Nhận dạng mô hình không tham số

Chia sẻ: Hai Dang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

0
47
lượt xem
7
download

Nhận dạng mô hình không tham số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tại thời điểm lấy mẫu t tương ứng là u(t) và y(t). Tùy theo phương pháp nhận dạng mà ta chọn tín hiệu vào thích hợp.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Nhận dạng mô hình không tham số

  1. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 1 Chương 3 NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 3.1. Giới thiệu 3.2. Quá trình ngẫu nhiên 3.2. Phân tích đáp ứng quá độ và phân tích tương quan 3.3. Phân tích đáp ứng tần số 3.4. Phân tích Fourier 3.5. Phân tích phổ Tham khảo: [1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user. chương 2 và chương 6. [2] R. Johansson (1994), System Modeling and Identification. chương 2 và chương 4. [3] N. D. Phước và P. X. Minh (2001), Nhận dạng hệ thống điều khiển. chương 2 3.1 GIỚI THIỆU 3.1.1 Bài toán nhận dạng hệ thống • Nhận dạng hệ thống là xây dựng mô hình toán học của hệ thống dựa trên dữ liệu vào ra quan sát được. u(t) y(t) Hệ thống Hình 3.1: Hệ thống • Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tại thời điểm lấy mẫu t tương ứng là u(t) và y(t). Tùy theo phương pháp nhận dạng mà ta chọn tín hiệu vào thích hợp. Ký hiệu tập hợp N mẫu dữ liệu quan sát được là: Z N = {y (1), u (1),K, y ( N ), u ( N )} (3.1) • Do dữ liệu thu thập được thông qua quá trình lấy mẫu là dữ liệu rời rạc nên một cách tự nhiên ta tìm mô hình toán học rời rạc mô tả hệ thống. • Về mặt toán học, nhận dạng hệ thống là tìm ánh xạ: TM : u (t ) a y (t ) (3.2) khi biết tập dữ liệu ZN .  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  2. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 2 3.1.2 Hệ thống tuyến tính bất biến Đáp ứng xung, hàm truyền và đặc tính tần số • Hệ thống tuyến tính bất biến có thể mô tả bởi hàm truyền. Hàm truyền của hệ rời rạc là tỉ số giữa biến đổi Z của tín hiệu ra và biến đổi Z của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0. Y ( z) G( z) = (3.3) U ( z) ⇒ Y ( z ) = G ( z )U ( z ) (3.4) +∞ trong đó : Y ( z) = ∑ y (t ) z − t (3.5) t = −∞ +∞ U ( z) = ∑ u (t ) z − t (3.6) t = −∞ • Nếu tín hiệu vào là hàm dirac (U(z)=1) thì tín hiệu ra là: Y ( z) = G( z) (3.7) y (t ) = g (t ) = Z −1 {G ( z )} (3.8) g(t) gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dirac • Hệ thống có thể mô tả bởi đáp ứng xung, vì nếu biết tín hiệu vào u(t) bất kỳ ta có thể xác định được tín hiệu ra dựa vào đáp ứng xung, thật vậy: (3.4) ⇒ y (t ) = g (t ) ∗ u (t ) (3.9) +∞ ⇒ y (t ) = ∑ g (k )u (t − k ) (3.10) k = −∞ Hệ thống nhân quả (causal) có g (t ) = 0 ∀t < 0 , do đó: +∞ ⇒ y (t ) = ∑ g (k )u (t − k ) (3.11) k =0 • Ký hiệu q là toán tử làm sớm 1 chu kỳ lấy mẫu: q.u (t ) = u (t + 1) (3.12) –1 và q là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu: q −1.u (t ) = u (t − 1) (3.13)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  3. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 3 Biểu thức (3.10) có thể viết lại: +∞ y (t ) = ∑ g (k )q − k u (t ) (3.14) k =0 hay y (t ) = G (q )u (t ) (3.15) +∞ trong đó: G (q ) = ∑ g (k )q − k = G ( z ) z = q (3.16) k =0 • Đặc tính tần số của hệ thống: G ( e jω ) = G ( z ) z =e jω (3.17) Đặc tính tần số cho biết tỉ lệ về biên độ và độ lệch pha giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin. Nếu tín hiệu vào là: u (t ) = U m sin ωt (3.18) thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra là: y (t ) = Ym sin(ωt + ϕ ) (3.19) ta có các quan hệ: Ym = G ( e jω ) (3.20) Um ϕ = ∠G (e jω ) (3.21) Hệ thống có nhiễu • Mọi hệ thống thực đều bị ảnh hưởng bởi nhiễu (nhiễu đo lường, nhiễu do các tín hiệu vào không kiểm soát được,…). Giả thiết nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu cộng. Tín hiệu ra của hệ thống có nhiễu là: +∞ y (t ) = ∑ g (k )u (t − k ) + v(t ) (3.22) k =0 v(t) u(t) y(t) Hệ thống Hình 3.2: Hệ thống có nhiễu Giả sử nhiễu có thể mô tả bởi: +∞ v(t ) = ∑ h(k )e(t − k ) (3.23) k =0  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  4. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 4 trong đó {e(t )} là nhiễu trắng (nhiễu trắng là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập xác định bởi một hàm mật độ xác suất nào đó). Nhận dạng mô hình không tham số • Phương pháp nhận dạng mô hình không tham số là phương pháp xác định trực tiếp đáp ứng xung g(t) hoặc đặc tính tần số G (e jω ) của hệ thống (mà không cần sử dụng giả thiết về cấu trúc mô hình của hệ thống). • Các phương pháp nhận dạng mô hình không tham số có thể chia làm 2 nhóm: Phương pháp trong miền thời gian (ước lượng g (t ) ): ˆ * Phương pháp phân tích quá độ (phân tích đáp ứng xung, phân tích đáp ứng nấc) (xem mục 3.3.1). * Phương pháp phân tích tương quan (xem mục 3.3.2). ˆ Phương pháp trong miền tần số (ước lượng G (e jω ) ): * Phương pháp phân tích đáp ứng tần số (xem mục 3.4). * Phương pháp phân tích Fourier (xem mục 3.5). * Phương pháp phân tích phổ (xem mục 3.6). 3.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Tham khảo: Phụ lục B và D [Johansson, 1994] 3.2.1 Bieán ngaãu nhieân 3.2.1.1 Định nghĩa • Biến ngẫu nhiên là biến mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được. • Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu: i) Tập hợp các giá trị của X có thể lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy trục số. ii) Xác suất để X nhận một giá trị cụ thể nào đó luôn luôn bằng 0, nghĩa là với mọi số a ta có P{X = a} = 0 . • Hàm mật độ xác suất: Hàm số f X (x) xác định trên toàn bộ trục số được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu: i) f X ( x) ≥ 0 với mọi x. (3.24) +∞ ii) ∫ f X ( x)dx = 1 (3.25) −∞ b iii) Với mọi a < b: P{a < X < b} = ∫ f X ( x)dx (3.26) a  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  5. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 5 TD: Hàm mật độ xác suất của phân bố chuẩn là: 1 2 f X ( x) = e − ( x − µ ) / 2λ 2πλ 3.2.1.2 Kỳ vọng • Kỳ vọng (Expectation) Giá trị trung bình, hay kỳ vọng của X, ký hiệu là E(X) được định nghĩa như sau: +∞ E( X ) = µ = ∫ xf X ( x)dx (3.27) −∞ • Tính chất của kỳ vọng: i) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên và hai số bất kỳ a và b, giả sử E(X) và E(Y) tồn tại, thế thì: E (aX + bY ) = aE ( X ) + bE (Y ) (3.28) ii) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ phân bố xác suất fX(x) thì: +∞ E[ g ( X )] = ∫ g ( x). f X ( x)dx (3.29) −∞ +∞ (giả thiết ∫ g ( x) . f X ( x)dx < ∞ ) −∞ iii) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì: E ( XY ) = E ( X ).E (Y ) (3.30) 3.2.1.3 Phương sai • Phương sai (Variance) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Var(X) là: Var( X ) = E[( X − µ ) 2 ] (3.31) trong đó µ = E ( X ) . • Tính chất của phương sai: i) Nếu X là biến ngẫu nhiên có µ = E ( X ) và E ( X 2 ) < ∞ thì: Var( X ) = E ( X 2 ) − µ 2 (3.32) ii) Nếu X là biến ngẫu nhiên, a và b là các hằng số thì: Var(aX + b) = a 2 Var ( X ) (3.33) iii) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì: Var( X + Y ) = Var( X ) + Var(Y ) (3.34)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  6. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 6 • Hiệp phương sai (Covariance) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên, hiệp phương sai của X và Y là: Cov( X , Y ) = E[( X − µ X )(Y − µY )] = E( XY ) − µ X µY (3.35) trong đó µ X = E( X ) và µY = E (Y ) • Hệ số tương quan (Correlation coefficient) Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y là: Cov( X , Y ) ρ= (3.36) σ XσY trong đó: σ X = Var ( X ) , σ Y = Var (Y ) . Hai biến ngẫu nhiên X và Y không tương quan nếu Cov( X , Y ) = 0 . 3.2.2 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên: Một hàm x(t ) = X (t , ω ) phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên ω gọi là quá trình ngẫu nhiên. Với giá trị t xác định giá trị hàm chỉ phụ thuộc vào ω, do đó nó là biến ngẫu nhiên. Với giá trị xác định của ω , X (t ,ω ) chỉ phụ thuộc vào t, do đó nó là hàm biến thực thông thường. Đối với hệ rời rạc, quá trình ngẫu nhiên là chuỗi {x(t )} Nhiễu trắng Nhiễu trắng {e(t )} là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập có E[e(t )] = 0 và Var[e(t )] = λ . Hàm hiệp phương sai: • Cho {x(t )} là quá trình ngẫu nhiên, hàm tự hiệp phương sai (Auto Covariance Function) của {x(t )} là: Rx (t1 , t 2 ) = Cov xx (t1 , t 2 ) = Cov[ x(t1 ), x(t 2 )] (3.37) Nếu E[ x(t1 )].E[ x(t 2 )] = 0 thì: Rx (t1 , t2 ) = E[ x(t1 ) x(t2 )] (3.38) • Cho {x(t )} và {y (t )} là hai quá trình ngẫu nhiên, hàm hiệp phương sai chéo (Cross Covariance Function) giữa {x(t )} và {y (t )} là: Rxy (t1 , t 2 ) = Cov xy (t1 , t 2 ) = Cov[ x(t1 ), y (t 2 )] (3.39) Nếu E[ x(t1 )].E[ y (t 2 )] = 0 thì: Rxy (t1 , t 2 ) = E[ x(t1 ) y (t 2 )] (3.40)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  7. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 7 Quá trình ngẫu nhiên dừng • {x(t )} được gọi là quá trình ngẫu nhiên dừng (stationary) nếu E[ x(t )] không phụ thuộc vào t và Rx (t1 , t 2 ) chỉ phụ thuộc vào τ = t1 − t 2 , khi đó hàm tự hiệp phương sai được ký hiệu là: Rx (τ ) = Cov[ x(t ), x(t − τ )] (3.41) • {x(t )} và {y (t )} được gọi là hai quá trình ngẫu nhiên hỗ tương quan dừng (stationary correlation) nếu E[ x(t )] , E[ y (t )] không phụ thuộc vào t và Rxy (t1 , t 2 ) chỉ phụ thuộc vào τ = t1 − t 2 thì, khi đó hàm hiệp phương sai chéo được ký hiệu là: Rxy (τ ) = E[ x(t ) y (t − τ )] (3.42) Chú ý: Rx (τ ) = Rx (−τ ) Rxy (τ ) = Rxy (−τ ) Quá trình ngẫu nhiên gần dừng • {x(t )} được gọi là quá trình ngẫu nhiên gần dừng (quasi-stationary) nếu: i) E[ x(t )] = mx (t ), mx (t ) ≤ C , ∀t (3.43) ii) E[ x(t1 ) x(t 2 )] = Rx (t1 , t 2 ), Rx (t1 , t 2 ) ≤ C và (3.44) 1 N lim N →∞ N ∑ E[ x(t ) x(t − τ )] = Rx (τ ) , ∀τ (3.45) t =1 1 N Ký hiệu: E[ x(t ) x(t − τ )] = lim N →∞ N ∑ E[ x(t ) x(t − τ )] (3.46) t =1 • {x(t )} và {y (t )} được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên kết gần dừng (jointly quasi-stationary) nếu {x(t )} và {y (t )} là hai quá trình ngẫu nhiên gần dừng, đồng thời : E[ x(t ) y (t − τ )] = Rxy (τ ) , ∀τ (3.47) Phổ công suất • Cho {x(t )} là tín hiệu ngẫu nhiên gần dừng, phổ công suất của {x(t )} là biến đổi Fourier của hàm tự hiệp phương sai: +∞ Φ x (ω ) = F{Rx (τ )} = ∑ Rx (τ )e − jωτ (3.48) τ = −∞ • Cho {x(t )} và {y (t )} là hai tín hiệu ngẫu nhiên liên kết gần dừng, phổ công suất chéo của {x(t )} và {y (t )} là biến đổi Fourier của hàm hiệp phương sai chéo: Φ xy (ω ) = F{Rxy (τ )} = +∞ ∑ Rxy (τ )e − jωτ (3.49) τ = −∞  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  8. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 8 3.3 PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ VÀ PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN 3.3.1 Phân tích đáp ứng quá độ 3.3.1.1 Phân tích đáp ứng xung Giả sử hệ thống mô tả bởi: y (t ) = G0 (q )u (t ) + v(t ) (3.50) +∞ ⇔ y (t ) = ∑ g 0 (k )u (t − k ) + v(t ) (3.51) k =0 Nếu tín hiệu vào là tín hiệu xung dirac: u (t ) = αδ (t ) (3.52) thì tín hiệu ra là: +∞ y (t ) = ∑ g 0 (k )αδ (t − k ) + v(t ) k =0 ⇒ y (t ) = αg 0 (t ) + v(t ) (3.53) Đáp ứng xung của hệ thống: y (t ) v(t ) g 0 (t ) = − (3.54) α α Nếu mức nhiễu đủ nhỏ thì giá trị ước lượng đáp ứng xung là: y (t ) g (t ) = ˆ (3.55) α Nhận xét: ☺ Phương pháp đơn giản. Sai số nhận dạng là v(t ) / α . Nhiều hệ thống vật lý không cho phép xung tín hiệu vào có biên độ đủ lớn để v(t ) / α đủ nhỏ. Ngoài ra tín hiệu vào có biên độ lớn có thể làm gây ra các ảnh hưởng phi tuyến làm méo dạng mô hình tuyến tính của hệ thống. 3.3.1.2 Phân tích đáp ứng nấc Nếu tín hiệu vào là tín hiệu nấc: u (t ) = α .1(t ) (3.56) thì tín hiệu ra là: +∞ y (t ) = ∑ g 0 (k )α .1(t − k ) + v(t ) k =0 t +∞ = ∑ g 0 (k )α .1(t − k ) + ∑ g 0 (k )α .1(t − k ) + v(t ) k =0 k =t +1  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  9. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 9 t ⇒ y (t ) = α ∑ g 0 (k ) + v(t ) (3.57) k =1 t −1 ⇒ y (t − 1) = α ∑ g 0 (k ) + v(t − 1) k =1 ⇒ y (t ) − y (t − 1) = αg 0 (t ) + v(t ) − v(t − 1) Đáp ứng xung của hệ thống: y (t ) − y (t − 1) v(t ) − v(t − 1) g 0 (t ) = − (3.58) α α Nếu mức nhiễu đủ nhỏ thì giá trị ước lượng đáp ứng xung là: y (t ) − y (t − 1) g (t ) = ˆ (3.59) α Nhận xét: ☺ Phương pháp đơn giản. Sai số nhận dạng là [v(t ) − v(t − 1)] / α , loại được mức DC của nhiễu. Sai số nhận dạng lớn trong đa số các ứng dụng. Đáp ứng nấc (3.57) cho biết các thông tin cơ bản về hệ thống cần thiết cho việc thiết kế bộ điều khiển như thời gian trễ, độ lợi tĩnh, thời hằng quyết định,… khá chính xác. 3.3.2 Phân tích tương quan Xét hệ thống mô tả bởi: +∞ y (t ) = ∑ g 0 (k )u (t − k ) + v(t ) (3.60) k =0 Nếu tín hiệu vào u(t) là chuỗi gần dừng , tức là: Eu (t ) = mu (t ), mu (t ) ≤ C , ∀t Eu (t1 )u (t 2 ) = Ru (t1 , t 2 ), Ru (t1 , t 2 ) ≤ C 1 N E u (t )u (t − τ ) = Ru (τ ) ⇔ lim ∑ Ru (t , t − τ ) = Ru (τ ) , ∀τ N →∞ N t =1 và chuổi u(t) không tương quan với nhiễu v(t), tức là E u (t )v(t − τ ) = 0 thì theo định lý 2.2 (Ljung, 1999 trang 40): +∞ E y (t )u (t − τ ) = R yu (τ ) = ∑ g 0 (k ) Ru (k − τ ) (3.61) k =0 Nếu tín hiệu vào được chọn là nhiễu trắng sao cho: Ru (τ ) = αδ τ 0 (3.62) R yu (τ ) thì: g 0 (τ ) = (3.63) α Do đó ước lượng đáp ứng xung có được từ ước lượng R yu (τ ) ; thí dụ  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  10. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 10 ˆN 1 N R yu (τ ) = ∑ y (t )u (t − τ ) (3.64) N t =τ Nếu tín hiệu vào không phải là nhiễu trắng, chúng ta có thể ước lượng: N ˆ N (τ ) = 1 ∑ u (t )u (t − τ ) Ru (3.65) N t =τ và giải M ˆN ˆ R yu (τ ) = ∑ g (k ) RuN (k − τ ) ˆ (3.66) k =0 3.4 PHAÂN TÍCH ÑAÙP ÖÙNG TAÀN SOÁ 3.4.1 Kieåm tra soùng sin v(t) u(t) = α.sinωt y(t) Hệ thống Hình 3.3: Thí nghieäm phaân tích ñaùp öùng taàn soá Ñoái vôùi heä tuyeán tính baát bieán, neáu tín hieäu vaøo laø tín hieäu hình sin thì tín hieäu ra laø tín hieäu hình sin cuøng taàn soá vôùi tín hieäu vaøo, khaùc bieân ñoä vaø pha. Neáu tín hieäu vaøo laø: u (t ) = α sin ωt , t = 0, 1, 2,... (3.67) thì tín hieäu ra laø: y (t ) = Ym cos(ωt + ϕ ) + v(t ) + yqñ (t ) (3.68) trong ñoù yqñ (t ) laø thaønh phaàn quaù ñoä yqñ (t ) → 0 khi t → ∞ . ÔÛ traïng thaùi xaùc laäp, neáu boû qua nhieãu thì ta coù: y (t ) = Ym cos(ωt + ϕ ) (3.69) Do ñoù töø vieäc ño y (t ) ta xaùc ñònh ñöôïc Ym vaø ϕ. Töø ñoù coù theå tính ñöôïc ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng taïi taàn soá ω laø: Y G0 (e jω ) = m (3.70) α jω ∠G0 (e ) = ϕ (3.71)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  11. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 11 Thöïc hieän thí nghieäm (3.36) vôùi ω thay ñoåi trong mieàn taàn soá quan taâm, ˆ ta seõ öôùc löôïng ñöôïc ñaëc tính taàn soá GN (e jω ) trong mieàn taàn soá quan taâm naøy. Nhaän xeùt: ☺ Phöông phaùp đñôn giaûn. Phaûi thöïc hieän nhieàu thí nghieäm → maát nhieàu thôøi gian. Nhieàu heä thoáng vaät lyù khoâng cho pheùp tín hieäu vaøo laø tín hieäu hình sin → khoâng aùp duïng ñöôïc phöông phaùp phaân tích ñaùp öùng taàn soá naøy. ˆ Chæ öôùc löôïng ñöôïc GN (e jω ) trong mieàn taàn soá quan taâm. Ñaëc tính taàn soá öôùc löôïng bò aûnh höôûng bôûi nhieãu. 3.4.2 Phaân tích ñaùp öùng taàn soá baèng phöông phaùp töông quan Phaân tích töông quan nhaèm trieät tieâu aûnh höôûng cuûa nhieãu. Thöïc hieän caùc thí nghieäm thu thaäp soá lieäu nhö ñaõ moâ taû ôû treân, ño ñaùp öùng cuûa heä thoáng vaø thaønh laäp caùc ñaïi löôïng sau: 1 N I C ( N ) = ∑ y (t ) cosϖt (3.72) N t =1 1 N I S ( N ) = ∑ y (t ) sin ϖt (3.73) N t =1 Thay (3.68) vaøo (3.72), boû qua thaønh phaàn quaù ñoä ta ñöôïc: 1 N 1 N I C ( N ) = ∑ Ym cos(ϖt + ϕ ) cosϖt + ∑ v(t ) cosϖt N t =1 N t =1 1 N 1 1 N = ∑ Ym [cos(2ϖt + ϕ ) + cos ϕ ] + ∑ v(t ) cosϖt N t =1 2 N t =1 Ym Ym N 1 N = 2 cos ϕ + ∑ cos(2ϖt + ϕ ) + N ∑ v(t ) cosϖt 2 N t =1 (3.74) t =1 Ym N Deã thaáy 2N ∑ cos(2ϖt + ϕ ) → 0 khi N → ∞ , maët khaùc neáu nhieãu v(t ) t =1 1 N khoâng coù thaønh phaàn tuaàn hoaøn vôùi taàn soá ω thì N ∑ v(t ) cosϖt → 0 khi t =1 N → ∞ . Suy ra: Ym IC ( N ) → cos ϕ khi N → ∞ (3.75) 2 Töông töï ta coù theå daãn ra ñöôïc: Y I S ( N ) → − m sin ϕ khi N → ∞ (3.76) 2  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  12. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 12 Töø (3.75) vaø (3.76) ta tính ñöôïc: 2 2 IC ( N ) + I S ( N ) Ym = (3.77) 2  I (N )  ϕ = − tan −1  S  (3.78)  IC ( N )  Thay (3.77) vaø (3.78) vaøo (3.70) vaø (3.71) ta xaùc ñònh ñöôïc ñaùp öùng taàn soá cuûa heä thoáng taïi taàn soá ω maø khoâng bò aûnh höôûng bôûi nhieãu. 3.5 PHAÂN TÍCH FOURIER v(t) u(t) y(t) Hệ thống Hình 3.4: Thí nghieäm phaân tích Fourier Haøm truyeàn öôùc löôïng thöïc nghieäm Cho u(t) laø tín hieäu vaøo baát kyø, ño tín hieäu ra y(t). Phaân tích Fourier tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra: 1 N U N (ω k ) = ∑ u (t )e − jω k t (3.79) N t =1 1 N YN (ω k ) = ∑ y (t )e − jω k t (3.80) N t =1 2πk trong ñoù: ωk = , k = 0,1,..., N − 1 (3.81) N Töø ñaây ta öôùc löôïng ñöôïc: ˆ ˆ Y (ω ) G N ( e jω ) = N (3.82) U N (ω ) 2πk taïi caùc taàn soá ω = ω k = , k = 0,1,..., N − 1. N ˆ ˆ G (e jω k ) goïi laø haøm truyeàn öôùc löôïng thöïc nghieäm (ETFE – Empirical N Transfer Function Estimate).  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  13. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 13 Tính chaát cuûa haøm truyeàn öôùc löôïng thöïc nghieäm • Boå ñeà 6.1, [Ljung, 1999]: Xeùt heä thoáng oån ñònh: y (t ) = G0 (q)u (t ) + v(t ) (3.83) vôùi nhieãu v(t ) laø quaù trình ngaãu nhieân döøng coù phoå Φ v (ω ) vaø haøm hieäp phöông sai Rv (τ ) thoûa maõn: +∞ ∑ τRv (τ ) < ∞ (3.84) −∞ ˆ Giaû söû {u (t )} ñoäc laäp vôùi {v(t )} vaø u (t ) ≤ C , ∀t . Vôùi GN (e jω ) xaùc ñònh bôûi ˆ (3.82), ta coù: ˆ ˆ ρ (N ) E[GN (e jω )] = G0 (e jω ) + 1 (3.85) U N (ω ) ˆ ˆ ˆ ˆ E[GN (e jω ) − G0 (e jω )][GN (e − jξ ) − G0 (e − jω )] =  1 2 [Φ v (ω ) + ρ 2 ( N ) neáu ξ = ω  U N (ω ) =  ρ (N ) 2πk (3.86 U N (ω )U N ( −ξ ) 2 neáu ξ − ω = , k = 1, N − 1  N ) C1 trong ñoù: ρ1 ( N ) ≤ (3.87) N C ρ2 ( N ) ≤ 2 (3.88) N ∞   C1 =  2 ∑ kg 0 (k ) . max u (t ) (3.89)  k =1  +∞ C2 = C12 + ∑ τRv (τ ) (3.90) k = −∞ +∞ Φ v (ω ) = ∑ Rv (τ )e − jτω (3.91) τ = −∞ 1 N Rv (τ ) = Ev(t )v(t − τ ) = lim N →∞ N ∑ Ev(t )v(t − τ ) (3.92) t =1 • Nhaän xeùt ˆ ˆ - Haøm truyeàn öôùc löôïng thöïc nghieäm GN (e jω ) chæ xaùc ñònh taïi caùc taàn soá 2πk ω = ωk = , k = 0,1,..., N − 1. N ˆ ˆ - Kyø voïng cuûa GN (e jω ) tieäm caän baèng G0 (e jω ) khi N → ∞ .  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  14. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 14 ˆ ˆ - Phöông sai cuûa GN (e jω ) tieäm caän baèng tæ soá nhieãu treân tín hieäu khi N →∞. - Öôùc löôïng taïi caùc taàn soá khaùc nhau tieäm caän khoâng töông quan. 3.6 PHAÂN TÍCH PHOÅ Trôn hoùa ñaëc tính taàn soá öôùc löôïng thöïc nghieäm ˆ ˆ 2πk • GN (e jω ) chæ xaùc ñònh taïi caùc taàn soá ω = ω k = , k = 0,1,..., N − 1 N ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ trôn hoùa GN (e jω ) ñeå ñöôïc ñaëc tính taàn soá GN (e jω ) ( GN (e jω ) xaùc ñònh vôùi moïi taàn soá laø öôùc löôïng cuûa ñaëc tính taàn soá thaät G0 (e jω ) ). • Neáu khoaûng taàn soá 2π / N nhoû so vôùi söï thay ñoåi cuûa G0 (e jω ) thì ˆ ˆ GN (e jω k ) chính laø öôùc löôïng khoâng leäch, khoâng töông quan cuûa G0 (e jω ) taïi Φ v (ωk ) caùc taàn soá ω ≈ ωk vôùi phöông sai laø 2 khi N → ∞ . U N (ωk ) • Neáu G0 (e jω ) laø haèng soá trong khoaûng: 2πk1 2πk 2 = ω0 − ∆ω < ω < ω0 + ∆ω = (3.93) N N thì coù theå öôùc löôïng G0 (e jω ) baèng caùch laáy trung bình coù troïng soá haøm truyeàn öôùc löôïng thöïc nghieäm trong mieàn taàn soá treân: k2 ˆ ∑ α k G N ( e jω k ) ˆ k =k G ( e jω 0 ) = 1 ˆ N k2 (3.94) ∑αk k = k1 2 U (ω ) trong ñoù: αk = N k (3.95) Φ v (ωk ) 2πk ωk = (3.96) N  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  15. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 15 Neáu soá maãu döõ lieäu ñuû lôùn, coù theå thay pheùp tính toång trong bieåu thöùc (3.94) baèng pheùp tính tích phaân: ω 0 + ∆ω ˆ jξ ˆ ˆ jω 0 ∫ω0 − ∆ω α (ξ )GN (e )dξ G N (e ) = ω 0 + ∆ω (3.97) ∫ α (ξ )dξ ω 0 − ∆ω 2 U (ξ ) trong ñoù: α (ξ ) = N (3.98) Φ v (ξ ) • Neáu G0 (e jω ) khoâng phaûi laø haèng soá trong khoaûng taàn soá (3.93) thì coù theå öôùc löôïng G (e jω 0 ) baèng coâng thöùc: ˆ N π ˆ jξ ˆ ˆ G N (e jω 0 )= ∫−π Wγ (ξ − ω0 )α (ξ )GN (e )dξ (3.99) π ∫−π Wγ (ξ − ω0 )α (ξ )dξ trong ñoù Wγ (ξ ) laø haøm troïng soá xung quanh ξ = 0 vôùi thoâng soá γ . • Neáu khoâng bieát phoå Φ v (ω ) cuûa nhieãu thì khoâng theå öôùc löôïng ñöôïc G N (e jω 0 ) theo bieåu thöùc (3.99). Trong tröôøng hôïp naøy giaû thieát phoå cuûa nhieãu ˆ ít thay ñoåi trong khoaûng taàn soá töông öùng vôùi ñoä roäng cuûa cöûa soå taàn soá, töùc laø: π  1 1  ∫−π Wγ (ξ − ω0 )  −  dξ ≈ 0  Φ v (ξ ) Φ v (ω0 )  (3.100) Khi ñoù coù theå xaáp xæ (3.99) baèng coâng thöùc: π 2 ˆ jξ ˆ ˆ G N (e jω 0 )= ∫−π Wγ (ξ − ω0 ) U N (ξ ) GN (e )dξ (3.101) π 2 ∫−π Wγ (ξ − ω0 ) U N (ξ ) dξ Haøm troïng soá Wγ (ξ ) - Haøm troïng soá Wγ (ξ ) coøn goïi laø cöûa soå taàn soá, thoâng soá γ xaùc ñònh ñoä roäng cuûa cöûa soå taàn soá. - Cöûa soå taàn soá caøng roäng thì phöông sai cuûa G N (e jω 0 ) caøng nhoû, ñoä leäch ˆ giöõa G (e jω 0 ) vaø G (e jω 0 ) caøng lôùn ⇒ caàn choïn cöûa soå taàn soá thích hôïp ñeå ˆ N 0 caân baèng giöõa phöông sai vaø ñoä leäch. - Caùc haøm cöûa soå thöôøng ñöôïc söû duïng: Bartlett, Parzen, Hamming. Tính chaát cuûa haøm truyeàn trôn  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
  16. Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ 16 Xeùt heä thoáng oån ñònh: y (t ) = G0 (q)u (t ) + v(t ) (3.102) vôùi nhieãu v(t ) laø quaù trình ngaãu nhieân döøng coù phoå Φ v (ω ) vaø haøm hieäp phöông sai Rv (τ ) thoûa maõn: +∞ ∑ τRv (τ ) < ∞ (3.103) −∞ Giaû söû {u (t )} ñoäc laäp vôùi {v(t )} vaø u (t ) ≤ C , ∀t . Vôùi GN (e jω ) xaùc ñònh bôûi ˆ (3.101), ta coù: 1 Φ′ (ω )  E[GN (e jω )] − G0 (e jω ) = M (γ )  G0′ (e jω ) + G0 (e jω ) u ˆ ′ ′ 2 Φ u (ω )   + Ο(C3 (γ )) + Ο(1 / N ) (3.104) γ →∞ N →∞ 1 Φ (ω ) E  GN (e jω ) − G0 (e jω )  = W (γ ) v + ο (W (γ ) / N ) 2 ˆ    N  Φ u (ω ) γ →∞ N → ∞ ,γ / N → 0 trong ñoù: π M (γ ) = ∫ ξ 2Wγ (ξ )dξ −π π W (γ ) = 2π ∫ Wγ2 (ξ )dξ −π π 3 C3 (γ ) = ∫ξ Wγ (ξ )dξ −π  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản