ra các dạng như sau:
2.1. Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng
riêng của chúng:
* Để xác định số hạng tổng quát của chuỗi số khi biết trước dãy tổng
riêng ta lấy tổng riêng thứ n trừ đi tổng riêng thứ n-1.


∑u
Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi và tổng của nó nếu biết trước
n
n =1

dãy tổng riêng { Sn } qua các bài toán sau:

n( n + 2)
Bài toán 2.1.1: Sn = 2.
( n + 1)
Giải:
Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1


Trang 11
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
n( n + 2) (n − 1)(n + 1)
= 2− .
( n + 1) n2

2n + 1
Quy đồng mẫu ta được un = .
n (n + 1) 2
2



n(n + 2)
Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim 2 = 1.
( n + 1)
n →∞ n →∞



1
Bài toán 2.1.2: Sn = 1 − .
n +1
Giải:
n +1 −1
Ta có Sn = .
n +1
Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1

n +1 −1 n −1
= − .
n +1 n
1
Quy đồng mẫu ta được un =
( n + n + 1) n(n + 1)


n +1 −1 =
Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim 1.
n →∞ n →∞
n +1
Bài toán 2.1.3: Sn = arctan n .
2011



Giải:
Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1
= arctan n 2011 − arctan(n − 1) 2011
n 2011 − (n − 1) 2011
= arctan
1 + (n 2 − n) 2011
a −b
(Sử dụng công thức arctan a − arctan b = arctan )
1 + ab


Trang 12
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
π
Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim arctan n 2011 = .
n →∞ n →∞
2
Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng
quát của chúng. Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy. Đó
chính là dạng toán sau
2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
* Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân
tích số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi. Từ bài toán xuất
phát sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân
tích số hạng tổng quát của chuỗi.
1


∑ n(n + 1) .
2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi
n =1


Giải:
Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau
1 1 1
un = =− .
n(n + 1) n n + 1
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u 2 + .... + un

 1 1 1 1 1
= 1 − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷
 n n +1
 2  2 3
1
=1− .
n +1
1
Như vậy, tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim(1 − ) = 1.
n +1
n →∞ n →∞



2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng { an } với các số hạng khác không và

1


∑a a
công sai d > 0 . Tính tổng của chuỗi số .
n =1
n +1
n




Trang 13
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Giải:
Vì { an } là cấp số cộng với các số hạng khác không và công sai d > 0 nên ta

1


∑ (a
viết lại chuỗi như sau .
+ ( n − 1) d )(a1 + nd )
n =1
1


1
un =
Số hạng tổng quát là
( a1 + (n − 1)d )(a1 + nd )

1 1
1
= − ÷.

d  a1 + (n − 1)d a1 + nd 

Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u2 + .... + un

1 1 1
= − ÷.
d  a1 a1 + nd 

1 1 11
Tổng của chuỗi cần tìm là S = lim Sn = lim  − ÷= .
d  a1 a1 + nd  a1d
n →∞ n →∞



Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết
quả
1


∑ n( n + m) , m ∈ N .
Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi
n =1


Giải:
1 11 1
Số hạng thứ n của chuỗi un = = (− ),m∈ N .
n ( n + m) m n n + m
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u 2 + .... + un




Trang 14
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1 1  1 1 1 1 1 1
= 1 − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷
m  1+ m  m  2 2 + m  m n n + m
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 + + ... + + + +− − − ... − )
m 1+ m 2 + m n 1+ m 2 + m n+m
m 2
1 1 1 1 1 1
= (1 + + ... + − − − ... − ).
m n +1 n + 2 n+m
m 2
Như vậy, tổng của chuỗi là
1 1 1 1 1 1 1 1
S = lim S n = lim (1 + + ... + − − ... − ) = (1 + + ... + ), m ∈ ¥ .
m n +1 n+m m
m 2 2 m
n →∞ n →∞



1


∑ ,k ∈¡ .
Bài toán 2.2.4: Tính tổng của chuỗi
n =1 ( kn − 1) ( kn + k − 1)



Giải:
Rõ ràng ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau
1 11 1
un = =( − ) , k ∈¡
( kn − 1)(kn + k − 1) k kn − 1 kn + k − 1
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u 2 + .... + un

11 1 11 1 11 1
=( − )+ ( − ) + ... + ( − )
k k − 1 2k − 1 k 2k − 1 3k − 1 k kn − 1 kn + k − 1
11 1
=( − ).
k k − 1 kn + k − 1
Như vậy, tổng của chuỗi là
11 1 1
S = lim Sn = lim ( − )= ,k ∈¡ .
k k − 1 kn + k − 1 k (k − 1)
n →∞ n →∞



2.2.5 Một số bài toán mở rộng:
1


∑ n(n + 1)...(n + k ) , k ∈ N .
Bài toán 2.2.5.1: Tính tổng của chuỗi
n =1


Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát

Trang 15
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1 1 1
un = ( − ).
k n(n + 1)...(n + k − 1) (n + 1)...(n + k )
Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là
Sn = u1 + u2 + .... + un

1 1 1
=( − ) , k ∈¥ .
k 1.2...k (n + 1)...(n + k )
Như vậy, tổng của chuỗi là
1 1 1 1
S = lim S n = lim ( − )= .
k 1.2...k (n + 1)...(n + k ) k .k !
n →∞ n →∞



n2


Bài toán 2.2.5.2: Tính tổng của chuỗi ∑ (Cô ơi, xem
n =1 ( n + 1)( n + 2)( n + 3)( n + 4)


giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em
xem kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!)
Giải:
Số hạng tổng quát của chuỗi là
n2
un =
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

11  
2 1 1 1
= − − −
(n + 1)( n + 2) ( n + 3)(n + 4) 2  (n + 1)(n + 3) (n + 2)( n + 4) 

11  
1 1
+  (n + 1)(n + 4) − (n + 2)( n + 3)  .
4 


Tổng riêng thứ n của chuỗi là




Trang 16
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
11 1 1 11 1 1
Sn = u1 + u2 + .... + un = 2( − + ... + − ) − ( − + ... + − )
n +1 n + 2 n+3 n+4
23 45
11  1 1 1 
1  1 1
1 1
−  − + ... + − ÷−  − + ... + − ÷
n + 2 n + 4 
n +1 n + 3   3 5
4  2 4 
11  1  1 1 1 1 1 
1  1 1 1 1
1 1
+  3  2 − 5 + 3 − 6 + ... + n + 1 − n + 4 ÷−  3 − 4 + 4 − 5 + ... + n + 2 − n + 3 ÷
4   
1  11  1 1 1 
1 1  1 1  1
1 1 1
= 2 − ÷−  − ÷ −  + − − ÷−  + − − ÷
 2 n + 2   4 n + 4  4  2 n n + 2 n + 3   3 n + 1 n + 3 n + 4  
11  1  1 1 1 1 
1  1
1 1
+  3  2 + 3 + 4 − n + 2 − n + 3 − n + 4 ÷−  3 − n + 3 ÷
4   

53
Như vậy, tổng của chuỗi là: S = lim S n = .
144
n →∞


Việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi cần có kỹ năng phân tích để
sau khi lập tổng riêng thứ n ta được biểu thức thu gọn.
Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau
1


∑ arctan n
Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi .
+ n +1
2
n =1


Giải:
Số hạng tổng quát của chuỗi là
1
= arctan
1
un = arctan 2 1
n(n + 1)(1 + )
n + n +1
n(n + 1)
a −b
Sử dụng công thức arctana-arctanb = arctan ta được
1 + ab
1 1
un = arctan − arctan
n +1
n
Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là
Sn = u1 + u2 + .... + un




Trang 17
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1
= arctan1 − arctan
n +1
π
1
Khi đó, tổng của chuỗi là: S = lim S n = lim(arctan1 − arctan )= .
n +1 4
n →∞ n →∞



(2n + 1) n


∑ ln (n + 1)(2n − 1) .
Bài toán 2.2.5.4: Tính tổng của chuỗi
n =1


Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi như sau
(2n + 1) n
un = ln = ln n − ln(n + 1) + ln(2n + 1) − ln(2n − 1)
(n + 1)(2n − 1)
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u2 + .... + un

= [ ln1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + ... + ln n − ln( n + 1) ]
+ [ ln 3 − ln1 + ln 5 − ln 3 + ... + ln(2 n + 1) − ln(2n − 1) ]
= ln(2n + 1) − ln(n + 1)
2n + 1
= ln .
n +1
2n + 1
Khi đó, tổng của chuỗi là S = lim S n = lim ln = ln 2 .
n +1
n →∞ n →∞



cos3 3n x

Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi ∑ (−1) n
.
3n
n =1


Giải:
cos3 3n x
Số hạng tổng quát của chuỗi là un = (−1) n
.
3n
x x
Sử dụng đồng nhất thức cos x = 4cos − 3cos ta phân tích được số hạng
3

3 3

n +1
cos3n x n cos3 x
tổng quát dưới dạng: un = (−1) + (−1)
n
.
n −1 n
4.3 4.3

Trang 18
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Sn = u1 + u 2 + .... + un

cos3n+1 x cos3x
= (−1) n − .
4.3n 4
 x cos3x 
n +1
n cos3 cos3 x
Khi đó, tổng của chuỗi là: S = lim S n = lim (−1) − =− 4 .
n
4.3 4

n →∞ n →∞



Sau đây là một dạng khác của bài toán tính tổng của chuỗi số
2.3 Các bài toán tính tổng của chuỗi có sử dụng các đồng nhất thức.
Trong phần này chúng ta có thể sử dụng một số đồng nhất thức quen
thuộc để phân tích số hạng tổng quát của chuỗi.
π
Bài toán 2.3.1: Dùng đồng nhất thức cot x = 2cot(2 x) + tan x, x ≠ k , k ∈ ¢ tính
2

1 x

tổng của chuỗi sau: ∑ tan n .
2
n =1 2 2
Giải:
1 x
Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: un = tan n .
n
2 2
π
Từ đồng nhất thức cot x = 2cot(2 x) + t anx, x ≠ k , k ∈ Z ta suy ra
2
π
t anx = cot x − 2cot(2 x), x ≠ k ,k ∈ Z .
2
1 x x
un = cot n − 21− n cot n −1 .
Khi đó
2n 2 2
Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là
Sn = u1 + u2 + .... + un

1 x
= −2cot 2 x + cot n .
n
2 2
Như vậy, tổng của chuỗi là


Trang 19
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
π
1 x 1
S = lim S n = lim( −2cot 2 x + cot n ) = − 2cot 2 x, x ≠ k , k ∈ Z .
n
2 2 x 2
n →∞ n →∞



(1 − b) x
Bài toán 2.3.2 Dùng đồng nhất thức arctan x = arctan(bx) + arctan tính
1 + bx 2

(1 − b)b n x

tổng của chuỗi sau ∑ arctan ,0 < b < 1.
1 + b 2 n +1 x 2
n =0


Giải:
(1 − b)b n x
Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: un = arctan
1 + b 2 n+1 x 2
(1 − b) x
Từ đồng nhất thức arctan x = arctan(bx) + arctan ta suy ra
1 + bx 2
(1 − b) x
= arctan x − arctan(bx) .
arctan
1 + bx 2
un = arctan b n x − arctan b n +1 x .
Khi đó
Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là:
Sn = u0 + u2 + .... + un −1

= arctan x − arctan b n x
Với 0 < b < 1 thì lim arctan b n x = 0 . Do đó tổng của chuỗi là
n →∞



S = lim S n = lim(arctan x − arctan b x) = arctan x
n
n →∞ n →∞


Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác. Trước hết, ta
xét bài toán tổng quát sau:
2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm f
và g thỏa mãn điều kiện f ( x) = af (bx) + cg ( x) .

(a) Chứng minh rằng nếu lim a f (b x) = L( x) tồn tại thì
n n
n →∞


f ( x) − L( x )


∑a g (b n x ) =
n
.
c
n =0




Trang 20
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
f (b − n x) = M ( x) tồn tại thì
−n
(b) Chứng minh rằng nếu lim a
n →∞


M ( x ) − af (bx )


∑a g (b − n x ) =
−n
.
c
n =0


Chứng minh:


∑a n
g (b n x )
(a) Xét chuỗi số
n =0


Từ điều kiện f ( x) = af (bx) + cg ( x) ta có
af (bx) = a 2 f (b 2 x) + acg (bx)
a 2 f (b 2 x ) = a 3 f (b 3 x) + ca 2 g (b 2 x )
………………………
a n−1 f (b n−1 x ) = a n f (b n x) + ca n−1 g (b n −1 x )

Do đó f ( x) = a f (b x ) + c( g ( x ) + ag (bx) + ... + a g (b x ))
n −1 n −1
n n



f ( x ) − L( x)
∞ n −1
Vì lnim a f (b x) = L( x) nên ∑a g (b n x ) = lim ∑ a k g (b k x) =
n n n
.
→∞
c
n →∞
n =0 k =0


(b) Tương tự câu (a), ta có f ( x) = af (bx) + cg ( x)
a −1 f (b −1 x ) = f ( x ) + a −1cg (b −1 x )
a −2 f (b −2 x) = a −1 f (b −1 x ) + ca −2 g (b −2 x )
………………………
a − n f (b − n x) = a1− n f (b1− n x ) + ca − n g (b − n x ) .
Từ đó suy ra
af (bx) = a − n f (b − n x) − c( g ( x) + a −1 g (b −1 x) + ... + a − n g (b − n x ))

Vì lnim a f (b x) = M ( x) nên
−n −n
→∞


M ( x) − af (bx)
∞ n −1

∑ a − n g (b − n x) = lim ∑ a − k g (b − k x) = .
c
n →∞
n =0 k =0




Trang 21
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Như vậy, áp dụng kết quả bài toán tổng quát ta có thể giải bài toán 2.3.3

(1 − b) x
, a = 1, c = 1 và với
bằng cách chọn f ( x) = arctan x, g ( x) = arctan
1 + bx 2

(1 − b)b n x


∑ arctan 1 + b 2 n+1 x 2 = arctan x .
0 < b < 1 thì lnim arctan b n x = 0 ta được
→∞
n =0


Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler thể hiện mối liên hệ
giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức là một công thức toán học trong
ngành giải tích phức. Công thức Euler được dùng để tính tổng của hai chuỗi có

∞ ∞

∑ f n (sinx) và ∑ f n (cos x) trong bài toán tính tổng sau:
dạng
n =1 n =1


Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler eiα = cosα + isin α tính tổng của hai
chuỗi
∞ ∞

∑ q ncosnα (a) và ∑q sin nα (b) ( q < 1 ) .
n

n =1 n =1


Giải:
Giả sử { U n } ,{ Vn } lần lượt là dãy tổng riêng tương ứng của hai chuỗi (a) và
(b) và U,V lần lượt là tổng của chúng.
Dùng công thức Euler eiα = cosα + isin α ta viết
qeiα − q n+1ei ( n+1)α
U n + iVn = qeiα + q 2e 2iα + ... + q neinα =
1 − qeiα
)=0.
n +1 i ( n +1) α
Vì q < 1 nên qe < 1 , từ đó ta suy ra lim(q e
i
n →∞


Khi đó
q(cosα + isin α )
qeiα
=
U+ i V = lim(U n + iVn ) = .
1 − q cos α − iq sin α
1 − qe iα
n →∞



Nhân lượng liên hiệp của biểu thức 1 − q cos α + iq sin α ta được



Trang 22
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
cosα − q sin α
 
U+ i V = q  +i 2÷
 1 − 2q cos α + q 1 − 2q cos α + q 
2



cosα − q q sin α
U= q =
Vậy 2,V .
1 − 2q cos α + q 1 − 2q cos α + q 2
Tuy nhiên, ở một số chuỗi ta không thể sử dụng hai phương pháp trên để
tính tổng
2.4 Bài toán tính tổng của một số chuỗi đặc biệt:

Bài toán 2.4.1:

Giả sử { an } là một dãy thỏa mãn lim [ (a1 + 1)(a2 + 1)...( an + 1) ] = g ,0 < g ≤ +∞ .
n →∞


an 1 1


∑ (a = 1 − (quy ước g = ∞ thì = 0 ).
Chứng minh rằng
+ 1)( a2 + 1)...(an + 1) g g
n =1
1


Chứng minh:
an


∑ (a
Xét chuỗi số
+ 1)( a2 + 1)...(an + 1)
n =1
1


Số hạng tổng quát của chuỗi
an
un =
( a1 + 1)( a2 + 1)...(an + 1)
1 1
= − .
(a1 + 1)( a2 + 1)...(an−1 + 1) ( a1 + 1)(a2 + 1)...(an + 1)


Tổng riêng thứ n của chuỗi:
Sn = u1 + u2 + .... + un

a1 1 1
= + −
a1 + 1 a1 + 1 (a1 + 1)(a2 + 1)
1 1
+... + −
(a1 + 1)(a2 + 1)...( an −1 + 1) (a1 + 1)( a2 + 1)...( an + 1)




Trang 23
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1
=1− .
(a1 + 1)(a2 + 1)...(an + 1)
1 1
Khi đó, chuỗi có tổng là S = lim S n = lim(1 − ) =1− .
(a1 + 1)( a2 + 1)...( an + 1) g
n →∞ n →∞



Đây là điều cần chứng minh.
Áp dụng bài toán tổng quát 2.4.1 trên ta xét các bài toán cụ thể sau:
2n − 1


∑ 2.4...2n .
Bài toán 2.4.1.1: Tính tổng của chuỗi
n =1


Giải:
Đặt an = 2n − 1, ∀n . Khi đó ta được dãy { an } và dãy này thỏa mãn
lim [ (a1 + 1)(a2 + 1)...( an + 1) ] = lim(2.4...2n) = +∞ .
n →∞ n →∞


2n − 1


∑ 2.4...2n =1.
Áp dụng kết quả bài toán 4.1 trên ta suy ra
n =1


1

n2
Bài toán 2.4.1.2: Tính tổng của chuỗi ∑ .
1 1 1
(1 − 2 )(1 − 2 )...(1 − 2 )
n =1

2 3 n
Giải:
1
, ∀n . Khi đó, ta được dãy { an } và dãy này thỏa mãn
Đặt an = −
n2
 1
1 1
lim [ (a1 + 1)(a2 + 1)...(an + 1) ] = lim (1 − 2 )(1 − 2 )...(1 − 2 ) 
 n
2 3
n →∞ n →∞



 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 
= lim  . . ... ÷
 2.2 3.3 4.4 
n.n
n →∞



1 n +1
= lim .
2n
n →∞


1
=.
2



Trang 24
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Áp dụng kết quả bài toán 2.4.1 trên ta suy ra
1

n2
∑ =1.
1 1 1
(1 − 2 )(1 − 2 )...(1 − 2 )
n =1

2 3 n
Bài toán 2.4.2: Cho dãy { an } được xác định bởi a1 > 2, an+1 = an − 2, n ∈ N .
2




a1 − a12 − 4
1 ∞
Chứng minh rằng ∑ = .
n =1 a a ...a 2
12 n


Chứng minh:
1


∑ a a ...a
Xét chuỗi . Ta phân tích số hạng thứ n ta được
n =1
1 2 n


1 an an +1
= −
un =
a1a2 ...an a1a2 ...an−1 a1a2 ...an
Tổng riêng thứ n của chuỗi:
Sn = u1 + u2 + .... + un

1 1 a2 a 1a a
= + ( − 3 )+ ( 3 − 4 )+
a1 2 a1 a1a2 2 a1a2 a1a2 a3
1 an an+1
... + ( − )
2 a1a2 ...an −1 a1a2 ...an
1 1 a2 1 an+1
= + −
a1 2 a1 2 a1a2 ...an

Dễ dàng chứng minh an > 2, ∀n bằng phương pháp quy nạp.

Bây giờ ta chứng minh { an } là dãy tăng.

Từ an+1 = an − 2, n ∈ N ta chia hai vế cho an−1 và cộng hai vế với -1 ta được
2



1 9
(an−1 − ) 2 −
an 2 4.
−1 =
an−1 an−1




Trang 25
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
an
− 1 >0, ∀n tức là dãy { an } là dãy tăng.
Vì an > 2, ∀n nên
an−1

Từ an+1 = an − 2, n ∈ N ta bình phương hai vế và sau đó cộng hai vế với -4 ta
2



được
an2+1 − 4 = an2 (an2 − 4) = an2 an2−1 (an2−1 − 4) = an2 an2−1...a12 (a12 − 4)

an2+1 4
lim 2 2 2 = a12 − 4 + lim 2 2 2 .
Khi đó
a1 a2 ...an a1 a2 ...an
n →∞ n →∞



an +1
Vì { an } là dãy tăng và a1 > 2 nên lim = a12 − 4 .
a1a2 ...an
n →∞



Vậy tổng của chuỗi là
1 1 a2 1 an +1
) = a1 − a1 − 4 .
2
S = lim S n = lim( + −
a1 2 a1 2 a1a2 ...an
n →∞ n →∞
2
Đó là điều cần chứng minh.
1


∑a phân kì với các số hạng dương cho trước, b>0.
Bài toán 2.4.3: Cho
n =1
n


Chứng minh rằng
a1a2 ...an a


∑ (a = 1.
+ b)(a3 + b)...(an+1 + b) b
n =1
2


Chứng minh:
a1a2 ...an a1a2 ...an


∑ (a với un =
Xét chuỗi số .
+ b)(a3 + b)...(an+1 + b) (a2 + b)(a3 + b)...(an +1 + b)
n =1
2


a1a2 ...an
un an+1 = an+1
Ta có
(a2 + b)(a3 + b)...(an+1 + b)
1
= a1 , ∀n
b b b .
(1 + )(1 + )...(1 + )
a2 a3 an +1

Ta chứng minh lim un an +1 = 0 . Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
n →∞




Trang 26
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
b b b bb b
(1 + )(1 + )...(1 + ) ≥ 1 + + + ... + , ai > 0, ∀i = 2, n + 1, b > 0 (*).
a2 a3 an+1 a2 a3 an+1
Với n=1, (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với n+1, tức là
b b b bb b
(1 + )(1 + )...(1 + ) ≥ 1 + + + ... + , ai > 0, ∀i = 2, n + 1, b > 0 .
a2 a3 an+1 a2 a3 an+1
Ta chứng minh (*) đúng với n+2
Thật vậy
b b b b bb b b
(1 + )(1 + )...(1 + )(1 + ) ≥ (1 + + + ... + )(1 + )
a2 a3 an+1 an + 2 a2 a3 an+1 an + 2
b b b bb b
=1+ + ... + + (1 + + + ... + )
a2 an+1 an + 2 a2 a3 an +1
bb b b
≥ 1+ + + ... + + .
a2 a3 an +1 an+ 2
Vậy (*) đã được chứng minh.
a1

1.
0 < un an +1 n +1
Theo (*) ta đánh giá 1 + b∑
k = 2 ak


a1
=0
1 lim


Vì chuỗi ∑ phân kì nên n→∞ 1 + b n +1 1 .
∑a
n =1 a
n
k =2 k



Theo nguyên lý kẹp ta có lim un an +1 = 0 .
n →∞


uk ak
=
Đặt Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi. Khi đó, hay tương đương
uk −1 ak +1 + b
với
uk ak +1 + uk b = uk −1ak . Lấy tổng theo vế các đẳng thức trên từ k = 2 đến k = n thu

được un an+1 + bS n − u1b = u1a2 .


Trang 27
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
u1 (b + a2 ) a1
Tổng của chuỗi là S = lim S n = =.
b b
n →∞



Đó là điều cần chứng minh.
Bài toán 2.4.4: Cho { an } là dãy Fibonacci được xác định bởi
n
a0 = a1 = 1, an+1 = an + an−1 , n ≥ 1 , đặt Sn = ∑ ak2 . Tính tổng của hai chuỗi sau:
n =0


(−1) n 1



∑ arctan a
∑ S (a) và (b).
n =1
n =0 2n
n


Giải:
Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp các bất đẳng thức sau:

1 1+ 5  1− 5  
n +1 n +1

 ÷ ÷, n ≥ 0 ,
(i) an = ÷ −
 2  2÷
5  
(ii) an−1an +1 − an = (−1) , n ≥ 1 .
n +1
2



Chứng minh (i)
Với n = 0,1 thì (i) đúng.
Giả sử (i) đúng với n, tức là

1 1+ 5  1− 5  
n +1 n +1

 ÷ ÷, n ≥ 0 .
an = ÷ −
5  2  2÷

 
Ta chứng minh (i) đúng với n+1
Từ an+1 = an + an−1 ta suy ra được

1 1+ 5  1− 5   1 1+ 5  1− 5  
n +1 n +1 n n

 ÷ ÷+  ÷÷
an+1 = ÷ − ÷ −
5  2  2  ÷ 5  2   2  ÷

   




Trang 28
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
n
1  1 + 5   1 + 5 (1 + 5)(1 − 5) 
= −
÷ 
 ÷
5  2   2 4 

 1 − 5   1 − 5 (1 + 5)(1 − 5)  
n


÷
− −
÷
2  2 4 
 

1 1+ 5  1− 5  
n+ 2 n+ 2

 ÷ ÷.
= ÷ −
5  2  2÷

 
Vậy đẳng thức (i) đã được chứng minh.
Chứng minh (ii)
Với n = 1 thì a0 = a1 = 1, a2 = 2 , (ii) đúng.
Giả sử (ii) đúng với n, tức là an−1an +1 − an = (−1) , n ≥ 1 .
n +1
2



Ta chứng minh (ii) đúng với n+1
Thật vậy, ta có
an an+ 2 − an2+1 = an (an+1 + an ) − an2+1 = an an +1 + an −1an +1 − (−1) n+1 − an2+1
= an +1 (an + an−1 ) − (−1) n+1 − an2+1
= (−1) n+ 2 .
Vậy đẳng thức (ii) đã được chứng minh.
(−1) n


Xét chuỗi (a) ∑
Sn
n =1



Từ an+1 = an + an−1 ta có an+1an = an + an −1an , n ≥ 1 .
2



Lấy tổng theo vế các đẳng thức đó ta được Sn = an an +1 , n ≥ 0 .
Kết hợp với (ii) được
n
a a
(−1) k (−1) k ak −1ak +1 − ak2 a
n n n

∑ S = ∑ a a =1− ∑ a a = 1 − ∑  k −1 − k ÷ = n .
k =1  ak ak +1  an +1
k =0 k = 0 k k +1 k =1 k k +1
k


Tổng của chuỗi (a) là:




Trang 29
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số

1 1+ 5  1− 5  
n +1 n +1

 ÷÷
÷ −
5  2  2÷

= lim ∑ (−1) = lim an = lim
k
 
n
S( a )
1 1+ 5  1− 5  
n+ 2 n+ 2
n →∞
Sk an+1
n →∞ n →∞
k =0
 ÷÷
÷ −
5  2  2÷

 
2
= .
1+ 5
1


∑ arctan a
Xét chuỗi (b): .
n =1
2n


Trước tiên ta chứng minh (−1) = an+1an + 2 − an an+3 , n ≥ 0 (iii).
n +1



Với n = 0 thì (iii) đúng. Bây giờ, ta chứng minh (iii) đúng với n ≥ 1
Thật vậy, sử dụng đẳng thức an+1 = an + an−1 , biến đổi vế phải được
an+1an + 2 − an an+3 = an (an +1 − an ) + an −1 (an +1 − an ) − an2 , n ≥ 1
= an −1an+1 − an2
= (−1) n+1.
Do đó (iii) đã được chứng minh.
Áp dụng (iii) ta có
a2 n + 2 − a2 n +1
1 1
− arctan = arctan
arctan
a2 n+1a2 n +2 + 1
a2 n+1 a2 n + 2
a2 n
= arctan
a2 n a2 n+3
1
= arctan .
a2 n+3
Lấy tổng theo vế các đẳng thức trên thu được
1 n+1 1 1
= ∑ arctan + arctan
arctan .
2n + 3
a1 k =1 a2 k




Trang 30
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
π
1


∑ arctan a =
Vậy .
4
n =1
2n


2.5 Các bài tập đề nghị:


∑u
Bài tập 2.5.1: Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi và tổng của nó nếu
n
n =1



biết trước dãy tổng riêng { Sn } :
(−1) n
a. Sn = .
n
1
b. Sn = 1 − 2 + .
n + 2 + n +1
n +1
c. Sn = ln .
3n + 4
Bài tập 2.5.2: Tính tổng các chuỗi sau:
1 3


∑ sin 2 cos
a. .
n +1
2n +1
n =1


8n


∑ arctan n
b. .
− 2n 2 + 5
4
n =1


n


∑ 3.5...(2n + 1) .
c.
n =1


x


∑3 n
sin 3
d. .
3n +1
n =0


1


e. ∑
( ) .
n + n +1 n(n + 1)
n =1




∑( )

n + 2 − 2 n +1 + n .
f.
n =1


3n + 2n

h. ∑
6n
n =1


Bài tập 2.5.3: Cho dãy { an } được xác định bởi


Trang 31
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
a1 = 2, an+1 = an2 − an + 1, n ≥ 1 .
1


∑a = 1.
Chứng minh rằng
n =1
n


Bài tập 2.5.4 : Cho { an } là dãy Fibonacci được xác định bởi
n
a0 = a1 = 1, an+1 = an + an −1 , n ≥ 1 , đặt Sn = ∑ ak2 .
n =0


( −1) n


Tính tổng của chuỗi ∑ .
n =0 a a
n n+2


Bài tập 2.5.5 : Cho dãy { an } là dãy dương phân kì tới vô cùng.
Chứng minh rằng
an+1 − an 1


∑ arctan 1 + a a = arctan .
a1
n =1
n +1
n


Bài tập 2.5.6: Cho dãy { an } được xác định bởi
ea − 1 n

a1 > 0, an+1 = ln , n ≥ 1.
an


∑b
Và đặt bn = a1a2 ...an . Tính .
n
n =1




CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT
CỦA CHUỖI
Ta biết rằng chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” tức là các số
hạng có thể nhóm lại với nhau tùy ý, khi ấy tổng của chu ỗi không thay đ ổi. Còn

Trang 32
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
tính chất giao hoán đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức là các số hạng của
chuỗi có thể đổi chỗ cho nhau theo thứ tự bất kì và tổng của chuỗi đó vẫn giữ
nguyên. Tuy nhiên, tính chất giao hoán không còn đúng với chuỗi bán hội tụ.


∑u
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng hội tụ nếu thỏa mãn các điều kiện
n
n =1


a) Số hạng tổng quát un → 0 khi n → ∞ .


∑U
b) Chuỗi nhận được bằng cách nhóm các số hạng của chuỗi đã cho theo
n
n =1


thứ tự tự nhiên của nó hội tụ.
pn+1 −1

∑ u (1 = p
c) Số các phần tử ui có mặt trong số hạng U n = < p2 < ...) là hữu
i 1
i = pn


hạn.
Chứng minh:


∑U
U
Giả sử Snk là dãy tổng riêng của chuỗi .
n
n =1



∑u
Sk là dãy tổng riêng của chuỗi .
n
n =1


Khiđó

Snk = u1 + u2 + ... + u p −1 + u p + u p +1 + ... + u p −1 + ... + u p + u p +1 + ... + uk + uk +1 + ... + u p
U
n +1 −1
2 2 2 3 n n




= S k + uk +1 + ... + u p ( pn ≤ k ≤ pn+1 − 1) .
n +1 −1




Vì số các số hạng của dãy uk +1 + ... + u p = ck là hữu hạn và un → 0 khi
n +1 −1



n → ∞ nên ck → 0 khi k → ∞ .

l imSU = lim S k .
Do đó nk k →∞


Đây là điều cần chứng minh.




