Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
238
lượt xem
64
download

Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_hồ đình sinh', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

  1. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hồ Đình Sinh I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: ìx + y + z = 3 ï í ( ) 3 ï(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz 3 î ( ) 3 Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ì x +1 + x + 3 + x + 5 = y -1 + y - 3 + y - 5 ï í ï x + y + x + y = 80 2 2 î Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5 Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường hợp sau: Nếu x>y-6 thì VT>VP. Nếu x<y-6 thì VT<VP. Suy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thứ hai ta tìm được x,y. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương ì 3x 4y 2z ï + + =1 íx +1 y +1 z +1 ï89 x 3 y 4 z 2 = 1 î Giải: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc giống hệ. Từ phương trình thứ nhất ta có: Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 1
  2. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG 1 2x 4y 2z = + + x +1 x +1 y +1 z +1 1 3x 3y 2z = + + y +1 x +1 y +1 z +1 1 3x 4y z = + + z +1 x +1 y +1 z +1 Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có: 1 x 2 y4 z2 ³ 88 x +1 ( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2 1 x 3 y3 z2 ³ 88 y +1 ( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2 1 x3 y4 z ³ 88 z +1 ( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1 Suy ra 1 1 1 x 24 y 32 z16 ³ 89 8 (1 + x ) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 3 4 2 24 32 16 Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1 x y z 1 1 Dấu bằng xảy ra Û = = = Ûx=y=z= . x +1 y +1 z +1 9 8 Ví dụ 4: Giải hệ ì 4 697 ïx + y = 2 í 81 ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0 2 2 î Giải: Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2. Xét phương trình bậc 2 theo x: x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0 D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2 7 Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £ . 3 4 Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £ 3 4 2 æ4ö æ7ö 697 Suy ra x + y £ ç ÷ + ç ÷ = 4 2 è3ø è3ø 81 4 7 Þ x = ;y = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm. 3 3 ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2 ï 5 íy - y + 2y z = 2 4 2 Ví dụ 5: Giải hệ ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2 î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2
  3. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG Giải: Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay x<1 hệ vô nghiệm. +) Nếu x>1 Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2 Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0 2 æ 1ö 3 Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z<1. 4 è 2ø 4 Tương tự, ta có y>1 Þ x<1 suy ra vô lý. +) Nếu x<1 Tương tự trên ta cũng suy ra được điều vô lý. Vậy x=y=z=1 là nghiệm của hệ. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Giải hệ: ì xy + yz + zx = x 2 + y 2 + z 2 ï ì x 2 + y2 + z2 = 3 a) í 6 b) í ïx + y + z = 3 îx + y + z = 3 6 6 î Bài 2: Giải hệ ì x3 y = 9 í ĐS: VN î3x + y = 6 Bài 3: Giải hệ ì xz = y + 2 ï ĐS: (2;2;2) í ïx + z = 2 y î ( x- y+ z ) Bài 4: Giải hệ ì y3 + x 2 = 64 - x 2 y ï í 2 ĐS: (0;2) ï( x + 2) = y + 6 3 î Bài 5: Giải hệ ì x +1 + x + y = 3 ï í ĐS: (0;4) ï x + ( y - 4) + 5 = 5 2 î Bài 6: ì3 x 3 + y + x 2 = 4 ï í ĐS: (1;0) ï x 2 - 1 + x + y2 = 1 î Bài 7. Giải hệ ì x 3 + y2 = 2 ï í 2 ĐS: VN ï x + xy + y - y = 0 2 î Bài 8: Giải hệ ì x 2 + y2 + z 2 = 1 ï í 2 ï x + y - 2 xy + 2 yz - 2 xz + 1 = 0 2 î HD: Hệ đã cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 3
  4. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG ì x 2 + y2 + z 2 = 1 ï í ï( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0 2 î Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1 Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1 Suy ra z = ±1 . Bài 9: Giải hệ ìx 2 = y + 1 ï 2 íy = z +1 ïz 2 = x + 1 î HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau. Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2 (*) Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z. Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z<0 . Khi đó z 2 = x + 1 > 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vô lý. 1± 5 Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= . 2 Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình ì x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy - zx - zy = 3 ï í 2 ï x + y + yz - zx - 2 xy = -1 2 î HD: Phương trình đã cho tương đương với ì( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0 ï í ï( x - y) - z( x - y) + 1 = 0 2 î ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2). II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình ì xy = a ï í yz = b ï zx = c î Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
  5. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG éì bc êïz = êï a êïï ab êí y = é ì xy = a êï c êï êï ê í yz = b ê ï x = ac ì xy = a ê ï ï î xyz = abc êîï b í yz = b Ûê Ûê ê ì xy = a êì ï( xyz )2 = abc êï bc î êïz = - ê í yz = b êï a êï êï ê î xyz = - abc ë ï ab êí y = - êï c êï ac êï x = - êï ëî b Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x + y + xy = 1 ï í x + z + xz = 2 (*) ï y + z + yz = 5 î HD Giải: ì( x + 1)( y + 1) = 2 ï (*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3 ï( y + 1)( z + 1) = 6 î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. Ví dụ 3: Giải hệ ì x 2 + 2 yz = x ï 2 í y + 2 zx = y (*) ï z 2 + 2 xy = z î HD Giải: ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x ï 2 ï (*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0 ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0 î î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: Bài 1: ì xy = 2 ì xy + x + y = 11 ì xy + x + y = 7 ì xy + xz = 8 ï ï ï ï a) í yz = 6 b) í yz + y + z = 5 c) í yz + y + z = -3 d) í yz + xy = 9 ï zx = 3 ï zx + z + x = 7 ï xz + x + z = -5 ï xz + zy = -7 î î î î Bài 2: Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
  6. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ì x + xy + y = 1 ï ï ï a) í y( x + y + z ) = 3 - xy b) í yz + 2 z + 3 y = 6 c) í y + yz + z = 4 ï z( x + y + z ) = 6 - xy ï xz + z + 3x = 5 ï z + zx + x = 9 î î î Bài 3: ì x 2 + 2 yz = x ì y 2 - xz = b ìx2 + y + z = 3 ìxyz=x+y+z ï ï ï ïyzt=y+z + t ï a) í y 2 + 2 zx = y b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) c) í y 2 + x + z = 3 d) í ï z 2 + 2 xy = z ï x 2 - yz = a ïz2 + x + y = 3 ï ztx = z + t + x î î î ïtxy = t + x + y î III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2 ï 2 í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z 2 2 2 2 ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2 î Giải: Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ. Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được ìæ y + z ö2 1 1 ïç ÷ = 3+ + 2 ïè yz ø x x ï 2 ïæ x + z ö 1 1 íç ÷ = 4+ y + 2 ïè xz ø y ï 2 ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1 ïç xy ÷ z z2 îè ø 1 1 1 Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận được x y z ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 (1) ï ï í( b + c ) = a + a + 3 2 2 (2) ï ï( a + c ) = b + b + 4 2 2 (3) î Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1. Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 . Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 . Từ đây các em có thể giải tiếp. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ì x 3 ( 6 + 21y ) = 1 ï í 3 ï x ( y - 6) = 21 î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
  7. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải. 1 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ z ì z = 21y + 6 ï 3 í 3 ï y = 21z + 6 î Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: ì xy 12 ïx + y = 5 ï ï yz 18 í = ïy + z 5 ï xz 36 ï = î x + z 13 HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: ì2 x + x 2 y = y ï í2 y + y z = z 2 ï2 z + z 2 x = x î Giải: Hệ đã cho tương đương với: ì2 x = y(1 - x 2 ) ï í2 y = z(1 - y ) 2 ï2 z = x (1 - z 2 ) î Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với ì 2x ïy = (1) ï 1 - x2 ï 2y íz = (2) ï 1 - y2 ï 2z ïx = (3) î 1 - z2 æ -p pö Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì è 2 2ø 2 tan a (1) Û y = = tan 2a 1 - tan 2 a 2 tan 2a (2) Û z = = tan 4a 1 - tan 2 2a 2 tan 4a (3) Û x = = tan 8a = tan a 1 - tan 2 4a ka Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z ) 7 -p p -p ka p -7 7 Vì <a < Þ < < Û <k< 2 2 2 7 2 2 2 Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 7
  8. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG ì -3p -2p -p p 2p 3p ü Do k Î Z nên k Î {-3; -2; -1;0;1;2;3} Þ a Î í ; ; ;0; ; ; ý î 7 7 7 7 7 7 þ ì x = tan a ï ì -3p -2p -p p 2p 3p ü Vậy nghiệm của hệ là : í y = tan 2a , với a là các giá trị í ; ; ;0; ; ; ý . ï z = tan 4a î 7 7 7 7 7 7 þ î BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: 1) Giải và biện luận các hệ phương trình: ì xyz ì xy ïy + z - x = ïx + y = a a2 ï ï ï xyz ï xz a) í x + y - z = b) í =a ï b2 ïx + z ï xyz ï yz ïx + z - y = ïy + z = a 2 î c2 î Giải các hệ phương trình sau: ì1 1 1 ï x + yz + xyz = 3 ï ìa + bc + abc = 3 ìa + bc + abc = 3 ï1 1 1 1 1 1 ï ï 2) í + + =3 HD: Đặt a = ; b = ; c = . Hệ íb + ca + abc = 3 Û í(a - b)(1 - c) = 0 ï y zx xyz x y z ïc + ab + abc = 3 ï(a - c)(1 - b) = 0 ï1 1 1 î î ï + + =3 î z xy xyz ì 5 xy ïx + y =1 ï ì5xy = 6( x + y) ì 2 5 ï x + y + x y + xy + xy = - 4 3 2 ï 5 yz ï ï 3) í =1 4) í7 yz = 12( y + z) 5) í ï y+z ï3xz = 4( x + z ) ï x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = - 5 ï 5zx î ï î 4 ï =1 îz + x ì1 1 ì 2 5 ï x + y = 3 - xy ì1 6 ï x + y = 2 xy 2 ï ï + =7 ï 6) í 7) í x y 8) í ï 1 + 1 = 7 - 3x y + 2 ïx - y = 3 2 2 ï x + y = 2 xy ï x 2 y2 î ï î xy îy x 2 ì 1 1 ïx + y + x + y = 5 ì2 x 2 + 2 x + y 2 + y = 6 ì x 2 + y2 - 3x + 4 y = 1 ï ï 9) í 10) í 11) í ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 î xy( xy + x + y + 1) = 4 ï3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3 2 2 î ï î x 2 y2 ì x ìx + y +3 x-y =4 ì x + x + y + y = 18 2 2 ïx + y + y = 5 ï ï 12) í x - y x+y 13) í 14) í ï xy = 2 î xy( x + 1)( y + 1) = 72 ï( x + y) x = 6 î ï î y Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 8
  9. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG ì 1 1 ì x ïx + y + x + y = 4 ï + y = 7 +1 ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9 ï 15) í 16) í y x xy 17) í îx + 4x + y = 6 2 ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 4 ï ï î x 2 y 2 î x xy + y xy = 78 ì x (3x + 2 y)( x + 1) = 12 ì y + xy 2 = 6 x 2 ï ì1 + x 3 y 3 = 19 x 3 ï 18) í 2 19) í 20) í îx + 2y + 4x - 8 = 0 ï1 + x y = 5 x ï y + xy = -6 x 2 2 2 2 2 î î ì8 x 3 y3 + 27 = 18 y 3 ï 21) í 2 (Olympic 2008) ï4 x y + 6 x = y 2 î ì x + y + x 2 + y2 = 8 ìx+ y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 y3 = 0 ï 22) í 23) í î x ( x + 1) + y( y + 1) = 12 ï x y = -2 î ì x - 3z - 3z 2 x + z 3 = 0 ï 24) í y - 3x - 3x 2 y + x 3 = 0 (Olympic 2008) ï z - 3y - 3y2 z + y3 = 0 î ì 3z - z 3 ï x= ï 1 - 3z 2 ±1 ï 3x - x 3 HD: Đk : x; y; z ¹ . Hệ đã cho tương đương với í y = 3 ï 1 - 3x 2 ï 3y - y3 ïz = î 1 - 3y2 ì x (4 - y 2 ) = 8 y ï 25) í y(4 - z 2 ) = 8z (Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tan a . ï z(4 - x 2 ) = 8 x î IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau; ì2 x 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 = 0 ï 3 í2 y + 2 z + 3z + 3 = 0 2 ï2 z 3 + 2 x 2 + 3 x + 3 = 0 î Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau ì x = f ( y) ï í y = f (z) ïz = f ( x) î 13 2 Xét hàm số f (t ) = - 2t + 3t + 3 2 Ta có: 2t 2 + 3t + 3 > 0; "t Î R . Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9
  10. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG 2 1 f '(t ) = - (4t + 3)(2t 2 + 3t + 3) 3 6 3 f '(t ) = 0 Û t = - 4 3 3 Từ đó ta có: f(t) tăng nếu t £ - và f(t) giảm nếu t ³ - 4 4 3 · Xét t £ - thì hàm f(t) tăng: 4 Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 Điều này vô lý. Như vậy hệ chỉ có nghiệm khi x0 = y0 = z0 , thế vào ta đươc 2 x0 + 2 x0 + 3 x0 = 0 Û ( x0 + 1)(2 x0 + 3) = 0 Û x0 = -1 3 2 2 Suy ra hệ có nghiệm x=y=z=-1. 3 · Xét với t ³ -hàm f(t) giảm ; Chứng minh tương tự ta cũng được nghiệm x=y=x=-1 4 3 nhưng nghiệm này loại vì x;y;z ³ - . 4 Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=-1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x - sin y = 0 ï í y - sin z = 0 ï z - s inx=0 î Giải: Xét hàm số f(x)=sin t, khi đó có dạng ì x = f ( y) ï í y = f (z) ïz = f ( x) î æ p pö æ p pö Hàm f(t) có tập giá trị I = [-1;-1] Ì ç - ; ÷ . Hàm f(t) đồng biến trên ç - ; ÷ . Do đó è 2 2ø è 2 2ø hàm f(t) đồng biến trên I . Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) . Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 . Điều này vô lý. Vì vậy hệ đã cho trở thành ìx = y = z í î x - s inx=0 (*) Xét hàm số g(x)=x-sin x. Miền xác định D=R; Đạo hàm g '( x ) = 1 - cosx ³ 0,"x Î D Þ hàm số đồng biến trên D. Do đó ta có: Với x=0, ta có g(0)=0 Û phương trình (*) nghiệm đúng. Với x>0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. Với x<0 ta có g(x)<g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 10
  11. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG Vậy phương trình (*) có nghiệm x=0. Do đó, hệ có nghiệm x=y=z=0. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ì x 3 + 3x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = y ï 3 í y + 3 y - 3 + ln( y - y + 1) = z 2 ï z 3 + 3z - 3 + ln( z 2 - z + 1) = x î HD: Xét hàm f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1) ì f ( x) = y ï Hệ phương trình có dạng í f ( y ) = z . ï f ( z) = x î 2t - 1 2t 2 + 1 Ta có f ' (t ) = 3t 2 + 3 + = 3t 2 + 1 + 2 > 0 "x Î R. t2 - t +1 t - t +1 Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên R. Do x; y; z đóng vai trò như nhau. Nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ³ y ³ z . Từ hệ phương trình ta có: f ( z ) ³ f ( x) ³ f ( y ) ; nên ta suy ra x = y = z. Bây giờ ta giải phương trình g ( x) = x 3 + 2 x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = 0 2x -1 2x 2 + 1 Ta có g ' ( x) = 3x + 2 + 2 2 = 3x + 2 2 >0 "x Î R. x - x +1 x - x +1 Do đó g (x) là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm. Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ì y 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 = 0 ï ï 1) í2 y + 1 = z 3 + z 2 + z 2) í z 3 - 9 y 2 + 27 y - 27 = 0 ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x ï x 3 - 9 z 2 + 27 z - 27 = 0 î î ì y +1 ïx = 1 + ï x ì2x3 + 3 x 2 - 18 = y3 + y ï ï ï z +1 3) í2 y 3 + 3y 2 - 18 = z 3 + z (Olympic-2009) 4) í y = 1 + (Olympic-2008) ï2 z 3 + 3z 2 - 18 = x 3 + x ï y î ï ïz = 1 + x + 1 ï î z ìx = y 3 + y 2 + y - 2 ì x 3 + x 2 + 3x - 4 = y ï ï 5) í y = z 3 + z 2 + z - 2 6) í y3 + y 2 + 3y - 4 = z ïz = x 3 + x 2 + x - 2 ï z 3 + z 2 + 3z - 4 = x î î ì x3 + 3 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = y ï ï Bài 7: í y3 + 3y - 3 + ln( y2 - y + 1) = z ï 3 2 ï z + 3z - 3 + ln( z - z + 1) = x î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11
  12. MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1) 2t - 1 ta có: f '(t ) = 3t 2 + 3 + > 0 nên f(t) là hàm đồng biến 2 2 t - t +1 Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình x3 + 2 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = 0 có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1 ì x2 - 2 x + 6 log (6 - y) = x ï 3 ï Bài 8: Giải hệ: í y2 - 2 y + 6 log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006) ï 2 ï z - 2 z + 6 log3 (6 - x) = z î ì x ïlog3 (6 - y) = ï x2 - 2 x + 6 ï ì f ( y) = g( x) ï y ï Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) = Û í f ( z) = g( y) 2 ï y - 2y + 6 ï f ( x) = g( z) ï î ïlog3 (6 - x) = z ï î z2 - 2 z + 6 t Trong đó f (t ) = log 3 (6 - t ) ; g (t ) = với t Î (-¥;6) t - 2t + 6 2 6-t Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g '(t ) = > 0 "t Î (-¥;6) Þ g(t) là hàm đb (t ) 3 2 - 2t + 6 Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có: x log 3 (6 - x) = phương trình này có nghiệm duy nhất x=3 x - 2x + 6 2 Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3. Người biên soạn: Hồ Đình Sinh Email: sinhqluu@gmail.com Gửi đăng ở www.mathvn.com Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 12
Đồng bộ tài khoản