MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Chia sẻ: vominhtuan42

Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu)...

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.
1. Phương trình
f ( x) 0
f ( x) = g ( x)
a)
f ( x) = g ( x)
g ( x) 0
f ( x) = g ( x)
b)
f ( x ) = �� ) �
�( x
2
g


x 2 − 3x + 2 = x − 1 ( 1)
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn:
f ( x ) = g ( x ) nên ta giải như sau
Nhận xét: Phương trình có dạng
Ta có
x −1 0
( 1)
x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1)
2



x1
� x =1

x =1
Vậy S = { 1}

( 2)
x 2 − 5 x + 4 = −2 x 2 − 3 x + 12
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Hướng dẫn: Ta có
( 2) � x 2 − 5 x + 4 = −2 x 2 − 3 x + 12
x2 − 5x + 4 0
x 2 − 5 x + 4 = −2 x 2 − 3 x + 12
�x − 1) ( x − 4 ) �
( 0
3x 2 − 2 x − 8 = 0
�x 1
x4
−8
x=2 � x=

6
−8
x=
6
� 8�
Vậy S = � �

�6



1 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
2. Bất phương trình
g ( x) 0
f ( x) < g ( x)
a)
0 �f ( x ) < � ( x ) �
2
g
��
g ( x) < 0
f ( x) 0
f ( x) > g ( x)
b)
g ( x) 0
f ( x ) > �� ) �
�( x
2
g


Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
2 ( x 2 − 1)
a) x + 1

�14 �
b) 2 x − 5 < − x 2 + 4 x − 3 , S = 1;
�5�
Hướng dẫn
a) Ta có :
−1
x
x +1 0
2 ( x 2 − 1)
x +1 � x2 − 2x − 3 �0
2 ( x − 1)
( x + 1)
2 2
0
x2 − 1 0



x −1
x = −1
� −1 �x � �
3
1x3
x −1
x1
Vậy tập nghiệm S = [ 1;3] �{ −1}
2x − 5 < 0
( 1)
− x2 + 4x − 3 0
b)Ta có 2 x − 5 < − x2 + 4x − 3 2x − 5 0
( 2)
( 2 x − 5)
2
< − x2 + 4 x − 3


Giải (1)
5
x< 5
( 1) �< 2 1x
2
1x3
Giải (2)


2 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
5
5 x
x 5 14
� �2
( 2 ) ��< 2 x
� �
� < x < 14 2 4
�x 2 − 24 x + 28 < 0 2
5
5
� 14 �
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = 1;
�5�


II. CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp bình phương liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất
phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế
của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối
với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn
đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu)

Ví dụ 1. Giải phương trình 3x + 1 − 2 x − 1 = 6 − x
Hướng dẫn:
3x + 1 0
1
Điều kiện � x −� 0 �
2 1� x6
2
6− x 0
Với điều kiện trên ta có
3x + 1 − 2 x − 1 = 6 − x
3x + 1 = 6 − x + 2 x − 1

� 3x + 1 = 6 − x + 2 x − 1 + 2 6 − x 2 x − 1
� 2x − 4 = 2 6 − x 2x −1
(x 2)
� x − 2 = 6 − x 2x −1
� x 2 − 4 x + 4 = −2 x 2 + 13x − 6
� 3 x 2 − 17 x + 10 = 0
x=5
2
x = ( l)
3
Vậy S = { 5}

1 3
( 2)
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 x − 3 − 9 − 2x
2 2
Hướng dẫn
x−3 0 9
�3 x
Điều kiện
9 − 2x 0 2
Với điều kiện trên ta có

3 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
1 3
( 2) 2 x − 3 � 9 − 2x +

2 2
1 93
4 ( x − 3) � ( 9 − 2 x ) + + 9 − 2x

4 42
16 x − 48 � − 2 x + 6 9 − 2 x
� 18
18 x − 64 0
9 x − 33 � 9 − 2 x �
� 3
( 9 x − 33) 9 ( 9 − 2x)
2



32
x
32 9
x
��۳ 9 x 4
�x 28

� x 2 − 576 x + 1008 0 �
81 9
x4
� 9�
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = � �
4;
� 2�
2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình
về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất
phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.
Chú ý:
Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất
phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương
trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia
và ngược lại.

Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt t = f ( x ) , đưa
phương trình, bất phương trình theo biến x về phương trình bất phương trình theo
biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)).
Ví dụ 1 Giải phương trình 3x 2 − 2 x + 9 + 3x 2 − 2 x + 2 = 7
Nhận xét:
Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 3 x 2 − 2 x , và đây là biểu thức chung, chú ý
rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số
cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn t = 3 x 2 − 2 x , để đưa phương trình về dạng cơ
bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn,
tức là đặt t = 3x 2 − 2 x + 2

Ta giải bài toán này như sau:
Đặt t = 3x 2 − 2 x + 2 điều kiện t 0 . Khi đó 3 x 2 − 2 x + 9 = t 2 + 7 . Phương trình trở
thành

4 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
t2 + 7 + t = 7
t2 + 7 = 7 − t

t2 + 7 = ( 7 − t) ( dk t�)
2
� 7
t 2 + 7 = t 2 − 14t + 49

t =3

Với t = 3 ta có
3x 2 − 2 x + 2 = 3
3x 2 − 2 x + 2 = 9

3x 2 − 2 x − 7 = 0

1 + 22
x=
3
1 − 22
x=
3
� + 22 1 − 22 �
1
Vậy S = � ; �
3 3�

Ví dụ 2 Giải bất phương trình ( x + 1) ( x + 4 ) < 5 x 2 + 5 x + 28
Hướng dẫn:
Ta có:
( x + 1) ( x + 4 ) < 5 x 2 + 5 x + 28
x 2 + 5 x + 4 < 5 x 2 + 5 x + 28

Đặt t = x 2 + 5 x + 28 điều kiện t 0 . Khi đó bất phương trình trở thành:
t 2 − 24 < 5t
t 2 − 5t + 24 < 0

−3 < t < 8

Kết hợp với điều kiện ta có 0 < t < 8 (1)
Với t < 8 ta có:
x 2 + 5 x + 28 < 8
x 2 + 5 x + 28 0 xᄀ
( 2)
� −9 < x < 4
� �2 � �2
x + 5 x − 36 < 0
x + 5 x + 28 < 64
Với t > 0 � x 2 + 5 x + 28 > 0 �� ᄀ (3)
x
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là S = ( −9;4 )
Ví dụ 3 Giải bất phương trình: 2 x ( x − 1) + 1 > x 2 − x + 1
Hướng dẫn:
( )
0 , suy ra 2 x ( x − 1) = 2 t − 1
2
Đặt t = x 2 − x + 1 , điều kiện t

5 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
Bất phương trình trở thành:
2 ( t 2 − 1) + 1 > t
2t 2 − t − 1 > 0

1
( l)
t1
x 1 � x2 − x + 1 > 1 � x2 − x > 0 �
Với t > 1 ta có
x >1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −��
;0 ) ( 1; +�)

Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức m AB trong
A B
t2 − ( A + B)
đó A + B là hằng số. Khi đó đặt t = A AB = . Đưa
B , suy ra
2
phương trình bất phương trình về ẩn t .
x + 2 + 5 − x + ( x + 2)(5 − x) = 4
Ví dụ 4 Giải phương trình:
Hướng dẫn:
Điều kiện −2 x5
Đặt t = x + 2 + 5 − x (điều kiện t 0 ).
t2 − 7
Suy ra t = 7 + 2 x + 2 5 − x = 7 + 2 ( x + 2 ) ( 5 − x ) � ( x + 2 ) ( 5 − x ) =
2

2
Khi đó phương trình trở thành:
t2 − 7
t+ =4
2
t 2 + 2t − 15 = 0

t = −5 ( l )
( n)
t =3
Với t = 3 ta có:
x+ 2 + 5− x = 3
( x + 2) ( 5 − x )
7+2 =9


( x + 2) ( 5 − x ) =1


3+3 5
( n)
x=
2
x − 3x − 9 = 0
2

3−3 5
( n)
x=
2



6 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
� +3 5 3−3 5 �
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = � ; �
�2 2�

( 2 x + 1) ( 9 − 2 x )
2x + 1 + 9 − 2x + 3 > 13
Ví dụ 5 Giải bất phương trình:
Hướng dẫn
1 9
Điều kiện − x
2 2
t 2 − 10
( 2 x + 1) ( 9 − 2 x ) =
Đặt t = 2 x + 1 + 9 − 2 x (điều kiện t 0 ). Suy ra
2
Bất phương trình trở thành
t 2 − 10
t + 3. > 13
2
3t 2 + 2t − 56 > 0

14
( l)
t 4 ( n)
Với t > 4 ta có
2x + 1 + 9 − 2x > 4
( 2 x + 1) ( 9 − 2 x )
10 + 2 > 16

( 2 x + 1) ( 9 − 2 x ) > 9

16 x − 4 x 2 > 0

0< x 0 ). Khi đó bất phương trình trở thành
Đặ t t = �4
4
x −1 2x −1 t
−16
( l)
t
66
4 1
3t − 3 6t 2 − t − 4 6 ��
�� 0
t 6 3
( n)
t
2
2x −1 2x −1 −x + 5
3 9
3
�۳۳�< � 0 1x5
Với t ta có 4
4 ( x − 1)
x −1 x −1
2 4
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 1;5]

Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
x3 − 1 3
= 2x + 1
Ví dụ 8 Giải phương trình:
2
Hướng dẫn
t3 −1
Đặ t t = 2 x + 1 � x =
3

2
( 1)
x3 − 1 = 2t
Khi đó ta có hệ
( 2)
t3 −1 = 2x
Lấy (1) trừ (2) ta có:
8 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
x 3 − t 3 = 2t − 2 x � ( x − t ) ( x 2 + xt + t 2 ) + 2 ( x − t ) = 0
� ( x − t ) ( x 2 + xt + t 2 + 2 ) = 0
� x −t = 0
2
� t� 3
(Vì x + xt + t + 2 = � + �+ t 2 + 2 > 0 )
2 2
x
� 2� 4
Với t = x ta có
x 3 − 1 = 2 x � x 3 − 2 x − 1 = 0 � ( x + 1) ( x 2 − x − 1) = 0

x = −1
1+ 5
� x=
2
1− 5
x=
2
� 1+ 5 1− 5 �
Vậy phương trình có 3 nghiệm S = � 1;
− ; �
2 2�

( *)
x + 34 − 3 x − 3 = 1
3
Ví dụ 9Giải phương trình:
Hướng dẫn
u = 3 x + 34
� u 3 − v 3 = 37
Đặt:
v = x−33


( *) � u − v = 1
u 3 − v3 = 37 ( 1)
Ta có hệ:
( 2)
u −v =1
( 2 ) � u = v + 1 ( 3) , sau đó thay vào ( 1) ta có:
( v + 1)
3
− v 3 = 37
v=3
v = −4
� =3 � x − 3 = 3 � x = 30
3
v
� = −4 � x − 3 = −4 � x = −61
3
v

( *)
Ví dụ 10 Giải phương trình: 7 4 x 2 + 5 x − 1 − 14 x 2 − 3 x + 3 = 17 x − 13
Hướng dẫn
4 ( x 2 − 3 x + 3) + 17 x − 13 − 14 x 2 − 3 x + 3 = 17 x − 13
( *) � 7



9 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
u + 13
x=
� = 17 x − 13
u 17

Đặt: � �
v = x 2 − 3x + 3 ( v 0)
2
� + 13 � � + 13 � u 2 − 25u + 373
u u
v =� �− 3 � � 3=
+
2

� 17 � � 17 � 289
( *) trở thành 7 4v 2 + u − 14v = u

7 4v 2 + u = 14v + u ( 1)
Ta có hệ: u 2 − 25u + 373
( 2)
v2 =
289
( 1) � 49 ( 4v 2 + u ) = ( 14v + u )
2



� 49u = 28uv + u 2
� u ( u + 28v − 49 ) = 0
u=0
u = 49 − 28v
13
� =0� x=
u
17
u = 49 − 28v
Thay vào ( 2 ) :
( 49 − 28v )
− 25 ( 49 − 28v ) + 373
2

=
2
v
289
� 289v 2 = 784v 2 − 2044v + 1549
� 495v 2 − 2044v + 1549 = 0
x =1
x=2
v =1 x 2 − 3x + 3 = 1
746
� 1549 � 1549 � x=−
v= x 2 − 3x + 3 = 495
495 495
2231
x=
495
746
Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: x = 2, x = −
495
� 746 13 �
Vậy S = � − ; ;2 �
� 495 17
Chú ý:
• Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.
• Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương
trình thì rất khó sử dụng.



10 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 11 Giải phương trình x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40
Hướng dẫn
Đặt: t = x − 2 + 10 − x , t > 0

( )
2 BCS
(1 + 12 ) ( x − 2 + 10 − x ) = 16
� t2 = x − 2 + 10 − x 2



t 4
�0 t 4
Dấu " = " xảy ra � x − 2 = 10 − x � x = 6
Mặt khác: x 2 − 12 x + 40 = ( x − 6 ) + 4 4 , dấu " = " xảy ra � x = 6
2



� x − 2 + 10 − x �x 2 − 12 x + 40
Vậy S = { 6}
4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham
số
( 3 + x) ( 6 − x)
3+ x + 6− x − =m
Ví dụ 12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Hướng dẫn
Điều kiện: x � −3;6]
[
Đặt t = 3 + x + 6 − x , x � −3;6]
[
6− x − 3+ x
1 1
t= − =
2 3 + x 2 6 − x 2 ( 6 − x) ( 3 + x)
3
t =0� x= �t =3 2
2
Ta có:
�x = −3 � t = 3
( )
2
( 3 + x) ( 6 − x)
và t 2 = 3+ x + 6− x =9+2
�x = 6 � t = 3
Bảng biến thiên:
−3 6
x
t’ + 0 -
32


t

3 3



11 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
� t ��;3 2 �
3
� �

Xét
t2 − 9
f ( t) = t − � 2�
,t 3;3 �

2

( ) 9
f ( t ) = 1 − t, f ( 3) = 3, f 3 2 = 3 2 −
2
Bảng biến thiên:
t 3 32
f ( t) –
3


f ( t)
9
3 2−
2

9�

Vậy m �� 2 − � hì phương trình có nghiệm.
3;3 t
2�

BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. Giải các phương trình sau:
S = [ 1;10]
1) x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
x − 14
S = { 3;14}
x−5 − =3
2)
x+ x−5
S = { 2}
x + 2 − 2x − 3 = 4x − 7
3)
4 2
��
x− + x+2 =0 S =��
4)
x+2 3

� 1 + 17 1 − 21 �

S =� ;
5) x 2 + x + 5 = 5 �
�2 2�
S = { 1;2}
2 − x = 1 − x −1
6) 3


S = { 1}
7) x 2 + 26 + 3 x + x + 3 = 8
3


� 1 1�
1 1
S =� ; �

+x+ − x =1
8) 3
�2 2
2 2
�+ 5 �
1
1 1
S =�
x− + 1− = x
9) �
�2 �
x x

( )( ) � 24 �
1+ x −1 1 − x + 1 = 2x S = � ;0 �

10)
� 25
II. Giải bất phương trình

12 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
3x
S = ( − ;1)
− 2− x < 2
1)
2− x
� 8�
1
2x2 + 7 x − 4 1 S = ( − ; −4 ) �; �

0
3)
S = { 1} �[ 4; +�)
4) x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 2 x2 − 5x + 4
� 2� � 5 �
1 3x 2
> −1 S = � 1;
− � � ;1�
5)
1 − x2 � 2 � �5
1− x 2

� 5�
( )
x 35
S =� � 5; +�
6) x + > �
1;
�2�
2
x2 − 1
� 3� �3 �
S = �1; −
− � � ,1�
7) 1 − x 2 + 1 < 3 − x 2
2 � �2 �

� −8 + 3 �
( x + 5 ) ( −3 − x ) S = −5;
5 + x − −3 − x < −1 + 4
8)
2�

x2
S = [ −1;1]
9) 1 + x + 1 − x 2−
4
S = [ 2;10 )
5x − 1 − x − 1 > 2 x − 4
10)

2 ( x 2 − 16 ) 7−x S = [ 4; + )
11) + x−3 >
x−3 x−3
III. Tìm m để:
x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m có nghiệm..
1)
x2
2) 12 − = 2m − x có hai nghiệm.
3
x 2 − 2 x + 5 có nghiệm chứa [ 0;1] .
x ( 2 − x) + m + 3
3)
4) 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 có nghiệm.
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có 2 nghiệm phân biệt.
5)

IV. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần
đây
1) (D – 2002) Giải bất phương trình ( x 2 − 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 0

1�

[ 3; +�)
{ 2}
S = −� −  ��
;
2�




13 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
2 ( x 2 − 16 ) 7−x
2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) + x−3 >
x−3 x−3
S = [ 4; + )
3) (B – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
)
( x2 + 1 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2
m Đs: 2 − 1 m 1

Đs: 2 x < 10
4) (A – 2005) Giải bất phương trình 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4
Đs: S = { 3}
5) (D – 2005) Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4
6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
9
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 Đs: m
2
{ }
Đs: S = 1; 2 − 2
7) (D – 2006) Giải phương trình 2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0

8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 Đs:
1
−1 < m
3
9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình sau có
hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) Đs: m > 0
10) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân
biệt
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m Đs: 2 6 + 2 4 6 m 3 2 + 6
4




V. Các bài trong các đề thi dự bị đại học
1) Giải phương trình 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 (Dự bị B – 2006) Đs:
S = { 2}

2) Giải phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1
Đs: S = { 4;5}

)
( x2 − 2x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) 0 có nghiệm x �� + 3 �
3) Tìm m để bất phương trình m 0;1
� �
2
(Dự bị A – 2007) Đs: m
3
4) Tìm m để phương trình 0 12
2




15 Nguyên Tăng Vũ – Nguyên Ngoc Duy
̃ ̃ ̣
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản