Một số bài toán tính tổng của chuỗi

Chia sẻ: Huynh Ha | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:53

1
1.126
lượt xem
289
download

Một số bài toán tính tổng của chuỗi

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { } n u . Tổng vô hạn 1 2 1 ... ... n n n u u u u ¥ = + + + + =å (1) được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số n u được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) 1 2 ... n n S = u + u + + u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1).

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán tính tổng của chuỗi

  1. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: 1.1. Các khái niệm cơ bản: 1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { un } . Tổng vô hạn ∞ u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un (1) n =1 được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số un được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) Sn = u1 + u2 + ... + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1). Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số { Sn } , và gọi là dãy tổng riêng. Định nghĩa: Nếu tồn tại lim S n = S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có n→∞ ∞ tổng là S, ký hiệu S = ∑ un . Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ. n =1 1.1.2 Định nghĩa 2: Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là số thực rn = S − Sn . Ta có lnim rn = lim( S − S n ) = S − S = 0 . →∞ n →∞ 1.1.3 Định nghĩa 3: ∞ ∞ ∑u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∑ un hội tụ (suy ra chuỗi - Chuỗi n n =1 n =1 ∞ ∑u cũng hội tụ). n n =1 ∞ ∞ ∞ - Chuỗi ∑ un được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi ∑ un hội tụ nhưng chuỗi ∑ un n =1 n =1 n =1 phân kỳ. Trang 1
  2. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1.1.4 Định nghĩa 4: ∞ ∑u được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n . Chuỗi n n =1 1.1.5 Định nghĩa 5: ∞ Chuỗi số có dạng ∑ ( −1) n −1 un , un > 0, ∀n (3) được gọi là chuỗi đan dấu. n =1 1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: Về hình thức, kí hiệu ∞ ∑u = u1 + u2 + ... + un + ... n n =1 giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là m ột tổng vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số { u } . Mặt khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên n hệ như thế nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và dãy số. Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau S1 , S2 ,..., Sn ,... (2) trong đó n Sn = ∑ uk = u1 + u2 + ... + un . k =1 Ngược lại, cho trước dãy số { Sn } . Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng: ∞ u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un n =1 ở đó u1 = S1 , u2 = S 2 − S1 , Trang 2
  3. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số ................ un = Sn − Sn−1 , ................. nhận dãy { Sn } làm dãy tổng riêng. Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng { Sn } . Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2). ∞ hội tụ là lim un = 0 và ∑u Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi n n →∞ n =1 ∞ ∑u nếu un không dần tới số không khi n → ∞ thì chuỗi phân kì, khi đó ta nói n n =1 chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần. 1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu: 1.3.1 Chuỗi số dương: 1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh: ∞ ∞ ∑u ∑v (2). Giả sử un ≤ vn , ∀n . Khi đó Cho hai chuỗi dương (1) và n n n =1 n =1 + Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ. + Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì. un = k ≠ 0, k ≠ ∞ thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc Đặc biệt, nếu lim vn n →∞ cùng phân kì. 1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert: ∞ ∑u Cho chuỗi dương (1) . Khi đó n n =1 Trang 3
  4. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số un +1 < 1 thì chuỗi (1) hội tụ. + Nếu lim un n →∞ un +1 > 1 thì chuỗi (1) phân kì. + Nếu lim un n →∞ un+1 Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn u = lim , khi đó nếu u < 1 thì chuỗi (1) un n →∞ hội tụ, nếu u > 1 thì chuỗi (1) phân kì. 1.3.2 Chuỗi đan dấu: ∞ ∑ (−1) un , un > 0, ∀n . Nếu dãy số n −1 Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu n =1 {u } đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. n 2. Các tính chất của chuỗi số: Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu hạn. 2.1 Tính chất kết hợp: ∞ và { mk } là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt ∑u Cho chuỗi n n =1 v1 = u1 + u2 + ... + um , v2 = um +1 + um + 2 + ... + um ,... 1 1 1 2 ∞ ∞ ∑u ∑v Khi đó nếu chuỗi n hội tụ thì chuỗi cũng hội tụ và hai chuỗi có n n =1 n =1 tổng bằng nhau. Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì không đúng. Ví dụ: Chuỗi (1-1)+(1-1)+...+(1-1)+... Trang 4
  5. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi 1-1+1-1+...+1-1+... là chuỗi phân kì. 2.2 Tính chất giao hoán: 2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet) ∞ ∞ ∑u ∑v Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi thành lập n n n =1 n =1 ∞ ∑u bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng un của chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối và n n =1 có tổng bằng S. 2.2.2 Định lí 2:(Riemann) ∞ ∑u Nếu chuỗi số bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có n n =1 thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước. Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ. 3. Các phép toán về chuỗi: 3.1 Cộng các chuỗi: 3.1.1 Định lí 3: ∞ ∞ ∑u ∑v Nếu các chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng và n n n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ (u ± vn ) , ∑ kun cũng hội tụ và số thì các chuỗi n n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ 1. ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑v =U ± V; n n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 2. ∑ kun =k ∑ un =kU. n =1 n =1 Trang 5
  6. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số ∞ ∞ ∞ Chú ý: 1. Nếu chuỗi ∑ un phân kì và chuỗi ∑ vn hội tụ thì chuỗi ∑ (u ± vn ) phân n n =1 n =1 n =1 kì. ∞ ∞ 2. Nếu chuỗi ∑ un phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi ∑ ku phân kì. n n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∑ un và ∑ vn phân kì thì chuỗi ∑ (u ± vn ) có thể hội 3. Nếu cả hai chuỗi n n =1 n =1 n =1 tụ hoặc phân kì. 3.2 Nhân các chuỗi: Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ từng số hạng. Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng số hạng của hai chuỗi hội tụ hay không? ∞ ∞ ∞ ∑ un và ∑ vn , tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi ∑w Cho hai chuỗi , trong n n =0 n =0 n =0 đó w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 , ∀n . 3.2.1 Định lí 4:(Mertens) ∞ ∞ ∑u ∑v Giả sử các chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U và V. Khi và n n n =0 n =0 ∞ ∑w đó, nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của n n =0 chúng hội tụ và ∞ ∑w = UV . n n =0 Chứng minh: Trang 6
  7. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số ∞ ∑w hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu U n ,Vn , Wn lần lượt là các tổng Giả sử chuỗi n n =0 ∞ ∞ ∞ ∑u , ∑v , ∑ w riêng thứ n của các chuỗi . n n n n =0 n =0 n =0 Khi đó Wn = u0Vn + u1Vn−1 + ... + unV0 ∞ = V nên V = Vn − rn với lim rn = 0 . ∑v Vì n n →∞ n =0 Vậy Wn = VU n + (u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) . Bây giờ ta chứng minh lim(u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) = 0 . n →∞ Thật vậy, lấy ε > 0 bé tùy ý và m, M như sau: ∞ rn ≤ m với n ≥ 0 , M = ∑ un . n =0 ε Khi đó, ∃k , l ∈ ¥ sao cho với n ≥ k thì rn ≤ và với n ≥ l + 1 thì 2M ε ul +1 + ... + un < . 2m Như vậy, với n ≥ l + k thì ta có u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ≤ ( u0 rn + u1 rn−1 + ... + ul rn −l ) + ( ul +1 rn −l +1 + ... + un r0 ) ε ≤ ( u0 + u1 + ... + ul ) + ( ul +1 + ... + un ).m 2M ε ε .m = ε . < M. + 2 M 2m lim(u0 rn + u1rn −1 + ... + un r0 ) = 0 . Do đó n →∞ W Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh. Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối. Đây là kết quả của định lí Cauchy. Trang 7
  8. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 3.2.2 Định lí 5:(Cauchy) ∞ ∞ ∑u ∑v Nếu hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì và n n n =0 n =0 chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng ui vk (i, k = 1,2,...) sắp xếp theo một thứ tự tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV. Chú ý: 1. Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì. 1 ∞ ∞ ∑ (−1) ∑w n −1 Ví dụ: Xét chuỗi là chuỗi bán hội tụ. Gọi là tích Cauchy của n n n =1 n =1 1 ∞ ∑ (−1) n −1 với chính nó. n n =1 Khi đó 1 1 1 w n = ( −1) n−1  + ... + + ... + ÷ k. n − k +1  1. n n .1  Ta có 1 1 1 1 1 1 wn =  + ... + + ... + ÷ > n + n + ... + n . k. n − k +1 n n  1 44 2 4 4 3 n ∞ ∑w Suy ra w n > 1 tức là phân kì (do vi phạm điều kiện cần). n n =1 ∞ ∑w Vậy chuỗi phân kì. n n =1 W 2. Tích Cauchy của một chuỗi dương hội tụ và chuỗi dương phân kì thì phân kì. Chứng minh: Trang 8
  9. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số ∞ ∞ Giả sử ∑ un và ∑v lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi n n =0 n =0 ∞ ∑w là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên. n n =0 Khi đó w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 > u0vn . ∞ ∞ Vì chuỗi ∑ vn phân kì nên chuỗi tích Cauchy ∑w cũng phân kì. n n =0 n =0 W Vậy ta có điều phải chứng minh. 3. Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì. Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau n −1 n 3 3  1 ∞ ∞ 1 − ∑ ÷ 1 + ∑  ÷  2n + n+1 ÷ và n =1  2  n =1  2   2 ∞ ∑w Giả sử là tích Cauchy của hai chuỗi trên. n n =0 Khi đó n −1 w n = u0vn + u1vn−1 + ... + un v0 = u0vn + v0un + ∑ uk vn − k k =1 n −1 n 3 3 1 trong đó u0 = v0 = 1, un = −  ÷ , vn =  ÷ (2 n + n+1 ) . 2 2 2 Do đó n −1 n −1 n 3  3  n −1  3   1 1 w n =  ÷ (2n + n +1 ) −  ÷ − ∑  ÷  2 n− k + n− k +1 ÷ 2  2  k =1  2    2 2 n  3  2 1  n +1 2 n −1  1 − 1 − ∑  2n−k + n −k +1 ÷ = ÷  +  2   3 3.2 3 k =1   n 2 n 3 1 = ÷ . n 2 2 Trang 9
  10. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số n 3 = ÷ 4 n 3 ∞ mà chuỗi ∑  ÷ là chuỗi hội tụ. n =1  4  3.2.3 Định lí 6:(Abel) ∞ ∞ ∑ un và ∑v Nếu hai chuỗi hội tụ và có tổng lần lượt là U,V và nếu tích n n =0 n =0 Cauchy của hai chuỗi trên hội tụ về W thì W = UV . 4. Một số kiến thức cần lưu ý: 4.1 Kiến thức 1: Nếu zn = xn + iyn là dãy số phức và x = lim xn , y = lnim n yn thì lnim zn = x + iy . n →∞ →∞ →∞ 4.2 Kiến thức 2: a − b , với a, b ∈ ¡ arctan a − arctan b = arctan 1 + ab Chứng minh: Ta đặt x = arctan a, y = arctan b . tan x − tan y Từ công thức tan ( x − y ) = 1 + tan x tan y a −b = . 1 + ab W Suy ra điều phải chứng minh. 4.3 Kiến thức 3: π cot x = 2cot(2 x) + tan x, x ≠ k , k ∈ ¢ . 2 Chứng minh: π π π 2 tan x Từ công thức tan 2 x = , x ≠ + k , x ≠ + kπ , k ∈ Z ta suy ra 1 − tan x 2 4 2 2 tan 2 x − tan 2 x tan 2 x = 2 tan x . π Chia hai vế của đẳng thức cho tan 2 x tan x với x ≠ k , k ∈ Z ta được 2 cot x = 2cot(2 x) + tan x . W Đó là điều cần chứng minh. Trang 10
  11. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Trên đây là một số kiến thức cơ sở về chuỗi số bao gồm các định nghĩa, các tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ năng biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI BẰNG ĐỊNH NGHĨA Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng của chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy. Bài toán tính tổng của chuỗi có thể chia ra các dạng như sau: 2.1. Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng riêng của chúng: * Để xác định số hạng tổng quát của chuỗi số khi biết trước dãy tổng riêng ta lấy tổng riêng thứ n trừ đi tổng riêng thứ n-1. ∞ ∑u Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi và tổng của nó nếu biết trước n n =1 dãy tổng riêng { Sn } qua các bài toán sau: n( n + 2) Bài toán 2.1.1: Sn = 2. ( n + 1) Giải: Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1 Trang 11
  12. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số n( n + 2) (n − 1)(n + 1) = 2− . ( n + 1) n2 2n + 1 Quy đồng mẫu ta được un = . n (n + 1) 2 2 n(n + 2) Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim 2 = 1. ( n + 1) n →∞ n →∞ 1 Bài toán 2.1.2: Sn = 1 − . n +1 Giải: n +1 −1 Ta có Sn = . n +1 Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1 n +1 −1 n −1 = − . n +1 n 1 Quy đồng mẫu ta được un = ( n + n + 1) n(n + 1) n +1 −1 = Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim 1. n →∞ n →∞ n +1 Bài toán 2.1.3: Sn = arctan n . 2011 Giải: Số hạng tổng quát un = Sn − Sn−1 = arctan n 2011 − arctan(n − 1) 2011 n 2011 − (n − 1) 2011 = arctan 1 + (n 2 − n) 2011 a −b (Sử dụng công thức arctan a − arctan b = arctan ) 1 + ab Trang 12
  13. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số π Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim arctan n 2011 = . n →∞ n →∞ 2 Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng quát của chúng. Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy. Đó chính là dạng toán sau 2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: * Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi. Từ bài toán xuất phát sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi. 1 ∞ ∑ n(n + 1) . 2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi n =1 Giải: Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau 1 1 1 un = =− . n(n + 1) n n + 1 Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u 2 + .... + un  1 1 1 1 1 = 1 − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷  n n +1  2  2 3 1 =1− . n +1 1 Như vậy, tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim(1 − ) = 1. n +1 n →∞ n →∞ 2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng { an } với các số hạng khác không và 1 ∞ ∑a a công sai d > 0 . Tính tổng của chuỗi số . n =1 n +1 n Trang 13
  14. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Giải: Vì { an } là cấp số cộng với các số hạng khác không và công sai d > 0 nên ta 1 ∞ ∑ (a viết lại chuỗi như sau . + ( n − 1) d )(a1 + nd ) n =1 1 1 un = Số hạng tổng quát là ( a1 + (n − 1)d )(a1 + nd ) 1 1 1 = − ÷.  d  a1 + (n − 1)d a1 + nd  Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u2 + .... + un 1 1 1 = − ÷. d  a1 a1 + nd  1 1 11 Tổng của chuỗi cần tìm là S = lim Sn = lim  − ÷= . d  a1 a1 + nd  a1d n →∞ n →∞ Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết quả 1 ∞ ∑ n( n + m) , m ∈ N . Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi n =1 Giải: 1 11 1 Số hạng thứ n của chuỗi un = = (− ),m∈ N . n ( n + m) m n n + m Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u 2 + .... + un Trang 14
  15. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1 1  1 1 1 1 1 1 = 1 − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷ m  1+ m  m  2 2 + m  m n n + m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ... + + + +− − − ... − ) m 1+ m 2 + m n 1+ m 2 + m n+m m 2 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ... + − − − ... − ). m n +1 n + 2 n+m m 2 Như vậy, tổng của chuỗi là 1 1 1 1 1 1 1 1 S = lim S n = lim (1 + + ... + − − ... − ) = (1 + + ... + ), m ∈ ¥ . m n +1 n+m m m 2 2 m n →∞ n →∞ 1 ∞ ∑ ,k ∈¡ . Bài toán 2.2.4: Tính tổng của chuỗi n =1 ( kn − 1) ( kn + k − 1) Giải: Rõ ràng ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau 1 11 1 un = =( − ) , k ∈¡ ( kn − 1)(kn + k − 1) k kn − 1 kn + k − 1 Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u 2 + .... + un 11 1 11 1 11 1 =( − )+ ( − ) + ... + ( − ) k k − 1 2k − 1 k 2k − 1 3k − 1 k kn − 1 kn + k − 1 11 1 =( − ). k k − 1 kn + k − 1 Như vậy, tổng của chuỗi là 11 1 1 S = lim Sn = lim ( − )= ,k ∈¡ . k k − 1 kn + k − 1 k (k − 1) n →∞ n →∞ 2.2.5 Một số bài toán mở rộng: 1 ∞ ∑ n(n + 1)...(n + k ) , k ∈ N . Bài toán 2.2.5.1: Tính tổng của chuỗi n =1 Giải: Ta phân tích số hạng tổng quát Trang 15
  16. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1 1 1 un = ( − ). k n(n + 1)...(n + k − 1) (n + 1)...(n + k ) Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là Sn = u1 + u2 + .... + un 1 1 1 =( − ) , k ∈¥ . k 1.2...k (n + 1)...(n + k ) Như vậy, tổng của chuỗi là 1 1 1 1 S = lim S n = lim ( − )= . k 1.2...k (n + 1)...(n + k ) k .k ! n →∞ n →∞ n2 ∞ Bài toán 2.2.5.2: Tính tổng của chuỗi ∑ (Cô ơi, xem n =1 ( n + 1)( n + 2)( n + 3)( n + 4) giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em xem kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!) Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là n2 un = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 11   2 1 1 1 = − − − (n + 1)( n + 2) ( n + 3)(n + 4) 2  (n + 1)(n + 3) (n + 2)( n + 4)   11   1 1 +  (n + 1)(n + 4) − (n + 2)( n + 3)  . 4  Tổng riêng thứ n của chuỗi là Trang 16
  17. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 11 1 1 11 1 1 Sn = u1 + u2 + .... + un = 2( − + ... + − ) − ( − + ... + − ) n +1 n + 2 n+3 n+4 23 45 11  1 1 1  1  1 1 1 1 −  − + ... + − ÷−  − + ... + − ÷ n + 2 n + 4  n +1 n + 3   3 5 4  2 4  11  1  1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 +  3  2 − 5 + 3 − 6 + ... + n + 1 − n + 4 ÷−  3 − 4 + 4 − 5 + ... + n + 2 − n + 3 ÷ 4    1  11  1 1 1  1 1  1 1  1 1 1 1 = 2 − ÷−  − ÷ −  + − − ÷−  + − − ÷  2 n + 2   4 n + 4  4  2 n n + 2 n + 3   3 n + 1 n + 3 n + 4   11  1  1 1 1 1  1  1 1 1 +  3  2 + 3 + 4 − n + 2 − n + 3 − n + 4 ÷−  3 − n + 3 ÷ 4    53 Như vậy, tổng của chuỗi là: S = lim S n = . 144 n →∞ Việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi cần có kỹ năng phân tích để sau khi lập tổng riêng thứ n ta được biểu thức thu gọn. Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau 1 ∞ ∑ arctan n Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi . + n +1 2 n =1 Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là 1 = arctan 1 un = arctan 2 1 n(n + 1)(1 + ) n + n +1 n(n + 1) a −b Sử dụng công thức arctana-arctanb = arctan ta được 1 + ab 1 1 un = arctan − arctan n +1 n Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là Sn = u1 + u2 + .... + un Trang 17
  18. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1 = arctan1 − arctan n +1 π 1 Khi đó, tổng của chuỗi là: S = lim S n = lim(arctan1 − arctan )= . n +1 4 n →∞ n →∞ (2n + 1) n ∞ ∑ ln (n + 1)(2n − 1) . Bài toán 2.2.5.4: Tính tổng của chuỗi n =1 Giải: Ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi như sau (2n + 1) n un = ln = ln n − ln(n + 1) + ln(2n + 1) − ln(2n − 1) (n + 1)(2n − 1) Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u2 + .... + un = [ ln1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + ... + ln n − ln( n + 1) ] + [ ln 3 − ln1 + ln 5 − ln 3 + ... + ln(2 n + 1) − ln(2n − 1) ] = ln(2n + 1) − ln(n + 1) 2n + 1 = ln . n +1 2n + 1 Khi đó, tổng của chuỗi là S = lim S n = lim ln = ln 2 . n +1 n →∞ n →∞ cos3 3n x ∞ Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi ∑ (−1) n . 3n n =1 Giải: cos3 3n x Số hạng tổng quát của chuỗi là un = (−1) n . 3n x x Sử dụng đồng nhất thức cos x = 4cos − 3cos ta phân tích được số hạng 3 3 3 n +1 cos3n x n cos3 x tổng quát dưới dạng: un = (−1) + (−1) n . n −1 n 4.3 4.3 Trang 18
  19. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1 + u 2 + .... + un cos3n+1 x cos3x = (−1) n − . 4.3n 4  x cos3x  n +1 n cos3 cos3 x Khi đó, tổng của chuỗi là: S = lim S n = lim (−1) − =− 4 . n 4.3 4  n →∞ n →∞ Sau đây là một dạng khác của bài toán tính tổng của chuỗi số 2.3 Các bài toán tính tổng của chuỗi có sử dụng các đồng nhất thức. Trong phần này chúng ta có thể sử dụng một số đồng nhất thức quen thuộc để phân tích số hạng tổng quát của chuỗi. π Bài toán 2.3.1: Dùng đồng nhất thức cot x = 2cot(2 x) + tan x, x ≠ k , k ∈ ¢ tính 2 1 x ∞ tổng của chuỗi sau: ∑ tan n . 2 n =1 2 2 Giải: 1 x Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: un = tan n . n 2 2 π Từ đồng nhất thức cot x = 2cot(2 x) + t anx, x ≠ k , k ∈ Z ta suy ra 2 π t anx = cot x − 2cot(2 x), x ≠ k ,k ∈ Z . 2 1 x x un = cot n − 21− n cot n −1 . Khi đó 2n 2 2 Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là Sn = u1 + u2 + .... + un 1 x = −2cot 2 x + cot n . n 2 2 Như vậy, tổng của chuỗi là Trang 19
  20. Một số bài toán tính tổng của chuỗi số π 1 x 1 S = lim S n = lim( −2cot 2 x + cot n ) = − 2cot 2 x, x ≠ k , k ∈ Z . n 2 2 x 2 n →∞ n →∞ (1 − b) x Bài toán 2.3.2 Dùng đồng nhất thức arctan x = arctan(bx) + arctan tính 1 + bx 2 (1 − b)b n x ∞ tổng của chuỗi sau ∑ arctan ,0 < b < 1. 1 + b 2 n +1 x 2 n =0 Giải: (1 − b)b n x Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: un = arctan 1 + b 2 n+1 x 2 (1 − b) x Từ đồng nhất thức arctan x = arctan(bx) + arctan ta suy ra 1 + bx 2 (1 − b) x = arctan x − arctan(bx) . arctan 1 + bx 2 un = arctan b n x − arctan b n +1 x . Khi đó Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là: Sn = u0 + u2 + .... + un −1 = arctan x − arctan b n x Với 0 < b < 1 thì lim arctan b n x = 0 . Do đó tổng của chuỗi là n →∞ S = lim S n = lim(arctan x − arctan b x) = arctan x n n →∞ n →∞ Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác. Trước hết, ta xét bài toán tổng quát sau: 2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm f và g thỏa mãn điều kiện f ( x) = af (bx) + cg ( x) . (a) Chứng minh rằng nếu lim a f (b x) = L( x) tồn tại thì n n n →∞ f ( x) − L( x ) ∞ ∑a g (b n x ) = n . c n =0 Trang 20
Đồng bộ tài khoản