Vui lòng download xuống để xem tài liệu đầy đủ.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Chia sẻ: | Ngày: doc 8 p | 209

0
498
views

Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Nội dung Text

  1. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** II. Môt số phương phap giai phương trinh vô tỉ ̣ ́ ̉ ̀ 1. Phương phap nâng lên luy thừa ́ ̃ g(x) ≥ 0 a) Dang 1: f (x) = g(x) ⇔  ̣ f (x) = [g(x)] 2 Ví dụ. Giai phương trinh: x + 1 = x − 1 (1) ̉ ̀ x ≥ 1 x ≥ 1  x ≥ 1 ⇔ 2 ⇔ Giai: (1) ⇔  ̉ x = 3  x + 1 = x − 1  x − 3x = 0  Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm x = 3 ̣ ̀ ̣ ̣ b) Dang 2: f (x) + g(x) = h(x) ̣ Ví du. Giai phương trinh: x + 3 = 5 − x − 2 (2) ̣ ̉ ̀ Giai. Với điêu kiên x ≥ 2. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (2) ⇔ x + 3 + x − 2 = 5 ⇔ 2 x + 1 + 2 (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ ( x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 ⇔ 2 25x = 150  x + x − 6 = 144 + x − 24x 2 Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm x = 6 ̣ ̀ ̣ ̣ c) Dang 3: f (x) + g(x) = h(x) ̣ Ví du. Giai phương trinh: x + 1 − x − 7 = 12 − x (3) ̣ ̉ ̀ Giai: Với điêu kiên 7 ≤ x ≤ 12. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (3) ⇔ x + 1 = 12 − x + x − 7 ⇔ x + 1 = 5 + 2 (12 − x)(x − 7) ⇔ 2 19x − x 2 − 84 = x − 4 ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 0  352  2 1764 1764 352  84 42 5 x2 − x + ÷= 5 x − 2 × x + − + ÷  5  5 5 5 25 25 2  42   44  4 = 5 ( x − 8 )  x − ÷ = (x − 8) ( 5x − 44 ) = 5 x − ÷ − 5 ×  5  5 25 44 ⇔ x1 = ; x2 = 8 5 44 Vây: phương trinh đã cho có hai nghiêm x1 = ̣ ̀ ̣ ; x2 = 8 5 d) Dang 4: f (x) + g(x) = h(x) + k(x) ̣ Ví du. Giai phương trinh: x − x − 1 − x − 4 + x + 9 = 0 (4) ̣ ̉ ̀ Giai: Với điêu kiên x ≥ 4. Ta co: ̉ ̀ ̣ ́ (4) ⇔ x + 9 + x = x − 1 + x − 4 ⇔ 2 x + 9 + 2 x(x + 9) = 2x − 5 + 2 (x − 4)(x − 1) ⇔ 7 + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + 4 2 2 *******************************
  2. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = 0 Vơi x ≥ 4 ⇒ vế trai cua phương trinh luôn là môt số dương ⇒ phương trinh vô nghiêm ́ ́̉ ̀ ̣ ̀ ̣ 2) Phương phap trị tuyêt đôi hoa ́ ̣ ́ ́ Ví dụ 1. Giải phương trình: x 2 − 4x + 4 + x = 8 (1) Giai: (1) ⇔ (x − 2) 2 = 8 − x ̉ Với điêu kiên x ≤ 8. Ta co: ̀ ̣ ́ (1) ⇔ |x – 2| = 8 – x – Nêu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiêm) ́ ̣ – Nêu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 ́ HD: Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình x + 2 + 2 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 2 x + 2 − 2 x + 1 (2) Giai: (2) ⇔ x + 1 + 2 x + 1 + 1 + x + 1 − 2.3 x + 1 + 9 = 2 x + 1 − 2 x + 1 + 1 ̉ ⇔ x + 1 + 1+ | x + 1 − 3 |= 2.| x + 1 − 1| Đăt y = x + 1 (y ≥ 0) ⇒ phương trinh đã cho trở thanh: ̣ ̀ ̀ y + 1+ | y − 3 |= 2 | y − 1| – Nêu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loai) ́ ̣ – Nêu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3 ́ ́ ̣ – Nêu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiêm) Vơi y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 ́ Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm là x = 8 ̣ ̀ ̣ ̣ 3) Phương phap sử dung bât đăng thức ́ ̣ ́ ̉ a) Chứng tỏ tâp giá trị cua hai vế là rời nhau, khi đó phương trinh vô nghiêm ̣ ̉ ̀ ̣ Ví dụ 1. Giai phương trinh x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2 ̉ ̀ ́ ̀ ̣ Cach 1. điêu kiên x ≥ 1 Vơi x ≥ 1 thi: Vế trai: x − 1 < 5x − 1 ⇒ vế trai luôn âm ́ ̀ ́ ́ Vế phai: 3x − 2 ≥ 1 ⇒ vế phai luôn dương ̉ ̉ Vây: phương trinh đã cho vô nghiêm ̣ ̀ ̣ Cach 2. Với x ≥ 1, ta co: ́ ́ x − 1 = 5x − 1 + 3x − 2 ⇔ x − 1 = 8x − 3 + 2 (5x − 1)(3x − 2) ⇔ 2 − 7x = 2 (5x − 1)(3x − 2) Vế trai luôn là môt số âm với x ≥ 1, vế phai dương với x ≥ 1 ⇒ phương trinh vô nghiêm ́ ̣ ̉ ̀ ̣ b) Sử dung tinh đôi nghich ở hai vế ̣ ́ ́ ̣ Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x 2 (1) 2 4 2 9 Giai: Ta có (1) ⇔ 3  x + 2x + 1 + ÷ + 5  x + 2x + 1 + ÷ = −(x + 2x + 1) + 5 2 ̉  3  5 ⇔ 3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1) 2 + 9 = 5 − (x + 1) 2 Ta co: Vế trai ≥ 4 + 9 = 2 + 3 = 5 . Dâu “=” xay ra ⇔ x = –1 ́ ́ ́ ̉ Vế phai ≤ 5. Dâu “=” xay ra ⇔ x = –1 ̉ ́ ̉ Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm x = –1 ̣ ̀ ̣ ̣ c) Sử dung tinh đơn điêu cua ham số (tim môt nghiêm, chứng minh nghiêm đó là duy nhât) ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ *******************************
  3. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** x+7 + 8 = 2x 2 + 2x − 1 Ví dụ 1. Giải phương trình: x +1 1 ̉ ̀ ̣ Giai: điêu kiên x ≥ 2 Dễ thây x = 2 là môt nghiêm cua phương trinh ́ ̣ ̣ ̉ ̀ 1 6 – Nêu ≤ x < 2 : VT = 1 + + 8 < 8 + 3 . Mà: VP > 8 + 3 ́ x +1 2 – Nêu x > 2: VP = 2x2 + 2 x − 1 > 2.22 + 3 = 8 + 3 . VT < 8 + 3 ́ x > 2 ⇒ x +1 > 2 +1 6 6 1+ < 1+ =3 x +1 2 +1 Vây: phương trinh đã cho có môt nghiêm duy nhât là x = 2 ̣ ̀ ̣ ̣ ́ Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x − 7x + 3 − x − 2 = 3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 3x − 4 2 2 Giai: Thử với x = 2. Ta co: ̉ ́ 3.4 − 7.2 + 3 − 22 − 2 = 3.2 2 − 5.2 + 1 − 22 − 3.2 − 4 ⇔ 1− 2 = 3 − 6 (1) ⇔ (3x 2 − 5x − 1) − 2(x − 2) + (x 2 − 2) − 3(x − 2) = 3x 2 − 5x − 1 − x 2 − 2 Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình 6 8 + =6 Ví dụ 3. Giải phương trình: 3− x 2−x 3 Giai: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = ̉ là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh 2 3 6 8 6 8 <4 ⇒ < 2 và + < 6. đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : 3− x 2−x 3− x 2−x 2 3 6 8 + >6 Tương tự với < x < 2: 3− x 2−x 2 Ví dụ 4. Giải phương trình: 3x(2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)(1 + 1 + x + x 2 ) = 0 (1) ) ) ( ( Giai: (1) ⇔ 3x 2 + (3x) + 3 + (2x + 1) 2 + (2x + 1) + 3 = 0 2 2 ̉ + 3 ) = −(2x + 1) ( 2 + ) ⇔ 3x ( 2 + (2x + 1) 2 + 3 (3x) 2 1 1 Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x = − thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = − là 5 5 1  một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng  − ; 0 ÷. Ta chứng 2  minh đó là nghiệm duy nhất. 1 1 Với − < x < − : 3x < –2x – 1 < 0 2 5 ⇒ (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ 2 + (3x) 2 + 3 > 2 + (2x + 1) 2 + 3 *******************************
  4. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** ) ) ( ( Suy ra: 3x 2 + (3x) + 3 + (2x + 1) 2 + (2x + 1) + 3 > 0 ⇒ (1) không có nghiệm trong khoảng 2 2 1 1 này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi − <x<− 2 5 d) Sử dung điêu kiên xay ra dâu “=” ở bât đăng thức không chăt ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ̉ ̣ 4x − 1 x + =2 Ví du. Giai phương trinh ̣ ̉ ̀ 4x − 1 x 1 Giai: điêu kiên x > ̉ ̀ ̣ 4 ab Ap dung bât đăng thức + ≥ 2 với ab > 0 ́ ̣ ́̉ ba 1 Vơi điêu kiên x > ⇒ x 4x − 1 > 0 . Nên: ́ ̀ ̣ 4 4x − 1 x ≥ 2 . Dâu “=” xay ra ⇔ x = 4x − 1 ⇔ x 2 − 4x + 1 = 0 + ́ ̉ 4x − 1 x ⇔ x 2 − 4x + 4 − 3 = 0 ⇔ (x − 2) 2 = 3 ⇔ x − 2 = ± 3 ⇔ x = 2 ± 3 4. Phương phap đưa về phương trinh tich ́ ̀ ́ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x + 1 − x − 2 = x + 3 Giai. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân l ượng liên h ợp vào hai v ế c ủa ̉ phương trình: x + 3 = 0 (x + 3)( 2x + 1 + x + 2 − 1) = 0 ⇔  ⇒ PT vô nghiệm  2x + 1 + x − 2 = 1 Ví dụ 2. Giải phương trình: x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2 (1) ( )(2 ) x +1 − 1− x x +1 − 1− x +1 = 0 Giai. ĐK: | x | ≤ 1: (1) ⇔ ̉ 24 ⇔ x1 = 0; x2 = − 25 Ví dụ 3. Giải phương trình: x − 1 + x 3 + x 2 + x + 1 = 1 + x 4 − 1 (1) ̉ Giai. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). ) )( ( x − 1 − 1 1 − x3 + x2 + x + 1 = 0 ⇔ x = 2 (1) ⇔ 5) Phương phap đăt ân phụ ́ ̣̉ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: x 2 + x + 1 = 1 (1) Giai. Đặt x + 1 = y (y ≥ 0) ̉ ⇒y2 = x + 1 ⇔ x = y2 – 1 ⇔ x2 = (y2 – 1)2 ⇒ (2) ⇔ (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 ⇔ y(y − 1)(y2 + y − 1) = 0.  1− 5    Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: 0; − 1;  2    ( ) 3 x − 1 + 1 + 2 x − 1 = 2 − x (1) Ví dụ 2. Giải phương trình: HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt x −1 +1= y ( )( ) 3 2 x −1 +1 + x −1 +1 − 2 = 0 (1) ⇔ *******************************
  5. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** ⇔ y3 + y2 – 2 = 0 ⇔ (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ⇔ x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 + 1 (3) Giai. Đặt u = x + 1 , v = x 2 − x + 1 (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: ̉ u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. ⇒ (3) ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) = 0    5 + 37 5 − 37  ; Giải ra, xác định x. Kết quả là: x ∈   2 2   ) )( ( x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7x + 10 = 3 (1) Ví dụ 2. Giải phương trình: ( )( ) x + 5 − x + 2 1 + (x + 5)(x + 2) = 3 Giai. ĐK: x ≥ –2. (1) ⇔ ̉ Đặt: x + 5 = u, x + 2 = v (u, v ≥ 0)⇒ u – v = 3. (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 2 2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất Ví dụ 3. Giải phương trình: x + 1 − 3x = 2x − 1 (1) Giai. ĐK: x ≥ 0. Đặt x + 1 = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a2 – b2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = 0 ̉ 1 Mà a + b + 1 > 0 ⇒ a = b ⇔ x = là nghiệm duy nhất của phương trình. 2 4 1 5 Ví dụ 4. Giải phương trình: + x − = x + 2x − (1) x x x 1 5 Giai. Đặt x − = u, 2x − = v (u, v ≥ 0) ̉ x x 1  1  5  5 (1) ⇔ x − −  2x − ÷ −  x − ÷ − 2x − = 0 ⇔ u – (v2 – u2) – v = 0 x  x  x  x ⇔ (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1 Giải phương trình: x 2 + 3x + 2 + x + 3 = x + 2 + x 2 + 2x − 3 (1) Giai. ĐK: x ≥ 2. (1) ⇔ ( x − 1)(x − 2) + x + 3 = x + 2 + (x − x)(x + 3) ̉ Đặt: x − 1 = a, x − 2 = b, x + 3 = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : x = 2 − x. 3 − x + 3 − x. 5 − x + 2 − x. 5 − x Giai. Đặt : u = 2 − x ; v = 3 − x ; t = 5 − x (u ; v ; t ≥ 0) ̉ ⇒ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu (u + v)(u + t) = 2 (1)  Từ đó ta có hệ: (v + u)(v + t) = 3 (2) (t + u)(t + v) = 5 (3)  Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (u + v)(v + t)(t + u) = 30 (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: *******************************
  6. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ******************************  30 v + t = (5) 2    30 u + t = (6) 3   30 u + v = (7) 5   Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: 31 30 31 30 2(u + v + t) = ⇒ u +v+ t = (8) 30 60 Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:  30 u = 60  2   30   11 30 239 v = ⇒ x = 2− ÷=  60 ÷ 120 60     19 30 t = 60   d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình x − 1 + 2x − 1 = 5 Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5 u + v = 5 u = 2 ⇔ ⇔ x = 5. 2 x − 1 = v . Ta có hệ:  2 Cách 2: Đặt x − 1 = u ≥ 0 và  v − 2u = 1  u = −12 2 Ví dụ 2 Giải phương trình: 8+ x + 5− x = 5 Giai. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt ̉ x = u , 5 − x = v (u, v ≥ 0): 8+ u + v = 5 u = 2 u=3 ⇔ v ⇒ 2  Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất. v = 3  u + v = 13 2  v=2 Ví dụ 3. Giải phương trình: 25 − x 2 − 9 − x 2 = 2 Giai. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 − x 2 = u, 9 − x 2 = v (u, v ≥ 0) ̉ u + v = 2 u − v = 2 u = 5 ⇔ ⇒ 2 ⇔ . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất. u + v = 8 v = 3  u + v = 16 2 Ví dụ 4. Giải phương trình: 1 − x + 4 + x = 3 Giai. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt 1 − x = u ; 4 + x = v (u, v ≥ 0) ̉ u + v = 3 x = 0 ⇒ 2 ⇒  x = −3 u + v = 5 2 Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 − x + 2 + x + 4 − x 2 = 2 (u + v) 2 − 2uv = 4 2 + x = v (u, v ≥ 0) ⇒  2 − x = u, Giai. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt ̉ (u + v) + uv = 2 Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ 6. Giải phương trình: 4 97 − x + 4 x = 5 (1) Giai. Đặt 4 97 − x = u, 4 x = v (u, v ≥ 0) ̉ *******************************
  7. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** u + v = 5 u = 2 u = 3  x = 81 ⇔ ∨ ⇔ ⇒ (1) ⇔  4 v = 3 v = 2  x = 16  u + v = 97 4 Ví dụ 7. Giải phương trình: 3 x + 3 2x − 3 = 3 12(x − 1) x = u, 2x − 3 = v (1) Giai. Đặt ̉ 3 3 ⇔ u + v = 3 4(u 3 + v3 ) ⇔ u 3 + v3 + 3uv(u + v) = 4(u 3 + v 3 ) u = −v ⇔ 3.(u + v).(u 2 − 2uv + v 2 ) = 0 ⇔ 3.(u + v).(u − v) 2 = 0 ⇔  ⇒ kết quả u = v 6) Giai và biên luân phương trinh vô tỉ ̉ ̣ ̣ ̀ Ví dụ 1. Giai và biên luân phương trinh: x 2 − 4 = x − m ̉ ̣ ̣ ̀ x ≥ m x ≥ m ⇔ Giai. Ta co: x 2 − 4 = x − m ⇔  2 ̉ ́  x − 4 = x − 4xm + m 2mx − (m + 4) = 0 2 2 2 – Nêu m = 0: phương trinh vô nghiêm ́ ̀ ̣ m +4 m2 + 4 2 – Nêu m ≠ 0: x = . Điêu kiên để có nghiêm: x ≥ m ⇔ ́ ̀ ̣ ̣ ≥m 2m 2m + Nêu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ 4 ⇔ 0 < m ≤ 2 ́ + Nêu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ 4 ⇔ m ≤ –2 ́ ́ ̣ Tom lai: m2 + 4 – Nêu m ≤ –2 hoăc 0 < m ≤ 2: phương trinh có môt nghiêm x = ́ ̣ ̀ ̣ ̣ 2m – Nêu –2 < m ≤ 0 hoăc m > 2: phương trinh vô nghiêm ́ ̣ ̀ ̣ Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x 2 − 3 = x − m (Đề thi hoc sinh gioi câp tinh năm hoc 1999 – 2000) ̣ ̉́̉ ̣ x ≥ m x ≥ m Giai. Ta co: x − 3 = x − m ⇔  2 ⇔ 2 ̉ ́  x − 3 = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = 0 2 2 2 – Nêu m = 0: phương trinh vô nghiêm ́ ̀ ̣ m +3 m2 + 3 2 – Nêu m ≠ 0: x = ≥m . Điêu kiên để có nghiêm: x ≥ m ⇔ ́ ̀ ̣ ̣ 2m 2m + Nêu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3 ́ + Nêu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ 3 ⇔ m ≤ − 3 ́ ́ ̣ Tom lai: m2 + 3 – Nêu 0 ≤ m ≤ 3 hoăc m ≤ − 3 . Phương trinh có môt nghiêm: x = ́ ̣ ̀ ̣ ̣ 2m – Nêu − 3 < m ≤ 0 hoăc m > 3 : phương trinh vô nghiêm ́ ̣ ̀ ̣ Ví dụ 3. Giai và biên luân theo tham số m phương trinh: x − x = m − m ̉ ̣ ̣ ̀ ̉ ̀ ̣ Giai. Điêu kiên: x ≥ 0 – Nêu m < 0: phương trinh vô nghiêm ́ ̀ ̣ – Nêu m = 0: phương trinh trở thanh x ( x − 1) = 0 ⇒ có hai nghiêm: x1 = 0, x2 = 1 ́ ̀ ̀ ̣ – Nêu m > 0: phương trinh đã cho tương đương với ́ ̀ ( x − m)( x + m − 1) = 0  x − m =0 ⇔  x = 1− m  + Nêu 0 < m ≤ 1: phương trinh có hai nghiêm: x1 = m; x2 = (1 − m) 2 ́ ̀ ̣ *******************************
  8. MÔT SỐ PHƯƠNG PHAP GIAI PHƯƠNG TRINH VÔ TỈ ̣ ́ ̉ ̀ ****************************** + Nêu m > 1: phương trinh có môt nghiêm: x = m ́ ̀ ̣ ̣ *******************************
Đồng bộ tài khoản