Trang 33
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Bài toán 3.2: Chứng minh rằng chuỗi u1 + u2 + ... + u p −1 − u p − ... − u p −1 + u p + ... 2 2 3 3



hội tụ đồng thời với chuỗi
(1) hay phân kì

 p −1 
∞ n +1

∑ (−1) n−1  ∑ ui ÷(ui > 0;1 = p1 < p2 < ...) (2).
 i= p 
n =1 n



Chứng minh:
Giả sử chuỗi (1) hội tụ. Khi đó, dãy con tùy ý c ủa dãy t ổng riêng c ủa nó

 p −1  n k +1

cũng hội tụ, trong các dãy con đó có dãy ∑ (−1)  ∑ ui ÷, tức là dãy tổng riêng
k

 i= p 
k =1 k



của chuỗi (2) hội tụ. Vậy chuỗi (2) hội tụ.
Bây giờ giả sử chuỗi (2) hội tụ. Giả sử Sk , Snk lần lượt là dãy tổng riêng của
U



chuỗi (1) và (2). Khi đó
Snk = u1 + u2 + ... + u p −1 − u p − ... − u p −1 + u p + ...
U
2 2 3 3


+(−1) (u p + u p +1 + ... + uk + uk +1 + ... + u p
n −1
)
n +1 −1
n n




= S k + (−1)n −1 ( uk +1 + ... + u p ).
n +1 −1


pn+1 −1

∑u → 0 khi n → ∞ . Điều này có nghĩa là do ui > 0
Vì chuỗi (2) hội tụ nên i
i = pn



tiến tới không. Suy ra limSnk = lim S k hay chuỗi (1) hội
nên tổng uk +1 + ... + u p
U
n +1 −1 k →∞


tụ.
Bài toán 3.3: Chứng minh rằng tổng của chuỗi hội tụ không thay đổi nếu ta đ ổi
chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí ban
đầu của nó lớn hơn m chỗ, trong đó m là số đã cho trước.
Chứng minh:


∑u hội tụ có tổng là S. Khi đó, ∀ε > 0, ∃N (ε ) sao cho với
Giả sử chuỗi n
n =1


n > N ta có S − ε < S n < S + ε . Gọi Sn' là dãy tổng riêng của chuỗi nhận được sau

Trang 34
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
khi đã đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị
trí ban đầu của nó lớn hơn m chỗ, với m là số cho trước. Do đó, với n > N + m

thì S − ε < Sn < S + ε .
'



Đó là điều cần chứng minh.
(−1) n−1

Ta biết chuỗi điều hòa đan dấu ∑ hội tụ theo dấu hiệu Leibniz và có
n
n =1


tổng là ln2. Tổng của chúng được tính thông qua giới hạn của hai dãy con thể
hiện trong bài toán sau:
(−1) n−1

Bài toán 3.4: Tính tổng của chuỗi ∑ .
n
n =1


Giải:
111 1
S2 n = 1 − + − + ... −
Ta có
234 2n
 11 1  1 1 1
= 1 + + + ... + ÷−  1 + + + ... + ÷
 23 2n   2 3 n
1 1 1
= + + ... + .
n +1 n + 2 2n
 1 1
1
< ln 1 + ÷< , ∀n > 1
Từ bất đẳng thức suy ra
n +1  n n
 1  1
1
ln 1 + ÷< < ln 1 + ÷, ∀n > 1 ;
 n +1 n +1  n
1
⇔ ln(n + 2) − ln(n + 1) < < ln(n + 1) − ln n , ∀n > 1 ;
n +1
1
< ln( n + 2) − ln ( n + 1) ;
Tương tự như vậy ta được ln(n + 3) − ln( n + 2)
1, x ≠ −1, −2...
Ta có
x + 2 n + 1  x + 2n + 1  x + 2n 

1
< ln( x + 2n + 1) − ln ( x + 2n )
⇔ ln( x + 2n + 2) − ln( x + 2n + 1)
q , gọi Sn là dãy tổng riêng của chuỗi (2) và S1 , S 2 lần lượt là tổng
của chuỗi (1), (2).
Ta có
1 1
1 11
Sn = 1 + + ... + − − − ... − ÷+ ...
2 p −1 2 4
3 2q 

 1 1 1
... +  + + ... +
 2(n − 1) p + 1 2(n − 1) p + 3 2np − 1
1
1 1
− − − ... −
2nq ÷
2( n − 1) q + 2 2(n − 1)q + 4 
1 1
111 1 1
=1− + − + ... − + + + ... + .
2np − 1 ÷
2nq  2nq + 1 2nq + 3
234 
1 1 1
1
 nq + 1 + nq + 2 + ... + np ÷ ta được
Trong biểu thức của Sn ta thêm và bớt đi
2 
1 1
111 1 1
Sn = 1 − + − + ... − + + + ... +
2np − 1 ÷
2nq  2nq + 1 2nq + 3
234 
1 1 1
1 1 1 1
+ + + ... + − + + ... + ÷
2nq + 2 2nq + 4 2np 2  nq + 1 nq + 2 np 




Trang 39
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1 1 1 1 1 1
= Cn + + + + + ... + +
2nq + 1 2nq + 2 2nq + 3 2nq + 4 2np − 1 2np
1 1 1
1
− + + ... + ÷.
2  nq + 1 nq + 2 np 

(−1) n−1

trong đó Cn là dãy con của dãy tổng riêng của chuỗi hội tụ ∑ . Theo công
n
n =1



1 1 1 n
+ ... + = ln + ε mn ( ε mn → 0 khi m, n → ∞ ) ta có
+
thức tiệm cận
m +1 m + 2 n m

2np 1 np
+ ε n' ( ε n' → 0 khi n → ∞ ).
Sn = Cn + ln − ln
2nq 2 nq

 
2np 1 np 1p
− ln + ε n' ÷ = ln 2 + ln .
Như vậy S1 = S2 = lim  Cn + ln
2nq 2 nq 2q
 
n →∞



Với p ≤ q ta cũng nhận được kết quả như trên.
Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: p = 2 , q = 1
(−1) n−1

Ta thay đổi thứ tự của chuỗi ∑ bằng cách đặt mỗi một phần tử âm
n
n =1



11111
sau hai phần tử dương, chuỗi nhận được là 1 + − + + − + ... có tổng là
32574

3
ln 2 .
2
Trường hợp 2: p = 1 , q = 2




Trang 40
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
(−1) n−1

Ta thay đổi thứ tự của chuỗi ∑ bằng cách đặt hai phần tử âm sau mỗi
n
n =1



11111
một phần tử dương, chuỗi nhận được là 1 − − + − − + ... có tổng là
24368

1
ln 2 .
2
Dựa vào kết quả bài toán 3.6 ta xét các bài toán sau:
Bài toán 3.6.1: Chứng minh rằng
111111 1 1 11
1− − − − + − − − − + − ... = 0 .
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5
Chứng minh:
111111 1 1 11
Chuỗi 1 − − − − + − − − − + − ... nhận được bằng cách
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5

1111
đổi chỗ các số hạng của chuỗi 1 − + − + − ... sao cho đặt 4 phần tử âm liên
2345
tiếp sau mỗi một phần tử dương.
Theo chứng minh bài toán 3.7 ta có
111111 1 1 11 11
1− − − − + − − − − + − ... = ln 2 + ln = 0 .
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5 24
(−1) n−1

Bài toán 3.6.2: Hãy thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi ∑ để nhận
n
n =1


được tổng lớn gấp đôi chuỗi ban đầu.
Giải:
Gọi S ' là tổng của chuỗi nhận được sau khi thay đổi thứ tự các số h ạng

(−1) n−1 (−1) n−1
∞ ∞
của chuỗi ∑ ∑n.
và S là tổng của chuỗi
n
n =1 n =1




Trang 41
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
(−1) n−1 ∞
Theo bài toán 3.7 đổi chỗ các số hạng của chuỗi ∑ để cho p số hạng
n
n =1


dương liên tiếp vào một nhóm, tiếp đến q số hạng âm liên tiếp vào một nhóm thì

1p
chuỗi mới này có tổng bằng S = l n 2 + ln .
'

2q
p
= ln 4 .
Theo đề ta có S ' = 2S tương đương với ln
q
Vậy chuỗi cần tìm là
111111 1 11
1 + + + − + + + + − + ...
3 5 7 2 9 11 13 15 4
(−1) n−1 ∞
Bài toán 3.6.3: Hãy thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi ∑ để nhận
n
n =1


được một chuỗi phân kì.
Giải:
11111111
Xét chuỗi (1) 1 − + + − + + + − + ... nhận được bằng cách
2 3 5 4 7 9 11 6

(−1) n−1∞
sắp xếp lại các số hạng của chuỗi ∑ theo n = 1,2,3,... các số hạng dương
n
n =1


theo sau một số hạng âm.
Nhóm các số hạng của chuỗi (1) theo cách sau
 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 − ÷+  + − ÷+  + + − ÷+ ... (2)
 2   3 5 4   7 9 11 6 


∑u
Chuỗi (2) là chuỗi với số hạng tổng quát là
n
n =1


 2 n −1 1
1
un =  ∑ 2 ÷− với i lẻ.
 i =1 n − n + i  2n




Trang 42
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Ta có
1 1 1 1
un = +2 + ... + 2 −
n − n +1 n − n + 3 n + n − 1 2n
2



n 1
≥ − > 0, ∀n ≥ 1 .
n + n − 1 2n
2



tức là chuỗi (2) là chuỗi số dương.
1


∑v , trong đó vn = > 0 là chuỗi phân kì.
Xét chuỗi (3) n
4n
n =1


2n 2 − 2n + 2
n 1 1
un ≥ 2 − = ≥ , ∀n ≥ 1.
Thật vậy,
n + n − 1 2n 4n(n + n − 1) 4n
2



Do đó, theo dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương suy ra chuỗi (2) là chu ỗi
phân kì.
Trên đây là các bài toán xoay quanh đến tính chất của chuỗi số. Bên cạnh
đó ta cũng đã xem xét các tính chất của chuỗi đặc biệt là chuỗi đi ều hòa đan
dấu.
CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN CÁC PHÉP TOÁN
CỦA CHUỖI
Ta biết rằng tổng hiệu của hai chuỗi hội tụ là một chuỗi hội tụ và tổng
của nó chính là tổng hiệu của các số h ạng của chuỗi. H ơn n ữa, tích cauchy của
hai chuỗi hội tụ là một chuỗi hội tụ và tổng của chúng chính là tích của hai tổng.
Bài toán 4.1: Cho hai dãy dương { un } và { vn } đơn điệu giảm về 0. Chứng minh

∞ ∞

rằng tích cauchy của các chuỗi ∑ (−1) un và ∑ (−1) v
n n
hội tụ khi và chỉ khi
n
n =0 n =0


lim un (vn + vn−1 + ... + v0 ) = 0 và lim vn (un + un−1 + ... + u0 ) = 0 .
n →∞ n →∞


Chứng minh:
∞ ∞ ∞

∑w là tích cauchy của hai chuỗi hội tụ ∑ (−1) un và ∑ (−1) v
n n
Gọi .
n n
n =0 n =0 n =0




Trang 43
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Khi đó
w n = ( −1) n ( u0vn + u1vn−1 + ... + unv0 ) , ∀n .


hội tụ . Do đó lim w n = 0 . Vì hai dãy dương { un } và { vn }
∑w
⇒ / Giả sử n n →∞
n =0


đơn điệu giảm về 0 nên
w n ≥ vn (u0 + u1 + ... + un ) và w n ≥ un (v0 + v1 + ... + vn ) .

Suy ra lim un (vn + vn−1 + ... + v0 ) = 0 và lim vn (un + un−1 + ... + u0 ) = 0 .
n →∞ n →∞


⇐ / Giả sử hai đẳng thức trên thỏa mãn. Trước hết ta chứng minh kết quả
sau
∞ ∞

∑u ∑v
Bài toán: Cho hai chuỗi hội tụ . Chứng minh rằng tích cauchy
n và n
n =0 n =0



n

của hai chuỗi trên hội tụ khi và chỉ khi lim ∑ uk ( vn + vn −1 + ... + vn− k +1 ) = 0 .
n →∞
k =1


Chứng minh:
∞ ∞

∑u , ∑v
Gọi U n ,Vn , Wn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi và
n n
n =0 n =0



∞ ∞ ∞ ∞

∑w ∑w ∑u ∑v
n là tích cauchy của hai chuỗi . Như vậy
n , trong đó n và n
n =0 n =0 n =0 n =0


w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 , ∀n .
Wn = w1 + w 2 + ... + w n = u0Vn + u1Vn −1 + ... + unV0 .
Ta có
Khi đó
n

∑u ( v + vn−1 + ... + vn −k +1 ) = u1vn + u2 (vn + vn −1 ) + ... + un (vn + vn −1 + ... + v1 )
k n
k =1


= u1 (Vn − Vn −1 ) + u1 (Vn − Vn −2 ) + ... + un (Vn − V0 )
= Vn (U n − u0 ) − u1Vn−1 − u2Vn −2 − ... − unV0
= VnU n − Wn .



Trang 44
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
∞ n

Do đó ∑ w n hội tụ ⇔ lim(VnU n − Wn ) = 0 ⇔ lim ∑ uk ( vn + vn −1 + ... + vn− k +1 ) = 0 .
n →∞ n →∞
n =0 k =1


Dựa vào bài toán trên ta cần chỉ ra rằng
n
lim ∑ (−1) k uk ( (−1) n vn + (−1) n −1 vn−1 + ... + ( −1) n− k +1 vn− k +1 ) = 0 .
n →∞
k =1


Vì dãy dương { vn } đơn điệu giảm về 0 nên

(−1) n vn + (−1) n −1 vn−1 + ... + (−1) n−k +1 vn− k +1 ≤ vn −k +1 .

Lấy tổng bất đẳng thức trên từ k = 1 đến k = n ta được
n n

∑ (−1) k uk ( (−1)n vn + (−1) n−1 vn−1 + ... + (−1) n−k +1 vn−k +1 ) ≤ ∑ uk vn−k +1 (*).
k =1 k =1

n

Ta chứng minh lim ∑ uk vn−k +1 = 0 .
n →∞
k =1


Ta cần chứng minh hai điều sau
2 n −1
2n
lim ∑ uk v2 n −k +1 = 0 và lim ∑ uk v2 n −k = 0 .
n →∞ n →∞
k =1 k =1


Thật vậy, vì hai dãy dương { un } và { vn } đơn điệu giảm về 0 nên
2n
0 < ∑ uk v2 n −k +1 ≤ ( u1 + ... + un ) vn + ( v1 + ... + vn ) un .
k =1

2n

Theo nguyên lý kẹp ta có lim ∑ uk v2 n −k +1 = 0 .
n →∞
k =1

2 n −1

Chứng minh tương tự ta cũng có lim ∑ uk v2 n −k = 0 .
n →∞
k =1

n

Vậy lim ∑ uk vn−k +1 = 0 . Áp dụng nguyên lí kẹp trong (*) ta suy ra
n →∞
k =1

n
lim ∑ (−1) k uk ( (−1) n vn + (−1) n −1 vn−1 + ... + ( −1) n− k +1 vn− k +1 ) = 0 .
n →∞
k =1

∞ ∞

∑ (−1) nun và ∑ (−1) v n
Suy ra hai chuỗi hội tụ.
n
n =0 n =0




Trang 45
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Từ bài toán 4.1 ta biết được điều kiện cần và đủ để tích cauchy của hai
chuỗi bất kì hội tụ là hội tụ. Sau đây là một số bài toán tính t ổng c ụ th ể liên
quan đến các phép toán của chuỗi
2nπ
cos
Bài toán 4.2: Tính tổng của chuỗi ∞
3.
∑ n
2
n =1


Giải:
Ta có
1
 nπ   , n ≠ 3k
2
2nπ
= 1 − 2  sin ÷ = 2 , k = 1,2,...
cos
 3 
3
1, n = 3k
2nπ
cos
3 = − 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 − ...

Khi đó
∑ n
2 2 23 23 25 2 6 2 6
2
n =1


11 1  1 1 1 1  1 1 1 1 
= −  + 2 ÷+ 3 −  4 + 5 ÷+ 6 −  7 + 8 ÷+ ...
2 2 2  2 2 2 2  2 2 2 2 
1 1∞ 1 1 1
∞ ∞
=∑ − ∑  3n+1 + 3n+ 2 ÷( vì ∑2 hội tụ có tổng là
2 n =0  2 2
3n
n =1 2
3n
n =1




1
)
7
2
=− .
7
 n +1
n


∑x
2 2
, xy < 1 .
Bài toán 4.3: Tính tổng của chuỗi y
  

n =0


Giải:
 n +1 
n


∑x
2 2
= 1 + y + xy + xy 2 + x 2 y 2 + x 2 y 3 + ...
y
Ta có   

n =0




Trang 46
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
1+ y
 n +1
n
∞ ∞

∑ ( xy ) = ( y + 1) ∑ ( xy ) =
n n
∑x y
2 2
( xy < 1 ) hội tụ nên
Vì chuỗi .
  

1 − xy
n =0 n =0
n =0


Bài toán 4.3: Lập tích cauchy của hai chuỗi sau và tính tổng của chúng
1
2n ∞


∑2
∑ n! và .
n
n!
n =0
n =0


Giải:
1
2n
Với n ≥ 0 , đặt un = , vn = n .
2 n!
n!
∞ ∞ ∞

∑w ∑u ∑v
Gọi là tích cauchy của hai chuỗi và .
n n n
n =0 n =0 n =0

n
1 1
2k 1 1n 1
n n
w n = ∑ uk vn− k = ∑ . n−k = ∑ Cnk 2k n −k =  2 + ÷ .
Khi đó
( n − k )! n! k =0 n!  2
k =0 k ! 2 2
k =0



 xn 
x x2 ∞

∑u
5
lim 1 + + + ... + ÷ = e x nên tổng của chuỗi
Vì n→∞ là e 2 .
n
 1! 2! n!  n =0



(−1) n+1 ∞
Bài toán 4.4: Tích của chuỗi ∑ với chính nó là chuỗi hội tụ hay phân kì?
n
n =1


Giải:
Theo dấu hiệu Leibniz chuỗi đã cho hội tụ.
(−1) n+1
∞ ∞
Gọi ∑ w n là tích cauchy của chuỗi ∑ với chính nó.
n
n =1 n =1


Khi đó
 (−1) k +1 ( −1) n− k + 2  1
n n
wn = ∑  = (−1) n+1 ∑
. .

n − k +1 k (n − k + 1)
k =1  k k =1



1 1 n
1 n

∑ ≥ = 1.
≥ (n = 1,2,...; k = 1,2,.., n) nên

k (n − k + 1) n k ( n − k + 1) n
k =1




∑w
Theo điều kiện cần chuỗi phân kì.
n
n =1


Bài toán 4.5: Tính tổng của tích cauchy hai chuỗi sau

Trang 47
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số
(−1) n 1



∑ n! .
∑ n! và
n =0
n =0


Giải:
(−1) n−1
1
Với n ≥ 1 , đặt un = vn =
( n − 1) ! , ,.
( n − 1) !
∞ ∞ ∞

∑ w n là tích cauchy của hai chuỗi ∑ un và ∑v
Gọi .
n
n =1 n =1 n =1


(−1) n−1
1
∞ ∞ ∞ ∞
∑ n − 1 ! n=1 n − 1 ! . = ∑ w n = 1 + ∑ w n
.∑
Khi đó
n =1 ( )( ) n=1 n =2


trong đó

( −1)
n −k
n n
w n = ∑ uk vn− k +1 = ∑ .
( k − 1)!(n − k )!
k =1 k =1



( −1) (n = 1,2,...) nên w = 0 (n = 1,2,...) .
n−k
1 n
Vì 0 = (1 − 1) n = ∑ n
k = 0 k !( n − k )!
n!
Vậy tổng của tích cauchy hai chuỗi là 1.




Trang 48
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số




Trang 49
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số




Trang 50
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số




Trang 51
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số




Trang 52
Một số bài toán tính tổng của chuỗi
số




Trang 53
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản