Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

Chia sẻ: 4everloveyou

Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_hồ đình sinh', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Hồ Đình Sinh



I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC

Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít
hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng
phương pháp này.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương:
ìx + y + z = 3
ï
í
( )
3
ï(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz
3
î


( )
3
Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
ì x +1 + x + 3 + x + 5 = y -1 + y - 3 + y - 5
ï
í
ï x + y + x + y = 80
2 2
î
Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5
Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường
hợp sau:
Nếu x>y-6 thì VT>VP.
Nếu x z5 - z 4 + 2z2
Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0
2
æ 1ö 3
Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z1 Þ x0. Giải hệ phương trình
ì xy = a
ï
í yz = b
ï zx = c
î
Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với




Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG

éì bc
êïz =
êï a
êïï ab
êí y =
é ì xy = a êï c
êï êï
ê í yz = b ê ï x = ac
ì xy = a ê ï
ï î xyz = abc êîï b
í yz = b Ûê Ûê
ê ì xy = a êì
ï( xyz )2 = abc êï bc
î êïz = -
ê í yz = b êï a
êï êï
ê î xyz = - abc
ë ï ab
êí y = -
êï c
êï ac
êï x = -
êï
ëî b
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
ì x + y + xy = 1
ï
í x + z + xz = 2 (*)
ï y + z + yz = 5
î
HD Giải:
ì( x + 1)( y + 1) = 2
ï
(*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3
ï( y + 1)( z + 1) = 6
î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.

Ví dụ 3: Giải hệ
ì x 2 + 2 yz = x
ï 2
í y + 2 zx = y (*)
ï z 2 + 2 xy = z
î
HD Giải:
ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x
ï 2 ï
(*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0
ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0
î î
Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1:
ì xy = 2 ì xy + x + y = 11 ì xy + x + y = 7 ì xy + xz = 8
ï ï ï ï
a) í yz = 6 b) í yz + y + z = 5 c) í yz + y + z = -3 d) í yz + xy = 9
ï zx = 3 ï zx + z + x = 7 ï xz + x + z = -5 ï xz + zy = -7
î î î î

Bài 2:

Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG

ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ì x + xy + y = 1
ï ï ï
a) í y( x + y + z ) = 3 - xy b) í yz + 2 z + 3 y = 6 c) í y + yz + z = 4
ï z( x + y + z ) = 6 - xy ï xz + z + 3x = 5 ï z + zx + x = 9
î î î
Bài 3:
ì x 2 + 2 yz = x ì y 2 - xz = b ìx2 + y + z = 3 ìxyz=x+y+z
ï ï ï ïyzt=y+z + t
ï
a) í y 2 + 2 zx = y b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) c) í y 2 + x + z = 3 d) í
ï z 2 + 2 xy = z ï x 2 - yz = a ïz2 + x + y = 3 ï ztx = z + t + x
î î î ïtxy = t + x + y
î

III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt
a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2
ï 2
í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z
2 2 2 2

ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2
î
Giải:
Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ.
Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được
ìæ y + z ö2 1 1
ïç ÷ = 3+ + 2
ïè yz ø x x
ï 2
ïæ x + z ö 1 1
íç ÷ = 4+ y + 2
ïè xz ø y
ï 2
ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1
ïç xy ÷ z z2
îè ø
1 1 1
Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận được
x y z
ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 (1)
ï
ï
í( b + c ) = a + a + 3
2 2
(2)
ï
ï( a + c ) = b + b + 4
2 2
(3)
î
Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1.
Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 .
Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 .
Từ đây các em có thể giải tiếp.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
ì x 3 ( 6 + 21y ) = 1
ï
í 3
ï x ( y - 6) = 21
î


Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG

HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải.
1
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ
z
ì z = 21y + 6
ï
3

í 3
ï y = 21z + 6
î
Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
ì xy 12
ïx + y = 5
ï
ï yz 18
í =
ïy + z 5
ï xz 36
ï =
î x + z 13
HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
ì2 x + x 2 y = y
ï
í2 y + y z = z
2

ï2 z + z 2 x = x
î
Giải: Hệ đã cho tương đương với:
ì2 x = y(1 - x 2 )
ï
í2 y = z(1 - y )
2

ï2 z = x (1 - z 2 )
î
Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với
ì 2x
ïy = (1)
ï 1 - x2
ï 2y
íz = (2)
ï 1 - y2
ï 2z
ïx = (3)
î 1 - z2
æ -p pö
Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì
è 2 2ø
2 tan a
(1) Û y = = tan 2a
1 - tan 2 a
2 tan 2a
(2) Û z = = tan 4a
1 - tan 2 2a
2 tan 4a
(3) Û x = = tan 8a = tan a
1 - tan 2 4a
ka
Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z )
7
-p p -p ka p -7 7
Vì 0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm.
Với x0 "x Î R.
x - x +1 x - x +1
Do đó g (x) là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm.
Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1.


BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:
Giải các hệ phương trình sau:
ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ì y 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 = 0
ï ï
1) í2 y + 1 = z 3 + z 2 + z 2) í z 3 - 9 y 2 + 27 y - 27 = 0
ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x ï x 3 - 9 z 2 + 27 z - 27 = 0
î î
ì y +1
ïx = 1 +
ï x
ì2x3 + 3 x 2 - 18 = y3 + y
ï ï
ï z +1
3) í2 y 3 + 3y 2 - 18 = z 3 + z (Olympic-2009) 4) í y = 1 + (Olympic-2008)
ï2 z 3 + 3z 2 - 18 = x 3 + x ï y
î ï
ïz = 1 + x + 1
ï
î z
ìx = y 3 + y 2 + y - 2 ì x 3 + x 2 + 3x - 4 = y
ï ï
5) í y = z 3 + z 2 + z - 2 6) í y3 + y 2 + 3y - 4 = z
ïz = x 3 + x 2 + x - 2 ï z 3 + z 2 + 3z - 4 = x
î î
ì x3 + 3 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = y
ï
ï
Bài 7: í y3 + 3y - 3 + ln( y2 - y + 1) = z
ï 3 2
ï z + 3z - 3 + ln( z - z + 1) = x
î


Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11
MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG

Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1)
2t - 1
ta có: f '(t ) = 3t 2 + 3 + > 0 nên f(t) là hàm đồng biến
2
2 t - t +1
Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x
Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình x3 + 2 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = 0 có nghiệm duy nhất
x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1
ì x2 - 2 x + 6 log (6 - y) = x
ï 3
ï
Bài 8: Giải hệ: í y2 - 2 y + 6 log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006)
ï 2
ï z - 2 z + 6 log3 (6 - x) = z
î
ì x
ïlog3 (6 - y) =
ï x2 - 2 x + 6
ï ì f ( y) = g( x)
ï y ï
Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) = Û í f ( z) = g( y)
2
ï y - 2y + 6 ï f ( x) = g( z)
ï î
ïlog3 (6 - x) = z
ï
î z2 - 2 z + 6
t
Trong đó f (t ) = log 3 (6 - t ) ; g (t ) = với t Î (-¥;6)
t - 2t + 6
2

6-t
Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g '(t ) = > 0 "t Î (-¥;6) Þ g(t) là hàm đb
(t )
3
2
- 2t + 6
Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có:
x
log 3 (6 - x) = phương trình này có nghiệm duy nhất x=3
x - 2x + 6
2

Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3.




Người biên soạn: Hồ Đình Sinh
Email: sinhqluu@gmail.com
Gửi đăng ở www.mathvn.com




Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 12
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản