Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: xuongrongxanh132

Toán học là chìa khóa của mọi nghành khoa học. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người. Nói đến môn toán chúng ta không thể không nhắc tới phần hình học. Với một xã hội mà khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán nói chung và hình học nói riêng lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu.

Bạn đang xem 10 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ

   


MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. DẪN NHẬP

Toán học là chìa khóa của mọi nghành khoa học. Môn toán là một môn khoa
học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người. Nói đến môn toán chúng ta
không thể không nhắc tới phần hình học. Với một xã hội mà khoa học kĩ thuật
ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán nói chung và hình học nói riêng lại
càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu.

Khoảng cách và góc trong mặt phẳng tọa độ là mảng kiến thức rất quan trọng
trong phần hình học. nó có mặt hầu hết trong các kì thi đặc biệt là kì thi đại học.
Các bài toán về khoảng cách và góc rất đa dạng. Vì vậy việc nghiên cứu phân loại
và đưa ra phương pháp giải một số bài toán về khoảng cách và góc trong mặt
phẳng tọa độ là hết sức cần thiết nhằm giúp cho người học tiếp nhận kiến thức một
cách đầy đủ, có hệ thống, tránh được cảm giác mơ hồ, chán nản, lười suy nghĩ của
người học.

Với mục đích đó, em sẽ tập trung nghiên cứu các vấn đề như sau:

Tóm tắt lí thuyết liên quan

Phân loại các dạng bài tập. Mỗi dạng đưa ra một số bài toán theo độ khó tăng
dần với nhiều cách giải khác nhau. Từ đó thấy được ưu nhược điểm của mỗi
phương pháp để vận dụng cho phù hợp.

Trong quá trình nghiên cứu sẽ không tránh khỏi những sai xót, em rất mong nhận
được ý kiến đóng góp của thầy và các bạn để bài nghiên cứu của em được hoàn
thiện hơn.

2. NỘI DUNG
   


2.1. Tóm tắt lí thuyết
2.1.1. Khoảng cách
2.1.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm M( ; ) đến
đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được
tính theo công thức

| |
d(M ; ∆) = .



Hình 1

2.1.1.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song
song bằng khoảng cách từ một điểm trên
đường thẳng này đến đường thẳng kia hoặc
ngược lại.



Hình 2

2.1.1.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng.

; ;
Cho hai điểm M( ), N( ) và
đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khi đó:

• M và N nằm cùng phía đối với ∆
( )( ) > 0;


Hình 3
• M và N nằm khác phía đối với ∆
   


( )( ) < 0.




Hình 4

2.1.1.4. Công thức đường phân giác.

Cho hai đường thẳng ∆ : = 0 và ∆ :
x+ y+ x+ y+ = 0. Khi
đó:

Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆ là




2.1.2. Góc giữa hai đường thẳng
2.1.2.1. Định nghĩa
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành
bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được
gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và
b, hay đơn giản là góc giữa a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 .
Hình 5

Kí hiệu: góc giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu là ( , ), hay đơn giản là (a,
b).

2.1.2.2. Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ

Gọ i , lần lượt là hai VTCP của đường thẳng a và đường thẳng b.

Nếu ( , ) ≤ 90 thì (a, b) = ( , )
   


Nếu ( , ) > 90 thì (a, b) = 180 - ( , )

2.1.2.3. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆ : = 0 và ∆ :
x+ y+ x+ y+ = 0. Khi đó

góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ được xác định bởi công thức

| |
cos ∆ , ∆ = (5)
.



Chú ý: ∆ ∆ = 0.

Nếu đường thẳng cho dưới dạng ∆ : y = kx + b, ∆ : y = k’x + b’ ( k, k’ lần lượt
là hệ số góc của hai đường thẳng ∆ và ∆ )

thì ∆ ∆ k.k’ = 1.

2.2. Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách và góc trong mặt phẳng
tọa độ.

Dạng 1: tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến đường
thẳng.

Phương pháp: áp dụng linh hoạt các công thức sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm A( ; ;
), B( ) là:

AB = . (1)

• Khoảng cách từ điểm M( ; ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính
theo công thức

| |
d(M ; ∆) = . (2)

   


• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành.
, ,
Gọ i lần lượt là các VTCP; lần lượt là các VTPT của hai đường
thẳng ∆ và ∆ thì:

cos ∆ ; ∆ = |cos | = |cos |.
; ; (3)

Chú ý:

• góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 .
• Góc A của ∆ABC là góc giữa hai vectơ và .
• Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì đường thẳng phải
viết dưới dạng phương trình tổng quát
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng
như sau:(SBT hình học 10- cơ bản)
a) A(3 ; 5) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0
1 2 1
b) B(-1 ; 2) và ∆’:
2 2

Giải

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách

|. |
.
Ta có d(A , ∆) = = .



b) Từ phương trình (2) suy ra: t = - , thay vào phương trình (1) ta được

x = -1 + 2(- ) = -1 y.

vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆’ là:
x + y + 1 = 0. Do đó áp dụng công thức (2) ta có:

d(B; ∆’’) = = √2

   


Bài toán 2: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là:

x + 2y = 0; 2x + y = 0; x+ y = 1. ( SBT hình học 10- nâng cao)

Giải

Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho. Khi đó tọa độ
các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ phương trình sau:

2 0 2 0 2 0
; ;
2 0 1 0 1 0

Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là (0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2).

Giả sử A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2). Suy ra

=(2; -1), =(-1 ; 2), =(-3 ; 3).

Vì AB = AC = √5 nên tam giác ABC cân tại A.

. .
cosA = cos ; ~ 143 8′
=√ =
.√


~ 18 26′
=

Dạng 2: vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng .

Phương pháp: để xét vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với đường thẳng (d) ta
làm như sau:

Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng (d)

• Nếu được hai giá trị cùng dấu thì kết luận A, B cùng phía đối với (d).
• Nếu được hai giá trị khác dấu thì kết luận A, B khác phía đối với (d).

Bài toán 1: : Biết các cạnh của tam giác ABC có phương trình:
   


a) Hãy cho biết gốc tọa độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC.

AB: x – y + 4 = 0; BC: 3x + 5y + 4 =0; AC: 7x + y – 12 = 0.

Giải Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái của ptdt BC, AC, AB ta được:

3.0 + 5.0 + 4 = 4; 7.0 + 0 – 12 = -12; 0 – 0 + 4 = 4.

Thay tọa độ của A, B, C lần lượt vào vế trái của phương trình đường thẳng: BC, AC,
AB ta được:

3 + 5.5 + 4 = 32; 7.(-3) + 1 – 12 = 32; 2 + 2 + 4 = 8.

Như vậy : O và A nằm cùng phía đối với BC, O và B nằm cùng phía đối với AC, O và
C nằm cùng phía đối với AB. Vậy O nằm trong tam giác ABC.

Nhận xét:

Hai dạng toán trên là những dạng toán cơ bản với mục đích để cho người làm
toán nhớ được các công thức cơ bản cũng như rèn kĩ năng tính toán. Tuy nhiên, ta
không thể bỏ qua bởi nó là cơ sở giúp chúng ta hình thành những ý tưởng mới trong
việc giải các bài toán phức tạp hơn đặc biệt là bài toán về cực trị, bài toán quỹ tích
mà ta sẽ xét ở phần sau.

Khi làm gặp bài toán dạng này ta chỉ việc sử dụng công thức, tính chất đã nêu
ở phần phương pháp hoặc nếu cần thì chỉ vẽ hình phác họa, mà không cần phải biểu
diễn một cách chính xác tọa độ từng điểm hay từng đường thẳng lên mặt phẳng tọa
độ. Đây cũng là ưu điểm của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Dạng 3: một số bài toán viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng
cách

Bài toán 1: viết phương trình đường phân giác của các góc trong một tam giác.

Phương pháp:
   


cách 1: Để tìm đường phân giác trong AD của tam giác ABC ta làm như sau:

• Lập phương trình hai cạnh AB, AC.
• Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB,
AC theo công thức đã biết.
• Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C đối với một trong hai đường phân giác
vừa tìm. Giả sử là đường thẳng ( ).
Nếu B, C khác phía đối với ( )thì ( ) là đường phân giác trong góc A.
Ngược lại ta kết luận là đường
phân giác ngoài góc A.

cách 2:

• Tìm tọa độ ba đinh của tam giác A,
B, C. Gọi D, E lần lượt là chân
đường phân giác trong và ngoài kẻ
từ A của tam giác ABC.
• Tính tọa độ của , =

, = .

• Để tìm D ta áp dụng hệ thức: =

=- . =- . . Từ hệ thức này ta tìm được tọa độ của D. Khi

đó viết phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm A, D.
Hình 6
• Để tìm tọa độ điểm E ta áp dụng hệ thức: = = . = . . Từ

hệ thức này tìm được tọa độ của E. Khi đó viết phương trình đường thẳng AE.

cách 3:

• Tính tọa độ của , = , = .
   


• Đặt = = . = (* ; *) ; = = . = (*; *).

• Khi đó VTCP của đường phân giác trong góc A là: phương
trình đường phân giác trong góc A.
• VTCP của đường phân giác ngoài góc A là: phương trình
đường phân giác trong góc A.

Ví dụ: Viết phương trình đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC với:
A(2 ; 6), B(-3 ; -4), C(5 ; 0).

Giải

Cách 1:

Phương trình đường thẳng AB là: = 2x – y + 2 = 0.


Phương trình đường thẳng AC là: 2x + y – 10 = 0.

Áp dụng công thức phương trình đường phân giác ta có phương trình hai đường phân
giác của góc A là:

=± y – 6 = 0 ( ) hoặc x – 2 = 0 ( ). Thay toạ độ của B vào vế
√ √


trái của phương trình đường thẳng ( ), ta có: -4 – 6 = -10 < 0. Thay tọa độ điểm C
vào vế trái phương trình đường thẳng ( ), ta có: 0 – 6 = -6 < 0. Suy ra B. C nằm
cùng phía đối với ( ( ) là đường phân giác ngoài của góc A. Vậy phương trình
của đường phân giác trong góc A là: x – 2 = 0.

Cách 2:

AB = 5√5; AC = 3√5. Gọi D là chân
Ta có: = ( -5 ; -10) = ( 3 ; -6)
đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC.
   


Ta có hệ thức: = =- . (-3 – x ; -4 – y) = - (5 –x; -y)

3 2
4


Vậy D(2 ; - ).


Khi đó đường phân giác trong góc A cần tìm là: AD: x- 2 = 0.


Hình 7



Cách 3

Gọ i , lần lượt là vectơ đơn vị trên trục AB và AC, ta có:
√ √
.( -5 ; -10) = ( - √5 ; -2√5)
= = . =

= (√5 ; -2√5). Khi đó ta đặt = (0 ; -4√5) // (0 ;
1) thì chính là VTCP của đường phân giác trong góc A. Do
đó phương trình của đường phân giác này là: = x–2

= 0.
Bài toán 2:

a) Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(3 ; 6), Viết phương trình đường thẳng đi qua A và
cách B một khoảng bằng 2.
b) Cho đường thẳng d có phương trình 8x – 6y – 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng ∆ song song với d và cách d một khoảng bằng 5.

Bài toán 3: viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A và tạo với đường thẳng (d)
một góc α
   


Phương pháp: gọi VTPT của đường thẳng (∆) là = (a ; b)



• Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm A.
• Dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng (∆) và (d), từ đó tìm được biểu
thức liên hệ giữa a và b,
• Vì một đường thẳng có vô số VTPT nên ta có thể chọn một bộ a, b thỏa mãn
biểu thức vừa tìm được. Thay a, b vào phương trình tổng quát ban đầu ta tìm
được phương trình đường thẳng cần tìm.

Ví dụ: viết phương trình đường thẳng

a) Qua A(-2 ; 0) và tạo với đường thẳng d: x + 3y – 3 = 0 một góc 45 ;
2 3
một góc 60 .
b) Qua B(-1; 2) và tạo với đường thẳng d:
2
( SBT hình học 10 nâng cao)
Phương pháp:
Giải
a) Đường thẳng ∆ qua A(-2 ; 0) với VTPT ∆ (a ; b) có phương trình :
0;
a(x +2) + by = 0 hay ax + by + 2a = 0 (
VTPT của đường thẳng (d): (1 ; 3).
Theo gt: ∆ tạo với (d) góc 45
| |
Nên cos45 = √ 2 - 3ab -2 =0
.√

Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2 ta được đường thẳng ∆ : 2x + y +4 = 0.

Với a = - , chọn b = -2, a = 1, ta được đường thẳng ∆ : x - 2y + 2 = 0.

(a ; b) là VTCP của đường thẳng ∆ cần tìm ( 0 ).
b) Gọi

Đường thẳng (d) có VTCP = (3; -2).

| |
∆ tạo với (d) góc 60 khi và chỉ khi cos 60 √ .√
   

| |
43 2
13( )
.√



48 3
23 =0

√ √
. hoặc a = .
a=

√ √
. , chọn b = 1, a = . , được VTPT của ∆ là ′ = ( -1 ;
Vớ i a =
√ √
) và được đường thẳng ∆ : - (x + 1) + 2 =0

√ √
-x+ .y– = 0.

√ √
. , chọn b = 1, a = . , ta được đường thẳng
Vớ i a =

√ √
∆ :-x+ .y - = 0.

Bài toán 4: trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
M(1 ; 2) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho bé nhất.




Cách 1:
   


H ạ OH (d). trong tam giác vuông OAB, ta có: ô đổ

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

H M OM (d).

Hình 8

Do đó đạt giá trị bé nhất khi đường thẳng (d) đi qua điểm M (1 ; 2) và có

VTPT là

(1 ; 2).

Vậy đường thẳng (d) cần tìm là:

1(x – 1) + 2(y – 2) = 0 x + 2y – 5 = 0.

Nhận xét:

• Phép biến đổi là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại lượng

biến thiên OA, OB về biểu thức còn một đại lượng biến thiên OH.
• Cách giải trên không mở rộng được cho bài toán tổng quát hơn: xác định vị trí
0 . Cách làm sau đây tổng
của đường thẳng (d) để nhỏ nhất. (a, b

quát hơn.

Cách 2: đường thẳng (d) đi qua M(1 ; 2), cắt các trục tọa độ và không đi qua gốc nên
nó là đường thẳng có hệ số góc k với k ≠ 0, k ≠ 2 có dạng: y – 2 = k(x – 1) y = kx
– k + 2.

; 0 , B(0 ; 2 – k) và
Ta có: A(


Xét hàm số: f(k) = (k ≠ 0, k ≠ 2 ) có: f’(k) =
   


f’(k) = 0 -4 + 6k + 4 = 0 k = 2 hoặc k = -

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(k):




Vậy f(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = - .


Do đó nhỏ nhất khi k = - (d): x + 2y – 5 = 0.

Cách 3:

Giả sử A(m ; 0), B(0 ; n), (m , n ≠ 0).

Khi đó (d): = 1đi qua M(1 ; 2) nên: =1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

≤1 2.
1=

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1 2
1
1 2 5
1
1 5
1
2 2
1
2


Vậy . Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi m = 5, n = , tức là

(d): x + 2y – 5 = 0.
   




Bài toán 4 :(vở )

Lập phương trình đường thẳng đi qua P(2 ; 1) sao cho cùng với 2 đường thẳng

(d): 2x – y + 5 = 0 và (d’): 3x + 6y – 1 = 0 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm
của (d) và (d’).

Giải

Cách 1:

Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có:

VTPT của (d) là (2 ; -1)

VTPT của (d’) là ′(3 ; 6)

Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d) (d’)

Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng
cần tìm (d’’)là tam giác vuông cân, suy ra (d’’) tạo
với (d) một góc 45

Hình 9

Gọi ′′(a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm. Khi đó

|2 |
cos 45
√5. √

3 8 3 0

a = 3b hoặc a = - ,
   




Với a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình đường thẳng (d’’) là: 3(x – 2)
+ (y – 1) = 0

3x + y – 7 = 0 (d’’)

Vớ i a = , chọn b = - 3, a = 1 ta

được phương trình đường thẳng (d’’) là:

(x – 2) – 3(y – 1) = 0

x – 3y + 1 = 0 (d’’).

Vậy có hai đường thẳng (d’’) thỏa mãn bài
toán là:

3x + y – 7 = 0 và x – 3y + 1 = 0




Hình 10




Cách 2:



Từ phương trình đường thẳng (d) và (d’) ta có:
   


VTPT của (d) là (2 ; -1)

VTPT của (d’) là ′(3 ; 6)

Vì 2.3 + (-1).6 = 0 nên (d) (d’)

Do đó tam giác cân tạo bởi (d), (d’) và đường thẳng cần tìm (d’’)là tam giác vuông
cân, suy ra (d’’) sẽ vuông góc với hai đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’).
(H.11, H.12)

Hình 11




Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) là:

| | | |
√ √


3(2 5) = (3 6 1)

3x – 9y + 16 = 0 (∆ hoặc 9x + 3y +14 = 0
(∆’).Gọi ′′(a, b) là VTPT của (d’’) cần tìm.

Đường thẳng (d’’) ∆) khi và chỉ khi 3a – 9b = 0
a = 3b, chọn b =1, a =3 ta được phương trình
đường thẳng (d’’) là: 3(x – 2) + (y – 1) = 0

3x + y – 7 = 0 (d’’)

Hình 12

Đường thẳng (d’’) ∆’) khi và chỉ khi 9a + 3b = 0 a= ,
   


Dạng 3: Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước.

Đây là dạng toán có rất nhiều bài tập hay và hay và khó và cũng rất khó để có thể đưa
ra phương pháp giải cụ thể. Tuy nhiên ta có thể thấy hướng giải chung nhất thường là:

Gọi điểm cần tìm là M( ; ), sau đó dựa vào giả thiết của từng bài toán cụ thể để
thiết lập phương trình, biểu thức liên hệ giữa và một cách hợp lí, suy ra tọa độ
M.

Bài toán 1: (KA-2006)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
: x + y + 3 = 0, : x − y − 4 = 0, : x − 2y = 0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng .

Giải

Vì M thuộc nên M(2y ; y).

| | | | | | | |
Ta có: d(M ; )= = ; d(M ; )= =
√ √ √


| | | |
Theo giả thiết: d(M ; ) = 2 d(M ; ) = 2. y = -11, y = 1.
√ √


Với y = -11 ta được điểm (-22 ; -11).

Với y = 1 ta được điểm (2 ; 1).

Bài toán 2: (KB – 2007)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các
đường thẳng: : x + y – 2 = 0, : x + y – 8 = 0.
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc và sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A

Giải
   


Vì B thuộc ; C thuộc nên B(b ; 2 – b), C(c ; 8-c). vì tam giác ABC vuông cân tại
1 4 2
4 2 0
. 0
A nên:
10 4 3
2 8 18

2
Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ
3

Giải hệ trên ta được x = -2, y = -1 hoặc x = 2, y = 1

Suy ra: B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5 ; 3)

Bài toán 2: Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai điểm B(2 ; -1)
và C (1 ; -2). Trọng tâm G của tam giác ABC ở tren đường thẳng ∆: x + y – 2 = 0.
Diện tích tam giác ABC bằng . Tìm tọa độ điểm A. (toán bồi dưỡng học sinh THPT

hình giải tích)

Giải

;
Gọ i ( ) là tọa độ của G.
G ở trên đường thẳng ∆:x + y -2 = 0 , nên ta có
2 0. (1)
Đường thẳng BC đi qua B(2 ; -1) và C(1 ; -2)có
phương trình: = x – y – 3 = 0.

;
Khoảng cách từ G( ) tới BC:
| |
d(G ; BC) = .


2 1 1 2 2
Mặt khác:
Suy ra BC = √2
   


| 3|
1 1
.| 3|
. √2.

2 2
√2
Lại có = . Do đ ó
∆ ∆

.| 3| 3



3 0
TH1: (2)


Giải hệ (1), (2) ta được , .


Hay G( ; ).

3 3
Theo công thức trọng tâm: , Thay tọa độ
B, C, G vào ta được 5, -2. Vậy A(5 ; -2).

3 0.
TH2: (3)


Giải hệ (1), (3) ta được G( ; ). Tính toán tương tự theo công thức trọng tâm ta

được tọa độ điểm A(4 ; 2).

Chú ý: khi giải toán không nhất thiết phải vẽ hình chính xác

Bài toán 2: trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A(1
; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5). Một đường thẳng (∆) có phương trình là 3x – y -5 =
0. Tìm điểm M trên (∆) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.

Giải

3 4 25
Ta có: AB = 5,

16 1 17 CD = √17.
   


Phương trình đường thẳng AB đi qua hai điểm A(1 ; 0) và B(-2 ; 4) là:
(AB):

4x + 3y – 4 = 0

Phương trình đường thẳng CD đi qua hai điểm C(-1 ; 4)và D(3 ; 5) là:

(CD): x – 4y + 17 = 0.

; 3 5
Gọi M( ) thuộc ∆

Độ dài đường cao kẻ từ M của tam giác ABC là:

| |
d(M ; AB) =

Độ dài đường cao kẻ từ M của tam giác MCD là:

| |
d(M ; CD) =


| | | |
. . d(M ; AB) = .5 . =


. M; D


| |
= . √17. =



|4 4| | 17|
3 4

3 4= 4 1
4 (

4 3 4 4 17 3 7 21
TH1:
3 5 3 5 2

Ta được điểm M ( ; 2
   


4 3 4 4y 17 9
TH2:
32
3 5

Ta được điểm M( -9 ; -32)

Dạng 4: một số bài toán quỹ tích liên quan đến khoảng cách và góc.

Bài toán 1: Tìm quỹ tích các điểm cách đường thẳng (d): -2x + 5y – 1 = 0 một
khoảng bằng 3.

Giải

Điểm M( x ; y) cách đưởng thẳng: -2x + 5y – 1 = 0 một khoảng bằng 3

| |
3


|2 1|
5 3√29

-2x + 5y -1 = 3√29 2x – 5y +1 +3√29 = 0

hoặc -2x + 5y – 1 = - 3√29 2x – 5y + 1 - 3√29 = 0

Vậy quỹ tích các điểm M là hai đường thẳng song song có phương trình:

2x – 5y +1 +3√29 = 0 và 2x – 5y + 1 - 3√29 = 0

Bài toán 2: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 1), B(9 ; 7). Tìm quỹ tích
2 2
các điểm M sao cho 90.(vở)

Giải

Cách 1: Gọi M(x ; y).

2 2
2 2 2 2
Khi đó: 1 à 9 7

2 2
Do đó 90
   

2 2 2 2
1 1 9 7 90

2 2
2 2 20 16 132 90 0

2 2
10 8 21

2 2
5 4 21 25 16

2 2
5 4 20.

Vậy quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm I(5 ; 4), bán kính R = 2√5

2 2 2
Cách 2: Vì A(1 ; 1), B(9 ; 7) 9 1 7 1 100

gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I(5 ; 4), IA = IB = 5 và 0

2
2 2 2
2
.
Ta có: 2

2
2 2 2
2
.
2

2 2 2 2 2
Nên 2 90

2
2 25 25 90

2
20.

2 2 2
Gọi M(x ; y). Khi đó: 5 4 20.

Vậy quỹ tích điểm là đường tròn tâm I(5 ; 4), bán kính R = 2√5

1; 2; ;
Tổng quát: cho n điểm , ,...., và n+1 số:
1 1 2 2

1, 2, … , ,

2
1.
thỏa mãn : 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho
1 2 1
2 2
2. . .(SBT hình hoc 10 – nâng cao)
2
   


Giải

2 2 2
1. . .
Gọi M(x ;y), ta có 1 2
2

2 2 2 2
1. 2. . 1.
[ ].[
1 2 1
2 2
2. . ]=k
2

2 2
1. 2. .
( )( - 2( )x –
1 2 1 2
2 2 2 2
1. 2. . 1. 2.
2( )y +
1 2 1 1 2 2
2 2
=k

1. 1 2. 2 . 1. 1 2. 2 .
Đặt a= ,b= ,c=
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1. 2.
1 1 2 2
.
1 2


2 2
Thay vào phương trình trên ta được: 2 2 0

2 2
2 2


2 2
‐ Nếu 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(a ; b), bán
2 2
kính R= .
2 2
‐ Nếu 0 thì tập hợp các điểm M là điểm I(a ; b).
2 2
‐ Nếu 0 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng

Bài toán 2: trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho hai điểm cố
;
định A(a ; b), A’(a’ ; b’). tìm quỹ tích những điểm M sao cho góc( ) không
đổi về chiều và độ lớn.( toán bồi dưỡng học sinh THPT hình giải tích)

Giải
   


;
Đặt ( ) không đổi.
Gọi α, α’là góc hợp bởi các tia AM và
A’M với chiều dương của trục hoành Ox.
Ta có α’ = α.tan ,
= α’ – α
tan ’= .
′.
1

Ta có:

tanα’= ;


tanα =


′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

tan = = = hay
′. ′ ′ 2 2 ′ ′ ′ ′
1 ′.



2 2 ′ ′ ′
.
:
′ ′ ′ ′ ′
. . 0. (1)

;
Vì chiều của góc ( ′) không đổi nên quỹ tích của M là đường tròn có phương
trình là (1). Đường tròn này qua A và A’.

Cho thay đổi ta được họ đường tròn có phương trình là (1) nhận A và A’ là
hai điểm căn cứ.

• Nếu A và A’ ở trên trục hoành, trục tung chứa đường trung trực của AA’ thì a
trở thành -a; a’ trở thành a; b = b’ = 0 và phương trình (1) trở thành:

2 2 2
2 0.

Dạng 5: bài toán cực trị.
   


1, 2, … ,
Bài toán 1: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho n điểm , và các số thực:
1, 2, … , và đường thẳng ∆

a) Tìm tọa độ điểm M trên ∆ sao cho nhỏ
1 1 2 2

nhất;
2 2 2
b) Tìm tọa độ điểm N trên ∆ sao cho nh ỏ
1 1 2 2

nhất.

Phương pháp:

Cách 1: Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 +...+ = 0, suy ra tọa độ
1 1 2

điểm I

a) Khi đó: +...+ = +
1 1 2 2 1 1 2 2

+...+ =( ). .
1 2


Do đó: M là hình chiếu
1 1 2 2

của I trên đường thẳng ∆.

2 2
2 2 2
b) Khi đó: =
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2
= =
1 1 2 2
2 2 2
( + .
1 2 1 1

2
2 2 2
Vì không đổi nên
1 1 1 1 2 2
2
N là hình chiếu của I lên đường thẳng ∆.

cách 2: vì M thuộc ∆ nên M(x ; y(x)).

a)
• Tính 1, 2 ,..., theo x, suy ra 1 1 2 2

theo x.
   


• 1 1 2 2 1 1 2 2

2
.
2
• là tam thức bậc hai đối với x, ta tìm
1 1 2 2

được GTNN của tam thức này, suy ra tọa độ điểm M cần tìm.
2 2 2
1,
b) Tính 2, ..., theo x suy ra 1 1 2 2

là một tam thức bậc hai đối với x. ta tìm được GTNN của tam thức này suy ra
tọa độ điểm N cần tìm.

Ví dụ: trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2 ; 3), B(-4 ; 1) và đường
thẳng (d): x + y + 1 = 0. Tìm điểm M trên (d) sao cho

a) nhỏ nhất.
2 2
b) (2 3 ) nhỏ nhất.

Giải

Cách 1:

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB I(-1 ; 2) và 0.

Ta có: =2 = 2MI

Nên M là hình chiếu của điểm I lên đường thẳng (d).

Phương trình đường thẳng (d’) đi qua I và vuông góc với (d): -1(x + 1) +1(y – 2) = 0.

-x + y – 3 = 0. Điểm M là giao của (d) và (d’) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
phương trình:

y– 3 2
x 0
suy ra M(-2 ; 1).
1
x y 1 0
   


b) Gọi J(x ; y) là điểm sao cho 2 +3 = 0.

Ta có: = (2 – x ; 3 – y), = (-4 – x ; 1 – y) nên 2 +3 = (-8 – 5x ; 9 –
5y)

8
85 0 8 9
5
; ).
Do đó: 2 +3 =0 hay J(
9
95 0 5 5
5


2 2 2 2 2
2 2
Do: 2 3 =2 +3 =5 +2 +3 và

2 2 2 2
2 +3 không đổi nên 2 3

M là hình chiếu của điểm J lên đường thẳng (d).

8 9
; ) và vuông góc với (d):
Phương trình đường thẳng (d’’) qua J(
5 5

8 9 17
-1(x + ) + 1(y - ) = 0 -x + y - = 0. Vì M là giao điểm của (d) và (d’’) nên tọa độ
5 5 5

điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

11
17
x y 0 5
5
6
x y 1 0
5


11 6
Vậy M( ;)
5 5


Cách 2:

a) Gọi M(x ; -x – 1) thuộc (d). A(2 ; 3), B(-4 ; 1) nên

= (2 – x ; 4 + x), = (-4 – x ; 2 + x)

Do đó: = (-2 – 2x ; 6 + 2x),

2 2 2 2
suy ra = 2 2 6 2 = 8[ 2 1] ≥ 8
   


= 2√2 khi và chỉ khi x = -2
Từ đó ta có: y=1

Vậy M(-2 ; 1).

b) Gọi M(x ; -x – 1) thuộc (d). A(2 ; 3), B(-4 ; 1) nên

2 2
2 2
= (2 – x ; 4 + x) =2 4 =2 + 4x =20

2 2
2 2
= (-4 – x ; 2 + x) =4 2 =2 +12x + 20

11 2 29 58
2 2 2
Do đó: 2 3 = 10 + 44x + 100 = 10[ +] ≥
5 25 5

58 11 6
2 2
Suy ra: 2 3 = khi và chỉ khi x = ,y= .
5 5 5

11 6
Vậy M( ; ).
5 5




Bài toán 2: cho hai điểm P, Q và đường thẳng ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M trên ∆ sao cho MP + MQ nhỏ nhất;
b) Tìm tọa độ điểm N trên ∆ sao cho | | lớn nhất

Phương pháp:

Xét vị trí tương đối của hai điểm P, Q đối với đường thẳng (∆)

• Nếu P, Q khác phía đối với đường thẳng (∆)
a) Với điểm M thuộc (∆) ta có MP + MQ ≥ PQ.

Do đó min( MP + MQ) = PQ khi ba điểm P. M . Q thẳng hàng. Tọa độ của M là giao
điểm của (∆) và PQ.

b) Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆. Tìm tọa độ điểm P’.
   


Với mọi N thuộc ∆ ta có NP = NP’ nên | |= ≤ P’Q.

Do đó: max| | = P’Q khi N thuộc đường thẳng P’Q và nằm ngoài đoạn
thẳng P’Q do đó N là giao của đường thẳng P’Q và ∆.

• Nếu P, Q cùng phía đối với đường thẳng (∆)
a) Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆. Tìm tọa độ điểm P’.

Với mọi M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q.

Do đó min(MP +MQ) = P’Q khi P’, M, Q thẳng hàng. Tọa độ điểm M là giao điểm
của P’Q và ∆.

b) Với mọi M thuộc ∆ ta có | | ≤ PQ nên max| | = PQ khi và
chỉ khi điểm N nằm ngoài đoạn PQ, do đó N là giao điểm của PQ và đường
thẳng ∆

Ví dụ : Cho hai điểm P(1 ; 6), Q(-3 ; -4) và đường thẳng ∆: 2x – y – 1 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M trên ∆ sao cho MP + MQ nhỏ nhất;
b) Tìm tọa độ điểm N trên ∆ sao cho | | lớn nhất.

(SBT hình 10- nâng cao)

Giải

a) Thay tọa độ điểm P, Q vào vế trái của ∆ ta được:
P: 2.1 – 6 – 1 = -5 , Q: 2. (-3) – (-4) – 1 = -3.
Suy ra hai điểm P, Q cùng phía đối với đường thẳng ∆.
Gọi P’ là điểm đối xứng với P qua ∆.
Phương trình đường thẳng (d) qua P và vuông góc với ∆ là:
( x – 1) + 2( y – 6 ) = 0 x + 2y - 13 = 0.
Hình 13
   


Tọa độ giao điểm I của (d) và (∆) là nghiệm của hệ phương trình:

x 2y 13 0
2x – y – 1 0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được I(3 ; 5)

Vì I là trung điểm của PP’ nên 2 , nên 2 .Từ đó
′ ′

tìm được tọa độ điểm P’(5 ; 4).

Phương trình đường thẳng P’Q qua P’(5 ; 4) và Q(-3 ; -4) là:

5 3
x – y – 1 = 0.
8 8


Với mọi M thuộc ∆ ta có MP = MP’ nên MP + MQ = MP’ + MQ ≥ P’Q.

Do đó min(MP +MQ) = P’Q khi P’, M, Q thẳng hàng. Tọa độ điểm M là giao
điểm của P’Q và ∆ nên là nghiệm của hệ phương trình:

x– y– 1 0
2x – y – 1 0

Giải hệ phương trình trên ta có tọa độ điểm M(0 ; -1)

b) Với mọi điểm N thuộc ∆ ta có | | ≤ PQ nên max| | = PQ
khi N, P, Q thẳng hàng. N là giao điểm của PQ và ∆.
Phương trình đường thẳng PQ qua P(1 ; 6) và Q(-3 ; -4) là:
1 3
5x – 2y -11 = 0. Giải hệ phương trình :
4 10


5x – 2y 11 0
2x – y – 1 0

ta được N(9 ; 17)
   


Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆(m), ∆’ (m) phụ thuộc
vào tham số m, có phương trinh lần lượt là:

2
∆(m) : 1 . x – my = 0,

2 2
∆’ (m): 1 . X – ( m +1) y + 1 = 0, trong đó -1 < m < 1.

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng ∆(m) luôn đi qua một điểm cố
định và đường thẳng ∆’(m) cũng luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tọa độ giao điểm M của ∆(m) và ∆’ (m).
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố
định.
d) Với giá trị nào của m thì góc giữa hai đường thẳng ∆(m) và ∆’ (m) bằng
600 .(SBT hình học 10 nâng cao).
   




3. Kết luận
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản